Mathematical Modelling in Thermomechanics of Elastic Shells by Iterative-Moment Approach

General approaches to mathematical modelling of thermomechanical processes in thin-walled elements of plate and shell type in a three-dimensional approximation are discussed. The energy balance equation, formulated in a three-dimensional statement by Lagrange approach on the extended space of parame...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2006
Автор:	Zozulyak, Y.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2006
Назва видання:	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20977
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Mathematical Modelling in Thermomechanics of Elastic Shells by Iterative-Moment Approach / Y. Zozulyak // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 91-102. — Бібліогр.: 11 назв. — англ.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-20977
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-209772011-06-14T12:11:33Z Mathematical Modelling in Thermomechanics of Elastic Shells by Iterative-Moment Approach Zozulyak, Y. General approaches to mathematical modelling of thermomechanical processes in thin-walled elements of plate and shell type in a three-dimensional approximation are discussed. The energy balance equation, formulated in a three-dimensional statement by Lagrange approach on the extended space of parameters of local state and a corresponding choice of the function of local situation is the basis for the construction of governing equations. In this connection the mechanic energy flow, in a general case, is given by a sum of additive components in which apart of traditional characteristics (stress tensor, velocity vector) the higher order characteristics of gradientality of deformation and inertial motion and corresponding to them tensor characteristics of force action are introduced iteratively. The set of governing equations enabling to account the effects of locally-gradient and high-speed deformations was constructed for determination of the phase space of parameters of local situation. The transition to a two-dimensional analogue in governing equations is realized by the averaged characteristics of the stressed-strained state using presentation of the sought-for values by means of the expansion by a tensor base. Обсуждаются общие подходы к математическому моделированию термомеханических процессов в тонкостенных элементах типа пластин и оболочек в трехмерном приближении. Исходным при построении определяющих соотношений является уравнение баланса энергии, сформулированное в трехмерной постановке за подходом Лагранжа на расширенном пространстве параметров локального состояния и соответственного выбора функций локальной ситуации. В этой связи поток механической энергии в общем случае представляется суммой аддитивных слагаемых, в которых наряду с традиционными характеристиками (тензором напряжений и вектором скорости) итерационным путем вводятся высшей степени характеристики градиентности деформирования и инерционного движения, а также соответствующие им тензорные характеристики силового воздействия. Для определенного на этом основании фазового пространства параметров локальной ситуации строится система определяющих соотношений, позволяющих учитывать эффекты локально-градиентного и высокоскоростного деформирования. Переход к двумерному аналогу в определяющих уравнениях реализуется посредством осредненных тензорных характеристик напряженно-деформированного состояния с использованием представления искомых величин разложением в ряды по тензорном базисе. Предлагается вариант выбора оптимального базиса разложения, позволяющий осуществлять наиболее адекватный переход от трехмерных краевых задач к их двумерным аналогам. Обговорюються загальні підходи до математичного моделювання термомеханічних процесів у тонкостінних елементах типу пластин і оболонок у тривимірному наближенні. Вихідним для побудови визначальних співвідношень є рівняння балансу енергії, сформульоване в тривимірній постановці за підходом Лагранжа на розширеному просторі параметрів локального стану та відповідного вибору функції локальної ситуації. У зв’язку з цим потік механічної енергії в загальному випадку подається сумою адитивних складових, в яких поруч з традиційними характеристиками (тензором напружень і вектором швидкості) ітераційним шляхом вводяться вищого порядку характеристики градієнтності деформування й інерційного руху та відповідні їм тензорні характеристики силової дії. Для встановленого на цій основі фазового простору параметрів локальної ситуації будується система визначальних співвідношень, які дозволяють враховувати ефекти локально-градієнтного і високошвидкісного деформування. Перехід до двовимірного аналогу у визначальних співвідношеннях здійснюється через осереднені характеристики напружено-деформованого стану, використовуючи розвинення шуканих величин у ряди за тензорною базою. Пропонується варіант вибору оптимальної бази розкладу, яка дозволяє здійснювати найадекватніший перехід від тривимірних крайових задач до їх двовимірних аналогів. 2006 Article Mathematical Modelling in Thermomechanics of Elastic Shells by Iterative-Moment Approach / Y. Zozulyak // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 91-102. — Бібліогр.: 11 назв. — англ. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20977 539.3 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	General approaches to mathematical modelling of thermomechanical processes in thin-walled elements of plate and shell type in a three-dimensional approximation are discussed. The energy balance equation, formulated in a three-dimensional statement by Lagrange approach on the extended space of parameters of local state and a corresponding choice of the function of local situation is the basis for the construction of governing equations. In this connection the mechanic energy flow, in a general case, is given by a sum of additive components in which apart of traditional characteristics (stress tensor, velocity vector) the higher order characteristics of gradientality of deformation and inertial motion and corresponding to them tensor characteristics of force action are introduced iteratively. The set of governing equations enabling to account the effects of locally-gradient and high-speed deformations was constructed for determination of the phase space of parameters of local situation. The transition to a two-dimensional analogue in governing equations is realized by the averaged characteristics of the stressed-strained state using presentation of the sought-for values by means of the expansion by a tensor base.
