Математичне моделювання дифузійних процесів у багатофазних тілах випадкової структури з використанням діаграм Фейнмана
У роботі запропоновано новий підхід до фізико-математичного моделювання процесів масоперенесення в багатофазних випадково неоднорідних тілах. Вихідна крайова задача сформульована на основі законів Фіка. Для дослідження усереднених дифузійних полів застосовано техніку діаграм Фейнмана. Отримано нелок...
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20871 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Математичне моделювання дифузійних процесів у багатофазних тілах випадкової структури з використанням діаграм Фейнмана / О. Чернуха // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2005. — Вип. 1. — С. 116-131. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-20871 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-208712011-06-09T12:06:23Z Математичне моделювання дифузійних процесів у багатофазних тілах випадкової структури з використанням діаграм Фейнмана Чернуха, О. У роботі запропоновано новий підхід до фізико-математичного моделювання процесів масоперенесення в багатофазних випадково неоднорідних тілах. Вихідна крайова задача сформульована на основі законів Фіка. Для дослідження усереднених дифузійних полів застосовано техніку діаграм Фейнмана. Отримано нелокальне рівняння дифузії для усередненої функції Гріна. Запропоновано метод покращення збіжності не скінченних інтегральних рядів Неймана стосовно дифузійних процесів. In the paper the new approach to physical-mathematical modelling of mass transfer processes in multiphase randomly nonhomogeneous bodies is proposed. An initial-boundary value problem is formulated on the basis of Fick lows. The technique of Feynman diagrams is applied for investigation of averaged diffusive fields. A nonlocal equation of diffusion is obtained for averaged Green function. A method for convergence acceleration of infinite integral Neumann series regarding diffusive processes is proposed. В работе предложен новый подход к физико-математическому моделированию процессов массопереноса в многофазных случайно неоднородных телах. Краевая задача сформулирована на основании законов Фика. Для исследования усредненных диффузионных полей применена техника диаграмм Фейнмана. Получено нелокальное уравнение диффузии для усредненной функции Грина. Предложен метод улучшения сходимости бесконечных интегральных рядов Неймана относительно диффузионных процессов. 2005 Article Математичне моделювання дифузійних процесів у багатофазних тілах випадкової структури з використанням діаграм Фейнмана / О. Чернуха // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2005. — Вип. 1. — С. 116-131. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20871 517.958:532.72 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
У роботі запропоновано новий підхід до фізико-математичного моделювання процесів масоперенесення в багатофазних випадково неоднорідних тілах. Вихідна крайова задача сформульована на основі законів Фіка. Для дослідження усереднених дифузійних полів застосовано техніку діаграм Фейнмана. Отримано нелокальне рівняння дифузії для усередненої функції Гріна. Запропоновано метод покращення збіжності не скінченних інтегральних рядів Неймана стосовно дифузійних процесів. |
| format |
Article |
| author |
Чернуха, О. |
| spellingShingle |
Чернуха, О. Математичне моделювання дифузійних процесів у багатофазних тілах випадкової структури з використанням діаграм Фейнмана Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| author_facet |
Чернуха, О. |
| author_sort |
Чернуха, О. |
| title |
Математичне моделювання дифузійних процесів у багатофазних тілах випадкової структури з використанням діаграм Фейнмана |
| title_short |
Математичне моделювання дифузійних процесів у багатофазних тілах випадкової структури з використанням діаграм Фейнмана |
| title_full |
Математичне моделювання дифузійних процесів у багатофазних тілах випадкової структури з використанням діаграм Фейнмана |
| title_fullStr |
Математичне моделювання дифузійних процесів у багатофазних тілах випадкової структури з використанням діаграм Фейнмана |
| title_full_unstemmed |
Математичне моделювання дифузійних процесів у багатофазних тілах випадкової структури з використанням діаграм Фейнмана |
| title_sort |
математичне моделювання дифузійних процесів у багатофазних тілах випадкової структури з використанням діаграм фейнмана |
| publisher |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20871 |
| citation_txt |
Математичне моделювання дифузійних процесів у багатофазних тілах випадкової структури з використанням діаграм Фейнмана / О. Чернуха // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2005. — Вип. 1. — С. 116-131. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
| series |
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| work_keys_str_mv |
AT černuhao matematičnemodelûvannâdifuzíjnihprocesívubagatofaznihtílahvipadkovoístrukturizvikoristannâmdíagramfejnmana |
| first_indexed |
2025-07-02T21:26:23Z |
| last_indexed |
2025-07-02T21:26:23Z |
| _version_ |
1836572038826819584 |
| fulltext |
Математичне моделювання дифузійних процесів
у багатофазних тілах випадкової структури
з використанням діаграм Фейнмана
Ольга Чернуха
к. ф.-м. н., с. н. с., Центр математичного моделювання ІППММ ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул. Дж. Дудає-
ва, 15, Львів, 79005, e-mail: cher@cmm.lviv.ua
У роботі запропоновано новий підхід до фізико-математичного моделювання процесів
масоперенесення в багатофазних випадково неоднорідних тілах. Вихідна крайова задача
сформульована на основі законів Фіка. Для дослідження усереднених дифузійних полів
застосовано техніку діаграм Фейнмана. Отримано нелокальне рівняння дифузії для усеред-
неної функції Гріна. Для дифузійних процесів запропоновано метод покращення збіжності
нескінченних інтегральних рядів Неймана.
