Экспресс-метод оценки длины трещины гидроразрыва
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20026 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Экспресс-метод оценки длины трещины гидроразрыва / Н.С. Хапилова, В.В. Залётов, А.П. Шепеля // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 197-205. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-20026 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-200262011-05-20T12:04:52Z Экспресс-метод оценки длины трещины гидроразрыва Хапилова, Н.С. Залётов, В.В. Шепеля, А.П. 2008 Article Экспресс-метод оценки длины трещины гидроразрыва / Н.С. Хапилова, В.В. Залётов, А.П. Шепеля // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 197-205. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20026 539.3:622.83 ru Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| format |
Article |
| author |
Хапилова, Н.С. Залётов, В.В. Шепеля, А.П. |
| spellingShingle |
Хапилова, Н.С. Залётов, В.В. Шепеля, А.П. Экспресс-метод оценки длины трещины гидроразрыва Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| author_facet |
Хапилова, Н.С. Залётов, В.В. Шепеля, А.П. |
| author_sort |
Хапилова, Н.С. |
| title |
Экспресс-метод оценки длины трещины гидроразрыва |
| title_short |
Экспресс-метод оценки длины трещины гидроразрыва |
| title_full |
Экспресс-метод оценки длины трещины гидроразрыва |
| title_fullStr |
Экспресс-метод оценки длины трещины гидроразрыва |
| title_full_unstemmed |
Экспресс-метод оценки длины трещины гидроразрыва |
| title_sort |
экспресс-метод оценки длины трещины гидроразрыва |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20026 |
| citation_txt |
Экспресс-метод оценки длины трещины гидроразрыва / Н.С. Хапилова, В.В. Залётов, А.П. Шепеля // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 197-205. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| work_keys_str_mv |
AT hapilovans ékspressmetodocenkidlinytreŝinygidrorazryva AT zalëtovvv ékspressmetodocenkidlinytreŝinygidrorazryva AT šepelâap ékspressmetodocenkidlinytreŝinygidrorazryva |
| first_indexed |
2025-07-02T20:47:35Z |
| last_indexed |
2025-07-02T20:47:35Z |
| _version_ |
1836569601818755072 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2008. Том 17
УДК 539.3:622.83
c©2008. Н.С. Хапилова, В.В. Залётов, А.П. Шепеля
ЭКСПРЕСС-МЕТОД ОЦЕНКИ
ДЛИНЫ ТРЕЩИНЫ ГИДРОРАЗРЫВА
В работе на основе модели, учитывающей пластическое состояние среды в концевой области тре-
щины, получено соотношение, связывающее длину трещины гидроразрыва с давлением жидкости
в ее конце. Показано, что в частном случае, когда протяженность пластической зоны обращается
в нуль, оно совпадает с известным условием С.А.Христиановича, которое используется при мате-
матическом моделировании процесса распространения трещины гидроразрыва в горном массиве.
Предложен экспресс-метод оценки возможных длин трещины, основанный на геометрической ин-
терпретации обобщенного условия. Исследовано влияние глубины, технологических параметров и
деформационных свойств массива на изменение диапазона реальных значений длины трещины
гидроразрыва, образованной из стенки газодобывающей скважины.
Для большинства горных пород критерий разрушения может быть записан в
виде некоторого соотношения между компонентами тензора напряжений
T (σij) = 0, i,j = x,y,z. (1)
Как известно, свойство разрушаться хрупко или с заметной пластической де-
формацией не является абсолютным свойством материала. Эксперименты показы-
вают, что при всестороннем сжатии такие хрупкие в обычных условиях материалы,
как песчанник и мрамор, деформируются пластически и их разрушение происходит
при большой пластической деформации. Отметим, что использование критерия (1)
для исследования разрушения в пластической области некорректно, так как в этом
случае существенную роль начинает играть величина пластической деформации,
которая в соотношение (1) не входит.
Обычно считают, что при выполнении условия (1) хотя бы в одной точке проис-
ходит локальное разрушение в этой точке. Под локальным разрушением понимают
либо разрыв некоторых структурных элементов, либо появление зародышевой тре-
щины, которая распространяется далее как трещина Гриффитса [1, 2].
