Моделі динаміки пружних збурень у неоднорідно деформованому континуумі

Розвинуто нелінійну теорію пружності стосовно задач томографії тензорних полів у неоднорідно деформованих твердих тілах. За визначальні параметри локального термодинамічного стану, що відповідають процесові деформування, прийнято тензорні характеристики, означені щодо актуальної (деформованої) конфі...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2006
Автори:	Чекурін, В., Кравчишин, О.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2006
Назва видання:	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20979
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Моделі динаміки пружних збурень у неоднорідно деформованому континуумі / В. Чекурін, О. Кравчишин // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 199-216. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-20979
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-209792011-06-14T12:11:26Z Моделі динаміки пружних збурень у неоднорідно деформованому континуумі Чекурін, В. Кравчишин, О. Розвинуто нелінійну теорію пружності стосовно задач томографії тензорних полів у неоднорідно деформованих твердих тілах. За визначальні параметри локального термодинамічного стану, що відповідають процесові деформування, прийнято тензорні характеристики, означені щодо актуальної (деформованої) конфігурації — тензор напружень Коші та міри деформації Альманзі або Фінґера. У рамках запропонованої нелінійної теорії побудовано декілька варіантів системи рівнянь динаміки малих пружних збурень у неоднорідно деформованому твердому континуумі, лінеаризованої стосовно деформації збурення. Коефіцієнти отриманих рівнянь залежать від локальних параметрів початкового напружено-деформованого стану, заданих в актуальній конфігурації. У такому вигляді їх зручно застосовувати для опису хвильових процесів, які збуджують у неоднорідно деформованих тілах, щоб отримати апостеріорну інформацію про актуальний напружено-деформований стан цих об’єктів. A nonlinear theory of elasticity as applied to problems of tensor fields tomography in non-uniformly strained solids has been developed. As constitutive thermodynamic parameters of the theory, corresponding the process of deformation, the tensor characteristics determinate in the actual configuration — tensors Almansi’s and Finger’s have been used. In the frame of the theory several variants of system equations for dynamics of small elastic disturbances in non-uniformly strained continuum, linearized with respect to the amplitude of the disturbance, have been built. These equations coefficients are depended on local parameters of the body stress-strained state, determined in local base of the actual configuration. In such a form they are convenient to use for describing of the wave processes in non-uniformly strained solids activated to obtain some a posteriori information about the actual stress-strained state of such objects. Развита нелинейная теория упругости применительно к задачам томографии тензорных полей в неоднородно деформированных твердых телах. В качестве определяющих параметров локального термодинамического состояния, соответствующих процессу деформирования, приняты тензорные характеристики, определяемые относительно актуальной (деформированной) конфигурации — тензор напряжений Коши и меры деформации Альманзи или Фингера. В рамках предложенной нелинейной теории построено несколько вариантов системы уравнений динамики малых упругих возмущений в неоднородно деформированном твердом континууме, линеаризированной относительно деформации возмущения. Коэффициенты полученных уравнений зависят от локальных параметров напряженно-деформированного состояния, заданных в актуальной конфигурации. В таком виде их удобно применять для описания волновых процессов, которые возбуждают в неоднородно деформированных телах для получения апостериорной информации об актуальном напряженно-деформированном состоянии этих объектов. 2006 Article Моделі динаміки пружних збурень у неоднорідно деформованому континуумі / В. Чекурін, О. Кравчишин // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 199-216. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20979 539.3 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Розвинуто нелінійну теорію пружності стосовно задач томографії тензорних полів у неоднорідно деформованих твердих тілах. За визначальні параметри локального термодинамічного стану, що відповідають процесові деформування, прийнято тензорні характеристики, означені щодо актуальної (деформованої) конфігурації — тензор напружень Коші та міри деформації Альманзі або Фінґера. У рамках запропонованої нелінійної теорії побудовано декілька варіантів системи рівнянь динаміки малих пружних збурень у неоднорідно деформованому твердому континуумі, лінеаризованої стосовно деформації збурення. Коефіцієнти отриманих рівнянь залежать від локальних параметрів початкового напружено-деформованого стану, заданих в актуальній конфігурації. У такому вигляді їх зручно застосовувати для опису хвильових процесів, які збуджують у неоднорідно деформованих тілах, щоб отримати апостеріорну інформацію про актуальний напружено-деформований стан цих об’єктів.
format	Article
author	Чекурін, В. Кравчишин, О.
