Гетерогенний підхід до моделювання процесу теплоперенесення в багатошарових конструкціях із врахуванням малих товщин окремих шарів
У роботі на основі варіаційного підходу побудовано математичну модель нестаціонарного процесу теплоперенесення у середовищах з тонкими покриттями та включеннями. Для врахування малих товщин окремих шарів використано гетерогенний підхід, який передбачає пониження вимірності ключових рівнянь математич...
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2005
|
| Назва видання: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20962 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Гетерогенний підхід до моделювання процесу теплоперенесення в багатошарових конструкціях із врахуванням малих товщин окремих шарів / Л. Дяконюк, Я. Савула // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2005. — Вип. 1. — С. 59-68. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-20962 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-209622011-06-14T12:11:01Z Гетерогенний підхід до моделювання процесу теплоперенесення в багатошарових конструкціях із врахуванням малих товщин окремих шарів Дяконюк, Л. Савула, Я. У роботі на основі варіаційного підходу побудовано математичну модель нестаціонарного процесу теплоперенесення у середовищах з тонкими покриттями та включеннями. Для врахування малих товщин окремих шарів використано гетерогенний підхід, який передбачає пониження вимірності ключових рівнянь математичної моделі в областях тонких включень. Сформульовані варіаційна задача та теорема про існування та єдиність її розв’язку. Розроблена числова схема дослідження описаних задач, яка базується на напіваналітичному методі скінченних елементів для дискретизації варіаційної задачі за просторовими змінними та різницевою схемою Кранка-Ніколсона для дискретизації за часом. Сформульовані теореми про існування, єдиність та швидкість збіжності числового розв’язку. Наведено приклад стаціонарного процесу в тришаровій параболічній області. In present work the mathematical model of non-stationary heat transfer in environments with thin coverings and inclusions is constructed on the basis of the variational approach. For modeling of small thickness of separate layers the heterogeneous approach is used which provides dimensional reduction of key equations of the mathematical model in the regions of thin inclusions.The numerical method for the above-mentioned class of problems based on semianalitical Finite Element Method for the space-variable discretization and Finite Difference Method for time discretization, has been developed. The theorems of existence, uniqueness and speed of convergence of the numerical decision are formulated.The example of research of stationary process of heat transfer in a parabolic area with three layers is presented. В работе на основании вариационного похода построена математическая модель нестационарного процесса теплопереноса в средах с тонкими покрытиями и включениями. Для учета малых толщин отдельных слоев использован гетерогенный подход, который предусматривает снижения размерности уравнений математической модели в областях тонких включений. Сформулированы вариационная задача и теорема о существовании и единственности ее решения.Разработана числовая схема решения исследуемых задач, базирующаяся на полуаналитическом методе конечных элементов для дискретизации вариационной задачи по пространственных переменных и разностной схеме Кранка-Николсона для дискретизации по времени. Сформулированы теоремы о существовании, единственности и скорости сходимости числового решения. Приведен пример исследования стационарного процесса теплопроводности в трехслойной параболической области. 2005 Article Гетерогенний підхід до моделювання процесу теплоперенесення в багатошарових конструкціях із врахуванням малих товщин окремих шарів / Л. Дяконюк, Я. Савула // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2005. — Вип. 1. — С. 59-68. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20962 517.958:519.6 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