format	Article
author	Zozulyak, Y.
spellingShingle	Zozulyak, Y. Mathematical Modelling in Thermomechanics of Elastic Shells by Iterative-Moment Approach Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
author_facet	Zozulyak, Y.
author_sort	Zozulyak, Y.
title	Mathematical Modelling in Thermomechanics of Elastic Shells by Iterative-Moment Approach
title_short	Mathematical Modelling in Thermomechanics of Elastic Shells by Iterative-Moment Approach
title_full	Mathematical Modelling in Thermomechanics of Elastic Shells by Iterative-Moment Approach
title_fullStr	Mathematical Modelling in Thermomechanics of Elastic Shells by Iterative-Moment Approach
title_full_unstemmed	Mathematical Modelling in Thermomechanics of Elastic Shells by Iterative-Moment Approach
title_sort	mathematical modelling in thermomechanics of elastic shells by iterative-moment approach
publisher	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
publishDate	2006
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20977
citation_txt	Mathematical Modelling in Thermomechanics of Elastic Shells by Iterative-Moment Approach / Y. Zozulyak // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 91-102. — Бібліогр.: 11 назв. — англ.
series	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT zozulyaky mathematicalmodellinginthermomechanicsofelasticshellsbyiterativemomentapproach
first_indexed	2025-07-02T21:30:49Z
last_indexed	2025-07-02T21:30:49Z
_version_	1836572317755375616
fulltext	Mathematical Modelling in Thermomechanics of Elastic Shells by Iterative-Moment Approach Yuriy Zozulyak D. of ph.-m. sc., professor, Technical University of Koszalin, Sniadecki str., 2, Koszalin, 75-453, Poland; Pidstrygach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics of NASU, Naukova str., 3B, Lviv, 79060, e-mail: zoz@lew.tu.koszalin.pl General approaches to mathematical modelling of thermomechanical processes in thin-walled elements of plate and shell type in a three-dimensional approximation are discussed. The energy balance equation, formulated in a three-dimensional statement by Lagrange approach on the ex- tended space of parameters of local state and a corresponding choice of the function of local situ- ation is the basis for the construction of governing equations. In this connection the mechanic energy flow, in a general case, is given by a sum of additive components in which apart of tradi- tional characteristics (stress tensor, velocity vector) the higher order characteristics of gradienta- lity of deformation and inertial motion and corresponding to them tensor characteristics of force action are introduced iteratively. The set of governing equations enabling to account the effects of locally-gradient and high-speed deformations was constructed for determination of the phase spa- ce of parameters of local situation. The transition to a two-dimensional analogue in governing equations is realized by the averaged characteristics of the stressed-strained state using presenta- tion of the sought-for values by means of the expansion by a tensor base. Key words: elastic shells, thermomechanical processes, locally-gradient and high speed deformation, averaged tensor characteristics, optimal decomposition base. Introduction. Thin-walled elements of constructions of plate and shell types are wide- ly used in the engineering practice. It causes a great interest and the necessity of further development and improvement of calculational models describing their mechanical behavior. It was quite natural that Professor Yaroslav Burak paid attention to investi- gations in this direction in his many-sided scientific activity [1]. It is known that classical postulates of Kirchhoff -Love and Tymoshenko not al- ways sufficiently described the stressed-strained state of this type of elements of const- ruction. The development of calculational