Оптимізація за двома мірами форми пружних тіл у задачах стійкості
Запропоновано постановку і методику розв’язування задачі оптимізації критичних значень параметрів стійкості пружних тіл за двома мірами шляхом належного вибору форми. Для дослідження стійкості використовують аналог прямого методу Ляпунова для систем із розподіленими параметрами. Отримані результати...
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2005
|
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20924 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оптимізація за двома мірами форми пружних тіл у задачах стійкості / П. Доманський // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2005. — Вип. 2. — С. 27-42. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-20924 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-209242011-07-29T21:27:41Z Оптимізація за двома мірами форми пружних тіл у задачах стійкості Доманський, П. Запропоновано постановку і методику розв’язування задачі оптимізації критичних значень параметрів стійкості пружних тіл за двома мірами шляхом належного вибору форми. Для дослідження стійкості використовують аналог прямого методу Ляпунова для систем із розподіленими параметрами. Отримані результати застосовуються для вивчення стійкості стержнів змінного поперечного перерізу, навантажених осьовими силами стиску. Задачу оптимізації зведено до пошуку максимуму за параметрами форми поперечного перерізу від мінімуму за фазовими змінними деякого неадитивного функціоналу. Розв’язування цієї задачі здійснюють методами варіаційного числення. Знайдено оптимальні форми для випадку шарнірного опирання кінців стержня. Показано, що вибором форми стержня можна істотно підвищити критичні значення осьового навантаження. A two-measure formulation and solution method for problems of elastic bodies geometry optimization with respect to their stiffness are suggested. The analogue of the Lyapunov direct method for systems with distributed parameters is applied. The obtained results are illustrated on on rods with varying cross sections which are affected by axial compressing forces. The optimization problem is reduced to a minimax problem for some non-additive functional. To solve this problem the variational calculus methods are applied. Optimal geometry for the pin-ended rod is obtained. It is shown that the critical loading can be substantially increased choosing the optimal rod crosssection geometry. Предложены формулировка и методика решения задачи оптимизации критических значений параметров устойчивости упругих тел по двум мерам путем соответствующего выбора формы. Для исследования устойчивости используют аналог прямого метода Ляпунова для систем с распределенными параметрами. Полученные результаты используются для изучения устойчивости стержней переменного поперечного сечения, нагруженных осевыми силами сжатия. Задача оптимизации сведена к поиску максимума по параметрам формы поперечного сечения от минимума по фазовым переменным некоторого неаддитивного функционала. Решение этой задачи осуществляют методами вариационного исчисления. Найдены оптимальные формы для случая шарнирного опирания концов стержня. Показано, что выбором формы стержня можно существенно увеличить критические значения осевого нагружения. 2005 Article Оптимізація за двома мірами форми пружних тіл у задачах стійкості / П. Доманський // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2005. — Вип. 2. — С. 27-42. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20924 624.07:534.1 uk Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Запропоновано постановку і методику розв’язування задачі оптимізації критичних значень параметрів стійкості пружних тіл за двома мірами шляхом належного вибору форми. Для дослідження стійкості використовують аналог прямого методу Ляпунова для систем із розподіленими параметрами. Отримані результати застосовуються для вивчення стійкості стержнів змінного поперечного перерізу, навантажених осьовими силами стиску. Задачу оптимізації зведено до пошуку максимуму за параметрами форми поперечного перерізу від мінімуму за фазовими змінними деякого неадитивного функціоналу. Розв’язування цієї задачі здійснюють методами варіаційного числення. Знайдено оптимальні форми для випадку шарнірного опирання кінців стержня. Показано, що вибором форми стержня можна істотно підвищити критичні значення осьового навантаження. |
| format |
Article |
| author |
Доманський, П. |
| spellingShingle |
Доманський, П. Оптимізація за двома мірами форми пружних тіл у задачах стійкості |
| author_facet |
Доманський, П. |
| author_sort |
Доманський, П. |
| title |
Оптимізація за двома мірами форми пружних тіл у задачах стійкості |
| title_short |
Оптимізація за двома мірами форми пружних тіл у задачах стійкості |
| title_full |
Оптимізація за двома мірами форми пружних тіл у задачах стійкості |
| title_fullStr |
Оптимізація за двома мірами форми пружних тіл у задачах стійкості |
| title_full_unstemmed |
Оптимізація за двома мірами форми пружних тіл у задачах стійкості |
| title_sort |
оптимізація за двома мірами форми пружних тіл у задачах стійкості |
| publisher |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20924 |
| citation_txt |
Оптимізація за двома мірами форми пружних тіл у задачах стійкості / П. Доманський // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2005. — Вип. 2. — С. 27-42. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT domansʹkijp optimízacíâzadvomamíramiformipružnihtíluzadačahstíjkostí |
| first_indexed |
2025-07-02T21:28:46Z |
| last_indexed |
2025-07-02T21:28:46Z |
| _version_ |
1836572188680912896 |
| fulltext |
Оптимизация по двум мерам
формы упругих тел в задачах устойчивости
Петро Доманский
к. ф.-м. н., доцент кафедри математичного моделювання механіко-математичного факультету Львівського
національного університету імені Івана Франка, e-mail: domanskyy@gmx.net
Предложены формулировка и методика решения задачи оптимизации критических зна-
чений параметров устойчивости упругих тел по двум мерам путем соответствующего
выбора формы. Для исследования устойчивости используют аналог прямого метода Ляпу-
нова для систем с распределенными параметрами. Полученные результаты используются
для изучения устойчивости стержней переменного поперечного сечения, нагруженных
осевыми силами сжатия. Задача оптимизации сведена к поиску максимума по параметрам
формы поперечного сечения от минимума по фазовым переменным некоторого неаддитив-
ного функционала. Решение этой задачи осуществляют методами вариационного исчис-
ления. Найдены оптимальные формы для случая шарнирного опирания концов стержня.
Показано, что выбором формы стержня можно существенно увеличить критические
значения осевого нагружения.
Ключевые слова: оптимизация формы упругих тел, стержень переменного
поперечного сечения, устойчивость по двум мерам.
Вступление. Задача о нахождении распределения материала вдоль оси стержня,
при котором значение критической силы потери устойчивости при заданных
объеме и длине стержня является наибольшим, была поставлена Ж.-Л. Лагран-
жем [15]. Для шарнирно закрепленного стержня оптимальная форма была найде-
на Т. Клаузеном [14]. В работе [10] приведено обобщение этой задачи путём
введения ограничения на минимально допустимые значения площади попереч-
ного сечения. Аналитическое решение задачи Лагранжа для других видов гра-
ничных условий получено в [16]. Общие вопросы постановок и решения задач
оптимизации формы упругих тел, исходя из их устойчивости, систематизирова-
ны в ряде монографий, например [1, 2, 11, 13]. В указанных работах исходным
является критерий Эйлера исследования устойчивости равновесия упругих тел.
В данной работе предлагается постановка и методика решения задачи оптимиза-
ции формы упругих тел при изучении их устойчивости по двум мерам. Для
исследования устойчивости используется аналог прямого метода Ляпунова для
системы с распределёнными параметрами [9, 12]. Для выбранных мер отклоне-
ния базового решения от возмущённого предложено функционал, который играет
ту же роль, что и функции Ляпунова для систем с сосредоточенными парамет-
рами. На основе этого функционала получены достаточные условия устойчивости
движения, которые имеют вид интегрального неравенства. Это неравенство явля-
УДК 624.07:534.1
27
Петро Доманский
Оптимизация по двум мерам формы упругих тел в задачах устойчивости
28
ется базовым для постановки задачи оптимизации формы упругих тел. Для реше-
ния задачи оптимизации используются методы вариационного исчисления. Приме-
нение полученных результатов иллюстрируется на примере стержней переменного
поперечного сечения, на которые действуют осевые сжимающие усилия.
1. Постановка задачи
Рассматривается изотропное упругое тело K. Различаем три конфигурации этого
тела: 0γ , τγ , *
τγ . Первую из них называем отсчетной, а две другие — актуаль-
ными. Отсчетная 0γ -конфигурация считается естественной (недеформированной) —
в теле отсутствуют напряжения и деформации. Область отсчетной конфигурации
и поверхность, ограничивающую её, обозначим 0X и 0X∂ соответственно. Акту-
альную τγ -конфигурацию назовём базовой (невозмущённой). Она возникла
вследствие воздействия на тело K с момента времени 0= ττ массовых и поверх-
ностных сил. Вектор перемещения с 0γ в τγ -конфигурацию обозначим 0u . Дру-
гую актуальную *
τγ -конфигурацию, которая соответствует возмущению началь-
ных условий в τγ -конфигурации, назовём возмущённой. Считая, что напряжен-
но-деформированное состояние τγ -конфигурации является известным, в работе
[5] при условии, что массовые и поверхностные силы являются «мёртвыми»,
выведено линеаризированное уравнение устойчивости движения тела K относи-
тельно возмущений
.ˆ
2
2
000 τ∂
∂
ρ=⋅∇ • uP (1)
Здесь ( )00000 ,ˆ=ˆ uuPP ⊗∇⊗∇•• — конвективная производная тензора напряжений
Пиола-Кирхгоффа; u — возмущение вектора перемещения в τγ -конфигурации;
0∇ — набла-оператор Гамильтона в 0γ -конфигурации; 0ρ — плотность распре-
деления массы относительно 0γ -конфигурации; «·» — операция скалярного (внут-
реннего) умножения; «⊗ » — операция тензорного (внешнего) умножения.
