О Фурье-комбинированном сингуларисном разложении периодических несинусоидальных сигналов
Дано обгронтування для Фур’є-комбiнованого сингуларисного розкладання перiодичних несинусоїдальних сигналiв.
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/19775 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О Фурье-комбинированном сингуларисном разложении периодических несинусоидальных сигналов / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2010. — № 3. — С. 41-44. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-19775 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-197752011-05-13T12:03:57Z О Фурье-комбинированном сингуларисном разложении периодических несинусоидальных сигналов Божко, А.Е. Інформатика та кібернетика Дано обгронтування для Фур’є-комбiнованого сингуларисного розкладання перiодичних несинусоїдальних сигналiв. The substantiation of a Fourier-combined singularisnal expansion of periodic nonsinusoidal signals is given. 2010 Article О Фурье-комбинированном сингуларисном разложении периодических несинусоидальных сигналов / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2010. — № 3. — С. 41-44. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/19775 621.3(075.8) ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика |
| spellingShingle |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Божко, А.Е. О Фурье-комбинированном сингуларисном разложении периодических несинусоидальных сигналов Доповіді НАН України |
| description |
Дано обгронтування для Фур’є-комбiнованого сингуларисного розкладання перiодичних несинусоїдальних сигналiв. |
| format |
Article |
| author |
Божко, А.Е. |
| author_facet |
Божко, А.Е. |
| author_sort |
Божко, А.Е. |
| title |
О Фурье-комбинированном сингуларисном разложении периодических несинусоидальных сигналов |
| title_short |
О Фурье-комбинированном сингуларисном разложении периодических несинусоидальных сигналов |
| title_full |
О Фурье-комбинированном сингуларисном разложении периодических несинусоидальных сигналов |
| title_fullStr |
О Фурье-комбинированном сингуларисном разложении периодических несинусоидальных сигналов |
| title_full_unstemmed |
О Фурье-комбинированном сингуларисном разложении периодических несинусоидальных сигналов |
| title_sort |
о фурье-комбинированном сингуларисном разложении периодических несинусоидальных сигналов |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Інформатика та кібернетика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/19775 |
| citation_txt |
О Фурье-комбинированном сингуларисном разложении периодических несинусоидальных сигналов / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2010. — № 3. — С. 41-44. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT božkoae ofurʹekombinirovannomsingularisnomrazloženiiperiodičeskihnesinusoidalʹnyhsignalov |
| first_indexed |
2025-07-02T20:36:25Z |
| last_indexed |
2025-07-02T20:36:25Z |
| _version_ |
1836568895739133952 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
3 • 2010
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 621.3(075.8)
© 2010
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко
О Фурье-комбинированном сингуларисном разложении
периодических несинусоидальных сигналов
Дано обгронтування для Фур’є-комбiнованого сингуларисного розкладання перiодичних
несинусоїдальних сигналiв.
В работах [1, 2] представлены сингуларисные разложения скачкообразной функции 1(t) =
=
{
1 при t > 0
0 при t < 0
}
в виде
U1(t) = U
(
1− e−αt + e−αt
n
∑
k=1
Uak cosωkt
)
, (1)
где α — коэффициент затухания; t — время; ωk — круговая частота k-й гармоники; Ua1 —
амплитуда k-й гармоники; Ua1 = 1/π, Uak = Ua1/k, k = ωk/ω1,
n
∑
k=1
Uak = 1, n ≈ 12, и функ-
ции Ua sin(ωt± ϕ) в виде
Ua sin(ωt± ϕ) = ±Ua(1− e−αt) sin(ωt± ϕ) + Uae
−αt sin(±ϕ)
n
∑
k=1
Uak cosωkt, (2)
где ϕ — угол сдвига.
В этих разложениях коэффициент α значительно больше коэффициента затухания
электрической цепи с реактивными элементами. При α = ∞ выражения (1) и (2) при-
нимают вид U1(t) и Ua sin(ωt ± ϕ) соответственно. При t = ∞ (установившийся режим
функционирования системы) (1) = U1(t) и (2) = Ua sin(ωt ± ϕ).
Известно [3, 4], что периодические функции с периодом 2π, удовлетворяющие условиям
Дирихле, можно разложить в ряд Фурье. Так в работе [4] формулой (7.4) представлен
следующий ряд Фурье:
f(ωt) = A0 +A1 sin(ωt+ ϕ1) +A2 sin(2ωt+ ϕ2) + · · · = A0 +
∞
∑
s=1
As sin(sωt+ ϕs). (3)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №3 41
Рис. 1
В этой же работе приведены графики однополупериодных одно-, двух- и трехфазных им-
пульсов на выходе выпрямителей.
Однополупериодные однофазные (полусинусоидальные) импульсы в Фурье-разложении
имеют вид [4]
f1(ωt) =
2am
π
(
1
2
+
π
4
cosωt+
1
1 · 3
cos 2ωt−
1
3 · 5
cos 4ωt+
1
5 · 7
cos 6ωt− · · ·
)
. (4)
Зная [3], что cos x = sin(π/2 − x) = − sin(x − π/2), выражение (4) запишем в следующей
форме:
f1(ωt) =
2am
π
[
1
2
−
π
4
sin
(
ωt−
π
2
)
−
1
1 · 3
sin
(
2ωt−
π
2
)
+
1
3 · 5
sin
(
4ωt−
π
2
)
−
−
1
5 · 7
sin
(
6ωt−
π
2
)
+ · · ·
]
. (5)
Как видим, выражения (3) и (5) по форме подобны.
