Трансляційно інваріантні оператори та операторний аналог сліду за різницевою змінною
Побудовано теорiю банахових просторiв “узагальнених” операторiв з обмеженим проекцiйним слiдом над заданим гiльбертовим простором. Дана теорiя може бути корисною при дослiдженнi таких задач математичної фiзики багаточастинкових систем, постановка яких неможлива в просторi операторiв з обмеженим слiд...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/19743 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Трансляційно інваріантні оператори та операторний аналог сліду за різницевою змінною / Я.І. Грушка // Доп. НАН України. — 2010. — № 3. — С. 13-18. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-19743 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-197432011-05-13T12:03:56Z Трансляційно інваріантні оператори та операторний аналог сліду за різницевою змінною Грушка, Я.І. Математика Побудовано теорiю банахових просторiв “узагальнених” операторiв з обмеженим проекцiйним слiдом над заданим гiльбертовим простором. Дана теорiя може бути корисною при дослiдженнi таких задач математичної фiзики багаточастинкових систем, постановка яких неможлива в просторi операторiв з обмеженим слiдом. A theory of Banach spaces of “generalized” operators with bounded projection trace is constructed over a given Hilbert space. This theory may be useful in studying such problems of mathematical physics for many-particle systems, whose exploring is impossible in the space of operators with bounded trace. 2010 Article Трансляційно інваріантні оператори та операторний аналог сліду за різницевою змінною / Я.І. Грушка // Доп. НАН України. — 2010. — № 3. — С. 13-18. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/19743 517.983 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Грушка, Я.І. Трансляційно інваріантні оператори та операторний аналог сліду за різницевою змінною Доповіді НАН України |
| description |
Побудовано теорiю банахових просторiв “узагальнених” операторiв з обмеженим проекцiйним слiдом над заданим гiльбертовим простором. Дана теорiя може бути корисною при дослiдженнi таких задач математичної фiзики багаточастинкових систем, постановка яких неможлива в просторi операторiв з обмеженим слiдом. |
| format |
Article |
| author |
Грушка, Я.І. |
| author_facet |
Грушка, Я.І. |
| author_sort |
Грушка, Я.І. |
| title |
Трансляційно інваріантні оператори та операторний аналог сліду за різницевою змінною |
| title_short |
Трансляційно інваріантні оператори та операторний аналог сліду за різницевою змінною |
| title_full |
Трансляційно інваріантні оператори та операторний аналог сліду за різницевою змінною |
| title_fullStr |
Трансляційно інваріантні оператори та операторний аналог сліду за різницевою змінною |
| title_full_unstemmed |
Трансляційно інваріантні оператори та операторний аналог сліду за різницевою змінною |
| title_sort |
трансляційно інваріантні оператори та операторний аналог сліду за різницевою змінною |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/19743 |
| citation_txt |
Трансляційно інваріантні оператори та операторний аналог сліду за різницевою змінною / Я.І. Грушка // Доп. НАН України. — 2010. — № 3. — С. 13-18. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT gruškaâí translâcíjnoínvaríantníoperatoritaoperatornijanalogslíduzaríznicevoûzmínnoû |
| first_indexed |
2025-07-02T20:35:09Z |
| last_indexed |
2025-07-02T20:35:09Z |
| _version_ |
1836568816015900672 |
| fulltext |
УДК 517.983
© 2010
Я. I. Грушка
Трансляцiйно iнварiантнi оператори та операторний
аналог слiду за рiзницевою змiнною
(Представлено членом-кореспондентом НАН України М.Л. Горбачуком)
Побудовано теорiю банахових просторiв “узагальнених” операторiв з обмеженим проек-
цiйним слiдом над заданим гiльбертовим простором. Дана теорiя може бути корис-
ною при дослiдженнi таких задач математичної фiзики багаточастинкових систем,
постановка яких неможлива в просторi операторiв з обмеженим слiдом.
У багатьох роботах, присвячених дослiдженню багаточастинкових квантових систем, ево-
люцiя описується з допомогою групи операторiв, що дiє в просторi L1(H) операторiв з обме-
женим слiдом над гiльбертовим простором H [1–3]. Проте цього простору виявляється не-
достатньо, зокрема, для розв’язання задач, постановка яких природна в класi операто-
рiв з трансляцiйно-iнварiантним ядром, оскiльки такi оператори не належать до простору
L1(H). Саме тому в [3] ставиться питання про необхiднiсть вивчення груп операторiв у бiльш
загальних операторних просторах, нiж L1(H). Мета даної роботи — побудова i дослiдження
таких (бiльш загальних) просторiв операторiв.
