Індекс критичної точки недиференційованого еліптичного оператора 2-го порядку із сильним зростанням коефіцієнтів
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20028 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Індекс критичної точки недиференційованого еліптичного оператора 2-го порядку із сильним зростанням коефіцієнтів / В.М. Шраменко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 215-225. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-20028 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-200282011-05-20T12:04:46Z Індекс критичної точки недиференційованого еліптичного оператора 2-го порядку із сильним зростанням коефіцієнтів Шраменко, В.М. 2008 Article Індекс критичної точки недиференційованого еліптичного оператора 2-го порядку із сильним зростанням коефіцієнтів / В.М. Шраменко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 215-225. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20028 517.5 uk Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| format |
Article |
| author |
Шраменко, В.М. |
| spellingShingle |
Шраменко, В.М. Індекс критичної точки недиференційованого еліптичного оператора 2-го порядку із сильним зростанням коефіцієнтів Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| author_facet |
Шраменко, В.М. |
| author_sort |
Шраменко, В.М. |
| title |
Індекс критичної точки недиференційованого еліптичного оператора 2-го порядку із сильним зростанням коефіцієнтів |
| title_short |
Індекс критичної точки недиференційованого еліптичного оператора 2-го порядку із сильним зростанням коефіцієнтів |
| title_full |
Індекс критичної точки недиференційованого еліптичного оператора 2-го порядку із сильним зростанням коефіцієнтів |
| title_fullStr |
Індекс критичної точки недиференційованого еліптичного оператора 2-го порядку із сильним зростанням коефіцієнтів |
| title_full_unstemmed |
Індекс критичної точки недиференційованого еліптичного оператора 2-го порядку із сильним зростанням коефіцієнтів |
| title_sort |
індекс критичної точки недиференційованого еліптичного оператора 2-го порядку із сильним зростанням коефіцієнтів |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20028 |
| citation_txt |
Індекс критичної точки недиференційованого еліптичного оператора 2-го порядку із сильним зростанням коефіцієнтів / В.М. Шраменко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 17. — С. 215-225. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| work_keys_str_mv |
AT šramenkovm índekskritičnoítočkinediferencíjovanogoelíptičnogooperatora2goporâdkuízsilʹnimzrostannâmkoefícíêntív |
| first_indexed |
2025-07-02T20:47:46Z |
| last_indexed |
2025-07-02T20:47:46Z |
| _version_ |
1836569609768009728 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2008. Том 17
УДК 517.5
c©2008. В.М. Шраменко
IНДЕКС КРИТИЧНОЇ ТОЧКИ НЕДИФЕРЕНЦIЙОВНОГО
ЕЛIПТИЧНОГО ОПЕРАТОРА 2-ГО ПОРЯДКУ
IЗ СИЛЬНИМ ЗРОСТАННЯМ КОЕФIЦIЄНТIВ
В роботi доводиться теорема про iндекс критичної точки недиференцiйовного елiптичного опера-
тора 2-го порядку iз сильним зростанням коефiцiєнтiв. Подiбний результат ранiше був отриманий
в роботi А.Г.Картсатоса та I.В.Скрипника [2], але головна вiдмiннiсть полягає в тому, що в нашому
випадку лiнеаризуючий оператор є необмеженим та щiльно визначеним. Основний результат даної
роботи є наслiдком абстрактної теореми про iндекс критичної точки недиференцiйовного операто-
ра класу (S+)0,L, доведеної автором [1].
1. Формулювання основного результату.
Розглядається оператор A : W 1,m
0 (Ω) → [W 1,m
0 (Ω)]∗, m ∈ (1, 2), визначений
〈Au, φ〉 =
n∑
i=1
∫
Ω
{ρ2(u)
∂u
∂xi
+ ai(x, u,
∂u
∂x
)} ∂φ
∂xi
dx +
∫
Ω
a0(x, u,
∂u
∂x
)φdx,
φ ∈ W 1,m
0 (Ω), u ∈ D(A).
(1)
D(A) =
{
u ∈ W 1,m
0 (Ω) : ρ2(u)
∂u
∂xi
∈ Lm′(Ω)
}
, m′ =
m
m− 1
, i = 1, ..., n. (2)
Вважається, що Ω ∈ Rn, n > 2 – обмежена вiдкрита множина з межею ∂Ω класу C2.