Далее сделаем акцент на выражении (3). Сигнал, записываемый в виде (3), представляет
собой полигармонический сигнал с постоянной составляющей. Структурная схема этого сиг-
нала изображена на рис. 1, где См — сумматор; О — объект (схема, цепь и т. д.), на который
подается полигармонический сигнал (3). В работах [5, 6] представлено явление автоматичес-
кой реструктуризации в электрических цепях с реактивными элементами и в механических
колебательных системах при входных полигармонических напряжениях и силовых воздей-
ствиях соответственно, т. е. в этих объектах каждой входной гармонике соответствует свое
реактивное сопротивление [7]. При линейности объекта действует принцип суперпозиции [2],
а это значит, что каждая составляющая сигнала, описываемого выражением (3), вызывает
в объекте соответствующие ей переходной и установившиеся процессы. Как видно из (3),
при подаче сигнала (3) на объект в момент t = 0
f(0) = A0 +
∞
∑
s=1
As sinϕs. (6)
Сигнал, описываемый выражением (6), представляет собой комбинированный импульс,
который можно записать в виде
f(0) = A01(t) +
∞
∑
s=1
As1(t) sinϕs. (7)
С учетом (7) Фурье-разложение (3) представим следующим соотношением:
f(ωt) = A01(t) +
∞
∑
s=1
As1(t) sin(sωt+ ϕs). (8)
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №3
Из (8) видно, что к этому Фурье-разложению можно применить сингуларисные разло-
жения (1) и (2) соответственно к A01(t) и к
∞
∑
s=1
As1(t) sin(sωt+ ϕs). Тогда (8) с учетом (1)
и (2) будет иметь вид
f(ωt) = A0
(
1− e−αt + e−αt
n
∑
k=1
Uak cosωkt
)
+
+
∞
∑
s=1
[
As(1− e−αt) sin(sωt+ ϕs) +Ase
−αt sinϕs
n
∑
k=1
Uak cosωkt
]
. (9)
В (9) сгруппируем однородные члены. Тогда (9) представим в виде
f(ωt) = (1− e−αt)
[
A0 +
∞
∑
s=1
As sin(sωt+ ϕs)
]
+
+
(
e−αt
n
∑
k=1
Uak cosωkt
)(
A0 +
∞
∑
s=1
As sinϕs
)
. (10)
Выражения (9) приобретают Фурье-комбинированное сингуларисное разложение пе-
риодической несинусоидальной функции f(ωt). Такое название, считает автор, может войти
в практику математического описания периодических несинусоидальных функций. Заме-
тим, что при α = ∞ f(ωt) = (3), при t = 0 f(0) = (6), т. е. при принятых условиях
выражение (9) соответствует (3).
Реакция объекта, например электрической цепи с реактивными элементами, на сигнал
в виде (9) представляет собой комбинацию переходных и установившихся процессов от
каждой s-й гармоники и от постоянного сигнала A0, который также своими затухающи-
ми гармониками e−αt
n
∑
k=1
Uak cosωkt вызывает в указанной электроцепи автоматическую
реструктуризацию на время tp ≈ 4,6
1
α
. На подобные гармоники, имеющиеся в выраже-
нии e−αt sinϕs
n
∑
k=1
Uak cosωkt, указанная цепь также автоматически реструктуризируется и
в ней возникает на время tp ≈ 4,6
1
τ
дополнительный (скоротечный) переходный процесс.
Таким образом, в работе представлено математическое описание нового разложения
периодических несинусоидальных сигналов, названного автором Фурье-комбинированным
сингуларисным разложением.
1. Божко А.Е. Аргументированная детализация новой концепции о переходных процессах в электро-
цепях // Доп. НАН України. – 2007. – № 6. – С. 81–87.
2. Божко А. Е. О сингуларисном разложении скачкообразной функции // Там само. – 2008. – № 2. –
С. 42–47.
3. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. – Москва: ГИТТЛ, 1956. – 608 с.
4. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – Москва: Высш. шк., 1978. – 528 с.
5. Божко А.Е. Об автоматической реструктуризации электрических цепей с реактивными элементами
при полигармонических входных сигналах // Доп. НАН України. – 2002. – № 11. – С. 101–103.
6. Божко А. Е. Эффект автоматической реструктуризации механических систем, работающих в усло-
виях действия полигармонических вибраций и ударов // Там само. – 2005. – № 1. – С. 47–49.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №3 43
7. Божко А. Е. Об условных сопротивлениях электроцепей при полигармонических входных сигналах //
Там само. – 2007. – № 2. – С. 87–95.
Поступило в редакцию 01.04.2008Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
Corresponding Member of the NAS of Ukraine A.E. Bozhko
On a Fourier-combined singularisnal expansion of periodic nonsinusoidal
signals
The substantiation of a Fourier-combined singularisnal expansion of periodic nonsinusoidal signals
is given.
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №3
|