У роботі на основі варіаційного підходу побудовано математичну модель нестаціонарного процесу теплоперенесення у середовищах з тонкими покриттями та включеннями. Для врахування малих товщин окремих шарів використано гетерогенний підхід, який передбачає пониження вимірності ключових рівнянь математичної моделі в областях тонких включень. Сформульовані варіаційна задача та теорема про існування та єдиність її розв’язку. Розроблена числова схема дослідження описаних задач, яка базується на напіваналітичному методі скінченних елементів для дискретизації варіаційної задачі за просторовими змінними та різницевою схемою Кранка-Ніколсона для дискретизації за часом. Сформульовані теореми про існування, єдиність та швидкість збіжності числового розв’язку. Наведено приклад стаціонарного процесу в тришаровій параболічній області. |
| format |
Article |
| author |
Дяконюк, Л. Савула, Я. |
| spellingShingle |
Дяконюк, Л. Савула, Я. Гетерогенний підхід до моделювання процесу теплоперенесення в багатошарових конструкціях із врахуванням малих товщин окремих шарів Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| author_facet |
Дяконюк, Л. Савула, Я. |
| author_sort |
Дяконюк, Л. |
| title |
Гетерогенний підхід до моделювання процесу теплоперенесення в багатошарових конструкціях із врахуванням малих товщин окремих шарів |
| title_short |
Гетерогенний підхід до моделювання процесу теплоперенесення в багатошарових конструкціях із врахуванням малих товщин окремих шарів |
| title_full |
Гетерогенний підхід до моделювання процесу теплоперенесення в багатошарових конструкціях із врахуванням малих товщин окремих шарів |
| title_fullStr |
Гетерогенний підхід до моделювання процесу теплоперенесення в багатошарових конструкціях із врахуванням малих товщин окремих шарів |
| title_full_unstemmed |
Гетерогенний підхід до моделювання процесу теплоперенесення в багатошарових конструкціях із врахуванням малих товщин окремих шарів |
| title_sort |
гетерогенний підхід до моделювання процесу теплоперенесення в багатошарових конструкціях із врахуванням малих товщин окремих шарів |
| publisher |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20962 |
| citation_txt |
Гетерогенний підхід до моделювання процесу теплоперенесення в багатошарових конструкціях із врахуванням малих товщин окремих шарів / Л. Дяконюк, Я. Савула // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2005. — Вип. 1. — С. 59-68. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| work_keys_str_mv |
AT dâkonûkl geterogennijpídhíddomodelûvannâprocesuteploperenesennâvbagatošarovihkonstrukcíâhízvrahuvannâmmalihtovŝinokremihšarív AT savulaâ geterogennijpídhíddomodelûvannâprocesuteploperenesennâvbagatošarovihkonstrukcíâhízvrahuvannâmmalihtovŝinokremihšarív |
| first_indexed |
2025-07-02T21:30:17Z |
| last_indexed |
2025-07-02T21:30:17Z |
| _version_ |
1836572284314189824 |
| fulltext |
Гетерогенний підхід до моделювання процесу
теплоперенесення в багатошарових конструкціях
із врахуванням малих товщин окремих шарів
Лілія Дяконюк1, Ярема Савула2
1 к. ф.-м. н., асистент, кафедра прикладної математики Львівського національного університету імені Івана
Франка, вул. Університетська, 1, Львів
2 д. ф.-м. н., професор, кафедра прикладної математики Львівського національного університету імені Івана
Франка, вул. Університетська, 1, Львів, e-mail: savula@franko.lviv.ua
У роботі на основі варіаційного підходу побудовано математичну модель нестаціонарного
процесу теплоперенесення у середовищах з тонкими покриттями та включеннями. Для
врахування малих товщин окремих шарів використано гетерогенний підхід, який перед-
бачає пониження вимірності ключових рівнянь математичної моделі в областях тонких
включень. Сформульовані варіаційна задача і теорема про існування та єдиність її роз-
в’язку. Розроблена чисельна схема дослідження описаних задач, яка базується на напівана-
літичному методі скінченних елементів для дискретизації варіаційної задачі за прос-
торовими змінними та різницевою схемою Кранка-Ніколсона для дискретизації за часом.
Сформульовані теореми про існування, єдиність та швидкість збіжності числового роз-
в’язку. Наведено приклад стаціонарного процесу в тришаровій параболічній області.
Ключові слова: теплоперенесення, багатошарове середовище, варіаційне
формулювання, напіваналітичний метод скінченних елементів.
