Поведение L1-нормы продолжения решения уравнения свертки
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20018 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Поведение L1-нормы продолжения решения уравнения свертки / А.Н. Миненкова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 144-147. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-20018 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-200182011-05-20T12:04:49Z Поведение L1-нормы продолжения решения уравнения свертки Миненкова, А.Н. 2008 Article Поведение L1-нормы продолжения решения уравнения свертки / А.Н. Миненкова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 144-147. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20018 517.5 ru Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| format |
Article |
| author |
Миненкова, А.Н. |
| spellingShingle |
Миненкова, А.Н. Поведение L1-нормы продолжения решения уравнения свертки Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| author_facet |
Миненкова, А.Н. |
| author_sort |
Миненкова, А.Н. |
| title |
Поведение L1-нормы продолжения решения уравнения свертки |
| title_short |
Поведение L1-нормы продолжения решения уравнения свертки |
| title_full |
Поведение L1-нормы продолжения решения уравнения свертки |
| title_fullStr |
Поведение L1-нормы продолжения решения уравнения свертки |
| title_full_unstemmed |
Поведение L1-нормы продолжения решения уравнения свертки |
| title_sort |
поведение l1-нормы продолжения решения уравнения свертки |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20018 |
| citation_txt |
Поведение L1-нормы продолжения решения уравнения свертки / А.Н. Миненкова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 144-147. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| work_keys_str_mv |
AT minenkovaan povedeniel1normyprodolženiârešeniâuravneniâsvertki |
| first_indexed |
2025-07-02T20:46:50Z |
| last_indexed |
2025-07-02T20:46:50Z |
| _version_ |
1836569559432167424 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2008. Том 17
УДК 517.5
c©2008. А.Н. Миненкова
ПОВЕДЕНИЕ L1-НОРМЫ ПРОДОЛЖЕНИЯ
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ СВЕРТКИ
В этой статье получены нижние оценки для интеграла функций, которые являются продолжени-
ем решения уравнения свертки, в окрестности любой точки, лежащей вне наименьшего отрезка,
содержащего носитель свертывателя.
Введение. Пусть T ∈ E ′(R1), T 6= 0, где E ′(R1) – пространство распределений с
компактными носителями и пусть r(T ) – длина наименьшего отрезка, содержащего
носитель T . Предположим, что
−∞ ≤ a < b ≤ +∞, b− a > 2r(T ).
Введем следующее обозначение
(a, b)T = {t ∈ R1 : t− suppT ⊂ (a, b)}.
Обозначим CT (a, b) – класс непрерывных функций f , которые являются решением
уравнения свертки
(f ∗ T )(t) = 0, t ∈ (a, b)T . (1)
Пусть T̂ = 〈T, e−izt〉 – преобразование Фурье T , Z(T̂ ) – множество всех нулей T̂ .
Для λ ∈ Z(T̂ ) обозначим
m(λ, T ) = nλ(T̂ )− 1,
где nλ(T̂ ) – кратность нуля λ функции T̂ .
Появлению этой работы предшествовало изучение вопроса о неинтегрируемых
продолжениях решений уравнений свертки. В связи с этим в [1, стр.86] был получен
следующий результат.
Теорема. Пусть T ∈ E ′(R1) и предположим, что
sup
λ∈Z(T̂ )
m(λ, T )
1 + |Imλ| = ∞. (2)
Тогда для каждого R > r(T ) существует функция f ∈ CT (−R, R) такая, что
f |(0,R) /∈ L1(0, R) и f |(−R,0) /∈ L1(−R, 0). В частности, функция f не допускает
непрерывного продолжения на [-R,R].
Также в работе [2] была получена нижняя оценка для интеграла функции, ко-
торая является решением уравнения свертки,в окрестности любой точки, лежащей
вне наименьшего отрезка, содержащего носитель свертывателя.
Теорема 1. Пусть T ∈ E ′(R1), T 6= 0, и предположим, что T удовлетворя-
ет (2). Тогда для каждого R > r(T ) существует f ∈ CT (−R, R) такая, что для
144
Поведение L1-нормы продолжения решения уравнения свертки
некоторой положительной последовательности {εn}+∞
n=1 : εn → 0 при достаточно
больших n ∫ R−εn
R−2εn
|f(t)|dt ≥ ecε
−4/3
n , (3)
где c > 0 не зависит от εn.
1. Предварительные сведения. Для доказательства основного результата
статьи нам понадобятся некоторые дополнительные утверждения и обозначения.
Пусть D′(R1) – пространство распределений. Обозначим D′T (a, b) – множество
всех распределений f , которые удовлетворяют (1).
