Существование и несуществование слабого решения задачи Неймана для вырождающихся квазилинейных параболических уравнений в областях с некомпактной границей. Случай медленной диффузии

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2008
1. Verfasser:	Болдовская, О.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2008
Schriftenreihe:	Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/19981
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Существование и несуществование слабого решения задачи Неймана для вырождающихся квазилинейных параболических уравнений в областях с некомпактной границей. Случай медленной диффузии / О.М. Болдовская // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 33-54. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-19981
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-199812011-05-20T12:04:37Z Существование и несуществование слабого решения задачи Неймана для вырождающихся квазилинейных параболических уравнений в областях с некомпактной границей. Случай медленной диффузии Болдовская, О.М. 2008 Article Существование и несуществование слабого решения задачи Неймана для вырождающихся квазилинейных параболических уравнений в областях с некомпактной границей. Случай медленной диффузии / О.М. Болдовская // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 33-54. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/19981 517.946 ru Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
format	Article
author	Болдовская, О.М.
spellingShingle	Болдовская, О.М. Существование и несуществование слабого решения задачи Неймана для вырождающихся квазилинейных параболических уравнений в областях с некомпактной границей. Случай медленной диффузии Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины
author_facet	Болдовская, О.М.
author_sort	Болдовская, О.М.
title	Существование и несуществование слабого решения задачи Неймана для вырождающихся квазилинейных параболических уравнений в областях с некомпактной границей. Случай медленной диффузии
title_short	Существование и несуществование слабого решения задачи Неймана для вырождающихся квазилинейных параболических уравнений в областях с некомпактной границей. Случай медленной диффузии
title_full	Существование и несуществование слабого решения задачи Неймана для вырождающихся квазилинейных параболических уравнений в областях с некомпактной границей. Случай медленной диффузии
title_fullStr	Существование и несуществование слабого решения задачи Неймана для вырождающихся квазилинейных параболических уравнений в областях с некомпактной границей. Случай медленной диффузии
title_full_unstemmed	Существование и несуществование слабого решения задачи Неймана для вырождающихся квазилинейных параболических уравнений в областях с некомпактной границей. Случай медленной диффузии
title_sort	существование и несуществование слабого решения задачи неймана для вырождающихся квазилинейных параболических уравнений в областях с некомпактной границей. случай медленной диффузии
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2008
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/19981
citation_txt	Существование и несуществование слабого решения задачи Неймана для вырождающихся квазилинейных параболических уравнений в областях с некомпактной границей. Случай медленной диффузии / О.М. Болдовская // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 33-54. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
series	Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины
work_keys_str_mv	AT boldovskaâom suŝestvovanieinesuŝestvovanieslabogorešeniâzadačinejmanadlâvyroždaûŝihsâkvazilinejnyhparaboličeskihuravnenijvoblastâhsnekompaktnojgranicejslučajmedlennojdiffuzii
first_indexed	2025-07-02T20:43:09Z
last_indexed	2025-07-02T20:43:09Z
_version_	1836569318967476224
