Математична модель деформування пружного півпростору за дії нормального навантаження на його границі
Припущення про рівність нулю дотичних напружень на границі пружного півпростору при її гладкому нормальному навантаженні зумовлює парадокс взаємопроникнення точок матеріального континууму, якщо об’ємна деформація |Θ|>0 . При цьому з’ясовано, що для уникнення цієї фізичної некоректності досить над...
Gespeichert in:
Datum: | 2006 |
---|---|
Hauptverfasser: | , |
Format: | Artikel |
Sprache: | Ukrainian |
Veröffentlicht: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2006
|
Schriftenreihe: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20883 |
Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Zitieren: | Математична модель деформування пружного півпростору за дії нормального навантаження на його границі / В. Галазюк, Г. Сулим // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 29-41. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-20883 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-208832011-06-10T12:04:52Z Математична модель деформування пружного півпростору за дії нормального навантаження на його границі Галазюк, В. Сулим, Ґ. Припущення про рівність нулю дотичних напружень на границі пружного півпростору при її гладкому нормальному навантаженні зумовлює парадокс взаємопроникнення точок матеріального континууму, якщо об’ємна деформація |Θ|>0 . При цьому з’ясовано, що для уникнення цієї фізичної некоректності досить наділити границю певними реологічними властивостями, які уможливлюють регулювання її вертикальних переміщень розподілом на ній за певним законом дотичних напружень. Доведено, що завжди існує такий закон розподілу дотичних напружень, за якого вертикальні переміщення границі є нульовими за довільного нормального навантаження. Ця ідея виявилась слушною у задачах зі змішаними крайовими умовами, оскільки дала можливість виконати додаткову фізичну умову неперервності компонент вектора Ω=0,5 rot ū на лінії поділу крайових умов і цим забезпечити існування фізично коректного розв’язку, який узгоджується з обмеженнями лінійної моделі твердого деформівного тіла. Якщо зовні області навантаження вимагати рівності нулю дотичних напружень, то на межі області навантаження вони стають сингулярними з кореневою особливістю, так як і компоненти вектора Ω. При цьому виникає парадокс взаємопроникнення внаслідок розриву кутів повороту нормальних елементів навколо лінії поділу крайових умов. The assumption on vanishing of the tangential stresses on the boundary of the elastic half space under its smooth normal load causes a paradox of infiltration of points of material continuum whenever the dilatational strain |Θ|>0 . We demonstrate that, in order to avoid this physical ill-posedness, it is sufficient to assume that the boundary of the solid satisfies some flow properties that allow us to regulate its vertical displacements by means of distribution of tangential stresses on it, with respect to a certain law. It is proved that there always exists a distribution law such that the vertical displacements of the boundary are equal to zero under arbitrary normal load. This idea turned out to be meaningful in the problems with mixed boundary conditions, because it made possible to fulfill an additional physical condition of continuity of components of the vector Ω=0,5 rot ū on the separation curve of boundary conditions and therefore to ensure existence of physically correct solution that agrees with restrictions of linear model of solid deformable body. If we require that the tangential stresses vanish outside the load domain, then, on the boundary of the load domain, they became singular with kernel singularity, as well as components of the vector Ω. Here, a paradox of infiltration occurs, because of discontinuity of rotation angles of the normal elements around the separation curve of boundary conditions. Предположение о равенстве нулю касательных напряжений на границе упругого полупространства при ее гладкой нормальной нагрузке предопределяет парадокс взаимопроникновения точек материального континуума, если объемная деформация |Θ|>0 . Показано, что для избегания этой физической некорректности достаточно предположить, что граница тела обладает реологическими свойствами, которые позволяют регулировать ее вертикальные перемещения распределением на ней по определенному закону касательных напряжений. Доказано, что всегда существует такой закон распределения касательных напряжений, который делает вертикальные перемещения границы нулевыми при произвольной нормальной нагрузке. Эта идея оказалась состоятельной в задачах со смешанными краевыми условиями, поскольку дала возможность выполнить дополнительное физическое требование непрерывности компонент вектора Ω=0,5 rot ū на линии раздела краевых условий и этим обеспечить существование физически корректного решения, которое согласовано с ограничениями линейной модели деформируемого твердого тела. Если вне области нагрузки потребовать равенства нулю касательных напряжений, то на границе области нагрузки они становятся сингулярными с корневой особенностью так же, как и компоненты вектора Ω. При этом имеет место парадокс взаимопроникновения вследствие разрыва углов поворота нормальных элементов вокруг линии раздела краевых условий. 2006 Article Математична модель деформування пружного півпростору за дії нормального навантаження на його границі / В. Галазюк, Г. Сулим // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 29-41. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20883 539.3 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Ukrainian |
description |