Нехай мають мiсце наступнi умови на коефiцiєнти:
a1) дiйснозначнi функцiї ai(x, ξ), i = 0, 1, ..., n, визначенi для x ∈ Ω, ξ ∈ Rn+1 та
неперервно диференцiйовнi; до того ж, ai(x, 0) = 0 для x ∈ Ω, i = 0, 1, ..., n;
a2) iснують такi додатнi сталi ν1, ν2, що для усiх x ∈ Ω, ξ ∈ Rn+1, η ∈ Rn викону-
ються нерiвностi ∑
|α|=|β|=1
aαβ(x, ξ)ηαηβ ≥ ν1(1 + |ξ|)m−2|η|2 (3)
∑
|α|,|β|≤1
|aαβ(x, ξ)|(1 + |ξ|) +
∑
|α|≤1
n∑
i=1
|aαi(x, ξ)| ≤ ν2(1 + |ξ|)m−1, (4)
де
aαβ =
∂
∂ξβ
aα(x, ξ), aαi =
∂
∂xi
aα(x, ξ), |α|, |β| ≤ 1, i = 1, ..., n. (5)
ρ1) дiйсна функцiя ρ(u) визначена та неперервно диференцiйовна на R;
ρ2) iснує таке додатне число µ , що для довiльного u ∈ R маємо
0 ≤ ρ(u) ≤ µ
{∣∣∣
∫ u
0
ρ(s)ds
∣∣∣ + 1
}r
, (6)
215
В.М. Шраменко
де r така константа, що 0 ≤ r < n
n−2 .
ρ3) для деякої константи C > 0: ρ′(s) ≤ Cρ(s), s ∈ R.
Визначимо оператор A′ : W 1,m
0 (Ω) ⊃ D(A′) → [W 1,m
0 (Ω)]∗
〈A′u, φ〉 =
∑
|α|,|β|≤1
∫
Ω
[ρ2(0)δαβ + a
(0)
αβ(x)]DβuDαφdx, a
(0)
αβ(x) = aαβ(x, 0) (7)
D(A′) = {u ∈ W 1,m
0 :
∂u
∂xi
∈ Lm′(Ω)}, m′ =
m
m− 1
, i = 1, ..., n. (8)
Тут δαβ – символ Кронекера при |α| = |β| = 1 та дорiвнює нулю в iнших випадках.
Введемо також оператор Γ : W 1,m
0 (Ω) ⊃ D(Γ) → [W 1,m
0 (Ω)]∗
〈Γu, φ〉 = γ
∫
Ω
uφdx (9)
D(Γ) = {u ∈ W 1,m
0 (Ω) : u ∈ L nm
n(m−1)+m
(Ω)}. (10)
Для достатньо великого γ оператор TΓ = (A′ + Γ)−1Γ : D(Γ) → W 1,m
0 (Ω) є визначе-
ним. Розглянемо оператор T : W 1,m
0 → W 1,m
0 (Ω), який дiє за формулою Tv = u, де
v ∈ W 1,m
0 (Ω) та u є розв’язком у W 1,m
0 (Ω) наступного рiвняння
∑
|α|,|β|≤1
(−1)|α|Dα{[ρ2(0)δαβ + a
(0)
αβ(x)]Dβu}+ γu = γv. (11)
Такий оператор T є всюди визначеним та цiлком неперервним. Цi властивостi вип-
ливають з леми 5.1 роботи [3].
Теорема 1. Нехай виконуються умови a1), a2), ρ1), ρ2), ρ3), a
(0)
αβ(x) ∈ C1(Ω)
для |α| = |β| = 1 та рiвняння
∑
|α|,|β|≤1
(−1)|α|Dα{[ρ2(0)δαβ + a
(0)
αβ(x)]Dβu} = 0 (12)
має лише нульовий розв’язок у W 1,2
0 (Ω). Тодi iндекс критичної точки оператора A
обчислюється за формулою Ind(A, 0) = (−1)ν , де ν сума кратностей характери-
стичних чисел задачi
∑
|α|,|β|≤1
(−1)|α|Dα{[ρ2(0)δαβ + a
(0)
αβ(x)]Dβu}+ λγu = 0 (13)
u(x) = 0, x ∈ ∂Ω (14)
з iнтервалу (0, 1).
