Начально-краевые задачи с поверхностной диссипацией энергии

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2008
1. Verfasser:	Андронова, О.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2008
Schriftenreihe:	Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/19979
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Начально-краевые задачи с поверхностной диссипацией энергии / О.А. Андронова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 13-25. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-19979
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-199792011-05-20T12:04:36Z Начально-краевые задачи с поверхностной диссипацией энергии Андронова, О.А. 2008 Article Начально-краевые задачи с поверхностной диссипацией энергии / О.А. Андронова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 13-25. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/19979 517.9:532 ru Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
format	Article
author	Андронова, О.А.
spellingShingle	Андронова, О.А. Начально-краевые задачи с поверхностной диссипацией энергии Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины
author_facet	Андронова, О.А.
author_sort	Андронова, О.А.
title	Начально-краевые задачи с поверхностной диссипацией энергии
title_short	Начально-краевые задачи с поверхностной диссипацией энергии
title_full	Начально-краевые задачи с поверхностной диссипацией энергии
title_fullStr	Начально-краевые задачи с поверхностной диссипацией энергии
title_full_unstemmed	Начально-краевые задачи с поверхностной диссипацией энергии
title_sort	начально-краевые задачи с поверхностной диссипацией энергии
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2008
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/19979
citation_txt	Начально-краевые задачи с поверхностной диссипацией энергии / О.А. Андронова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 13-25. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
series	Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины
work_keys_str_mv	AT andronovaoa načalʹnokraevyezadačispoverhnostnojdissipaciejénergii
first_indexed	2025-07-02T20:43:02Z
last_indexed	2025-07-02T20:43:02Z
_version_	1836569311166070784
fulltext	ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2008. Том 16 УДК 517.9:532 c©2008. О.А. Андронова НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ С ПОВЕРХНОСТНОЙ ДИССИПАЦИЕЙ ЭНЕРГИИ В работе методами функционального анализа изучается линейная начально-краевая задача ма- тематической физики с поверхностной диссипацией энергии, а также ее абстрактный аналог с использованием абстрактной формулы Грина для тройки гильбертовых пространств, приводятся приложения полученых результатов. Введение. Автор данной работы и его научный руководитель проф. Копачев- ский Н.Д. познакомились с проблемой исследования эволюции динамических систем с поверхностной диссипацией энергии на лекции проф. Чуешова И.Д. на 15 Крым- ской осенней математической школе-симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам (КРОМШ – 2004, Ласпи-Батилиман). 