Локальная гёльдеровость решений квазилинейных параболических уравнений с нелинейным оператором типа Баоуенди-Грушина. Часть 1

Локальная гёльдеровость решений квазилинейных параболических уравнений с нелинейным оператором типа Баоуенди-Грушина. Часть 1

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2008
Автор: Маркашева, В.А.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2008
Назва видання:Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/19991
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Локальная гёльдеровость решений квазилинейных параболических уравнений с нелинейным оператором типа Баоуенди-Грушина. Часть 1 / В.А. Маркашева // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 124-135. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-19991
record_format dspace
spelling irk-123456789-199912011-05-20T12:04:43Z Локальная гёльдеровость решений квазилинейных параболических уравнений с нелинейным оператором типа Баоуенди-Грушина. Часть 1 Маркашева, В.А. 2008 Article Локальная гёльдеровость решений квазилинейных параболических уравнений с нелинейным оператором типа Баоуенди-Грушина. Часть 1 / В.А. Маркашева // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 124-135. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/19991 517.946 ru Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
format Article
author Маркашева, В.А.
spellingShingle Маркашева, В.А.
Локальная гёльдеровость решений квазилинейных параболических уравнений с нелинейным оператором типа Баоуенди-Грушина. Часть 1
Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины
author_facet Маркашева, В.А.
author_sort Маркашева, В.А.
title Локальная гёльдеровость решений квазилинейных параболических уравнений с нелинейным оператором типа Баоуенди-Грушина. Часть 1
title_short Локальная гёльдеровость решений квазилинейных параболических уравнений с нелинейным оператором типа Баоуенди-Грушина. Часть 1
title_full Локальная гёльдеровость решений квазилинейных параболических уравнений с нелинейным оператором типа Баоуенди-Грушина. Часть 1
title_fullStr Локальная гёльдеровость решений квазилинейных параболических уравнений с нелинейным оператором типа Баоуенди-Грушина. Часть 1
title_full_unstemmed Локальная гёльдеровость решений квазилинейных параболических уравнений с нелинейным оператором типа Баоуенди-Грушина. Часть 1
title_sort локальная гёльдеровость решений квазилинейных параболических уравнений с нелинейным оператором типа баоуенди-грушина. часть 1
publisher Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate 2008
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/19991
