Вихідні рівняння континуально-термодинамічної моделі бінарного розчину з врахуванням в’язкості

З використанням континуальних уявлень механіки суцільного середовища методами термодинаміки нерівноважних процесів отримані вихідні співвідношення моделі бінарного твердого розчину для опису процесів теплопровідності, дифузії та в’язкості. Записана ключова система рівнянь моделі за різних варіантів...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2005
Автори:	Жаліло, А., Пелех, П., Чапля, Є.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2005
Назва видання:	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20866
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Вихідні рівняння континуально-термодинамічної моделі бінарного розчину з врахуванням в’язкості / А. Жаліло, П. Пелех, Є. Чапля // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2005. — Вип. 1. — С. 69-81. — Бібліогр.: 19 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-20866
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-208662011-06-09T12:06:12Z Вихідні рівняння континуально-термодинамічної моделі бінарного розчину з врахуванням в’язкості Жаліло, А. Пелех, П. Чапля, Є. З використанням континуальних уявлень механіки суцільного середовища методами термодинаміки нерівноважних процесів отримані вихідні співвідношення моделі бінарного твердого розчину для опису процесів теплопровідності, дифузії та в’язкості. Записана ключова система рівнянь моделі за різних варіантів вибору незалежних параметрів стану з використанням як термодинамічного потенціалу вільної енергії Гельмгоца і Гіббса. The initial correlations of the binary solid solution model for describing processes of heat conductivity, diffusion and viscosity have been obtained using continuum conceptions of continuous media mechanics by means of thermodynamic non – equilibrium processes. The key system of the model equations at different choice variants of independent state parameters using thermodynamic potential of Helmholtz free energy as well as Gibbs’ one has been recorded. С использованием континуальних представлений механіки сплошной среды методами термодинаміки неравновесных процессов получены исходные соотношения модели бінарного твердого раствора для описания процессов теплопроводности, диффузии и вязкости. Записана ключевая система уравнений модели при различных вариантах выбора независимых параметров состояния с использованием как термодинамического потенциала свобоной энергии Гельмгольца и Гиббса. 2005 Article Вихідні рівняння континуально-термодинамічної моделі бінарного розчину з врахуванням в’язкості / А. Жаліло, П. Пелех, Є. Чапля // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2005. — Вип. 1. — С. 69-81. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20866 539.3:532.72 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	З використанням континуальних уявлень механіки суцільного середовища методами термодинаміки нерівноважних процесів отримані вихідні співвідношення моделі бінарного твердого розчину для опису процесів теплопровідності, дифузії та в’язкості. Записана ключова система рівнянь моделі за різних варіантів вибору незалежних параметрів стану з використанням як термодинамічного потенціалу вільної енергії Гельмгоца і Гіббса.
format	Article
author	Жаліло, А. Пелех, П. Чапля, Є.
spellingShingle	Жаліло, А. Пелех, П. Чапля, Є. Вихідні рівняння континуально-термодинамічної моделі бінарного розчину з врахуванням в’язкості Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
author_facet	Жаліло, А. Пелех, П. Чапля, Є.
author_sort	Жаліло, А.
title	Вихідні рівняння континуально-термодинамічної моделі бінарного розчину з врахуванням в’язкості
title_short	Вихідні рівняння континуально-термодинамічної моделі бінарного розчину з врахуванням в’язкості
title_full	Вихідні рівняння континуально-термодинамічної моделі бінарного розчину з врахуванням в’язкості
title_fullStr	Вихідні рівняння континуально-термодинамічної моделі бінарного розчину з врахуванням в’язкості
title_full_unstemmed	Вихідні рівняння континуально-термодинамічної моделі бінарного розчину з врахуванням в’язкості
title_sort	вихідні рівняння континуально-термодинамічної моделі бінарного розчину з врахуванням в’язкості
publisher	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
publishDate	2005
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20866
citation_txt	Вихідні рівняння континуально-термодинамічної моделі бінарного розчину з врахуванням в’язкості / А. Жаліло, П. Пелех, Є. Чапля // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2005. — Вип. 1. — С. 69-81. — Бібліогр.: 19 назв. — укр.