Теорема про слiд трансляцiйно iнварiантного оператора. Нехай (H, ‖ · ‖, (·, ·)) —
комплексний, сепарабельний гiльбертовий простiр. Через L(H) будемо позначати простiр
лiнiйних неперервних операторiв над H, а через O i I — нульовий та одиничний оператори
простору L(H) вiдповiдно. Для оператора A ∈ L1(H) через Tr(A) будемо позначати слiд
оператора A.
Нехай B — самоспряжений (взагалi кажучи, необмежений) оператор в H. Через σp(B)
будемо позначати точковий спектр оператора B, а через U(τ) — C0-групу унiтарних опе-
раторiв U(τ) = eiτB , τ ∈ R. Будемо говорити, що оператор A ∈ L(H) є трансляцiйно iнварi-
антним вiдносно B, якщо вiн комутує з розкладом одиницi оператора B (що рiвносильно
AU(τ) = U(τ)A, τ ∈ R).
Основними прикладами трансляцiйно iнварiантних операторiв є лiнiйнi неперервнi опе-
ратори в просторi H = L2(R
d), d ∈ N, якi породжуються трансляцiйно iнварiантним ядром,
тобто (AKx)(~t) =
∫
Rd
K(~t, ~s)x(~s) d~s, ~t ∈ R
d, x ∈ H, де ядро K : Rd×R
d 7→ C задовольняє умову
K(~t+h,~s+h) = K(~t, ~s), ~t, ~s ∈ R
d, h ∈ R (тут ~t+h = (t1+h, . . . , td +h), ~t = (t1, . . . , td) ∈ R
d).
Такi оператори є трансляцiйно iнварiантними вiдносно генератора групи зсувiв по ”дiаго-
нальному” напрямку:
(U (d)(τ)x)(~s) = x(~s+ τ), τ ∈ R, ~s ∈ R
d. (1)
Оператори з трансляцiйно iнварiантним ядром вивчались у монографiї [4].
Теорема 1. Нехай невiд’ємний оператор A ∈ L1(H) є трансляцiйно iнварiантним вiд-
носно оператора B = B∗ такого, що σp(B) = ∅. Тодi A = O.
Навпаки, якщо точковий спектр оператора B = B∗ не порожнiй, то завжди iснує нену-
льовий трансляцiйно iнварiантний вiдносно B оператор A ∈ L1(H).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №3 13
У випадку операторiв з трансляцiйно iнварiантним ядром теорема 1 перетворюється
в загальновiдоме твердження про те, що такi оператори (в ненульовому випадку) не нале-
жать до простору L1(H). Тому в монографiї [4] для цих операторiв введено поняття слiду
за “рiзницевою” змiнною:
T̃r(AK) = T̃ri,ti(AK) =
∫
Rd−1
K̃(t1, . . . , td)dt1 · · · dti−1dti+1 · · · dtd, d > 1,
K(0, 0), d = 1,
1 6 i 6 d, де K̃(~t) = K(~t,~t). Легко перевiрити, що для трансляцiйно iнварiантного ядра K
величина T̃ri,ti(AK) не залежить вiд iндексу i та змiнної ti.
Оскiльки поняття слiду застосовується до операторiв в абстрактному гiльбертовому про-
сторi, виникає задача визначення в абстрактному гiльбертовому просторi i аналогу поняття
слiду за рiзницевою змiнною. Наведемо приклад, що iлюструє можливий шлях розв’язання
поставленої проблеми.
П р и к л ад 1 . У просторi H = L2(R) розглянемо спектральну мiру (P (∆)x)(t) := χ∆(t)x(t),
x ∈ H, ∆ ∈ B(R), де χ∆ — характеристична функцiя множини ∆, а B(R) — σ-алгебра борелiвських
пiдмножин R. Легко перевiрити, що тодi для оператора AK ∈ L(H) з трансляцiйно iнварiантним
ядром K має мiсце рiвнiсть
T̃r(AK) =
Tr(P (∆)AKP (∆))
m(∆)
, ∆ ∈ B(R), 0 <m(∆) <∞,
де m — мiра Лебега на R.