Вступ. У багатьох випадках структура середовищ, в яких відбуваються процеси
теплоперенесення, є неоднорідною. Якщо розміри неоднорідностей співмірні з
розмірами тіла, то закономірності процесів вивчають на основі розв’язків відпо-
відних крайових задач математичної фізики [3-5]. У випадку, коли один з харак-
терних розмірів включення є значно меншим від інших, виникають труднощі в
моделюванні та використанні відомих числових методів. Для подолання цієї
проблеми використовують різні підходи. Це, зокрема, моделі, запропоновані в
роботах [4, 5]. У даній роботі розвивається запропонований у публікаціях [1, 2]
альтернативний гетерогенний підхід, який передбачає пониження вимірності
ключових рівнянь математичної моделі в областях тонких включень.
1. Формулювання задачі
Дослідимо процес теплоперенесення у багатошаровому середовищі складної
форми, яке займає область , 1,iV V i n= =∪ , з різними фізичними характеристика-
ми кожного шару iV . Позначимо через 2J множину, утворену індексами j
областей jV , які відповідають тонким шарам. Множину, утворену рештою
УДК 517.958:519.6
59
Лілія Дяконюк, Ярема Савула
Гетерогенний підхід до моделювання процесу теплоперенесення...
60
індексів, позначимо через 3J ; { }2 3 1,J J n=∪ … . Границя кожної з областей iV
( 2 3i J J∈ ∪ ) складається з бічних iS та лицевих поверхонь iS + та iS − , які є
ліпшицевими. Приймаємо, що на границі контакту з зовнішнім середовищем
задано граничні умови третього роду, а у початковий момент часу 0τ = відомі
розподіли шуканих функцій.
Зазначимо, що таке формулювання дозволяє досліджувати процес тепло-
перенесення у шаруватих тілах з різноманітними фізико-геометричними харак-
теристиками. Зокрема, формулювання охоплює тіла з тонкими покриттями та
включеннями, шаруваті середовища, у яких усі шари мають малі товщини,
області без тонких включень тощо. Використання у формулюванні задач гранич-
них умов третього роду дозволяє також шляхом вибору коефіцієнтів у цій умові
досліджувати крайові задачі з умовами першого і другого родів. При цьому для
кожного з типів задач дослідження питань коректності вимагає окремого розгляду.
Віднесемо кожну з областей iV до деяких систем координат ( ) ( ) ( )( )1 2 3, ,i i iα α α ,
2 3i J J∈ ∪ . Тоді процес теплопровідності в області iV опишемо рівнянням
( ) , 1,i
i i i i i
Tc div gradT q i n∂
ρ = λ + =
∂τ
, (1)
де ic — питома теплоємність, iλ — коефіцієнт теплопровідності, iρ — густина
маси, iq — об’ємна густина теплових джерел, ( ) ( ) ( )( )1 2 3, , ,i i i
i iT T= α α α τ — функція
розподілу температури в області iV , τ — час, [ ]0,τ∈ Θ .
Задамо також такі граничні та початкові умови
( ) ( ) 0
i
i
i
i i i ci
S
T a T T ∂
−λ − − =
∂ν
, (2)
0
0i iT Tτ= = , (3)
де
-
1 1 для 1
, для 2 1
для
i
i
n n
S S , i ,
S S i ,n ;
S S , i n,+
=
= = −
=
∪
∪
( )iν — зовнішня нормаль до поверхні iS , ia — коефіцієнт теплообміну з сере-
довищем, температура якого
icT , 0
iT — розподіл температури в і-му шарі у по-
чатковий момент часу 0τ = .
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, Вип.1, 59-68
61
Зазначимо, що на границях контакту областей iV ( )1i ,n= задаються
умови ідеального теплового контакту.
Ієрархічну математичну модель процесу теплоперенесення у багатошаро-
вому середовищі будуємо на основі варіаційного підходу, використовуючи мате-
матичну модель тонкого шару jV [1, 2], серединна поверхня якого є jΩ , 2j J∈ .
