Чебишовське наближення сумою многочлена і функції з одним нелінійним параметром
Розглядається чебишовське наближення сумою многочлена і функції з одним нелінійним параметром. Встановлено умову, за якої чебишовське наближення з найменшою абсолютною похибкою таким виразом існує й єдине. Наведено приклади таких виразів і класів функцій, для яких чебишовське наближення цими виразам...
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20963 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Чебишовське наближення сумою многочлена і функції з одним нелінійним параметром / П. Малачівський // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2005. — Вип. 1. — С. 132-143. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-20963 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-209632011-06-14T12:11:07Z Чебишовське наближення сумою многочлена і функції з одним нелінійним параметром Малачівський, П. Розглядається чебишовське наближення сумою многочлена і функції з одним нелінійним параметром. Встановлено умову, за якої чебишовське наближення з найменшою абсолютною похибкою таким виразом існує й єдине. Наведено приклади таких виразів і класів функцій, для яких чебишовське наближення цими виразами існує. Chebyshev approximation by sum of the polynomial and the function with one nonlinear parameter is considered. The necessary condition for existence and uniqueness of such approximation is established. Examples of such expressions and classes of functions, for which Chebyshev approximation exists, are given. Рассматривается чебышевское приближение суммой многочлена и функции c одним нелинейным параметром. Установлены условия, при которых существует и единственное чебышевское приближение с наименьшей абсолютной погрешностью. Приведены примеры таких выражений и классов функций, для которых чебышевское приближение существует. 2005 Article Чебишовське наближення сумою многочлена і функції з одним нелінійним параметром / П. Малачівський // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2005. — Вип. 1. — С. 132-143. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20963 518.5 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Розглядається чебишовське наближення сумою многочлена і функції з одним нелінійним параметром. Встановлено умову, за якої чебишовське наближення з найменшою абсолютною похибкою таким виразом існує й єдине. Наведено приклади таких виразів і класів функцій, для яких чебишовське наближення цими виразами існує. |
| format |
Article |
| author |
Малачівський, П. |
| spellingShingle |
Малачівський, П. Чебишовське наближення сумою многочлена і функції з одним нелінійним параметром Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| author_facet |
Малачівський, П. |
| author_sort |
Малачівський, П. |
| title |
Чебишовське наближення сумою многочлена і функції з одним нелінійним параметром |
| title_short |
Чебишовське наближення сумою многочлена і функції з одним нелінійним параметром |
| title_full |
Чебишовське наближення сумою многочлена і функції з одним нелінійним параметром |
| title_fullStr |
Чебишовське наближення сумою многочлена і функції з одним нелінійним параметром |
| title_full_unstemmed |
Чебишовське наближення сумою многочлена і функції з одним нелінійним параметром |
| title_sort |
чебишовське наближення сумою многочлена і функції з одним нелінійним параметром |
| publisher |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20963 |
| citation_txt |
Чебишовське наближення сумою многочлена і функції з одним нелінійним параметром / П. Малачівський // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2005. — Вип. 1. — С. 132-143. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| series |
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| work_keys_str_mv |
AT malačívsʹkijp čebišovsʹkenabližennâsumoûmnogočlenaífunkcíízodnimnelíníjnimparametrom |
| first_indexed |
2025-07-02T21:30:19Z |
| last_indexed |
2025-07-02T21:30:19Z |
| _version_ |
1836572286748983296 |
| fulltext |
Чебишовське наближення сумою многочлена
і функції з одним нелінійним параметром
Петро Малачівський
к. т. н., с. н. с., Центр математичного моделювання ІППММ НАН України, м. Львів, вул. Дж. Дудаєва, 15, Львів,
79005, e-mail: psmal@cmm.lviv.ua
Розглядається чебишовське наближення сумою многочлена і функції з одним нелінійним
параметром. Встановлено умову, за якої чебишовське наближення з найменшою абсолют-
ною похибкою таким виразом існує й єдине. Наведено приклади таких виразів і класів функ-
цій, для яких чебишовське наближення цими виразами існує.
Ключові слова: чебишовське (рівномірне) наближення, точки чебишовсь-
кого альтернансу, абсолютна похибка, характеристична властивість.