fulltext	ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2008. Том 16 УДК 517.946 c©2008. О.М. Болдовская СУЩЕСТВОВАНИЕ И НЕСУЩЕСТВОВАНИЕ СЛАБОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ КВАЗИЛИНЕЙ- НЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ОБЛАСТЯХ С НЕКОМ- ПАКТНОЙ ГРАНИЦЕЙ. СЛУЧАЙ МЕДЛЕННОЙ ДИФФУЗИИ В настоящей работе рассматривается начально-краевая задача Неймана для уравнения: ut = div(um−1\|Du\|λ−1Du)− up, с начальной функцией – мерой. Доказывается существование и несуществование слабого решения задачи в зависимости от ограничений на показатели, а также при дополнительных условиях на геометрию области. 1. Введение. Пусть Ω ∈ RN , N > 1, – неограниченная область с достаточно гладкой некомпактной границей ∂Ω и \|Ω\|N = mesNΩ = ∞. Не ограничивая общно- сти будем считать, что начало координат принадлежит Ω. Мы рассматриваем следующую начально-краевую задачу Неймана в QT = Ω × (0, T ), T > 0: ut = div(um−1\|Du\|λ−1Du)− up, в QT , (1.1) um−1\|Du\|λ−1 ∂u ∂ν = 0, на ∂Ω× (0, T ), (1.2) u(x, 0) = µ, x ∈ Ω, (1.3) где m + λ − 2 > 0, λ > 0, p > 1 и µ – неотрицательная конечная мера Радона, ν – внешняя единичная нормаль к ∂Ω. Основная цель этой работы касается существования и несуществования слабого решения u(x, t) задачи (1.1)–(1.3) в QT при дополнительных условиях на геометрию области. В [1] более 20 лет назад была рассмотрена задача Коши для полулинейного диф- фузионного уравнения с абсорбцией, с начальной мерой – δ(x) функцией Дирака: ut = 4u− \|u\|p−1u, в Q = RN ×R+, (1.4) u(x, 0) = δ(x), в RN , (1.5) где p > 0 – фиксированный параметр. Был установлен критический показатель p0 = 1 + 2 N такой, что: Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность А.Ф.Тедееву за постановку задачи и руководство работой. 33 О.М. Болдовская (i) при p < p0 существует единственное решение u ∈ C2,1(Q) ∩ Lp(Q), удовлетво- ряющее уравнению (1.4) в смысле распределения, а начальному условию (1.5) так, что: ess lim t→0 ∫ u(x, t) ϕ(x) dx = ϕ(0), ∀ϕ(x) ∈ C0(RN ); (1.6) (ii) для p ≥ p0 задача Коши не имеет решения u ∈ Lp loc(Q), удовлетворяющего (1.4), (1.6). Более того, если рассмотреть любую подходящую регулярную аппроксимацию uj(x, t) – классические ограниченные решения (1), с ограниченными начальными функциями u0j → δ(x), то uj(x, t) → 0 j→∞ равномерно на RN × [ε, T ], ∀ε > 0. Дру- гими словами, факт (ii) можно трактовать, что решение u(x, t) задачи (1.4), (1.5) имеет устранимую особенность в точке (0,0). Подобный результат об устранимой особенности для уравнения ut = div(\|∇u\|λ−1∇u)− \|u\|p−1u, где λ > 1, был получен в [2] при условии p ≥ λ + λ+1 N . Вопросы устранимости особенностей для параболического уравнения с абсорбцией более общего вида (с измеримыми коэффициентами) изучались в работе [3] при тех же ограничениях на критический показатель. Этот результат удалось распространить и на уравнения высокого порядка [4]. Данная работа близка по духу к работе [5], где изучена соответствующая (1.1)– (1.3) задача Коши. В [5] получены результаты существования и несуществования решения при точных ограничениях на p. Там же рассмотрен и случай быстрой диф- фузии, то есть при m + λ− 2 < 0 и λ > 0. Касаясь исследования начально-краевых задач в областях с некомпактными гра- ницами, отметим работы [6] (случай задачи Неймана), [7] (случай третьей краевой задачи) и [8] (случай задачи Дирихле). В этих работах изучался вопрос о качествен- ном поведении решений в зависимости от геометрии области. В дальнейшем мы будем предполагать, что Ω удовлетворяет условиям изопери- метрического типа, которые необходимы для теорем вложения [9]. Перейдем к точ- ному описанию класса областей, удовлетворяющих условиям изопериметрического типа. Введем функцию: l(v) = inf{\|∂G ∩ Ω\|N−1 : G ⊂ Ω, \|G\| = v, ∂G липшицева}. Пусть g(v), v ∈ (0,∞) – положительная непрерывная функция, и такая, что v(N−1)/N g(v) не убывает для всех v > 0. (1.7) Определение 1. Пусть Ω ⊂ RN , N ≥ 2 – неограниченная область с непрерывной по Липшицу границей ∂Ω, и \|Ω\|N = ∞. Будем говорить, что Ω принадлежит классу B(g) (Ω ∈ B(g)), если для всех v > 0 l(v) ≥ g(v), (1.8) 34 Существование и несуществование слабого решения задачи Неймана где g(v) > 0 удовлетворяет условию (1.7). Классы B(g) и близкие к ним были введены в работах [10], а также [6]. Геометрически области из класса B(g) харак- теризуются тем, что не сужаются на бесконечности. Типичным примером областей класса Ω является область типа бесконечного параболоида [6]: Пусть 0 ≤ h ≤ 1 – фиксированное число. Определим Ω = {x ∈ RN \| \|x′\| < xh N}, x′ = (x1, . . . , xN−1). Из результатов [9], глава 4, следует, что Ω ∈ B(g) с g(v) = γmin(v(N−1)N , vη), v > 0; η = h(N − 1) 1 + h(N − 1) ≤ N − 1 N . При N = 2 различные примеры рассмотрены в [10]. Определение 2. u(x, t) – слабое решение задачи (1.1)–(1.3), если u(x, t) ≥ 0 и u(x, t) ∈ C(0, T ; L1 loc(Ω)) ∩ L∞loc(Ω× (τ, T )), \|Du m+λ−1 λ \| ∈ Lλ+1 loc (Ω× (τ, T )); T∫ 0 ∫ Ω (−uξt + um−1 \|Du\|λ−1 Du Dξ + up ξ) dx dt = 0, ∀ξ ∈ C1 0 (RN × (τ, T )); lim t→0 ∫ Ω u(x, t) X(x) dx = ∫ Ω X(x) dµ, ∀X(x) ∈ C∞ 0 (RN ). Основным результатом данной работы являются Теорема 1. Пусть Ω ∈ B(g), µ – неотрицательная конечная мера Радона. Если p < m + λ− 1 + λ+1 N , тогда существует слабое решение задачи (1.1)–(1.3). Теорема 2. Пусть Ω ∈ B(g), µ = δ(x). Если p > m + λ− 1 + λ+1 N , тогда задача (1.1)–(1.3) не имеет решения . Основным инструментом доказательства являются комбинации локальных под- ходов работ [5], [6]. 