При цьому вважаємо, що розподіл шуканої функції температури у довільному
поперечному перерізі шару відбувається за лінійним законом
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( )( )3
21 2 3 1 1 2 2 1 2
2
, , , , , , , ,
j
j j j j j j j j j
j
T t t j J
h
α
α α α τ = α α τ + α α τ ∈ , (4)
де jh — товщина j-го шару, ( ) ( ) ( )( )1 1 2, ,j j jt α α τ , ( ) ( ) ( )( )2 1 2, ,j j jt α α τ — шукані коефі-
цієнти розвинення.
Враховуючи це, математичну модель можна подати як наступну систему
диференціальних рівнянь різної вимірності за просторовими координатами
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
3
1 2
1 1 2
1 k k
k k
k k kk k k k
ll l l
H HT Tc
H H H=
∂ ∂∂ ρ = λ
∂τ ∂α∂α
∑ , 3k J∈ ; (5)
( )
2( ) ( )
( ) ( )1 2
1 26
j j
j j j
j j j j j
ht t
c h c k k
∂ ∂
ρ + ρ + =
∂τ ∂τ
3
( ) ( )2
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2
i
j j
j
jj j j j j
i i i i
Ah t
AA A
−
=
∂∂ = λ +
∂α ∂α
∑
( )
2 ( ) ( )
( ) ( )3 2
3( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 26
j j
j j ji
j iij j j j j
i i i
h A t
k k
AA A
−
−
∂∂ + λ − + ∂α ∂α
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
1 2 1 2 11 1 1 1 0,
2 2 2 2
j j j j jj j j jj j
n n
h h h h
k k q k k q q+ −
+ + + + − − − =
(6)
( )
2 ( ) ( )
( ) ( ) 1 2
1 26 3
j j
j jj j
j j j j
h ht t
c k k c
∂ ∂
ρ + + ρ =
∂τ ∂τ
( )
2 ( ) ( )2
( ) ( )3 1
3( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 26
j j
j j ji
j iij j j j j
i i i i
h A t
k k
AA A
−
−
=
∂∂= λ − + ∂α ∂α
∑
( ) ( )
( ) ( ) ( )3 2
1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2
1 1
2 23
j j
j j jj j ji
j nj j j j j
i i i
h h hA t
k k q
AA A
+−
∂∂ + λ + + + + ∂α ∂α
Лілія Дяконюк, Ярема Савула
Гетерогенний підхід до моделювання процесу теплоперенесення...
62
( ) ( ) ( ) ( )( )
21 2 2 2
4
1 1 0, ,
2 2
j j jj j j jj
n
j
h h
k k q t q j J
h
− λ
+ − − + − = ∈
(7)
де ( ) ( )
1 2,k kH H — коефіцієнти Ляме k -го шару; ( ) ( )
1 2,j jA A — коефіцієнти першої
квадратичної форми серединних поверхонь, а ( ) ( )
1 2,j jk k — коефіцієнти кривизни
тонкого j -го шару,
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
1 1 3 2 3 3
2
2
2 1 3 2 3 3 3
2
1 1 ,
2 1 1 ,
j
j
j
j
h
j j j j j j
j
h
h
j j j j j j j
j
j h
q q k k d
q q k k d
h
−
−
= + α + α α
= + α + α α α
∫
∫
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
3 3
3 3
, для ; , для
2 2
j j j j j jj j
n j n jj j
T h T h
q q+ −∂ ∂
= −λ α = = λ α = −
∂α ∂α
.