Зауважимо, що подiбнi спектральнi мiри iснують i в просторi L2(R
d) (d ∈ N):
(P
(d)
i (∆)x)(~t) := χ∆(ti)x(~t), x ∈ L2(R
d), ∆ ∈ B(R), i ∈ 1, d. (2)
Означення 1. Нехай (R,R) — вимiрний простiр (тобто R — σ-алгебра пiдмножин R),
P (·) : R 7→ H — спектральна мiра на σ-алгебрi R. I нехай µ — деяка скалярна σ-скiнченна
i не тотожно рiвна нулю мiра на R. Тодi четвiрку (R,R, P, µ) будемо називати проекцiйним
простором з мiрою над простором H (ПМ-простором над H).
Наступною метою є побудова за даним ПМ-простором банахового простору операторiв
з обмеженим проекцiйним слiдом (ПООПС) — певного аналогу простору L1(H). Проте,
на вiдмiну вiд L1(H), спроба визначити ПООПС як деякий пiдпростiр L(H) приводить до
неповного простору, тобто простiр L(H) виявляється “занадто вузьким” для поставленої ме-
ти. Тому в наступному пунктi будується необхiдний для цього бiльш широкий операторний
простiр.
Простори узагальнених векторiв та узагальнених операторiв, породженi спе-
ктральними мiрами. Нехай (R,R, P, µ) — ПМ-простiр. Покладемо
H+
P,µ :=
⋃
∆∈Rµ−fin
P (∆)H, де Rµ−fin = {∆ ∈ R | µ(∆) <∞}.
Неважко переконатись, що H+
P,µ є лiнiйним простором вiдносно алгебраїчних операцiй, iн-
дукованих з простору H.
Означення 2. Будемо вважати, що послiдовнiсть векторiв {xn}
∞
n=1 ⊆ H
+
P,µ збiгається
до вектора x ∈ H
+
P,µ, у сенсi простору H
+
P,µ (позначення xn
(P,µ)+
→
n→∞
x), якщо iснує множина
∆ ∈ Rµ−fin така, що {xn}
∞
n=1 ⊆ P (∆)H i ‖xn − x‖ →
n→∞
0.
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №3
Легко перевiрити, що введена збiжнiсть перетворює H+
P,µ у лiнiйний простiр зi збiжнiс-
тю в сенсi [5–7] (це означає, зокрема, що операцiї додавання i множення на комплексне
число є неперервнi вiдносно даної збiжностi). Бiльше того, можна довести, що цей простiр
є повним у сенсi [6, 7].
Розглянемо простiр H
−
P,µ = (H+
P,µ)
′ антилiнiйних неперервних функцiоналiв над просто-
ром H+
P,µ, тобто простiр таких функцiоналiв l : H+
P,µ 7→ C, що:
а) l(α1x1 + α2x2) = α1l(x1) + α2l(x2), x1, x2 ∈ H+
P,µ, α1, α2 ∈ C;
б) якщо H+
P,µ ∋ xn
(P,µ)+
→
n→∞
x ∈ H+
P,µ, то l(xn) →
n→∞
l(x).
Твердження 1. Антилiнiйний функцiонал l : H+
P,µ 7→ C належить до простору H
−
P,µ
тодi i тiльки тодi, коли для довiльної множини ∆ ∈ Rµ−fin функцiонал
l∆(x) = l(P (∆)x), x ∈ H (3)
належить до простору H′ = H.
Означення 3. Будемо говорити, що послiдовнiсть функцiоналiв {ln}
∞
n=1 ⊆ H
−
P,µ збiга-
ється (сильно) до функцiонала l ∈ H−
P,µ у просторi H−
P,µ (позначення ln
(P,µ)−
→
n→∞
l), якщо для
довiльної множини ∆ ∈ Rµ−fin справедливо ‖(ln)∆ − l∆‖ →
n→∞
0, де функцiонали (ln)∆ i l∆
означенi у формулi (3).
Пiдкреслимо, що замiсть слабкої збiжностi, яка часто зустрiчається в теорiї оснащених
просторiв [8, с. 20], ми будемо розглядати саме сильну збiжнiсть, введену в означеннi 3.