Ключові слова: багатофазне тіло, процеси масоперенесення, випадкове
поле концентрації, усереднення за ансамблем конфігурацій фаз, діаграми
Фейнмана.
Вступ. У практиці часто виникає необхідність досліджувати процеси масопере-
несення в багатофазних багатокомпонентних середовищах, оскільки цими проце-
сами визначається поширення забруднюючих речовин в оточуючому середовищі,
надійність вузлів та елементів конструкцій, зокрема, з композитних матеріалів.
Для опису процесів у тілах із випадково неоднорідною структурою розви-
нені методи гомогенізації [1-3], в яких певним чином означують і використо-
вують середні та ефективні параметри досліджуваних фізичних полів та середо-
вища. За таких підходів приймається умова малості розмірів включень порівняно
з характерними віддалями змін параметрів полів [1], що, як правило, забезпечує
виконання умов теореми ергодичності процесів [4].
У роботі запропоновано подальший розвиток підходу [5] до моделювання
дифузійних процесів у багатофазних стохастично неоднорідних тілах для випад-
ків, коли розміри тіла та включень окремих фаз є співмірні. Вихідна математична
модель масоперенесення записана з використанням законів Фіка. Фізичні влас-
тивості різних фаз враховуються в коефіцієнтах рівняння дифузії та граничних
умовах. З використанням діаграмної (графічної) техніки отримано рівняння Дай-
сона для усередненого дифузійного поля домішкових частинок, породженого
точковим джерелом, і відповідне нелокальне рівняння дифузії. Також запропо-
новано метод покращення збіжності інтегрального ряду Неймана задачі дифузії.
Тут випадковими дифузійними полями називатимемо випадкові поля [6], що
описують дифузійні процеси у стохастично неоднорідних середовищах.
УДК 517.958:532.72
116
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, Вип.1, 116-131
117
1. Випадкове поле концентрації в багатофазному тілі
Нехай домішкова речовина мігрує в тілі, що складається з 1+N випадково роз-
ташованих фаз, фізичні характеристики яких суттєво відрізняються. При цьому
точна геометрична конфігурація структури тіла невідома. Приймаємо, що об’єм-
на частка 0v однієї фази (матриці) значно більша від об’ємних часток jv
( Nj ,1= ) включень ( jvv >>0 , Nj ,1= ), а густина тіла )(rρ та кінетичний
коефіцієнт дифузії )(rd є постійними величинами в об’ємі кожної фази, де r —
радіус-вектор біжучої точки простору.
Дифузія домішкової речовини в такому тілі, виходячи з законів Фіка [7],
описується рівнянням [8, 9]
[ ] 0),()(),()(),(),( =∇∇−
∂
∂
ρ≡ trcrd
t
trcrtrctrL . (1)
Тут ),( trc — випадкове поле концентрації домішкової речовини в тілі, ∇ —
оператор Гамільтона.
Нехай задані крайові умови І-го роду на поле концентрації
)(),( 10 rbtrc t =
=
, )(),( 2)( tbtrc Vr =
∂∈
, (2)
де )(1 rb , )(2 tb — відомі детерміновані функції; )( V∂ — границя тіла з об’ємом V.
Уведемо в розгляд випадкову функцію )(rijη типу одиничної сходинкової
функції Гевісайда, яка визначає конфігурацію (розташування) фаз в області тіла і
означена таким чином [10]
( )
( )
∉
∈
=η
,,0
,,1
)(
)(
)(
j
i
j
i
ij
Vr
Vr
r 1)(
0 1
=η∑∑
= =
N
j
n
i
ij
j
r . (3)
де ( ))( j
iV — i -та однозв’язна область ( i -те включення) j -ої фази; і — номер
включення ( jni ,1= ), jn — кількість включень сорту j (j= N;0 ). Тоді
∑∑
= =
η=
N
j
n
i
ijj
j
rdrd
0 1
)()( , ∑∑
= =
ηρ=ρ
N
j
n
i
ijj
j
rr
0 1
)()( . (4)
Підставимо подання (4) в рівняння дифузії (1) та враховуємо, що
( ) ( ) ,)]([)(
0 10 1
∑∑∑∑
= == =
Γ
Γ
−δ=η∇
N
j
n
i
ij
N
j
n
i
ijj
j
ij
j
rrrdrd (5)
Ольга Чернуха
Математичне моделювання дифузійних процесів у багатофазних тілах...