В модели трещины гидроразрыва, исследованной в работе [3], контур трещины
в плоскости x, y нагружен симметричным относительно оси x давлением жидкости
p(x), закачиваемой в скважину и перемещающейся по трещине (рис. 1). Для решения
плоской задачи теории упругости сформулируем граничные условия. На участке
оси абсцисс −l ≤ x ≤ l задано напряжение σyy(x,0) = −p(x), вне этого отрезка
вертикальные смещения равны нулю, касательные напряжения отсутствуют на всей
оси. Переходя к комплексному потенциалу напряжений Φ(z) [4], запишем граничные
условия для упругой полуплоскости в виде
ReΦ(x) =
1
2
p(x), x ∈ [−l,l],
197
Н.С. Хапилова, В.В. Залётов, А.П. Шепеля
Рис. 1. Схема трещины
ImΦ(x) = 0, ∞ < x < −l, l < x < ∞. (2)
Задача об определении аналитической функции комплексного переменного z =
x + iy при условии, что на отрезках [ak,bk] границы y = 0 задана действительная
часть функции, а на отрезках [bk,ak+1] ее мнимая часть, решается с помощью фор-
мулы Келдыша–Седова [5], согласно которой в случае n разрезов с концами ak, bk
имеем
Φ(z) =
1
πig(z)
∞∫
−∞
f(t)g(t)
t− z
dt +
γ0 + γ1z + · · ·+ γn−1z
n−1
∏n
1 (z − bk)
1
2 (z − ak)
1
2
, (3)
где
g(z) =
n∏
1
(
z − bk
z − ak
) 1
2
, f(x) =
{
ReΦ(x), x ∈ [ak,bk]
ImΦ(x), x ∈ [bk,ak−1)
(4)
В случае одной трещины a1 = −l, b1 = l, f(x) = 1
2p(x), x ∈ [−l,l]; f(x) = 0,
|x| > l. Из формулы (3) находим
Φ(z) =
1
2πi
√
z + l
z − l
l∫
−l
p(t)
√
t− l
t + l
dt
t− z
+
γ0√
z2 − l2
. (5)
При z →∞ из (5) получим
Φ(∞) = − 1
2πiz
l∫
−l
p(t)
√
t− l
t + l
dt +
γ0
z
. (6)
Из условия Φ(∞) = 0 найдем постоянную γ0
γ0 =
1
2πi
l∫
−l
p(t)
√
t− l
t + l
dt. (7)
198
Экспресс-метод оценки длины трещины гидроразрыва
Запишем формулы Мусхелишвили, выражающие компоненты напряжений через
комплексный потенциал
σx + σy = 4ReΦ(z),
σy − σx + 2iτxy = −2(z − z̄)Φ′(z). (8)
Складывая равенства (8), найдем
σy = 2bReΦ(z)− yImΦ′(z)c. (9)
На оси x из (9) получаем
σy|y=0 = 2ReΦ(x). (10)
Поведение напряжения σy в точке x = l исследовано в работах по теории трещин
[6, 7, 8]. В формуле (5) первое слагаемое при z = l остается ограниченным, так
как входящий в него интеграл является интегралом Коши [9] и его значение равно
подынтегральной функции при t = z.
Исследуем второе слагаемое в формуле (5). Положим z = l + ζ, где ζ ¿ l. Тогда
1√
z2 − l2
≈ 1√
2lζ
.
Следовательно, сингулярная часть напряжения σy равна 2γ0√
2lζ
. Учитывая (7),
находим коэффициент интенсивности напряжений
K1 =
1√
lπ
l∫
−l
p(t)
√
l − t
l + t
dt. (11)
В случае, когда p(t) четная функция, формула (11) может быть преобразована
к виду:
K1 = 2
√
l
π
l∫
0
p(t)dt√
l2 − t2
. (12)
Условие плавного смыкания берегов трещины в ее концевой области впервые бы-
ло сформулировано С.А.Христиановичем. Это условие в случае вертикальной тре-
щины гидроразрыва в работе [3] представлено в очень простой форме
q∞ =
1
2
(pc + p0), (13)
где p0 – давление жидкости в кончике трещины, pc – давление на скважине, q∞ –
сжимающие усилия на бесконечности. Для вертикальной трещины ее берега сжима-
ются боковым давлением в массиве, то есть
q∞ = βγH, (14)
199
Н.С. Хапилова, В.В. Залётов, А.П. Шепеля
где H – глубина, γ – удельный вес горных пород, β – коэффициент бокового распора.
Таким образом, давление p0 в модели трещины гидроразрыва [3] является функцией
параметров pc, γ, β, H. В соответствии с физическим смыслом задачи давление p0
должно быть положительным и меньше pc. Решив систему неравенств
p0 = 2βγH − pc > 0,
p0 < pc,
получим
βγH < pc < 2βγH.
Не удовлетворяющие этому ограничению значения давления на скважине pc приве-
дут к потере физического смысла исследуемой задачи, математическая постановка
которой содержит условие (13). Формула (13) не учитывает прочностных свойств
массива, а также длину трещины, которая в свою очередь, зависит от количества на-
гнетаемой жидкости и ее физических свойств. Поэтому ниже получим более точную
и более обоснованную зависимость давления p0 от входящих в задачу параметров.
Рассматриваем трещину гидроразрыва с пластической зоной в концевой области.
