Экстремальные свойства классов функций, удовлетворяющих обратному неравенству Гельдера
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20027 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Экстремальные свойства классов функций, удовлетворяющих обратному неравенству Гельдера / О.Р. Шлепаков // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 206-214. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-20027 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-200272011-05-20T12:04:53Z Экстремальные свойства классов функций, удовлетворяющих обратному неравенству Гельдера Шлепаков, О.Р. 2008 Article Экстремальные свойства классов функций, удовлетворяющих обратному неравенству Гельдера / О.Р. Шлепаков // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 206-214. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20027 517.5 ru Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| format |
Article |
| author |
Шлепаков, О.Р. |
| spellingShingle |
Шлепаков, О.Р. Экстремальные свойства классов функций, удовлетворяющих обратному неравенству Гельдера Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| author_facet |
Шлепаков, О.Р. |
| author_sort |
Шлепаков, О.Р. |
| title |
Экстремальные свойства классов функций, удовлетворяющих обратному неравенству Гельдера |
| title_short |
Экстремальные свойства классов функций, удовлетворяющих обратному неравенству Гельдера |
| title_full |
Экстремальные свойства классов функций, удовлетворяющих обратному неравенству Гельдера |
| title_fullStr |
Экстремальные свойства классов функций, удовлетворяющих обратному неравенству Гельдера |
| title_full_unstemmed |
Экстремальные свойства классов функций, удовлетворяющих обратному неравенству Гельдера |
| title_sort |
экстремальные свойства классов функций, удовлетворяющих обратному неравенству гельдера |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20027 |
| citation_txt |
Экстремальные свойства классов функций, удовлетворяющих обратному неравенству Гельдера / О.Р. Шлепаков // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 206-214. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| work_keys_str_mv |
AT šlepakovor ékstremalʹnyesvojstvaklassovfunkcijudovletvorâûŝihobratnomuneravenstvugelʹdera |
| first_indexed |
2025-07-02T20:47:42Z |
| last_indexed |
2025-07-02T20:47:42Z |
| _version_ |
1836569605211947008 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2008. Том 17
УДК 517.5
c©2008. О.Р. Шлепаков
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КЛАССОВ ФУНКЦИЙ,
УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ ОБРАТНОМУ НЕРАВЕНСТВУ ГЕЛЬДЕРА
В работе изучаются свойства самоулучшения показателей классов функций, удовлетворяющих об-
ратному неравенству Гельдера.
1. Введение. Все рассматриваемые в работе функции неотрицательны на неко-
тором интервале I0 ⊂ R. Для функции ω, числа r 6= 0 и интервала I ⊂ I0 введем
обозначение ωr
I =
(
1/|I| ∫I ω(t) dt
)r, где | · | мера Лебега.
Пусть ненулевые числа α < β. Тогда функция ω удовлетворяет неравенству Гель-
дера (ωα)1/α
I ≤ (
ωβ
)1/β
I
на любом интервале I ⊂ I0. Для фиксированных ненулевых
α < β и δ > 1 через RHα,β(δ) будем обозначать класс всех функций ω, удовлетво-
ряющих обратному неравенству Гельдера
(
ωβ
)1/β
I
≤ δ (ωα)1/α
I (1.1)
равномерно по всем интервалам I ⊂ I0, т.е. постоянная δ > 1 не зависит от интервала
I.
При p > 1 класс RH−1/(p−1),1(δ) ≡ Ap(δ) называют классом весовых функций
Макенхаупта (см. [1]), а при q > 1 класс RH1,q(δ) ≡ Gq(δ) – классом Геринга (см.
[2]). Эти классы находят применения в теории весовых пространств, теории ква-
зиконформных отображений и в других вопросах. Основные свойства классов Ма-
кенхаупта и Геринга, обуславливающие их различные применения, состоят в так
называемом "самоулучшении показателей". Именно, для данных p, δ > 1 существу-
ют такое ε > 0, что при некотором δ′ справедливо вложение
Ap(δ) ⊂ Ap−ε(δ′). (1.2)
Аналогично, для q, δ > 1 найдутся такие ε > 0 и δ′, что
Gq(δ) ⊂ Gq+ε(δ′). (1.3)
Эти вложения получены Б.Макенхауптом и Ф.В.Герингом в [1] и [2] соответственно.
