Некоторые волновые модели с активными и магнитомеханическими взаимодействиями

Рассматриваются обобщенные модели динамики сплошных сред, учитывающие активные взаимодействия и связанность полей и описывающие распространение возмущений с конечной скоростью. Сформулированы уравнения движения активной намагничиваемой магнитострикционной среды с активными взаимодействиями. Представ...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2006
Автор:	Селезов, И.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2006
Назва видання:	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20978
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Некоторые волновые модели с активными и магнитомеханическими взаимодействиями / И. Селезов // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 159-166. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-20978
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-209782011-06-14T12:11:28Z Некоторые волновые модели с активными и магнитомеханическими взаимодействиями Селезов, И. Рассматриваются обобщенные модели динамики сплошных сред, учитывающие активные взаимодействия и связанность полей и описывающие распространение возмущений с конечной скоростью. Сформулированы уравнения движения активной намагничиваемой магнитострикционной среды с активными взаимодействиями. Представлена новая обобщенная модель феррогидродинамики, включающая гиперболическое уравнение для потенциала скоростей φ, гиперболическое уравнение для температуры t и эллиптическое уравнение для потенциала магнитного поля ψ. Extended models of the dynamics of continuous media taking into account active interactions and field connectness and describing disturbance propagation with a finite velocity are considered. The equations of motion of magnetizable magnetostrictive medium with active interactions are presented. A new extended model of ferrohydrodynamics including the hyperbolic equation for the velocity potential φ, hyperbolic equation for the temperature t and elliptic equation for the potential of magnetic field ψ are presented and analyzed. Розглядаються узагальнені моделі динаміки суцільних середовищ, які враховують активні взаємодії та зв’язаність полів і описують розповсюдження збурень зі скінченною швидкістю. Сформульовано рівняння руху намагніченого магнітострикційного середовища з активними взаємодіями. Приведено нову узагальнену модель ферогідродинаміки, яка включає гіперболічне рівняння для потенціалу швидкостей φ, гіперболічне рівняння для температури t й еліптичне рівняння для потенціалу магнітного поля ψ. 2006 Article Некоторые волновые модели с активными и магнитомеханическими взаимодействиями / И. Селезов // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 159-166. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20978 539.3 ru Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Рассматриваются обобщенные модели динамики сплошных сред, учитывающие активные взаимодействия и связанность полей и описывающие распространение возмущений с конечной скоростью. Сформулированы уравнения движения активной намагничиваемой магнитострикционной среды с активными взаимодействиями. Представлена новая обобщенная модель феррогидродинамики, включающая гиперболическое уравнение для потенциала скоростей φ, гиперболическое уравнение для температуры t и эллиптическое уравнение для потенциала магнитного поля ψ.
format	Article
author	Селезов, И.
spellingShingle	Селезов, И. Некоторые волновые модели с активными и магнитомеханическими взаимодействиями Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
author_facet	Селезов, И.
author_sort	Селезов, И.
title	Некоторые волновые модели с активными и магнитомеханическими взаимодействиями
title_short	Некоторые волновые модели с активными и магнитомеханическими взаимодействиями
title_full	Некоторые волновые модели с активными и магнитомеханическими взаимодействиями
title_fullStr	Некоторые волновые модели с активными и магнитомеханическими взаимодействиями
title_full_unstemmed	Некоторые волновые модели с активными и магнитомеханическими взаимодействиями
title_sort	некоторые волновые модели с активными и магнитомеханическими взаимодействиями
publisher	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
publishDate	2006
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20978
citation_txt	Некоторые волновые модели с активными и магнитомеханическими взаимодействиями / И. Селезов // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 159-166. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.
