Смешанная задача для трансверсально-изотропной полуплоскости, лежащей на упругом перфорированном основании с пластическими зонами, при действии на участке границы линейной нормальной нагрузки

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2008
1. Verfasser:	Зенченков, А.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2008
Schriftenreihe:	Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/19986
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Смешанная задача для трансверсально-изотропной полуплоскости, лежащей на упругом перфорированном основании с пластическими зонами, при действии на участке границы линейной нормальной нагрузки / А.В. Зенченков // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 88-92. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-19986
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-199862011-05-20T12:04:28Z Смешанная задача для трансверсально-изотропной полуплоскости, лежащей на упругом перфорированном основании с пластическими зонами, при действии на участке границы линейной нормальной нагрузки Зенченков, А.В. 2008 Article Смешанная задача для трансверсально-изотропной полуплоскости, лежащей на упругом перфорированном основании с пластическими зонами, при действии на участке границы линейной нормальной нагрузки / А.В. Зенченков // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 88-92. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/19986 539.3 ru Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
format	Article
author	Зенченков, А.В.
spellingShingle	Зенченков, А.В. Смешанная задача для трансверсально-изотропной полуплоскости, лежащей на упругом перфорированном основании с пластическими зонами, при действии на участке границы линейной нормальной нагрузки Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины
author_facet	Зенченков, А.В.
author_sort	Зенченков, А.В.
title	Смешанная задача для трансверсально-изотропной полуплоскости, лежащей на упругом перфорированном основании с пластическими зонами, при действии на участке границы линейной нормальной нагрузки
title_short	Смешанная задача для трансверсально-изотропной полуплоскости, лежащей на упругом перфорированном основании с пластическими зонами, при действии на участке границы линейной нормальной нагрузки
title_full	Смешанная задача для трансверсально-изотропной полуплоскости, лежащей на упругом перфорированном основании с пластическими зонами, при действии на участке границы линейной нормальной нагрузки
title_fullStr	Смешанная задача для трансверсально-изотропной полуплоскости, лежащей на упругом перфорированном основании с пластическими зонами, при действии на участке границы линейной нормальной нагрузки
title_full_unstemmed	Смешанная задача для трансверсально-изотропной полуплоскости, лежащей на упругом перфорированном основании с пластическими зонами, при действии на участке границы линейной нормальной нагрузки
title_sort	смешанная задача для трансверсально-изотропной полуплоскости, лежащей на упругом перфорированном основании с пластическими зонами, при действии на участке границы линейной нормальной нагрузки
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2008
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/19986
citation_txt	Смешанная задача для трансверсально-изотропной полуплоскости, лежащей на упругом перфорированном основании с пластическими зонами, при действии на участке границы линейной нормальной нагрузки / А.В. Зенченков // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 88-92. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
series	Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины
work_keys_str_mv	AT zenčenkovav smešannaâzadačadlâtransversalʹnoizotropnojpoluploskostiležaŝejnauprugomperforirovannomosnovaniisplastičeskimizonamipridejstviinaučastkegranicylinejnojnormalʹnojnagruzki