Припущення про рівність нулю дотичних напружень на границі пружного півпростору при її гладкому нормальному навантаженні зумовлює парадокс взаємопроникнення точок матеріального континууму, якщо об’ємна деформація |Θ|>0 . При цьому з’ясовано, що для уникнення цієї фізичної некоректності досить наділити границю певними реологічними властивостями, які уможливлюють регулювання її вертикальних переміщень розподілом на ній за певним законом дотичних напружень. Доведено, що завжди існує такий закон розподілу дотичних напружень, за якого вертикальні переміщення границі є нульовими за довільного нормального навантаження. Ця ідея виявилась слушною у задачах зі змішаними крайовими умовами, оскільки дала можливість виконати додаткову фізичну умову неперервності компонент вектора Ω=0,5 rot ū на лінії поділу крайових умов і цим забезпечити існування фізично коректного розв’язку, який узгоджується з обмеженнями лінійної моделі твердого деформівного тіла. Якщо зовні області навантаження вимагати рівності нулю дотичних напружень, то на межі області навантаження вони стають сингулярними з кореневою особливістю, так як і компоненти вектора Ω. При цьому виникає парадокс взаємопроникнення внаслідок розриву кутів повороту нормальних елементів навколо лінії поділу крайових умов. |
format |
Article |
author |
Галазюк, В. Сулим, Ґ. |
spellingShingle |
Галазюк, В. Сулим, Ґ. Математична модель деформування пружного півпростору за дії нормального навантаження на його границі Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
author_facet |
Галазюк, В. Сулим, Ґ. |
author_sort |
Галазюк, В. |
title |
Математична модель деформування пружного півпростору за дії нормального навантаження на його границі |
title_short |
Математична модель деформування пружного півпростору за дії нормального навантаження на його границі |
title_full |
Математична модель деформування пружного півпростору за дії нормального навантаження на його границі |
title_fullStr |
Математична модель деформування пружного півпростору за дії нормального навантаження на його границі |
title_full_unstemmed |
Математична модель деформування пружного півпростору за дії нормального навантаження на його границі |
title_sort |
математична модель деформування пружного півпростору за дії нормального навантаження на його границі |
publisher |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
publishDate |
2006 |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20883 |
citation_txt |
Математична модель деформування пружного півпростору за дії нормального навантаження на його границі / В. Галазюк, Г. Сулим // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 29-41. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
series |
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
work_keys_str_mv |
AT galazûkv matematičnamodelʹdeformuvannâpružnogopívprostoruzadíínormalʹnogonavantažennânajogogranicí AT sulimg matematičnamodelʹdeformuvannâpružnogopívprostoruzadíínormalʹnogonavantažennânajogogranicí |
first_indexed |
2025-07-02T21:26:55Z |
last_indexed |
2025-07-02T21:26:55Z |
_version_ |
1836572073101623296 |
fulltext |
Математична модель деформування пружного
півпростору за дії нормального навантаження
на його границі
Віталій Галазюк1, Ґеоргій Сулим2
1 к. ф.-м. н., доцент, Львівський національний університет імені Івана Франка, вул. Університетська, 1, Львів
2 д. ф.-м. н., професор, Львівський національний університет імені Івана Франка, вул. Університетська, 1, Львів
Припущення про рівність нулю дотичних напружень на границі пружного півпростору при її
гладкому нормальному навантаженні зумовлює парадокс взаємопроникнення точок мате-
ріального континууму, якщо об’ємна деформація 0>θ . При цьому з’ясовано, що для уникнення
цієї фізичної некоректності досить наділити границю певними реологічними властивостями,
які уможливлюють регулювання її вертикальних переміщень розподілом на ній за певним
законом дотичних напружень. Доведено, що завжди існує такий закон розподілу дотичних
напружень, за якого вертикальні переміщення границі є нульовими за довільного нормального
навантаження. Ця ідея виявилась слушною у задачах зі змішаними крайовими умовами, оскільки
дала можливість виконати додаткову фізичну умову неперервності компонент вектора
urrot5,0=Ω на лінії поділу крайових умов і цим забезпечити існування фізично коректного роз-
в’язку, який узгоджується з обмеженнями лінійної моделі твердого деформівного тіла.
Якщо зовні області навантаження вимагати рівності нулю дотичних напружень, то на
межі області навантаження вони стають сингулярними з кореневою особливістю, так як
і компоненти вектора Ω . При цьому виникає парадокс взаємопроникнення внаслідок роз-
риву кутів повороту нормальних елементів навколо лінії поділу крайових умов.
Ключові слова: пружні кути повороту, дотичні напруження, парадокс взає-
мопроникнення, фізично коректна математична модель.
Вступ. Класична математична модель деформування тіла за дії на нього тільки
нормального навантаження як правило ставить другу умову — рівність нулю до-
тичних напружень на поверхнях, які його обмежують. Це припущення, зокрема,
у задачах з мішаними крайовими умовами, може призвести до локального пору-
шення симетрії тензора напружень і невиконання умови балансу моментів на лінії
поділу крайових умов. Оскільки відповідно до закону Гука дотичні напруження
визначаються деформаціями зсуву, які в свою чергу дорівнюють сумі пружних ку-
тів повороту нормальних і дотичних до поверхні тіла елементів, то за певних обста-
вин задання дотичних напружень нульовими визначає клас задач, у яких пружні
кути повороту можуть на поверхні тіла бути розривними. І. Снеддон у моногра-
фії [1], аналізуючи розв’язок Тересава задачі Буссінеска за відсутності дотичних
напружень, вказав на його фізичну суперечливість, виявивши парадокс взаємо-
проникнення точок континууму у певному об’ємі навколо точки прикладання
УДК 539.3
29
Віталій Галазюк, Ґеоргій Сулим
Математична модель деформування пружного півпростору за дії нормального...