На границе 0X∂ рассматриваем следующие граничные условия
( ) 0=ˆ0,=ˆ0,=
3
0000
0
3
0
2121 XXXXX
PnPnu
∂
•
∂∂
•
∂∂α ⋅⋅⋅∋⋅∋
∪∪
. (2)
Здесь 0n — единичная внешняя нормаль к поверхности 0X∂ ,
0321 = XXXX ∂∂∂∂ ∪∪ , }{ 0
k∋ — ортонормированный базис в 0γ -конфигурации,
α = 1, 2.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, вип. 2, 27-42
29
Задача (1), (2) имеет решение 0≡u . Для исследования устойчивости этого
решения в качестве мер отклонения базового решения от возмущённого прини-
маем функционалы
( )[ ] 000
2
0
0
0
ˆ=),( dVuPuud
X
∇⊗⋅⋅+
τ∂
∂
ρτ⋅ •∫ , (3)
( )[ ] ,=),( 0
2
0
0
dVuud
X
τ∂
∂
ρτ⋅ ∫ (4)
определённые на решениях u задачи (1), (2).
Определение. Решение 0≡u называем устойчивым по мерам (3), (4), если
( )( )( )( ) ( )[ ] ( )[ ][ ]ετ⋅⇒δτ⋅τ≥τ∀∀δ∃ε∀ <),(<),(0>0> 000 ududu .
На основании рассмотрения свойств функционала
( )[ ] 000
2
0
0
ˆ=),( dVuPuuV
X
∇⊗⋅⋅+
τ∂
∂
ρτ⋅ •∫ ,
который играет ту же роль, что и функции Ляпунова для систем с сосредоточен-
ными параметрами, в работах [3, 4] показано, что достаточным условием устой-
чивости решения 0≡u задачи (1), (2) по мерам (3), (4) при условии, что градиент ба-
зового решения не зависит от времени, является выполнение неравенства
[ ] 0ˆ= 000
0
≥∇⊗⋅⋅•∫ dVuPuW
X
(5)
на возмущениях, удовлетворяющих условиям (2).
Принимаем, что в 0γ -конфигурации тело K является стержнем с перемен-
ным поперечным сечением )( 3ξD , два характерных размера которого значительно
меньше высоты. Положение точек оси тела характеризуем радиус-вектором
0
3
3
30 = ∋ξr , где 3ξ — осевая координата )(0 3 l≤ξ≤ , 0
3∋ — базисный орт в нап-
равлении этой оси. Положение произвольной точки определяем радиус-вектором
3000 = rRr + , ( ) 021
00 =,= α
α ∋ξξξRR , (α = 1, 2), ( ) )(, 321 ξ∈ξξ D .
Представим возмущение вектора перемещения ( )τ+ ,= 030 Rruu в виде раз-
ложения по заданному базису тензорных функций )}(ˆ{ 0
1)( Ri−Φ следующим образом
( ).,ˆ)(ˆ= 30
)(
1
0
1)(
1=
τ⋅Φ
−
−∑ ruRu i
i
i
N
i
(6)
Петро Доманский
Оптимизация по двум мерам формы упругих тел в задачах устойчивости
30
Здесь верхнии индексы (i – 1) и (i) указывают на ранг тензорных функций, «
1−
⋅
i
»
обозначает (i – 1) - кратное внутреннее произведение тензоров. Как следует из
формулы Тейлора для отображения одного нормированного пространства в
другое, в качестве базиса можно выбрать, в частности, систему тензорных
функций }{ 0
nR , где nR0 — n-кратное внешнее произведением вектора 0R на себя,
10
0 ≡R .
Подставим (6) в (5). В результате получим
[ ] { }[ ]
+
ξ∂
∂
⊗⋅
+
+∑∫ 3
)(
)(
3
)(
1=,0
)(
1
ˆˆˆ=ˆ=
m
n
nm
nm
N
nm
l
i uPMuWuW
( )2,1,0,ˆˆ 3)()()( =βα≥ξ
⊗⋅δ+ β
+
+
α
αβ duPK mn
nm
nm . (7)
Здесь
,ˆˆ
)
=ˆ
0
1)(01)(
0
3(
)( ΣΦ⊗∋⊗Φ⊗∋ −−
ξ
+ ∫ dM n
k
mk
D
nm
,ˆˆ
)
=ˆ
0
1)(0
1)(
0
3(
)( ΣΦ⊗∋⊗
ξ∂
Φ∂
⊗∋ −
α
−
ξ
+
α ∫ dK n
k
m
k
D
nm (8)
)(ˆ n
jP — коэффициенты разложения векторов 0
0 ˆ=ˆ PP jj ⋅∋• по базису }ˆ{ 1)( −Φ n ;
}{ 0
k∋ — базис, биортогональный базису }{ 0
k∋ .