216
Теорема про iндекс критичної точки оператора 2-го порядку
Зауваження 1 . Число λ0 ∈ R1 є характеристичним числом задачi (13), (14),
якщо iснує розв’язок u0(x) ∈ W 1,2
0 (Ω) цiєї задачi для λ = λ0 такий, що u0(x) 6= 0.
Зрозумiло, що λ0 є характеристичним числом задачi (13), (14) тодi й тiльки тодi,
коли 1− λ0 є характеристичним числом оператора T , визначеного у (11). Тому бу-
демо розумiти кратнiсть характеристичного числа λ0 задачi (13), (14) як кратнiсть
характеристичного числа 1− λ0 оператора T .
Для доведення цiєї теореми достатньо перевiрити усi умови теореми про iндекс
критичної точки абстрактного оператора [1]. Нагадаємо цi умови.
X – дiйсний сепарабельний рефлексивний банахiв простiр, для якого iснує обме-
жений демiнеперервний оператор J : Br(0) → X∗, що задовольняє умову (S+) для
деякого r > 0, та Ju → 0 при u → 0. Також iснує обмежений лiнiйний оператор
K : X → X∗ такий, що 〈Kx, x〉 > 0 для x 6= 0.
Припустимо, що iснує пiдпростiр L простору X такий, що
L ⊂ D(A), L = X. (15)
Позначимо F (L) множину уciх скiнченновимiрних пiдпросторiв L. Оберемо по-
слiдовнiсть пiдпросторiв {Fj}, j ∈ N, таку що, для кожного j ∈ N,
Fj ∈ F (L), Fj ⊂ Fj+1, dimFj = j, L{Fj} = X, (16)
де L{Fj} =
∞⋃
j=1
Fj .
Введемо класи операторiв, якi будуть розглядатись у цьому роздiлi.
Будемо вважати, що оператор A : X ⊃ D(A) → X∗ задовольняє умови:
A1) iснує пiдпростiр L простору X, який задовольняє (15), що оператор А задоволь-
няє умовi (S+)0,L;
A2) для довiльного F ∈ F (L), v ∈ L вiдображення a(F, v) : F → R, визначене як
(a(F, v))(u) = 〈Au, v〉 є неперервним.
За таких умов можна ввести ступiнь вiдображення deg(A,D, 0). Також має мiсце
умова:
〈Au, u− v〉 ≥ C1(v), ∀u, v ∈ L, ‖u‖ ≤ r0. (17)
Де C1(v) ≥ 0 залежить лише вiд v, а r0 > 0 деяке досить мале число.
Нехай лiнiйний оператор A′ : X ⊃ D(A′) → X∗, задовольняє умовам:
A′) Рiвняння A′u = 0 має лише нульовий розв’язок. Iснує лiнiйний, взагалi необме-
жений, оператор Γ : X ⊃ D(Γ) → X∗ такий, що D(A′) ⊂ D(Γ) та
〈(A′ + Γ)u, u〉 > 0, u ∈ D(A′), u 6= 0 (18)
〈(A′ + Γ)∗v, v〉 > 0, v ∈ D((A′)∗), v 6= 0 (19)
〈A′u, u− w〉 ≥ −C(w), 〈(A′ + Γ)u, u− w〉 ≥ −C(w),
u ∈ D(A′) ∩Bρ, w ∈ L,
(20)
217
В.М. Шраменко
де C(w) додатна константа, яка залежить лише вiд w, а ρ деяке достатньо мале
число.
Будемо розглядати оператор TΓ = (A′ + Γ)−1Γ : X ⊃ D(Γ) → X, який є визначе-
ним, до того ж iснує лiнiйний цiлком неперервний оператор T : X → X, з яким вiн
спiвпадає при u ∈ D(Γ). Оператор A′ + qΓ задовольняє умову (S+)L для довiльного
q ∈ [0, 1].
Проблема лiнеаризацiї оператора A розв’язується наступним чином.
ω) для оператора ω : D(A′) ∩D(A) → X∗, визначеного ω(u) = Au−A′u, маємо
ω(u)
‖u‖ → 0, u → 0, u ∈ Zε (21)
для деякого ε > 0, де
Zε = ∪t∈[0,1]{u ∈ D(A′) ∩D(A) : tAu + (1− t)A′u = 0, 0 < ‖u‖ ≤ ε}. (22)
Також необхiдною є умова:
C) слабке замикання множини
σε = {v =
u
‖u‖ : u ∈ Zε} (23)
не мiстить нуля для достатньо малого ε > 0.