30
Рис. 1
x
β
y
z = Rγ
r = Rα
зосередженої сили. Цей парадокс на думку багатьох авторів, зокрема й І. Снед-
дона, зумовлений тим, що реально не існує сил, прикладених до однієї точки, а
тому за довільного гладкого навантаження ніяких протиріч із гіпотезою суціль-
ності вже не повинно бути.
Нижче показано, що за умови рівності нулю дотичних напружень на по-
верхні півпростору навіть гладке «дзвонувате» навантаження у задачі І. Снед-
дона породжує за певних значень параметрів задачі той самий парадокс взаємо-
проникнення. З’ясовано, що для його уникнення достатньо наділити поверхню
тіла певними реологічними властивостями і вертикальні переміщення границі
пружного півпростору за довільного її нормального навантаження можна регу-
лювати розподілом на ній дотичних напружень. Зокрема, завжди існує такий роз-
поділ дотичних напружень, за якого вертикальні переміщення границі відсутні.
Для знаходження розподілу дотичних напружень сформульована некла-
сична задача математичної фізики, у яку поряд з класичними мішаними умовами
введена додаткова вимога неперервності компонент вектора локального жорст-
кого повороту urrot5,0=Ω на межі області навантаження. Ця задача зведена до
інтегрального рівняння Фредгольма першого роду, серед множини розв’язків
якого методом [2] розривних інтегралів Вебера-Шафгайтліна (далі В.-Ш.) відтво-
рено фізично коректний розв’язок, який задовольняє умову неперервності ком-
понент вектора Ω . З’ясовано також, що за виконання цієї умови дотичні на-
пруження є неперервними на межі області навантаження і продовжуються поза
нею для забезпечення умови балансу моментів. Це можна змоделювати накладе-
ною на межу тіла мембраною, яка формує необхідний для існування коректного
розв’язку задачі розподіл дотичних напружень.
Якщо прийняти, що зовні області навантаження дотичні напруження до-
рівнюють нулю, то на межі області навантаження вони мають кореневу особли-
вість. При цьому, математична модель стає фізично некоректною, оскільки ком-
понента вектора локального жорсткого повороту на межі області навантаження
має розрив другого роду з кореневою особливістю. Одним із наслідків такого
розподілу є виникнення області взаємопроникнення точок.
1. Розв’язок рівнянь статики пружного тіла у півпросторі 0γ ≥
за осесиметричної деформації
Однорідний ізотропний пружний півпростір віднесемо до циліндричної системи
координат ( ), ,R Rα β γ . Приймаємо,
що під дією зовнішнього навантаження
у півпросторі реалізується осесимет-
ричний напружено-деформований стан
(рис. 1). Тоді, для визначення ненульо-
вих компонент вектора пружного пере-
міщення ( )γα= RuRuuu ,0,rr маємо сис-
тему рівнянь рівноваги
x
β
y
z = Rγ
r = Rα
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 3, 29-41
31
( ) ( )2 2 1 22 0, 2 0, 2 /k k k−
α γ β α βγ∂ θ + ∂ ω = ∂ θ − α ∂ αω = = λ + µ µ (1)
стосовно об’ємної деформації θ і єдиної у цьому випадку ненульової компоненти
( ),βω α γ вектора uvrot5,0=Ω , де
γγαα
− ∂+α∂α=≡θ uuu )(div 1r ,
( ) ),(),(rot2 γαϕ−γαϕ=∂−∂=≡ω αγγααγββ uuur ; (2)
( ),αϕ α γ і ( ),γϕ α γ — пружні кути повороту лінійних елементів, паралельних
до координатних осей α і γ відповідно; λ і µ — сталі Ламе.
Безпосередньою підстановкою можна переконатися в тому, що функції
( ) ( ) ( )0
0
, 2 ,A e J d
∞
−ξγθ α γ = − ξ ξ αξ ξ∫ ( ) ( ) ( )2
1
0
, k A e J d
∞
−ξγ
βω α γ = ξ ξ αξ ξ∫ (3)
є розв’язками системи рівнянь (1) у півпросторі 0γ ≥ , де ( )J xν — функції Бес-
селя першого роду порядку v.
За відомими функціями ( ),θ α γ і ( ),βω α γ із системи диференціальних
рівнянь (2) знайдемо компоненти вектора пружного переміщення
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
1
0
, 1u k A B e J d
∞
−ξγ
α +α γ = − + ξ − ξ ξ αξ ξ∫
( ) ( ) ( )2
1
0
1 ,k A e J d
∞
−ξγ+ − γ ξ ξ αξ ξ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
0 0
0 0
, 1 ,u B e J d k A e J d
∞ ∞
−ξγ −ξγ
γ α γ = ξ ξ αξ ξ + − γ ξ ξ αξ ξ∫ ∫ (4)
вирази пружних кутів повороту
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
1 1
0 0
, 1 ,B e J d k A e J d
∞ ∞
−ξγ −ξγ
αϕ α γ = − ξ ξ αξ ξ − − γ ξ ξ αξ ξ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2
1
0
, 2k A B e J d
∞
−ξγ
γϕ α γ = ξ − ξ ξ ξ αξ ξ −∫
( ) ( ) ( )2 2
1
0
1 ,k A e J d
∞
−ξγ− γ ξ ξ αξ ξ∫− (5)
а за законом Гука та поданнями (4) — компоненти тензора напружень
( ) ( ) ( ) ( )0
0
, 2 A B e J d
∞
−ξγ
γγσ α γ = µ ξ ξ − ξ ξ αξ ξ −∫
( ) ( ) ( )2 2
0
0
2 1k A e J d
∞
−ξγµ − γ ξ ξ αξ ξ∫− , (6)
Віталій Галазюк, Ґеоргій Сулим
Математична модель деформування пружного півпростору за дії нормального...