schemes in linear and nonlinear statements is shown in [2, 3]. The analysis of the main approaches to the construction of the solu- tions of the boundary value problems of the theory of shells using numerical-analytical methods in the classical and refined statements is proposed in [4]. The stable method of discrete orthogonalization and an effective algorithm of its realization enabling to ob- tain solutions with high accuracy were taken as the basis. As the transition from the three-dimensional statement of the problem to its two- dimensional analogue is the key problem for mathematical modelling, the method of ex- pansion of the sought-for values by the given system of basic functions is widely used. УДК 539.3 91 Yuriy Zozulyak Mathematical modelling in thermomechanics of elastic shells by iterative-moment approach 92 Though, as it was noted in the work [5], the convergence of solutions for boundary va- lue problems for a small number of iterations is not always sufficient. On the other hand, the model presentation in the shell thermomechanical behavior study which accounts the effects of high-speed and locally-gradient deformation deserves extension. It is of special importance for pulse loadings and for materials with the clearly expressed micro- structure that were investigated from other points of view in the works [6-8]. The idea of energetic approach to the construction of iterative models of the lo- cally-gradient dynamic thermoelasticity which on a thermodynamic level describes the local gradientality and inertia of a deformational form of motion was proposed by Ya. Burak and realized in [9, 10]. In this work the approach is used for the construction of initial equations for thermoelastic shells in a three-dimensional approximation. The equations in generali- zed variables using the expansion of the sought-for values by the tensor basis are writ- ten for the shells of variable thickness. The method of choice of the optimal base of expansion corresponding to the boundary-value problem in the three-dimensional state- ment is proposed. 1. Formulation of the problem Consider a shell with a variable thickness ( ) ( )( ) ( )( )212121 ,,,2 αα+αα=αα −+ hhh refer- red to a mixed orthogonal coordinate system γαα ,, 21 , where the coordinate lines 21,αα are the lines of the principal curvatures of the median (basic) surface ( )0Σ ; γ is a coordinate in the direction normal to ( )0Σ and ( )( ),, 21 αα=γ + h ( )( )21, αα−=γ − h — shell face smooth surfaces. The shell is considered as a three-dimensional solid, which at the initial moment of time oτ=τ corresponds to the Euclidian space domain ∗X . The law of the random point motion is given in the form ( ) urrr oo rrrr ++=τγαα γ,,, 21 , (1) where ( )ταα= ,, 21oo rr rr — radius-vector of the points of the median surface; γ γ ∋γ= oor rr , γ∋o r — basic orth in the direction to the normal to the median surface; ur — vector displacement. It’ll be assumed that vectors urr o rrr ,, are dimensionless i. e. nor- malized by some characteristic dimension and τ — normalized by some characteristic time. Assume the full energy balance equation for the element of the shell ∗⊂ XX , built on the basis of the arbitrary derived area ( )τ∂ cX of its median surface to be an initial one ( ) ( ) ( ) ∫∫∫ ττ∂τ +Σ⋅−= τ X E X E X dVwdJnEdV d d rr . (2) ISSN 1545-4567 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 3, 91-102 93 Here QEAsE wvfwJJTJ +⋅=+= rrrrr , , E — full energy density, T — absolute tempera- ture, sJ r — entropy flow, AJ r — mechanical energy flow, f — body force flow, τ∂ ∂ = uv r r — velocity vector, Qw — heat source strength density, nr — outer normal, ( )τ∂X — the surface of the derived area ( )τX . After the transition to the values ,, o E o E o o dV dVww dV dVEE == =⋅ o Eo Jn rr = o E d dJn Σ Σ ⋅ rr corresponding to the normalization