1. Об абстрактной формуле Грина для тройки гильбертовых простран- ств. Пусть Ω – произвольная область в Rm с достаточно гладкой границей Γ := ∂Ω. Для произвольных функций η(x) ∈ C1(Ω) и u(x) ∈ C2(Ω) имеет место формула Грина для оператора Лапласа 4 := m∑ k=1 ∂2 ∂x2 k : ∫ Ω η(u−4u) dΩ = ∫ Ω (ηu +∇η · ∇u) dΩ− ∫ Γ η ∂u ∂n dΓ, (1) где ∂ ∂n – производная по внешней нормали к Γ. Если ввести в рассмотрение гильбертовы пространства L2(Ω),H1(Ω) и L2(Γ) с соответствующими скалярными произведениями, то формулу (1) можно переписать в виде (η, u−4u)L2(Ω) = (η, u)H1(Ω) − ( γη, ∂u ∂n ) L2(Γ) , γη := η\|Γ. (2) Эта формула допускает обобщения, во-первых, на случай менее гладких функций u(x), во-вторых, на случай липшицевой границы ∂Ω, а в-третьих – на случай про- извольной тройки гильбертовых пространств E, F и G и абстрактного оператора следа γ. Впервые такая абстрактная формула появилась в монографии ([1], с.46- 47), и идея ее получения принадлежит С. Г. Крейну. Затем появились работы [2]–[4], где соответствующее утверждение было получено в наиболее общей формулировке. (Другой вариант абстрактной формулы Грина см. в [5], с.187-189.) Приведем формулировку соответствующего результата. Теорема 1. Пусть для тройки гильбертовых пространств {E, (·, ·)E}, {F, (·, ·)F }, {G, (·, ·)G} 13 О.А. Андронова выполнены условия: 1. Пространство F плотно вложено в E, F ⊂→ E, т.е. F плотно в E и ‖u‖E 6 a‖u‖F , ∀u ∈ F. (3) 2. На пространстве F определен оператор γ (абстрактный оператор следа), ограниченно действующий из F в G, причем γ отображает F на плотное множе- ство R(γ) =: G+ пространства G, G+ ⊂→ G, и ‖γu‖G 6 b‖u‖F , ∀u ∈ F. (4) Тогда существуют операторы L : F → F ∗ и ∂ : F → G− := (G+)∗, определяемые по E, F и G (с введенными скалярными произведениями), а также по оператору γ единственным образом, такие, что имеет место следующая формула Грина 〈η, Lu〉E = (η, u)F − 〈γη, ∂u〉G, ∀η, u ∈ F. (5) Здесь символами 〈η, ψ〉E и 〈ξ, ϕ〉G обозначены линейные функционалы, построенные на элементах η ∈ F, ψ ∈ F ∗, ξ ∈ G+ и ϕ ∈ G−, соответственно. Они являются соот- ветствующими расширениями (по непрерывности) функционалов (η, ψ)E и (ξ, ϕ)G при переходе от ψ ∈ E к ψ ∈ F ∗ ⊃ E, а также от ϕ ∈ G к ϕ ∈ (G+)∗, соответственно. Для E = L2(Ω), F = H̃1(Ω), G = L2(Γ) из теоремы 1 получаем следующий результат. Теорема 2. Для тройки гильбертовых пространств L2(Ω), H̃1(Ω)(см. ниже) и L2(Γ) с соответствующими скалярными произведениями и для оператора следа γ : H̃1(Ω) → L2(Γ), определяемого по закону γu := u\|Γ, u ∈ H̃1(Ω), (6) имеет место формула Грина 〈η,−4u〉Ω = (η, u)1,Ω − 〈γη, ∂u ∂n + γu〉 Γ , ∀η, u ∈ H̃1(Ω). (7) Здесь H̃1(Ω) – пространство со скалярным произведением (u, v)1,Ω = ∫ Ω ∇u · ∇v dΩ + ∫ Γ u · v dΓ. (8) Из теорем вложения и теорем о следах для областей Ω с липшицевой границей ∂Ω следует, что норма в H̃1(Ω) эквивалентна стандартной норме пространства H1(Ω), т.е. норме ‖u‖2 H1(Ω) := ∫ Ω ( \|∇u\|2 + \|u\|2 ) dΩ. (9) 14 Начально-краевые задачи с поверхностной диссипацией энергии Теорема 2 есть прямое следствие введенных пространств, оператора следа (6), общей теоремы 1, а также формулы (5). 