118
де
ij
rd
Γ
)]([ — вектор-функція стрибка кінетичного коефіцієнта на границі одно-
зв’язної області ( ) ,)( j
iV ijΓ — границя цієї області; Γ
ijr — радіус-вектор точок
границі ijΓ . Тоді отримаємо
( ) 0)]([
2
1)()(),(),(
0 1
=
∇−δ−∆η−
∂
∂
ηρ= ∑∑
= =
Γ
Γ
N
j
n
i
ijijjijj
j
ij
crrrdcrd
t
crtrctrL . (6)
До одержаного рівняння додаємо і віднімаємо невипадковий оператор ди-
фузії ),(0 trL з коефіцієнтами базової фази
∆−
∂
∂
ρ= 000 ),( d
t
trL . (7)
Тоді, з урахуванням умови суцільності тіла (3), рівняння (6) набуде вигляду
[ ] ),(),(),(),(),( 00 trctrLtrLtrctrL −= . (8)
Розв’язок крайової задачі (8), (2) шукатимемо у вигляді нескінченного
інтегрального ряду Неймана [10]. Вважаємо праву частину рівняння (8) джере-
лом, тобто неоднорідність середовища розглядаємо як внутрішні джерела для
процесу масоперенесення у випадково неоднорідному ( 1+N )-фазному тілі. Тоді
розв’язок неоднорідної крайової задачі (8), (2) можна подати у вигляді
∫ ∫ ′′′′′′′′+=
t
V
s tdrdtrctrLttrrGtrctrc
0 )(
0 ),(),(),,,(),(),( , (9)
де ),(0 trc — розв’язок такої однорідної крайової задачі
0),(),(),(),( 00
0
000 =∆−
∂
∂
ρ≡ trcd
t
trctrctrL ; (10)
)(),( 100 rbtrc t =
=
, )(),( 2)(0 tbtrc Vr =
∂∈
; (11)
),(),(),( 0 trLtrLtrLs ′′−′′≡′′ ,
тобто
+∆η−−
∂
∂
ηρ−ρ= ∑∑∑∑
====
jj n
i
ij
N
j
j
n
i
ij
N
j
js rdd
t
rtrL
11
0
11
0 )()()()(),(
( )[ ] ( )∇−δ+ Γ
= =
Γ∑∑ ij
N
j
n
i
rrrd
j
ij
0 12
1 ; (12)
),,,( ttrrG ′′ — функція Гріна задачі (8), (2), яка визначається як розв’язок такої
задачі [11]
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, Вип.1, 116-131
119
)()(),,,(),,,(
00 rrttttrrGd
t
ttrrG
r ′−δ′−δ=′′∆−
∂
′′∂
ρ , (13)
0),,,( 0 =′′
=tttrrG , 0),,,( )( =′′
∂∈ VrttrrG . (14)
Таким чином вихідна крайова задача зведена до еквівалентного їй інтегро-
диференціального рівняння (9). Розв’язок цього рівняння будуємо ітеруванням
(методом послідовних наближень). Оскільки рівняння (9) справедливе для всіх
точок області [;0[{ τ∈t , )}(Vr ∈ , зокрема для rr ′= і tt ′= , то, щоб отримати
першу ітерацію, запишемо значення функції концентрації в точці ),( tr ′′ . Отже
маємо
∫ ∫
′
′′′′′′′′′′′′′′′′′′+′′=′′
t
V
s tdrdtrctrLttrrGtrctrc
0 )(
0 ),(),(),,,(),(),(
і підставимо цей вираз у праву частину (9). Тоді одержимо
+′′′′′′′′+= ∫ ∫
t
V
s tdrdtrctrLttrrGtrctrc
0 )(
00 ),(),(),,,(),(),(
∫ ∫ ∫ ∫ ′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′+
′t
V
t
V
ss tdrdtdrdtrctrLttrrGtrLttrrG
0 )( 0 )(
),(),(),,,(),(),,,( . (15)
Записавши значення концентрації у точці ),( tr ′′′′ і підставивши її у праву
частину (15), одержимо другу ітерацію. Повторюючи таку операцію нескінченну
кількість разів, отримаємо інтегральний ряд Неймана, а саме
+′′′′′′′′+= ∫ ∫
t
V
s tdrdtrctrLttrrGtrctrc
0 )(
00 ),(),(),,,(),(),(
+′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′+ ∫ ∫ ∫ ∫
′t
V
t
V
ss tdrdtdrdtrctrLttrrGtrLttrrG
0 )( 0 )(
0 ),(),(),,,(),(),,,(
×′′′′′′′′′′′′′′+ ∫ ∫ ∫ ∫
′t
V
t
V
ss trLttrrGtrLttrrG
0 )( 0 )(
),(),,,(),(),,,(
...),(),(),,,(
0 )(
0 +′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′× ∫ ∫
′′
tdrdtdrdtdrdtrctrLttrrG
t
V
s . (16)
Перший член ряду Неймана (16) — концентрація ),(0 trc в однорідному
середовищі з фізичними характеристиками 0ρ , 0d . Другий доданок
Ольга Чернуха
Математичне моделювання дифузійних процесів у багатофазних тілах...
120
∫ ∫ ′′′′′′′′=
t
V
s tdrdtrctrLttrrGtrc
0 )(
0
)1( ),(),(),,,(),( (17)
описує збурення концентраційного поля, що виникають внаслідок наявності у
тілі включень. Тобто, враховуючи вигляд оператора ),( trLs (12), можемо ствер-
джувати, що ),()1( trc є сумою збурень поля концентрації, кожне з яких виникає,
якщо в однорідне середовище помістити включення з характеристиками,
відмінними від характеристик базової фази. До того ж враховуються й ефекти
границь цього включення. Третій доданок у ряді (16) можна подати у формі,
аналогічній (17), а саме
tdrdtrctrLttrrGtrc
t
V
s ′′′′′′′′= ∫ ∫
0 )(
)1()2( ),(),(),,,(),( .
Він відповідає тим збуренням, які виникають внаслідок поміщення в середовище
з параметрами матриці почергово двох включень, тобто ),()2( trc описує ефекти
парного взаємовпливу таких включень на поле концентрації. n -ий доданок ряду
(16) можна подати так
∫ ∫ ′′′′′′′′= −
t
V
n
s
n tdrdtrctrLttrrGtrc
0 )(
)1()( ),(),(),,,(),( , (18)
який є n -м рекурентним кроком методу послідовних наближень [12].
Тобто ряд Неймана (16) — це розвинення поля концентрації за збурен-
нями, які виникають у системі через наявність включень з іншими, ніж у матриці,
дифузійними характеристиками.