Неважко перевiрити, що ця збiжнiсть перетворює H−
P,µ у лiнiйний простiр зi збiжнiстю.
Вкладення простору H в H−
P,µ будується стандартним чином через ототожнення елемента
x ∈ H з функцiоналом ψ[x] скалярного множення на елемент x:
x = ψ[x], де ψ[x](y) := (x, y), y ∈ H+
P,µ.
Твердження 2. Усi вкладення H
+
P,µ ⊆ H ⊆ H
−
P,µ щiльнi i неперервнi.
У випадку, коли H = L2([0, 2π]), а ПМ-простiр (R,R, P, µ) має вигляд R = Z, R = 2Z,
µ(∆) = card(∆), (P (∆)f)(x) =
∑
k∈∆
fˆ(k)eikx (∆ ∈ R, f ∈ H, x ∈ [0, 2π]), де card(∆) —
потужнiсть множини ∆, а fˆ(k) — k-й коефiцiєнт ряду Фур’є функцiї f , простiр H
+
P,µ збi-
гається з простором тригонометричних многочленiв, а H−
P,µ — з простором узагальнених
перiодичних функцiй, введеним у роботi [9].
Надалi через L(H−
P,µ) будемо позначати простiр лiнiйних неперервних операторiв над
простором H−
P,µ, тобто таких лiнiйних операторiв Q : H−
P,µ 7→ H−
P,µ, що ∀{fn}
∞
n=1 ⊆ H−
P,µ
(fn
(P,µ)−
→ f =⇒ Qfn
(P,µ)−
→ Qf). Для оператора A ∈ L(H) через A+ будемо позначати звуже-
ння оператора A на простiр H
+
P,µ: A+ = A ↾ H
+
P,µ.
Твердження 3. Якщо A ∈ L(H) i (A∗)+ ∈ L(H+
P,µ), то оператор A допускає єдине
продовження на простiр H−
P,µ до оператора A− ∈ L(H−
P,µ) (A− ⊇ A).
З твердження 3 випливає, що для довiльної множини ∆ ∈ R iснує єдине продовження
оператора P (∆) ∈ L(H) до оператора P(∆) = P (∆)− ∈ L(H−
P,µ).
Твердження 4. Оператори {P(∆): ∆ ∈ R} мають такi властивостi:
P(∅) = O; P(R) = I; P(∆)2 = P(∆),∆ ∈ R;
P(∆1
⋂
∆2) = P(∆1)P(∆2), ∆1,∆2 ∈ R.
(4)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №3 15
Бiльше того, має мiсце σ-адитивнiсть P(·), тобто якщо {∆n}
∞
n=1 ⊆ R — диз’юнктна по-
слiдовнiсть множин (∆i
⋂
∆j = ∅ при i 6= j), то P
(
∞⋃
n=1
∆n
)
=
∑
∞
n=1 P(∆n), де збiжнiсть
ряду слiд розумiти в сильному сенсi над H−
P,µ.
Основним об’єктом подальшого розгляду буде простiр L+−
P,µ(H) := L(H+
P,µ,H
−
P,µ) лiнiйних
неперервних операторiв з простору H
+
P,µ у простiр H
−
P,µ.
Твердження 5. Для того щоб лiнiйний оператор A : H+
P,µ 7−→ H−
P,µ належав до L+−
P,µ(H)
необхiдно i достатньо, щоб для довiльної множини ∆ ∈ Rµ−fin оператор P(∆)AP (∆) на-
лежав до простору L(H).
Означення 4. Нехай {An}
∞
n=1 ⊆ L+−
P,µ(H), A ∈ L+−
P,µ(H). Будемо говорити, що послi-
довнiсть операторiв {An}
∞
n=1 рiвномiрно збiгається до оператора A в просторi L+−
P,µ(H)
(позначення An
(P,µ)
⇉
n→∞
A), якщо для довiльної множини ∆ ∈ Rµ−fin ‖P(∆)AnP (∆) −
− P(∆)AP (∆)‖→ 0, n → ∞.
Можна довести, що введена в означеннi 4 збiжнiсть перетворює L+−
P,µ(H) у лiнiйний про-
стiр зi збiжнiстю.
Теорема 2. Лiнiйний простiр зi збiжнiстю L+−
P,µ(H) є повний.