by geometric characteristics of the initial configuration ( )oX τ , with account of the dependence of ( )( )×γ+γ+= 21 11 kkdVo c odd Σγ× equation (2) can be written in the form ( ) ( ) ( )( ) ( ) =Σγγ+γ+ τ ∫ ∫ τ∂ − + − c o X h h o ddkkE d d o c o 21 11 ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) c o X h h o E o A o so ddkkwJJT o c o Σγγ+γ+++⋅∇= ∫ ∫ τ∂ − + − 21 11 rrr . (3) Here γ∂ ∂ ∋+ α∂ ∂ ∋+ α∂ ∂ ∋=∇ γ oooo rrrr 2 2 1 1 ; 21, kk — main curvatures of the shell, c odΣ — area of a small element of the median surface of the shell. Index «o» indicates that ba- sic parameters are normalized relatively to the metric characteristics of the physically small subsystem at the initial moment of time. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) τ∂ ε∂ ⋅− τ∂ ∂ ⋅− τ∂ ∂ ⋅σ− τ∂ ∂ ⋅σ−= − − − Ti oi oj j oj Ti oi ooA P v PeuJ 1 12 1 ˆˆˆˆˆˆ rrr . (4) In a general case we’ll represent the mechanical energy flow AJ r by a sum of the follo- wing additive components in which along with the traditional characteristics (stress tensor, velocity vector) higher order tensor characteristics of the strain process and inertial motion are introduced as well as the corresponding characteristics of the force action. Here ( ) ( ) ( ) ( ) ( )mjnivvvveue oj j j i oj j i o i o i o ,1;,3,,,ˆˆ,ˆ 1 ==≡ τ∂ ∂ = τ∂ ∂ =ε⊗∇= − rrrrrr ; ( )1−∇ i o r is i –1 multiple diad product of operators o∇ r ; oσ̂ — Piola- Kirchhoff stress tensor; ( )2 ôjP — stress tensor components that characterize material dynamic deformation; ( )i ojP̂ — impulses corresponding to the gradient character of the deformational motion. Yuriy Zozulyak Mathematical modelling in thermomechanics of elastic shells by iterative-moment approach 94 By symbols « · » the operation of full scalar product and symbols «⊗ » the operation of tensor product are denoted. Indexes (i), (i – 1) refer to tensor functions valence. Indexes repetition denotes operation of summation, and «T» — transposed values. With account of the fact that in this model only processes of heat conduction are dissipative the energetic relation (3) in a local form can be presented in the form ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )⋅σ⋅∇+σ+ τ∂ ∂ ⋅σ⋅∇+σ+ τ∂ ∂ ⋅  − τ∂ ∂ = τ∂ ∂ + − ∫ + − 13 ˆˆˆˆˆ ~ i oo i o T o oooo h h oo evPsTL rrrr ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) + τ∂ ε∂ ⋅⋅∇++ τ∂ ε∂ ⋅⋅∇++ τ∂ ∂ ⋅ + Ti oji ojo i oj T o ooo Ti o PPPPe ˆˆˆˆˆˆˆ 13 1 2 1 rr ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ,dkk τ P τ e Tn on oj Tn on o γγ1γ1ε̂ˆˆ σ̂ 21 ++   ∂ ∂ ⋅+ ∂ ∂ ⋅+ (5) where ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,ˆ,11~ 2 121 τ∂ ∂ ⋅      τ∂ ∂ ⋅∇−⋅−=γγ+γ+= + − ∫ + − vPvPELdkkLL jj j ooo h h ooo rrrr ( ) ( ) ( ) ( ) ξ         +      τ∂ ∂ ++σ⋅∇+= ∫ τ τ + dfPPPP o ojoj j oooooo rrrr 2 1 2 1 ˆˆˆ — force impulse vector; ( )ooP r — initial value of this vector; os — entropy; τ∂ ∂ =ε o o êˆ — velocity deformation tensor. It proceeds from (5) that under conditions of the potential description of the local situation the function oL~ can be treated as a state function prescribed in the phase spa- ce of the state parameters ( ){ } ( ){ }i oo i ooo eevs εε ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,, r . Coupled parameters to basic ones are averaged respective by ( )( ),ˆˆ,, 3 ooooPT σ⋅∇+σ rr ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1` 3 11 1 ,,ˆˆ ++ ⋅∇+⋅∇+σ⋅∇+σ i oo i oooo i oo i o PPPP rrrrrrr which will be treated as generalized forces the concretization of which will depend in the iterative model on the manner of prescription of the vector of the shell random point displacements. We shall obtain the following equations of thermodynamic state ( ) ( ) ( ) ( ) ≡ ∂ ∂ −=ξ         +        τ∂ ∂ ++σ⋅∇+≡ ∫ τ τ + v LdfPPPP o ojo j j oooooo o r rrrr 2 1 2 1 ˆˆˆ ( ){ } ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ˆ ˆˆ, ˆ ˆˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,, 13 i o oi oo i o o o ooo i ojo i oooo e L e LeevsP ∂ ∂ =σ⋅∇+σ ∂ ∂ =σ⋅∇+σεε≡ +rrrr ISSN 1545-4567 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 3, 91-102 95 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ˆ ˆ, ˆ ˆ, ˆ ˆˆ, ˆ ˆˆ 13 1 2 1 m oj om ojn o on oi oj oi ojo i oj o o ooo LP e LLPPLPP ε∂ ∂ = ∂ ∂ =σ ε∂ ∂ =⋅∇+ ε∂ ∂ =⋅∇+ + rr (6) It should be noted that the prescription of the mechanic energy flow in the form (4) enables to account in the model both the influence of effects of the high-speed de- formation and the moment stresses in their interrelation. In the partial case for n = 2 only deformable form of motion is taken into account, in particular, for m = 1 its de- pendence on the velocity of deformation. For m = 0 we’ll get the iterative model of the gradient theory of elasticity. Putting n = 2, m = 0 in (4) we’ll get a classical model of nonlinear thermoelasti- city and the generalized equation of impulse conservation. 2. Equations of elastic shells in generalized variables Thus, if one represents displacement vector ur and the velocity vector vr by the follo- wing invariant approximations ( ) ( )( ) ( )( ),,ˆˆ, 1 τ⋅=τ+ γ − γ o l o l oo rurFrru rrrrr ( ) ( )( ) ( )( ) ( )NlrvrFrrv o l o l oo ,1,,ˆˆ, 1 =τ⋅=τ+ γ − γ rrrrr (7) and restricts oneself by the first component only in the expression (4), then for condi- tions of isothermal deformation relation (5) will have the form ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ).2,1(,ˆˆˆˆ~ 1 2 1 1 2 1 1 =⋅ τ∂ ∂ +⋅ τ∂ ∂ +⋅ τ∂ ∂ −= τ∂ ∂ + γ + γ+ + kQ e QeQvL l l l k l kl o l o (8) Here ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) =γγ+γ+⊗= + − −∫ + − 1 221 1 1 ˆ,11ˆˆ l k h h l o l o QdkkFPQ r ( ) ( ) ( ) ( )( ) ,11ˆˆ 21 1 γγ+γ+⊗σ= ∫ + − − − dkkF h h l o ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ,11 ˆ ˆˆ 21 1 1 2 γγ+γ+ γ∂ ∂ ⊗σ= ∫ + − − − + γ dkkFQ h h l o l ( ) ( ) ( ) ( ) .ˆˆ, ˆˆ 11 ollo kk l l k ueue γ + γ + ∋⊗=∋⊗ α∂ ∂ = rr A general form of the equations of thermodynamic state will be Yuriy Zozulyak Mathematical modelling in thermomechanics of elastic shells by iterative-moment approach 96 ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }( ),ˆ,ˆ,ˆˆ ˆ ~ ˆ 11 11 TlTl k ll ol ol o eevQ v LQ + γ +≡ ∂ ∂ −= ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }( ),ˆ,ˆ,ˆˆ ˆ ~ ˆ 111 21 1 2 TlTl k ll kl k ol k eevQ e LQ + γ ++ + + ≡ ∂ ∂ = ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }( ).ˆ,ˆ,ˆˆ ˆ ~ ˆ 111 21 1 2 TlTl k ll l ol eevQ e LQ + γ ++ γ+ γ + γ ≡ ∂ ∂ = (9) In order to determine the unknown functions ( )( )τ,ˆ o l ru r it is necessary to concent- rate the state function structure oL~ , to choose the system of basic functions ( )( )γ− o l rF r1ˆ , and to formulate the initial boundary conditions, which correspond to the initial ones for three-dimensional statement of the problem. In the partial case for a shell of constant thickness oh2 the set of equations of motion will be a set of N tensor equations ( ) ( ) ( ) ( )( )( )−++⊗σ+Φ+⋅∋−⋅∇ − + + γ + γγ + αα oo l o l ο lol o hkhkFQQ 21 11 2 1 2 11ˆˆˆˆˆ rr ( )( )( ) ( ) ∂τ ∂ =−−⊗σ− − − − γ l o oo l o QhkhkF 1 21 1 ˆ 11ˆˆ , (10) which within the accuracy of the approximate equation corresponds to the equation in the three-dimensional statement of the problem. Here ,ˆ,, ± γ ± γγγα σ⋅∋=σ ∂γ ∂ ∋=∇ ∂α ∂ ∋=∇ o o o o o k o ko rrrrrr ( ) ( )( )( ) ,11ˆˆ 21 1 γγ+γ+⊗=Φ − − ∫ dkkFf l h h o l o o o r index «± » denotes boundary values of the corresponding observables for oh±=γ . 