32
( ) ( ) ( ), , ,αγ γ ασ α γ ≡ µ ϕ α γ + ϕ α γ =
( ) ( ) ( )2
1
0
2 k A B e J d
∞
−ξγ= µ ξ ξ − ξ ξ αξ ξ −∫
( ) ( ) ( )2 2
1
0
2 1 .k A e J d
∞
−ξγµ − γ ξ ξ αξ ξ∫− (7)
У поданнях (3)-(7) ( )A ξ і ( )B ξ — довільні функції, які визначаються крайовими
умовами задачі та забезпечують існування й обмеженість відповідних невласних
інтегралів.
2. Постановка та розв’язок задачі Снеддона
Нехай на границі 0γ = пружного півпростору задані такі крайові умови [1]
( )
( )32 2
, 0 (0 , 0),
2
Pb
b
b
γγσ α = − ≤ α < ∞ >
π + α
(8)
( ), 0 0αγσ α ≡ ( )0 .≤ α < ∞ (9)
Тоді відповідно до подання (7) крайова умова (9) справджується, якщо
( ) ( )2k A Bξ = ξ ξ , а подання (6) разом з крайовою умовою (8) визначать інтег-
ральне рівняння Фредгольма першого роду
( ) ( )
( ) ( )
0 32 2 20
(0 1)
4 1
Pb
A J d
k b
∞
ξ ξ ξα ξ = ≤ α ≤∫
πµ − + α
відносно функції ( )A ξ , яка у цьому випадку має вигляд
( ) ( )2 2 ,
4 1 1
a aPe e
A m
k k
− ξ − ξ
ξ = =
πµ − −
де )4( πµ= Pm ; µ — модуль зсуву; P — параметр, який має розмірність напружень.
За відомою функцією ( )A ξ відповідно до співвідношень (3)-(7) можна
обчислити усі характеристики напружено-деформованого стану. Зокрема
( ) ( )
( )
3/ 22 22
2
, ,
1
bm
k b
+ γ
θ α γ = −
− α + + γ
(10)
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 3, 29-41
33
( )
( )
( )
( )( )2 32 22
, ,
bh
u m
b b
γ
+ γ
α γ = +
α + + γ α + + γ
(11)
де ( ) 12 2 1h k k
−
= − . Зазначимо, що вираз (11) співпадає з результатом Снеддона
[1, с. 529].
Відповідно до подань (10) і (11) на осі γ при 0α = одержимо, що
( )
( )22
2 1
0,
1
m
k b
θ γ = −
− + γ
, ( )
( )20,
h
u m
b b
γ
γ
γ = +
+ γ + γ
. (12)
При цьому взаємопроникнення точок на осі γ відбудеться, якщо справджується
умова
( ) ( )0, 0 0, 0u uγ γ− γ + γ ≥ , (13)
яка у розглянутому випадку, відповідно до співвідношень (12), набуде вигляду
квадратної нерівності
( ) ( ) 0)1(2 2222 ≤−−+−− hmbzbmhzb , 1z b−= γ . (14)
Ця нерівність виконується в межах 1 2z z z≤ ≤ , ( 1 0z ≥ і 2 0z ≥ ), де
−±
−= 42
2
1
2
2
222,1 b
mh
b
m
b
mhz , (15)
за таких обмежень на параметри зовнішнього навантаження
( )22
2
4 2
4 1
1
k m k
k b
−
≤ ≤ − . (16)
Якщо 122 −> kbm , то один корінь рівняння (14) завжди від’ємний, а тому
10 zz ≤≤ і ефект взаємопроникнення починається з границі півпростору z = 0.
Оскільки, відповідно до подання (10), максимальне значення об’ємної деформа-
ції ( ),θ α γ за навантаження (8) є таким
( ) 2 2
2,
1
m
k b
θ α γ =
−
,
то нерівність (16) можна виразити через максимальне значення об’ємної дефор-
мації і записати так
Віталій Галазюк, Ґеоргій Сулим
Математична модель деформування пружного півпростору за дії нормального...
34
2)0,0()1(8 42 ≤θ≤− −kk . (17)
Таким чином, за виконання нерівності (17) завжди існує шар 1 2z z z≤ ≤ , у який
проникають точки граничної поверхні 0γ = , порушуючи при цьому гіпотезу
суцільності.