Вступ. Чебишовське наближення сумою многочлена і функції з одним нелі-
нійним параметром
( ) ( )∑
=
ϕ+=
n
i
i
in xpAxaxaV
0
;; , 0≠A , 21 ppp << , ...,2,1,0=n , (1)
де ( )xp;ϕ — функція з нелінійним параметром p , розглядалось у багатьох робо-
тах, зокрема, в [1-6]. Цей вираз не задовольняє умові Хаара і тому виникає питан-
ня існування та єдиності чебишовського наближення таким виразом. У зв’язку
з цим необхідно дослідити властивості чебишовського наближення виразом (1) і
визначити клас функцій, для якого воно існує.
1. Існування чебишовського наближення сумою многочлена і функції з од-
ним нелінійним параметром
Розглянемо вирази вигляду (1), в яких функція ( )xp;ϕ з нелінійним параметром
p має такі властивості:
1) функція ( )xp;ϕ неперервна на відрізку [ ]βα, разом з ( )1+n -ю похідною
( ) ( )[ ]βα∈ϕ + ,; 1nCxp ;
2) n -на похідна ( )( )xpn ;ϕ є строго монотонною функцією від x на відріз-
ку [ ]βα, при будь-яких ( )21, ppp∈ ;
УДК 518.5
132
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, Вип.1, 132-143
133
3) відношення ( )1+n -их похідних ( )xp;ϕ по x ( )( ) ( )( )1
1
2
1 ;; χϕχϕ ++ pp nn є
строго монотонною функцією від p для ( )21, ppp∈ та довільних [ ]βα∈χχ ,, 21 ,
21 χ≠χ .
При дослідженні існування рівномірного наближення виразом (1) викорис-
таємо властивість, що встановлюється теоремою.
Теорема 1. Нехай функції ( )xf і ( )xg неперервні і диференційовані на
[ ]βα, і похідна ( )xg′ не набуває нульового значення ( ) 0≠′ xg для [ ]βα∈ ,x .
Тоді для строго монотонних на відрізку [ ]βα, функцій ( )ξΨ
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )ygzg
yfzf
g
f
−
−
=
ξ′
ξ′
≡ξΨ (2)
значення ξ описується зростаючою функцією ( )zy,λ=ξ щодо y і z .
Доведення. Доведемо, що функція ( )zy,λ зростаюча відносно z у випадку
зростаючої ( )ξΨ .
Припустимо протилежне, що ( )zy,λ не зростаюча функція від аргументу
z . У цьому випадку для деякого ( )β∈ ,1 yz знайдеться таке ]( 1212 ,, zzzz >β∈ ,
що 21 ξ≥ξ , де [ )1, zy α∈ , ( )11 , zy∈ξ , ( )22 , zy∈ξ .
Оскільки за припущенням 21 ξ≥ξ і функція ( )ξΨ — зростаюча, то
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 0
2
2
1
1
21 ≥
−
−
−
−
−
=ξΨ−ξΨ
ygzg
yfzf
ygzg
yfzf .
Враховуючи строгу монотонність функції ( )xg ( ) [ ]( )βα∈≠ ,,0)( Cxgxg ,
цю нерівність запишемо у вигляді
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 01221 ≥−−−−− ygzgyfzfygzgyfzf . (3)
Після спрощення лівої частини нерівності (3) додамо до неї і віднімемо
добуток ( ) ( )11 zgzf і приведемо її до вигляду
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 0
12
12
1
1 ≥
−
−
−
−
−
zgzg
zfzf
ygzg
yfzf . (4)
Функції ( )xf і ( )xg задовольняють умову теореми Коші [7] про відношен-
ня приростів функцій, тому, застосувавши цю теорему до нерівності (4),
отримаємо
( ) ( ) 031 ≥ξΨ−ξΨ , (5)
де ( )11 , zy∈ξ , ( )213 , zz∈ξ , 21 zz < .
Петро Малачівський
Чебишовське наближення сумою многочлена і нелінійної функції від одного параметра
134
Оскільки 31 ξ<ξ , то остання нерівність справджується, якщо функція ( )ξΨ
— не зростаюча, а за припущенням вона є зростаючою.