citation_txt Локальная гёльдеровость решений квазилинейных параболических уравнений с нелинейным оператором типа Баоуенди-Грушина. Часть 1 / В.А. Маркашева // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 124-135. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
series Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины
work_keys_str_mv AT markaševava lokalʹnaâgëlʹderovostʹrešenijkvazilinejnyhparaboličeskihuravnenijsnelinejnymoperatoromtipabaouendigrušinačastʹ1
first_indexed 2025-07-02T20:43:36Z
last_indexed 2025-07-02T20:43:36Z
_version_ 1836569346992766976
fulltext ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2008. Том 16 УДК 517.946 c©2008. В.А. Маркашева ЛОКАЛЬНАЯ ГЁЛЬДЕРОВОСТЬ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНЫМ ОПЕРАТО- РОМ ТИПА БАОУЕНДИ-ГРУШИНА. ЧАСТЬ 1 В работе изучается свойство регулярности решений вырождающегося параболического уравнения с нелинейным оператором типа Баоуенди-Грушина. Установлено свойство локальной гёльдеровости решений. 1. Введение. Постановка задачи. Исследуется решение задачи Коши для квазилинейного вырождающегося параболического уравнения следующего вида ∂u ∂t = Lλ,α[u] = divL(|DLu|λ−1DLu), (x, y, t) ∈ ST = RN+M × (0, T ). (1.1) Здесь λ > 1, а x = (x1, .., xN ), y = (y1, .., yM ), N ≥ 1,M ≥ 1 – произ- вольные точки евклидовых пространств RN и RM , соответственно. z = (x, y) = (x1, ..., xN , y1, ..., yM ), z ∈ RN+M . Символом DLu обозначим вектор DLu = ( ∂u ∂x1 , ∂u ∂x2 , .., ∂u ∂xN , |x|α ∂u ∂y1 , |x|α ∂u ∂y2 , .., |x|α ∂u ∂yM ). (1.2) Далее, |DLu| = √√√√ N∑ i=1 ( ∂u ∂xi )2 + |x|2α M∑ j=1 ( ∂u ∂yj )2 divL ~F (x, y) = N∑ i=1 ∂Fi ∂xi + |x|α M∑ j=1 ∂Fj+N ∂yj . Если α = 0, то при условии λ > 1 ([7]) уравнение (1.1) описывает процесс с медленной диффузией. Операторы типа L1,α = ∆x + |x|2α∆y, где символ ∆ означает оператор Лапласа, впервые исследовались в работах [1] и [6]. В работах [3] и [4] изучались качественные свойства решения уравнения Lλ,α[u] = f , т.е. эллиптического аналога (1.1) (см. также [5] и имеющуюся там литературу). Цель данной работы – доказать локальную гёльдеровость решений уравнения (1.1). Прежде чем перейти к формулировкам основных результатов работы введем необходимые понятия. Однородное расстояние для пространственных переменных d(z, 0) = d((x, y), (0, 0)) = (|x|2(α+1) + (α + 1)2|y|2)1/2(α+1) . В качестве шаров исполь- зуем Bρ(z′) = {z ∈ RN+M : d(z − z′, 0) ≤ ρ}. Q = N + (α + 1)M – однородная размерность в пространствах Карно-Каратеодори (см. [6]). Bρ является естествен- ным расширением понятия шара в пространствах Карно-Каратеодори. 