Пiдкреслимо, що повноту в теоремi 2 треба розумiти в сенсi [6, 7].
Простiр L(H) можна вкласти в L+−
P,µ(H), використовуючи ототожнення оператора A ∈
∈ L(H) з оператором A+, якщо A+ розглядати як оператор з L+−
P,µ(H).
Простiр операторiв з обмеженим проекцiйним слiдом та його властивостi.
Нехай A ∈ L+−
P,µ(H). Покладемо:
νP,A(∆) := Tr(|P(∆)AP (∆)|), ∆ ∈ Rµ−fin;
‖A‖P,µ := sup
{
νP,A(∆)
µ(∆)
∣∣∣∣
∆ ∈ Rµ−fin,
µ(∆) + νP,A(∆) > 0
}
, A ∈ L+−
P,µ(H),
(5)
де у випадку P(∆)AP (∆) /∈ L1(H) покладемо Tr(|P(∆)AP (∆)|) := ∞, а у випадку µ(∆) = 0
покладемо νP,A(∆)/µ(∆) := ∞. Оскiльки мiра µ не є тотожно нульовою, то визначення
величини ‖ · ‖P,µ — коректне (тобто супремум у (5) береться за непорожньою множиною).
Як випливає з прикладу 1, у просторi H = L2(R
d), d ∈ N, для невiд’ємного оператора
AK ∈ L(H) з трансляцiйно iнварiантним ядром K i спектральної мiри (2) має мiсце рiв-
нiсть ‖AK‖P (d)
i ,m
= T̃r(AK), i ∈ 1, d (за умови, що права частина рiвностi має сенс, тобто
скiнченна). Оскiльки величина ‖A‖P,µ не завжди скiнченна, розглянемо клас операторiв
TP,µ(H) := {A ∈ L+−
P,µ(H) : ‖A‖p,µ <∞}.
Теорема 3. (TP,µ(H), ‖ · ‖P,µ) є банаховим простором.
Зауважимо, що теорема 3 використовує в своєму доведеннi терему 2.
Трансляцiйна iнварiантнiсть у просторах L+−
P,µ(H) i TP,µ(H).
Означення 5. Нехай {U(t) : t ∈ R} — група унiтарних операторiв у гiльбертовому про-
сторi H. ПМ-простiр (R,R, P, µ) над H будемо називати трансляцiйно регулярним вiдносно
групи {U(t)}, якщо ∀ t ∈ R U(t)+ ∈ L(H+
P,µ).
Безпосередньо з означення 5 i твердження 3 випливає, що якщо ПМ-простiр (R,R, P, µ)
над H є трансляцiйно регулярним вiдносно групи {U(t) : t ∈ R} ⊂ L(H), то оператори
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №3
{U(t) : t ∈ R} допускають продовження на простiр H−
P,µ до операторiв {U(t)− : t ∈ R} ⊂
⊂ L(H−
P,µ). Можна довести, що для сiм’ї операторiв {U(t)−} зберiгаються груповi власти-
востi.
П р и к л ад 2 . Нехай U(t) = eitA, t ∈ R — група унiтарних операторiв у H (де A = A∗). Покладе-
мо R := R; R := B(R); P (∆) := EA(∆), ∆ ∈ B(R), де EA(·) — розклад одиницi оператора A. Тодi для
довiльної σ-скiнченної мiри µ на B(R) ПМ-простiр (R,R, P, µ) є трансляцiйно регулярним вiднос-
но групи {U(t) : t ∈ R}. Отже, довiльна C0-група унiтарних завжди операторiв має трансляцiйно
регулярнi (вiдносно себе) ПМ-простори.
П р и к л а д 3 . Нехай H = L2(R), R = R, R = B(R), а спектральна мiра P та ж сама, що
i в прикладi 1. Тодi ПМ-простiр (R,R, P,m) є трансляцiйно регулярним вiдносно групи U (1)(·),
визначеної в (1) при d = 1.
Наведене нижче твердження дає механiзм побудови трансляцiйно регулярних ПМ-про-
сторiв над тензорним добутком гiльбертових просторiв.
Твердження 6. Нехай, H, K — гiльбертовi простори i четвiрка (R,R, P, µ) є транс-
ляцiйно регулярним ПМ-простором вiдносно групи {U(t) : t ∈ R} ⊂ L(H) над простором H.