Введемо деякi пiдпростори просторiв X, X∗, пов’язанi з операторами A′ + Γ, T ,
визначеними в умовi A′). По-перше, визначимо два iнварiантних пiдпростори цiлком
неперервного оператора T : X → X. Позначимо через F пряму суму усiх iнварiант-
них пiдпросторiв оператора T , якi вiдповiдають характеристичним числам цього
оператора з iнтервалу (0,1). Нехай R буде замиканням прямої суми усiх iнварiант-
них пiдпросторiв оператора T , якi не увiйшли до F . Тодi F та R є iнварiантними
пiдпросторами оператора T та має мiсце пряма сума X = F + R.
Зрозумiло, що F є скiнченновимiрним пiдпростором X та dimF = ν, де ν – сума
кратностей характеристичних чисел оператора T з iнтервалу (0,1).
Введемо оператор проектування Π : X → F
Π(f + r) = f, для f ∈ F, r ∈ R. (24)
Теорема 2. ([1]) Нехай оператор A : X ⊃ D(A) → X∗ задовольняє вiдповiднi
умови. Будемо вважати, що iснує лiнiйний (можливо необмежений) оператор A′ :
X ⊃ D(A′) → X∗, який задовольняє умови A′), ω). Оператор A + sA′ задовольняє
умову (S+)0,L для усiх s > 0. Нехай до того ж виконуються наступнi умови:
1) оператор Π(A′ + Γ)−1 : X∗ ⊃ (A′ + Γ)D(A′) → X обмежений, де оператори
Π,Γ визначенi у (24) та A′).
2) виконується умова C).
Тодi нуль є iзольованою критичною точкою оператора A та його iндекс дорiвнює
(−1)ν , де ν сума кратностей характеристичних чисел оператора T , якi належать
iнтервалу (0,1).
218
Теорема про iндекс критичної точки оператора 2-го порядку
2. Доведення теореми 1. Всi потрiбнi властивостi простору X, при X =
W 1,m
0 (Ω) мають мiсце (див. [3]). Покажемо, що всi умови теореми 2 для операторiв
A, A′, визначених у (1) та (7), виконуються.
Лема 1 . Нехай виконуються умови теореми 1. Тодi оператор A+sA′ задоволь-
няє умову (S+)0,L для довiльного s ≥ 0.
Доведення. Розглянемо послiдовнiсть {uj} ⊂ L, j = 1, 2, . . . , яка задовольняє
умову
uj ⇀ u0, lim sup
j→∞
〈Auj + sA′uj , uj〉 ≤ 0, lim
j→∞
〈Auj + sA′uj , v〉 = 0 (25)
для деякого u0 ∈ W 1,m
0 (Ω) та довiльного v ∈ L.
З першої нерiвностi випливає
lim sup
j→∞
( n∑
i=1
∫
Ω
[
ρ2(uj)
∣∣∣∂uj
∂x
∣∣∣
2
+ ai(x, uj ,
∂uj
∂x
)
∂uj
∂xi
]
dx+
+
∫
Ω
a0(x, uj ,
∂uj
∂x
)ujdx + s
∑
|α|,|β|≤1
∫
Ω
[ρ2(0)δαβ + a
(0)
αβ(x)]DβujD
αujdx
)
≤ 0.
(26)
Беручи до уваги умову a2), отримаємо
lim sup
j→∞
∫
Ω
ρ2(uj)
∣∣∣∂uj
∂x
∣∣∣
2
dx + s lim sup
j→∞
∫
Ω
∣∣∣∂uj
∂x
∣∣∣
2
dx+
+ lim sup
j→∞
∫
Ω
∣∣∣∂uj
∂x
∣∣∣
m
dx ≤ C(lim sup
j→∞
∫
Ω
|uj |mdx + s lim sup
j→∞
∫
Ω
|uj |2dx).
(27)
Застосовуючи iнтерполяцiйну нерiвнiсть:
∫
Ω
|uj |2dx ≤ δ2
∫
Ω
|∇uj |2dx + Cδ‖uj‖2
Lm(Ω) (28)
та, обираючи належним чином δ, прийдемо до нерiвностi
lim sup
j→∞
∫
Ω
ρ2(uj)
∣∣∣∂uj
∂x
∣∣∣
2
dx + s lim sup
j→∞
∫
Ω
∣∣∣∂uj
∂x
∣∣∣
2
dx ≤ K1 (29)
з деяким K1, яке залежить лише вiд ν1, ν2,m, n, Ω, ‖u0‖W 1,m
0
.