2. Мультипликативное неравенство. Лемма 2.1. [11] Пусть Ω ∈ B(g), v ∈ Lβ(Ω) ∩ Lq(Ω), Dv ∈ (Lp(Ω))N , с p > 1, q ≥ 1, q > β > 0. Тогда E p q q ≤ γGp,q(E q q−β β E − β q−β q )Jp , (2.1) где Eq = ∫ Ω vq dx , Jp = ∫ Ω \|Dv\|p dx , Gp,q(z) = ( z g(z)) pz p q −1 и γ = γ(q, p, N, β). Лемма 2.2. [6] Пусть Ω ∈ B(g), v ∈ L∞((0, T );Lr(Ω)), Dv ∈ (Lp(Ω))N , с p > 1, r ≥ 1, и предполагаем, что sup (0,T ) \|supp v(·, t)\| < ∞. Тогда T∫ 0 ∫ Ω \|v\|p+ pr N dx dt 35 О.М. Болдовская ≤ γ sup 0<t<T [ ω(\|supp v(·, t)\|)p (∫ Ω \|v(x, t)\|r dx ) p N ] T∫ 0 ∫ Ω \|Dv\|p dx dt, (2.2) где γ = γ(p, r,N), ω : [0,∞) → [0,∞) – неубывающая функция: ω(z) = z1−1/N/g(z). Для неограниченных областей Ω, типа бесконечного конуса либо всего простран- ства, то есть Ω = RN , функция ω = const. Всюду в дальнейшем через γ, γi будем обозначать различные положительные постоянные, зависящие только от известных параметров задачи. 3. Доказательство теоремы 1. Обозначим Ωρ = Ω ∩ {\|x\| < ρ}, ρ > 0. Рас- смотрим последовательность решений un ≥ 0, n ≥ 1 следующих задач: unt = div(um−1 n \|Dun\|λ−1Dun)− up n, в Ωn × (0, T ), (3.1′) un = 0 в Ω ∩ ∂Ωn, (3.2′) um−1 n \|Dun\|λ−1 ∂un ∂ν = 0, на ∂Ω ∩ ∂Ωn, (3.3′) un(x, 0) = u0n, x ∈ Ωn. (3.4′) Здесь u0n ∈ C∞(Ωn), u0n → u0 в L1(Ω) ∩ Lq(Ω) (полагаем un = 0 вне Ωn, то есть un определены всюду на Ω × (0, T )). Из [12] следует, что вышеописанная задача Дирихле-Неймана имеет глобальное решение un (при любом фиксированном n). Пользуясь компактностью семейства решений un, мы можем перейти к пределу при n →∞ также как в [12–14]. Предельная функция будет решением следующей задачи Неймана: ut = div(um−1\|Du\|λ−1Du)− up, в Ω× (0, T ), (3.1′′) um−1\|Du\|λ−1 ∂u ∂ν = 0, на ∂Ω, (3.2′′) u(x, 0) = u0, x ∈ Ω, (3.3′′) где u0 ∈ C∞ 0 (Ω). Далее рассмотрим последовательность решений u(n) предыдущей задачи (u(n))t = div((u(n))m−1\|Du(n)\|λ−1Du(n))− (u(n))p, в Ω× (0, T ), (3.1) (u(n))m−1\|Du(n)\|λ−1 ∂u(n) ∂ν = 0, на ∂Ω, (3.2) u(n)(x, 0) = u (n) 0 , x ∈ Ω, (3.3) с u (n) 0 ∈ C∞ 0 (Ω): lim n→∞ ∫ Ω u(x, t) X(x) dx = ∫ Ω X(x) dµ, ∀X(x) ∈ C∞ 0 (RN ). Из [15] следует существование слабого решения задачи (3.1)–(3.3). 36 Существование и несуществование слабого решения задачи Неймана Для доказательства существования решения задачи (1.1)–(1.3) мы докажем ряд лемм, связанных с оценками аппроксимирующего решения u(n) задачи (3.1)–(3.3). Для удобства обозначений индекс у решения u(n) опустим. Лемма 3.1. Для ∀ρ > 0, α > 0 аппроксимационное решение u удовлетворяет неравенствам: T∫ 0 ∫ Ωρ up dx dt ≤ γ(ρ). (3.4) T∫ 0 ∫ Ωρ um+α−2 \|Du\|λ+1 (uα + 1)2 dx dt ≤ γ(ρ). (3.5) Доказательство. Умножим уравнение (3.1) на функцию uαψλ+1 uα+1 , где α > 0, ψ(x) ∈ C∞ 0 (RN ) и проинтегрируем по Ω× (0, T ): ∫ Ω u(x,T )∫ u(x,0) sα sα + 1 ds ψλ+1 dx + T∫ 0 ∫ Ω um−1 \|Du\|λ−1 Du D( uαψλ+1 uα + 1 ) dx dt + T∫ 0 ∫ Ω up uα uα + 1 ψλ+1 dx dt = 0. Тогда получим ∫ Ω u(x,T )∫ 0 sα sα + 1 ds ψλ+1 dx + T∫ 0 ∫ Ω um+α−2 \|Du\|λ+1 (uα + 1)2 ψλ+1 dx dt + T∫ 0 ∫ Ω up uα uα + 1 ψλ+1 dx dt ≤ γ (∫ Ω u(x,0)∫ 0 sα sα + 1 ds ψλ+1 dx + T∫ 0 ∫ Ω (um+λ−1+α + um+λ−1+αλ) \|Dψ\|λ+1 dx dt ) . (3.6) Обозначим u+ = max{u− 1, 0}, из (3.6) имеем T∫ 0 ∫ Ω um+α−2 \|Du\|λ+1 (uα + 1)2 ψλ+1 dx dt + T∫ 0 ∫ Ω up + ψλ+1 dx dt 37 О.