series	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT žalíloa vihídnírívnânnâkontinualʹnotermodinamíčnoímodelíbínarnogorozčinuzvrahuvannâmvâzkostí AT pelehp vihídnírívnânnâkontinualʹnotermodinamíčnoímodelíbínarnogorozčinuzvrahuvannâmvâzkostí AT čaplâê vihídnírívnânnâkontinualʹnotermodinamíčnoímodelíbínarnogorozčinuzvrahuvannâmvâzkostí
first_indexed	2025-07-02T21:26:09Z
last_indexed	2025-07-02T21:26:09Z
_version_	1836572024372199424
fulltext	Вихідні рівняння континуально-термодинамічної моделі бінарного розчину з врахуванням в’язкості Анатолій Жаліло1, Петро Пелех2, Євген Чапля3 1 к. ф.-м. н., с. н. с., Відділення математики НАН України, вул. Володимирська, 54, Київ, Україна, 06100, e-mail: vmat@nas.gov.ua 2 аспірант, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул. Науко- ва, 3б, Львів, Україна, 79060, e-mail: ppetro@mail.lviv.ua 3 д. ф.-м. н., с. н. с., Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул. Дж. Дудаєва, 15, Львів, Україна, 79005, e-mail: chaplia@cmm.lviv.ua; Інститут механіки середовища і прикладної інформатики Бидгощської академії ім. Казіміра Великого, вул. Хот- кевича, 30, Бидгощ, Польша, 85064, e-mail: czapla@ab.edu.pl З використанням континуальних уявлень механіки суцільного середовища методами термо- динаміки нерівноважних процесів отримані вихідні співвідношення моделі бінарного твер- дого розчину для опису процесів теплопровідності, дифузії та в’язкості. Записана ключова система рівнянь моделі за різних варіантів вибору незалежних параметрів стану з вико- ристанням термодинамічних потенціалів вільної енергії Гельмгоца і Гіббса. Ключові слова: математичне моделювання, бінарні системи, дифузія, теп- лопровідність, в’язкість. Вступ. Процеси деградації функціональних властивостей напівпровідникових на- ноструктур, які використовуються в сучасній мікроелектроніці, зазвичай, пов’я- зують із зумовленою дифузійними процесами зміною локального компонентного складу системи [1, 2]. Оскільки виготовлення й експлуатація таких структур відбувається за підвищених температур, у деяких випадках близьких до темпе- ратури плавлення, то процеси дифузії призводять також до релаксації зсувних складових механічних напружень. Фізико-математичне моделювання взаємозв’язаних процесів деформуван- ня, тепло- і масоперенесення, як правило, базується на континуальних уявленнях механіки суцільного середовища [3-5] та методах термодинаміки нерівноважних процесів [6-8]. Конкретні моделі механіки твердих розчинів були запропоновані в роботах [9-13]. Зокрема в [13] для опису релаксації девіатора тензора напру- жень унаслідок процесу дифузії введено нові термодинамічні параметри локаль- ного стану тіла — тензори густини і хімічного потенціалу. Опис процесів гетеро- дифузії домішкової речовини в тілах з мікроструктурою та огляд літератури, присвяченій цій проблемі, наведено в роботі [14]. Загальні проблеми математич- ного моделювання термов’язкопружних процесів у твердих тілах розглянуті у працях [15, 16]. Фізико-математичні моделі цих процесів для рідин і рідких роз- чинів запропоновані в роботі [17]. УДК 539.3:532.72 69 Анатолій Жаліло, Петро Пелех, Євген Чапля Вихідні рівняння континуально-термодинамічної моделі бінарного розчину... 