Отже, отримане протиріччя доводить, що ( )zy,λ=ξ зростаюча функція
від z у випадку зростаючої ( )ξΨ .
Аналогічно можна показати справедливість теореми і в інших випадках.
Теорема доведена.
Умови існування найкращого рівномірного наближення виразом (1) для
функцій ( )xp;ϕ з нелінійним параметром p , які задовольняють вимогам 1-3,
визначаються теоремою.
Теорема 2. Нехай нелінійна функція ( )xp;ϕ задовольняє вимогам 1-3. Тоді
достатньою умовою існування рівномірного наближення виразом (1) для непе-
рервної функції ( )xf ( ) [ ]( )βα∈ ,Cxf з найменшою абсолютною похибкою на
відрізку [ ]βα, є справджування нерівностей
( ) ( ) ( )nnn WWW 210 <<< , (6)
де
( ) ( )
( )3211
4321
...,,,;
...,,,;
++
++=
nn
nnn
zzzfD
zzzfDW ; (7)
( ) ( )
( ) −=
++++−−
++++−
+++
12111
1211
11 ,...,,;
...,,,;...,,,;
kiiikk
kiiik
kiiik zzzSD
zzzUDzzzUD
( )
( ) ...,3,2,
...,,,;
...,,,;
111
11 =−
++−−
++− k
zzzSD
zzzUD
kiiikk
kiiik ; (8)
( ) ( ) ( )iiii zUzUzzUD −= ++ 221 ,; ; ( ) k
k zzS = ;
( ) ( ) ( )( )nnn rrW 211 ,min= ; ( ) ( ) ( )( )nnn rrW 212 ,max= ; (9)
( ) ( )
( )3211
4321
,...,,;
...,,,;lim
++
++
→ ϕ
ϕ
=
nn
nn
pp
n
i zzzD
zzzDr
i
, 2,1=i ;
{ } 4
1
+
=
n
iiz — довільні числа з відрізка [ ]βα, такі, що 1+< ii zz для .3,1 += ni
Доведення. Нехай неперервна функція ( )xf ( ) [ ]( )βα∈ ,Cxf задовольняє
умову теореми. Тоді за характеристичною властивістю [8] для існування рівно-
мірного наближення виразом (1) ( )xf з найменшою абсолютною похибкою на
відрізку [ ]βα, достатньо, щоб система рівнянь
( ) ( ) ( ) 4,1,1;
0
+=µ−=ϕ−−∑
=
njzpAzazf j
j
n
i
i
jij (10)
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, Вип.1, 132-143
135
мала єдиний розв’язок щодо невідомих параметрів ( )niai ,0= , A , p і похибки
µ , де kz — довільні числа з [ ]βα, такі, що 3,1,1 +=< + nkzz kk . Покажемо, що
у разі виконання умови (6) система рівнянь (10) має єдиний розв’язок.
Віднімаючи від ( )2+j -их рівнянь даної системи j −ті рівняння
( )2,1 += nj , виключимо невідомі 0a і µ
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 2,1,,, 22
1
2 +=−=ϕ−ϕ+− ++
=
+∑ njzfzfzpzpAzza jjjj
n
i
i
j
i
ji , (11)
або в позначеннях (8)
( ) ( ) ( ) 2,1,,;,;,; 2121
1
21 +==ϕ+ ++
=
+∑ njzzfDzzADzzsDa jjjj
n
i
jjii . (12)
З отриманої системи виключимо невідомі ( )niai ,1= і А, що входять лі-
нійно. Виключення параметрів ( )niai ,1= проводитимемо в порядку зростання
індекса таким чином. При 1=i з кожного рівняння системи (11) визначимо 1a , а
потім, попарно віднімаючи j -ті рівняння від ( )1+j -их, отримаємо систему
( ) ( )=ϕ+ +++
=
+++∑ 3212
2
3212 ,,,;,,,; jjjj
n
i
jjjjii zzzzDAzzzzsDa
( ) 1,1,,,,; 3212 +== +++ njzzzzfD jjjj (13)
щодо невідомих ( )niai ,2= , A і p . Таке виключення із системи невідомого 1a
допустиме, тому що коефіцієнти біля нього
( ) jjjj zzzzSD −= ++ 2211 ,; , 2,1 += nj ,
не набувають нульового значення. Для продовження в такий самий спосіб ви-
ключення решти параметрів ( )niai ,2= необхідно попередньо пересвідчитись,
що коефіцієнти біля них також відмінні від нуля. Справді, ці коефіцієнти біля
будь-яких довільних впорядкованих за зростанням чисел 4,1, += nizi з від-
різку [ ]βα, не дорівнюють нулю. Щоб пересвідчитись у цьому, послідовно для
1...,2,1 −= nk розглянемо вирази
( )
( )11
111
...,,,;
...,,,;
+++
++++
kjjjkk
kjjjkk
zzzSD
zzzSD
. (14)
Петро Малачівський
Чебишовське наближення сумою многочлена і нелінійної функції від одного параметра
136
Для k = 1 значення цього виразу дорівнює відношенню приростів функції
( ) 2
2 zzS = до приростів аргументів
( )
( ) jj
jj
jj
jj
zz
zz
zzSD
zzSD
−
−
=
+
+
+
+
2
22
2
211
221
,;
,;
.