М. Болдовская ≤ γ(1 + T∫ 0 ∫ Ω (um+λ−1+α + um+λ−1+αλ) \|Dψ\|λ+1 dx dt). (3.7) Следовательно, T∫ 0 ∫ Ω up + ψλ+1 dx dt ≤ γ(1 + T∫ 0 ∫ Ω (um+λ−1+α + um+λ−1+αλ) \|Dψ\|λ+1 dx dt). (3.8) Выбирая α < (p− (m + λ− 1))min{1, 1/λ}, из (3.8) и неравенства Гельдера получим T∫ 0 ∫ Ω up + ψλ+1 dx dt ≤ γ(1 + \|Ω2ρ\| ρλ+1 ), (3.9) где константа ρ такова, что supp ψ(x) ∈ B2ρ = {x : \|x\| < 2ρ} – шар радиуса 2ρ. Соединяя (3.7) и (3.9), лемма 3.1. доказана. ¤ Лемма 3.2. Для ∀ρ > 0 аппроксимационное решение u удовлетворяет неравен- ству: ∫ Ωρ u(x, t) dx ≤ γ(ρ). (3.10) Доказательство. Умножим уравнение (3.1) на функцию uαψλ+1 uα+r , где α > 0, r > 0, ψ(x) ∈ C∞ 0 (RN ) и проинтегрируем по Ω × (0, T ). После интегрирования по частям получим ∫ Ω uα+1(x, t)ψλ+1 uα(x, t) + r dx− ∫ Ω uα+1(x, 0)ψλ+1 uα(x, 0) + r dx− T∫ 0 ∫ Ω αruα−1utu (uα + r)2 ψλ+1 dx dt + T∫ 0 ∫ Ω um−1 \|Du\|λ−1 Du αruα−1Du (uα + r)2 ψλ+1 dx dt + T∫ 0 ∫ Ω um−1 \|Du\|λ−1 Du uα uα + r ψλ Dψ dx dt+ T∫ 0 ∫ Ω up uα uα + 1 ψλ+1 dx dt = 0. (3.11) Проделав с (3.11) стандартные вычисления, а затем устремив r → 0, получим ∫ Ω u(x, t) ψλ+1 dx + T∫ 0 ∫ Ω up ψλ+1 dx dt ≤ ∫ Ω u(x, 0) ψλ+1 dx 38 Существование и несуществование слабого решения задачи Неймана + T∫ 0 ∫ Ω um+λ−1+αλ \|Dψ\|λ+1 dx dt. (3.12) На основании леммы 3.1. из (3.12) получаем результат: ∫ Ω u(x, t) ψλ+1 dx ≤ γ(1 + \|Ω2ρ\| ρλ+1 ), где константа ρ такова, что supp ψ(x) ∈ B2ρ. Лемма 3.2. доказана.¤ Лемма 3.3. Для ∀α ∈ (0,m + λ− 1), ρ > 0 имеет место оценка: T∫ 0 ∫ Ωρ um+λ−1+λ+1 N −α dx dt ≤ γ(ρ). Доказательство. В неравенстве (2.1) возьмем v = u m+λ−1−α λ+1 ψ, ψ(x) ∈ C∞ 0 (RN ), q = (m+λ−1+λ+1 N −α)(λ+1) m+λ−1−α , p = λ + 1, β = (q−p)N p = λ+1 m+λ−1−α . Прежде чем рассматривать, что получится в нашем случае, преобразуем нера- венство (2.1). Пусть w−1 = E q q−β β E − β q−β q , (3.13) откуда Eq = E q β β w q−β β . Тогда из (2.1), (3.13) и определения функции Gp,q имеем Jp ≥ E p q q G−1 p,q(E q q−β β E − β q−β q ) = ( E q β β w q−β β ) p q G−1 p,q(w −1) = E p β β w p β −1(wg(w−1))p. (3.14) Введем функцию (w) = w p β −1(wg(w−1))p. Тогда (3.14) можно записать в виде (w) ≤ JpE − p β β , откуда w ≤ (−1)(JpE − p β β ). Из последнего неравенства с учетом (3.13) получим Eq ≤ E q β β ( −1(JpE − p β β ) ) q−β β . (3.15) Обозначим F (z) = ((−1)(z)) q−β β . Проинтегрируем (3.15) от 0 до Т, применяя нера- венство Иенсена, получим T∫ 0 Eq dt ≤ T∫ 0 E q β β F (JpE − p β β ) dt ≤ T∫ 0 E q β β dt · F ( T∫ 0 F (−1)(F (JpE − p β β )) E q β β dt T∫ 0 E q β β dt ) , 39 О.М. Болдовская или T∫ 0 Eq dt ≤ T∫ 0 E q β β dt · F ( T∫ 0 JpE q−p β β dt T∫ 0 E q β β dt ) . (3.16) Так как неравенство Иенсена можно применить, если функция F (−1) выпуклая, счи- таем её таковой. Если это не так, то, следуя [6], ниже мы построим выпуклую функ- цию M , которая эквивалентна F (−1) и, следовательно, окончательное неравенство будет справедливо и для F (−1). Из условия (1.7) следует, что функция F (z) не убы- вает, а также не убывает функция zF (A z ) для фиксированного A>0 (доказательство этого также приведем ниже). Можем продолжить оценку (3.16) T∫ 0 Eq dt ≤ T sup t E q β β · F ( T∫ 0 Jp dt sup t E q−p β β T sup t E q β β ) . (3.17) Вспоминая определение Jp, для v и p в нашем случае имеем T∫ 0 Jp dt = T∫ 0 ∫ Ω \|Dv\|p dx dt = T∫ 0 ∫ Ω \|D(u m+λ−1−α λ+1 ψ)\| λ+1 dx dt = γ T∫ 0 ∫ Ω um+α−2 \|Du\|λ+1 (uα + 1)2 ψλ+1 dx dt + T∫ 0 ∫ Ω um+λ−1−α \|Dψ\|λ+1 dx dt . (3.18) А правая часть (3.18) конечна в силу леммы 3.1. Таким образом, из (3.17) и (3.18) имеем T∫ 0 Eq dt ≤ T sup t E q β β · F (γ(1 + \|Ω2ρ\| ρλ+1 ) T sup t E p β β ) или с учетом леммы 3.2. в наших обозначениях T∫ 0 ∫ Ω um+λ−1+λ+1 N −α ψλ+1 dx dt ≤ T ( sup t ∫ Ω u ψ λ+1 m+λ−1−α dx )m+λ−1+λ+1 N −α ·F ( γ(1 + \|Ω2ρ\| ρλ+1 ) T (sup t ∫ Ω u ψ λ+1 m+λ−1−α dx)m+λ−1−α ) ≤ T ( 1 + \|Ω2ρ\| ρλ+1 )m+λ−1+λ+1 N −α · F ( γ1(1 + \|Ω2ρ\| ρλ+1 ) Tγ2(1 + \|Ω2ρ\| ρλ+1 )m+λ−1−α ) . 40 Существование и несуществование слабого решения задачи Неймана Константа ρ такова, что supp ψ(x) ∈ B2ρ. Таким образом, утверждение леммы 3.3. доказано. Осталось доказать, что: а) фу- нкция zF (A z ) не убывает для фиксированного A>0; б) функция F (−1) ограничена сверху и снизу одной выпуклой функцией. Доказательство утверждения а). Имеем (w) = gp(w−1)w p−β β +p . (3.19) Запишем (3.19) для w = (−1)(z) z = gp ( 1 (−1)(z) ) ((−1)(z)) p−β β +p , (3.20) или gp ( 1 (−1)(z) ) ((−1)(z))p(N−1)/N = z · ((−1)(z))p(N−1)/N−(p−β+pβ)/β. (3.21) Заметим в силу (1.7),что слева и справа (3.21) – неубывающие функции. Обозначим правую часть (3.21) через Ψ(z) = z · ((−1)(z))p(N−1)/N−(p−β+pβ)/β. Тогда Ψ(1/z) = 1 z · ((−1)(1/z))p(N−1)/N−(p−β+pβ)/β – убывающая функция, следовательно 1 Ψ(1/z) = z · ((−1)(1/z))(p−β+pβ)/β−p(N−1)/N – неубывающая функция. Напомним β = (q−p)N p , тогда (p− β + pβ)/β − p(N − 1)/N = −1 + q/β. В силу того, что z · ((−1)(1/z))(q−β)/β – неубывающая функция, утверждение а) до- казано. Доказательство утверждения б). Найдем явный вид функции F (−1)(z) . Из опре- деления F (z) следует, что (−1)(z) = (F (z)) β q−β . (3.22) Запишем (3.22) в виде z = gp ( 1 (−1)(z) ) ((−1)(z)) q−β β + p−q β +p , откуда имеем F (z) = z · g−p ( 1 (−1)(z) ) ((−1)(z)) q−p β −p . (3.23) 41 О.