Аналог теоремы Руше в обобщенном классе Смирнова
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20019 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Аналог теоремы Руше в обобщенном классе Смирнова / Е.В. Нейман // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 148-153. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-20019 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-200192011-05-20T12:04:41Z Аналог теоремы Руше в обобщенном классе Смирнова Нейман, Е.В. 2008 Article Аналог теоремы Руше в обобщенном классе Смирнова / Е.В. Нейман // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 148-153. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20019 517.547.7 ru Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| format |
Article |
| author |
Нейман, Е.В. |
| spellingShingle |
Нейман, Е.В. Аналог теоремы Руше в обобщенном классе Смирнова Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| author_facet |
Нейман, Е.В. |
| author_sort |
Нейман, Е.В. |
| title |
Аналог теоремы Руше в обобщенном классе Смирнова |
| title_short |
Аналог теоремы Руше в обобщенном классе Смирнова |
| title_full |
Аналог теоремы Руше в обобщенном классе Смирнова |
| title_fullStr |
Аналог теоремы Руше в обобщенном классе Смирнова |
| title_full_unstemmed |
Аналог теоремы Руше в обобщенном классе Смирнова |
| title_sort |
аналог теоремы руше в обобщенном классе смирнова |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20019 |
| citation_txt |
Аналог теоремы Руше в обобщенном классе Смирнова / Е.В. Нейман // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 148-153. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| work_keys_str_mv |
AT nejmanev analogteoremyruševobobŝennomklassesmirnova |
| first_indexed |
2025-07-02T20:47:04Z |
| last_indexed |
2025-07-02T20:47:04Z |
| _version_ |
1836569565342990336 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2008. Том 17
УДК 517.547.7
c©2008. Е.В. Нейман
АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ РУШЕ
В ОБОБЩЕННОМ КЛАССЕ СМИРНОВА
В работе вводится в рассмотрение обобщенный класс Смирнова. Для матриц-функций из этого
класса даны определения нулевой и полюсной кратности, так что аналог теоремы Руше остается
в силе. Доказательство основывается на обобщенной теореме Руше для матриц-функций класса
Смирнова, полученной М.Г.Крейном и Г.Лангером в 1981г.
Введение. Пусть F и G голоморфные в замкнутом единичном круге
{
z ∈ C :
|z| ≤ 1
}
функции, такие что |F (λ)| > |G(λ)|, для всех λ ∈ T =
{
z ∈ C : |z| = 1
}
.
Известная теорема Руше [11] утверждает, что функции F и F +G имеют одинаковое
число нулей в D =
{
z ∈ C : |z| < 1
}
.
Некоторые обобщения теоремы Руше на голоморфные матричнозначные функ-
ции получены в [3] и [5]. Пусть Hn×n
p (1 ≤ p ≤ ∞) – это классы Харди матриц-
функций порядка n×n (см. [10]). Напомним, что n×n матриц-функция ψ из класса
Hn×n∞ (см. [2], т. е. ограниченная в D) называется внешней, если ψHn×n
2 (D) плотно
в Hn×n
2 (D), n× n матриц-функция ϕ(λ) называется внутренней, если
ϕ(ζ)∗ϕ(ζ) = In (ζ ∈ T).
Как известно ([8]), всякая матриц-функция F из класса Hn×n∞ (D) допускает факто-
ризацию
F (λ) = ϕ(λ)ψ(λ),
где ϕ(λ) – внутренняя, а ψ(λ) – внешняя матриц-функция. Матриц-функцию F ,
голоморфную в D, относят к классу Смирнова Dn×n, если она представима в виде
F (λ) = y(λ)−1F0(λ),
где F0 ∈ Hn×n∞ , а y – это скалярная внешняя функция.
Крейном и Лангером в [5] получено следующее обобщение теоремы Руше:
Теорема 1. (Крейн-Лангер) Пусть F, G ∈ Dn×n, det(F (λ) + G(λ)) 6≡ 0 (в D)
и ||G(λ) · F (λ)−1|| ≤ 1 (п.в. на T). Если F имеет внутренний фактор степени
κF (< ∞), то F + G имеет внутренний фактор степени κF+G ≤ κF . Если к тому
же F (F + G)−1|T ∈ Ln×n
1 (T), то κF+G = κF .