За теоремою Лагранжа [7] про кінцеві прирости, значення цього відношен-
ня дорівнює значенню похідної функції ( ) 2
2 zzS = в деякій середній точці jζ
відрізка [ ] [ ]( )22 ,, ++ ∈ζ jjjjj zzzz .
Аналогічно, застосувавши теорему Лагранжа послідовно k раз, можна
пересвідчитись у справедливості рівності
( ) jjkjjjkk zzzSD ξ−ξ= ++++ 111,...,,; , (15)
де [ ]kjjj zz +∈ξ , . Оскільки степенева функція ( ) k
k zzS = та її похідні до k-го
порядку включно строго монотонні, то за теоремою 1 — 1+ξ<ξ jj . Звідси випли-
ває, що коефіцієнти при невідомих ( )niai ,2= в усіх рівняннях проміжних
систем, що отримуються в процесі їх виключення, відмінні від нуля і до того ж
додатні.
Отже, в запропонований спосіб із системи рівнянь (13) можна виключити
решта невідомих параметрів ( )niai ,2= . В результаті, щодо невідомих A і p ,
отримаємо систему рівнянь
( ) ( )
( ) ( )
=ϕ
=ϕ
++++
++++
32113211
43214321
...,,,;,...,,;
...,,,;...,,,;
nnnn
nnnn
zzzfDzzzDA
zzzfDzzzDA
. (16)
Дослідимо вільні члени рівнянь і коефіцієнти цієї системи біля невідо-
мого A . Для цього розглянемо вираз
( )
( )11
11
...,,,;
...,,,;
+++
+++
njjjnn
njjjn
zzzSD
zzzUD
. (17)
Аналогічно, як і у випадку (14), застосувавши теорему Лагранжа послідов-
но n разів, можна показати, що вираз (17) є розділеною різницею n -го порядку
функції ( )zU домноженою на !n на множині точок { } 1++
=
nj
jiiz . А тому він дорів-
нює n -ій похідній функції ( )zU у деякій середній точці jς відрізка [ ]1, ++njj zz
( )
( )
( )( )j
n
njjjnn
njjjn U
zzzSD
zzzUD
ς=
+++
+++
11
11
...,,,;
...,,,;
, (18)
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, Вип.1, 132-143
137
де [ ]., 1++∈ς njjj zz
Звідси випливає, що коефіцієнти біля невідомого A в системі (16) дорів-
нюють приросту n-ої похідної функції ( )xp;ϕ за аргументом x , яка за умовою
теореми строго монотонна. Отже, коефіцієнти при A в системі (16) не набувають
нульових значень. Тому система (16) матиме дійсний відмінний від нульового
розв’язок щодо невідомого A , якщо й вільні члени рівнянь (16) також не
набувають нульового значення. Згідно рівності (18) вільні члени рівнянь системи
(16) дорівнюють приростам n -ої похідної функції ( )xf , що наближається
( ) ( )( ) ( )( )j
n
j
n
njjjn ffzzzfD ξ−ξ= +++++ 1211 ...,,,; , 21,j = ; (19)
де [ ]1, ++∈ξ njjj zz .