Таким чином, послiдовнiсть {uj} є обмеженою у W 1,2
0 (Ω). Тодi iснує u ∈ W 1,2
0 (Ω)
така, що uj ⇀ u у W 1,2
0 (Ω). За єдинiстю слабкої границi маємо u = u0, тобто u0 ∈
W 1,2
0 (Ω).
Введемо послiдовнiсть
ũj(x) = ρ̃(uj(x)), (30)
де
ρ̃(u) =
∫ u
0
ρ(s)ds. (31)
219
В.М. Шраменко
З (29) випливає обмеженiсть послiдовностi {ũj} в W 1,2
0 (Ω). В силу рефлексивно-
стi простору, можна стверджувати, що ũj слабко збiгається в W 1,2
0 (Ω) та сильно в
Lp(Ω), p < 2n
n−2 до деякої функцiї ũ0. З цього отримаємо, що ũj збiгається за мiрою
до ũ0 та ρ̃(u0). Тому
ũ0(x) = ρ̃(u0(x)). (32)
Беручи до уваги (29), можемо вважати, що
lim sup
j→∞
∫
Ω
ρ2(uj)
∣∣∣∂uj
∂x
∣∣∣
2
dx = R, (33)
де R деяке число. З (32), (33) та ũj → ũ0 в W 1,2
0 (Ω) маємо
∫
Ω
ρ2(u0)
∣∣∣∂u0
∂x
∣∣∣
2
dx ≤ R. (34)
Послiдовнiсть ρ(uj) обмежена в Lq(Ω), q = 2n
n−2 · 1
r > 2. Це випливає з (6) та обме-
женостi послiдовностi ũj в L 2n
n−2
(Ω). До того ж ρ(uj) збiгається за мiрою до ρ(u0).
Тому маємо сильну збiжнiсть ρ(uj) до ρ(u0) в L2(Ω).
Враховуючи це, а також слабку збiжнiсть послiдовностi {uj} до u0 в W 1,2
0 (Ω),
перейдемо до границi у рiвностi (25) для фиксованої v ∈ Fk. При цьому можна
вважати, що
ai(x, uj(x),
∂uj(x)
∂x
) ⇀ hi(x) ∈ Lm′(Ω) (35)
для деяких функцiй hi(x).
n∑
i=1
∫
Ω
{
ρ2(u0)
∂u0
∂xi
+ hi(x)
} ∂v
∂xi
dx +
∫
Ω
h0(x)vdx+
+s
∑
|α|,|β|≤1
∫
Ω
[ρ2(0)δαβ + a
(0)
αβ(x)]Dβu0D
αvdx = 0.
(36)
Наступна оцiнка випливає з нерiвностi Гельдера
∫
Ω
(
ρ2(u0)
∣∣∣∂u0
∂x
∣∣∣
)q′
dx ≤
{∫
Ω
ρ2(u0)
∣∣∣∂u0
∂x
∣∣∣
2
dx
} q
2+q ·
{∫
Ω
[ρ(u0)]qdx
} 2
2+q , (37)
де q = 2n
n−2 · 1
r , а q′ = 2q
2+q .
Таким чином, функцiонал l ∈ [W 1,q
0 (Ω)]∗ з q = q′
q′−1 , визначений як
l(φ) =
n∑
i=1
∫
Ω
ρ2(u0)
∂u0(x)
∂xi
∂φ(x)
∂xi
dx+
+s
∑
|α|,|β|≤1
∫
Ω
[ρ2(0)δαβ + a
(0)
αβ(x)]Dβu0D
αφ(x)dx,
(38)
220
Теорема про iндекс критичної точки оператора 2-го порядку
є неперервним.