124 Локальная гёльдеровость решений. Часть 1. Пусть t > 0, R > 0 – произвольные фиксированные числа. Определение. Слабым решением уравнения (1.1) будем называть неотрицатель- ную измеримую на ST = RN+M × (0, T ) функцию u(x, y, t) ∈ Vλ+1,loc(ST ) ≡ Lλ+1(t, T ; L1,λ+1,loc(RM+N )) ∩ C(t, T ; L2,loc(RM+N )), при каждом t > 0 удовлетворяющую интегральному тождеству: ∫ BR u(z, τ)η(z, τ)dz|t2t1 + ∫ t2 t1 ∫ BR {−uητ + (|DLu|λ−1DLu)DLη}dzdτ = 0, (1.3) для всех η(x, y, t) ∈ C(t, T ; L1,λ+1(BR)) ∩ L2(BR × (t, T )) и для всех t1, t2 : 0 < t ≤ t1 ≤ t2 ≤ T. Основным результатом статьи является теорема вложения: Теорема 5.3. Пусть u ∈ Vλ+1,loc(ST ) ∩ L∞,loc(ST ) – слабое решение уравнения (1.1). Тогда u(z, t)-локально гёльдерово на ST и для любого компакта K ⊂ ST су- ществует постоянные ᾱ ∈ (0, 1) и C(ᾱ), зависящие только от параметров задачи и diamK, такие что |u(z1, t1)− u(z2, t2)| ≤ C(ᾱ)(dᾱ(z1, z2) + |t1 − t2| ᾱ λ+1 ). (1.4) Содержание теоремы 5.3 является естественным обобщением результатов работы [2], где изучался случай α = 0. Доказательство Теоремы 5.3 приводится подходом работы [2], где существенно используются также идеи работы [5]. Статья разделена на 2 части. В первую часть входят разделы 1 и 2. Во вто- рую часть войдут разделы 3, 4 и 5. Структура статьи такова: в первом разделе описывается класс функций Bλ+1,loc(ST , M̄ , C), для λ > 1, и доказывается, что ес- ли слабое решение уравнения (1.1) из L∞,loc(ST ), то принадлежит классу функций Bλ+1,loc(ST , M̄ , C), второй раздел содержит предварительные пояснения и обозна- чения,а также все вспомогательные утверждения, на основании которых строит- ся доказательство альтернатив и основного результата, разделы 3 и 4 доказыва- ют, соответственно, первую и вторую альтернативы, а в пятом разделе приводит- ся доказательство теоремы 5.3 при помощи альтернатив. Доказательства третьего, четвертого, пятого разделов используют лишь принадлежность функции классу- Bλ+1,loc(ST , M̄ , C). На протяжении всей работы символами C, Ci.j будем обозначать различные по- ложительные константы, зависящие лишь от параметров λ,N,M, ᾱ, α. Индексы i, j означают, что эта константа впервые появляется в выражении (i.j). Нумерация сквозная. Определим класс Bλ+1,loc(ST , M̄ , C). Для этого введем обозначения: SR,%(x0, t0) = BR(x0)×{t0− %, t0}, ξ(x, t) – кусочно-гладкая функция на SR,%(x0, t0), такая что 0 ≤ ξ ≤ 1, ξ(z, t) = 0 вне BR, u – ограниченная, измеримая функция на SR,%(x0, t0). Определим срезающие функции: (u − k)+ = max(u − k, 0), (u − k)− = 125 В.