spellingShingle	Чекурін, В. Кравчишин, О. Моделі динаміки пружних збурень у неоднорідно деформованому континуумі Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
author_facet	Чекурін, В. Кравчишин, О.
author_sort	Чекурін, В.
title	Моделі динаміки пружних збурень у неоднорідно деформованому континуумі
title_short	Моделі динаміки пружних збурень у неоднорідно деформованому континуумі
title_full	Моделі динаміки пружних збурень у неоднорідно деформованому континуумі
title_fullStr	Моделі динаміки пружних збурень у неоднорідно деформованому континуумі
title_full_unstemmed	Моделі динаміки пружних збурень у неоднорідно деформованому континуумі
title_sort	моделі динаміки пружних збурень у неоднорідно деформованому континуумі
publisher	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
publishDate	2006
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20979
citation_txt	Моделі динаміки пружних збурень у неоднорідно деформованому континуумі / В. Чекурін, О. Кравчишин // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 199-216. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.
series	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT čekurínv modelídinamíkipružnihzburenʹuneodnorídnodeformovanomukontinuumí AT kravčišino modelídinamíkipružnihzburenʹuneodnorídnodeformovanomukontinuumí
first_indexed	2025-07-02T21:30:53Z
last_indexed	2025-07-02T21:30:53Z
_version_	1836572322781200384
fulltext	Моделі динаміки пружних збурень у неоднорідно деформованому континуумі Василь Чекурін1, Оксана Кравчишин2 1 д. ф.-м. н., професор, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул. Наукова, 3б, Львів, e-mail: chekurin@iapmm.lviv.ua 2 к. ф.-м. н., Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул. Нау- кова, 3б, Львів Розвинуто нелінійну теорію пружності стосовно задач томографії тензорних полів у не- однорідно деформованих твердих тілах. За визначальні параметри локального термодина- мічного стану, що відповідають процесові деформування, прийнято тензорні характерис- тики, означені щодо актуальної (деформованої) конфігурації — тензор напружень Коші та міри деформації Альманзі або Фінґера. У рамках запропонованої нелінійної теорії побу- довано декілька варіантів системи рівнянь динаміки малих пружних збурень у неоднорідно деформованому твердому континуумі, лінеаризованої стосовно деформації збурення. Кое- фіцієнти отриманих рівнянь залежать від локальних параметрів початкового напружено- деформованого стану, заданих в актуальній конфігурації. У такому вигляді їх зручно за- стосовувати для опису хвильових процесів, які збуджують у неоднорідно деформованих тілах, щоб отримати апостеріорну інформацію про актуальний напружено-деформований стан цих об’єктів. Ключові слова: нелінійна пружність, пружні хвилі в неоднорідно дефор- мованих середовищах, акустична томографія тензорних полів. Вступ. У випадках, коли зовнішні навантаження та/чи умови закріплення об’єкта апріорі невідомі, визначення його напружено-деформованого стану шляхом роз- в’язування відповідних прямих задач механіки стає неможливим, оскільки у та- кому разі математична модель поведінки (чи стану) механічної системи є незамк- неною. Тоді вдаються до додаткової інформації, яку отримують шляхом фізичних вимірювань деяких параметрів шуканих полів напружень та деформацій і, вико- ристовуючи ті чи інші теоретичні уявлення, прагнуть відновити поля напружень та деформацій у всій повноті. Відомий метод акустопружності. Цей метод базується на лінеаризованій теорії пружних хвиль у тілах із початковими деформаціями, в рамках якої встановлюють залежності швидкостей їх поширення від компонент початкових напружень чи деформацій. Такий підхід реалізовано на практиці, в основному, для випадків, коли зондувальні хвилі поширюються в головних напрямках тензора деформації й поле деформацій у цих напрямках однорідне [1-3]. Тут для відновлення напруженого стану використовують так звані співвідношення акустопружності, УДК 539.3 199 Василь Чекурін, Оксана Кравчишин Моделі динаміки пружних збурень у неоднорідно деформованому континуумі 200 які встановлюють залежності зміни швидкостей поздовжніх та поперечних хвиль від компонент тензора деформації [1-3]. Разом із тим у літературі відомі лише окремі публікації, автори яких обме- жуються дослідженням спеціальних, достатньо простих випадків неоднорідних розподілів початкових деформацій [1, 4, 5]. Однак теорія поширення пружних збурень у твердих тілах із неоднорідними початковими напруженнями ще далеко не вирішена. Така теорія необхідна, зокрема, для