З (36) отримаємо оцiнку
|l(φ)| ≤
n∑
i=1
∫
Ω
|hi(x)
∂φ
∂xi
|dx +
∫
Ω
|h0(x)φ|dx, (39)
яка виконується для будь-якої функцiї φ(x) ∈ W 1,q
0 (Ω). Ми оцiнимо праву частину,
застосовуючи нерiвнiсть Гельдера та теорему вкладення
n∑
i=1
∫
Ω
|hi(x)
∂φ
∂xi
|dx +
∫
Ω
|h0(x)φ|dx ≤ K2, (40)
де K2 константа незалежна вiд φ, за умови, що
φ ∈ W 1,q
0 (Ω), ‖φ‖
W 1,m
0 (Ω)
= 1. (41)
Таким чином, для довiльної функцiї φ ∈ W 1,q
0 (Ω) маємо з (40) оцiнку
|l(φ)| ≤ K2‖φ‖W 1,m
0 (Ω)
. (42)
А це означає, що такий функцiонал може бути продовженим до лiнiйного неперерв-
ного функцiонала над простором W 1,m
0 (Ω).
Позначимо продовження функцiоналу l з (38) через l̃ ∈ [W 1,m
0 (Ω)]∗.
Нагадаємо, що оператор Лапласа ∆ : W 1,m′
0 (Ω) → [W 1,m
0 (Ω)]∗ є гомеоморфiзмом,
значить, iснує така функцiя u′ ∈ W 1,m′
0 (Ω), що
l̃(φ) =
n∑
i=1
∫
Ω
∂u′
∂xi
∂φ
∂xi
dx (43)
для φ ∈ W 1,m′
0 (Ω).
Таким чином, для довiльного φ ∈ W 1,q
0 (Ω)
n∑
i=1
∫
Ω
ρ2(u0)
∂u0(x)
∂xi
∂φ(x)
∂xi
dx+
+s
∑
|α|,|β|≤1
∫
Ω
[ρ2(0)δαβ + a
(0)
αβ(x)]Dβu0D
αφ(x)dx =
n∑
i=1
∫
Ω
∂u′
∂xi
∂φ
∂xi
dx.
(44)
Позначимо
u′′ =
∫ u0
0
ρ2(s)ds. (45)
Також iснує деяке w ∈ W 1,2
0 (Ω), що
n∑
i=1
∫
Ω
∂w
∂xi
∂φ
∂xi
dx = s
∑
|α|,|β|≤1
∫
Ω
[ρ2(0)δαβ + a
(0)
αβ(x)]Dβu0D
αφ(x)dx. (46)
221
В.М. Шраменко
Перепишемо рiвняння в наступному виглядi
n∑
i=1
∫
Ω
∂(u′′ + w − u′)
∂xi
∂φ
∂xi
dx = 0. (47)
З властивостi оператора Лапласа випливає, що
u′′ = u′ − w ∈ W 1,2
0 (Ω). (48)
Звiдки маємо
ρ2(u0)
∂u0
∂xi
∈ L2(Ω). (49)
Для подальшого пiдвищення сумовностi застосуємо iтерацiйну схему, яка схожа на
метод Мозера. Враховуючи (49), можна вважати, що (44) має мiсце для довiльного
φ ∈ W 1,2
0 (Ω). Пiдставимо в (44) пробну функцiю
φ(x) =
∫ u0(x)
0
ρk(s)ds, k ≥ 2. (50)
Пiсля стандартних розрахункiв прийдемо до нерiвностi
∫
Ω
ρk+2(u0)
∣∣∣∂u0
∂x
∣∣∣
2
dx +
∫
Ω
ρk(u0)
∣∣∣∂u0
∂x
∣∣∣
2
dx ≤
≤ c
∑
|α|+|β|<2
∫
Ω
ρk(u0)
∣∣∣Dβu0D
αu0
∣∣∣dx +
n∑
i=1
∫
Ω
ρk(u0)
∂u′
∂xi
∂u0
∂xi
dx.
(51)
Застосовуючи iнтерполяцiйну нерiвнiсть (28) та нерiвнiсть Кошi з належним ε, от-
римаємо ∫
Ω
ρk+2(u0)
∣∣∣∂u0
∂x
∣∣∣
2
dx ≤ c
∫
Ω
ρk(u0)dx. (52)
З теореми вкладення випливає
∫
Ω
ρk(u0)dx ≤ c · k 2n
n−2
(∫
Ω
ρ
k(n−2)
n
−2(ρ′)2
∣∣∣∂u0
∂x
∣∣∣
2
dx +
∫
Ω
ρ
k(n−2)
n dx
) n
n−2
. (53)
Враховуючи нерiвнiсть (52) та ρ3), отримаємо
∫
Ω
ρk(u0)dx ≤ c · k 2n
n−2
( ∫
Ω
ρ
k(n−2)
n
−2(u0)dx +
∫
Ω
ρ
k(n−2)
n (u0)dx
) n
n−2
. (54)
Перепишемо останню нерiвнiсть у виглядi
Jk ≤ c · k 2n
n−2
{
Jk
} n
n−2 , (55)
де Jk =
∫
Ω ρk(u0)dx, а k = k(n−2)
n .