В работе Р.Р.Койфмана и Ч.Феффермана [3] установлена связь классов Макенхауп-
та и Геринга друг с другом. Именно, в [3] показано, что каждый класс Макенхаупта
содержится в некотором классе Геринга и наоборот, т.е.
Ap(δ) ⊂ Gq(δ′), Gq(δ) ⊂ Ap(δ′). (1.4)
Изучению свойств (1.2)–(1.4) посвящено большое число работ различных авто-
ров. Сначала отметим некоторые известные в данном направлении результаты. В
206
Об обратном неравенстве Гельдера
работах [4, 5] Б.Боярским было получено асимптотическое поведение ε = ε(p, δ) при
δ → 1 + 0 и поставлена задача нахождения точного предельного значения для ε
во вложении (1.3). Этот точный предельный показатель был найден Л.Д’Апуццо и
К.Сбордоне [6] для монотонных функций, а впоследствии Дж.Киннунен [7] пока-
зал, что условие монотонности можно опустить, а также исследовал данный вопрос
в многомерном случае. В работах А.А.Кореновского и А.Пополи [8–10] найдены
точные предельные значения ε во вложениях (1.2) и (1.3) также без предположе-
ния монотонности соответствующих функций, а Н.А.Малаксиано [11, 12] получил
точные предельные значения показателей во вложениях (1.4). Следует отметить,
что в перечисленных выше работах используются различные методы нахождения
предельных показателей в соответствующих вложениях. Так, в [6–10] доказатель-
ства основаны на использовании различных неравенств типа Харди, а переход от
произвольных функций к монотонным осуществляется с помощью точных оценок
равноизмеримых перестановок функций из соответствующих классов. В [11, 12] про-
изводится сравнение функции из заданного класса с предполагаемой экстремальной
функцией из другого класса. В.И.Васюниным [13] впоследствии был предложен но-
вый подход к изучению точных вложений (1.2) и первый из (1.4), основанный на
использовании функций Беллмана, который позволил вычислить не только точные
предельные значения показателей, но и найти точные значения постоянных δ′.
В данной работе рассматривается задача нахождения предельных значений по-
казателей α′, β′ и точных значений постоянной δ′ во вложении
RHα,β(δ) ⊂ RHα′,β′(δ′). (1.5)
Данная задача рассматривалась в работах других авторов. Так, например, Ко-
реновским А.А. в [14] были найдены предельные значения показателей α′, β′. Дока-
зательство было также основано на применении неравенств типа Харди.
В нашей работе для нахождения точных параметров в (1.5) использовался метод,
основанный на применении функции Беллмана, предложенный в работе [13]. При-
менение данного метода позволило найти не только значения показателей α′, β′, но
и постоянной δ′. Частный случай данной задачи рассмотрен в работе [15]. В ней рас-
сматривались функции ω, принадлежащие классам Макенхаупта и Геринга. Работа
[15] дополняет результаты, полученные в [13].
Доказательство, приведенное в данной работе для общего случая, является более
простым, чем доказательства частных случаев.
При подготовке данной статьи в печать автору стало известно о работе В.И.Ва-
сюнина [16], в которой был рассмотрен более общий случай, когда α и β могут
принимать нулевое и бесконечные значения.
Сформулируем основной результат данной работы.
Пусть функция ω ∈ RHα,β(δ), где α < β и α · β 6= 0, α, β, δ – фиксированы.
Интересует вопрос, для каких γ 6= 0 и при как значениях B1 = B1(γ), B2 = B2(γ)
выполнено неравенство
1
B2
(ωα)1/α
I ≤ (ωγ)1/γ
I ≤ B1
(
ωβ
)1/β
I
, (I ⊂ I0) (1.6)
207
О.Р. Шлепаков
для произвольной функции ω ∈ RHα,β(δ).1
Теорема 1. Пусть γ+ и γ− – положительный и отрицательный корни урав-
нения (
1− α
x
)1/α
= δ
(
1− β
x
)1/β
.