В силу симметрии внешних усилий и усилий на контуре трещины ее берега симмет-
ричны относительно осей x, y. Правая концевая область трещины изображена на
рис.2.
Рис. 2.
Пусть на участке |x| < l контура трещины действует давление жидкости, посту-
пающей из скважины (рис.2). При движении жидкости давление P (x) уменьшается
из-за трения на стенках трещины и фильтрации жидкости в породный массив от
значения давления на скважине Pc до некоторой величины P0 в сечении x = l. На
участке l < x < l∗ породы находятся в пластическом состоянии, при этом нормаль-
ное напряжение σy, действующее на контур, постоянно и равно пределу текучести
στ . Используя формулу (12), найдем коэффициент интенсивности напряжений от
усилий, действующих на контур трещины (давления жидкости и напряжений στ в
200
Экспресс-метод оценки длины трещины гидроразрыва
пластической зоне)
K1 = 2
√
l∗
π
l∫
0
P (t)
dt√
l2∗ − t2
+
l∗∫
l
στ
dt√
l2∗ − t2
. (15)
В работе [3] показано, что при аппроксимации функции P (x) параболой
P (x) = Pc − (Pc − P0)
x2
l2
(16)
погрешность отличия численных значений истинного давления от приближенного
невелика – менее 3%. Подставим давление, определяемое соотношением (16), в фор-
мулу (15)
K1 = 2
√
l∗
π
Pc
l∫
0
dt√
l2∗ − t2
− Pc − P0
l2
l∫
0
t2dt√
l2∗ − t2
+ στ
l∗∫
l
dt√
l2∗ − t2
. (17)
Вычислим неопределенные интегралы
J =
∫
t2dt√
l2∗ − t2
= −1
2
t
√
l2∗ − t2 +
l2∗
2
∫
dt√
l2∗ − t2
, (18)
∫
dt√
l2∗ − t2
= arcsin
t
l∗
+ const. (19)
С учетом (18), (19), найдем K1 из формулы (17)
K1 = 2
√
l∗
π
[
Pc arcsin
l
l∗
− Pc − P0
l2
(
− l
2
√
l2∗ − l2 +
l2∗
2
arcsin
l
l∗
)
+
+στ
(
π
2
− arcsin
l
l∗
)]
. (20)
От сжимающих усилий на бесконечности КИН равен
K = σ∞
√
πl∗ = −βγH
√
πl∗. (21)
Приравнивая сумму K1+K нулю, получим соотношение, связывающее неизвест-
ные величины l, l∗ и P0:
Pc arcsin
l
l∗
− Pc − P0
2
(
l2∗
l2
arcsin
l
l∗
−
√
l2∗ − l2
l
)
+ στ
(
π
2
− arcsin
l
l∗
)
=
= βγH
π
2
. (22)
201
Н.С. Хапилова, В.В. Залётов, А.П. Шепеля
Обозначим
d = l∗ − l. (23)
С помощью (23) исключим l∗ из уравнения (22)
Pc arcsin
l
l + d
− Pc − P0
2
(
(l + d)2
l2
arcsin
l
l + d
−
√
(l + d)2 − l2
l
)
+
+στ
(
π
2
− arcsin
l
l + d
)
= βγH
π
2
. (24)
При d → 0 из соотношения (24) имеем
π
2
Pc − π
2
Pc − P0
2
=
π
2
βγH,
откуда получаем условие С.А.Христиановича
Pc + P0 = 2βγH,
которое является частным случаем соотношения (24).
Для вычисления давления в концевой области трещины преобразуем формулу
(24) к виду
P0 =
βγHπ − 2Pc arcsin l
l+d − στ
(
π − 2 arcsin l
l+d
)
(l+d)2
l2
arcsin l
l+d −
√
(l+d)2−l2
l
+ Pc. (25)
Запрограммированное на компьютере условие (25) позволяет осуществить эксп-
ресс-прогноз областей реальных значений длины трещины, создаваемой в массиве
с заданными свойствами. Для этого необходимо построить пространственные кри-
вые пересечения поверхности P0 = P0(l,d), задаваемой соотношением (25), с плоско-
стями P0 = 0 и P0 = Pc в трехмерной системе координат l, d, P0.
На рис.3 изображена поверхность P0 = P0(x,y); на оси абсцисс отложена длина
трещины l, на оси ординат – протяженность пластической зоны d. График построен
для случая, когда H = 800м, γH = 20МПа, β = 0.9, στ = 6МПа.