2. Середнє поле концентрації в багатофазному випадково неоднорідному тілі
Усереднимо випадкове поле концентрації (16) за ансамблем конфігурацій фаз із
заданою функцією розподілу. Тоді отримаємо
+′′′′′′′′+= ∫ ∫
t
V
s tdrdtrctrLttrrGtrctrc
0 )(
00 ),(),(),,,(),(),(
+′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′+ ∫ ∫ ∫ ∫
′t
V
t
V
ss tdrdtdrdtrctrLttrrGtrLttrrG
0 )( 0 )(
0 ),(),(),,,(),(),,,(
×′′′′′′′′′′′′′′+ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
′ ′′t
V
t
V
t
V
ss trLttrrGtrLttrrG
0 )( 0 )( 0 )(
),(),,,(),(),,,(
...),(),(),,,( 0 +′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′× tdrdtdrdtdrdtrctrLttrrG s . (19)
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, Вип.1, 116-131
121
При цьому, враховуючи вигляд оператора sL , необхідно визначити вирази на
зразок )(rij ′η , ( )Γ−′δ ijrr , )()( rr klij ′′η′η , ( ) ( )ΓΓ −′′δ−′δ klij rrrr , ( ) ( )Γ−′′δ′η klij rrr
і т. д. Тобто для розрахунку усередненого поля концентрації потрібно знати
моменти )()...( )(n
klij rr η′η , ( ) ( )ΓΓ −δ−′δ kl
n
ij rrrr )(... , ( )...rij ′η ( )Γ−′′δ klrr будь-
якого порядку. При довільній статистиці це складна задача, до того ж необхідно
побудувати методи сумування усереднених рядів. Враховуючи характерні часи
релаксації дифузійних процесів, у разі малої об’ємної частки включень, можна
обмежитися “борнівським наближенням” [13], тобто враховувати лише два перші
члени ряду Неймана.
У цьому випадку, відповідно до (12), (17), випадкове поле )1(c є лінійним
функціоналом від флуктуацій )()()(~ rdrdrd −= , )()()(~ rrr ρ−ρ=ρ . Тому всі
моменти поля )1(c лінійно визначаються через моменти )(~ rd , )(~ rρ того ж
порядку.
Усереднене поле концентрації у борнівському наближенні є таким
∫ ∫ ′′′′′′′′+=
t
V
s tdrdtrctrLttrrGtrctrc
0 )(
00 ),(),(),,,(),(),( . (20)
Кореляційна (автокореляційна) функція за означенням дорівнює
( ) ),(),(),(),(,, 212121 trctrctrctrctrrc −≡ψ . (21)
Якщо покладемо тут rrr == 21 , то отримаємо дисперсію ][cD випадкового поля
(тобто середній квадрат флуктуації) в точці r
[ ]22
1
2 ),(),(),(~),(][ trctrctrctrcD c −=≡σ≡ . (22)
Зазначимо, що (21) і вирази для вищих моментів поля ),( trc дають повний
статистичний розв’язок задачі.
3. Діаграмна техніка для усередненого дифузійного поля домішкових частинок
Якщо вихідну крайову задачу (1), (2) можна сформулювати у вигляді рівняння
[ ] ),(),()(),()(),(),( trftrcrd
t
trcrtrctrL =∇∇−
∂
∂
ρ≡ , (23)
з нульовими крайовими умовами, де ),( trf — джерело (детермінована функція),
тоді розв’язок такої задачі можна подати через функцію Гріна
Ольга Чернуха
Математичне моделювання дифузійних процесів у багатофазних тілах...
122
∫ ∫ ′′′′′′=
t
V
tdrdtrfttrrGtrc
0 )(
),(),,,(),( , (24)
де функція Гріна ),,,( ttrrG ′′ (яка є випадковим полем) задовольняє крайову
задачу з точковим джерелом
[ ] )()(),,,()(),,,()( rrttttrrGrd
t
ttrrGr rr ′−δ′−δ=′′∇∇−
∂
′′∂
ρ , (25)
0),,,(),,,( )(0 =′′=′′
∂∈= Vrt ttrrGttrrG . (26)
Додамо і віднімемо в рівнянні (25) детермінований оператор 0L , коефі-
цієнти якого є або характеристиками базової фази, якщо jvv >>0 ( Nj ,1= ), або
усередненими за ансамблем реалізацій величинами )(rρ , )(rd (у разі рівно-
мірного розподілу фаз в області тіла ці коефіцієнти співпадають із середніми за
об’ємом тіла). Тоді, враховуючи формулу (9), для функції Гріна отримаємо
інтегральне рівняння
∫ ∫ ′′+′′=′′
t
V
s dtrdttrrGtrLttrrGttrrGttrrG
0
1111
)(
111100 ),,,(),(),,,(),,,(),,,( , (27)
де ),,,(0 ttrrG ′′ — функція Гріна для однорідного середовища і є розв’язком
задачі
[ ] )()(),,,()(),,,()( 0
0 rrttttrrGrd
t
ttrrGr rr ′−δ′−δ=′′∇∇−
∂
′′∂
ρ , (28)
0),,,(),,,( )(000 =′′=′′
∂∈= Vrt ttrrGttrrG .