А. Маркашева −min(u − k, 0). Числа H±, k таковы, что ‖(u − k)±‖L∞(SR,%) ≤ H± < ∞. ψ(H±, (u− k)±, ν) = ψ((u− k)±) = ln+ { H± H±−(u−k)±+ν } , ν < min{H±, 1}. Определение. Будем считать измеримую функцию u(z, τ) : ST −→ R принадле- жащей классу Bλ+1,loc(ST , M̄ , C), если: 1) u ∈ Vλ+1,loc(ST ), 2) ‖u‖L∞,loc(ST ) < M̄, 3) для всех SR,% ⊂ ST и для всех ξ(z, τ), определенных выше, функции (u − k)± удовлетворяют интегральным тождествам: esssup t0−%≤τ≤t0 ∫ BR [(u− k)±]2ξλ+1(z, τ)dz + ∫ ∫ SR,% |DL(u− k)±|λ+1ξλ+1dzdτ ≤ ∫ BR [(u− k)±]2ξλ+1(z, t0 − %)dz+ (1.5) +C1.5    ∫ ∫ SR,% |DL(u− k)±|λ+1[(u− k)±]λ+1dzdτ + ∫ ∫ SR,% [(u− k)±]2ξλξτdzdτ    , esssup t0−%≤τ≤t0 ∫ BR ψ2(H±, (u− k)±, ν)ξλ+1(z, τ)dz ≤ ∫ BR ψ2(H±, (u− k)±, ν)ξλ+1(z, t0 − %)dz+ (1.6) C1.6 ∫ ∫ SR,% ψ((u− k)±)|ψτ |1−λ|DLξ|λ+1dzdτ. Утверждение 1.1. Если u(z, τ) – слабое решение уравнения (1.1), такое что u ∈ L∞,loc(ST ), то u ∈ Bλ+1,loc(ST , M̄ , C). Доказательство утверждения 1.1. Введем усреднения Стеклова для функций w ∈ Vλ+1,loc(ST ): wh(z, τ) =    1 h τ+h∫ τ w(z, s)ds, τ ∈ (t, T − h] 0, τ > T − h, τ ≤ t, wh̄(z, τ) =    1 h τ∫ τ−h w(z, s)ds, τ ∈ (t + h, T ] 0, τ < t + h. 126 Локальная гёльдеровость решений. Часть 1. Стандартным образом легко доказать, что если u – решение (1.1), то оно удовлетво- ряет интегральному тождеству: t2∫ t1 ∫ BR { ∂uh ∂t ϕ + (|DLu|λ−1DLu)h̄DLϕ } dzdτ = 0 (1.7) для всех ϕ ∈ C(t + h, T ;L0 1,λ+1(BR)) и t + h < t1 < t2 < T − h. Выберем как тестирующую функцию ϕ = ±(u − k)±ξλ+1(z, τ), k ∈ R, такую, что ξ ∈ C(t0 − %, t0; L0 1,λ+1(BR)). Тогда ∫ BR t′∫ t0−% ±∂uh ∂t (uh − k)±ξλ+1dzdτ = 1 2 ∫ BR [(uh − k)±]2ξλ+1(z, t′)dz− 1 2 ∫ BR [(uh − k)±]2ξλ+1(z, t0 − %)dz − λ + 1 2 ∫ ∫ St′ [(uh − k)±]2ξλξτdzdτ, где St′ = BR × (t0 − %, t′], t′ ∈ (t0 − %, t0]. Переходя к пределу при h → 0, получаем для t′ ∈ [t0 − %, t0] ∫ BR t′∫ t0−% ± ∂uh ∂t (uh − k)±ξλ+1dzdτ → 1 2 ∫ BR [(u− k)±]2ξλ+1(z, t′)dz − 1 2 ∫ BR [(u− k)±]2ξλ+1(z, t0 − %)dz− −λ + 1 2 ∫ ∫ St′ [(u− k)±]2ξλξτdzdτ ∫ ∫ St′ DL[(uh − k)±ξλ+1]±(|DLu|λ−1DLu)h̄dzdτ = ± ∫ ∫ St′ DL(uh − k)±ξλ+1(|DLu|λ−1DLu)h̄dzdτ+ +(λ + 1) ∫ ∫ St′ ± (|DLu|λ−1DLu)h̄(uh − k)±DLξ · ξλdzdτ. Переходя к пределу при h → 0, получаем для t′ ∈ [t0 − %, t0] ∫ ∫ St′ DL[(uh − k)±ξλ+1]±(|DLu|λ−1DLu)h̄dzdτ → 127 В.А. Маркашева { ± ∫ ∫ St′ DL(u− k)±ξλ+1(|DLu|λ−1DLu)dzdτ+ +(λ + 1) ∫ ∫ St′ ± (|DLu|λ−1DLu)(u− k)±DLξ · ξλdzdτ } . Таким образом, после предельного перехода в (1.7) имеем тождество 1 2 ∫ BR [(u− k)±]2ξλ+1(z, t′)dz − 1 2 ∫ BR [(u− k)±]2ξλ+1(z, t0 − %)dz− −λ + 1 2 ∫ ∫ St′ [(u− k)±]2ξλξτdzdτ = − ∫ ∫ St′ DL ± (u− k)±ξλ+1(|DLu|λ−1DLu)dzdτ− −(λ + 1) ∫ ∫ St′ ± (|DLu|λ−1DLu)(u− k)±DLξ · ξλdzdτ. Тогда имеем 1 2 ∫ BR [(u− k)±]2ξλ+1(z, t′)dz + ∫ ∫ St′ |DL(u− k)±|λ+1ξλ+1dzdτ ≤ ≤ 1 2 ∫ BR [(u− k)±]2ξλ+1(z, t0 − %)dz + λ + 1 2 ∫ ∫ St′ [(u− k)±]2ξλξτdzdτ+ + 1 2 ∫ ∫ St′ |DL(u− k)±|λ+1ξλ+1dzdτ + C1.5 ∫ ∫ St′ [(u− k)±]λ+1|DLξ|λ+1dzdτ. Откуда следует (1.5). Для доказательства (1.6) возьмем в качестве тестирующей функции в (1.7) ϕ = [ψ2((uh−k)±)]′uh ·ξλ+1(z), где ξ(z) – срезающая функция на шаре BR, которая равна нулю на ∂BR. Очевидно, что ϕ ∈ C(0, T ; L0 1,λ+1(BR)). Заметим, что [ψ2((uh− k)±)]′uh = 2ψ ·ψ′u, ψ′′uu = (ψ′u)2, [ψ2((u− k)±)]′′uu = (2ψ ·ψ′u)′u = 2(ψ′u)2 + 2ψ · ψ′′uu = 2(1 + ψ)(ψ′u)2, откуда [ψ2((uh − k)±)]′′uhuh = 2 ( 1 + ln+ ( H± H± − (uh − k)± + ν ))( H± − (uh − k)± + ν H± )2 [ψ2((uh − k)±)]′′uhuh ∈ L∞,loc(ST ). 128 Локальная гёльдеровость решений. Часть 1. Тогда t′∫ t0−% ∫ BR ∂uh ∂t [ψ2((uh − k)±)]′uh · ξλ+1dzdτ = ∫ BR ψ2((uh − k)±(t′))ξλ+1(z)dz− ∫ BR ψ2((uh − k)±(t0 − %))ξλ+1(z)dz. Переходя к пределу при h → 0, получим t′∫ t0−% ∫ BR ∂uh ∂t [ψ2((uh − k)±)]′uh · ξλ+1dzdτ h→0−→ ∫ BR ψ2(H±, (u− k)±(t′), ν)ξλ+1(z)dz − ∫ BR ψ2(H±, (u− k)±(t0 − %), ν)ξλ+1(z)dz при всех t′ ∈ [t0 − %, t0]. ∫ ∫ St′ (|DLu|λ−1DLu)h̃DL ( [ψ2((uh − k)±)]′uh · ξλ+1(z) ) dzdτ = = ∫ ∫ St′ (|DLu|λ−1DLu)h̃DL ( [ψ2((uh − k)±)]′uh ) · ξλ+1(z)dzdτ+ (λ + 1) ∫ ∫ St′ (|DLu|λ−1DLu)h̃[ψ2((uh − k)±)]′uh ·DLξ · ξλ(z)dzdτ h→0−→ −→ ∫ ∫ St′ (|DLu|λ−1DLu)DL ( [ψ2((u− k)±)]′u ) · ξλ+1(z)dzdτ+ (λ + 1) ∫ ∫ St′ (|DLu|λ−1DLu)[ψ2((u− k)±)]′u ·DLξ · ξλ(z)dzdτ = ∫ ∫ St′ |DL(u− k)±|λ+1[ψ2((u− k)±)]′′uu · ξλ+1(z)dzdτ+ +2(λ + 1) ∫ ∫ St′ (|DLu|λ−1DLu)ψ((u− k)±) · [ψ((u− k)±)]′u ·DLξ · ξλ(z)dzdτ. Имеем ∫ BR ψ2(t′)ξλ+1(z)dz − ∫ BR ψ2(t0 − %)ξλ+1(z)dz+ 129 В.А. Маркашева +2 ∫ ∫ St′ |DL(u− k)±|λ+1(1 + ψ)(ψ′)2ξλ+1(z)dzdτ+ +2(λ + 1) ∫ ∫ St′ |DLu|λ−1DLu · ψψ′DLξ · ξλ(z)dzdτ = 0. Применяя неравенство Юнга для p = (λ + 1)/λ и p′ = λ + 1, получаем esssup t0−%≤τ≤t′ ∫ BR ψ2(τ)ξλ+1(z)dz + 2 ∫ ∫ St′ |DL(u− k)±|λ+1(1 + ψ)(ψ′)2ξλ+1(z)dzdτ ≤ ≤ 2(λ + 1) ∫ ∫ St′ |DLu|λψψ′|DLξ|ξλ(z)dzdτ + ∫ BR ψ2(t0 − %)ξλ+1(z)dz ≤ ≤ ∫ BR ψ2(t0 − %)ξλ+1(z)dz + 2 ∫ ∫ St′ |DL(u− k)±|λ+1(1 + ψ)(ψ′)2ξλ+1(z)dzdτ+ 2(λ + 1) λ2 λ+1 ∫ ∫ St′ |DLξ|λ+1ψ(ψ′)1−λdzdτ. Отметим, что (ψ′)−1 = H± − (u− k)± + ν ≤ H± + ν < ∞, ψ < ln(H±/ν), ψ′ < 1/ν. Откуда следует, что (1.6) справедливо. Утверждение 1.1 доказано. ¤ 2. Предварительные рассуждения. Обозначения. Пусть Ω ⊂ RN+M - произвольное ограниченное открытое множество в RN+M с достаточно гладкой гра- ницей. Определение. Определим пространство L1,p(Ω) для 1 ≤ p < ∞ как замыкание C∞(Ω̄) по норме ‖f‖L1,p(Ω) =   ∫ Ω (|DLf |p + |f |p) dxdy   1 p , которая эквивалентна норме   ∫ Ω |DLf |pdxdy   1 p +   ∫ Ω |f |rdxdy   1 r для 0 < r ≤ p. Определение. Пространство L0 1,p(Ω) – подпространство L1,p(Ω), определим как замыкание C∞ 0 (Ω) по норме L1,p(Ω). Пространства L1,p(Ω) и L0 1,p(Ω) включаются в класс пространств Карно-Каратеодори, для которых достаточно полно изуче- ны теоремы вложения типа С.