Покладемо у (55) k = ki, де
ki =
2
θi
, θ =
n− 2
n
, k = ki−1. (56)
222
Теорема про iндекс критичної точки оператора 2-го порядку
Застосовуючи послiдовно нерiвнiсть (55), ми отримаємо
{Jki
}θi ≤ c
i∑
j=1
θj
· (ki)
2n
n−2
θi · (ki−1)
2n
n−2
θi−1
. . . (k1)
2n
n−2 Jk0 . (57)
Та з (56) маємо
{Jki}θi ≤ c
i∑
j=1
θj
· θ
−
i−1∑
j=0
j·θj · 2n
n−2 · Jk0 . (58)
Переходячи до границi при i →∞, та, враховуючи, що ρ(u0) ∈ L2(Ω), ми в результатi
отримаємо оцiнку
ess sup ρ(u0) ≤ C. (59)
Далi, повторюючи мiркування з леми 5.1 роботи [3], прийдемо до того, що
u0 ∈ W 1,m′
0 (Ω), ρ2(u0)
∂u0
∂xi
∈ Lm′(Ω), (60)
тобто u0 ∈ D(A + sA′).
Зараз доведемо сильну збiжнiсть послiдовностi uj до u0 у просторi W 1,m
0 (Ω).
Нехай u
(0)
j ∈ L{Fj} послiдовнiсть, яка сильно збiгається до u0 в W 1,m
0 (Ω)
n∑
i=1
∫
Ω
[ai(x, uj ,
∂uj
∂x
)− ai(x, uj ,
∂u
(0)
j
∂x
)]
∂(uj − u
(0)
j )
∂xi
dx =
= 〈Auj + sA′uj , uj〉 −
∫
Ω
ρ2(uj)|∂uj
∂x
|2dx−
n∑
i=1
∫
Ω
ai(x, uj ,
∂uj
∂x
)
∂u
(0)
j
∂xi
dx−
−
n∑
i=1
∫
Ω
ai(x, uj ,
∂u
(0)
j
∂x
)
∂(uj − u
(0)
0 )
∂xi
dx−
∫
Ω
a0(x, uj ,
∂uj
∂x
)ujdx−
−s
∑
|α|,|β|≤1
∫
Ω
[ρ2(0)δαβ + a
(0)
αβ(x)]DβujD
αujdx.
(61)
Зауважимо, що має мiсце нерiвнiсть
∑
|α|,|β|≤1
∫
Ω
[ρ2(0)δαβ + a
(0)
αβ(x)]Dβu0D
αu0dx ≤
≤ lim sup
j→∞
∑
|α|,|β|≤1
∫
Ω
[ρ2(0)δαβ + a
(0)
αβ(x)]DβujD
αujdx,
(62)
бо iнакше виконується
lim sup
j→∞
∑
|α|,|β|≤1
∫
Ω
[ρ2(0)δαβ + a
(0)
αβ(x)]DβujD
α(uj − u0)dx < 0, (63)
223
В.М. Шраменко
звiдки стандартними мiркуваннями отримаємо
lim sup
j→∞
‖uj − u0‖W 1,2
0
< 0. (64)
Таким чином, ми прийшли до протирiччя.
Переходячи до границi по j →∞, та беручи до уваги (25), (33), (34), (35) та (62),
отримаємо
lim sup
j→∞
n∑
i=1
∫
Ω
[ai(x, uj ,
∂uj
∂x
)− ai(x, uj ,
∂u0
∂x
)]
∂(uj − u0)
∂xi
dx ≤
≤ −
∫
Ω
ρ2(u0)|∂u0
∂x
|2dx−
n∑
i=1
∫
Ω
hi(x)
∂u0
∂xi
dx−
−
∫
Ω
h0(x)u0dx− s
∑
|α|,|β|≤1
∫
Ω
[ρ2(0)δαβ + a
(0)
αβ(x)]Dβu0D
αu0dx.