Підставляючи у формулі (16) ),,,(0 ttrrG ′′ замість ),(0 trc , отримаємо ряд
+′′+′′=′′ ∫ ∫
t
V
s dtrdttrrGtrLttrrGttrrGttrrG
0
11110
)(
111100 ),,,(),(),,,(),,,(),,,(
∫ ∫ ∫∫ ×+
t t
V
s
V
s trLttrrGtrLttrrG
0 0 )(
2221210
)(
11110
1
),(),,,(),(),,,(
...+′′× 1122220 ),,,( dtrddtrdttrrG . (29)
Згідно з формулою (24) усереднене за ансамблем конфігурацій фаз поле
концентрації ),( trc визначається через усереднену функцію Гріна
),,,( ttrrG ′′ .
Ряд (29) можна подати у вигляді
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, Вип.1, 116-131
123
[ ]×−+′′=′′ ∫ ∫
t
V
rLtrLttrrGttrrGttrrG
0 )(
121111100 )(),(),,,(),,,(),,,(
+′′× 11110 ),,,( dtrdttrrG [ ]×−∫ ∫
t
V
rLtrLttrrG
0 )(
12111110 )(),(),,,(
[ ]∫ ∫ −×
1
0 )(
2222121210 )(),(),,,(
t
V
rLtrLttrrG ...+′′ 1122220 ),,,( dtrddtrdttrrG , (30)
де [ ]
t
r
t
rrtrL
∂
∂
ρ=
∂
∂
ρ−ρ= )(~)()(),(1 ; { }[ ] [ ]∇∇=∇−∇= )(~)()()(2 rdrdrdrL .
Якщо ),,,()(),,,(),( 0201 ttrrGrLttrrGtrL ′′<<′′ (локальні зміни в часі є
менш істотними ніж просторові), то дія оператора 1L на функцію Гріна 0G нех-
товно мала порівняно з дією оператора 2L на 0G . Тоді ряд (30) набуває вигляду
+′′+′′=′′ ∫ ∫
t
V
dtrdttrrGrLttrrGttrrGttrrG
0
11110
)(
121100 ),,,()(),,,(),,,(),,,(
∫ ∫ ∫∫ ×+
t t
VV
ttrrGrLttrrG
0 0 )(
21210
)(
12110
1
),,,()(),,,(
...+′′× 112222022 ),,,()( dtrddtrdttrrGrL . (31)
Щоб дослідити структуру цього ряду, введемо графічне зображення його
елементів у вигляді діаграм Р. Фейнмана [14].
Співставимо функції ),,,(0 jiji ttrrG відрізок прямої лінії, кінцям якої при-
пишемо координати ),( ii tr та ),( jj tr
~),,,(0 jiji ttrrG ,
графічне зображення для оператора 2L в точці ),( ii tr
[ ] ~)(~)(2 ii riri rdrL ∇∇= .
Позначимо функцію Гріна G наступним чином
~),,,( ttrrG ′′ ,
Точки ),( ii tr , ),( jj tr , в яких сходяться лінії, що зображають 0G та 2L , є
вершинами діаграми. Приймемо, що за координатами внутрішніх вершин відбу-
),( ii tr ),( jj tr
),( ii tr
Ольга Чернуха
Математичне моделювання дифузійних процесів у багатофазних тілах...
124
вається інтегрування. Кількість таких вершин у діаграмі визначає порядок діа-
грами.
Тоді ряд (31) у графічному вигляді буде таким
= + + + + ... . (32)
Розглянемо тепер усереднену функцію Гріна. Позначимо
~),,,( ttrrG ′′ .
Статистичні властивості визначаються кумулянтними (або кореляційними)
функціями усіх порядків. Співставимо їм пунктирні лінії. Порядок кумулянтної
функції ),...,( 21 kk rrrψ співпадає з порядком діаграми
~),...,( 21 kk rrrψ .
Тоді моменти від оператора 2L , що містить флуктуації )(~ rd , набудуть вигляду
[ ] ~)(~)( 112 ∇∇= rdrL ,
~)()(),()()( 22122122212 rLrLrrrLrL −ψ= - ,
+++ψ= )()()()()()(),,()()()( 3212223222123213322212 rLrLrLrLrLrLrrrrLrLrL
~)()()(2)()()( 322212322212 rLrLrLrLrLrL −+ + + +
+ +
і т. д.
Зауважимо, що, оскільки за координатами 1r , 2r , 3r внутрішніх вершин
відбувається інтегрування, то аналітичний вираз, який зображається діаграмою,
не залежить від координат внутрішніх вершин. У зв’язку з цим надалі ці
координати на діаграмах не зазначаються. Тоді усереднений ряд (31) (або (32) в
графічному зображенні) можна подати наступним чином
= + + + + + +
1 2 3 4 5 6
+ + + + + ... . (33)
7 8 9 10
),( 11 tr ),( 22 tr ),( 33 tr
1r 2r
2r1r kr...
),( 11 tr ),( 11 tr ),( 22 tr
),( tr ),( tr ′′
1r 2r
3r 1r 2r
3r1r 2r 3r1r 2r
1r 2r 3r 3r 1r 2r
1r
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, Вип.1, 116-131
125
Зазначимо, що відповідність між діаграмами Фейнмана та аналітичними
виразами є взаємно однозначною.
Деякі з діаграм, що входять у (33), містять фрагменти, які є діаграмами
нижчого порядку. Наприклад, діаграма 6 містить діаграми 2 і 4. Цим можна
скористатися для скорочення запису. До того ж суму ряду (33) можна виразити
сумою деякої нескінченної підпослідовності цього ж ряду. Для цього класифі-
куємо діаграми, що входять у (33).