Принимаем, что в формуле (2) 1X∂ — нижнее основание стержня 0)=( 3ξ ,
2X∂ — его верхнее основание )=( 3 lξ , 3X∂ — боковая поверхность. Поскольку
на нижнем и верхнем основаниях вектор 0n коллинеарен базисному орту 0
3∋ , то
граничным условиям (2) соответствуют следующие условия на коэффициенты
)(ˆ iu разложения возмущения вектора перемещения
1,2)=(0,=ˆ0,=ˆ
,03
0
3
)(
3,03
0)( α∋⋅∋⋅
=ξ=ξα l
i
l
i Pu . (9)
Следовательно, для определения условий устойчивости стержня нужно на-
йти те значения параметров нагружения, при которых выполняется неравенство
( ){ }[ ] 0ˆ1 ≥iuW для всех наборов тензорных функций { })(ˆ iu , удовлетворяющих
граничным условиям (9).
Пусть стержень из стандартного материала второго порядка находится под
воздействием осевой сжимающей нагрузки интенсивности 0N , равномерно рас-
пределённой по граничных поперечных сечениях. Боковую поверхность считаем
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, вип. 2, 27-42
31
свободной от силовых нагружений. Влиянием массовых сил пренебрегаем. Пусть
область )( 3ξD имеет площадь )( 3ξS , а моменты поперечного сечения первого
порядка и центробежный момент равны нулю. Найдём значения параметра 0N ,
при которых стержень является устойчивым по мерам (3), (4).
В работах [6, 7] показано, что тензор •
0̂P для стандартного материала вто-
рого порядка имеет вид
( ) +⊗∇⋅⋅⊗∇λ+⋅⊗∇+⋅⊗∇+• IuuuTuuTuIP ˆ)(ˆ)(ˆˆ=ˆ
00000000
( )000000 uuuu TT ⊗∇⋅⊗∇+⊗∇⋅⊗∇µ+ . (10)
Здесь )(ˆ
0uT — тензор напряжений Коши; λ, µ — постоянные Ляме; Î — еди-
ничный тензор.
За базовое выбираем решение соответствующей задачи, сформулирован-
ной в рамках статической линейной теории упругости [8] ( ) 0
3
0
30
ˆ ∋⊗∋−= QEuT .
Здесь ( )ESNQ 0= , E — модуль упругости. Для упрощения расчётов пренебре-
гаем деформацией базовой конфигурации, то есть вместо формулы (10) прини-
маем, что )(ˆ)(ˆ=ˆ
000 uTuuTP ⋅⊗∇+• .
В качестве базиса разложения возмущения вектора перемещения выберем
}{ 0
nR и ограничимся в формуле (6) двумя слагаемыми, то есть, принимаем, что
(2)
0
(1) ˆ= uRuu ⋅+ . Пусть k
kuu 0
(1) =ˆ ∋ , k
kuu 00
(2) =ˆ ∋⊗∋αα . Для рассматриваемого
случая неравенство (7) можно записать в виде
( )
++µ+
ξ∂
∂
−µ+
ξ∂
∂
++λ∫ 2
22
2
11
2
3
30
2
3
3
2211
0
1 22= uuu
S
NuuuSW
l
( )
+−
ξ∂
∂
+µ++µ+ α
α
α
α
∑ 2
3
0
2
33
2
=1
2
2112 u
S
Nuuuu
02 3
2
3
2
1=,
2
3
30 ≥ξ
ξ∂
∂µ
+
ξ∂
∂
−µ+λ+ αβαα
βα
α
αα
∑ d
u
J
S
u
S
N
S
J . (11)
Здесь ( ) 212
3( )
= ξξξα
ξ
αα ∫∫ ddJ
D
— моменты инерции поперечного сечения стержня.
Функционал (11) оценим снизу
Петро Доманский
Оптимизация по двум мерам формы упругих тел в задачах устойчивости
32
+−
ξ∂
∂
+µ≥ α
α
α
α
∑∫ 2
3
0
2
33
2
1=0
21 = u
S
NuuSWW
l
02 3
2
3
30 ≥ξ
ξ∂
∂
−µ+λ+ α
αα
du
S
N
S
J . (12)
Для любого α = 1, 2 из неравенства (12) получаем
+−
ξ∂
∂
+µ α
α
α∫ 2
3
0
2
33
0
3 = u
S
NuuSW
l
02 3
2
3
30 ≥ξ
ξ∂
∂
−µ+λ+ α
αα
du
S
N
S
J . (13)
Из последнего неравенства находим оценку параметра силового нагружения
3
2
3
32
3
0
3
2
3
3
2
33
0
0
)2(
ξ
ξ∂
∂
+
ξ
ξ∂
∂
µ+λ+
ξ∂
∂
+µ
≤
α
αα
α
αααα
α
∫
∫
d
u
S
Ju
d
u
J
u
uS
N
l
l
. (14)
Из соотношений (9) следуют граничные условия на функции αu , 3αu
0=0,=
,0
3
3
,0
3
3
l
l
uu
=ξ
α
=ξα
ξ∂
∂ . (15)
Очевидно, что критическое значение параметра нагружения кр.