Другое обобщение теоремы Руше на матриц-функции, мероморфные в D и име-
ющие конечную суммарную полюсную кратность в D, получено в [3]. В этой же
работе введены понятия нулевой и полюсной кратности для мероморфных матриц-
функций (см. также [6], [7]). Это определение становится уже не тривиальным, ес-
ли нули матриц-функции F совпадают с ее полюсами. Например, матриц-функция
F (λ) =
(
1 0
1/λ 1
)
имеет и ноль, и полюс в точке 0, так как F (λ)−1 =
(
1 0
−1/λ 1
)
.
148
Аналог теоремы Руше в обобщенном классе Смирнова
В настоящей работе вводится в рассмотрение обобщенный класс Смирнова Dn×n
κ
и для матриц-функций этого класса вводятся понятия нулевой и полюсной крат-
ности. В работе получено обобщение результата Крейна-Лангера на класс Dn×n
κ ,
содержащий в себе как матриц-функции класса Смирнова, так и конечномероморф-
ные функции, фигурирующие в теореме Гохберга-Сигала [3, Теорема 2.2].
1. Основные понятия и результаты. Как известно [2], нули αj (j ≤ N ≤ ∞)
скалярной функции F ∈ H∞, занумерованные с учетом кратности, удовлетворяют
условию
N∑
j=1
(
1− |αj |
)
< ∞, а сама функция F допускает факторизацию
F (λ) = b(L)F0(λ), b(L) =
N∏
1
bαj (λ),
где bαj (λ) = αj
αj
λ−αj
1−λαj
– множители Бляшке, а F0(λ), принадлежащая H∞, не имеет
нулей внутри области D. Число N называют порядком произведения Бляшке b(λ).
В матричном случае аналог этого утверждения получен В.П.Потаповым [8]. Про-
изведением Бляшке-Потапова называется матриц-функция вида
b(λ) =
N∏
j=1
bj(λ), (1)
где bj(λ) имеют вид
bj(λ) = I − Pj +
λ− αj
1− αjλ
Pj ,
где αj ∈ D, Pj – ортопроекторы в Cn (j = 1, 2, . . . , N).
Множитель Бляшке-Потапова bj(λ) называется простым, если Pj ортопроектор
в Cn ранга 1. Представление (1) для функции b(λ) является не единственным, но
при условии, что все факторы bj простые, оказывается, что их количество одно и
то же [9].
Определение. Количество простых множителей Бляшке-Потапова в разложении
(1) называется степенью произведения Бляшке-Потапова.
Теорема 2. ([9]) Всякая матриц-функция F ∈ Hn×n∞ (D) допускает представле-
ние
F (λ) = b0(λ)F0(λ) = F1(λ)b1(λ),
где b0, b1 – произведения Бляшке-Потапова; F0, F1 ∈ Hn×n∞ и не имеют нулей в D.
При этом степени произведений Бляшке-Потапова b0 и b1 совпадают.
Определение. Нулевой кратностью Mζ для F ∈ Hn×n∞ мы будем называть сте-
пень произведения Бляшке-Потапова b0, вообще говоря, равную степени произведе-
ния Бляшке-Потапова b1 [5]
Mζ(F ) = deg b0 (= deg b1).
149
Е.В. Нейман
Определение. Говорят, что матриц-функция F , мероморфная в D, принадлежит
классу Hn×n
κ,∞ , если она представима в виде
F (λ) = bl(λ)−1Fl(λ), (2)
где bl, Fl ∈ Hn×n∞ , и bl – произведение Бляшке-Потапова степени κ.
Как показано в [5], среди всех возможных факторизаций (2) существует мини-
мальная, удовлетворяющая условию
rank[bl(λ) Fl(λ)] = n, (3)
которая определяется однозначно, с точностью до левого унитарного множителя.
Если при этом степень bl равна κ0, то F ∈ Hn×n
κ0,∞\Hn×n
κ0−1,∞. Более того, для всякой
матриц-функции F из класса Hn×n
κ0,∞\Hn×n
κ0−1,∞ существует также правая факториза-
ция
F (λ) = Fr(λ)br(λ)−1, (4)
где br, Fr ∈ Hn×n∞ , и br – произведение Бляшке-Потапова степени κ, для которых
выполнено условие
kerFr(λ) ∩ ker br(λ) = {0}, λ ∈ D. (5)
Условия (4), (5) определяют множители Fr и br однозначно, с точностью до
правого унитарного множителя.
Определение. Будем говорить, что мероморфная в области D функция F при-
надлежит классу Dn×n
κ , если она допускает левую факторизацию (2), где bl – мно-
житель Бляшке-Потапова степени κ, Fl ∈ Dn×n; при этом bl и Fl удовлетворяют
условию (3).