Діаграму назвемо слабко зв’язаною, якщо її можна розділити на дві окремі
діаграми, розірвавши деяку одну лінію 0G . У формулі (33) слабко зв’язаними є
діаграми 3, 5, 6, 7. Решта діаграм є сильно зв’язаними (2, 4, 8, 9, 10). Діаграми,
що отримуються внаслідок розриву ліній 0G можуть виявитися сильно або слаб-
ко зв’язаними. Якщо серед «вторинних» діаграм є слабко зв’язані, то їх можна
розбити на простіші діаграми. Продовжуючи цю процедуру, в результаті прий-
демо до деякої кількості сильно зв’язаних діаграм. Кількість сильно зв’язаних
діаграм, на які може бути розбита слабко зв’язана діаграма, є показником
зв’язності вихідної діаграми. Так, у формулі (33) діаграми 3 та 6 мають показник
зв’язності 2, а діаграма 5 — показник зв’язності 3. Для сильно зв’язаних діаграм
приймемо показник зв’язності 1.
У ряді (33) відберемо всі сильно зв’язані діаграми. Оскільки кожна з
діаграм починається і закінчується лінією 0G , то суму всіх сильно зв’язаних
діаграм можна подати у вигляді
, (34)
де введено позначення
~),,,()( ttrrG звсильно ′′ = + + + + + ... . (35)
В аналітичній формі (35) має вигляд
1122
0 )( 0 )(
2202121110
)(
1
),,,(),,,(),,,(),( dtrddtrdttrrGttrrttrrGrrG
t
V
t
V
звсильно ∫ ∫ ∫ ∫ ′′Σ=′ , (36)
де
+ψ+=Σ ),(),,,()(),,,( 21221210122121 rrttrrGrLttrr
+′′ψ′′′′′+ ∫ ∫ 1
0 )(
1212212101211110
1
),(),,()(),,,( tdrdrrttrrGrLttrrG
t
V
+′′′ψ′′′′+ ∫ ∫ 1
0 )(
121132121011110
1
),,(),,(),,,( tdrdrrrttrrGttrrG
t
V
Ольга Чернуха
Математичне моделювання дифузійних процесів у багатофазних тілах...
126
∫ ∫ ∫ ∫ ×′′′′′′′′+
1 2
0 )( 0 )(
222202121011110 ),,,(),,,(),,,(
t
V
t
V
ttrrGttrrGttrrG
2211212212 ),(),( tdrdtdrdrrrr ′′′′′′ψψ× + … (37)
— ядро масового оператора.
Якщо розглянути суму всіх діаграм з показником зв’язності 2, то кожна з
них має вигляд
, (38)
де і — будь-які діаграми, що належать правій частині (37).
Оскільки при побудові ряду (33) перебираються всі можливі способи по-
парного з’єднання вершин, то сума всіх можливих складових на зразок (38)
дорівнює
,
де — повна сума (37).
Аналогічно сума всіх діаграм із показником зв’язності 3 має вигляд
і т. д. Таким чином, усереднену функцію Гріна можна подати у вигляді діаграм-
ного ряду
= + + + + ... (39)
Це подання відрізняється від вихідного діаграмного ряду (33) тільки перегрупу-
ванням його членів.
Виділимо в рівнянні (39) елемент . Тоді
= + × ( + + + ... ). (40)
Сумуючи в (40) вираз у дужках, з використанням (39) отримаємо рівняння Дай-
сона для усередненої функції Гріна у графічній
= + (41а)
i відповідно аналітичній формах
1Σ
1Σ 2Σ
2Σ
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, Вип.1, 116-131
127
×Σ+′′=′′ ∫ ∫ ∫ ∫
′t
V
t
V
ttrrttrrGttrrGttrrG
0 )( 0 )(
21211100 ),,(),,,(),,,(),,,(
112222 ),,,( dtrddtrdttrrG ′′× . (41б)
4. Усереднене поле точкового джерела у випадково неоднорідному тілі
Якщо застосувати до рівняння Дайсона (41) оператор ),(0 trL , який визначений
формулою (7), то з урахуванням (28) отримаємо
( ) ( )[ ]−′′∇∇−
∂
′′∂
ρ ttrrGrd
t
ttrrG
r rr ,,,)(
,,,
)(
( ) ( ) )()(,,,,,, 11
0 )(
1111 rrttdtrdttrrGttrr
t
V
′−δ′−δ=′′Σ− ∫ ∫ . (42)
Із порівняння (28) і (42) випливає, що на відміну від 0G , функція
),,,( ttrrG ′′ задовольняє не диференціальне, а інтегродиференціальне рівняння.
З фізичної точки зору це означає, що усереднене поле в деякій точці ),( tr зале-
жить і від неоднорідностей, які оточують цю точку.
Рівняння Дайсона (41) можна перетворити до вигляду, в якому замість
функції Гріна незбуреного середовища 0G буде фігурувати частково просумо-
вана нескінченна підпослідовність ряду для G . Для цього запишемо рівняння
Дайсона в операторному вигляді [15]. Уведемо лінійні оператори M̂ , 0M̂ та Σ̂ з
ядрами G , 0G і Σ відповідно
tdrdtrfttrrGtrfM
t
V
′′′′′′≡ ∫ ∫ ),(),,,(),)(ˆ(
0 )(
,
tdrdtrfttrrGtrfM
t
V
′′′′′′≡ ∫ ∫ ),(),,,(),)(ˆ(
0 )(
00
tdrdtrfttrrtrf
t
V
′′′′′′Σ≡Σ ∫ ∫ ),(),,,(),)(ˆ(
0 )(
.