Тогда выполнено неравенство (1.6) с точными постоянными
B1(γ) =
+∞, γ ≥ γ+,(
1− β
γ+
)1/β(
1− γ
γ+
)−1/γ
, γ+ > γ ≥ β, γ 6= 0,
1, β > γ, γ 6= 0,
(1.7)
B2(γ) =
+∞, γ ≤ γ−,(
1− γ
γ−
)1/γ(
1− α
γ−
)−1/α
, γ− < γ ≤ α, γ 6= 0,
1, α < γ, γ 6= 0,
(1.8)
и при этом значения B1 и B2, вообще говоря, нельзя уменьшить.
Замечание 1. Отметим, что корни уравнения из условия теоремы удовлетво-
ряют соотношениям: γ− < min{0, α} и γ+ > max{0, β}.
2. Вспомогательные результаты. Для функции ω ∈ RHα,β(δ) из неравенства
Гельдера следует, что точка x = ((ωβ)I , (ωα)I) лежит в области
Ωα,β(δ) =
{
x = (x1, x2) > 0 : 1 ≤ x
1/β
1 x
−1/α
2 ≤ δ
}
.
Определим на области Ωδ
α,β две функции
Bmin(x; γ, δ) = inf
ω∈RHα,β(δ)
{
(ωγ)I : (ωβ)I = x1, (ωα)I = x2
}
, (2.1)
Bmax(x; γ, δ) = sup
ω∈RHα,β(δ)
{
(ωγ)I : (ωβ)I = x1, (ωα)I = x2
}
. (2.2)
Поскольку для любой точки x ∈ Ωα,β(δ) найдется функция ω, для которой(
ωβ
)
I
= x1 и (ωα)I = x2 (такая функция будет предъявлена ниже), то функции
Bmin и Bmax определены корректно на всей области Ωα,β(δ). В дальнейшем, гово-
ря одновременно о функциях Bmin и Bmax, будем опускать индексы min и max.
Функции B не зависят от интервала I, для двух интервалов I1 и I2 линейное отоб-
ражение одного интервала на другой дает взаимно однозначное соответствие между
классами RHα,β (δ, I1) и RHα,β (δ, I2), причем при таком отображении все средние
значения функций не изменяются. Мы будем опускать значения параметров функ-
ций B, в случаях, когда ясно, что они фиксированы.
Через [a, b], (a, b), [a, b) будем обозначать отрезок, интервал и полуинтервал с
концами a и b не зависимо от того, какой из них больше.
1 При γ < β правая часть неравенства (1.6) превращается в обычное неравенство Гельдера, т.е.
B1 = 1, а при α < γ – левая часть, т.е. B2 = 1.
208
Об обратном неравенстве Гельдера
Через u±α,β обозначим две функции, обратные к функции
t → (1− t)
(
1− α
α− β
t
)−(α−β)/α
.
С помощью этой функции введем величины s± = u±α,β( 1
δβ ). 1
δβ > 1, при β < 0, и
1
δβ < 1, при β > 0. Поэтому величины s± определены корректно.
Кроме того, введем переменные r± = u±α,β
(
δ−βx1x
−β/α
2
)
, и отметим, что r± =
s±, когда x
1/β
1 = x
1/α
2 .
Для функций Bmin, Bmax справедлива следующая теорема.
Теорема 2. При x
1/β
1 = x
1/α
2 справедливо равенство
Bmax(x; γ, δ) = Bmin(x; γ, δ) = x
γ/β
1 = x
γ/α
2 .
В остальных случаях
Bmin(x; γ, δ) =
x
α−γ
α−β
1 x
γ−β
α−β
2
(
1−s+
1−r+
)α−γ
α−β
(
1−α−γ
α−β
r+
1−α−γ
α−β
s+
)
,
γ ∈ (−∞, max{0, β}] \ [α, min{0, β}],
x
α−γ
α−β
1 x
γ−β
α−β
2
(
1−s−
1−r−
)α−γ
α−β
(
1−α−γ
α−β
r−
1−α−γ
α−β
s−
)
,
γ ∈ [min{α, 0}, +∞) \ [max{α, 0}, β],
(2.3)
Bmax(x; γ, δ) =
x
α−γ
α−β
1 x
γ−β
α−β
2
(
1−s+
1−r+
)α−γ
α−β
(
1−α−γ
α−β
r+
1−α−γ
α−β
s+
)
,
γ ∈ [min{α, 0}, γ+) \ [max{α, 0}, β],
x
α−γ
α−β
1 x
γ−β
α−β
2
(
1−s−
1−r−
)α−γ
α−β
(
1−α−γ
α−β
r−
1−α−γ
α−β
s−
)
,
γ ∈ (γ−, max{0, β}] \ [α, min{0, β}],
+∞, γ ∈ R \ (γ−, γ+) .