Для z ∈ C,m ∈ Z+, t ∈ R1 обозначим
ez,m(t) = (it)meizt.
Пусть g : C→ C – ненулевая целая функция, nλ – кратность ее нуля λ. Опреде-
лим последовательность {aλ,η
j (g)}nλ−1
j=0 таким образом
aλ,η
j (g) =
{
0, j < η,
nλ!
η!g(nλ)(λ)
, j = η.
Для дальнейшего понадобится такая целая функция
aλ,η(g, z) =
nλ−1∑
j=0
aλ,η
j (g)
g(z)
(z − λ)nλ−j
.
Пусть T ∈ E ′(R1), T 6= 0, λ ∈ Z(T̂ ), η ∈ {0, ...,m(λ, T )} и f ∈ D′T (a, b), тогда мож-
но показать, что для некоторых cλ,η(T, f) ∈ C выполняется следующее равенство
f ∗ Tλ,0 =
m(λ,T )∑
η=0
cλ,η(T, f)eλ,η,
где свертка рассматривается в (a+r(T ), b−r(T )), а Tλ,0 ∈ E ′(R1) определяется таким
образом
r(Tλ,0) = r(T )
и
T̂λ,0(z) = aλ,0(T̂ , z), z ∈ C.
В дальнейшем нам понадобится следующая теорема.
Теорема 2. Пусть T ∈ E ′(R1), T 6= 0 и f ∈ D′(a, b) и предположим, что
f =
∑
λ∈Z(T̂ )
m(λ,T )∑
η=0
γλ,ηe
λ,η,
где γλ,η ∈ C, и ряд сходится в D′(a, b). Тогда f ∈ D′T (a, b) и γλ,η = cλ,η(T, f).
145
А.Н. Миненкова
Доказательство этой теоремы приводится в [1, гл.3].
2. Оценка интегралов с полиномиальным весом. В этом разделе статьи
улучшается результат Теоремы 1, а, именно, – показано, что продолжение реше-
ния уравнения свертки может быть не интегрируемым, даже если его умножить на
некоторую функцию, равную нулю в особенности этого продолжения.
Теорема 3. Пусть T ∈ E ′(R1), T 6= 0, и предположим, что T удовлетворяет
(2). Тогда для каждого R > r(T ) существует f ∈ CT (−R,R) такая, что для неко-
торой положительной последовательности {εm}+∞
m=1 : εm → 0 при достаточно
больших m ∫ R−εm
−R+εm
|f(t)|(R− |t|)ndt ≥ eε
−5/4
m , (4)
где n ∈ N.
Доказательство. Обозначим через {ζk}∞k=1 – последовательность нулей T̂ . Далее,
согласно условию (2), эта последовательность обладает следующими свойствами:
i) lim
k→∞
qk = ∞, где qk = lk(1 + |Imζk|)−1 и lk = m(ζk, T );
ii) qk+1 > q
1/3
k > 1 и qk+1 > l
1/3
k /qk для всех k ∈ N.
Используем для доказательства ту же функцию, что и в доказательстве Теоремы
3 в [2], напомним, что эта функция имеет вид
f(t) =
∞∑
k=1
γk
(
t
R
)lk
eiζkt, t ∈ (−R, R),
где γk = elkq
−1/3
k , а R > r(T ). Из условия i) и Теоремы 2 следует, что функция
f ∈ CT (−R, R).
Рассмотрим следующий интеграл, используя Теорему 1, оценим его
∫ R−εm
−R+εm
|f(t)|(R− |t|)ndt ≥
∫ R−εm
R−2εm
|f(t)|(R− t)ndt ≥ εn
m
∫ R−εm
R−2εm
|f(t)|dt. (5)
Согласно (3) и (5) для некоторого c > 0
∫ R−εm
−R+εm
|f(t)|(R− |t|)ndt ≥ εn
mecε
−4/3
m ≥ eε
−5/4
m .
Следовательно, мы получили оценку (4). Теорема доказана. ¤
Благодарность. Автор выражает благодарность Волчкову Валерию Владими-
ровичу за постановку задач и многочисленные советы, позволившие улучшить текст
статьи.
1. Volchkov V.V. , Volchkov Vit.V. Mean periodic functions. – Donetsk: Donetsk National University
Press., 2008. – 194c.
146
Поведение L1-нормы продолжения решения уравнения свертки
2. Миненкова А.Н. О характере неинтегрируемости продолжения решения уравнения свертки. –
Донецк: Труды ИПММ НАН Украины. – 16. – 2008. – C.152-155.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
a.minenkova@gmail.com
Получено 28.10.08
147
содержание
Том 17
Донецк, 2008
Основан в 1997г.
|