Л. Соболева и мультипликативные неравенства ти- па Ниренберга-Гальярдо. Читателя, интересующегося теорией пространств Карно- Каратеодори, мы отсылаем к обзорной работе [5], где можно найти дальнейшую 130 Локальная гёльдеровость решений. Часть 1. литературу. Пускай α0 ∈ (0, 1) такое фиксированное число, что для постоянной C2.9, зависящей только от параметров задачи α0 ≤ C − λ+1 λ+1+Q 2.9 4 − λ+1 (λ+1+Q)2 , l-целая часть выражения [(1−α0 2 )(1+α0)] 1 2 2−[(1−α0 2 )(1+α0)] 1 2 , (2.1) s0 = { lg2( 2M̄ δ ) , если lg2( 2M̄ δ )− целое число, целая часть от{lg2( 2M̄ δ ) + 1} , в остальных случаях. s∗ − целая часть от max  [s0 + l + 1], [1 + C 1 λ 4.4 α0 4 λ ]   . (2.2) Введем обозначения: • µ+ = ess sup Ss∗ R u, µ− = ess inf Ss∗ R u, где Ss∗ R = BR × {t0 − ( 2s∗ w )λ−1 Rλ+1, t0}, w : ess osc Ss∗ R u = µ+ − µ− ≤ w ≤ 2M̄, • θp = ( 2p w )λ−1, для любого натурального p, θ0 = ( 2s0 w )λ−1 , θ∗ = ( 2s∗ w )λ−1 , • Sp R(z, t) = BR(z)× {t− θpR λ+1, t}, • A±n (ź) = {z : (v(ź)− kn)± > 0, z ∈ BRn}, где v(z, ź) = u(z, t + θź), • |A±n | = 0∫ −ρλ+1 mes A±n (ź)dź, • Vλ+1,loc(ST ) ≡ Lλ+1(t, T,L1,λ+1,loc(RM+N )) ∩ C((t, T ), L2,loc(RM+N )), V0 λ+1,loc(ST ) ≡ Lλ+1(t, T,L0 1,λ+1,loc(R M+N )) ∩ C((t, T ), L2,loc(RM+N )), u(x, y, t) ∈ Vλ+1,loc(ST ), ‖u‖λ+1 Vλ+1,loc(ST ) = sup ΩT⊂ST ( ess sup t≤τ≤T ‖u(·, τ)‖λ+1 L1,λ+1(Ω) + ‖DLu‖λ+1 L1,λ+1(ΩT ) ) , ‖u‖λ+1 Vλ+1,loc(ST ) = ‖u‖λ+1 V0 λ+1,loc(ST ) , • t̄ : t̄− θ0R λ+1 ≥ t0 − θ∗Rλ+1, t̄ ≤ t0, • A+ k,R = {z ∈ BR : (u(z)− k)+ > 0}, k ∈ R. 131 В.А. Маркашева Лемма 2.1. (см. [5], теорема 1.15). Если u ∈ L1,1(BR), то   1 |BR| ∫ BR |u− uB| Q Q−1 dz   Q−1 Q ≤ C2.3 R |BR| ∫ BR |DLu|dz. (2.3) Следствие 2.2. Если u ∈ L1,1(BR), l, k ∈ R, l > k, то (l − k) mes A+ l,R ≤ C2.4mes Q+1 Q BR mes (BR −A+ k,R) ∫ A+ k,R−A+ l,R |DLu|dz, (2.4) где C2.4 зависит только от однородной размерности пространства Q. Замечание 2.1. Чтобы из леммы 2.1 получить утверждение следствия 2.2 доста- точно неравенство (2.1) применить к функции w =    l − k, u > l, u− k, k < u ≤ l, 0, u ≤ k, и произвести элементарную оценку. Лемма 2.3. Если u ∈ V0 λ+1,loc(ST ), тогда для любого компакта ΩT ⊂ ST ||u||Lq,r(ΩT ) ≤ C||u||V0 λ+1,loc(ΩT ), где r, q таковы, что (1/r) + (Q/q(λ + 1)) = Q/(λ + 1)2 , и могут принимать значения: если Q = 1, то q ∈ (λ + 1,∞], r ∈ [(λ + 1)2,∞), если λ + 1 < Q, то q ∈ [λ + 1, Q(λ + 1)/(Q− λ− 1)], r ∈ [(λ + 1),∞], если Q ≤ λ + 1, то q ∈ [λ + 1,∞), r ∈ ((λ + 1)2/Q,∞]. Следствие 2.4. Если u ∈ ◦ Vλ+1,loc(ST ), тогда для любого компакта ΩT ⊂ ST ||u||L λ+1, Q+λ+1 λ+1 (ΩT ) ≤ C||u|| ◦ Vλ+1,loc(ΩT ) . Следствие 2.5. Если u ∈ ◦ Vλ+1,loc(ST ), тогда для любого компакта ΩT ⊂ ST ||u||λ+1 Lλ+1(ΩT ) ≤ C2.5 (mes[{u 6= 0} ∩ ΩT ]) λ+1 Q+λ+1 ||u||λ+1 ◦ Vλ+1,loc(ΩT ) , (2.5) где C2.5 = C(ΩT , Q, λ) = C   1 + ( TQ/(λ+1) mesΩ ) 1 Q+λ+1    . 