Оскільки згідно з умовою (6)
( ) 0<nW , (20)
де значення ( )nW — визначається формулою (7), відношення приростів n -их
похідних наближуваної функції ( )xf додатне за умовою теореми, то відповідно
й самі прирости відмінні від нуля. Це означає, що вільні члени рівнянь системи
(16) також не набувають нульових значень. Поділивши перше рівняння системи
(16) на друге, отримаємо відносно p трансцендентне рівняння
( ) ( )n
n Wp =ω , (21)
де
( ) ( )
( )3211
43,21
...,,,;
...,,,;
++
++
ϕ
ϕ
=ω
nn
nn
n zzzD
zzzD
p .
Згідно (18) ліву частину рівняння (21) можна подати у вигляді
( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )12
23
;;
;;
τϕ−τϕ
τϕ−τϕ
=ω
pp
ppp nn
nn
n , (22)
де [ ]1, ++∈τ niii zz .
За умовою теореми n -на похідна ( )( )xpn ;ϕ є строго монотонною функ-
цією від x на відрізку [ ]βα, для будь-яких ( )21, ppp∈ , тому згідно теореми 1
справджуються співвідношення 321 τττ << . Тоді в лівій частині рівняння (21)
можна сформувати відношення розділених різниць приростів n-ої похідної функ-
ції ( )xp;ϕ . Для цього ліву частину рівняння (22) домножимо і поділимо на відпо-
відні різниці приростів аргументу ( ) ( )2312 τ−ττ−τ . Замінивши в (22) отримані
розділені різниці відповідними похідними в середніх точках, отримаємо
Петро Малачівський
Чебишовське наближення сумою многочлена і нелінійної функції від одного параметра
138
( )( ) ( )( ) ( )nnn WppK =ζϕζϕ ++
1
1
2
1 ;/; , (23)
де
( ) ( )1223 τ−ττ−τ=K , [ ]311 , +∈ζ nzz , [ ]422 , +∈ζ nzz .
Оскільки за умовою теореми відношення ( )1+n -их похідних ( )( )/; 2
1 χϕ + pn
( )( )1
1 ;/ χϕ + pn є строго монотонною функцією від p ( )21 ppp << для будь-яких
[ ]βα∈χχ ,, 21 , то з (23) випливає, що ліва частина рівняння (21) є строго
монотонною функцією від p для ( )21, ppp∈ . Ми отримали, що, для будь-яких
впорядкованих за зростанням чисел ( )4,1 += nizi з відрізка [ ]βα, , ліва частина
рівняння (21) для ( )21, ppp∈ набуває значення з інтервалу ( ) ( )( )nn WW 21 , , в якому
( )nW1 і ( )nW2 визначаються за формулами (9). Тому, у разі виконання умови (6),
рівняння (21) і відповідно система рівнянь (10) має єдиний дійсний розв’язок.
Збіжність ітераційної схеми Ремеза [8] вказує на існування найкращого рів-
номірного наближення для неперервних функцій ( )xf виразом (1) на відрізку
[ ]βα, у випадку виконання умови (6).
Отже, для неперервних функцій ( )xf , які задовольняють умові (6), існує
рівномірне наближення виразом (1) з найменшою абсолютною похибкою на від-
різку [ ]βα, . Теорема доведена.
Для знаходження значень параметрів рівномірного наближення виразом (1)
можна використовувати алгоритм Ремеза [8].
Варто зазначити, що умова (6) не є необхідною для існування найкращого
рівномірного наближення функції ( )xf з абсолютною похибкою виразом (1). Її
виконання необхідне лише в точках чебишовського альтернансу. У разі викорис-
тання алгоритму Ремеза для знаходження параметрів рівномірної апроксимації
виразом (1), умова (6) повинна справджуватися в усіх точках проміжних набли-
жень до точок альтернансу.
2. Приклади чебишовського наближення сумою многочлена і функцій з од-
ним нелінійним параметром
Розглянемо приклади чебишовського наближення сумою многочлена і функцій
( )xp;ϕ з одним нелінійним параметром, які задовольняють вимогам 1-3.