series	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT selezovi nekotoryevolnovyemodelisaktivnymiimagnitomehaničeskimivzaimodejstviâmi
first_indexed	2025-07-02T21:30:51Z
last_indexed	2025-07-02T21:30:51Z
_version_	1836572320055951360
fulltext	Некоторые волновые модели с активными и магнитомеханическими взаимодействиями Игорь Селезов Д. ф.-м. н., профессор, Институт гидромеханики НАН Украины, ул. Желябова, 8/4, Киев, 03680, е-mail: selezov@uninet.kiev.ua Рассматриваются обобщенные модели динамики сплошных сред, учитывающие активные взаимодействия и связанность полей и описывающие распространение возмущений с конечной скоростью. Сформулированы уравнения движения активной намагничиваемой магнито- стрикционной среды с активными взаимодействиями. Представлена новая обобщенная модель феррогидродинамики, включающая гиперболическое уравнение для потенциала скоростей φ, гиперболическое уравнение для температуры t ( и эллиптическое уравнение для потенциала магнитного поля ψ. Ключевые слова: волновые модели, активные взаимодействия, магнето- стрикционная среда, феррогидродинамика, распространение возмущений. Введение. Построение обобщенных моделей механики сплошных сред представ- ляет большой интерес и требует привлечения дополнительных соображений фи- зико-математического характера, реализация которых представляет существен- ные трудности [1-6]. В работе кратко рассматриваются три аспекта проблемы построения обобщенных моделей: активные взаимодействия, связанность магни- томеханических и тепловых полей и конечность скорости распространения воз- мущений (слабых разрывов). Традиционно движение идеального упругодеформируемого континуума описывается в лагранжевой системе координат на основе законов сохранения и определяющих уравнений. В случае активных сплошных сред, допускающих су- ществование самоподдерживающихся волн за счет источников накачки энергии, распределенных в среде, ситуация существенно усложняется. Естественно, такие модели принципиально отличаются от традиционных (пассивных) моделей меха- ники сплошных сред. Построение такого рода моделей представляет большой интерес при исследовании биологических объектов [7-12]. Обычно для замыка- ния системы уравнений моделей привлекаются законы сохранения. Однако, в большинстве случаев этого недостаточно, поэтому используются еще дополни- тельные постулаты. Такой подход построения моделей можно рассматривать как аксиоматический [13]. Возможно также построение волновых моделей на основе набора гиперболических операторов [14] с их последующей расшифровкой и фи- зической интерпретацией. УДК 539.3 159 Игорь Селезов Некоторые волновые модели с активными и магнитомеханическими взаимодействиями 160 В работе рассматривается построение двух обобщенных моделей механики сопряженных полей. При этом модифицируются определяющие уравнения моде- лей посредством введения дополнительных слагаемых. В п. 1 представлены общие уравнения движения упругодеформируемого континуума и приведены соображе- ния, каким образом они могут быть обобщены на случай активных сред, а также какие изменения необходимо внести для учета конечности скорости распростра- нение возмущений. В п. 2 приведена и проанализирована нелинейная волновая модель активной намагничиваемой магнитострикционной среды. В п. 3 развита новая обобщенная волновая модель феррогидродинамики, учитывающая сжима- емость среды и тепловую релаксацию, что приводит к распространению волн с конечными скоростями. 