2. Формулировка абстрактной начально-краевой задачи с поверхност- ной диссипацией энергии. Пусть E,F и G, а также оператор γ : F → G удо- влетворяют условиям теоремы 1 и потому существуют операторы L : F → F∗ и ∂ : F→ (G+)∗ такие, что справедлива формула Грина (5). Формулировка абстрактной начально-краевой задачи имеет следующий вид. Необ- ходимо найти функцию u = u(t) со значениями в F такую, для которой выполнено гиперболическое уравнение d2u dt2 + Lu = f(t) (вE), (10) граничное условие ∂u + α d dt (γu) = 0 (вG ), α > 0, (11) а также начальные условия u(0) = u0, u′(0) = u1. (12) Здесь L, γ и ∂ – операторы, фигурирующие в формуле Грина (5). Если E = L2(Ω), F = H̃1(Ω), G = L2(Γ), то в этом случае Lu = −4u, ∂u = ∂u ∂n + γu. (13) Таким образом, задача (14)–(16) ∂2u ∂t2 −4u = f(t, x), x ∈ Ω, (14) ∂u ∂n + u + α ∂u ∂t = 0, x ∈ Γ, α > 0, (15) u(0, x) = u0(x), ∂u ∂t (0, x) = u1(x), x ∈ Ω, (16) есть частный случай абстрактной задачи (4)–(6) при E = L2(Ω), F = H̃1(Ω), G = L2(Γ), γu := u\|Γ. Выведем закон баланса полной энергии для тех решений задачи (4)–(6), для которых все слагаемые в (4), (5) являются непрерывными функциями t. В итоге получаем тождество d dt { 1 2 ∥∥∥∥ du dt ∥∥∥∥ 2 E + 1 2 ‖u(t)‖2 F } = −α ∥∥∥∥ d dt (γu) ∥∥∥∥ 2 G + ( f(t), du dt ) E . (17) Отсюда при f(t) ≡ 0 следует, что полная энергия системы, т.е. сумма в фигурных скобках в левой части соотношения (17), убывает за счет диссипативных процессов, проходящих в пространстве G (поверхностная диссипация). 15 О.А. Андронова 3. Вспомогательные абстрактные краевые задачи. Рассмотрим вспомо- гательные абстрактные краевые задачи. Примеры таких задач, основанных на аб- страктной формуле Грина, изучены в [2]–[4]. Первая вспомогательная задача (абстрактный аналог задачи Неймана для урав- нения Пуассона): по элементу f найти решение v задачи Lv = f (вE ), ∂v = 0 (вG ). (18) Определение 1. Будем говорить, что элемент v ∈ F является слабым решением задачи (12), если имеет место тождество (η, v)F = 〈η, f〉E , ∀η ∈ F. (19) Лемма 1. При любом f ∈ F ∗ существует единственное слабое решение v = A−1f задачи (12). Для этого слабого решения первое соотношение (12) выполнено не в E, а в F ∗ ⊃ E. Соответственно краевое условие (12) выполнено в (G+)∗ ⊃ G. Оператор A является оператором гильбертовой пары пространств (F ;E), для него D(A) = F, R(A) = F ∗. Сужение оператора A, такое, что R(A) = E, является неограниченным положительно определенным оператором, заданным на области определения, плотной в F ⊂ E. При этом D(A1/2) = F и 〈η, Av〉E = (η, v)F = ( A1/2η,A1/2v ) E , ∀η, v ∈ F. (20) Если F компактно вложено в E, то оператор A : D(A) ⊂ E → E имеет дискрет- ный спектр {λk(A)}∞k=1, состоящий из положительных конечнократных собствен- ных значений с предельной точкой λ = +∞. Обратный оператор A−1 : F ∗ → F ограничен. Если F компактно вложено в E, то A−1 : E → E является компактным положительным оператором. Доказательство. Оно приведено в работе [2], см. также [3]. ¤ Отметим еще, что по оператору A можно построить шкалу пространств Eα, −∞ < α < ∞, таким образом, что E0 = E, E1/2 = F, E−1/2 = F∗. Заметим также, что при f ∈ E решение v = A−1f задачи (12) называют обоб- щенным. При этом R(A) = E, а A−1R(A) = D(A) плотна в F = D(A1/2). Вторая вспомогательная задача (абстрактный аналог задачи Неймана для урав- нения Лапласа): по элементу ψ найти решение задачи Lw = 0 (вE ), ∂w = ψ (вG ). (21) Определение 2. Говорят, что элемент w ∈ F является слабым решением задачи (15), если для него выполнено