3. Некласична математична модель деформування
за нормального навантаження в коловій області
Нехай на межі пружного півпростору 0γ = у коловій області 0 1≤ α ≤ діє рівно-
мірно розподілене нормальне навантаження інтенсивності p.
Віднайдемо розподіл дотичних напружень ( ),0αγσ α , за якого вертикальні
переміщення півпростору ( ),0uγ α будуть відсутні. Для цього розв’яжемо таку
некласичну крайову задачу математичної фізики
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2,0 0 1 , ,0 1p gγγ αγσ α = − ≤ α ≤ σ α = α ≤ α < ∞ , (18)
( ) ( ) ( ) ( )
1 0 1 0
,0 0 0 , lim ,0 lim ,0uγ β βα→ − α→ +
α = ≤ α < ∞ ω α = ω α , (19)
де ( )2g α — коригувальна функція, яка забезпечує виконання другої умови (19) і
може бути побудована за допомогою методу розривних інтегралів В.-Ш.
Відповідно до другого подання (4), перша крайова умова (19) буде викона-
на, якщо ( ) 0B ξ ≡ , а співвідношення (6) разом із першою крайовою умовою (18)
визначають інтегральне рівняння Фредгольма першого роду
( ) ( ) ( )0
0
0 1 .
2
pA J d
∞
ξ ξ ξα ξ = − ≤ α ≤
µ∫ (20)
Для його розв’язання застосуємо метод розривних інтегралів В.-Ш. [2, 3], згідно
з яким шукані функції необхідно подати у вигляді узагальненого ряду Ноймана
( ) ( )2 1
0
m q
m q
m
J
A b
∞
− +
=
ξ
ξ ξ =
ξ∑ (21)
із невизначеними коефіцієнтами mb . Подальші дослідження базуватимуться на
властивостях розривного інтеграла В.-Ш. [4]
( ) ( )
( )10
21 1 1
; ; 1; 22 2 2
1
1
2
2
F
J J
d
ν
∞
ν µ
λ
λ ν−λ+
ν + µ − λ + ν + µ − λ + ν − µ − λ + α
ν +
β
−ν + µ + λ +
ν +
α Γ ξα ξβ ξ =
ξ β Γ Γ
∫
( )0 ;≤ α ≤ β
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 3, 29-41
35
( ) ( )
( )10
21 1 1
; ; 1; 22 2 2
1
1
2
2
F
J J
d
µ
∞
ν µ
λ
λ µ−λ+
ν + µ − λ + ν + µ − λ + −ν + µ − λ + β
µ +
α
ν − µ + λ +
µ +
β Γ ξα ξβ ξ =
ξ α Γ Γ
∫
( )β ≤ α ≤ ∞ . (22)
У виразах (22) ( )xΓ — гамма-функція, ( )2; ; ;F a b c x — гіпергеометрична функ-
ція Ґаусса, задана гіпергеометричним рядом
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
0
; ; ;
!
k
k
c a k b k xF a b c x
a b c k k
∞
=
Γ Γ + Γ +
=
Γ Γ Γ +∑ (23)
з одиничним радіусом збіжності за умови 0c a b− − > , до того ж
);0(
)()(
)()()1;;;( >−−
−Γ−Γ
−−ΓΓ
= bac
bcac
bacccbaF
( ) ( ) ( )2 2 2; ; ; 1 ; ; ; .
c a b
F a b c x x F c a c b c x
− −
= − − − (24)
Зазначимо, що при a k= − або b k= − , де ( )0k∈N розвинення (23) зво-
диться до полінома степеня 2k, який можна виразити через поліноми Якобі [4].
Відзначимо такі властивості інтеграла В.-Ш.:
а) інтеграли (22) неперервні в точці α = β за умови 0λ > ;
б) другий інтеграл (22) тотожно дорівнює нулю для всіх α > β , якщо
( )01 2k kν −µ + λ + = − ∈Ν .
Якщо ряд (21) підставити в інтегральне рівняння (20) та обчислити розрив-
ний інтеграл В.-Ш. за формулами (22), то в області 0 1≤ α ≤ одержимо алгеб-
ричне рівняння
( ) ( )
( )
2
0
1 1; ; 1 ;
22 1m q
n
m q F m q m pb
m q
∞
=
Γ − + − + − α
= −
µΓ + +∑ )1,10( −>≤α≤ q . (25)
Оскільки рівняння (25) щодо коефіцієнтів mb є рядом за поліномами Якобі [4]
з аргументом ( )21 2− α , тобто ( ) ( ) ( )0,2 21; ; 1; 1 2q
mF m q m P −− + − α = − α , які утво-
рюють повну систему функцій на проміжку [0, 1], то, відповідно до апроксима-
ційної теореми Вайєрштрасса, рівняння (25) має єдиний розв’язок — набір коефі-
цієнтів mb за довільної неперервної правої частини. У розглядуваному випадку
постійної правої частини його розв’язок є таким
( ) ( )0
2 , 0 .
1
q
m
pb b m
q
= − ≡ ∈
µ Γ −
N (26)
Віталій Галазюк, Ґеоргій Сулим
Математична модель деформування пружного півпростору за дії нормального...