(65)
Завдяки (60) рiвнiсть (36) має мiсце для довiльних v ∈ W 1,m
0 (Ω), тому ми приходимо
до
n∑
i=1
∫
Ω
{
ρ2(u0)
∂u0
∂xi
+ hi(x)
}∂u0
∂xi
dx +
∫
Ω
h0(x)u0dx+
+s
∑
|α|,|β|≤1
∫
Ω
[ρ2(0)δαβ + a
(0)
αβ(x)]Dβu0D
αu0dx = 0.
(66)
Нарештi, маємо
lim sup
j→∞
n∑
i=1
∫
Ω
[ai(x, uj ,
∂uj
∂x
)− ai(x, uj ,
∂u0
∂x
)]
∂(uj − u0)
∂xi
dx ≤ 0. (67)
Звiдси, виходячи з доведення теореми 2.1 з [4], можливо показати, що:
1) послiдовнiсть ∂uj
∂xi
збiгається до ∂u0
∂xi
за мiрою;
2)
lim
mesE→0
n∑
i−1
∫
E
|∂uj
∂xi
|pdx = 0, E ⊂ Ω
рiвномiрно вiдносно j.
З 1) та 2) випливає сильна збiжнiсть послiдовностi uj до u0. Залишилось лише
довести, що Au0 = 0.
З (25) та сильної збiжностi {uj} до u0 в W 1,m
0 (Ω), переходячи до границi, маємо,
що
n∑
i=1
∫
Ω
{
ρ2(u0)
∂u0
∂xi
+ ai(x, u0,
∂u0
∂x
)
} ∂v
∂xi
dx +
∫
Ω
a0(x, u0,
∂u0
∂x
)vdx+
+s
∑
|α|,|β|≤1
∫
Ω
[ρ2(0)δαβ + a
(0)
αβ(x)]Dβu0D
αvdx = 0.
(68)
224
Теорема про iндекс критичної точки оператора 2-го порядку
Оскiльки ця рiвнiсть виконується для будь-яких v ∈ W 1,m
0 (Ω), то звiдси випливає,
що Au0 = 0. Теорему доведено.
Перевiрка iнших умов теореми 2 з невеликими вiдмiнностями повторює роботу
[3]. Одним з ключових моментiв, як i ранiше, є допомiжний результат про регуляр-
нiсть розв’язкiв.
Теорема 3. Нехай виконуються умови a1), a2), ρ1)− ρ3) та
u0 ∈ W 1,m
0 (Ω) ∩D(A′) ∩D(A) є розв’язком рiвняння
tAu + (1− t)A′u = 0 (69)
iз деяким t ∈ [0, 1], де оператори A, A′ визначенi у (1) та (7).
Тодi u0 ∈ W 2,2(Ω) ∩ C1,δ(Ω) для деякого δ ∈ (0, 1) та має мiсце оцiнка
‖u0‖W 2,2(Ω) + ‖u0‖C1,δ(Ω) ≤ M (70)
iз сталою M, яка залежить лише вiд ν1, ν2,m, n, Ω и ‖u0‖W 1,m
0 (Ω)
.
Зауважимо лише те, що доданок
n∑
i=1
∫
Ω
ρ2(u)
∂u
∂xi
∂φ
∂xi
dx
при пiдстановцi пробної функцiї стає додатним та його можна вiдкинути. А пiсля
встановлення оцiнки max |u(x)| ≤ C, взагалi, подальшого впливу не має.
1. Шраменко В.М. Iндекс критичної точки недиференцiйовного елiптичного оператора iз сильним
зростанням коефiцiєнтiв. Абстрактна теорема. – Труды ИПММНАН Украины. – 2008. – вып.16.
– 223-231c.
2. Kartsatos A.G., Skrypnik I.V. The index of a critical point for nonlinear elliptic operators with strong
coefficient growth, J. Math. Soc. Japan 52 (2000). – P.109-137.
3. Kartsatos A.G., Skrypnik I.V., Shramenko V.N. The index of an isolated critical point for a class of
non-differentiable elliptic operators in reflexive Banach spaces // J. Differential Equations. – 2005.
– V.214. – P.189-231.
4. Скрыпник И.В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач // М. –
1990.
Нацiональний технiчний ун-т України, Київ
vshramenko@ukr.net
Получено 10.06.08
225
содержание
Том 17
Донецк, 2008
Основан в 1997г.
|