70 У даній роботі з використанням континуально-термодинамічного підходу отримано вихідні співвідношення моделі механіки бінарного розчину для опису у взаємозв’язку процесів перенесення тепла і маси з врахуванням релаксації зсувних напружень. При цьому процеси релаксації пов’язуються з в’язкими властивостями тіла. Ключова система рівнянь моделі записується для різних ха- рактерних виборів незалежних макроскопічних параметрів локального стану тіла. 1. Вихідні кінематичні та термодинамічні співвідношення для бінарного розчину Бінарний розчин трактуємо як просторово розподілену неоднорідну нерівно- важну двокомпонентну термодинамічну систему, вкладену в обмежену область евклідового простору, який віднесений до декартової системи координат. Кожній компоненті системи ставимо у відповідність континуум iK ( 2,1=i ), а системі в цілому — континуум центрів мас K . Нерівноважні процеси будемо описувати з використанням кінематичних характеристик континууму K . При цьому під ди- фузією розуміємо рух точок континуумів iK ( 2,1=i ) відносно континууму K . Закони руху матеріальних точок континуумів iK ( 2,1=i ) і K трактуємо як взаємно однозначне відображення їхніх точок з області вихідної конфігурації, у якій вони перебувають у початковий момент часу ( 0=τ ), в область актуальної конфігурації, що відповідає часу τ , тобто ( )τ= ,0rrr ii , (і = 1, 2); ( )τ= ,0rrr , (1) де ir ( 2,1=i ) і r — радіус-вектори матеріальних точок цих континуумів у момент часу τ , 0r — їх радіус-вектор у момент часу 0=τ . Швидкості точок відповідних континуумів означимо похідними τ∂ τ∂ =υ ),( 0rri i (і = 1, 2); .),( 0 τ∂ τ∂ =υ rr (2) При цьому умова “індивідуалізації” матеріальних точок прийнята так, щоб ( ) 00 0, rrri = і ( ) 00 0, rrr = , тобто “мітками” точок є величини αα ξ≡0x ( 3,1=α ), де α 0x — координати радіус-вектора 0r вибраної точки [4]. Ці швидкості, використовуючи взаємну однозначність законів руху (1), мо- жуть бути подані як функції точок простору ( )τυ=υ ,rii і ( )τυ=υ ,r , для яких виконуються співвідношення ∑ = υρ ρ =υ 2 1 1 i ii , ∑ = ρ=ρ 2 1i i , (3) де iρ ( 2,1=i ) і ρ — об’ємні густини компонент і сумарна густина. Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2005, Вип.1, 69-81 71 Під деформацією системи в цілому будемо розуміти деформацію контину- уму K . Коваріантні компоненти тензора деформації цього континууму запише- мо у вигляді ( )0 2 1 αβαβαβ −=ε gg . (4) Тут коваріантні компоненти αβg і 0 αβg метричного тензора ĝ у моменти часу τ і 0=τ означені формулами βααβ ⋅= iig , αββα=ταβαβ δ=⋅== 00 0 0 iigg , (5) де αβδ — символ Кронекера, а αi — базисні вектори супутньої лагранжевої системи координат, тобто αα ξ∂ ∂ = ri , 0 0 =ταα ≡ ii , ( 3,1, =βα ). (6) Крапкою між величинами, тут і надалі, позначено скалярний добуток. За макроскопічного опису неоднорідної нерівноважної системи, зазвичай, приймається гіпотеза локальної термодинамічної рівноваги [8] і стан фізично малого елемента такої системи визначається значеннями спряжених термодина- мічних параметрів, які відповідають умовам термодинамічної рівноваги цього елемента [18, 19]. Виберемо за такі параметри ,sT ÷ ,vP ÷ ii C÷µ′ , ( 2,1=i ), (7) де T — абсолютна температура, s — масова густина ентропії, P — тиск, ρ=ν /1 — питомий об’єм, iµ′ — хімічний потенціал і ρρ= iiC — масова кон- центрація компоненти i. Зміна параметрів, що відповідають екстенсивним величинам, задовольняє рівняння Гіббса й Ейлера [18, 19]. Враховуючи, що 121 =+CC , для бінарного розчину запишемо ці рівняння у вигляді dCPdTdsdu µ+ν−= , 1µ′+µ+ν−= CPTsu , (8) де u — масова густина внутрішньої енергії, а 2CC ≡ — концентрація домішко- вої речовини, 12 µ′−µ′≡µ — відносний хімічний потенціал. З допомогою перетворення Лежандра [19] введемо у розгляд масову густи- ну вільної енергії Гельмгольца f = u – Ts, яка згідно (8) задовольняє таким рів- нянням Гіббса та Ейлера dCPdsdTdf µ+ν−−= , 1µ′+µ+ν−= CPdf . (9) Анатолій Жаліло, Петро Пелех, Євген Чапля Вихідні рівняння континуально-термодинамічної моделі бінарного розчину... 