36
Відповідно до подання (21) тепер можна записати, що
( ) ( ) ( )1
0 1 1 .q
q
J
A b q−
+
ξ
ξ = > −
ξ
(27)
Далі за формулами (3)-(7) обчислимо характеристики напружено-деформо-
ваного стану у півпросторі за умов (18)-(19)
( ) ( ) ( )1
0 0
0
, 2 ,q
q
J
b e J d
∞
− −ξγξ
θ α γ = − αξ ξ
ξ∫
( ) ( ) ( )12
0 1
0
, ,q
q
J
k b e J d
∞
− −ξγ
β
ξ
ω α γ = αξ ξ
ξ∫
( ) ( ) ( ) ( )12
0 11
0
, 1 q
q
J
u b k e J d
∞
− −ξγ
α +
ξ
α γ = − + αξ ξ +
ξ∫
( ) ( ) ( )12
0 1
0
1 ,q
q
J
k b e J d
∞
− −ξγξ
+ − γ αξ ξ
ξ∫
( ) ( ) ( ) ( )12
0 0
0
, 1 ,q
q
J
u k b e J d
∞
− −ξγ
γ
ξ
α γ = − γ αξ ξ
ξ∫
( ) ( ) ( ) ( )12
0 11
0
, 1 ,q
q
J
k b e J d
∞
− −ξγ
α −
ξ
ϕ α γ = − − γ αξ ξ
ξ∫
( ) ( ) ( )12
0 1
0
, 2 q
q
J
b k e J d
∞
− −ξγ
γ
ξ
ϕ α γ = αξ ξ −
ξ∫ ( ) ( ) ( )12
0 11
0
1 ,q
q
J
k b e J d
∞
− −ξγ
−
ξ
− γ αξ ξ
ξ∫
( ) ( ) ( )1 0
0
0
, 2 q
q
J J
b e d
∞
− −ξγ
γγ
ξ αξ
σ α γ = µ ξ −
ξ∫ ( ) ( ) ( )12
0 01
0
2 1 ,q
q
J
k b e J d
∞
− −ξγ
−
ξ
µ − γ αξ ξ
ξ∫
( ) ( ) ( )12
0 1
0
, 2 q
q
J
b k e J d
∞
− −ξγ
αγ
ξ
σ α γ = µ αξ ξ −
ξ∫
( ) ( ) ( )12
0 11
0
2 1 .q
q
J
k b e J d
∞
− −ξγ
−
ξ
− µ − γ αξ ξ
ξ∫ (28)
У загальному випадку інтеграли у виразах (28) можна обчислити числови-
ми методами. Проте, на площині γ = 0 вони вироджуються в розривні інтеграли
В.-Ш. і за формулами (22) отримаємо, що в області 0 1≤ α ≤
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
23/ 2
,0 , ,0 3/ 2 ; 1/ 2; 2; ;
2 1
pk qp F q
qβ
Γ −
θ α = ω α = − α − α
µ µ πΓ −
(29)
( ) ( )
2(1 ),0 , ,0 0;
4
p ku uα γ
+
α = α α =
µ
(30)
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 3, 29-41
37
( ),0 0,αϕ α = ( )
( ) ( )2
23/ 2 ; / 2; 2;3/ 2 12,0 2 ;
(1 ) 2
q
q
qq Fpk
qγ
− ααΓ −
ϕ α = −
µ Γ − π
(31)
( ),0 ,pγγσ α = − ( ) ( )
( ) ( )
2
23/ 2
,0 3/ 2 ;1/ 2;2; ;
1
pk q
F q
qαγ
Γ −
σ α = − α − α
πΓ −
(32)
а в області 1 < α < ∞ відповідно
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
1 ; 1 ; 2 ;
,0 ,
2q
F q q qp
q q
−
−
− − − α
θ α =
µ α Γ − Γ
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
3/ 2 3/ 2 ; 1/ 2 ; 2 ;
,0 ;
2 1 2 1/ 2q
pk q F q q q
q q q
−
β −
Γ − − − − α
ω α = −
µα Γ − Γ − Γ +
(33)
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
1 2
1 1 ; ; 2 ;
,0 , ,0 0;
4 2 1q
p k F q q q
u u
q q
−
α γ−
+ − − − α
α = α =
µ α Γ − Γ +
(34)
( ),0 0,αϕ α =
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
23/ 2 ; 1/ 2; 2 ;3/ 22,0 2 ;
(1 ) 2 2 1/ 2
q
q q
q q qq Fpk
q q qγ −
−− − + − ααΓ −
ϕ α = −
µ Γ − α Γ − Γ +
(35)
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
1 ; 1 ; 2 ;
,0 ,
2q
F q q q
p
q q
−
γγ −
− − − α
σ α = −
α Γ − Γ
( ) ( )
( ) ( ) ( )qqq
qqqFqpk
q +Γ−Γ−Γα
α−−−−Γ
−=ασ −
−
αγ 2121
;2;21;2323)0,( 22
22
. (36)
Аналіз формул (31) і (35) для пружних кутів повороту ( ),0αϕ α та ( ),0γϕ α
вказує на те, що у площині γ = 0 вони мають різні аналітичні вирази в областях
( )0 1≤ α ≤ та ( )1≤ α < ∞ . Тому, згідно з гіпотезою суцільності, на лінії поділу
крайових умов 1α = повинні виконуватися граничні рівності
( ) ( ) ( ) ( )
1 0 1 0 1 0 1 0
lim , 0 lim , 0 , lim , 0 lim , 0 ,α α γ γα→ − α→ + α→ − α→ +
ϕ α ± = ϕ α ± ϕ α ± = ϕ α ± (37)
наслідком яких є [2, 3]
)0,(lim)0,(lim
0101
±αω=±αω β
+→α
β
−→α
. (38)
Оскільки пружні кути повороту ( ),0αϕ α і ( ),0γϕ α відповідно до подань
(31) і (35) задані гіпергеометричним рядом (23), який збіжний у точці α = 1 за
умови 0c a b− − > , то граничні рівності (37) і, як наслідок, гранична рівність (38)
та відповідно друга умова (19) виконуватимуться, якщо 0 1/ 2.q< < За виконан-
Віталій Галазюк, Ґеоргій Сулим
Математична модель деформування пружного півпростору за дії нормального...