Тодi для довiльної групи {V (t) : t ∈ R} ⊂ L(K) унiтарних операторiв у просторi K четвiр-
ки (R,R, P ⊗IK, µ) i (R,R, IK⊗P, µ) є трансляцiйно регулярними ПМ-просторами вiдносно
груп {U(t)⊗V (t) : t ∈ R} ⊂ L(H⊗K) i {V (t)⊗U(t) : t ∈ R} ⊂ L(K⊗H) над просторами H⊗K
i K⊗H вiдповiдно, де IK — одиничний оператор над простором K i (P⊗IK)(∆) = P (∆)⊗IK,
(IK ⊗ P )(∆) = IK ⊗ P (∆), ∆ ∈ R.
З прикладу 3 та твердження 6 випливає, що для d∈N i i∈1, d четвiрка (R,B(R), P
(d)
i ,m)
є трансляцiйно регулярним ПМ-простором вiдносно групи {U (d)(t)}, де P
(d)
i та {U (d)(t)}
визначенi в (2) та (1) вiдповiдно.
Означення 6. Нехай (R,R, P, µ) — трансляцiйно регулярний ПМ-простiр вiдносно гру-
пи {U(t) : t ∈ R} ⊆ L(H). Оператор A ∈ L+−
P,µ(H) будемо називати трансляцiйно iнварiант-
ним вiдносно генератора групи {U(t)}, якщо для довiльного t ∈ R має мiсце рiвнiсть,
AU(t)+ = U(t)−A.
Враховуючи ототожнення оператора A ∈ L(H) з оператором A+ ∈ L+−
P,µ(H), можна дове-
сти, що у випадку обмеженого оператора A трансляцiйна iнварiантнiсть, введена на початку
роботи, рiвносильна тiй, що введена в означеннi 6.
Нехай (R,R, P, µ) — трансляцiйно регулярний ПМ-простiр вiдносно групи {U(t)}. По-
значимо через TP,µ(H)τ(U) множину всiх трансляцiйно iнварiантних вiдносно генератора
групи {U(t)} операторiв A ∈ TP,µ(H).
Теорема 4. Простiр TP,µ(H)τ(U) є замкнутим пiдпростором простору TP,µ(H) (вiднос-
но норми ‖ · ‖P,µ).
1. Cercignani C., Gerasimenko V. I., Petrina D.Ya. Many-particle dynamics and kinetic equations. – Dord-
recht: Kluwer, 1997. – 252 p.
2. Arnold A. Mathematical properties of quantum evolution equations // Lect. Notes Math. Vol. 1946. –
Berlin: Springer, 2008. – P. 45–109.
3. Gerasimenko V. I. Groups of operators for evolution equations of quantum many-particle systems //
Operator Theory: Advances and Applications. Vol. 191. – Basel: Birkhäuser, 2009. – P. 341–355.
4. Petrina D.Ya. Mathematical foundations of quantum statistical mechanics. Continuous systems. – Amster-
dam: Kluwer, 1995. – 624 p.
5. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 2. – Москва: Высш. шк., 1981. – 584 с.
6. Duldrey R.M. On sequentional convergence // Trans. Amer. Math. Soc. – 1964. – 122. – P. 483–507.
7. Мосягин В.В., Широков Б.М. Линейные пространства со сходимостью и конусом // Тр. Петроза-
водск. гос. ун-та. Сер. Матем. – 2001. – Вып. 8. – С. 14–19.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №3 17
8. Березанский Ю.М., Кондратьев Ю.Г. Спектральные методы в бесконечномерном анализе. – Киев:
Наук. думка, 1988. – 680 с.
9. Горбачук В.И., Горбачук М.Л. Тригонометрические ряды и обобщенные периодические функции //
Докл. АН СССР. – 1981. – 257, № 4. – С. 799–804.
Надiйшло до редакцiї 21.07.2009Iнститут математики НАН України, Київ
Ya. I. Grushka
Translation-invariant operators and the operator analog of a difference
variable trace
A theory of Banach spaces of “generalized” operators with bounded projection trace is constructed
over a given Hilbert space. This theory may be useful in studying such problems of mathematical
physics for many-particle systems, whose exploring is impossible in the space of operators with
bounded trace.
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №3
|