(2.4)
Через B̃min(x; γ, δ) и B̃max(x; γ, δ) обозначим выражения, стоящие в правых ча-
стях равенств (2.3) и (2.4) соответственно.
Для истинных значений функции Беллмана, определенных равенствами (2.1) и
(2.2), будем использовать обычные обозначения Bmin и Bmax.
Для доказательства теоремы нам надо доказать, что
Bmin ≤ B̃min, Bmax ≥ B̃max, (2.5)
Bmin ≥ B̃min, Bmax ≤ B̃max. (2.6)
Перед этим дадим краткие пояснения, каким образом были получены равенства
(2.3) и (2.4).
209
О.Р. Шлепаков
Во-первых, мы искали функции Bmin и Bmax в виде выпуклых вниз и вверх,
соответственно. Действительно, если мы разобьем интервал I на две части I =
I− ∪ I+, |I±| = a± |I|, рассмотрим экстремальные (или в некотором смысле близкие
к экстремальным) функции ω±, заданные соответственно на промежутках I±, и
для функции ω, заданной на I, совпадающей с ω− на I− и с ω+ на I+, напишем
равенство:
(ωγ)I = a− (ωγ)I− + a+ (ωγ)I+ ,
то мы видим, что в правой части стоит выпуклая комбинация значений функции
Беллмана B в точках x± (или близких к этим значениям), а среднее в левой части,
по определению функции Беллмана, лежит между Bmin(x0) и Bmax(x0), x0 = a−x−+
a+x+. Это рассуждение приводит нас к условию выпуклости вниз функции Bmin и
выпуклости вверх функции Bmax.
Во-вторых, покажем, что функция B представима в виде:
B (x1, x2; γ, δ) = x
γ
β
1 g̃1
(
x1x
− β
α
2 ; γ, δ
)
,
где g̃1 (·; γ, δ)– функция на отрезке
[
1, δβ
]
, удовлетворяющая условию g̃1 (1; γ, δ) = 1,
и, кроме того, g̃1 ≥ 1 при γ
β ∈̄ (0, 1) и 0 ≤ g̃1 ≤ 1 при γ
β ∈ (0, 1).
Для любой функции ω ∈ RHδ
α,β (I0) и произвольной положительной константы
t, ω̃ = tω ∈ RHδ
α,β (I0). Средние значения этих функций связаны соотношениями
(ω̃α)I = tα (ωα)I ,
(
ω̃β
)
I
= tβ
(
ωβ
)
I
и (ω̃γ)I = tγ (ωγ)I . Переходя к верхним (нижним)
граням в последнем из них, получаем
B
(
tβx1, t
αx2; γ, δ
)
= tγB (x1, x2; γ, δ) .
Положим t = x
−1/α
2 и получим 2
B
(
x1x
−β/α
2 , 1; γ, δ
)
= x
−γ/α
2 B (x1, x2; γ, δ) .
Откуда имеем, что B (x) = x
γ/β
1
(
x1x
−β/α
2
)−γ/β
B
(
x1x
−β/α
2 , 1; γ, δ
)
=
x
γ/β
1 g̃1
(
x1x
−β/α
2
)
, где g̃1 – функция на отрезке
[
1, δβ
]
, определяемая тождеством
g̃1 (y) = y−γ/βB (y, 1). Согласно неравенству Гельдера, (ωγ)I ≤
(
ωβ
)γ/β
I
при γ/β ∈
(0, 1), и (ωγ)I ≥
(
ωβ
)γ/β
I
при γ/β∈̄ (0, 1), откуда следует, что 0 ≤ g̃1 ≤ 1 при γ/β ∈
2Данное представление нам необходимо, чтобы преобразовать функцию B двух переменных
к некоторой функции одной переменной. В данном случае мы сделали это "взяв за главную" пе-
ременную x1 и исключили переменную x2. Можно было строить рассуждения "взяв за главную"
переменную x2. Для этого нам надо было бы исключить переменную x1, положив t = x
−1/β
1 . В
результате мы получили бы соотношение B
(
1, x
−α/β
1 x2
)
= x
−γ/β
2 B(x1, x2), и, преобразовав его,
B(x1, x2) = x
γ/α
2 g̃2
(
x
−α/β
1 x2
)
.