На границі з зовнішнім середовищем шукані функції повинні задовольня-
ти співвідношення
( ) ( ) 0
k
k
k
k k k ck
S
T a T T ∂
−λ − − =
∂ν
, 3k J∈ , (8)
( ) ( )
2( ) ( )2
( ) ( )1 2
3( ) ( ) ( ) ( )
1
1
6
j j
j j j j jj j
i iij j j j
i i i i i
h ht t
k k
A A −
=
λ λ∂ ∂
− + − ν =
∂α ∂α
∑
2
( ) ( ) ( )
11 2 ,
6
jj j j c
j j Г
h
a h t k t t
= + −
( ) ( )
2 ( ) ( )2
( ) ( ) 1 2
3( ) ( ) ( ) ( )
1
1
6 3
j j
j j j j jj j
i iij j j j
i i i i i
h ht t
k k
A A−
=
λ λ∂ ∂
− − + ν =
∂α ∂α
∑
2
( ) ( ) ( )
21 2 ,
6 3
j jj j j c
j Г
h h
a k t t t
= + −
2j J∈ (9)
та початкові умови
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )0
31 2 3 1 2 3, , ,0 , , , k k k k k k
k kT T k Jα α α = α α α ∈ , (10)
( ) ( ) ( ) ( )
2
0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 1 2 2 1 2 1, ,0 , ,0 ,
6
j jj j j j j j j j
j
h
h t k k t tα α + + α α =
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, Вип.1, 59-68
63
( ) ( ) ( ) ( )
2
0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
21 2 1 1 2 2 1 2 2, ,0 , ,0 , .
6 3
j j jj j j j j j j jh h
k k t t t j J+ α α + α α = ∈ (11)
Тут
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2
1 23 3 3 3 3
2 2
21 , 1 ,
j j
j j
h h
j j j j j j jc c
c c
jh h
t T k d t T k d
hΓ Γ
− −
= + α α = + α α α∫ ∫
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2
1 2 2 1
j j j j jk k kΓ = ν + ν ,
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
0 0
1 1 3 2 3 3
2
2
0 0
2 1 3 2 3 3 3
2
1 1 ,
2 1 1 ,
j
j
j
j
h
j j j j j j
j
h
h
j j j j j j j
j
j h
t T k k d
t T k k d
h
−
−
= + α + α α
= + α + α α α
∫
∫
де ( ) ( )j j
1 2 ,ν ν — координати нормалі до границі серединної поверхні тонкого
шару.
Для забезпечення однозначності розв’язку сформульованої задачі потрібно
врахувати ще умови контакту, які задають рівність температур та теплових
потоків на поверхнях контакту областей, тобто
1 ,
j j
j js s
T T+ ++=
( ) ( )
1
1 31
, для , 1 .
j j
j j
j jj j
s s
T T
j j J
+ +
+
+ +
∂ ∂
λ = λ + ∈
∂ν ∂ν
(12)
Якщо один або оба з контактуючих шарів є тонкими, то
( )( ) ( )
11 2
jj
j j
j ss
t t T ++ ++ = , для 2 3j J , j 1 J∈ + ∈ , (13)
( )( 1) ( 1)
1 2
j j
j j
j s s
T t t+ +
+ += − , для 3 2j J , j 1 J∈ + ∈ , (14)
( ) ( )( ) ( ) ( 1) ( 1)
1 2 1 2
j j
j j j j
s s
t t t t
+ +
+ ++ = − , для 2 2j J , j 1 J∈ + ∈ . (15)
Таким чином, для визначення невідомих шуканих функцій температури
ми отримали замкнену систему диференціальних рівнянь другого порядку (5)-(7)
та умови (8)-(15).
Лілія Дяконюк, Ярема Савула
Гетерогенний підхід до моделювання процесу теплоперенесення...
64
2. Варіаційне формулювання задачі
Потрібно знайти невідомі функції ( ) ( )( )1
2 2 3; 0, , k kT L W V k J∈ Θ ∈ ; ( ) ( )( );, 21
jj
j ttt =
( ) ( ) ( ) ( )( ) 2
1
2221 ,,0,, JjWLtt j
jj ∈ΘΩ∈ , які задовольняють наступні рівняння для
довільних функцій ( ) ( ) ( ) ( )1 1
2 21 2, , j j
k k ju W V u u W∈ ∈ Ω
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
3 2 3
, , ,k k j j k k
k j k
k J j J k J
A T u a t u M T u
∈ ∈ ∈
′+ + +∑ ∑ ∑
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 3 2
, , , ,j j k j j
j k
j J k J j J
m t u f u f u
∈ ∈ ∈
′+ = +∑ ∑ ∑ (16)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
3
0
1 2 3, , ,0 ,k k kk k
k k
k J
M T T u
∈
α α α − +∑
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2
1 2 0, ,0 , 0j j jj j j
j J
m t t u
∈
+ α α − =∑
та головні умови на границях контакту шарів.