132 Локальная гёльдеровость решений. Часть 1. В дальнейшем нам потребуется итерационная лемма. Лемма 2.6. (см. лемму 5.6. [8] при b > 1). Пусть последовательность yh, h = 0, 1, 2, .. неотрицательных чисел удовлетворяет рекуррентному соотношению yh+1 ≤ cbhy1+ε h , h = 0, 1, 2, .. с какими-либо положительными постоянными c, ε и b > 1. Тогда, если y0 ≤ θ = c− 1 ε b− 1 ε2 , то yh → 0 при h →∞. Лемма 2.7. Пусть ρ > 0, s0 ≤ s ≤ s∗ – произвольные постоянные. Если u ∈ Vλ+1(Ss ρ(x, t̄)), t̄ – ограниченное в начале раздела произвольное число , верно неравенство (1.5), и если t̄∫ t̄−θρλ+1 mes {z : (u− µ± ∓ w 2s )± > 0, z ∈ Bρ}dτ ≤ C −Q+λ+1 λ+1 2.9 4− (Q+λ+1)2 λ+1 ρQ+λ+1, (2.7) где C2.9 будет определена в процессе доказательства леммы, тогда справедливо либо неравенство µ−+ w 2s+1 < u(z, t), либо u(z, t) < µ+− w 2s+1 , соответственно, при (z, t) ∈ Ss ρ/2(x, t̄). Доказательство леммы 2.7. Выберем ρn = ρ/2 + ρ/2n+1, ρ̄n = (ρn + ρn+1)/2, θ = (2s/w)λ−1, ξ(x, t) – гладкая срезающая функция, которая равна 0 вне Ss ρn , и 1 на Ss ρ̄n , ξ(x, t̄ − θρλ+1 n ) = 0, для всех x ∈ Bρn , |DLξ| ≤ 2n+1/ρn, 0 < ξt ≤ Cξ2n+1/(θρλ+1 n ) = Cξ2n+1/ρλ+1 n (w/2s)λ−1для всех x ∈ Bρn , t ∈ (t̄ − θρλ+1 n , t̄), kn = µ± ∓ w/2s+1 ∓ w/2s+n+1, t̄ ≤ t0, s0 ≤ s ≤ s∗, n = 0, 1, 2, .. Тогда на Sn = Bρn × [t̄− θρλ+1 n , t̄] верно неравенство esssup t̄−θρ̄λ+1 n ≤τ≤t ||(u− kn)±||2L2(Bρ̄n )(τ) + ||DL(u− kn)±||λ+1 Lλ+1(Sρ̄n) ≤ C1.5Cξ 2n(λ+1) ρλ+1 n    ∫ ∫ Sρn [(u− kn)±]λ+1dzdτ + ∫ ∫ Sρn [(u− kn)±]2dzdτ    . Также очевидно, что (2s/w)λ−1ess sup ∫ Bρ̄n [(u − kn)±]λ+1dz ≤ ess sup ∫ Bρ̄n [(u − kn)±]2dz и ||(u − kn)±|| ≤ w/2s0 < δ. Обозначим Sn = Bρn × (−ρλ+1 n , 0), S̄n = Bρ̄n × (−ρ̄λ+1 n , 0). Сделав в последнем неравенстве замену τ = t + źθ и использо- вав введенные ранее обозначения и последние неравенства, получим θ · esssup −θρ̄λ+1 n ≤t≤0 ||(v − kn)±||λ+1 Lλ+1(Bρ̄n)(τ) + θ · ||DL(u− kn)±||λ+1 Lλ+1(S̄n) ≤ 133 В.