тождество (η, w)F = 〈γη, ψ〉G, ∀η ∈ F. (22) 16 Начально-краевые задачи с поверхностной диссипацией энергии Отметим, что здесь определения слабых решений первой и второй вспомогатель- ных задач непосредственно следуют из формулы Грина (5) и соотношений (12), (15). Лемма 2. При любом элементе ψ ∈ (G+)∗ существует единственное слабое решение w = V ψ ∈ F . При этом оператор V ограниченно действует из (G+)∗ в подпространство M ⊂ F элементов, которые назовем L-гармоническими (для них Lw = 0). Доказательство. Оно основано на неравенстве \|〈γη, ψ〉G\| 6 ‖γη‖G+ · ‖ψ‖(G+)∗ 6 ( b ‖ψ‖(G+)∗ ) · ‖η‖F и на лемме Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом простран- стве F. ¤ Лемма 3. Любой элемент u ∈ F может быть представлен в виде суммы решений первой и второй вспомогательных задач (12) и (15), т.е. в виде u = v + w = A−1f + V ψ, f = Lu ∈ F ∗, ψ = ∂u ∈ (G+)∗. (23) Доказательство. Оно приведено в работе [3], см. теорему 2 и замечание 1 этой работы. ¤ 4. Переход к задаче Коши для дифференциального уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве. Такой переход от задачи (4)–(6) можно осуществить, считая, что искомая функция u(t) является функцией переменной t со значениями в F, и опираясь на формулу (23) и операторы A и V вспомогательных абстрактных краевых задач (12) и (15). Имеем u = v + w = A−1f̂ + V ψ̂, f̂ = Lu = f(t)− d2u dt2 , ψ̂ = −α d dt (γu) . Это приводит к уравнению вида A−1 d2u dt2 + αV d dt (γu) + u = A−1f(t) (вF ), (24) а после замены u(t) = A−1/2η(t) (25) и формального применения слева в (20) оператора A1/2 – к уравнению A−1/2 d2 dt2 ( A−1/2η ) + αQ∗ d dt (Qη) + η = A−1/2f(t) (вE ), (26) Q := γA−1/2 : E→ G+, Q∗ := A1/2V : (G+)∗ → E (27) и начальным условиям η(0) = A1/2u0, η′(0) = A1/2u1. (28) 17 О.А. Андронова Возникла абстрактная задача Коши для линейного полного (при α > 0) диф- ференциального уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве E. При α = 0 она преобразуется в задачу Коши для гиперболического уравнения. Замечание 1. Можно показать, что операторы Q и Q∗ взаимно сопряжены и ограничены. А если G+ компактно вложено в G, то оператор Q : E → G компактен. При этом сужение Q∗\|G – также компактный оператор. Поэтому B := Q∗Q : E → E является неотрицательным (самосопряженным) оператором. В этом случае KerB = KerQ =: E0 = A1/2N := {η ∈ E : η = A1/2u, u ∈ F, γu = 0}, (29) а на ортогональном дополнении E1 := E ª E0, dimE1 = ∞ оператор B\|E1 положителен. Если G+ компактно вложено в G, то B\|E1 компак- тен и потому его спектр состоит из конечнократных положительных собственных значений {λk(B)}∞k=1 с предельной точкой в нуле. Итак, исходная задача (4)–(6) приведена к задаче Коши (26)–(28), а свойства опе- раторных коэффициентов уравнения (26) описаны в лемме 1 и замечании 1. Именно эта задача и будет предметом дальнейших исследований. 