Условие (3) гарантирует единственность разложения (2) с точностью до левого
унитарного множителя (см. [4]).
В [4] показывается (см. также [1]), что для функций из класса Dn×n
κ существует
также правая факторизация (4), где br ∈ Hn×n∞ – произведение Бляшке-Потапова
степени κ, а Fr – матриц-функция класса Dn×n, такие что выполнено условие (5).
Условия (4), (5) определяют множители br, Fr однозначно, с точностью до правого
унитарного множителя.
Заметим, что при этом степени множителей Бляшке-Потапова br и bl совпадают.
Определение. Пусть F ∈ Dn×n
κ (D) имеет левую факторизацию (2). Тогда число
M(F ) = Mζ(Fl)− κ
называется суммарной кратностью мероморфной матриц-функции F (λ) относитель-
но области D.
Основной результат работы составляет следующая
Теорема 3. Пусть F ∈ Dn×n
κ (D), G ∈ Dn×n
κ1
(D). Если det(F (λ) + G(λ)) 6≡ 0 (в
D) и ||G(λ)F (λ)−1|| ≤ 1 (п. в. на T), то
M(F + G) ≤M(F ). (6)
150
Аналог теоремы Руше в обобщенном классе Смирнова
Если к тому же F (F + G)−1|T ∈ Ln×n
1 (T), то
M(F + G) = M(F ). (7)
Доказательство основано на теореме Крейна-Лангера, приведенной выше, и на
следующем утверждении.
Лемма 1. Для произвольных мероморфных матриц-функций A и B из классов
Dn×n
κ1
и Dn×n
κ2
, соответственно, выполнено соотношение
M(A ·B) = M(A) +M(B). (8)
2. Доказательства основных результатов.
Доказательство Леммы 1. Если n = 1, то A и B – скалярные функции, и
утверждение (8) очевидно. Действительно при умножении функций A и B, соответ-
ствующие порядки нулей и полюсов складываются. Если n > 1, то, как следует из
[3]
M(A) = M(
det(A)
)
, M(B) = M(
det(B)
)
. (9)
Переходя к скалярным функциям, мы получим из формул (9) формулу (8)
M(AB) = M(
det(AB)
)
= M(
det(A) · det(B)
)
= M(
det(A)
)
+M(
det(B)
)
= M(A) +M(B).
Лемма доказана. ¤
Доказательство основной Теоремы 3. Представим функции F и G в виде
F = b−1F1, G = G1d
−1,
где b и d – произведения Бляшке-Потапова степеней κ и κ1, соответственно; F1, G1 ∈
Dn×n. Тогда
F + G = b−1(F1d + bG1)d−1.
Согласно Лемме 1:
M(F + G) = M(b−1) +M(F1d + bG1) +M(d−1)
= −κ1 +M(F1d + bG1)− κ.
(10)
Применим к F1d+bG1 Теорему 1 Крейна-Лангера. Проверим выполнение всех усло-
вий Теоремы 1:
1) F1d, bG1 ∈ Dn×n по построению.
2) ||b(λ)G1(λ) · (F1(λ)d(λ)
)−1|| ≤ 1 на T.
151
Е.В. Нейман
Действительно,
||b(λ)G1(λ) · (F1(λ)d(λ)
)−1|| = ||b(λ)G1(λ)d−1(λ)F−1
1 (λ)||
= ||b(λ)G(λ)F−1
1 (λ)||
= ||G(λ)F−1
1 (λ)b(λ)||
= ||G(λ)F−1(λ)|| ≤ 1 (на T).
При этом используется равенство ||b(λ)G(λ)F−1
1 (λ)|| = ||G(λ)F−1
1 (λ)b(λ)||, спра-
ведливое на T, так как b(λ) на границе T унитарна. Отсюда следует, что
||b(λ)G1(λ) · (F1(λ)d(λ)
)−1|| ≤ 1
на T.
3) det
(
b(λ)G1(λ) + F1(λ)d(λ)
) 6≡ 0. Действительно, для всех λ ∈ D получим
det
(
b(λ)G1(λ) + F1(λ)d(λ)
)
= det
(
b−1(λ)
) · det
(
b(λ)G1(λ) + F1(λ)d(λ)
) · det
(
d−1(λ)
)
= det
(
b−1(λ)
(
b(λ)G1(λ) + F1(λ)d(λ)
)
d−1(λ)
)
= det
(
F (λ) + G(λ)
) 6≡ 0.