first_indexed	2025-07-02T20:43:23Z
last_indexed	2025-07-02T20:43:23Z
_version_	1836569333214478336
fulltext	ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2008. Том 16 УДК 539.3 c©2008. А.В. Зенченков СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ, ЛЕЖАЩЕЙ НА УПРУГОМ ПЕРФОРИРОВАН- НОМ ОСНОВАНИИ С ПЛАСТИЧЕСКИМИ ЗОНАМИ, ПРИ ДЕЙ- СТВИИ НА УЧАСТКЕ ГРАНИЦЫ ЛИНЕЙНОЙ НОРМАЛЬНОЙ НА- ГРУЗКИ Построено аналитическое решение смешанной задачи теории упругости для трансверсально- изотропной полуплоскости, лежащей на упругом перфорированном основании, при учете пласти- ческих зон, образующихся в результате концентрации напряжений вблизи полости. Постановка задачи моделирует массив горных пород, включающий пласт полезного ископаемого, ослабленный выработкой. При расчетах напряженного состояния массив горных пород моделируется упру- гой средой. Значительная концентрация напряжений вблизи забоя очистной выра- ботки, расположенной на глубине более трехсот метров, приводит к образованию пластической зоны. Модуль упругости горных пород на порядок и более превосхо- дит модуль упругости угля. Поэтому пластическая зона сосредотачивается в области угольного пласта, прилегающей к обнаженной поверхности выработки, в то время как породы кровли и почвы остаются упругими. Рассмотрим массив горных пород, ослабленный очистной выработкой, проведен- ной в пласте полезного ископаемого. Обозначим мощность разрабатываемого уголь- ного пласта через 2h, глубину его залегания через H. Рис. 1. Схема разработки пласта полезного ископаемого В системе координат Oxy (рис.1) напряженное состояние ненарушенного массива имеет вид σ0 x = −λγ(H − y), σ0 y = −γ(H − y), τ0 xy = 0. (1) 88 Смешанная задача теории упругости для полуплоскости Здесь λ – коэффициент бокового распора, γ – средний удельный вес горных пород. Введем дополнительные напряжения σx, σy, τxy, обусловленные проведением вы- работки. Тогда полные напряжения σe x, σe y, τ e xy в массиве с выработкой можно пред- ставить в виде сумм σe x = σ0 x + σx, σe y = σ0 y + σy, τ e xy = τ0 xy + τxy. (2) Для достаточно больших глубин при определении дополнительных напряжений можно пренебречь влиянием дневной поверхности. Тогда, в силу симметрии, доста- точно рассмотреть задачу теории упругости о напряженно-деформированном состо- янии полуплоскости, лежащей на упругом слое, ослабленном выработкой. Напряжения σx, σy, τxy удовлетворяют уравнениям равновесия ∂σx ∂x + ∂τxy ∂y = 0, ∂τxy ∂x + ∂σy ∂y = 0. (3) Уравнение совместности деформаций имеет вид ∂2εx ∂y2 + ∂2εy ∂x2 − ∂2γxy ∂x∂y = 0, (4) где εx, εy, γxy – компоненты упругих деформаций. Граничные условия запишем в виде σy(x, 0) = γH, x ∈ V ; σy(x, 0) = γH − f(x), x ∈ V ∗ − V ; σy(x, 0) = kv(x, 0), x 6∈ V ∗; τxy(x, 0) = 0, x ∈ (−∞, +∞). (5) Здесь v – вертикальные смещения; V – область свободно зависающей кровли \|x\| < a; (V ∗−V ) – призабойная пластическая зона a < \|x\| < a∗; a∗ – неизвестная координата границы пластической зоны. Коэффициент k определяется формулой k = (1− νc)Ec h(1 + νc)(1− 2νc) , (6) где Ec, νc – модуль Юнга и коэффициент Пуассона упругого основания. В упругой трансверсально-изотропной полуплоскости перемещения с компонен- тами напряжений связаны обобщенным законом Гука: εx = β11σx + β12σy, εy = β12σx + β22σy, (7) γxy = β66τxy. Коэффициенты деформации βij выражаются формулами β11 = 1− ν2 1 E1 , β22 = 1 E2 − ν2 2 E1 , β12 = ν2(1 + ν1) E1 , β66 = 1 G . (8) 89 А.