5. Применение теории сжимающих полугрупп. Осуществим переход от за- дачи (26)–(28) к задаче Коши для линейного дифференциального уравнения перво- го порядка с операторным коэффициентом, являющимся генератором сжимающей полугруппы. Это позволит доказать теорему о корректной разрешимости задачи (26)–(28), а затем и исходной задачи (4)–(6). Преобразуем задачу (26)–(28), приведя ее к системе двух дифференциальных уравнений следующим образом. Введем новую искомую функцию ζ(t) соотношени- ями −iη = dζ dt , ζ(0) = 0, (30) а затем продифференцируем это уравнение. Тогда d2ζ dt2 + i dη dt = 0, ζ ′(0) = −iη0 = −iA1/2u0. (31) Запишем теперь (26) с учетом (30), (26) в виде системы уравнений, которая в векторно- матричной форме принимает вид ( A−1/2 0 0 I ) d2 dt2 [( A−1/2 0 0 I )( η ζ )] + ( αB iI iI 0 ) d dt ( η ζ ) = ( A−1/2f 0 ) . (32) Начальные условия для уравнения (32) таковы: (η(0); ζ(0))t = ( A1/2u0; 0 )t , ( η′(0); ζ ′(0) )t = ( A1/2u1;−iA1/2u0 )t . (33) 18 Начально-краевые задачи с поверхностной диссипацией энергии Введем в (32), (33) обозначения y(t) := ( dη dt ; dζ dt )t , f0(t) := (A−1/2f ; 0)t, A−1/2 := ( A−1/2 0 0 I ) , B := ( αB iI iI 0 ) . (34) Тогда задача (32), (33) принимает вид A−1/2 d dt ( A−1/2y ) + By = f0(t), y(0) = y0 := (A1/2u1;−iA1/2u0)t. (35) Осуществим здесь замену искомой функции по формуле z(t) := A−1/2y(t). (36) После применения слева в (35) оператора A1/2 возникает задача Коши dz dt = −A1/2BA1/2z(t) +A1/2f0(t), z(0) = (u1;−iA1/2u0), A1/2f0(t) = (f(t); 0)t. (37) Таким образом, проведенные формальные преобразования позволили перейти от задачи Коши (26)–(28) для полного линейного дифференциального уравнения вто- рого порядка, рассматриваемого в пространстве E и не разрешенного относительно старшей производной, к задаче Коши в пространстве E 2 := E ⊕ E для уравнения первого порядка с одним операторным коэффициентом — операторной матрицей AB := A1/2BA1/2 = ( A1/2 0 0 I )( αB iI iI 0 )( A1/2 0 0 I ) . (38) Это позволит применить к задаче (37) теорию сжимающих полугрупп операторов (см., например, [6]). Заметим сначала, что операторная матрица B из (34) является ограниченным и ограниченно обратимым оператором, так как оператор B = Q∗Q ограничен и B−1 = ( 0 −iI −iI αB ) . (39) Поэтому оператор AB из (38) имеет ограниченный обратный A−1 B := A−1/2B−1A−1/2 = ( A−1/2 0 0 I )( 0 −iI −iI αB )( A−1/2 0 0 I ) , (40) а потому он задан на всем пространстве E 2. Отсюда следует, что D(AB) = R(A−1 B ), R(AB) = D(A−1 B ) = E 2. (41) 19 О.А. Андронова Кроме того, оператор AB является аккретивным, т.е. Re(ABz, z)E2 = ( αB(A1/2z1), (A1/2z1) ) E = α ∥∥∥QA1/2z1 ∥∥∥ 2 E > 0, ∀z =(z1; z2) t ∈ D(AB). (42) Из (41) и (28) следует, что оператор −AB является максимальным диссипативным оператором на области определения (41). Значит, этот оператор – генератор сжима- ющей полугруппы операторов U(t) := exp(−tAB), через которую можно выразить решение задачи (37). Далее понадобится следующий общий факт. Теорема Р.С. Филлипс. Пусть в задаче Коши du dt = Au + f(t), u(0) = u0, t > 0, (43) рассматриваемой для функций u(t) со значениями в банаховом пространстве E, оператор A является генератором сильно непрерывной полугруппы (C0 – полугруп- пы) операторов U(t) и выполнены условия u0 ∈ D(A), f(t) ∈ C1([0, T ]; E). (44) Тогда задача (29) имеет единственное сильное решение u(t) на отрезке [0, T ], и оно выражается формулой u(t) = U(t)u0 + ∫ t 0 U(t− s)f(s)ds. (45) Отметим, что сильным решением задачи (29) на отрезке [0, T ] называют такую функцию u(t), для которой все слагаемые в уравнении (29) являются непрерывными функциями t при t ∈ [0, T ]. Опираясь на теорему Филлипса и условия (44), сформулируем условия, обеспе- чивающие существование сильного решения задачи (37). Из второго условия (44) получаем требование f(t) ∈ C1([0, T ];E) (46) для правой части уравнения (4). Далее, условие z(0) = (u1;−iA1/2u0) t ∈ D(A1/2BA1/2). приводит к соотношениям A1/2u1 ∈ E, αBA1/2u1 + A1/2u0 ∈ D(A1/2). Теорема 3. Если выполнены условия: 10. f(t) ∈ C1([0, T ]; E), 20 Начально-краевые задачи с поверхностной диссипацией энергии 20. u1 ∈ D(A1/2) = F, 30. αV γu1 + u0 ∈ D(A), то задача Коши (37) имеет единственное сильное решение z(t) на отрезке [0, T ]. Замечание 2. Условие 30 теоремы 3 говорит о том, что начальные данные в за- даче (37) должны быть согласованы для того, чтобы существовало сильное решение этой задачи. Если воспользоваться, согласно лемме 3, представлением u0 = v0 + w0 и вспомнить, что по непрерывности при t → 0 должно быть w0 = −αV γu1, то требование 30 cводится к естественному условию u0 − w0 = v0 ∈ D(A). (47) 6. Теорема о сильной разрешимости абстрактной начально-краевой за- дачи. Рассмотрим сначала вопрос о разрешимости начально-краевой задачи (26)– (28). Определение 3. Будем говорить, что задача (26)–(28) имеет на отрезке [0, T ] сильное решение со значениями в D(A1/2) = F , если в уравнении (26) слагаемое A−1/2 d2 dt2 (A−1/2η) и сумма αQ∗ d dt (Qη) + η являются непрерывными функциями t ∈ [0, T ] со значениями в F , выполнено уравнение (26) при t ∈ [0, T ], а также начальные условия (28). Из теоремы 3 получаем следующий результат. Теорема 4. Если выполнены условия 10 − 30 теоремы 3, то задача (26)–(28) имеет единственное сильное решение на отрезке [0, T ]. Доказательство. Пусть выполнены условия 10 − 30 теоремы 3. Тогда задача Коши (37) имеет единственное сильное решение z(t) на отрезке [0, T ]. Это означает, что функции z1(t) и z2(t) удовлетворяют системе уравнений dz1 dt + A1/2(αBA1/2z1 + iz2) = f(t), dz2 dt + iA1/2z1 = 0 (48) и начальным условиям z1(0) = u1, z2(0) = −iA1/2u0. (49) При этом в уравнениях (34) все слагаемые являются непрерывными функциями t ∈ [0, T ] со значениями в E, в частности, z1(t) ∈ C([0, T ];D(A1/2)) ∩ (C1[0, T ];E), z2(t) ∈ C1([0, T ];E), αBA1/2z1(t) + iz2(t) ∈ C([0, T ];E). (50) Осуществляя в (34) обратные замены (см. (36), (34)), т.е. z1(t) = A−1/2 dη dt , z2(t) = dζ dt , (51) будем иметь систему уравнений d dt ( A−1/2 dη dt ) + A1/2 ( αB dη dt + i dζ dt ) = f(t), d2ζ dt2 + i dη dt = 0 (52) 21 О.А. Андронова и начальных условий (см. (28), (30), (26)) η(0) = A1/2u0, ζ(0) = 0, η′(0) = A1/2u1, ζ ′(0) = −iA1/2u0. (53) Из второго уравнения (38) с учетом условий для η(0) и ζ ′(0) будем иметь dζ dt + iη(t) = 0, ζ(t) ∈ C2([0, T ];E), η(t) ∈ C1([0, T ];E). (54) Подставляя dζ/dt в первое уравнение (38), получим, что задача Коши d dt ( A−1/2 dη dt ) + A1/2 ( αB dη dt + η(t) ) = f(t), η(0) = A1/2u0, η′(0) = A1/2u1, (55) имеет единственное сильное решение η(t), причем все слагаемые (55) являются эле- ментами из C([0, T ];E). В частности, αB dη dt + η(t) ∈ C([0, T ];D(A1/2)), (56) в то время как каждое слагаемое в этой сумме является, вообще говоря, элементом из C([0, T ],E). Применяя слева в (55) (ограниченный) оператор A−1/2, получим уравнение A−1/2 d dt ( A−1/2 dη dt ) + ( αB dη dt + η ) = A−1/2f(t), (57) где все