0N при фик-
сированной площади поперечного сечения определяется как минимум функцио-
нала, находящегося в правой части формулы (14), при выполнении граничных
условий (15). Правая часть неравенства (14) принимает наименьшее значение
при 33 =
ξ∂
∂
− α
α
uu . В дальнейшем полагаем, что yu =α , JJ =αα , x=3ξ . Итак,
0
кр.
0 min JN
y
= , где
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, вип. 2, 27-42
33
( )
( ) ( ) dxy
S
Jy
dxyJ
J
'''
l
''
l
+
µ+λ
∫
∫
22
0
2
0
0
)2(
= , (16)
при граничных условиях
0=0,=
0,=0,= lx
''
lx yy . (17)
Функционал (16) является инвариантным относительно замен вида y(x) = k z(x),
где k — произвольная постоянная. Поэтому принимаем, что
( ) ( ) 1=
22
0
dxy
S
Jy '''
l
+∫ . (18)
Отметим, что в соотношениях (16)-(18) и далее для упрощения записей штриха-
ми обозначены производные по x.
Далее форму поперечного сечения стержня будем полагать выбранной, а
также принимаем, что момент инерции J и площадь поперечного сечения S свя-
заны степенной зависимостью [1, 2, 11, 13]
k
k SaJ = . (19)
В формуле (19) суммирование по индексу k отсутствует, ka — постоянная при
каждом k = 1, 2, 3.
Сформулируем задачу оптимизации в следующей форме: среди непрерыв-
но дифференцируемых функций y = y (x), имеющих кусочно-непрерывную вто-
рую производную, и непрерывных функций S = S (x), удовлетворяющих усло-
виям (17) и соотношениям (18), (19), а также ограничениям
*
0
=)( VdxxS
l
∫ , (20)
найти те, которые реализуют [ ]Sy
yS
,minmax Π , где
[ ] ( ) dxyJSy ''
l
2
0
)2(=, µ+λΠ ∫ , (21)
*V — заданный объем тела.
Петро Доманский
Оптимизация по двум мерам формы упругих тел в задачах устойчивости
34
2. Решение задачи оптимизации
Задачу оптимизации будем решать последовательно, то есть, сначала исследуем
функционал (21) на минимум по переменной y при соответствующих ограниче-
ниях, а затем находим максимум по переменной S. Составим функционал Лагранжа
( ) ( ) ( ) dxSy
S
JyyJ '''''
l
λ+
+λ−µ+λΠ ∫ 2
22
1
2
0
* )2(= , (22)
где 1λ , 2λ — множители Лагранжа. Из необходимого условия минимума функ-
ционала (22) по переменной y получим следующее уравнение
0=)2( 11
''
''
'' yy
S
JJ λ+
λ−µ+λ . (23)
Если дважды проинтегрировать уравнение (23), учитывая граничные усло-
вия (17) и соотношения (19), то будем иметь
[ ] 0=)2( 11
1 yySSa ''k
k λ+λ−µ+λ− . (24)
Введём новую функцию f (x), связанную с функцией S (x) соотношением
)2(
))((=)( 1
µ+λ
+λ
k
k
a
axfxS . (25)
Подставим (25) в (24). Тогда
1
1
1
1
1 )2(
=0,=)(
−
−
µ+λ
λ
++
k
k
k
''k
kk a
ByyaffB . (26)
Если учесть соотношения (18), (19), (25), (26), то функционал *Π можно
записать в виде
( ) dx
a
af
y
affB
y
k
k'
k
kk
l
µ+λ
+λ
+−
+
λΠ
−∫ )2(
)(
)(
= 22
1
1
2
0
1
* . (27)
Из необходимого условия экстремума функционала (27) по переменной f получим
)2(
=,
)(
= 12
2
2
2
2
µ+λ
λ
+
+
k
k
k
k
k
k
k a
B
B
kfa
aff
By . (28)
Подставим y, найденное из формулы (28), в уравнение (26). В результате полу-
чим дифференциальное уравнение для определения функции f = f (x)
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, вип. 2, 27-42
35
+
++
++++
+ − ''
kk
kk
k
kk f
kfafa
fkkfkaa
afB
))((
1)(
2
1)(
)(
22
1
1
[ ]
[ ]
( ) 0=1
)()(4
1)(1)(461)( 2
2
22
+
++
++++−
+ '
kk
kk f
fakfa
fkkfakafkk
. (29)
Заметим, что в уравнение (29) переменная x явно не входит. Это даёт возмож-
ность проинтегрировать данное нелинейное дифференциальное уравнение. Про-
иллюстрируем эту возможность для конкретных значений k.
При k = 1 уравнение (29) имеет вид
0=1+''f . (30)
Из формул (28) и (17) для функции f получаем граничные условия
0=)(=(0) lff . (31)
Решением уравнения (30), удовлетворяющим условиям (31), является функция
.