2.1. Наближення сумою многочлена й експоненти. Експонента ( ) =ϕ xp;
= ( )pxexp задовольняє вимогам 1-3 як для 0<p , так і 0>p . Згідно теореми 2
достатньою умовою [2] існування чебишовського наближення виразом (1) у
цьому разі є
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, Вип.1, 132-143
139
( ) ( )
( ) 0
,...,,;
,...,,;
3211
4321 >≡
++
++
nn
nnn
zzzfD
zzzfDW , ( ) ( )nn WW 0≠ , (24)
де
( ) ( )
( )32111
43211
0 ,...,,;
...,,,;
+++
+++=
nnn
nnnn
zzzSD
zzzSDW , (25)
а вирази ( )11 ...,,,; +++ kiiik zzzUD визначаються за формулою (8).
Умові (24) задовольняють, зокрема, функції ( )xf ( ) ( )[ ]( )βα∈ ,nCxf , відмін-
ні від поліному ( )1+n -го степеня, n-на похідна яких строго монотонна на [ ]βα, .
2.2. Наближення сумою многочлена і степеня. Степенева функція ( ) pxxp =ϕ ;
у разі 0≥x задовольняє умовам теореми 2 для будь-яких значеннях p відмінних
від 0, 1, ... n. Згідно теореми 2 достатньою умовою існування чебишовського
наближення виразом (1) для ( ) pxxp =ϕ ; з найменшою абсолютною похибкою на
відрізку [ ]βα, , де 0≥α , є справдження нерівностей
( ) ( )
( ) 0
,...,,;
,...,,;
3211
4321 >≡
++
++
nn
nnn
zzzfD
zzzfDW , (26)
( ) ( ) nrWW n
r
n ...,,1,0, =≠ , (27)
де
( ) ( )
( )
>
=
=
++
++ ;0якщо,
...,,,;
...,,,;
;0якщо,0
1
3211
4321
1
z
zzzLD
zzzLD
z
W
nrn
nrn
n
r ( ) ( )zzzL r
r ln= , (28)
а вирази ( )11 ...,,,; +++ kiiik zzzUD визначаються формулою (8).
Умовам (26), (27) задовольняють, зокрема, функції ( )xf ( ) ( )[ ]( )βα∈ ,nCxf ,
відмінні від
( )∑
=
+
n
i
ni
i xBxxb
0
ln (29)
і n-на похідна яких строго монотонна на [ ]βα, .
2.3. Наближення сумою многочлена і логарифма. Логарифмічна функція
( ) ( )xpxp +=ϕ ln; задовольняє умовам теореми 2, якщо для аргументу x і пара-
метра p справджується співвідношення α−>p . Для неперервної функції ( )xf
( ) [ ]( )βα∈ ,Cxf достатньою умовою існування [2] її рівномірного наближення
Петро Малачівський
Чебишовське наближення сумою многочлена і нелінійної функції від одного параметра
140
виразом (1) при ( ) ( )xpxp +=ϕ ln; з найменшою абсолютною похибкою на
відрізку [ ]βα, є
( ) ( )nn WW 20 << , (30)
де
( ) ( )
( )32111
43211
2 ...,,,;
...,,,;
+++
+++≡
nnn
nnnn
zzzSD
zzzSDW , (31)
а ( )nW та ( )11 ...,,,; +++ kiiik zzzUD визначаються відповідно формулами (7) та (8).
Умові існування рівномірного наближення (30) задовольняють, зокрема,
функції ( )xf ( ) ( )[ ]( )βα∈ + ,1nCxf , n-на й ( )1+n -ша похідні яких строго монотон-
ні. При цьому характер їх монотонності повинен бути протилежним: якщо одна з
них зростаюча, то друга має бути спадною, і навпаки.
2.4. Наближення сумою многочлена і функції х exp(px). Експоненційна
функція ( ) ( )pxxxp exp; =ϕ для 0≥x задовольняє вимогам 1-3, якщо аргумент x і
параметр p пов’язані співвідношенням 01>++ npx для [ ]βα∈ ,x і 0≠p при
0>n . У цьому разі [9, 10] достатньою умовою існування рівномірного
наближення виразом (1) при ( ) ( )pxxxp exp; =ϕ для неперервної функції ( )xf
( ) [ ]( )βα∈ ,Cxf з найменшою абсолютною похибкою на відрізку [ ]βα, є
виконання нерівностей (9)
( ) 0>nW і ( ) ( )nn WW 0≠ , (32)
де ( )nW0 і ( )nW визначаються відповідно формулами (25) та (7).