38
ня цієї нерівності усі означені поданнями (29)-(36) характеристики напружено-
деформованого стану неперервні на межі області навантаження α = 1 (у цьому
легко переконатися, застосувавши першу рівність (24)) і залежать від параметра
q (0 < q < 1/2).
Таким чином, за умови 0 < q < 1/2, відповідно до співвідношення (36), нор-
мальне напруження ( ),0γγσ α неперервно продовжується в область 1 < α < ∞ , ви-
магаючи нормального довантаження границі γ = 0. Очевидно, що це довантажен-
ня можна зреалізувати за умови, що фізична границя тіла забезпечує неперерв-
ність пружних поворотів. Якщо q = 0, то це довантаження відсутнє, проте усі інші
характеристики напружено-деформованого стану, означені поданнями (29)-(36),
мають на межі α = 1 області навантаження логарифмічну особливість. Натомість
дотичне напруження ( ),0αγσ α в області 1 < α < ∞ співвідношення (36) визначає
керуючу функцію ( )2g α , яка у класичній постановці завжди дорівнює нулю.
Керуюча функція ( )2g α , яка залежить від параметра 0 < q < 1/2, досягає
максимального значення на лінії α = 1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
max 1,521,0 1
0,5 1
q qPkg
q qαγ αγ
Γ Γ −
σ = σ = = −
π Γ + Γ −
.
Тому, при досягненні допустимого рівня дотичних напружень у точці α = 1 може
відбутися пластичне деформування або розтріскування матеріалу. На рис. 2 та 3
0,2
0
– 0,2
– 0,4
– 0,6
– 1
– 0,8
)0,(αγγσ
q = – 0,5
α
1 2 3 4 5
q = – 0,05
q = – 0,25
q = – 0,45
α
q = – 0,5
q = – 0,05
q = – 0,25
q = – 0,25
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 α
)0,(ααγσ
Рис. 2. Нормальне напруження ( ),0γγσ α Рис. 3. Дотичне напруження ( ),0αγσ α
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 3, 29-41
39
графічно зображений розподіл нормальних та дотичних напружень, обчислений
за формулами (32) та (36) залежно від параметра 0 < q < 1/2 (суцільні лінії) та у
класичному випадку, коли q = – 0,5 (штрихова лінія).
4. Класичний сингулярний розв’язок
Якщо реологічні властивості фізичної межі пружного півпростору допускають
можливість розриву пружних кутів повороту, зокрема на межі області наванта-
ження, то слід прийняти q = – 0,5. Тоді, використовуючи формули підсумову-
вання [4] гіпергеометричної функції Ґаусса, відповідно до подань (29)-(36) одер-
жимо, що в області 0 1≤ α <
( ) ( )
2
2
1,0 , ,0
1
p pk
βθ α = ω α = −
µ µ π −α
; (39)
( ) ( ) ( )
21
,0 , ,0 0;
4
p k
u uα γ
+
α = α α =
µ
(40)
( ) ( )
2
2
4 1,0 0, ,0 ;
1
k p
α γϕ α = ϕ α =
µπ −α
(41)
( ) ( )
2
2
2,0 , ,0
1
pkpγγ αγ
α
σ α = − σ α =
π −α
(42)
і в області 1 < α < ∞ відповідно
( )
2
2 1 1,0 arcsin
1
p
θ α = − − πµ αα −
, (43)
( ) ( ) ( ) ( ),0 ,0 ,0 ,0 0β α γ αγω α = ϕ α = ϕ α = σ α = ; (44)
( ) ( )2
2
1 1 1,0 arcsin 1
2
p k
uα
+
α = α − − µπ α α
, ( ),0 0;uγ α = (45)
( )
2
2 1 1,0 arcsin
1
p
γγ
σ α = − π αα −
. (46)
Аналіз виразів (39)-(46) вказує на те, що за умови рівності нулю дотичних
напружень поза областю навантаження математична модель напруженого дефор-
мованого стану є фізично некоректною, оскільки суперечить гіпотезі суцільності.
Справді, відповідно до подань (39) та (44) компонента ( ),0βω α вектора локаль-
ного жорсткого повороту Ω на лінії α = 1 має розрив другого роду. З фізичної
точки зору це означає, що на лінії α = 1 повинно би з’явитися взаємопроникнення
безмежно малих пружних елементів внаслідок розриву пружних поворотів.