3. Optimal basic functions Consider a functional [ ] ( ) ( ) +    +σ⋅∇⋅+θα+σσ−=σΠ ∫ dVFuIbu V rrrr ˆ)ˆ2ˆ:ˆ(:ˆ 2 1,ˆ ( ) ( ) ,ˆ Σ−⋅σ⋅+ ∫ Σ dpnu n rrr (11) ISSN 1545-4567 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 3, 91-102 97 the steady-state conditions of which are described by equations of linear thermoelasticity 0ˆ =+σ⋅∇ F r in ( )V ; ( ) 0 2 1ˆˆ:ˆ =∇+∇−θα+σ rrrr uuIb in ( )V ; 0ˆ =−⋅σ npn on ( )Σ . (12) Here ;0TT −=θ npr are surface forces; σ̂ is the stress tensor; ur is the displacement vector; b̂ is the tensor of elastic material pliability; α is the coefficient of linear ther- mal expansion; Î is the metric tensor; nr is the unit vector directed normally outside the surface ( )Σ ; ∇ r is the Hamilton operator in an actual configuration; the dot and co- lon denote, respectively, scalar product and double scalar product; 0T is the tempera- ture of the shell in its natural state; ( )V is the region occupied by the shell; ( )Σ is the shell surface. Let us present the components of stress tensor and displacement vector in the form ( ) ( )( ) ( )( ) ,,,, 2121 γϕαα=γαασ ij m ij m ij M (13) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )γψαα=γαα mimii Uu 2121 ,,, ( )Nmi ,0;3,1 == . (14) Here, according to the indices which repeat and are not taken in brackets, the summa- tion holds. Both moments ( ),, 21 ααij mM ( )21,ααimU and basic functions ( )γϕij m , ( )γψim are taken as the sought values, which allows to obtain an adequate mathematical model with a small quantity of terms in expansions. Making use of expansions (13), (14) and the formula of reintegration, the steady- state condition of functional (11) ( ) ( ) ( ) +       δ⋅+σ⋅∇−σδ    θα−σ−∇+∇∫ V dVuFIbuu rrrrrrr ˆˆ:ˆˆ:ˆ 2 1 ( ) ( ) ∫ Σ =Σδ⋅−⋅σ+ 0ˆ dupn n rrr is transformed into the form ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −∋∋δϕ+δϕ        θα−σ−∇+∇∫ ∫ Σ − + − ji ij m ij m ij m ij m h h MMIbuu rrrrrr 0 :ˆˆ:ˆ 2 1 ( ) ( ) } +Σγ∋δψ+δψ⋅+σ⋅∇− 01ˆ ddHUUF i imimimim rrr Yuriy Zozulyak Mathematical modelling in thermomechanics of elastic shells by iterative-moment approach 98 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +Σ      δψδΦ+δψδΦ+ ∫ Σ − −=α σ + =α σ −+ 033 0 33 ,, dHUHU h imim h imim ( ) ( ) ( ) ( ) ,0, 02 0 =ΓγδψδΦ+ ∫ ∫ Γ − σ + − ddHU h h imim where ( ) ( ) ( ) ;ˆ, i imimimimnimim UUpnU ∋δψ+δψ⋅−⋅σ=δψδΦσ vrr ( )( );11 211 γ+γ+= kkH ( ) ( ) ( )[ ] ;sincossincos21 2/122 2 22 1 22 2 2 12 χ+χγ+χ+χγ+= kkkkH ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 13 1111           ∂α ∂       ±+           ∂α ∂       ±+      ±      ±= ± ± − ± ± − ±±± hhkAhhkAhkhkH . )( 0Γ is a contour limiting )( 0Σ ; i i ∋∋ rr , are the covariant and countervariant basic vec- tor systems of coordinates γαα ,, 21 in an actual configuration; 21 , kk are principal curvatures of the surface ( )0Σ ; χ is the angle between the coordinate line 1α and con- tour ( )0Γ ; 21, AA are coefficients of the first quadratic form of the basic surface. From condition (15), we obtain equations ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,0222 =ϑ−−− ∂α ∂ + ∂α ∂ κωκωκω κ ωωκ ω κκω m kl sklmsks k ms s ms s ms MbUc U a U a ( ) ( ) ( ) ( ) ,022 3333 =−−+ ∂α ∂ κκ κ κ κ κ kl sklmsks k mssms s ms MbUcUdUa ,0333333 3 3 =ϑ−−− m kl sklmsks k mssms MbUcUd ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −+++ ∂α ∂ κ κ κ kj s i jkms ji sjmsi i smsi i si sm MpMgMeMa 3 ( ) ( ) ;0* =++− i m i m ji sjmsi fqMq (16) ( ) ( ) ( ) ( ) ,0222 =θ−ϕ−ψ−ψ+ψ κωκωκω ω κω κ ωκ m kl sklmsks k mssmssms BCAA ISSN 1545-4567 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 3, 91-102 99 ( ) ( ) ,022 33 3 3 3 =ϕ−ψ−ψ+ α ψ κκκκκ kl sklmsks k mssms s ms BCA d d D ,0333333 3 33 =θ−ϕ−ψ− α ψ m kl sklmsks k ms s ms BC d dD ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −ϕ+ϕ+ϕ+ α ϕ κ κ jk s i jkms ji sjmsi i smsi i si sm PGE d dD 3 3 ( ) ( ) 0* =++ϕ− i m i m ji sjmsi FQQ (17) and boundary conditions ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; i m ji sjmsi VhV ±±± =            ±ϕ (18) ( ) ( ) i m ji sjmsi vMv = on ( )0Γ . (19) Here Nsmlkji ,0,;2,1,;3,1,,, ==ωκ= and ( ) ( ) ( ) ( ) γψϕ= ∫ + − − κκ dHa si h h i m i ms 1 ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) γϕϕ= ∫ + − − dHbb ijkl kl s h h ij m ij klms 1 ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) γΓψϕ= ∫ + − − dHc k ijsk h h ij m ijk ms 1 ; ( ) ( ) ( ) ( ) γ α ψ ϕ= ∫ + − − dH d d d si h h i m i ms 13 3 ; ( ) ( ) ( ) ( ) γψ α ϕ = ∫ + − − dH d de mi h h i s ims 13 3 ; ( ) ( ) ( ) ( ) γψ= ∫ + − − dHFf mi h h ii m 1 ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) γΓψϕ= ∫ + − − dHg k kj h h mi ij sijms 1 ; jki sm i jkms cp = ; ( ) ( ) ijmsijmsijms qqq −+ += ; ; )()( i m i m i m qqq ∗ − ∗ + ∗ += ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;33 ± ±=α ± ±ψϕ= Hnq h jmi ij sijms ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;33 ± ±=α ± ∗ ±ψ= Hpq h i nmi i m Yuriy Zozulyak Mathematical modelling in thermomechanics of elastic shells by iterative-moment approach 100 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) γψϕ= ∫ + − − dHnv jmi h h ij sijms 2 ; ( ) ( ) ( ) ( ) ;2 γψ= ∫ + − − ∗ dHpv i n h h mi i m ( ) ( ) ( ) γϕαθ=ϑ ∫ + − − dHI h h ij mij ij m 1)( ; ( ) ( ) ( ) ( ) ;01 0 Σ ∂α ∂ = κ Σ κκ ∫ dH U MA sii m i ms ( ) ( ) ( ) ( ) ;01 0 Σ= ∫ Σ dHbMMB ijkl kl s ij m ij klms ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;01 0 ΣΓ= ∫ Σ dHUMC k ijsk ij m ijk ms ( ) ( ) ( ) ;01 3 0 Σ= ∫ Σ dHUMD si i m i ms ( ) ( ) ( ) ;01)( 0 Σ ∂α ∂ = ∫ Σ κ κ κ dHUME mi i s msi ( ) ( ) ( ) ;01 0 Σ= ∫ Σ dHUFF mi ii m ( ) ( ) ( ) ( ) ;01 0 ΣΓ= ∫ Σ dHUMG k kjmi ij sijms jki sm i jkms CP = ; ( ) ( ) ( ) ( ) ;02 0 Γ= ∫ Γ dHnUMQ jmi ij sijms ( ) ( ) ( ) ; 0 02∫ Γ ∗ Γ= dHpUQ i nmi i m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;03 0 Σ      ±ϕ=            ±ϕ ±± Σ ±±± ∫ dHnUhMhV jmi ji s ji s ji sjmsi ( ) ( ) ( ) ; 0 03 )( )( )( ∫ Σ ±± ∗ ± Σ= dHpUV i nmi i m ( ) ( ) ;01)( 0 Σαθ=θ ∫ Σ dHMI ij mij ij m ( ) ( );± ±=γ ± = hii nn ( ) ( );± ±=γ ± = h i n i n pp ijijkl Ib , are tensor components, respectively, Ib ˆ,ˆ ; k ijΓ are Christoffel’s symbols of the second kind; i i n i npF ,, are vector components, res- pectively, npF n rrr ,, . The system of equations (16), (17) and boundary conditions (18), (19) make it possible to find solutions to static problems of thermoelastic shells with variable thickness. The obtained boundary-value problem, (16-19), enables one to define all compo- nents of the stress tensor and consider boundary conditions of the face surfaces, which is particularly essential in regions of abrupt changes in load as well as geometrical and ISSN 1545-4567 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 3, 91-102 101 mechanical parameters of the shell. A solution of nonlinear system of equations (16-19) is proposed in [11]. Conclusions. General equations of iterative models of thermoelastic shells which take into account the effects of locally-gradient and high-speed deformations were obtained in the three-dimensional approximation. The method of choice of the optimal basis of expansion functions at the transition from the three-dimensional boundary-value prob- lems to their two-dimensional analogues. References [1] Burak Y. J. Selections. — Lviv: Spolom, 2001. — 352 p. (In Ukr.) [2] Donnell L., Beams H. Plates and shells. — McGRAW-Hill, 1976. — 358 p. [3] Woźniak C. Nieliniowa teoria powłok. — PWN, Warszawa, 1966. — 208 p. (In Pol.) [4] Grigorenko J. M. Some approaches to the numerical solution of linear and nonlinear problems of the theory of shells in a classical and refined statements // Prikladnaja me- chanika. — 1986. — Vol. 37, № 6. — P. 3-39. (In Rus.) [5] Rektorys K. Variational Methods in Mathematics, Science and Engineering. — Prague, 1980. — 204 p. [6] Majboroda V. P., Kravchuk A. S., Holin N. N. High-speed deformation of constructional materials. — M: Mashynostrojenie, 1986. — 264 p. (In Rus.) [7] Mindlin R. D. Micro-structure in linear elasticity // Archive of Rational Mechanics and Analysis. — 1964. — № 1. — P. 51-78. [8] Toupin R. A. Elastic materials