72 Якщо ),,( CTff ν= , то з співвідношень (9) отримаємо загальний вигляд рівнянь стану CT fs ,ν       ∂ ∂ −= , CT fP ,       ν∂ ∂ −= , ν       ∂ ∂ =µ ,TC f , (10) де нижні індекси вказують на параметри, які приймаємо постійними. Нехай у вихідній конфігурації ( 0=τ ) параметри локального стану системи (7) набувають значень ,00 sT ÷ ,00 vP ÷ 00 C÷µ , (11) а відхилення температури 0TTT −=δ , питомого об’єму 0vvv −=δ і концентра- ції 0CCC −=δ від цих значень справджують умови малості 1,1/,1/ 0 <<δ<<νδν<<δ CTT . (12) Розкладемо функцію ( )CTf ,,ν у степеневий ряд за відхиленнями неза- лежних змінних від їх значень у початковому стані (11). Тоді, обмежуючись квадратичними складовими та використовуючи вирази загальних рівнянь стану (10), отримаємо такі лінійні рівняння стану CdvPT T cs TT v δ−δα−δ=δ 0 0 , CdvvTPP vvT δ+δα+δα−=δ 00 , CdvdTd CvT δ−δ+δ=δµ , (13) де 0sss −=δ , 0PPP −=δ і 0µ−µ=δµ — зміни ентропії, тиску і хімічного потенціалу; vc — коефіцієнт питомої теплоємності середовища за сталого об’єму, ( )00 //1 TPPT ∂∂−=α — коефіцієнт температурної залежності тиску, ( )0/ TdT ∂µ∂= — коефіцієнт температурної залежності хімічного потенціалу, ( )00 //1 Tv ∂ν∂ν=α — коефіцієнт температурної залежності питомої густини, ( )0/ vdv ∂µ∂= — коефіцієнт залежності хімічного потенціалу від питомої густи- ни, ( )0/ CdC ∂µ∂= — коефіцієнт концентраційної залежності хімічного потен- ціалу домішкової компоненти. Індексом „0” позначено значення величин у по- чатковому стані (11). Часто за незалежні параметри стану зручно вибрати величини PT , і C . Для цих величин термодинамічним потенціалом є вільна енергія Гіббса Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2005, Вип.1, 69-81 73 ν+−= PTsug . Якщо приймемо, що ( )CPTgg ,,= , то аналогічним чином отри- маємо такі лінійні рівняння стану CdPvT T cs Tv P δ−δα+δ=δ 0 0 , CdPvTvv PPv δ+δα+δα−=δ 00 , CdPdTd CPT δ−δ+δ=µ−µ=δµ 0 , (14) де коефіцієнти PPTP ddc ,,,, ααν і Cd є характеристиками матеріалу. Рівняння (14) і (15) описують взаємозв’язок параметрів локального термо- динамічного стану системи в лінійному наближенні. При цьому, характеристики матеріалу системи можуть залежати від координат. 2. Балансові рівняння моделі Балансові рівняння є наслідком законів збереження маси, повної енергії та рівняння балансу імпульсу. Закон збереження маси у диференціальній формі (без врахування хімічних реакцій чи фазових перетворень компонент) запишемо у вигляді ( ) 0=ρ⋅∇+ τ∂ ρ∂ v , ( ) 0=υρ⋅∇+ τ∂ ρ∂ ii i , 2,1=i , (15) де ∇ — оператор Гамільтона. Останнє рівняння для об’ємних густин iρ можна записати з використанням масових концентрацій компонент J d dC ⋅∇−= τ ρ , ( CC −=11 , CC ≡2 ), (16) де ( )υ−υρ=≡ 222JJ — дифузійний потік другої компоненти (домішки), ∇⋅υ+τ∂=τ // dd — оператор повної похідної за часом. Рівняння балансу імпульсу формулюємо для термодинамічної системи в цілому і записуємо з використанням кінематичних характеристик континууму центрів мас mF d d +σ⋅∇= τ υ ρ ˆ , (17) де βα αβ ⊗σ=σ iiˆ — тензор напружень Коші ( 3,1, =βα ) [3, 4], αβσ — його контраваріантні компоненти; 2211 FFFm ′ρ+′ρ= — масова сила, iF ′ — масові Анатолій Жаліло, Петро Пелех, Євген Чапля Вихідні рівняння континуально-термодинамічної моделі бінарного розчину... 