А. Маркашева C1.5Cξ 2n(λ+1) ρλ+1 n θ( w 2s )λ+1 0∫ −ρλ+1 n mes A±kn,ρn (ź)dź. Используя введенные ранее обозначения, получим ||(v − kn)±||λ+1 Vλ+1(S̄n) ≤ C1.5Cξ 2n(λ+1) ρλ+1 n ( w 2s )λ+1 |A±n |. (2.8) Введем кусочно-гладкую срезающую функцию ϕn(z), которая равна 1 на Bρn+1 , и 0 вне Bρ̄n , |DLϕn| ≤ 2n+1/ρn. Тогда (v − kn)±ϕn ∈ V0 λ+1(S̄n). Следствие 2.5 и неравенство (2.8) дают ||(v − kn)±||λ+1 Vλ+1(Sn+1) ≤ ||(v − kn)±||λ+1 Vλ+1(S̄n) ≤ ≤ C2.5|A±n | λ+1 Q+λ+1 ||(v − kn)±ϕn||λ+1 V0 λ+1(S̄n) ≤ C2.5|A±n | λ+1 Q+λ+1 C1.5Cξ 2n(λ+1) ρλ+1 n ( w 2s )λ+1 |A±n |. Так как ||(v − kn)±||λ+1 Vλ+1(Sn+1) ≥ |kn − kn+1|λ+1|A±n+1| ≥ (w/2s)λ+1/2(λ+1)(n+1)|A±n+1|, имеем ( w 2s )λ+1 1 2(λ+1)(n+1) |A±n+1| ≤ C2.5|A±n |1+ λ+1 Q+λ+1 C1.5Cξ 2n(λ+1) ρλ+1 n ( w 2s )λ+1 , |A±n+1| ≤ C2.5C1.5Cξ2λ+1 4n(λ+1) ρλ+1 n |A±n |1+ λ+1 Q+λ+1 = C2.9 4n(λ+1) ρλ+1 n |A±n |1+ λ+1 Q+λ+1 . (2.9) Введем новое обозначение Yn = |A±|/|Sn|. Тогда Yn+1 ≤ C2.94n(λ+1)Y 1+ λ+1 Q+λ+1 n |Sn| λ+1 Q+λ+1 ρλ+1 n = C2.94n(λ+1)Y 1+ λ+1 Q+λ+1 n . Лемма 2.6 (см. лемму 5.6 [8] при b > 1) позволяет утверждать, что если Y0 ≤ C −Q+λ+1 λ+1 2.9 4− (Q+λ+1)2 λ+1 , то Yn → 0 при n →∞. Следовательно, если t̄∫ t̄−θρλ+1 mes {z : (u− µ± ∓ w 2s )± > 0, z ∈ Bρ}dτ ≤ C −Q+λ+1 λ+1 2.9 4− (Q+λ+1)2 λ+1 ρQ+λ+1, то либо µ− + w 2s+1 < u(z, t), либо u(z, t) < µ+ − w 2s+1 , соответственно, при z ∈ B ρ 2 , t ∈ (t̄− (2s/w)λ−1(ρ/2)λ+1, t̄). Что и требовалось дока- зать. ¤ Продолжение статьи будет издано позднее. 134 Локальная гёльдеровость решений. Часть 1. 1. Baouendi M.S. Sur une classe d’opérateurs elliptiques dégénérés // Bull.Soc.Math.France. – 1967. – Вып.95 – P.45-87. 2. Di Benedetto E. On the Local Behaviour of Solutions of Degenerate Parabolic Equations with Measurable Coefficients // Ann. Sc. Norm. Pisa Cl.Sci.. – 1986. – Вып.13(3) – P.487-535. 3. Franchi B., Lanconelli E. Une metrique associee a une classe d‘operateurs elliptiques degeneres // Toronto: Rend. Sem. Mat. Univ. Politec., – 1984. 4. Franchi B., Lanconelli E. Holder regularity theorem for a class of linear nonuniformly elliptic operators with measurable coefficients // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. – 1983. – Вып.10(4) – P.523-541. 5. Garofalo N., D.-M.Nhieu D.-M. Isoperimetric and Sobolev Inequalities for Carnot-Caratheodory Spaces and the Existence of Minimal Surfaces // Comm. Pure Appl. Math. – 1996. – Вып.49 – P.1081-1144. 6. Grushin V.V. On a class of hypoelliptic operators // Math USSR Sbornik. – 1970. – Вып.12(3) – P.458-476. 7. Kalashnikov A.S. Some properties of the qualitative theory of nonlinear degenerate second-order parabolic equations // Russian Math. Surveys. – 1987. – Вып.42 – P.169-222. 8. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. – М.: Наука, 1967. – 736с. Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк w9071981@yandex.ru Получено 26.03.08 135 содержание Том 16 Донецк, 2008 Основан в 1997г. содержание Том 16 Донецк, 2008 Основан в 1997г.

Схожі ресурси