210
Об обратном неравенстве Гельдера
(0, 1) и g̃1 ≥ 1 при γ/β∈̄ (0, 1). Более того, так как тождество x
1/β
1 = x
1/α
2 справедли-
во тогда и только тогда, когда ω = x
1/β
1 = x
1/α
2 = const, то B
(
x1x
−β/α
2 , 1;α, β, γ, δ
)
=
x
γ/β
1 , т.е. g̃1 (1) = 1.
Введем новую переменную y = x1x
−β/α
2 и считаем в терминах функции g̃1 мат-
рицу вторых производных функции B. Из условий выпуклости Bmin и вогнутости
Bmax мы получаем, что матрица вторых производных функции B должна быть не
просто знакоопределенной, а еще и вырожденной. Приравнивая её определитель к
нулю, мы приходим к дифференциальному уравнению, решая которое, мы и по-
лучаем необходимые формулы. Данное рассуждение не может быть строгим дока-
зательством данных формул. Поэтому вернемся к доказательству неравенств (2.5)
и (2.6). Неравенства (2.5) доказываются с помощью предъявления экстремальной
функции, что отражено в лемме 1. Доказательство неравенств (2.6) содержится в
лемме 5, которая опирается на леммы 2–4. Данные леммы будут сформулированы,
а доказательство их аналогично соответствующим леммам в работе [13].
Лемма 1. Для x ∈ Ωδ
α,β и α, β, γ ∈ R \ {0} справедливы неравенства
Bmax(x) ≥ B̃max(x), Bmin(x) ≤ B̃min(x).
Замечание 2. Для произвольной точки x ∈ Ωδ
α,β, для которой x
1/β
1 x
−1/α
2 6= 1
на отрезке [0, 1] положим
ωc,a,ν(t) =
{
caνt−ν , 0 ≤ t ≤ a,
c, a ≤ t ≤ 1.
где a ∈ (0, 1].
Для того, чтобы получить экстремальную функцию для B, возьмем
ν =
1
γ
, a =
s− r
s
(
1− α
α−β r
) , c =
x1
(1− s)
(
1− α
α−β r
)
(1− r)
(
1− α
α−β s
)
1/β
с выбором знаков для γ, s и r в соответствии с формулами (2.3) и (2.4).
Лемма 2. Пусть x± – две произвольные точки области Ωδ
α,β. Если отрезок
[x−, x+], соединяющий эти точки, целиком лежит в Ωδ
α,β, то для любой пары
неотрицательных чисел α±, удовлетворяющих условию α− + α+ = 1, справедливы
неравенства
B̃max
(
α−x− + α+x+
) ≥ α−B̃max
(
x−
)
+ α+B̃max
(
x+
)
,
B̃min
(
α−x− + α+x+
) ≤ α−B̃min
(
x−
)
+ α+B̃min
(
x+
)
.
Лемма 3. Пусть задан параметр δ > 1. Тогда для любого ε > δ и для любой
функции ω ∈ RHδ
α,β(I) существует разбиение I = I−∪I+, |I±| = ν±|I|, при котором
211
О.Р. Шлепаков
весь отрезок, соединяющий точки x± =
((
ωβ
)
I± , (ωα)I±
)
, лежит в Ωε
α,β. Более
того, параметры разбиения ν± могут быть выбраны равномерно (относительно
функции ω и, следовательно, относительно интервала I) отдаленными от 0 и от
1.
Лемма 4. Пусть x ∈ Ωδ
α,β, γ ∈ R \ {0} и ε > δ. Тогда справедливы неравенства
Bmax(x; α, β, γ, δ) ≤ B̃max(x; α, β, γ, ε),
Bmin(x; α, β, γ, δ) ≥ B̃min(x; α, β, γ, ε).