Запис ),)(ˆ( trfM означає, що функція f перетворюється оператором M̂ у функ-
цію )ˆ( fM , значення якої береться в точці ),( tr .
Домножимо (41) на ),( trf ′′ та проінтегруємо по tr ′′, . Отримаємо рівність
у такій операторній формі fMMfMfM ˆˆˆˆˆ
00 Σ+= . Оскільки ця рівність справджу-
ється для будь-якої функції f , то її можна записати як рівняння для оператора M̂
Ольга Чернуха
Математичне моделювання дифузійних процесів у багатофазних тілах...
128
( )MMMMMM ˆˆ1̂ˆˆˆˆˆˆ
000 Σ+=Σ+= . (43)
Якщо функція Гріна ),,,( ttrrG ′′′′′′ є симетричною (наприклад, для статис-
тично однорідного середовища), тобто ),,,(),,,( ttrrGttrrG ′′′′′′=′′′′′′ , то симет-
ричною є і усереднена фукція Гріна G . З цього випливає, що
MM T ˆˆ = , (44)
де TM̂ — транспонований оператор. Аналогічно із симетрії функції 0G випли-
ває рівність
00
ˆˆ MM T = . (45)
У діаграмній інтерпретації рівність (44) означає, що кожна діаграма, яка
входить у ряд для G , є або симетричною відносно вертикальної осі, що прохо-
дить через центр діаграми, або, якщо вона не симетрична, то входить в G у
сумі з іншою діаграмою, яка отримується із вихідної несиметричної відобра-
женням відносно вертикальної осі. Наприклад, у (33) входять симетричні діагра-
ми 1-5, 8, 9 і пара несиметричних діаграм 6, 7.
Із симетрії G випливає, що ),,,(),,,( ttrrttrr ′′′′′′Σ=′′′′′′Σ , оскільки діагра-
ми для Σ мають той самий тип симетрії, що і для G . Відповідно
Σ=Σ ˆˆ T . (46)
Застосуємо операцію транспонування до рівняння (43), враховуючи, що
при транспонуванні добутку операторів їхній порядок змінюється на зворотній.
Тоді, з урахуванням (44)-(46), отримаємо рівняння
( ) 000
ˆˆˆ1̂ˆˆˆˆˆ MMMMMM Σ+=Σ+= . (47)
Нехай відомо наближений розв’язок 1M̂ рівняння (47), що відповідає на-
ближеному виразу 1Σ̂ , тобто відомо розв’язок рівняння
( ) 0111
ˆˆˆ1̂ˆ MMM Σ+= . (48)
Наприклад, за такий розв’язок можна вибрати наближення типу Бурре [10].
Домножимо операторне рівняння (43) зліва на оператор ( )11
ˆˆ1̂ Σ+ M :
( ) ( ) ( )MMMMM ˆˆ1̂ˆˆˆ1̂ˆˆˆ1̂ 01111 Σ+Σ+=Σ+ .
Враховуючи у правій частині цієї рівності формулу (47), одержимо
( ) ( )MMMM ˆˆ1̂ˆˆˆˆ1̂ 111 Σ+=Σ+ .
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, Вип.1, 116-131
129
Перенесемо складову MM ˆˆˆ
11Σ у праву частину рівності і запишемо її у вигляді
( )MMMM ˆˆˆˆˆˆ
111 Σ−Σ+= . (49)
Рівняння (49) аналогічне рівнянню Дайсона (43). При цьому, якщо норма
оператора 1
ˆˆ Σ−Σ менша від норми оператора Σ̂ , то ітераційний ряд рівняння (49)
буде збігатися швидше, ніж вихідний [16].
Застосовуючи операторну рівність (49) до дельта-функції, отримаємо від-
повідне рівняння для ядер операторів M̂ , 1M̂ , Σ̂ і 1Σ̂
[ −Σ+′′=′′ ∫ ∫ ∫ ∫ ),,,(),,,(),,,(),,,( 2121
0 )( 0 )(
1111
1
ttrrttrrGttrrGttrrG
t
V
t
V
] 11222221211 ),,,(),,,( dtrddtrdttrrGttrr ′′Σ− , (50)
де 1G — відповідний наближений розв’язок.
Зазначимо, що у випадку статистично однорідного середовища рівняння
(50) можна розв’язати за допомогою перетворення Фур’є.
Також зауважимо, що за необхідності наведену процедуру покращення
збіжності ряду для G можна повторити. Наприклад, можна записати набли-
жений вираз для 21 Σ=Σ−Σ і знайти відповідний вираз для 2G .
Техніка діаграм Фейнмана і отримане нелокальне рівняння Дайсона для
усередненої функції Гріна (41) наведені для випадку 0201 GLGL << . Аналогіч-
ним чином можна отримати рівняння Дайсона для 0201 GLGL >> . Якщо ж не
справджується жодна з умов малості, то потрібно додатково враховувати кореля-
цію цих двох полів, що призведе до іншого типу нелокального рівняння дифузії.
Висновки. Таким чином, у роботі розвинуто підхід до опису процесів ди-
фузії в ( 1+N )-фазному стохастично неоднорідному тілі, коли розміри певних
елементів фаз співмірні з розмірами тіла. У рамках цього підходу вихідній крайо-
вій задачі, в якій фізичні властивості фаз враховані в коефіцієнтах рівняння
дифузії, поставлено у відповідність еквівалентне інтегродиференціальне рівнян-
ня. Розв’язок такого рівняння знайдено методом послідовних наближень у вигля-
ді нескінченного інтегрального ряду Неймана та усереднено за ансамблем конфігу-
рацій фаз. Аналогічним чином сформульовано інтегродиференціальне рівняння
та записано його розв’язок у вигляді ряду Неймана для функції Гріна збуреного
середовища.