М. Болдовская Запишем равенство (3.23) для аргумента F (−1)(z) F (F (−1)(z)) = F (−1)(z) · g−p ( 1 (−1)(F (−1)(z)) ) ((−1)(F (−1)(z))) q−p β −p . (3.24) Из (3.24) (−1)(F (−1)(z)) = z β q−β , тогда (3.24) дает z = F (−1)(z)g−p ( 1 zβ/(q−β) ) z β q−β ( q−p β −p) , откуда F (−1)(z) = gp(z−β/(q−β))z1+ p−q+βp q−β , z > 0. Определим функцию M(z) = z∫ 0 dτ τ τ∫ 0 y p−q+βp q−β gp(y−β/(q−β)) dy. С одной стороны в силу неубывания функции g M(z) ≥ gp(z−β/(q−β)) z∫ 0 dτ τ τ∫ 0 y p−q+βp q−β dy ≥ γF (−1)(z), с другой стороны, в силу (1.4), zpg(z−1)p не убывает и значит M(z) ≤ z∫ 0 1 τ τ p β q−β gp(τ−β/(q−β)) dτ τ∫ 0 y p−q q−β dy ≤ F (−1)(z). Таким образом, имеется двусторонняя оценка: γ1M(z) ≤ F (−1)(z) ≤ γ2M(z). Вы- пуклость же M(z) проверяется дифференцированием, получаем M ′′(z) ≥ 0 (здесь пользуемся (1.7): g(1/z)z(N−1)/N не убывает).¤ Пусть a) Qρ = Ωρ × (t− ρλ+1, (2ρ)λ+1), если (2ρ)λ+1 < t. И б) Qρ = Ωρ × (t/2, t), Q2ρ = Ω2ρ × (t/4, t), если (2ρ)λ+1 > t. Лемма 3.4. Для ν ∈ (0, 1 + λ+1 N ) имеет место оценка а): sup Qρ u ≤ γ (∫∫ Q2ρ um+λ−2+ν dx dt ) 1 ν ρ λ+1 ν Ψ 1 ν (ρN ) , где Ψ : [0,∞) → [0,∞) – обратная к функции ωN (z) · z. И б): sup Qρ u ≤ γ (∫∫ Q2ρ um+λ−2+ν dx dt ) 1 ν (tΨ1(t)) 1 ν , 42 Существование и несуществование слабого решения задачи Неймана где Ψ1 : [0,∞) → [0,∞) – обратная к функции ωλ+1(z) · z λ+1 N . Доказательство. Рассмотрим последовательности: ρn = ρ(1 + 1 2n ), n = 0, 1, . . . , kn = k(1− 1 2n+1 ), n = 0, 1, . . . , где k > 0 будет выбрано позже. Положим Qn = Qρn . Пусть (x, t) → ζn(x, t) при каждом n = 0, 1, .. будет неотрицательная кусочно- гладкая срезающая функция в Qn, то есть ζn(x, t) = { 1, на Qn, 0, вне Qn−1, и такая что 0 ≤ ζnt ≤ γ t ≤ γ ρλ+1 , \|Dζn\| ≤ γ ρ . Умножим уравнение (3.1) на функцию (u− kn+1)ν−1 + ζλ+1 n+1 и интегрируя по Qn по частям, стандартными вычислениями получим: sup t ∫ Ωn(t) (u− kn+1)ν + ζλ+1 n+1 dx + km−1 ∫∫ Qn \|D((u− kn+1) ν+λ−1 λ+1 + ζn+1)\|λ+1 dx dt ≤ γ( ∫∫ Qn (u− kn+1)ν + ζ(n+1)t dx dt + ∫∫ Qn (u− kn+1)ν+m+λ−2 + \|Dζn+1\|λ+1 dx dt). (3.25) Для того, чтобы оценить правую часть (3.25) проведем следующие рассуждения. Обозначим An+1 = {(x, t) ∈ Qn : u(x, t) > kn+1} ⊂ RN+1, тогда ∫∫ Qn (u− kn)ν+m+λ−2 + dx dt ≥ ∫∫ Qn∩{u>kn+1} (kn+1 − kn)ν+m+λ−2 dx dt = γ(2n)kν+m+λ−2\|An+1\|N+1, откуда \|An+1\|N+1 ≤ γ(2n)k−(ν+m+λ−2) ∫∫ Qn (u− kn)ν+m+λ−2 + dx dt. (3.26) Применяя неравенство Гельдера, а также (3.26), имеем ∫∫ Qn (u− kn+1)ν + , dx dt ≤ (∫∫ Qn (u− kn+1)ν+m+λ−2 + dx dt ) ν ν+m+λ−2 \|An+1\| 1− ν ν+m+λ−2 N+1 43 О.М. Болдовская ≤ (∫∫ Qn (u− kn+1)ν+m+λ−2 + dx dt ) ν ν+m+λ−2 ×γ(2n) ( k−(ν+m+λ−2) ∫∫ Qn (u− kn)ν+m+λ−2 + dx dt )1− ν ν+m+λ−2 ≤ γ(2n)k−(m+λ−2) ∫∫ Qn (u− kn)ν+m+λ−2 + dx dt. (3.27) Таким образом, из (3.25) и (3.27) имеем sup t ∫ Ωn(t) (u− kn+1)ν + ζλ+1 n+1 dx + km−1 ∫∫ Qn \|D((u− kn+1) ν+λ−1 λ+1 + ζn+1)\|λ+1 dx dt ≤ γ(2n) ρλ+1 (k−(m+λ−2) + 1) ∫∫ Qn (u− kn)ν+m+λ−2 + dx dt ≤ γ(2n) ρλ+1 ∫∫ Qn (u− kn)ν+m+λ−2 + dx dt. (3.28) Применяя неравенство Гельдера, имеем In+1 ≡ ∫∫ Qn+1 (u− kn+1)ν+m+λ−2 + dx dt ≤ ‖u‖m+λ−2 ∞,Q0 ∫∫ Qn (u− kn+1)ν + ζλ+1 n+1 dx dt ≤ ‖u‖m+λ−2 ∞,Q0 [∫∫ Qn (u− kn+1) q + ζ q(λ+1) ν n+1 dx dt ] ν q \|An+1\| 1− ν q N+1. (3.29) Положим в (3.29) q = ν + λ − 1 + ν(λ+1) N . В лемме 2.2. возьмем v = (u − kn+1) ν+λ−1 λ+1 + ζn+1 ν+λ−1 ν , p = λ + 1, r = ν(λ+1) ν+λ−1 . Тогда в силу леммы 2.2. из (3.29) получим In+1 ≤ γ‖u‖m+λ−2 ∞,Q0 [ sup τ ( ω(\|An+1(τ)\|N )λ+1 (∫ Ωn (u− kn+1)ν + ζλ+1 n+1 dx )λ+1 N ) × ∫∫ Qn \|D((u− kn+1) ν+λ−1 λ+1 + ζn+1)\|λ+1 dx dt ] ν q \|An+1\| 1− ν q N+1, (3.30) где An+1(τ) = {x ∈ Ωn : u(x, τ) > kn+1} ⊂ RN . Используя оценку (3.28), оценим меру: \|An+1(τ)\|N ≤ γ(2n)k−ν ∫ Ωn (u− kn)ν + dx ≤ γ(2n) k−ν ρλ+1 ∫∫ Qn (u− kn−1)ν+m+λ−2 + dx dt 44 Существование и несуществование слабого решения задачи Неймана ≤ γ(2n) k−ν ρλ+1 ‖u‖ν+m+λ−2 ν+m+λ−2,Q0 . (3.31) Исходя из полученных оценок (3.26), (3.28), (3.31), а также неубывания функции ω, продолжим оценку (3.30): In+1 ≤ γ(2n)‖u‖m+λ−2 ∞,Q0 ω(γ k−ν ρλ+1 ‖u‖ν+m+λ−2 ν+m+λ−2,Q0 ) (λ+1)ν q × ( (ρ−(λ+1)In) λ+1 N k1−mρ−(λ+1)In ) ν q ( k−(ν+m+λ−2)In )1− ν q или