Білінійні форми ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ), , , , , , ,k j k jk j k j
k j k jA T u a t u M T u m t u′′ та ліній-
ні форми ( )( ), k
kf u , ( ) ( )( ),j jf u у варіаційних рівняннях наведені в роботі [1].
3. Числовий алгоритм
Для розв’язування сформульованої варіаційної задачі використаємо алгоритм,
який базується на використанні напіваналітичного методу скінченних елементів
для апроксимацій за просторовими змінними та різницевої схеми Кранка-Нікол-
сона для дискретизації за часовою змінною.
Тому подамо шукані функції у вигляді таких розвинень
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 2 3 1 2 3
1 1
, , , ,
M N
k k k k k kh k
k ij j i
i j
T T
= =
α α α τ = τ ϕ α α ψ α∑∑ ,
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 2 1 1 2
1
, , , ,
N
j j j j jjh
ii
i
t t
=
α α τ = τ ϕ α α∑
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 1 2 2 1 2
1
, , , ,
N
j j j j jjh
ii
i
t t
=
α α τ = τ ϕ α α∑ (17)
де ( ) ( )( )1 2,k k
jϕ α α , ( ) ( )( )1 2,j j
iϕ α α — відомі базисні функції методу скінченних
елементів, а ( )( )3
k
iψ α на відрізку [ ]1,1− можна подати як
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, Вип.1, 59-68
65
( )1
1 ,
2
+ ξ
ψ ξ = ( )2
1 ,
2
− ξ
ψ ξ = ( ) ( ),1 ξΦ=ξψ −ii і = 3, 4,... , (18)
де ( ) ( )1
1
2 1
2i i
i P t dt
ξ
−
−
−
Φ ξ = ∫ , ( )iP t — поліноми Лежандра, N ,M — відповідно
кількість базисних функцій ( ) ( )( )1 2,k k
jϕ α α та ( )( )3
k
iψ α на одному скінченному
елементі, ξ — координата локального базису.
Враховуючи (17)-(18) у формулах (16), отримуємо дискретизовану за
просторовими змінними задачу
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
3 2 3 2
, , , ,k j k jk h j h k h j h
k j k j
k J j J k J j J
A T u a t u M T u m t u
∈ ∈ ∈ ∈
′ ′+ + + =∑ ∑ ∑ ∑
( )( ) ( ) ( )( )
3 2
, , ,k j j
k
k J j J
f u f u
∈ ∈
= +∑ ∑
( ) ( )( ) ( )( )
3
0
1 2, ,0 ,k k kk h
k k
k J
M T T u
∈
α α −∑ ( ) ( )( ) ( )( )
2
0
1 2, ,0 , 0j j jj h
j j
j J
m t t u
∈
+ α α − =∑ .(19)
При використанні зазначених напівдискретних апроксимацій побудовано енер-
гетичне рівняння
3 2 3 2
2 2 2 21 1
2 2
h h h h
k j k j
k J j J k J j J
d dT t T t
dt dt∈ ∈ ∈ ∈
+ + + =∑ ∑ ∑ ∑
( ) ( )
3 2
, , ,h j h
k k j
k J j J
f T f t
∈ ∈
= +∑ ∑ (20)
в якому застосована енергетична норма.