with couple-stresses // Archive of Rational Mechanics and Analysis. — 1962. — № 11. — P. 385-414. [9] Burak Y. J. Governing equations of locally-gradient thermomechanics // DAN USSR. Ser. A. — 1987. — № 12. — P. 19-23 (In Rus.) [10] Burak Y. J., Zozulyak Y. D. Governing equations of inertial locally-gradient elastic sys- tems // Dop. NAN Ukraine. — 1993. — № 11. — P. 46-51. [11] Burak Y. J., Zozulyak Y. D., Hnativ Y. M. Application of the variational-moment appro- ach to the problems of the theory elasticity of the tick-walled elements of construction // DAN URSR. Ser. A. — 1990. — № 1. — P. 43-47 (In Ukr.) Математичне моделювання в термомеханіці пружних оболонок за ітераційно-моментним підходом Юрій Зозуляк Обговорюються загальні підходи до математичного моделювання термомеханічних проце- сів у тонкостінних елементах типу пластин і оболонок у тривимірному наближенні. Вихід- ним для побудови визначальних співвідношень є рівняння балансу енергії, сформульоване в тривимірній постановці за підходом Лагранжа на розширеному просторі параметрів ло- кального стану та відповідного вибору функції локальної ситуації. У зв’язку з цим потік механічної енергії в загальному випадку подається сумою адитивних складових, в яких поруч з традиційними характеристиками (тензором напружень і вектором швидкості) ітераційним шляхом вводяться вищого порядку характеристики градієнтності деформу- вання й інерційного руху та відповідні їм тензорні характеристики силової дії. Для встановленого на цій основі фазового простору параметрів локальної ситуації будується система Yuriy Zozulyak Mathematical modelling in thermomechanics of elastic shells by iterative-moment approach 102 визначальних співвідношень, які дозволяють враховувати ефекти локально-градієнтного і високошвидкісного деформування. Перехід до двовимірного аналогу у визначальних співвідношеннях здійснюється через осереднені характеристики напружено- деформованого стану, використовуючи розвинення шуканих величин у ряди за тензорною базою. Пропонується варіант вибору оптимальної бази розкладу, яка дозволяє здійснювати найадекватніший перехід від тривимірних крайових задач до їх двовимірних аналогів. Математическое моделирование в термомеханике упругих оболочек с помощью итерационно-моментного подхода Юрий Зозуляк Обсуждаются общие подходы к математическому моделированию термомеханических процессов в тонкостенных элементах типа пластин и оболочек в трехмерном приближе- нии. Исходным при построении определяющих соотношений является уравнение баланса энергии, сформулированное в трехмерной постановке за подходом Лагранжа на расши- ренном пространстве параметров локального состояния и соответственного выбора функций локальной ситуации. В этой связи поток механической энергии в общем случае представляется суммой аддитивных слагаемых, в которых наряду с традиционными харак- теристиками (тензором напряжений и вектором скорости) итерационным путем вводят- ся высшей степени характеристики градиентности деформирования и инерционного дви- жения, а также соответствующие им тензорные характеристики силового воздействия. Для определенного на этом основании фазового пространства параметров локальной ситуации строится система определяющих соотношений, позволяющих учитывать эффекты локально-градиентного и высокоскоростного деформирования. Переход к двумер- ному аналогу в определяющих уравнениях реализуется посредством осредненных тензорных характеристик напряженно-деформированного состояния с использованием представле- ния искомых величин разложением в ряды по тензорном базисе. Предлагается вариант вы- бора оптимального базиса разложения, позволяющий осуществлять наиболее адекватный переход от трехмерных краевых задач к их двумерным аналогам. Отримано 15.09.05

Mathematical Modelling in Thermomechanics of Elastic Shells by Iterative-Moment Approach

Репозитарії

Схожі ресурси