74 потенціальні ( )iiF ψ′∇−=′ і консервативні ( )0/ =τ∂ψ′∂ i сили, iψ′ — потенціал цих сил ( 2,1=i ). Символом „⊗ ” позначено тензорний добуток (діада). За грецькими індексами, що повторюються, тут і надалі, розуміється підсумовування. З рівнянь збереження маси (15) і балансу імпульсу (17) випливають такі рівняння балансу потенціальної і кінетичної енергії для системи в цілому ( ) 0=⋅υ+⋅+ψ⋅∇+ τ ψ ρ mFFJJ d d , (18) mF d d ⋅υ+υ⊗∇σ−σ⋅υ⋅∇=      υ τ ρ :ˆ)ˆ( 2 2 , (19) де 2211 ψ′ρ+ψ′ρ=ρψ — об’ємна густина потенціальної енергії системи, ψ∇−=−= ' 1 ' 2 FFF — відносна масова сила, 12 ψ′−ψ′=ψ — її потенціал. Рівняння балансу внутрішньої енергії u отримаємо з закону збереження повної енергії, який приймемо у вигляді ( ) 0=⋅∇+ τ∂ ρε∂ εJ , (20) де ε — масова густина повної енергії, для якої маємо uρ+υ ρ+ρψ=ρε 2 2 , (21) а εJ — потік повної енергії, який задається виразом QJJJ +µ+ψ+υ⋅σ−υρε=ε )(ˆ , (22) QJ — потік енергії у вигляді тепла. Враховуючи в рівняннях (20)-(22) вирази (18) і (19), знайдемо рівняння ба- лансу внутрішньої енергії 0)(:ˆ =⋅∇µ+µ+ψ∇⋅+⋅∇+υ⊗∇σ− τ ρ JJJ d du Q . (23) Щоб отримати рівняння балансу ентропії s запишемо рівняння Гіббса (8) для внутрішньої енергії u у субстанціональній формі [6] τ µρ+ τ ρ− τ ρ= τ ρ d dC d dvP d dsT d du . (24) Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2005, Вип.1, 69-81 75 Зазначимо, що рівняння (24) може бути отримане з рівняння балансу внут- рішньої енергії (23) шляхом граничного переходу до квазістатичних змін стану системи [14]. Співставляючи рівняння (23) і (24) та використовуючи закони збереження маси (15) для питомого об’єму v і масових концентрації (16), знайдемо ssJ d ds σ+⋅∇−= τ ρ , (25) де TJJ Qs = — потік ентропії, sσ — виробництво ентропії ( ) T XJXJ T m mQQs σ +⋅+⋅=σ 1 , (26) TTX Q /∇−= — термодинамічна сила, спряжена до потоку тепла QJ , ( )µ+ψ∇−=mX — термодинамічна сила, спряжена до потоку маси J , mσ — джерело ентропії, зумовлене протіканням механічних процесів υ⋅∇+υ⊗∇σ=σ Pm :ˆ . (27) Зазначимо, що з другого закону термодинаміки випливає нерівність для виробництва ентропії .0≥σ s Для конкретизації виразу (27) введемо у розгляд тензор механічного тиску σ−= ˆP̂ і скористаємось його поданням у вигляді рівноважної IP ˆ та нерівно- важної υP̂ частин, тобто υ+= PIPP ˆˆˆ , (28) де тензор υP̂ називають тензором в’язких напружень, Î — одиничний тензор. Тоді, враховуючи вираз (28) у формулі (27), для виробництва ентропії, по- в’язаного з механічними процесами, отримаємо υ⊗∇−=σ υ :P̂m . (29) Скористаємось розкладами as PPIPP υυυυ ++⋅= ˆˆˆˆ , ( ) ( ) ( )as I υ⊗∇+υ⊗∇+⋅υ⋅∇=υ⊗∇ ˆ 3 1 , (30) де IPP s ˆ:ˆ υυ = — в’язкий тиск, sPυˆ і aPυˆ — симетрична й антисиметрична час- тини тензора υP̂ ; ( )sυ⊗∇ і ( )aυ⊗∇ — симетрична й антисиметрична частини тензора υ⊗∇ . Анатолій Жаліло, Петро Пелех, Євген Чапля Вихідні рівняння континуально-термодинамічної моделі бінарного розчину... 76 Приймаючи тензор в’язких напружень симетричним ( 0ˆ =υaP ), для вироб- ництва ентропії mσ знайдемо ( )ss m PP υ⊗∇−υ⋅∇−=σ υυ :ˆ . (31) Виходячи з отриманого виразу, означимо термодинамічні сили υ⋅∇−=υX і ( )ssX υ⊗∇−=υˆ . Ці сили спряжені до в’язкого тиску υP і тензора sPυˆ , які трактуються як термодинамічні потоки. Отримані вирази для виробництва ентропії (26) і (31) є основою для фор- мулювання кінетичних рівнянь — залежностей між термодинамічними потоками і силами. 