1. Уравнения активного упругодеформируемого континуума Для активного упругодеформируемого континуума основные уравнения в лаг- ранжевых координатах представляются в виде { },/det,0 Kk XxJJ ∂∂=ρ=ρ (1) ( ) ,0,, kkkKk K lKm K Kk CAf LK L Tx ml k TT =−ρ+       +       + (2) ,,, LKKL K kKm K mKk TTxTxT =⇒= (3) hQx kl k QETЄ K K l K K KL KL 0,,0 ρ+       ++=ρ , (4) ,0/,/ ≥∂∂= DtDSSЄT (5) ( ),,,;,...,; 321 1 XXXSЄЄ mψψ= (6) ( ) .,1,0;,...,;,, 1 nCTETF k mKL KL =α=ψψα (7) В (1)-(7) приняты следующие обозначения: KlT — компоненты тензора напряже- ний Пиолы-Кирхгофа или Лагранжа, KLT — компоненты тензора напряжений Кирхгофа, определяющего условные напряжения, отнесенные к недеформиро- ванным элементам, KLE — компоненты тензора деформаций Лагранжа, 0ρ — плотность среды в начальный момент времени, ρ — текущая плотность, kf — массовая сила, kA — ускорение, S — глобальная энтропия, T — абсолютная температура, Є — внутренняя энергия, αF — определяющие уравнения и посту- латы, KQ — подводимая теплота, h — энергия на единицу массы, генерируемая распределенными источниками, kС — оператор активной среды,       ji k — ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 3, 159-166 161 символы Кристоффеля второго рода. По повторяющимся индексам предполага- ется суммирование, индекс после запятой обозначает дифференцирование по соответствующей координате. Уравнения (1) и (2) — законы сохранения массы и импульса, соотношения (3) выражают симметричность тензора напряжений при отсутствии объемных мо- ментов, уравнения (4) и (5) — первый и второй законы термодинамики. Оператор активного взаимодействия kC входит в закон сохранения импульса (2) и в опре- деляющие уравнения (7). 2. Уравнения активной магнитострикционной среды Движение активной намагничиваемой магнитострикционной среды описывается системой уравнений [15] iekjijkittjij EBJu ρ+ε+∂ρ=σ , , (8) ekkitijkijk DDJH ρ=∂+=ε ,, , , (9) 0, ,, =−∂=ε kkitjkijk BBE , (10) ( ) ( ) ,2 ijkkjiijijij HHHbHHHGe δ+α+ε+δλ=σ rr (11) ( ) kkijjiij ueuu ,,, ,2/ =+=ε , (12) ( ),kjtijkii BuEJ ∂ε+σ= (13) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) { }3,1,,,2 0 =τ+δ+εα−µ= ∫ kjidHMHeHbHHHB t ijijijii rrrr . (14) В уравнениях (8)-(14) приняты следующие обозначения: ikσ и ikε — компонен- ты тензоров напряжения и деформации соответственно; iu — компоненты векто- ра перемещений; iJ — компоненты вектора плотности электрического тока; Hi; Ei и Вi, Di — компоненты векторов напряженностей и индукций магнитного и электрического полей соответственно; λ и G — постоянные Ламе; σ — электро- проводность; eρ — плотность электрических зарядов; ( )H r α и ( )Hb r — сдвиговая и дилатационная магнитострикционные постоянные; ijkε — кососимметричный символ Кронекера; ijδ — дельта-символ Кронекера. В отличие от известных мо- делей в уравнение (14) введено дополнительное слагаемое, учитывающее актив- ное взаимодействие. В дальнейшем, в уравнениях (8) и (9) пренебрегаем токами смещения и электрическими зарядами, а в выражении (11) учитываем только дилатационную магнитострикционную составляющую )(Hb r . На основе уравнений (8)-(14) проведено Игорь Селезов Некоторые волновые модели с активными и магнитомеханическими взаимодействиями 162 исследование распространения волн от импульса, мгновенно приложенного к границе полупространства. В рассматриваемом случае система уравнений (8)-(14) сводится к двум связанным сильно нелинейным дифференциальным уравнениям относительно ( )tzu ,3 и ( )tzH ,1 . Численное исследование соответствующей на- чально-краевой задачи показывает, что активное взаимодействие приводит к силь- ному искажению распространяющегося импульса и возмущения магнитного поля. 3. Волновые уравнения феррогидродинамики Представим обобщенные уравнения феррогидродинамики, описывающие пове- дение магнитной жидкости (суспензии с феррочастицами размером 3-15 нм) с учетом