22
=)(
2
xlxxf +−
Учитывая соотношения (25) и (20), получаем
lal
alxxVxS
1
3
1
2*
12
)2(6=)(
+
++− . (32)
Из формул (28) при k = 1 и интегрального ограничения (18) находим функцию y (x)
)(
12
3=)( 2
1
3
lxx
lal
xy +−
+
. (33)
Оптимальное значение опт.
0N критического нагружения найдём из функци-
онала (21), подставив функции (32), (33) и интегрируя полученное соотношение.
Придем к следующей формуле оптимального значения
.
121
)2(12=
2
13
*
1опт.
0
+
µ+λ
l
al
VaN
Критическое значение параметра нагружения кр.
0N при постоянной площа-
ди поперечного сечения стержня найдено в работе [3]
Петро Доманский
Оптимизация по двум мерам формы упругих тел в задачах устойчивости
36
π
+
πµ+λ
Sl
Jl
JN
2
2
2
2
кр.
0
1
)2(= . (34)
Легко проверить, что
1,216.
121
112
=
2
12
2
1
2
кр.
0
опт.
0 ≈
+π
π
+
l
a
l
a
N
N
Следовательно, за счет оптимального выбора формы поперечного сечения можно
на 21,6 % повысить критическое значение параметра нагружения по сравнению
с цилиндрическим телом постоянного поперечного сечения такого же объёма и
высоты.
Если в уравнении (29) принять k = 2, то будем иметь
( ) 0=
)2(
)(3)33()2(
12
2
22
2
2
2
2
22 B
fa
ffaffffaafa ''' +
++++++ . (35)
Перейдём к новой неизвестной функции 'ffv =)( . Тогда vvf
df
dvf '''' == и
уравнение (35) принимает вид
0=)2()(3)33)(2(
12
2
22
2
2
2
2
22 B
favfafvvffaafa ' +
++++++ . (36)
Пусть теперь )(=2 fzv . Отсюда имеем '' zvv =2 . В результате уравнение
(36) можно переписать в следующей форме
0.=)22()(6)33)(2(
12
2
2
2
2
2
2
22 B
fazfafzffaafa ' +
++++++
Решением этого линейного неоднородного уравнения является функция
,
4
4)6(812
)3(3
)2(=
12
2
221212121
2
22
22
2
2
2
++−+−
++
+
B
aaBCfaBCf
afaf
faz
где 1C — постоянная интегрирования.
Возвращаясь к функции f (x), для её нахождения получаем дифференциаль-
ные уравнения
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, вип. 2, 27-42
37
dx
aa
fC
a
f
a
f
df
aa
fB
=
32
8
2
4
2
122
3
2
22
2
22
2
2
2
2
12
+
++
+−
+
+
+
± , (37)
где 34=4 1212 BCaC + . В результате интегрирования уравнений (37) получаем
два семейства решений
+
+
−+
+++++−
2
2
2
22
22
2
2
12
)2(23arccos32)(212)3(2
aC
CafCaafCaf∓
=
2
)(212)3(2)(26
ln
2
2
22
2
222
2
2
2
+
++++−+++
+
af
aafCafaafCa
a
∓C
B
x
+=
12
4 , (38)
которые определяют f как неявно заданную функцию переменной x. Здесь ∓C —
постоянные интегрирования. Из формулы (37) следует, что одно из этих се-
мейств определяет f как монотонно возрастающую функцию (знак «–» в формуле
(38)), а другое — как монотонно убывающую функцию (знак «+» в формуле (38))
на отрезке [0, l]. Поэтому на каждом из этих семейств удовлетворить граничные
условия (31) невозможно. Следовательно, для построения оптимального проекта
необходимо использовать оба семейства. Обозначим выражение в квадратных
скобках левой части формулы (38) через F (f, C). Тогда на отрезке [0, l] должна
существовать такая точка 0x , что оптимальный проект будет иметь вид
∈
∈
,],[),(
],[0,),(
=)(
02
01
lxxxf
xxxf
xf (39)
где 1f и 2f — функции, определяемые уравнениями
][0,,4=),( 0
12
1 xxC
B
xCfF ∈+− − , (40)
],[,4=),( 0
12
2 lxxC
B
xCfF ∈+ + . (41)
Запишем уравнения для определения постоянных интегрирования +C , −C ,
Петро Доманский
Оптимизация по двум мерам формы упругих тел в задачах устойчивости
38
C ; множителей Лагранжа 1λ , 2λ и точки 0x .
Если в (40) принять x = 0, а в (41) — x = l, и учесть граничные условия (31),
то получим два соотношения
−
+
−
−−−
2
2
2
22
22
12
)2(3arccos32212
aC
CaCaCa
−−++− CaCaCaa =2126ln 2
2222 , (42)
12
4=
B
lCC −− −+ . (43)
Положим в уравнениях (40), (41) 0= xx , учтем формулу (43), а также то,
что из условия непрерывности f в точке 0= xx следует равенство =)( 01 xf
)(=)( 002 xfxf= . В результате будем иметь
.44
=)),((,
4
=)),((
1212
0
0
12
0
0
B
lC
B
x
CxfFC
B
x
CxfF −−+− −−
Сложив эти равенства, из полученного уравнения находим, что /2=0 lx .