Из расчетов следует, что на глубине 800м с ростом Pc от 20 МПа до 28 МПа дав-
ление P0 уменьшается. На графиках реальными значениями P0 будут те, которые
расположены на поверхности P0 = P0(x,y) ниже плоскостей P0 = Pc, то есть слева
от линий пересечения рассчитанных поверхностей с плоскостями P0 = Pc. Уменьше-
ние давления P0 с ростом Pc приводит к тому, что на рис.3 все точки поверхности
P0(x,y) лежат ниже плоскости P0 = 28 МПа, и, кроме того, появляется область
отрицательных значений P0, которая должна быть отсечена плоскостью P0 = 0.
На рис.4–6 приведены трёхмерные графики распределения давления P0 = P0(l,d)
при H = 1200м для давлений на скважине, равных 30 МПа, 34 МПа, 38 МПА. На
каждом из рисунков, кроме поверхности P0(x,y), построена плоскость P0 = Pc при
202
Экспресс-метод оценки длины трещины гидроразрыва
Рис. 3. Давление в концевой области трещины при Pc = 24МПа, H = 800м
Рис. 4. Расчет области реальных значений длины трещины при H = 1200м, Pc = 30МПа
соответствующем значении давления на скважине. В изучаемых интервалах измене-
ния l и d давление P0 положительно, поэтому необходимости построения плоскости
P0 = 0 на этих рисунках нет. Расчеты выполнены при следующих значениях пара-
метров: γH = 30МПа, β = 0.9, στ = 6МПа.
Как видно из рис.4–6, на больших глубинах сохраняется отмеченная выше зако-
номерность, согласно которой с ростом давления на скважине значения P0 уменьша-
ются, при этом кривая пересечения поверхности P0 = P0(l,d) с плоскостью P0 = Pc
перемещается вправо, а область реальных значений длины трещины на выбранном
интервале изменения l от 10 м до 60 м – увеличивается.
Для исследования влияния глубины H сравним рисунки 4 и 3. Из рис.3 (H =
800м) видно, что вся поверхность лежит ниже плоскости P0 = Pc, и только в неболь-
шой области вблизи переднего левого угла поверхности, где d очень малы, наблю-
203
Н.С. Хапилова, В.В. Залётов, А.П. Шепеля
Рис. 5. Расчет области реальных значений длины трещины при H = 1200м, Pc = 34МПа
Рис. 6. Расчет области реальных значений длины трещины при H = 1200м, Pc = 38МПа
даются нереальные отрицательные значения P0. При H = 1200м (рис.4), хотя дав-
ление Pc увеличилось незначительно, картина полностью изменилась: практически
вся поверхность лежит выше плоскости P0 = Pc за исключением небольшой области
вблизи оси y = 0, проекция которой на плоскость x, y содержит реальные значения
геометрических характеристик трещины.
Численные исследования показывают, что существенное влияние на длину тре-
щины оказывают глубина H, коэффициент бокового распора β, а также свойства
породы, характеризуемые пределом текучести στ и протяженностью пластической
зоны d. При известных значениях перечисленных характеристик оптимальный вы-
бор Pc может быть осуществлен с помощью предложенного экспресс-метода, кото-
рый базируется на геометрической интерпритации аналитической зависимости P0
от длины трещины с помощью компьютерного построения трёхмерной поверхности
204
Экспресс-метод оценки длины трещины гидроразрыва
давления P0 = P0(l,d) в системе координат (l,d,P0). Плоскости P0 = 0, P0 = Pc
отсекают на трёхмерной поверхности область, проекция которой на координатную
плоскость l, d содержит реальные значения длины трещины при заданных свойствах
массива.
Отметим, что границы изменения исследуемых значений l, d в экспресс-методе
можно как увеличивать, так и уменьшать, исходя из реальной ситуации,связанной с
технической возможностью реализации больших давлений на скважине, с выбором
глубины H и планируемой длины создаваемой трещины.
1. Griffith A. The phenomenon of rupture and flow in solids. Philos. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A:
V.221. – 1920. – P.163-198.
2. Irwin G. Fracture dynamics. In: “Fracturing of Metals”, ASM, Cleveland. – 1948. – P.147-166.
3. Желтов Ю.П., Христианович С.А. О гидравлическом разрыве нефтеносного пласта // Изв.
АН СССР, ОТН. – 1955. – №5. – С.3-41.
4. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. – М.: На-
ука, 1966. – 707с.
5. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексного переменного. – М.: На-
ука, 1973. – 736с.
6. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. – М: Наука, 1974.
7. Баренблатт Г.И. Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком
разрушении // ПМТФ. – 1961. – №4. – С.3-56.
8. Баренблатт Г.И. Об условии конечности в механике сплошных сред. Статические задачи тео-
рии упругости // ПММ. – 1960. – Т.XXIV, вып.2. – С.316-332.
9. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. – М.: Наука, 1966. – 387с.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
khapilova@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 30.09.08
205
содержание
Том 17
Донецк, 2008
Основан в 1997г.
|