Поэтому применение Теоремы 1 возможно и
M(F1d + bG1) ≤M(F1d). (11)
Применяя Лемму 1 к правой части (11), получим
M(F1d) = M(F1) +M(d) = Mζ(F1) + κ1. (12)
Подставим (12) в (10):
M(F + G) ≤ −κ +Mζ(F1) + κ1 − κ1
= −κ +Mζ(F1) = M(F ).
Таким образом, неравенство (6) доказано.
4) Проверим принадлежность F1d(F1d + bG1)−1 ∈ Ln×n
1 (T). Действительно, по
условию
F (F + G)−1 ∈ Ln×n
1 (T).
Поэтому
F (F + G)−1 = b−1F1(b−1F1 + G1d)−1
= b−1F1
(
b−1(F1d + bG1)d−1
)−1 ∈ Ln×n
1 (T).
Обозначим B := b−1F1d(F1d + bG1)−1b ∈ Ln×n
1 (T). Так как κ < ∞, то bBb−1 –
определена п.в. на T, а так как b – унитарна на T, то матриц-функции bBb−1 и B
принадлежат Ln×n
1 (T), но bBb−1 = F1d(F1d + bG1)−1.
152
Аналог теоремы Руше в обобщенном классе Смирнова
Применяя Теорему 1 к функции F1d + bG1, аналогично доказываем равенство
(7) при выполнении условия F (F + G)−1 ∈ Ln×n
1 (T). Теорема доказана. ¤
Из Теоремы 3 вытекает
Следствие. Пусть F ∈ Dn×n
κ , G ∈ Dn×n
κ1
. Если ||G(λ)F (λ)−1|| < ρ < 1 на T, то
M(F + G) = M(F ).
Доказательство. Для доказательства достаточно показать, что F (F + G)−1|T ∈
Ln×n
1 (T). Действительно,
||F (λ)
(
F (λ) + G(λ)
)−1|| = ||F (λ) · F (λ)−1
(
1 + F (λ)−1G(λ)
)−1||
= ||I · (1 + F (λ)−1G(λ)
)−1||
≤ (1− ρ)−1 < ∞ (на T).
Здесь использовалось соотношение, что ||G(λ)F (λ)−1|| = ||F (λ)−1G(λ)||. ¤
Это утверждение оказывается также более общим, чем обобщение, полученное
Гохбергом и Сигалом, так как здесь не требуется нормальность матриц-функций F
и G относительно контура T и ее непрерывность вплоть до границы. В то же время
отметим, что утверждение Гохберга-Сигала относится к оператор-функциям.
1. Деркач В.А. Об индефинитной интерполяционной задаче Шура-Неванлинны-Пика. – Укр. Ма-
тем. Журн. – т.55 (2003). – №10. – С.1299-1314.
2. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. – М., Изд. ин. лит., 1963.
3. Гохберг И.Ц., Сигал Е.И. Обобщение теоремы о логарифмическом вычете. – Математический
сборник. – т.84 (126). – №4, 1974г.
4. Krein M.G., Langer H. Uber die verallgemeinerten Resolventen und die characteristische Funktion
eines isometrischen Operators im Raume Πκ, Hilbert space Operators and Operator Algebras (Proc.
Intern. Conf. Tihany, 1970); Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai, vol.5, North-Holland, Amsterdam,
С.353-399, 1972.
5. Krein M.G., Langer H. Some proposition on analytic matrix-function related to the theory of
operators in the space Πκ, Acta Sct. Math., Szeged, 43 (1981). – С.181-205.
6. Крейн С. Г., Трофимов В. П. О кратности характерестической точки голоморфной оператор-
функции, Мат. Иссед. 5. – №2. – (1970). – С.105-114.
7. Палант Ю.А. Об одном методе получения признаков кратной полноты системы собственных
и присоединённых векторов полиномиального пучка операторов, Записки мех.-мат. фак-та
Харьк. матем. об-ва, 34 (1970). – С.1-13.
8. Потапов В. П. О голоморфных ограниченных в единичном круге матриц-функциях, Докл.
АН СССР, 72 (1950). С.849-852.
9. Потапов В.П. Мультипликативная структура J-несжимающих матриц-функций, Труды Моск.
мат. заметок, 4 (1955). – С.125-236.
10. Секефальви-Надь Б., Фояш Ч. Гармонический анализ операторов в гильбертовом простран-
стве. – М.: Мир, 1970г.
11. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. – М.: Наука, 1969г.
Донецкий национальный ун-т
evg_sqrt@mail.ru
Получено 05.09.08
153
содержание
Том 17
Донецк, 2008
Основан в 1997г.
|