слагаемые, в том числе и сумма в скобке – это элементы из C([0, T ];D(A1/2)) = C([0, T ];F). Убедимся теперь, что решение η(t) уравнения (57) является также решением со значениями в F задачи (26)–(28). Это можно доказать, так как имеют место тождества d dt ( A−1/2 dη dt ) ≡ d2 dt2 (A−1/2η), Q dη dt ≡ d dt (Qη). (58) Этим теорема полностью доказана. ¤ Опираясь на этот результат, докажем основное утверждение, связанное с разре- шимостью задачи (4)–(6). Определение 4. Будем говорить, что функция u(t) является сильным решением задачи (4)–(6) на отрезке [0, T ], если u(t) ∈ C2([0, T ]; E) ∩ C1([0, T ]; F ) (59) и для нее выполнено уравнение (4), где каждое слагаемое является элементом из C([0, T ]; E), граничное условие (5), где каждое слагаемое является элементом из C([0, T ]; G+), а также начальные условия (6). Теорема 5. Если выполнены условия 10−30 теоремы 3, то задача (4)–(6) имеет единственное сильное решение на отрезке [0, T ]. 22 Начально-краевые задачи с поверхностной диссипацией энергии Доказательство. Пусть выполнены условия 10 − 30 теоремы 3. Тогда справед- ливы утверждения теоремы 4, т.е. задача (26)–(28) имеет единственное сильное ре- шение на отрезке [0, T ] в смысле определения 3. Осуществим в (26)–(28) обратную замену (25), т.е. введем u(t) = A−1/2η(t). Тогда уравнение (26) приобретает вид A−1/2 d2u dt2 + ( αA1/2V d dt (γu) + A1/2u ) = A−1/2f(t), (60) а начальные условия (28) переходят в условия u(0) = u0, u′(0) = u1. (61) В уравнении (60) все слагаемые, в том числе и слагаемое в скобках, являют- ся, как следует из доказательства теоремы 4, элементами из C([0, T ];D(A1/2)). По- этому u(t) ∈ C2([0, T ];E). Кроме того, так как η(t) ∈ C1([0, T ];E) (см. (54)), то u(t) = A−1/2η(t) ∈ C1([0, T ]; F ), т.е. для u(t) выполнены свойства (59). Осталось лишь проверить, что для u(t) выполнено уравнение (4) и граничное условие (5) со свойствами, сформулированными в определении 4. Подействуем слева в (60) (ограниченным) оператором A−1/2. Тогда придем к уравнению A−1 d2u dt2 + ( αV d dt (γu) + u ) = A−1f(t), (62) a все слагаемые, в том числе и сумма в скобках, являются элементами из C([0, T ]; D(A)). Введем функции v(t) := A−1 ( f(t)− d2u dt2 ) , w(t) := −αV d dt (γu). (63) Тогда из (62) следует, что, во-первых, u(t) = v(t) + w(t), (64) во-вторых, v(t) ∈ C([0, T ];D(A)), w(t) ∈ C([0, T ];D(A1/2)). (65) Поэтому из соотношений (63) получаем, что для функций f(t), v(t) и w(t) справед- ливы связи (64) и d2u dt2 + Av = f(t), ∂w + α d dt (γu) = 0. (66) Здесь первое соотношение получено путем применения оператора A, что возможно в силу первого свойства (65), а второе – в силу определения оператора V второй кра- евой задачи ( см. (15)–(22)). Заметим теперь, что согласно определению оператора A (см. (12)–(20)), из первой формулы (66) следуют связи d2u dt2 + Lv = f(t), ∂v = 0. (67) 23 О.