Достатній умові існування (32) рівномірного наближення виразом (1) при
( ) ( )pxxxp exp; =ϕ з найменшою абсолютною похибкою на відрізку [ ]βα, задо-
вольняють, зокрема, функції ( )xf ( ) ( )[ ]( )βα∈ ,nCxf , n-на похідна яких строго
монотонна на [ ]βα, , за винятком полінома ( )1+n -го степеня.
2.5. Наближення степенево-показниковими виразами. Степенево-показникова
функція ( ) pxxxp =ϕ ; задовольняє вимогам 1-3, якщо значення аргументу 1−> ex
і 0≠p для 2,1=n . У цьому разі достатньою умовою існування рівномірного
наближення неперервної функції ( )xf з найменшою абсолютною похибкою на
відрізку [ ]βα, сумою константи (лінійного виразу) і степенево-показникової
функції ( ) pxxxp =ϕ ; є виконання нерівностей [11]
( ) 0>nW , ( ) ( ) 1,0,0 =≠ rWW nn , (33)
де
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, Вип.1, 132-143
141
( ) ( )
( )3211
4321
0 ...,,,;
...,,,;
++
++=
nn
nnn
zzzLD
zzzLD
W , ( ) ( )zzzL ln= ,
а ( )nW і ( )11 ...,,,; +++ kiiik zzzUD визначаються відповідно формулами (7) та (8).
Умові (33) задовольняють, зокрема, функції ( )xf , n-на похідна яких строго
монотонна на [ ]βα, , за винятком функцій вигляду (29).
2.6. Наближення виразами з функцією похибки. Функція похибки
( ) ( )pxxp erf; =ϕ , де
( ) ( )∫ −
π
=
x
dttx
0
2exp2erf (34)
задовольняє вимогам 1-3 у разі p > 0 і 0≥x для 21,n = . Згідно теореми 2 для
розглядуваного випадку достатньою умовою існування рівномірного наближення
неперервної функції ( )xf сумою константи (лінійного виразу) і функції похибки
( ) ( )pxxp erf; =ϕ з найменшою абсолютною похибкою на відрізку [ ]βα, є вико-
нання нерівностей [12]
( ) ( )nn WW 00 << , (35)
де ( )nW0 і ( )nW визначаються відповідно формулами (25) та (7).
Умову (35) задовольняють, зокрема, функції ( )xf , n-на похідна яких моно-
тонно зростаюча на відрізку [ ]βα, , а ( )1+n -ша — спадаюча функція або
навпаки.
Вимогам 1-3 задовольняє також ще низка функцій ( )xp;ϕ , зокрема гіпер-
болічні синус sh(px) і косинус сh(px) за умови, що 0>p і 0≥x , доповнення до
функції похибок ( )pxerfc 0>p і 0≥x для 2,1=n , тому що n -ні похідні цих
функцій за вказаних обмежень строго монотонні по x, а відношення ( )1+n -их
похідних — строго монотонне по p.
3. Визначення параметрів чебишовського наближення сумою многочлена
та нелінійної функції
Якщо функції ( )xf і ( )xp;ϕ задовольняють умові теореми 2, а ( )4,1 += nizi —
точки чебишовського альтернансу, то параметри ( )niai ,0= і A рівномірного
наближення функції ( )xf виразом (1) з найменшою абсолютною похибкою
визначаються формулами:
( ) ( )32113211 ...,,,;...,,,; ++++ ϕ= nnnn zzzDzzzfDA ; (36)
Петро Малачівський
Чебишовське наближення сумою многочлена і нелінійної функції від одного параметра
142
( ) ( )[ −= +
+
221
221
...,,,;
...,,,;
1
kk
kkk
k zzzfD
zzzsD
a
( ) ( )
ϕ−− +
+=
+∑ 221
1
221 ...,,,;...,,,; kk
n
ki
kiki zzzDAzzzsDa nk ,1= ; (37)
( ) ( ) ( ) [ ]
ϕ+ϕ−+−+= ∑
=
),(),(
2
1
11
1
21210 zpzpAzzazfzfa
n
i
ii
i . (38)
Значення параметра p визначається як розв’язок рівняння (21). Способи
розв’язування цього рівняння залежать від функції ( )xp;ϕ . Зазначимо, що умови
існування рівномірного наближення функції ( )xf виразом (1) з найменшою
абсолютною похибкою для конкретних ( )xp;ϕ і способи обчислення параметра
p розглядаються в роботах [2, 9-12].