In+1 ≤ γ(2n)‖u‖m+λ−2 ∞,Q0 ω(γ k−ν ρλ+1 ‖u‖ν+m+λ−2 ν+m+λ−2,Q0 ) (λ+1)ν q k −((m−1) ν q +(ν+m+λ−2)(1− ν q )) ×ρ −(λ+1)(λ+1 N +1) ν q I 1+ (λ+1)ν Nq n . Для удобства обозначим b = (m− 1)ν q + (ν + m + λ− 2)(1− ν q ). Из леммы 5.6, глава 2, [16, с.113], имеем In = ∫∫ Qn (u− kn)ν+m+λ−2 + dx dt −−−→ n→∞ 0, то есть \|\|u\|\|∞,Q∞ ≤ k, (3.32) если γ(2n)‖u‖m+λ−2 ∞,Q0 ω(γ k−ν ρλ+1 ‖u‖ν+m+λ−2 ν+m+λ−2,Q0 ) (λ+1)ν q k−bρ −(λ+1)(λ+1 N +1) ν q I (λ+1)ν Nq 0 ≤ 1, тем более, если γ(2n)‖u‖ q ν (m+λ−2) ∞,Q0 ω(γ k−ν ρλ+1 ‖u‖ν+m+λ−2 ν+m+λ−2,Q0 ) λ+1 k−b q ν ρ−(λ+1)(λ+1 N +1) ×‖u‖(ν+m+λ−2)λ+1 N ν+m+λ−2,Q0 = 1. Используя (3.32) в последнем равенстве, получим \|\|u\|\|∞,Q∞ ≤ γ(2n)‖u‖ m+λ−2 b ∞,Q0 ω(γ ‖u‖−ν ∞,Q∞ ρλ+1 ‖u‖ν+m+λ−2 ν+m+λ−2,Q0 ) (λ+1)ν qb ×ρ −(λ+1)(λ+1 N +1) ν qb ‖u‖(ν+m+λ−2) (λ+1)ν Nqb ν+m+λ−2,Q0 . (3.33) 45 О.М. Болдовская Введем последовательности ri+1 = ri + ρ2−(i+1) ; r0 = ρ, i = 0, 1, ... Qi = Ωri × (·) : Q0 = Q∞, Q∞ = Q0, Qi ⊂ Qi+1. Обозначим Yi = \|\|u\|\|∞,Qi . Запишем неравенство (3.33) для пары цилиндров Qi ⊂ Qi+1: Yi ≤ γ(2n) Y m+λ−2 b i+1 ω(γ ‖u‖−ν ∞,Q∞ ρλ+1 ‖u‖ν+m+λ−2 ν+m+λ−2,Q0 ) (λ+1)ν qb ×ρ −(λ+1)(λ+1 N +1) ν qb ‖u‖(ν+m+λ−2) (λ+1)ν Nqb ν+m+λ−2,Q0 . (3.34) Применив к правой части (3.34) неравенствоЮнга с показателями b m+λ−2 , b b−(m+λ−2) , получим Yi ≤ δYi+1 + γ(δ)ci [ ω(γ ‖u‖−ν ∞,Q∞ ρλ+1 ‖u‖ν+m+λ−2 ν+m+λ−2,Q0 ) (λ+1)ν qb ρ −(λ+1)(λ+1 N +1) ν qb ×‖u‖(ν+m+λ−2) (λ+1)ν Nqb ν+m+λ−2,Q0 ] b b−(m+λ−2) , (3.35) где c > 1. Исходя из определения b, q, упростим (3.35): Yi ≤ δYi+1 + γ(δ)ciω(γ ‖u‖−ν ∞,Q∞ ρλ+1 ‖u‖ν+m+λ−2 ν+m+λ−2,Q0 ) N ν ρ− N+λ+1 ν ‖u‖(ν+m+λ−2) 1 ν ν+m+λ−2,Q0 . (3.36) Итерируя неравенство (3.36), получим Y0 ≤ δi+1Yi+1 + γ i∑ k=0 (cδ)kω(γ ‖u‖−ν ∞,Q∞ ρλ+1 ‖u‖ν+m+λ−2 ν+m+λ−2,Q0 ) N ν ρ− N+λ+1 ν ‖u‖(ν+m+λ−2) 1 ν ν+m+λ−2,Q0 , i = 0, 1, 2... Выбираем δ = 1 2c и устремим i к бесконечности. Это приведет к нера- венству ‖u‖∞,Q∞ ≤ γω(γ ‖u‖−ν ∞,Q∞ ρλ+1 ‖u‖ν+m+λ−2 ν+m+λ−2,Q0 ) N ν ρ− N+λ+1 ν ‖u‖(ν+m+λ−2) 1 ν ν+m+λ−2,Q0 , откуда после очевидных действий и следует утверждение a). В случае б) наряду с последовательностями ρn и kn рассмотрим последовательность tn = t 2 (1− 1 2n+1 ), n = 0, 1, . . . , положим Qn = Qρn × (tn, t). 46 Существование и несуществование слабого решения задачи Неймана (x, t) → ζn(x, t) при каждом n = 0, 1, .. – неотрицательная кусочно-гладкая срезаю- щая функция в Qn, такая что 0 ≤ ζnt ≤ γ t , \|Dζn\| ≤ γ ρ . Доказательство проводится аналогично пункту а). Изменение возникнет в оценке (3.28), а именно: sup t ∫ Ωn(t) (u− kn+1)ν + ζλ+1 n+1 dx + km−1 ∫∫ Qn \|D((u− kn+1) ν+λ−1 λ+1 + ζn+1)\|λ+1 dx dt ≤ γ(2n)( k−(m+λ−2) ρλ+1 + 1 t ) ∫∫ Qn (u− kn)ν+m+λ−2 + dx dt ≤ γ(2n) t (t k−(m+λ−2) ρλ+1 + 1) ∫∫ Qn (u− kn)ν+m+λ−2 + dx dt ≤ γ(2n) t ∫∫ Qn (u− kn)ν+m+λ−2 + dx dt. Далее, следуя изложенному в пункте а), приходим к оценке ‖u‖∞,Q∞ ≤ γω(γ ‖u‖−ν ∞,Q∞ t ‖u‖ν+m+λ−2 ν+m+λ−2,Q0 ) N ν t −N+λ+1 (λ+1)ν ‖u‖(ν+m+λ−2) 1 ν ν+m+λ−2,Q0 , откуда следует утверждение б) леммы 3.4. ¤ Лемма 3.5. ∀τ ∈ (0, T ), ρ > 0 имеет место оценка: T∫ τ ∫ Ωρ \|Du m+λ−1 λ \|λ+1 dx dt ≤ γ(ρ). Доказательство. Пусть ψ(x) ∈ C∞ 0 (RN ). Имеем T∫ τ ∫ Ω um−α−2 \|Du\|λ+1ψλ+1 dx dt = T∫ τ ∫ Ω u (m−1)(λ+1) λ \|Du\|λ+1 um−α−2− (m−1)(λ+1) λ ψλ+1 dx dt = T∫ τ ∫ Ω u (m−1)(λ+1) λ \|Du\|λ+1 u−α−m+λ−1 λ ψλ+1 dx dt ≥ γ( sup Ωρ×(τ,T ) u)−α−m+λ−1 λ T∫ τ ∫ Ωρ u (m−1)(λ+1) λ \|Du\|λ+1 dx dt, 47 О.М. Болдовская где константа ρ такова, что supp ψ(x) ∈ B2ρ. Из лемм 3.1. и 3.4. получаем требуемую оценку. ¤ Доказательство теоремы 1. Перепишем уравнение (1.1) в виде ut = (λ/(m + λ− 1))λdiv(\|Du m+λ−1 λ \|λ−1Du m+λ−1 λ )− up. Из леммы 3.4. следует, что на любом компакте K ⊂ Ωρ × (0, T ) последовательность u(n) равномерно ограничена и из результатов [13,14] u(n) – равностепенно непрерыв- на. Из теоремы Асколи-Арцела имеем u(n) m+λ−1 λ −−−→ n→∞ u m+λ−1 λ равномерно. Из леммы 3.5. следует, что существует подпоследовательность (обозначим ее так- же u(n)), такая что Du(n) m+λ−1 λ −−−→ n→∞ Du m+λ−1 λ слабо в Lλ+1(K). Из вышеперечисленных сходимостей следует, что при n →∞ предельная функ- ция u(x, t) удовлетворяет уравнению (1.1) в смысле интегрального тождества, то есть T∫ τ ∫ Ω (uφt − um−1 \|Du\|λ−1 Du Dφ− up φ) dx dt = 0, для всех φ ∈ C1 0 (RN × (0, T )), τ ∈ (0, T ). Выберем ψ(x) ∈ C∞ 0 (RN ). Умножим уравнение (3.1) (индекс n для удобства обозначений опустим) на функцию ψ(x), и интегрируя по