Лемма 5. Пусть x ∈ Ωδ
α,β, γ ∈ R \ {0}. Тогда справедливы неравенства (4.2).
Доказательство. Покажем, что из леммы 4 следуют неравенства (4.2).
Эти неравенства можно получить, переходя к пределу при ε → δ. Действительно,
B̃min – непрерывная функция параметра ε. Рассматривая B̃max, обратим внимание
отдельно на ее конечные и бесконечные значения. Если γ /∈
(
α + β−α
s−(δ−β) , α + β−α
s+(δ−β)
)
,
то γ /∈
(
α + β−α
s−(ε−β) , α + β−α
s+(ε−β)
)
для всех ε, удовлетворяющих условию леммы 4.
Поэтому Bmax(x;α, β, γ, δ) = B̃max(x;α, β, γ, ε) = +∞ и первое неравенство в (4.2)
становится очевидным. Если γ ∈
(
α + β−α
s−(δ−β) , α + β−α
s+(δ−β)
)
, то для ε достаточно
близких к δ имеем γ ∈
(
α + β−α
s−(ε−β) , α + β−α
s+(ε−β)
)
, поскольку интервалы открыты.
Следовательно, мы опять получили конечную и непрерывную функцию B̃max как
функцию параметра ε, и можем переходить к пределу при ε → δ.
Лемма 5 доказана, а с ней и теорема 2.
3. Доказательство теоремы 1. По определению функций u±α,β имеем, что ве-
личины s± и γ± связаны соотношением
γ± = α + (β − α)/s±. (3.1)
В силу определения функций Bmin и Bmax мы можем записать следующие соот-
ношения для констант B1 и B2:
B1(γ) =
supx∈Ωδ
α,β
{
x
−1/β
1 B
1/γ
max(x; γ, δ)
}
, при γ > 0,
supx∈Ωδ
α,β
{
x
−1/β
1 B
1/γ
min(x; γ, δ)
}
, при γ < 0,
(3.2)
B2(γ) =
supx∈Ωδ
α,β
{
x
1/α
2 B
−1/γ
max (x; γ, δ)
}
, при γ < 0,
supx∈Ωδ
α,β
{
x
1/α
2 B
−1/γ
min (x; γ, δ)
}
, при γ > 0.
(3.3)
Исходя из определения чисел r± и s±, имеем
x1x
− β
α
2 =
(
1− r±
1− s±
)(
1− α
α−β s±
1− α
α−β r±
)α−β
α
. (3.4)
212
Об обратном неравенстве Гельдера
Обозначим
g1(r) =
(
1−s
1−r
)1/β (
(α−β)−αr
(α−β)−αs
)1/β−1/γ (
(α−β)−(α−γ)r
(α−β)−(α−γ)s
)1/γ
,3
g2(r) =
(
(α− β)− αr
(α− β)− αs
)1/γ−1/α (
(α− β)− (α− γ)r
(α− β)− (α− γ)s
)−1/γ
.
С помощью (3.4) формулы (3.2), (3.3) запишем в следующем виде
B1(γ) = max
r∈[0,s]
{g1(r)} , B2(γ) = max
r∈[0,s]
{g2(r)} , (3.5)
где знаки r, s в первом из (3.5) совпадают со знаками для функции Bmax, при γ > 0
и со знаками для функции Bmin, при γ < 0, а во втором наоборот, совпадают со
знаками для функции Bmax, при γ < 0 и со знаками для функции Bmin, при γ > 0.
Для того, чтобы найти постоянные B1 и B2, нам достаточно знать интервалы
монотонности функций g1, g2. Для этого достаточно найти логарифмические произ-
водные функций g1(r) и g2(r). Найдем
∂
∂r
ln g1 =
r(β − γ)
(1− r) ((α− β)− αr) ((α− β)− (α− γ)r)
.
Так как r < 1 и, по определению r, αr > (α − β) и (α− γ)r > (α − β), то знак
производной g′1 совпадает со знаком (ln g1)′, который, в свою очередь, совпадает со
знаком выражения (β−γ)r. Теперь воспользуемся формулой (3.5) и найдем значения
B1(γ) в зависимости от значений параметра γ.