Висновки. Досліджено властивості чебишовського наближення (1) сумою мно-
гочлена і нелінійної функції, що задовольняє вимогам 1-3. Достатньою умовою
існування єдиного чебишовського наближення таким виразом з найменшою
абсолютною похибкою є справджування нерівностей (6). У разі виконання цих
умов параметри чебишовського наближення сумою многочлена і функції з одним
нелінійним параметром (1) визначаються формулами (36)-(38). Значення нелі-
нійного параметра знаходиться як розв’язок трансцендентного рівняння (21).
Література
[1] Бердышев В. И., Петрак Л. В. Аппроксимация функций, сжатие численной инфор-
мации, приложения. — Екатеринбург: УрО РАН, 1999. — 297 с.
[2] Попов Б. А., Малачивский П. С. Наилучшие чебышевские пpиближения суммой мно-
гочлена и нелинейных функций. — Львов, 1984. — 79 c. (Пpепp. / АН УССP, Физи-
ко-мех. ин-т им. В. Г. Карпенко, № 85).
[3] Попов Б. А., Теслер Г. С. Приближение функций для технических приложений. —
К.: Наук. думка, 1980. — 352 с.
[4] Dunham C. B. A Fortran program for discrete nonlinear Chebyshev approximation //
J. Comp. Appl. Math. — 1980. — Vol. 6, № 3. — P. 241-245.
[5] Dunham C. B . Chebyshev approximation by expontinential-polynomial sums // J. Comp.
Appl. Math. — 1979. — Vol. 5, № 1. — P. 53-57.
[6] Rice J. R. Approximation formulas for physical data // Pyrodunamics. — 1969. — Vol. 6,
№ 3/4. — P. 231-256.
[7] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников. — М.: Мир,
1977. — 831 с.
[8] Попов Б. А. Pавномерное приближение сплайнами. — К.: Наук.думка, 1989. — 272 с.
[9] Малачівський П. С., Пізюр Я. В. Найкраще рівномірне наближення експоненційним
виразом // Вісник ДУ “Львівська політехніка”. — Серія “Прикладна математика”. —
1999. — № 364. — С. 97-100.
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, Вип.1, 132-143
143
[10] Малачівський П. Рiвномiрне наближення сумою многочлена й експоненцiйної
функції // У зб.: Моделювання та інформаційні технології. — 2002. — Вип. 15. —
С. 95-103.
[11] Малачівський П. С., Яремчик С. Б. Рівномірне наближення степенево-показниковим
виразом // Вісник ДУ “Львівська політехніка”. — Серія “Прикладна математика”. —
1998. — № 337. — С. 353-356.
[12] Малачівський П. Рiвномiрна апроксимація сумою лінійного виразу й функції похи-
бок // У зб.: “Комп’ютерні технології друкарства”. — 2003. — № 10. — С. 83-88.
Chebyshev Approximation by Sum of the Polynomial
and the Function with one Nonlinear Parameter
Petro Malachivskyj
Chebyshev approximation by sum of the polynomial and the function with one nonlinear parame-
ter is considered. The necessary condition for existence and uniqueness of such approximation is
established. Examples of such expressions and classes of functions, for which Chebyshev approx-
imation exists, are given.
Чебышевское приближение суммой многочлена
и функции с одним нелинейным параметром
Петро Малачивский
Рассматривается чебышевское приближение суммой многочлена и функции c одним нели-
нейным параметром. Установлены условия, при которых существует и единственное
чебышевское приближение с наименьшей абсолютной погрешностью. Приведены примеры
таких выражений и классов функций, для которых чебышевское приближение существует.
Отримано 25.09.04
|