3. Кінетичні співвідношення Приймаємо, що термодинамічні потоки є функціями термодинамічних сил. Для ізотропних середовищ, що розглядаються, справедливий принцип Кюрі [6-8], від- повідно до якого функціонально пов’язаними є лише потоки і сили однієї тензор- ної природи, тобто ( )mQQQ XXJJ ,= , ( )mQ XXJJ ,= , ( )υυυ = XPP , )ˆ(ˆˆ sss XPP υυυ = , а також виконуються умови взаємності α α α α ∂ ∂ ⊗= ∂ ∂ ⊗ Qm Q X Ji X J i , ( 3,1=α ). (32) За цих умов існує [14] кінетичний потенціал ( )s mQ XXXX υ υΦ ˆ,,, , диферен- ціал якого s mQQ XdPdXPXdJXdJd υ υ υ ++⋅+⋅=Φ ˆ:ˆ , (33) і кінетичні рівняння можна записати у вигляді s mQ Q X P X P X J X J υ υ υ ∂ Φ∂ = ∂ Φ∂ = ∂ Φ∂ = ∂ Φ∂ = ˆ ˆ,,, , (34) де αα ∂Φ∂≡∂Φ∂ kk XiX , { }mQk ,= ; αβ υ βαυ ∂Φ∂⊗≡∂Φ∂ s s XiiX̂ , 3,1, =βα . У вихідному стані (11) термодинамічні сили QX , mX , υX , sX υˆ і потоки QJ , J , υP , sPυˆ дорівнюють нулю, тобто Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2005, Вип.1, 69-81 77 0ˆ ==== υ υ s mQ XXXX і 0ˆ ==== υυ s Q PPJJ . (35) Тоді, за малих відхилень від положення локальної рівноваги, розкладаючи функцію ( )s mQ XXXX υ υΦ ˆ,,, в ряд за незалежними змінними до квадратичних складових включно і підставляючи цей розклад у формули (34) та враховуючи початкові умови (35), отримаємо лінійні кінетичні рівняння у вигляді mQmQQQQ XLXLJ += , mmmQmQ XLXLJ += , υ υ λ= XP , ss XLP υυ = ˆ:ˆˆ , (36) де LLLLL mmmQQmQQ ˆ,,,,, λ — кінетичні коефіцієнти, які в загальному випадку можуть бути функціями параметрів стану. При цьому з принципу Кюрі випливає, що mQQm LL = , а з нерівності 0≥σ s , що відповідає другому закону термодинаміки, маємо 0≥QQL , 0≥mmL , 0≥λ ( ) 42 mQQmmmQQ LLLL +≥ . Аналогічні співвідношення отримуються для компонент тензора четвертого рангу L̂ . 4. Ключова система рівнянь моделі Запишемо рівняння моделі для двох варіантів вибору розв’язуючих функцій TC ,,, υρ та TCP ,,, υ . Із закону збереження маси (15) і (16), рівняння балансу імпульсу (17) і ентропії (25), використовуючи кінетичні співвідношення (36) для термодинаміч- них потоків, вирази для термодинамічних сил QX , mX , υX , sX υˆ та рівняння стану (13), у разі вибору за розв’язуючі функції TvC ,,,ρ знайдемо υ⋅∇−= τ ρ ρ d d1 , [ ] ( )ψ∇⋅∇+ρ∇+∇+∇⋅∇= τ ρ ρ mmCT LDCDTD d dC , ( )+υ⋅∇λ∇+∇+∇α−ρ∇ ρ αν −= τ υ ρ ν CdTP d d vT 02 0 ( ) 1FC s ρ+ψ∇ρ−    υ⊗∇Θ⋅∇+ , = τ ρ− τ ρ ρ α + τ ρν d dCd d dP d dT T C T T 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) T qCT nc C +ψ∇χ⋅∇+ρ∇χ⋅∇+∇χ⋅∇+∇χ⋅∇= ψρ , (37) Анатолій Жаліло, Петро Пелех, Євген Чапля Вихідні рівняння континуально-термодинамічної моделі бінарного розчину... 78 де ρDDD CT ,, — кінетичні коефіцієнти дифузії, а ψρ χχχχ ,,, C — коефіцієнти теплопровідності, які визначаються через кінетичні коефіцієнти співвідношень (36) і коефіцієнти рівнянь стану (13); Θ — кінетичний коефіцієнт в’язкості, ( )TvCq snc ,,,ρσ≡ — нескомпенсоване тепло (виробництво ентропії, яке записа- не через шукані функції). Коефіцієнти рівнянь стану тут прийняті незалежними від координат. Якщо ж за розв’язуючі функції вибрати величини TvCP ,,, , то для пере- творення рівнянь (16)-(18) і (25) поряд з кінетичними співвідношеннями (36) використовуємо лінійні рівняння стану (14). У результаті отримаємо таку сис- тему ключових рівнянь моделі υ⋅∇ρ−= τ ρ d d , [ ] ( )ψ∇⋅∇+∇+∇+∇⋅∇= τ ρ mmPCT LPDCDTD d dC , ( ) ( )     υ⊗∇Θ⋅∇+υ⋅∇λ⋅∇+∇−= τ υ ρ s TP d d , = τ ρ− τ ρνα+ τ ρ ν d dCd d dP d dT T C T P 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) T qPCT nc PC +ψ∇χ⋅∇+∇χ⋅∇+∇χ⋅∇+∇χ⋅∇= ψ , (38) де PD — кінетичний коефіцієнт дифузії, який пов’язаний з градієнтом тиску, Pχ — коефіцієнт теплопровідності; ( )TvCPq snc ,,,σ≡ — нескомпенсоване теп- ло. При цьому ( ) .1 00 CdPdTd Pp δ+δν+δνα−=ρ ν Зазначимо, що в системах рівнянь (37) і (38) перше рівняння є законом збе- реження маси, друге — рівнянням дифузії, третє — рівнянням руху, а четверте — узагальненим рівнянням теплопровідності. У рівняннях теплопровідності складові ( ) τρ−τρα+τρν ddCdddPddTTC TT ln00 або ( ) +τρ ddTTCp 0 τρ−τρνα+ ν ddCdddP T0 визначають зв’язок параметрів стану за адіабатич- них умов (s = const). Їх часто пов’язують з термопружним розсіянням енергії. 