Теорема о среднем для полианалитических функций
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20025 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Теорема о среднем для полианалитических функций / О.Д. Трофименко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 194-196. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-20025 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-200252011-05-20T12:04:52Z Теорема о среднем для полианалитических функций Трофименко, О.Д. 2008 Article Теорема о среднем для полианалитических функций / О.Д. Трофименко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 194-196. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20025 517.5 ru Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| format |
Article |
| author |
Трофименко, О.Д. |
| spellingShingle |
Трофименко, О.Д. Теорема о среднем для полианалитических функций Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| author_facet |
Трофименко, О.Д. |
| author_sort |
Трофименко, О.Д. |
| title |
Теорема о среднем для полианалитических функций |
| title_short |
Теорема о среднем для полианалитических функций |
| title_full |
Теорема о среднем для полианалитических функций |
| title_fullStr |
Теорема о среднем для полианалитических функций |
| title_full_unstemmed |
Теорема о среднем для полианалитических функций |
| title_sort |
теорема о среднем для полианалитических функций |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20025 |
| citation_txt |
Теорема о среднем для полианалитических функций / О.Д. Трофименко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 194-196. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| work_keys_str_mv |
AT trofimenkood teoremaosrednemdlâpolianalitičeskihfunkcij |
| first_indexed |
2025-07-02T20:47:29Z |
| last_indexed |
2025-07-02T20:47:29Z |
| _version_ |
1836569596099821568 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2008. Том 17
УДК 517.5
c©2008. О.Д. Трофименко
ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ДЛЯ ПОЛИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
В данной статье получен аналог теоремы о среднем для случая полианалитических функций.
Введение. Пусть функция f ∈ C(D) (D : |z| < 1). f называется ареоларно
моногенной в D тогда и только тогда, когда ( ∂
∂z̄ )f - аналитическая функция в D.
Пусть Ω – область в C, m ∈ N. Функция f , локально интегрируемая в Ω, на-
зывается m-аналитической в Ω тогда и только тогда, когда ( ∂
∂z̄ )mf = 0 в смысле
распределений.
Изучению m-аналитических функций предшествовали работы М.О.Рида [1], [2]
об ареоларно моногенных функциях. По поводу результатов, связанных с различ-
ными классами m-аналитических функций, см. [3], [4]. Приведем ранее полученные
результаты.
Теорема A. (см.[1]) Если f(z) ∈ C(D), D : |z| < 1, тогда следующие утвер-
ждения эквивалентны:
(A) f(z)-ареоларно моногенная в D.
(B) Уравнение
L(f ; z, r) ≡
∫
C(z,r)
(ζ − z)f(ζ)dζ = 0 (1)
выполнено для каждого C(z, r) в D (C(z, r) – граница замкнутого диска D(z, r)
с центром в точке z и радиусом r).
(C) Уравнение
A(f ; z, r) ≡
∫ ∫
D(z,r)
(ζ − z)2f(ζ)dξdη = 0 (2)
выполнено для каждого D(z, r) в D.
Теорема B. (см.[3], гл.5) Если функция f – m-аналитична в Ω(Ω ⊂ C, m ∈ N),
то уравнение ∫
|z|=r
f(z + ζ)zm−1dz = 0 (3)
выполнено для почти всех ζ ∈ Ω, r ∈ (0, dist(ζ, ∂Ω)).
Обратное утверждение также выполнено.
194
Теорема о среднем для полианалитических функций
Теорема C. Пусть 0 – произвольная точка в Ω(Ω ⊂ Cn) и ∆pΦ = 0 в Sρp ⊂ Ω
(p = 0, 1, 2, ..., Sρp – сфера с радиусом ρp и центром в 0); тогда ∀ρj ≤ ρp
Φ(0) +
p∑
i=2
ρ
2(i−1)
j Ai =
1
ωN
∫
r=ρj
Φdω, (4)
где Ai не зависит от ρj, ωN – площадь поверхности n-мерной единичной сферы.
В данной работе обобщены результаты для m-аналитических функций и получен
аналог основного результата Пизетти для полигармонических функций (см. Теорема
C).
1. Формулировка основного результата. В этом разделе приводится теорема
о среднем для m-аналитических функций.
Теорема 1. Пусть m ∈ N и f – m-аналитична в Ω (Ω – область в C). Тогда
∀ζ ∈ Ω выполнено равенство
m−1∑
l=1
1
(l − 1)!l!
((
∂
∂ζ
)l−1 (
∂
∂ζ̄
)l
)
f(ζ)ρ2l =
1
2πi
∫
|z−ζ|=ρ
f(z)dz, (5)
ρ < dist(ζ, ∂Ω).
Как промежуточный результат, получена следующая лемма, которая понадобит-
ся нам для доказательства основного результата.
Лемма. Пусть m ∈ N, k ∈ Z+, тогда для любой функции вида f = zkz̄m−1
выполнено равенство (5).
Доказательство леммы. Для доказательства этой леммы рассмотрим два слу-
чая.
При k ≥ m− 1 получим
∫
|z−ζ|=ρ
f(z)dz =
∫
|z−ζ|=ρ
zkz̄m−1dz = 2πi
m−1∑
l=1
C l−1
k C l
kρ
2lζk−l+1ζ̄k−l = (6)
=
m−1∑
l=1
C l−1
k C l
k(k − l + 1)!(m− l − 1)!
k!(m− 1)!
((
∂
∂ζ
)l−1 (
∂
∂ζ̄
)l
)
f(ζ)ρ2l =
=
m−1∑
l=1
1
(l − 1)!l!
((
∂
∂ζ
)l−1 (
∂
∂ζ̄
)l
)
f(ζ)ρ2l.
Если k < m− 1, то
∫
|z−ζ|=ρ
f(z)dz =
∫
|z−ζ|=ρ
zkz̄m−1dz = 2πi
k+1∑
l=1
C l−1
k C l
kρ
2lζk−l+1ζ̄k−l = (7)
195
О.Д. Трофименко
=
m−1∑
l=1
1
(l − 1)!l!
((
∂
∂ζ
)l−1 (
∂
∂ζ̄
)l
)
f(ζ)ρ2l.
Из (6) и (7) следует, что f удовлетворяет (5). ¤
2. Доказательство основного результата. Теперь докажем Теорему 1.
Доказательство. Используем общий вид m-аналитических функций
f(z) = ϕ1(z) + z̄ϕ2(z) + ... + z̄m−1ϕm(z), z ∈ Ω, (8)
где ϕi(z) – аналитические функции в Ω (см. [3]), i = 1,m. Тогда m-аналитическую
функцию можно локально равномерно приблизить функциями типа g(z) = zkz̄n,
где k ∈ Z+ и n = 0,m− 1. Следовательно, используя результат Леммы, получаем,
что любая m-аналитическая функция удовлетворяет (5). ¤
1. Maxwell O. Reade On areol monogenic functions. – Bulletin of the American Mathematical Society,
53, 1947, PP.98-103.
2. Maxwell O. Reade A theorem of Fédoroff. – Duke Math.J., 18, PP.105-109.
3. M.B.Balk Polyanalytic functions and their generalizations. – Progress in Science and Technology,
85, VINITI, PP.187-246.
4. Volchkov V.V. Integral Geometry and Convolution Equations. – Kluwer Academic Publishers,
Dordrecht/Boston/London. – 454p.
Донецкий национальный ун-т
odtrofimenko@gmail.com
Получено 28.10.08
196
содержание
Том 17
Донецк, 2008
Основан в 1997г.
|