температурной релаксации. В обобщенной модели учитываются эффекты сжимаемости и временной релаксации, что приводит к гиперболической системе уравнений, описывающей распространение волн с конечными скоростями. Традиционная модель включает обычное уравнение теплопроводности па- раболического типа, которое описывает диффузию тепла в среде, и при возбуж- дении среды предсказывает распространение слабого разрыва с бесконечной ско- ростью. Для связанных полей, в данном случае магнитогидродинамических, этот парадокс преодолевается заменой параболического оператора гиперболическим. Такая процедура ведет свое начало от Максвелла (1867) [16] — основоположника теории электромагнетизма. Он представил гиперболическую модель, которая описывает распространение электромагнитных волн с конечной скоростью, рав- ной скорости света. Впоследствии Максвелл на основе кинетической теории га- зов развил гиперболическую модель теплопроводности, которая описывает рас- пространение тепла с конечной скоростью, и вывел формулу для этой скорости. С математической точки зрения в обоих случаях параболический оператор рас- ширялся до гиперболического. Все последующие многочисленные исследования по обобщению параболических моделей в гиперболические, в частности гипер- болические модели термоупругости, основаны на этой идее [3]. Исследование распространения волн в магнитных жидкостях без учета вре- менной релаксации проводилось в [17-21]. Рассмотрим уравнения, описывающие слабые возмущения покоящейся в начальном состоянии сжимаемой невязкой жидкости, для которой балансовые и определяющие уравнения принимают следующий вид: уравнение сохранения импульса ( ) HMPVV t V rrrrrrr r ( )(µ0 ∇⋅+∇−=      ∇⋅+ ∂ ∂ ρ , (15) уравнение состояния t TKVK t P ∂ ∂ +⋅∇−= ∂ ∂ β rr , (16) обобщенное гиперболическое уравнение распространения тепла ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 3, 159-166 163 V t TTT t T rr ⋅∇− ∂ ∂ τ−∇=+ ∂ ∂ γκ 2 2 2 , (17) уравнения для потенциала магнитного поля 02 =ψ∇ , ψ∇= rr H , (18) определяющие уравнения ,χHM rr = ( )HB rr χ1µ0 += , (19) где V r — вектор скорости, p — давление, χ — магнитная восприимчивость, κ — температуропроводность, 0µ — магнитная постоянная, K — объемный модуль упругости, β — объемный коэффициент температурного расширения, τ — время релаксации, v vp c cc β γ − = — коэффициент термоупругого рассеяния. Влияние температуры на плотность и намагниченность не учитывается. Представляем поле в виде суммы невозмущенного и возмущенного полей ( ) ( )t,xppt,xP rr += 0 , ( ) ( )t,xt,x rr( ρ+ρ=ρ 0 , ( ) ( )t,xvt,xV rrrr += 0 , ( ) ( ) ( )t,xtxTt,xT r(rr += 0 , ( ) ( ) ( )t,xhxHt,xH rrrrrr += 0 , ( ) ( ) ( )t,xmxMt,xM rrrrrr += 0 . (20) После подстановки (20) в систему (15)-(19) получаем две задачи: статичес- кую и динамическую. В первой задаче искомые функции не зависят от времени. Для второй задачи, полагая возмущенные величины малыми по сравнению с не- возмущенными и вводя потенциал скоростей ϕ∇= rrv , получаем систему линеа- ризованных уравнений ( ) ( )       ∂ ∂ ∇⋅∇ + + ∂ ∂ −=ϕ∇− ∂ ϕ∂ tt tcc t ψψ ρ χ1µβ 0 0 02 0 22 02 2 rr( , (21) ϕ∇= ∂ ∂ +∇− ∂ ∂ 222 2 2 τ 1 τ 1 t ttc t t t ( ( ( , (22) 0ψ2 =∇ , (23) где ρ0 Kc = — скорость распространения волн объемной дилатации, τ= Kct — скорость распространения тепла. Уравнение (21) включает в пра- вой части слагаемое, учитывающее влияние температуры, и диссипативный член, связанный с потерями энергии в магнитной жидкости, а уравнение (22) включает Игорь Селезов Некоторые волновые модели с активными и магнитомеханическими взаимодействиями 164 член с временной релаксацией 2 2 τ t t ∂ ∂ ( и составляющую, учитывающую влияние дилатационного