Поскольку функция 1f является монотонно возрастающей на [0, l/2], а
2f — монотонно убывающей на [l/2, l], то функция f в точке l/2 достигает макси-
мума. Следовательно, если существует производная функции f в точке l/2, то она
равна нулю. Существование и даже непрерывность производной функции f в
точке l/2 следует из непрерывной дифференцированности функции y на интер-
вале (0, l) и необходимого условия оптимальности (28). Из условия 0=/2)(lf ' и
возрастания f на [0, l/2] находим
342=/2)(2 2
2
2
2 aCCalf +++ . (44)
Если теперь в (40) или (41) принять x = l/2 и учесть (44), то найдём
2
2
2
2
12
336ln2= aCa
B
lC +−−− . (45)
Подставим (45) в (42). В результате получим первое из искомых уравнений
+
+
−
+−
2
2
2
22
22
12
)2(3arccos32212
aC
CaCaCa
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, вип. 2, 27-42
39
12
2
2
2
2
222
2
2=
336
2126
ln
B
l
aC
aCaCa
a
+
−++
+ . (46)
Из построения функции f следует, что f (x) = f (l – x). Поэтому проведем парамет-
ризацию функции f только на отрезке [0, l/2]. Положим
t
aCaCf cos
32
12
2
=
2
2
2
2 +
+− . (47)
Тогда из соотношений (38) имеем
++++− − tCtaCC
B
x 32sin12
4
= 2
2
212
−+
−+
+
2
2
2
2
22
2
2
2
sin12
cos
3
sin2123
ln
ataC
tatCaC
a . (48)
Из формул (44) и (47) следует, что t = 0 при x = l/2. Из условия f (0) = 0 и фор-
мулы (47) следует, что 12
2
2
2 =
12
)2(3arccos= t
aC
Cat
+
− при x = 0. Следовательно, фор-
мулы (47), (48) определяют параметрически заданную функцию f переменной x.
Параметр t при этом изменяется на отрезке ][0, 1t . Используя формулы (25), (28),
(47), можно записать параметрические представления функций S и y на отрезке
[0, l/2]
[ ]1
2
2
2
2
12 ,0,cos
32
12
2
= ttt
aCa
CBS ∈
+
++ , (49)
[ ]11/22
2
2
2
2
2
22
2
22
22
12
1
2 ,0,
cos
3
122
cos
12
12cos
3
12
4= tt
taCC
taCt
aCCac
By ∈
+
+
+
+
+
+−
λ
λ . (50)
При этом x определяется формулой (48). Если использовать параметрическое за-
дание функций S и y посредством (48), (49), (50), то изопериметрические условия
(18), (20) после интегрирования и соответствующих преобразований можно при-
вести к виду
Петро Доманский
Оптимизация по двум мерам формы упругих тел в задачах устойчивости
40
+
+
−
++
λ
λ
2
2
2
22
2
2
2
1
3/2
122
12
)2(3arccos)128(33
16 aC
CaCCaaB
1=
336
2126
ln)34(212)6(7
2
2
2
2
222
2
2
2
2
222
+
−++
−+−++
aC
aCaCa
CaaaCaCa ,(51)
+−++
+
−
++ 2
2222
2
2
22
2
2
2
3/2
12 212)23(
12
)2(3arccos)124(3
8
aCaCa
aC
CaCCaaB
*
2
2
2
2
2222
2 =
336
2126
ln2 V
aC
aCaCa
a
+
−++
+ . (52)
Из функционала (21) получим формулу для оптимального значения опт.
0N сило-
вого нагружения
+
+
−
++
λ
λµ+λ
2
2
2
22
2
2
2
1
2
5/2
122опт.
0
12
)2(3arccos)128(33
16
)2(=
aC
CaCCaaBaN
+
−++
−+−++
2
2
2
2
222
2
2
2
2
222
336
2126
ln)34(212)6(7
aC
aCaCa
CaaaCaCa . (53)
Подставим (51) в (53). В результате получим
122
опт.
0 )2(= BaN µ+λ . (54)
Уравнения (46), (52) следует рассматривать как исходные для определения неиз-
вестных C и 12B при заданных геометрических характеристиках l и *V . Заметим,
что π1/4=2a . Подставляя найденные из этих уравнений указанные неизвестные
в формулы (48), (49), получим параметрическое представление оптимальной площа-
ди поперечного сечения, а из соотношения (54) — численное значение опт.
0N .
Числовые расчеты проводились на ПК для l = 10, 20, …, 100, lV π=* .
При этом определялись величины: C, 12B , 12 λλ , кр.
0
опт.
0= NNk . Значения
кр.