1. γ ∈ [max{0, β}, γ+)
⋂
(0, +∞) или γ ∈ [min{0, β}, 0).4 Тогда r, s > 0 и (β−γ)r+ < 0,
а значит функция g1(r+) убывает на промежутке [0, s+] и её максимум достигается
при r+ = 0.
B1 = (1− s+)1/β
(
(α− β)− αs+
)1/γ−1/β (
(α− β)− (α− γ)s+
)−1/γ (α− β)1/β.
2.5 γ ∈ (0, β). Знак ∂
∂r ln g1 совпадает со знаком r, который совпадает со знаками
для Bmax. Поэтому, если r > 0, то функция возрастает на отрезке [0, s+], если r < 0,
то функция убывает на отрезке [s−, 0]. В обоих случаях, максимум достигается при
r± = s±. Поэтому B1 = 1.
3. γ ∈ (−∞,min{β, 0}). Случай аналогичен предыдущему, только знак r совпадает
со знаками для Bmin. Поэтому также B1 = 1.
C помощью (3.1) формула для B1 в первом случае, преобразуется в формулу
(для того же случая) в (1.7).
Проводя аналогичные исследования функции g2(r) и применяя формулу (3.5),
получим формулу (1.8).
Теорема 1 доказана.
3Функция g1 и введенная ранее функция g̃1 связаны соотношением g1 = g̃
1/γ
1 .
4Данный случай имеет место только при β < 0
5Данный случай имеет место только при β > 0
213
О.Р. Шлепаков
1. Muckenhoupt B. Weighted norm inequalities for the Hardy maximal function, Trans. Amer. Math.
Soc. 165 (1972), P.207-226.
2. Gehring F.W. The Lp-integrability of the partial derivatives of a quasiconformal mapping, Acta
Math. 130 (1973), P.265-277.
3. Coifman R.R., Fefferman Ch.Weighted norm inequalities for maximal functions and singular integrals,
Studia Math. 15 (1974), P.241-250.
4. Bojarski B. Remarks on the stability of reverse Hölder inequality, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser A I
Math. 10 (1985), P.89-94.
5. Wik I. Reverse Hölder inequality with constant close to 1, Ric. Math. 39 (1990), no.1, P.151-157.
6. D’Apuzzo L., Sbordone C. Reverse Hölder inequalities. A sharp result, Rendiconti di Math. 10 (1990),
ser. VII, P.357-366.
7. Kinnunen J. Sharp result on reverse Hölder inequalities, Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser. A I. Math.
Diss. 95 (1994), P.1-34.
8. Кореновский А.А. О точном продолжении обратного неравенства Гельдера и условия Макенха-
упта, Матем. заметки 52 (1992), №6, C.32-44.
9. Popoli A. Optimal integrability in Bq
p classes, Le Mat. 52 (1997), no.1, P.159-170.
10. Popoli A. Weighted reverse Holder inequalities, Rend. Acc. Sc. Fiz. Mat. 62 (1995), P.187-212.
11. Малаксиано Н.А. О точных вложениях классов Геринга в классы Макенхаупта, Матем. заметки
70 (2001), №5, С.742-750.
12. Malaksiano N.A. The precise embeddings of the one-dimensional Muckenhoupt classes in Gehring
classes, Acta Sci. Math. Szeged 68 (2002), P.237-248.
13. Васюнин В.И. Точная константа в обратном неравенстве Гельдера для макенхауптовских весов,
Алгебра и Анализ 15 (2003), №1, С.73-117.
14. Кореновский А.А. Об обратном неравенстве Гельдера, Математические заметки 81 (2007),
вып.3, С.361–373.
15. Шлепаков О.Р. О экстремальных свойствах функций, удовлетворяющих обратному неравенству
Гельдера. – Одес. нац. ун-т. - Одесса, 2007. – 34 с. - Рус. – Деп. в ГНТБ Украины 16.04.07, №30
– УК 2007.
16. Васюнин В.И. Взаимные оценки Lp-норм и функция Беллмана, Записки научных семинаров
ПОМИ 355 (2008), С.81-138.
Одесский национальный ун-т
им. И.И.Мечникова
oleg@gavrilovka.com.ua
Получено 31.10.08
214
содержание
Том 17
Донецк, 2008
Основан в 1997г.
|