З рівняння (20) можна отримати такі апріорні оцінки напівдискретного
наближення шуканого розв’язку
( ) ( ) ( )
2 2 22
0
0 0
1t t
h h h
HH U U
T t T d T T d
C
+ τ τ ≤ + τ τ ≤∫ ∫
( ) ( )
2 22
0
0 0
,
t t
h
H HU
T T d f d≤ + τ τ ≤ τ τ∫ ∫ (21)
( ) ( ) ( )
22
0
0
h
t
ttT t e T e f d−α −τ−α≤ + τ τ∫ . (22)
Лілія Дяконюк, Ярема Савула
Гетерогенний підхід до моделювання процесу теплоперенесення...
66
Вони показують, що напівдискретні апроксимації { }hT утворюють обме-
жену множину в просторі ( ) ( )( ) ( )( )2 2; 0, ; 0,L L V L U∞ Θ Θ∩ .
Теорема 1. Сформульована варіаційна задача (16) має і до того ж єдиний
розв’язок ( ) ( )( ) ( )2 2; 0, ;(0, )hT L L V L U∞∈ Θ Θ∩ , який однозначно визначається
розвиненнями (17).
Тут U — простір функцій, які належать простору ( )1
2W V і які задоволь-
няють головні умови на границях контакту шарів.
Зазначимо, що доведення сформульованої теореми базується на підході,
запропонованому в роботі [3], та врахуванні теореми про властивості білінійних
форм, сформульованої та доведеної в статтях [1, 2].
Теорема 2. Нехай T — розв’язок варіаційної задачі, побудованої без вра-
хування малих товщин окремих шарів, 2 ,
2 2
S H HT H ∈ Ω× −
, ,M R
hT — чис-
ловий розв’язок варіаційної задачі ієрархічної моделі, в рівняннях якої
знехтувано членами порядку ( )1RO +γ , де 2max ,
2
j
j
h
k j J
γ = ∈
. Тоді
швидкість збіжності характеризується оцінкою
( )
min( ,2 )
2, 1
1 2 2 2 3 2 1
1
ˆ ˆ ˆ
2 1
p Sn
M R R R
ih S
i
H dT T C L T C C t
pM M
+
−
=
− ≤ + µ γ + µ
+
∑ ,(23)
де p — порядок апроксимації Гальоркіна, d — максимальний діаметр скінчен-
них елементів, H — товщина тіла.
Доведення теореми базується на використанні декомпозиції похибки,
властивостей апроксимацій Гальоркіна та властивостей білінійних форм в енер-
гетичній нормі оператора. Зауважимо, що застосування напівдискретизаційної
процедури Гальоркіна приводить до задачі Коші, яку розв’язуємо за допомогою
різницевого методу Кранка-Ніколсона. Для розв’язування системи лінійних
алгебраїчних рівнянь, що виникає в результаті застосування схеми, викорис-
товуємо метод Гауса для стрічкових матриць.
4. Приклад
Розглянемо стаціонарний процес теплоперенесення в двовимірній тришаровій
криволінійній області, серединна поверхня кожного шару якої є параболою,
еквідістантною до параболи 2cx у декартовій системі координат (x, y, z), [ ]0,1x∈ .
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, Вип.1, 59-68
67
Товщина кожного шару постійна і дорівнює 0,1 м. На зовнішній поверхні −
1S
підтримується стала температура 1cT = 10 K, а на поверхні +
3S — температура
зовнішнього середовища змінюється за законом Ньютона з коефіцієнтом
теплообміну 800 ( )ñìÊÄæ 2 ⋅⋅ та температурою зовнішнього середовища
2
)3(
113 CCTc +α= , де −=1C 90 K/м, =2C 100 К, а бічні поверхні теплоізольовані.
Коефіцієнти теплопровідності 1 і 3 шарів 750,009 ( )ñìÊÄæ ⋅⋅ , а другого —
1,119 ( )ñìÊÄæ ⋅⋅ .
На рис. 1 показано розподіл температури, отриманий в результаті числово-
го експерименту з 20 скінченними елементами з коефіцієнтом параболи 0,1c = .