Ω× (0, t), получим ∣∣∣∣ ∫ Ω u(x, t) ψ(x) dx− ∫ Ω u(x, 0) ψ(x) dx ∣∣∣∣ ≤ \|\|ψ\|\|L∞ t∫ 0 ∫ Ω2ρ up dx dτ + \|\|Dψ\|\|L∞ t∫ 0 ∫ Ω2ρ \|Du\|λ um−1 dx dτ, (3.37) где константа ρ такова, что supp ψ(x) ∈ B2ρ. Оценим интегралы справа в неравенстве (3.37) t∫ 0 ∫ Ω2ρ up dx dτ ≤ γ ( t∫ 0 ∫ Ω2ρ um+λ−1+λ+1 N −α dx dτ ) p m+λ−1+ λ+1 N −α t m+λ−1+ λ+1 N −α−p m+λ−1+ λ+1 N −α ≤ c1f1(t), где f1(t) = t m+λ−1+ λ+1 N −α−p m+λ−1+ λ+1 N −α . Ко второму интегралу справа в (3.37) применим нера- венство Гельдера t∫ 0 ∫ Ω2ρ \|Du\|λ um−1 dx dτ 48 Существование и несуществование слабого решения задачи Неймана = t∫ 0 ∫ Ω2ρ \|Du\|λ u (m+α−2)λ λ+1 (uα + 1)2 −λ λ+1 u− (m+α−2)λ λ+1 +m−1 (uα + 1)2 λ λ+1 dx dτ ≤ γ ( t∫ 0 ∫ Ω2ρ \|Du\|λ+1 um+α−2 (uα + 1)2 dx dτ ) λ λ+1 ( t∫ 0 ∫ Ω2ρ um−1+(−α+1)λ (uα + 1)2λ dx dτ ) 1 λ+1 . В силу леммы 3.1. имеем t∫ 0 ∫ Ω2ρ \|Du\|λ um−1 dx dτ ≤ γ [( t∫ 0 ∫ Ω2ρ um+λ−1−αλ dx dτ ) 1 λ+1 + ( t∫ 0 ∫ Ω2ρ um+λ−1+αλ dx dτ ) 1 λ+1 ] ≤ γ [( t∫ 0 ∫ Ω2ρ um+λ−1+λ+1 N −α dx dτ ) m+λ−1−αλ (λ+1)(m+λ−1+ λ+1 N −α) t αλ+ λ+1 N −α (λ+1)(m+λ−1+ λ+1 N −α) + ( t∫ 0 ∫ Ω2ρ um+λ−1+λ+1 N −α dx dτ ) m+λ−1+αλ (λ+1)(m+λ−1+ λ+1 N −α) t −αλ+ λ+1 N −α (λ+1)(m+λ−1+ λ+1 N −α) ] ≤ c2f2(t) + c3f3(t). Выбираем α достаточно малым: α < min{ 1 N , m+λ−1 λ ,m + λ− 1 + λ+1 N − p}. Тогда lim t→0 f1(t) = lim t→0 f2(t) = lim t→0 f3(t) = 0. Таким образом, при t → 0, n → ∞ получаем ∫ Ω u(x, t) ψ(x) dx → ∫ Ω ψ(x) dµ. Теорема 1 доказана. ¤ 4. Доказательство теоремы 2. Доказательство от противного. Пусть в усло- виях теоремы 2 существует слабое решение задачи (1.1)–(1.3). Докажем следующие леммы. Лемма 4.1. ∀α > 0, ρ > 0 cлабое решение задачи (1.1)–(1.3) удовлетворяет T∫ 0 ∫ Ωρ up dx dt ≤ γ(ρ). (4.1) T∫ 0 ∫ Ωρ um+α−2 \|Du\|λ+1 (uα + 1)2 dx dt ≤ γ(ρ). (4.2) 49 О.М. Болдовская Доказательство. Умножим уравнение (1.1) на функцию uαψλ+1 uα+1 , где α > 0, ψ(x) ∈ C∞ 0 (RN ), supp ψ(x) ∈ B2ρ и проинтегрируем по Ω× (ε, T ): ∫ Ω u(x,T )∫ u(x,ε) sα sα + 1 ds ψλ+1 dx + T∫ ε ∫ Ω um−1 \|Du\|λ−1 Du D( uαψλ+1 (uα + 1)2 ) dx dt + T∫ ε ∫ Ω up uα uα + 1 ψλ+1 dx dt = 0. Откуда стандартными вычислениями получим ∫ Ω u(x,T )∫ 0 sα sα + 1 ds ψλ+1 dx + T∫ ε ∫ Ω um+α−2 \|Du\|λ+1 (uα + 1)2 ψλ+1 dx dt + T∫ ε ∫ Ω up uα uα + 1 ψλ+1 dx dt ≤ γ (∫ Ω u(x,ε)∫ 0 sα sα + 1 ds ψλ+1 dx + T∫ ε ∫ Ω (um+λ−1+α + um+λ−1+αλ) \|Dψ\|λ+1 dx dt ) . (4.3) При ε → 0 из (4.3) имеем T∫ 0 ∫ Ω um+α−2 \|Du\|λ+1 (uα + 1)2 ψλ+1 dx dt + T∫ 0 ∫ Ω up + ψλ+1 dx dt ≤ γ(1 + T∫ 0 ∫ Ω (um+λ−1+α + um+λ−1+αλ) \|Dψ\|λ+1 dx dt), (4.4) где u+ = max{u− 1, 0}. Следовательно, T∫ 0 ∫ Ω up + ψλ+1 dx dt ≤ γ(1 + T∫ 0 ∫ Ω (um+λ−1+α + um+λ−1+αλ) \|Dψ\|λ+1 dx dt). (4.5) Выбирая α < (p− (m + λ− 1))min{1, 1/λ}, из (4.5) и неравенства Гельдера получим T∫ 0 ∫ Ω up + ψλ+1 dx dt ≤ γ. (4.6) 50 Существование и несуществование слабого решения задачи Неймана Соединяя (4.4) и (4.6), лемма 4.1. доказана. ¤ Лемма 4.2. В условиях теоремы 2 u(x, t) удовлетворяет T∫ 0 ∫ Ω (uψt − um−1\|Du\|λ−1DuDψ − upψ) dx dt = 0, ∀ψ ∈ C∞ 0 (RN × [−T ; T ]), T > 0. Доказательство. Прежде всего докажем, что ∀ξ ∈ C∞ 0 (RN × [−T ; T ]), ξ(0, 0) = 0 T∫ 0 ∫ Ω (uξt − um−1\|Du\|λ−1DuDξ − upξ) dx dt = 0. (4.7) Выбираем j(s) ∈ C∞ 0 (RN ), j(s) > 0; j(s) = 0 при \|s\| > 1; +∞∫ −∞ j(s) ds = 1. Пусть jh(s) = h−1j(s/h), ηh(t) = t∫ −∞ jh(s − τ) ds. ηh(t) = 1 при t > τ + h, ηh(t) = 0 при t < τ − h ∀τ ∈ (0, T ). Умножим уравнение (1.1) на функцию ξ(x, t)ηh(t), и проинтегрируем по Ω×(0, T ). После интегрирования по частям получим − T∫ 0 ∫ Ω u(x, t)jh(t− τ)ξ(x, t) dx dt = T∫ 0 ∫ Ω (uξt − um−1\|Du\|λ−1DuDξ − upξ)ηh(t) dx dt. Устремляем h → 0 − ∫ Ω u(x, τ) ξ(x, τ) dx = T∫ τ ∫ Ω (uξt − um−1\|Du\|λ−1DuDξ − upξ) dx dt. Устремляем τ → 0 T∫ 0 ∫ Ω (uξt − um−1\|Du\|λ−1DuDξ − upξ) dx dt = − < ξ(x, 0), δ(x) >= −ξ(0, 0) = 0. Таким образом, (4.7) доказано. Возьмем η ∈ C∞ 0 (R) : η(s) = 1 при s > 2; η(s) = 0 при s < 1. Определим ηk(s) = η(ks). В качестве пробной возьмем функцию ξk(x, t) = ηk(·)Ψ(x, t), Ψ ∈ C∞ 0 (RN × [−T ; T ]), тогда ξk(0, 0) = 0. Стандартными вычислениями получим T∫ 0 ∫ Ω u ηkt Ψ dx dt− T∫ 0 ∫ Ω um−1\|Du\|λ−1DuDηkΨ dx dt 51 О.