Для дослідження усереднених дифузійних полів домішкових частинок
використано техніку діаграм Фейнмана. Подання розв’язку задачі у вигляді
Ольга Чернуха
Математичне моделювання дифузійних процесів у багатофазних тілах...
130
сукупності діаграм дозволило перетворювати ряд теорії збурень, використо-
вуючи топологічні ознаки діаграм, які входять у розв’язок. Застосування такої
техніки дає можливість виразити суму ряду Неймана через суму деякої нескін-
ченної підпослідовності цього ж ряду.
Для усередненої функції Гріна одержано рівняння Дайсона, з якого отри-
мано нелокальне інтегродиференціальне рівняння дифузії.
Зауважимо, що оскільки при знаходженні розв’язку вихідної крайової зада-
чі, отриманні рівняння Дайсона та нелокального рівняння дифузії не викорис-
товувався конкретний вигляд розв’язку крайової задачі дифузії в однорідному
тілі та відповідної незбуреної функції Гріна, наведені викладки справедливі і для
інших типів граничних умов (з обмеженням їхньої детермінованності).
Також зазначимо, що для подальшого розвитку цього наукового напряму
доцільними є дослідження кореляції випадкових дифузійних полів, які поро-
джуються точковими джерелами, отримання нелокального рівняння для функції
когерентності, фізико-математичне моделювання процесів дифузії у випадково
неоднорідних тілах у рамках теорії бінарних систем.
Література
[1] Хорошун Л. П., Солтанов Н. С. Термоупругость двухкомпонентных смесей. —
К.: Наук. думка, 1984. — 112 с.
[2] Гамбин Б., Назаренко Л. В., Телега Е. Стохастическая гомогенизация уравнений
стационарной термоупругости // Доп. НАН України. — 2002. — № 10. — С. 37-44.
[3] Lidzba D. Homogenisation theories applied to porous media mechanics // J. Theor. and
Appl. Mechanics. — 1998. — Т. 36, № 3. — P. 657-679.
[4] Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. —
М.: Наука, 1977. — 568 с.
[5] Чернуха О. Ю. Про один підхід до побудови розв’язків крайових задач дифузії у
багатофазних випадково-неоднорідних шаруватих тілах // Доп. НАН України. —
2001. — № 9. — С. 37-42.
[6] Справочник по теории вероятностей и математической статистике / Королюк В. С.,
Портенко Н. И. и др. — М.: Наука, 1985. — 640 с.
[7] Crank J. The mathematics of diffusion. — Oxford: Claredon Press, 1956. — 575 p.
[8] Чернуха О. Ю. Процеси дифузії в багатофазних випадково-неоднорідних волок-
нистих тілах // Доп. НАН України. — 2002. — № 3. — С. 74-79.
[9] Chaplia Y., Chernukha O. Three-dimensional diffusion in a multiphase body with
randomly disposed inclusions of a spherical form // International Journal of Heat and
Mass Transfer. — 2003. — Vol. 46. — P. 3323-3328.
[10] Рытов С. М., Кравцов Ю. А., Татарский В. И. Введение в статистическую радио-
физику // Ч. ІІ. Случайные поля. — М.: Наука, 1978. — 436 с.
[11] Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука,
1972. — 735 с.
[12] Краснов М. . Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1975. — 303 c.
[13] Борн М., Вольф Э. Основы оптики. — М.: Наука, 1970. — 426 с.
[14] Фейнман Р., Хиббс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. —
М.: Мир, 1968. — 454 с.
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, Вип.1, 116-131
131
[15] Налбандян О. Г., Татарский В. И. Сопоставление диаграммных и аналитических
методов приближенного решения линейных стохастических уравнений // Изв.
вузов: Радиофизика. — 1977. — Т. 20. — С. 549-557.
[16] Колмогоров А. М., Фомін С. В. Елементи теорії функцій і функціонального аналі-
зу. — К.: Вища шк., 1974. — 456 с.
Mathematical Modelling Diffusive Processes in Multiphase Bodies
of Random Structure Using Feynman Diagrams
Olha Chernukha
In the paper new approach to physical-mathematical modelling mass transfer processes in mul-
tiphase randomly nonhomogeneous bodies is proposed. An initial-boundary value problem is for-
mulated on the basis of Fick lows. The technique of Feynman diagrams is applied for investigating
averaged diffusive fields. A nonlocal equation of diffusion for averaged Green function is obtai-
ned. A method for convergence acceleration of infinite integral Neumann series regarding diffusi-
ve processes is proposed.
Математическое моделирование диффузионных процессов
в многофазных телах случайной структуры
с использованием диаграмм Фейнмана
Ольга Чернуха
В работе предложен новый подход к физико-математическому моделированию процессов
массопереноса в многофазных случайно неоднородных телах. Краевая задача сформу-
лирована на основании законов Фика. Для исследования усредненных диффузионных полей
применена техника диаграмм Фейнмана. Получено нелокальное уравнение диффузии для
усредненной функции Грина. Для диффузионных процессов предложен метод улучшения
сходимости бесконечных интегральных рядов Неймана.
Отримано 27.08.04
|