Відповідно до подань (37) та (43) це призводить до невизначеності характеру
Віталій Галазюк, Ґеоргій Сулим
Математична модель деформування пружного півпростору за дії нормального...
40
деформування на лінії α = 1, оскільки об’ємна деформація θ(α, 0) там має розрив
другого роду зі зміною знаку, що порушує її інваріантність. Разом з тим дотичні
напруження ( ),0αγσ α в області навантаження на лінії α = 1 мають кореневу
особливість і локально порушують симетрію тензора напружень.
Висновки
• З’ясовано, що математична модель деформування півпростору довільним
нормальним навантаженням за припущення рівності нулю дотичних напру-
жень на його границі визначає фізично некоректну картину деформування,
оскільки при цьому виникає парадокс взаємопроникнення точок континууму.
• Показано, що за довільного нормального навантаження границі пружного пів-
простору в коловій області його вертикальні переміщення можна зробити ну-
льовими відповідним розподілом дотичних напружень в області наванта-
ження. При цьому, за фізичної умови неперервності пружних кутів повороту
на лінії поділу крайових умов, для забезпечення умови балансу моментів
дотичні напруження продовжуються поза межі області навантаження.
• Якщо припустити, що дотичні напруження поза областю навантаження до-
рівнюють нулю, то в області навантаження на її межі вони мають кореневу
особливість, що є наслідком розриву пружних кутів повороту. При цьому
виникає парадокс взаємопроникнення пружних елементів при їх повороті
навколо лінії поділу крайових умов.
Література
[1] Снеддон И. Преобразование Фурье. — М.: Издат. иностр. л-ры, 1955. — 580 с.
[2] Галазюк В. А., Сулим Ґ. Т. Рівновага дискової щілини з урахуванням на її поверх-
нях межового шару з реологічними властивостями // Фіз.-хім. механіка матеріалів. —
2004. — № 4. — С. 17-33.
[3] Галазюк В. А., Сулим Ґ. Т. Некласична математична модель деформування пружно-
го півпростору з тонким дисковим абсолютно жорстким включенням // Вісн. До-
нецьк. ун-ту. Сер. А: Природ. науки. — 2002. — Вип. 1. — С. 77-82.
[4] Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений. —
М.: Гос. издат. физ.-мат. л-ры, 1963. — 1100 с.
Математическая модель деформирования
упругого полупространства под воздействием
нормальной нагрузки на его границе
Виталий Галазюк, Георгий Сулим
Предположение о равенстве нулю касательных напряжений на границе упругого полу-
пространства при ее гладкой нормальной нагрузке предопределяет парадокс взаимопро-
никновения точек материального континуума, если объемная деформация 0>θ . Показа-
но, что для избегания этой физической некорректности достаточно предположить, что
граница тела обладает реологическими свойствами, которые позволяют регулировать ее
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 3, 29-41
41
вертикальные перемещения распределением на ней по определенному закону касательных
напряжений. Доказано, что всегда существует такой закон распределения касательных напря-
жений, который делает вертикальные перемещения границы нулевыми при произвольной
нормальной нагрузке. Эта идея оказалась состоятельной в задачах со смешанными краевы-
ми условиями, поскольку дала возможность выполнить дополнительное физическое требо-
вание непрерывности компонент вектора urrot5,0=Ω на линии раздела краевых условий и
этим обеспечить существование физически корректного решения, которое согласовано с
ограничениями линейной модели деформируемого твердого тела. Если вне области на-
грузки потребовать равенства нулю касательных напряжений, то на границе области
нагрузки они становятся сингулярными с корневой особенностью так же, как и компонен-
ты вектора Ω . При этом имеет место парадокс взаимопроникновения вследствие раз-
рыва углов поворота нормальных элементов вокруг линии раздела краевых условий.
Mathematical Model of Straining of Elastic Half Space
under Normal Load on its Boundary
Vitaliy Halaziuk, Georgiy Sulym
The assumption on vanishing of the tangential stresses on the boundary of the elastic half space
under its smooth normal load causes a paradox of infiltration of points of material continuum
whenever the dilatational strain 0>θ . We demonstrate that, in order to avoid this physical ill-
posedness, it is sufficient to assume that the boundary of the solid satisfies some flow properties
that allow us to regulate its vertical displacements by means of distribution of tangential stresses
on it, with respect to a certain law. It is proved that there always exists a distribution law such that
the vertical displacements of the boundary are equal to zero under arbitrary normal load. This
idea turned out to be meaningful in the problems with mixed boundary conditions, because it made
possible to fulfill an additional physical condition of continuity of components of the vector
urrot5,0=Ω on the separation curve of boundary conditions and therefore to ensure existence of
physically correct solution that agrees with restrictions of linear model of solid deformable body.
If we require that the tangential stresses vanish outside the load domain, then, on the boundary of
the load domain, they became singular with kernel singularity, as well as components of the vector Ω .
Here, a paradox of infiltration occurs, because of discontinuity of rotation angles of the normal
elements around the separation curve of boundary conditions.
Отримано 10.02.06
|