поля. Как видно из уравнения (15), последний член не равен нулю только в том случае, когда 0ψ ≠∇ r . Исходные уравнения для векторного поля сведены к замкнутой системе уравнений (21)-(23) относительно трех скалярных функций t ( ,ϕ и ψ. Можно показать, что решение этой системы уравнений в классе одномерных бегущих волн ( )[ ]tкxi ω−exp не существует. Более того, решение вида ( ) ( )[ ]tкxizf ω−exp также не существует. Это связано с тем, что магнитное поле описывается в ква- зистатическом приближении и, как следствие, это приводит к ортогональности операторов термогидродинамики ( )tL ,1 ϕ и магнитного поля ( )ψ2L в уравнениях (22) и (23). Для существования решения задачи в классе бегущих волн требуется более точное описание магнитного поля. Выводы. Представлены обобщенные уравнения движения упругодеформируе- мого континуума с учетом активных взаимодействий. Такое обобщение реали- зуется введением оператора активного взаимодействия в закон сохранения импульса и в определяющие уравнения. Для конечности скорости распростра- нения возмущений система уравнений (1)-(7) должна быть гиперболического типа (необходимое условие), что в ряде случаев требует обобщения опреде- ляющих уравнений. Приведены уравнения движения активной намагничиваемой магнитострик- ционной среды, обобщающие классическую модель посредством введения в определяющее уравнение для магнитной индукции слагаемого, описывающего активное взаимодействие. Проведенный численный анализ обнаруживает су- щественное влияние активного взаимодействия на распространение волн. Приведена обобщенная модель феррогидродинамики, в которой учиты- вается конечность скорости распространения тепла. Показано, что решение зада- чи в классе бегущих дилатационных волн не существует в связи с ортогональ- ностью операторов термогидродинамики и магнитного поля. Литература [1] Селезов И. Т. Концепция гиперболичности в теории управляемых динамических сис- тем // Кибернетика и вычислительная техника. — К.: Наук. думка, 1969. — Вып. 1. — С. 131-137. [2] Селезов И. Т. Моделирование волновых и дифракционных процессов в сплошных средах. — К.: Наук. думка, 1989. — 204 с. [3] Selezov I. Some hyperbolic models for wave propagation // Hyperbolic Problems: Theory, Numerics, Applications. Intern. Series of Numer. Mathematics / Eds. M. Fey and R. Jeltch. Basel / Switzerland: Birkhauser, 1999. — 130. — P. 833-842. [4] Selezov I. Degenerated hyperbolic approximations of the wave theory of elastic plates // Operator Theory. Advances and Applications. Vol. 117. Differential Operators and Related ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 3, 159-166 165 Topics: Proc. of Mark Krein Intern. Conf. — Odessa, Ukraine, 1997, Basel: Birkhauser, 2000. — P. 339-354. [5] Selezov I. Some models of coupled magnetoelastic fields and their applications to the inves- tigation of propagation and diffraction of waves // J. Math. Sci. 2001. — 104, № 5. — P. 1490-1500. [6] Selezov I. Nonlinear wave propagation in close to hyperbolic systems // Int. Series of Nu- merical Mathematics, Birkhauser Verlag Basel / Switzerland, 2001. — 141. — P. 851-860. [7] Fung Y. C. Biorheology of soft tissues // Biorheology, 1973. — № 10. — P. 139-155. [8] Селезов И. Т., Берсенев В. А. Математическое моделирование распространения ле- карственных препаратов от метамерных инъекций // Матер. 11 междунар. научно- практ. конференции «Прикл. задачи математики и механики». — Севастополь, 16-21 сент. 2002. — Изд. СевНТУ. — С. 267-271. [9] Селезов И. Т., Берсенев В. А. Обобщенная модель распространения и локализации во- змущений медицинского препарата при метамерных инъекциях // Матер. 