А. Андронова Далее, для элемента w, кроме (66), имеем также соотношение Lw = 0. (68) В первой формуле (67) каждое слагаемое, очевидно, является элементом из C([0, T ];E). Далее, во второй формуле (66) каждое слагаемое – элемент из C([0, T ];G+). В самом деле, так как u(t) ∈ C1([0, T ];F), то, согласно определению оператора γ, имеем γu ∈ C1([0, T ];G+), а потому d(γu)/dt ∈ C([0, T ];G+). Складывая теперь левые и правые части первой формулы (67) и формулы (68), а также вторые части формул (66) и (67), а затем используя связь (64), приходим к выводу, что функции u(t) удовлетворяет уравнению d2u dt2 + Lu = f(t), (69) где все слагаемые – элементы из C([0, T ];E), а также краевому условию ∂u + α d dt (γu) = 0, (70) где все слагаемые – элементы из C([0, T ];G+). Это полностью доказывает теорему. ¤ Опираясь на установленный общий факт, сформулируем итоговый результат ис- следования разрешимости исходной начально-краевой задачи математической фи- зики с поверхностной диссипацией энергии(см. (14)–(16)). Теорема 6. Пусть в начально-краевой задаче (14)–(16), рассматриваемой в об- ласти Ω ⊂ Rm с липшицевой границей Γ, выполнены условия: 10. f(t, x) ∈ C1([0, T ]; L2(Ω)); 20. u1(x) ∈ H̃1(Ω); 30. u0(x) = v0(x) + w0(x), v0(x) ∈ D(A) ⊂ H̃1(Ω), w0(x) = −αV γu1 ∈ H̃1 h(Ω). Тогда эта задача имеет единственное сильное решение на отрезке [0, T ], т.е. такую функцию u(t, x) ∈ C2([0, T ]; L2(Ω)) ∩ C1([0, T ]; H̃1(Ω)), для которой выполнено уравнение (14), где каждое слагаемое является элементом из C([0, T ]; L2(Ω)), граничное условие (15), где слагаемые являются элементами из C([0, T ];H1/2(Γ)), а также начальные условия (16). 7. Приложения. В общую абстрактную схему, разобранную выше, попадают задачи с равномерно эллиптическим формально самосопряженным дифференциаль- ным выражением, эволюционные задачи, содержащие сильно эллиптическую подси- стему дифференциальных выражений второго порядка, уравнения линейной теории упругости, задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии и стыковые задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии. Эти задачи являются частным случаем абстрактной задачи (4)–(6) в соответственно подобранных про- странствах. Можно доказать, что для них справедливы общие выводы работы. Автор благодарит научного руководителя проф. Копачевского Н.Д. за постанов- ку задачи, руководство работой и совместное творчество. 24 Начально-краевые задачи с поверхностной диссипацией энергии 1. Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи. – М.: Наука, 1989. – 416с. 2. Копачевский Н.Д., Крейн С.Г. Абстрактная формула Грина для тройки гильбертовых про- странств, абстрактные краевые и спектральные задачи // Украинский математ. вестник, Т.1, №1 (2004). – C.69-97. 3. Копачевский Н.Д. Абстрактная формула Грина для тройки гильбертовых пространств и ее приложения к задаче Стокса // Таврический вестник информатики и математики (ТВИМ), Симферополь, №2, 2004. – C.52-80. 4. Копачевский Н.Д. Абстрактная формула Грина и задача Стокса // Изв. вузов Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. – 2004. – Спецвыпуск. Нелинейные проблемы механики сплошных сред. 5. Обен Ж.-П. Приближенные решения эллиптических краевых задач. – М.: Мир, 1977. – 384с. 6. Голдстейн Дж. Полугруппы линейных операторов и их приложения. – Киев: Выща школа, 1989. – 347с. Таврический национальный ун-т им. В.И.Вернадского kopachevsky@tnu.crimea.ua; o.andronova@list.ru Получено 03.10.07 25 содержание Том 16 Донецк, 2008 Основан в 1997г. содержание Том 16 Донецк, 2008 Основан в 1997г.

Начально-краевые задачи с поверхностной диссипацией энергии

Institution

Ähnliche Einträge