В. Зенченков Cистема диференциальных уравнений (1), (2), (4) сводится к уравнению [3]: β22 ∂4Φ ∂x4 + (2β12 + β66) ∂4Φ ∂x2∂y2 + β11 ∂4Φ ∂y4 = 0, (9) причем компоненты напряжения выражаются через функцию Φ следующим обра- зом: σx = ∂2Φ ∂y2 , σy = ∂2Φ ∂x2 , τxy = − ∂2Φ ∂x∂y . (10) Согласно [2, 5] решение краевой задачи (3), (4), (5) записывается следующим образом: σx(x, y) = ∫ V ∗ Gx(x− η, y)β(η)dη, σy(x, y) = ∫ V ∗ Gy(x− η, y)β(η)dη, (11) τxy(x, y) = ∫ V ∗ Gxy(x− η, y)β(η)dη. Функция β(x) является решением интегрального уравнения β(x) = p(x) + ∫ V ∗ β(η)G(x− η)dη, (12) где p(x) = { γH, x ∈ V ; γH − f(x), x ∈ V ∗ − V. (13) При этом Gx(x, y) = 1 π r1r2 r1 − r2 [ r2 1y x2 + r2 1y 2 − r2 2y x2 + r2 2y 2 + +κ< ( −r1Êi(κr1y − iκx) + r2Êi(κr2y − iκx) )] , Gy(x, y) = 1 π r1r2 r1 − r2 [ y x2 + r2 1y 2 − y x2 + r2 2y 2 + +κ< ( 1 r1 Êi(κr1y − iκx)− 1 r2 Êi(κr2y − iκx) )] , (14) Gxy(x, y) = 1 π r1r2 r1 − r2 [ − x x2 + r2 1y 2 − x x2 + r2 2y 2 + +κ= ( Êi(κr1y − iκx) + Êi(κr2y − iκx) )] . G(x) = κ π (π 2 sin(κx)− Si(κx) sin(κx)− Ci(κx) cos(κx) ) . 90 Смешанная задача теории упругости для полуплоскости Здесь Si(x) – интегральный синус, Ci(x) – интегральный косинус, κ = kβ22 r1 + r2 r1r2 , Êi(x) = Ei(x)ex, Ei(x) = x∫ 0 e−x x dx. В решении (6)–(8) область V ∗ неизвестна. Определим её из условия непрерывно- сти напряжений σy в граничном сечении пластической зоны. Для расчета нормаль- ных напряжений на границе полуплоскости воспользуемся формулой σy(x) = − ∫ V ∗ β(η)G(x− η)dη, x 6∈ V ∗. (15) Тогда в сечении x = a∗ должно выполняться условие p(a∗) = − ∫ V ∗ β(η)G(a∗ − η)dη. Таким образом, найдем a∗ методом последовательного приближения из уравнения p(a∗n+1) = − a∗n∫ −a∗n βn(η)G(a∗n+1 − η)dη, an+1 ≥ an, (16) где βn определяется из уравнения βn(x) = p(x) + a∗n∫ −a∗n βn(η)G(x− η)dη. (17) Так как последовательность {an} монотонно возрастает и ограничена, значит an → a∗. Физико-механические свойства угля и горных пород таковы, что угольный пласт можно рассматривать как тонкий слой, зажатый между жесткими шероховаты- ми плитами. Значит, в качестве функции f(x) можно взять известное решение Л.Прандтля для пластической полосы, сжимаемой плитами [4] f(x) =    kпл. ( π 2 + x−a h ) , a < x < a∗; kпл. ( π 2 + x+a h ) , −a∗ < x < −a. (18) Здесь kпл. – пластическая постоянная основания. Результаты расчетов, приведенные на рис.2, получены при следующих числен- ных значениях параметров: E1 = 1 · 104МПа, E2 = 1, 5 · 104МПа, ν1 = ν2 = 0, 2, G = 0, 2 · 104МПа, Eс = 1 · 103МПа, νс = 0, 35, γ = 25кПа/м, H = 800м, h = 0, 5м, 2a = 60м, k = 3210МПа/м, κ = 0, 6261м−1. Отношение kосн./γH = 0,1 (кривая 1); 91 А.В. Зенченков Рис. 2. Опорное давление в зависимости от параметра kуг./γH : 1 – 0,1; 2 – 0,2; 3 – 0,4; 4 – пластическая зона отсутствует 0,2 (кривая 2); 0,4 (кривая 3); без пластической зоны (кривая 4). Из рисунка видно, что учет пластической зоны качественно изменяет характер эпюры нормального на- пряжения, действующего на угольный пласт. При возрастании пластической посто- янной угля протяженность пластической зоны уменьшается, а максимум опорного давления увеличивается. 1. Кавлакан М.В., Михайлов А.М. О распределении давления на пласт при горизонтальной вы- работке // Физ.-техн. проблемы разработки полезных ископаемых. – 1977. – №5. – С.48-53. 2. Хапилова Н.С., Зенченков А.В. Смешанная задача теории упругости для полуплоскости // Труды ИПММ НАН Украины. – 2000. – Т.5. – С.165-172. 3. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. – М.:Наука, – 1977. – 415с. 4. Хапилова Н.С.Теория внезапного отжима угольного пласта. – Киев: Наук. думка, – 1992. – 232с. 5. Зенченков А.В. Распределение напряжений в трансверсально-изотропной полуплоскости, лежа- щей на упругом основании, при действии на границе сосредоточенной силы // Труды ИПММ НАН Украины. – 2004. – Т.9. – С.76-80. Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк khapilova@iamm.ac.donetsk.ua Получено 19.05.08 92 содержание Том 16 Донецк, 2008 Основан в 1997г. содержание Том 16 Донецк, 2008 Основан в 1997г.

Institution

Ähnliche Einträge