0N находились из формулы (34). Приведем некоторые полученные данные:
при l = 20: C = 6,476804, 0,567491=12B , k = 1,3306;
при l = 60: C = 58,079285, 0,189854=12B , k = 1,3330;
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, вип. 2, 27-42
41
при l = 100: C = 161,284196, 0,113946=12B , k = 1,3332.
Расчеты показали, что за счет выбора оптимальной формы можно на 33 %
повысить критическое значение параметра нагружения по сравнению со стерж-
нем постоянного поперечного сечения при тех же значениях высоты и объёма.
Литература
[1] Баничук Н. В. Введение в оптимизацию конструкций. — М.: Наука, 1986. — 302 с.
[2] Баничук Н. В. Оптимизация форм упругих тел. — М.: Наука, 1980. — 255 с.
[3] Бурак Я. И., Доманский П. П., Ардан Р. В. Устойчивость по двум мерам сжатых
осевыми силами упругих цилиндрических тел // Прикладная механика. — 2000. —
Т. 36, № 8. — С. 79-86.
[4] Доманський П. П. Дослідження стійкості руху за двома мірами пружних цилiнд-
ричних тiл // Мат. методи та фіз.-мех. поля. — 1998. — Т. 41, № 3. — С. 29-36.
[5] Доманський П. П. Метод розкладу за тензорними функцiями в побудовi рiвнянь
стiйкостi руху пружних цилiндричних тiл // Доп. НАН України. — 1997. — № 6. —
С. 53-59.
[6] Доманський П. П. Про умови стійкості руху за двома мірами пружних тіл в лінеа-
ризованому формулюванні задачі // Вісник Львівського ун-ту. Сер. мех.-матем. —
1998. — Вип. 51. — С. 42-54.
[7] Доманський П. П. Рівняння стійкості руху циліндричних тіл із матеріалу Мурна-
гана // Вісник Львівського ун-ту. Сер. мех.-матем. — 1999. — Вип. 54. — С. 51-63.
[8] Луръе А. И. Нелинейная теория упругости. — М.: Наука, 1980. — 512 с.
[9] Мовчан А. А. Устойчивость процессов по двум метрикам // Прикл. мат. и мех. —
1960. — Т. 29. — С. 3-20.
[10] Николаи Е. Л. Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонн // Изв. Пе-
терб. политех. ин-та. — 1907. — Т. 8, вып. 1. — С. 255-288.
[11] Ольхофф Н. Оптимальное проектирование конструкций. — М.: Мир, 1981. — 277 с.
[12] Сиразетдинов Т. К. Устойчивость систем с распределёнными параметрами. —
Новосибирск: Наука, 1987. — 153 с.
[13] Троицкий В. А., Петухов Л. В. Оптимизация формы упругих тел. — М.: Наука,
1982. — 432 с.
[14] Clausen T. Uber die form architektonischer Säulen // Bull. St.-Petersbourg, Acad. Sci.
Phys.-Math. Cl. — 1851. — Vol. 9. — P. 369-380.
[15] Lagrange J.-L. Sur la figure des colonnes // In: Ouvres de Lagrange (Publ. de M. J.-A.:
Serret). — Vol. 2. — Paris: Gauthier-Villars, 1868. — P. 125-170.
[16] Tadibakhsh I., Keller J. B. Strongest columns and isoperimetric inequalities for eigen-
values. // Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. — 1962. — Vol. 29, № 1. — P. 159-164.
Оптимізація за двома мірами
форми пружних тіл у задачах стійкості
Петро Доманський
Запропоновано постановку і методику розв’язування задачі оптимізації критичних значень
параметрів стійкості пружних тіл за двома мірами шляхом належного вибору форми. Для
дослідження стійкості використовують аналог прямого методу Ляпунова для систем із
розподіленими параметрами. Отримані результати застосовуються для вивчення стій-
Петро Доманский
Оптимизация по двум мерам формы упругих тел в задачах устойчивости
42
кості стержнів змінного поперечного перерізу, навантажених осьовими силами стиску.
Задачу оптимізації зведено до пошуку максимуму за параметрами форми поперечного
перерізу від мінімуму за фазовими змінними деякого неадитивного функціоналу. Роз-
в’язування цієї задачі здійснюють методами варіаційного числення. Знайдено оптимальні
форми для випадку шарнірного опирання кінців стержня. Показано, що вибором форми
стержня можна істотно підвищити критичні значення осьового навантаження.
Two-Measure Optimization
of the Elastic Body Form in Stiffness Problems
Petro Domans’kyj
A two-measure formulation and solution method for problems of elastic bodies geometry
optimization with respect to their stiffness are suggested. The analogue of the Lyapunov direct
method for systems with distributed parameters is applied. The obtained results are illustrated on
on rods with varying cross sections which are affected by axial compressing forces. The
optimization problem is reduced to a minimax problem for some non-additive functional. To solve
this problem the variational calculus methods are applied. Optimal geometry for the pin-ended
rod is obtained. It is shown that the critical loading can be substantially increased choosing the
optimal rod cross-section geometry.
Отримано 25.07.05
|