М. Болдовская + T∫ 0 ∫ Ω (uΨt − um−1\|Du\|λ−1DuDΨ− upΨ)ηk dx dt = 0. Чтобы доказать утверждение леммы, надо показать, что T∫ 0 ∫ Ω u ηkt Ψ dx dt → 0, (4.8) T∫ 0 ∫ Ω um−1\|Du\|λ−1DuDηkΨ dx dt → 0. (4.9) Пусть ηk = ηk(\|x\|Nν + t), где ν = m + λ− 2 + λ+1 N . Определим Dk = {(x, t) : t > 0, k−1 < \|x\|Nν + t < 2k−1}. Следовательно, мера \|Dk\| ≤ γk−(1+ 1 ν ). Имеем ∣∣∣∣ T∫ 0 ∫ Ω u ηkt Ψ dx dt ∣∣∣∣ ≤ γk ∫∫ Dk u dx dt ≤ γk (∫∫ Dk uν+1 dx dt )1/(ν+1) × (∫∫ Dk dx dt ) ν ν+1 ≤ γkk−(1+ 1 ν ) ν ν+1 (∫∫ Dk uν+1 dx dt )1/(ν+1) = γ (∫∫ Dk uν+1 dx dt )1/(ν+1) При k →∞ получаем (4.8). Далее ∣∣∣∣ T∫ 0 ∫ Ω um−1\|Du\|λ−1DuDηkΨ dx dt ∣∣∣∣ ≤ γk ∫∫ Dk um−1\|Du\|λ \|x\|Nν−1 dx dt ≤ γk 1 Nν ∫∫ Dk um−1\|Du\|λ dx dt ≤ γk 1 Nν (∫∫ Dk um+α−2 \|Du\|λ+1 (uα + 1)2 dx dt ) λ λ+1 × (∫∫ Dk um−1 u−(α−1)λ (uα + 1)2λ dx dt ) 1 λ+1 ≤ γk 1 Nν (∫∫ Dk um+λ−1+λα 1 dx dt ) 1 λ+1 ≤ γk 1 Nν (∫∫ Dk up 1 dx dt )m+λ−1+λα (λ+1)p \|Dk\| 1 λ+1 (1−m+λ−1+λα p ) 52 Существование и несуществование слабого решения задачи Неймана ≤ γk −(1+ 1 ν ) 1 λ+1 (1−m+λ−1+λα p )+ 1 Nν (∫∫ Dk up 1 dx dt )m+λ−1+λα (λ+1)p . Здесь u1 = max{u, 1}. Так как p > m + λ− 1 + λ+1 N , выбираем α так, чтобы 0 < α ≤ ( m + λ− 1 λ ) p− (m + λ− 1 + λ+1 N ) m + λ− 1 + λ+1 N , поэтому −(1 + 1 ν ) 1 λ + 1 (1− m + λ− 1 + λα p ) + 1 Nν ≤ 0. Устремляя k →∞, получаем (4.9). ¤ Доказательство теоремы 2. Из леммы 4.2. имеем T∫ 0 ∫ Ω (uΨt − um−1\|Du\|λ−1DuDΨ− upΨ) dx dt = 0, (4.10) ∀Ψ ∈ C∞ 0 (RN × (−T ; T )). Выбираем j(s) и jh(s), описанные ранее. Положим ηh(t) = 1− t−τ−2h∫ −∞ jh(s) ds, τ ∈ (0, T ), со свойствами: 0 ≤ ηh ≤ 1, ηh ∈ C∞(R); ηh = 1 при t < τ + h; lim h→0 ηh = 0 при t > τ . Для любого X(x) ∈ C∞ 0 (RN ) берем в (4.10) Ψ(x, t) = X(x)ηh, получаем − T∫ 0 ∫ Ω jh(t− τ − 2h) u X dx dt = T∫ 0 ∫ Ω (um−1\|Du\|λ−1DuDX + upX)ηh(t) dx dt. Пусть h → 0, тогда ∫ Ω u(x, τ) X(x) dx = − τ∫ 0 ∫ Ω (um−1\|Du\|λ−1DuDX + upX) dx dt. Следовательно, lim τ→0 ∫ Ω u(x, τ) X(x) dx = 0, ∀X(x) ∈ C∞ 0 (RN ). Что противоречит (1.3). Теорема 2 доказана. ¤ 53 О.М. Болдовская 1. Bresis H.,Friedman A. Nonlinear parabolic equations involving measures as initial conditions // J. Math. Pures Appl. – 1983. – 62. – P.73-97. 2. Gmira A. On quasilinear parabolic equations involving measure data // Asymptotic Anal. – 1990. – 3. – P.43-56. 3. Skrypnik I.I. Removability of isolated singularities of solutions of quasilinear parabolic equations with absorption // Sb. Math. – 2005. – 196. – P. 1693-1713. 4. Galaktionov V.A., Shishkov A.E. Higher-order quasilinear parabolic equations with singular initial data // Commun. in Cont. Math. – 2006. – V.8(3). – P.331-354. 5. Fan H.J. Cauchy problem of some doubly degenerate parabolic equations with initial datum a measure // Acta Math. Sinica, English Series. – 2004. – V.20(4). – P.663-682. 6. Andreucci D., Tedeev A.F. A Fujita type result for degenerate Neumann problem in domains with noncompact boundary // J. Math. Anal. Appl. – 1999. – V.231. – P.543-567. 7. Ушаков В.И. Стабилизация решений третьей смешанной задачи для параболического уравне- ния второго порядка в нецилиндрической области // Мат. сб. – 1980. – Т. 111(153). – С.95-115. 8. Мукминов Ф.Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для параболического урав- нения второго порядка // Мат. сб. – 1980. – Т.111(153). – С.503-521. 9. Maz’ja V.G. Sobolev Spaces // Springer Series in Soviet Mathematics. Springer. Berlin. Germany. – 1985. 10. Гущин А.К. Об оценках решений краевых задач для параболического уравнения второго по- рядка // Тр. МИАН. – 1973. – T. CXXVI. – C.5-45. 11. Тедеев А.Ф. О мультипликативных неравенствах в областях с некомпактной границей // Укр. Мат. журн. – 1992. – Т.44. №2. – С.260-268. 12. Tsutsumi M. On solutions of some doubly nonlinear parabolic equations with absorbtion // J. Math. Anal. Appl. – 1988. – V.132. – P.187-212. 13. Ivanov A.V. Holder estimates near the boundary for generalized solutions of quasilinear parabolic equations that admit double degeneration // Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. – 1991. – V.188. – P.45-69. 14. Porzio M., Vespri V. Holder estimates for local solutions of some doubly nonlinear degenerate parabolic equations // J. Diff. Eqns. – 1993. – V.103. – P.146-178. 15. Alt H.W., Luckhaus S. Quasilinear elliptic-parabolic differential equations // Math. Z. – 1983. – V.183. – P.311-341. 16. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. – М., 1967. – 736c. Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк omboldovskaya@mail.ru Получено 17.03.08 54 содержание Том 16 Донецк, 2008 Основан в 1997г. содержание Том 16 Донецк, 2008 Основан в 1997г.

Institution

Ähnliche Einträge