Проводились порівняння числових розв’язків із значеннями температури в
тришаровій плоскій області з такими ж характеристиками матеріалу та крайо-
вими умовами. Результати відрізняються в межах обчислювальної похибки, що
відповідає очікуваним даним.
Висновки. У роботі побудовано математичну модель теплоперенесення у сере-
довищах з тонкими покриттями та включеннями. Для її побудови використано
гетерогенний підхід, який базується на варіаційному формулюванні і дозволяє
враховувати малі товщини тонких шарів та включень. Запропоновано числовий
алгоритм розв’язування сформульованої варіаційної задачі, який базується на
використанні апроксимацій напіваналітичного методу скінченних елементів та
різницевої схеми Кранка-Ніколсона.
Побудовано енергетичне рівняння та встановлено апріорні оцінки, а також
сформульовані теореми про існування, єдиність та швидкість збіжності числово-
го розв’язку. Наведені результати показують коректність запропонованої мате-
матичної моделі.
Література
[1] Дяконюк Л., Кухарський В., Савула Я. Математичне моделювання процесів теплопро-
відності у багатошарових середовищах із тонкими включеннями // Математичні
проблеми механіки неоднорідних структур. — Львів. — 2000. — Т. 1. — C. 212-
215.
Рис. 1. Розподіл температури у тришаровій параболічній області
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
0,3
0,2
0,1
0
h, м
м,1α
0-20 20-40 40-60 60-80 80-100
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Лілія Дяконюк, Ярема Савула
Гетерогенний підхід до моделювання процесу теплоперенесення...
68
[2] Дяконюк Л. М. Аналіз варіаційної задачі ієрархічної моделі пониженої вимірності
теплопровідності в багатошарових середовищах з тонкими включеннями // Во-
линський математичний вісник. — Вип. 8. — 2001. — С. 61-64.
[3] Ладыженска О. А. Краевые задачи математической физики. — М.: Наука, 1973. —
407 с.
[4] Підстригач Я. С. Вибрані праці. — К.: Наук. думка, 1995. — 459 с.
[5] Сергиенко И. В., Скопецкий В. В., Дейнека В. С. Математическое моделирование и
исследование процессов в неоднородных средах. — К.: Наук. думка, 1991. — 432 с.
Нeterogeneous Approach to Modeling of Process
of Heat Transfer in Multilayer Designs Considering
Small Thickness of Separate Layers
Liliya Dyakonuk, Yarema Savula
In present work the mathematical model of non-stationary heat transfer in environments with thin
coverings and inclusions is constructed on the basis of the variational approach. For modeling of
small thickness of separate layers the heterogeneous approach is used which provides dimensional
reduction of key equations of the mathematical model in the regions of thin inclusions. The nume-
rical method for the above-mentioned class of problems based on semianalitical Finite Element
Method for the space-variable discretization and Finite Difference Method for time discretization
has been developed. The theorems of existence, uniqueness and speed of convergence of the nume-
rical decision are formulated. The example of research of stationary process of heat transfer in a
parabolic area with three layers is presented.
Гетерогенный поход к моделированию процесса
теплопереноса в многослойных конструкциях с учетом
малых толщин отдельных слоев
Лилия Дяконюк, Ярема Савула
В работе на основании вариационного похода построена математическая модель неста-
ционарного процесса теплопереноса в средах с тонкими покрытиями и включениями. Для
учета малых толщин отдельных слоев использован гетерогенный подход, который преду-
сматривает снижения размерности уравнений математической модели в областях тон-
ких включений. Сформулированы вариационная задача и теорема о существовании и
единственности ее решения. Разработана числовая схема решения исследуемых задач,
базирующаяся на полуаналитическом методе конечных элементов для дискретизации ва-
риационной задачи по пространственных переменных и разностной схеме Кранка-Никол-
сона для дискретизации по времени. Сформулированы теоремы о существовании, единст-
венности и скорости сходимости числового решения. Приведен пример исследования ста-
ционарного процесса теплопроводности в трехслойной параболической области.
Отримано 28.01.05
|