5. Лінеаризована система ключових рівнянь моделі У записаних системах рівнянь (37) і (38) знехтуємо геометричною нелінійністю, яка пов’язана з рухом континууму K , тобто складовими ∇⋅υ в операторі повної похідної за часом, і похідні τdd змінимо на часткові τ∂∂ . Приймемо сталою Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2005, Вип.1, 69-81 79 сумарну густину маси системи і покладемо 0ρ=ρ . Враховуючи, що 0=υ⋅∇ , таке припущення буде означати, що нехтується об’ємною в’язкістю у системі. У більшості випадків при розгляді процесів дифузії, теплопровідності та в’язкості в макроскопічній системі можна нехтувати впливом масових сил і тоді 0=ψ′∇ i ( 2,1=i ). Надалі у рівнянні теплопровідності знехтуємо також адіаба- тичною зв’язністю процесів, тобто приймемо, що ( ) ( ) τ∂∂ρ≅τρ−τρα+τρ νν TTCddCdddPddTTC TT 000 ln , а також ( ) ( ) τ∂∂ρ≅τρ−τρνα+τρ ν TTCddCdddPddTTC pTp 000 . За таких припущень, приймаючи кінетичні коефіцієнти рівнянь моделі не- залежними від координат, з системи (38) отримаємо ,0=υ⋅∇ ,CDTDC CT ∆+∆= τ∂ ∂ ( )sT vCdT ⊗∇⋅∇Θ+∇+∇α= τ∂ υ∂ ν , T qCTT T C nc C +∆χ+∆χ= τ∂ ∂ ρ ν 0 0 , (39) де 0ρ= TT DD , 0ρ= CC DD — коефіцієнти дифузії, 00 ρ−=α PdTT , 0ρ= νν dd , 0ρΘ=Θ — нормовані на початкову густину характеристики ма- теріалу моделі, ∇⋅∇=∆ — оператор Лапласа. Аналогічним чином із системи рівнянь (38) отримаємо ,0=υ⋅∇ ,PDCDTDC PCT ∆+∆+∆= τ∂ ∂ ( )sP υ⊗∇⋅∇Θ+∇ ρ = τ∂ υ∂ 0 1 , T qPCTT T C nc PC P +∆χ+∆χ+∆χ= τ∂ ∂ ρ 0 0 . (40) Підкреслимо, що в цьому випадку рівняння стану, яке пов’язує зміну тем- ператури, тиску і концентрації 000 =δ+δν+δνα− ν CdPdT PP , може бути вико- ристане для зменшення кількості шуканих функцій. Зазначимо також, що коли означити вектор переміщення 0rru −= , то в лінійному наближенні з формул (4)- (6) знайдемо Анатолій Жаліло, Петро Пелех, Євген Чапля Вихідні рівняння континуально-термодинамічної моделі бінарного розчину... 80 ( )     ⊗∇+⊗∇=ε Τ uu 2 1ˆ , (41) де βα αβ ⊗ε=ε iiˆ — тензор деформації ( 3,1, =βα ). Символом „Τ ” позначено операцію транспонування, а τ∂∂=υ u . За початкові умови можуть бути прийняті значення шуканих функцій у по- чатковому стані (11), а швидкість 0υ=υ . На зовнішній границі контакту з твердим тілом 0=υ , а силова дія p задо- вольняє умову ( ) nPIPp s ⋅+−−= υˆˆ . Для температури T і концентрації C можуть бути задані граничні умови першого, другого і третього родів. На внутрішніх по- верхнях розділу приймається рівність швидкостей, температури і хімічних по- тенціалів домішкової компоненти, а також теплових та масових потоків. Висновки. Отримані системи рівнянь (37) і (38), а також їхні лінеаризовані варі- анти (39) і (40), можуть бути покладені в основу кількісного дослідження взаємо- зв’язаних процесів дифузії, теплопровідності і в’язкості у системі. За певних при- пущень з них отримуються модельні співвідношення наведені в роботі [17]. Крім цього з використанням (4)-(6), (28), рівнянь стану (13) (або (14)) і кінетичних співвідношень (36) можна оцінити релаксацію напружено-деформованого стану тіла. Зазначимо також, що наведена вище схема отримання ключових рівнянь моделі механотермодифузії з врахуванням в’язкості може бути узагальнена на випадок, коли локальний рівноважний стан системи задається значеннями спря- жених параметрів: ,sT ÷ αβ αβ ε÷σ0 , ii C÷µ′ , де αβσ0 — значення компонент тен- зора напружень Коші у рівновазі ( 3,1, =βα , 2,1=i ), що відповідає опису систе- ми у наближенні твердих розчинів. Література [1] Структурная релаксация в полупроводникових кристаллах и приборных структу- рах / Венгер Е. Ф., Грендел М., Данишка В. и др. Под ред. Тхорика Ю. А. — К.: Фенікс, 1994. — 244 с. [2] Radiation resistance of GaAs-based microwave Schottky — barrier devices / Belya- ev A. E., Breza J., Venger E. F. Під ред. Конакової Р. В., Тхорика Ю. О. — К.: Інтер- прес ЛТД, 1998. — 127 с. [3] Ильющин А. А. Механика сплошной среды. — М.: Изд-во Московского ун-та, 1978. — 287 с. [4] Седов Л. И. Механика сплошной среды: В 2-х т. — М.: Наука, 1976. — Т. 1. — 536 с. — Т. 2. — 573 с. [5] Трусдел К. Первоначальный курс рациональной механики сплошной среды. — М.: Мир, 1975. — 592 с. [6] Де Гротт С. П., Мазур П. Неравновесная термодинамика. — М.: Мир, 1964. — 456 с. [7] Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. — М.: Мир, 1974. — 304 с. Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2005, Вип.1, 69-81 81 [8] Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов. — М.: Изд-во иностр. литературы, 1960. — 127 с. [9] Підстригач Я. С. Диференціальні рівняння задачі термодифузії в твердому дефор- мованому ізотропному тілі // Доп. АН УРСР. — Сер. А. — 1961. — № 2. — С. 169- 173. [10] Підстригач Я. С., Павлина В. С. Загальні співвідношення термодинаміки твердих розчинів // УФЖ. — 1961. — Т. 6, № 5. — С. 655-663. [11] Подстригач Я. С. Диффузионная теория деформации изотропной сплошной сре- ды // Вопр. мех. реальн. тверд. тела. — 1964. — Вып. 4. — С. 71-99. [12] Бурак Я. Й., Галапац Б. П., Гнідець Б. М. Фізико-механічні процеси в електропро- відних тілах. — К.: Наук. думка, 1978. — 232 с. [13] Подстригач Я. С. Диффузионная теория неупругости материалов // Журн. прикл. мех. и техн. физики. — 1965. — № 2. — С. 67-72. [14] Чапля Є. Я., Чернуха О. Ю. Фізико-математичне моделювання гетеродифузного масопереносу. — Львів: Сполом, 2003. — 128 с. [15] Ильющин А. А., Победря Б. Е. Основы математической теории термовязкоупругос- ти. — М.: Наука, 1970. — 280 с. [16] Карнаухов В. Г. Связанные задачи термовязкоупругости. — К.: Наук. думка, 1982. — 260 с. [17] Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Гидродинамика. — М.: Наука, 1988. — 736 с. [18] Гиббс Дж. В. Термодинамика. Статистическая механика. — М.: Наука, 1982. — 584 с. [19] Мюнстер А. Химическая термодинамика. — М.: Мир, 1971. — 295 с. Initial Equations of Continuum-Thermodynamic Models of Binary Solution Taking into Account Viscosity Anatoliy Zhalylo, Petro Pelekh, Yevhen Chaplia The initial correlations of the binary solid solution model for describing processes of heat conduc- tivity, diffusion and viscosity have been obtained using continuum conceptions of continuous me- dia mechanics by means of thermodynamic non – equilibrium processes. The key system of the model equations at different choice variants of independent state parameters using thermodynamic potential of Helmholtz free energy as well as Gibbs’ one has been recorded. Исходные уравнения континуально-термодинамической модели бинарного раствора с учетом вязкости Анатолий Жалило, Петр Пелех, Евгений Чапля С использованием континуальних представлений механики сплошной среды методами тер- модинамики неравновесных процессов получены исходные соотношения модели бинарного твердого раствора для описания процессов теплопроводности, диффузии и вязкости. Запи- сана ключевая система уравнений модели при различных вариантах выбора независимых параметров состояния с использованием термодинамического потенциала свободной эне- ргии Гельмгольца и Гиббса. Отримано 04.03.05

Вихідні рівняння континуально-термодинамічної моделі бінарного розчину з врахуванням в’язкості

Репозитарії

Схожі ресурси