12 между- нар. научно-практической конференции «Прикл. задачи математики и механики». — Севастополь, сентябрь 2003. — С. 177-181. [10] Selezov I., Bersenev V. Medicine spreading in tissue from metameric injections // Book of Abstracts, 5th Euromech Fluid Mechanics Conference, 24-28 Aug. 2003, Toulouse, France. — P. 262. [11] Селезов И. Т. Берсенев В. А. Теоретический анализ реакции фермент-субстрат // Ма- тер. 11 междунар. научно-практ. конференции «Прикл. задачи математики и механи- ки». — Севастополь, 12-16 сент. 2005. — Изд. СевНТУ. — С. 143-146. [12] Selezov I., Bersenev V. Excitation of transmembrane potential by subthreshold stimulus // Theses, Int. Conf. «Dynamical System Modelling and Stability Investigation». — Kiev, May 23-25, 2005. — P. 162. [13] Truesdell C. A first course in rational continuum mechanics. — The Johns Hopkins Uni- versity, Baltimore, Maryland, 1972. Русский перевод: Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. — М.: Мир, 1975. — 592 с. [14] Селезов И. Т., Ткалич В. С. О конечности скорости распространения и локализации во- змущений в реальных системах // Проблемы динамики взаимодействия деформируе- мых сред. — Ереван: Ин-т мех. АН Арм. ССР, 1987. — С. 255-258. [15] Selezov I. T. Wave processes in fluids and elastic media // Int. J. Fluid Mechanics Research. — 2003. — 30, № 2. — P. 219-249. [16] Maxwell J. C. On the dynamical theory of gases // Phil. Roy. Soc. — 1867. — 157. — P. 49-89. [17] Берковский Б. М., Медведєв В. Ф., Краков М. С. Магнитные жидкости. — М.: Химия, 1989. — 240 с. [18] Gotoh K., Isler W. E., Chang D. Y. Theory of ultrasonic attenuation in magnetic fluids // IEEE Trans. Magnetics. — 1980. — MAG-16, № 2. — P. 211-213. [19] Tarapov I. Ye., Patsegon N. F. Nonlinear waves in conductive magnetizable fluid // IEEE Trans. Magnetics. — 1980. — MAG-16, № 2. — P. 309-316. [20] Гогосов В. В., Мартынов С. И., Цуриков С. Н., Шапошникова Г. А. Распространение ультразвука в магнитной жидкости. 1. Учет агрегирования частиц; вывод и анализ дисперсионного уравнения // Магнитная гидродинамика. — 1987. — № 2. — С. 19-27. [21] Селезов И. Т., Корсунский С. В. Нелинейные волны в гидроупругих системах с маг- нитными жидкостями // Магнитная гидродинамика. — 1991. — № 2. — С. 41-44. Игорь Селезов Некоторые волновые модели с активными и магнитомеханическими взаимодействиями 166 Деякі хвильові моделі з активними та магнітомеханічними взаємодіями Ігор Селезов Розглядаються узагальнені моделі динаміки суцільних середовищ, які враховують активні взаємодії та зв’язаність полів і описують розповсюдження збурень зі скінченною швидкістю. Сформульовано рівняння руху намагніченого магнітострикційного середовища з активними взаємодіями. Приведено нову узагальнену модель ферогідродинаміки, яка включає гіперболічне рівняння для потенціалу швидкостей φ, гіперболічне рівняння для температури t ( й еліп- тичне рівняння для потенціалу магнітного поля ψ. Some Wave Models with Active and Magnetomechanical Interactions Ihor Selezov Extended models of the dynamics of continuous media taking into account active interactions and field connectness and describing disturbance propagation with a finite velocity are considered. The equations of motion of magnetizable magnetostrictive medium with active interactions are presented. A new extended model of ferrohydrodynamics including the hyperbolic equation for the velocity potential φ, hyperbolic equation for the temperature t ( and elliptic equation for the poten- tial of magnetic field ψ are presented and analyzed. Отримано 13.01.06

Некоторые волновые модели с активными и магнитомеханическими взаимодействиями

Репозитарії

Схожі ресурси