створення акустичних методів неруйнівного визначення неоднорідного напружено-деформованого стану твер- дих тіл. Для цього потрібно розвинути математичні моделі поширення пружних хвиль, що охоплюють випадки зондування об’єктів у напрямках, вздовж яких поле напружень істотно змінюється за величиною. У статті отримано математичні моделі для опису поширення пружних збу- рень у неоднорідно деформованих твердих тілах, зорієнтовані на задачі акустич- ної томографії тензорних полів. Сюди, зокрема, належать обернені задачі неруй- нівного визначення неоднорідного напружено-деформованого стану, у яких вхідною інформацією є дані зондування об’єктів акустичними полями, отримані в деякій множині напрямків, на які не накладають спеціальних вимог щодо їх орієнтації стосовно головних осей тензорів, що підлягають відновленню. 1. Параметри локального напружено-деформованого стану Маючи на меті введення термодинамічних параметрів, що відповідають проце- сові деформування, розглянемо диференціальні параметри, які використовують у нелінійній механіці для опису локального деформованого стану [6]. У механіці суцільного середовища є декілька адекватних способів опису деформації континууму — матеріальний, відліковий, просторовий тощо [7]. При цьому, як правило, розглядають дві конфігурації тіла — відлікову 3E⊂0V , та біжучу (актуальну) 3E⊂V . У відліковому описі матеріальні точки ототожнюють з місцями, які вони займали у відліковій конфігурації. Для цього кожній точці приписують деякий незмінний у процесі руху радіус-вектор, і деформація мате- матично означається як відображення відлікової конфігурації на актуальну. За прос- торового опису, натомість, увага зосереджується на актуальній конфігурації, тоб- то на області простору V , яку займає тіло у даний момент часу, і математична модель формулюється стосовно параметрів, що є функціями точок простору цієї конфігурації. Усі перелічені способи опису руху в математичному сенсі еквівалентні. Ра- зом із тим вибір конкретного способу впливає на множину визначальних пара- метрів напружено-деформованого стану, щодо яких формують рівняння моделі, а, відтак, на зручність їх використання у тих чи інших конкретних задачах. Так, у нелінійних прямих задачах пружності здебільшого використовують відліковий опис, в якому параметри задачі визначені в незмінній у часі і, зазвичай, заданій відліковій конфігурації. Розробляючи математичні моделі, для обернених задач доцільно використо- вувати ті характеристики локального термодинамічного стану, від яких залежать ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 3, 199-216 201 інформативні параметри, що їх можна визначити шляхом фізичних вимірювань. Зокрема, в задачах томографії напружено-деформованого стану твердих тіл, на відміну від класичних задач механіки, відомою є не відлікова (ненапружена), а актуальна (деформована) конфігурація. До того ж, зондувальні збурення вводять в об’єкт у його актуальному стані, й вимірювані в результаті такого зондування інформативні характеристики природним чином залежать від параметрів напру- жено-деформованого стану, означених стосовно актуальної конфігурації, і від її координат. Тож і модель для опису збурень доцільно формулювати в термінах саме цих параметрів стану. Розглянемо тверде тіло B , яке в конфігурації V перебуває у стані пруж- ної рівноваги за фіксованої температури T . Деформований стан тіла визначати- мемо стосовно деякої ненапруженої відлікової конфігурації 0V . Нехай 0∈R V — радіус-вектор, який задає положення (місця) матеріальних точок ∈X B у відлі- ковій конфігурації. Деформація тіла B при переході з відлікової конфігурації 0V в актуальну V визначається деяким відображенням [7] ( ),Rr rrr κ= R∈ r 0V , (1) де r ∈r V — радіус-вектор місця матеріальної точки X в актуальній кон- фігурації. Якщо обмежитися розглядом достатньо гладких полів деформації, то відоб- раження (1) слід приймати взаємно-однозначним і неперервно-диференційова- ним. При цьому існує обернене взаємно-однозначне і неперервно-диференційоване відображення 1−κ=χ rr : 0→V V , таке що ( ),rR rrr χ= r ∈r V . (2) На основі відображень (1) та (2) вводять локальні тензорні міри деформації як функції, визначені в областях 0V та V . Характеристиками локального деформованого стану, визначеними в прос- торі відлікової конфігурації, є міра деформації Коші-Гріна Ĝ та однойменний тензор деформації Ĉ [6]. Тензор Ĝ визначають через градієнт вектор-функції κ r у просторі 0V , а її компонентами в локальній базі супровідної системи коорди- нат відлікової конфігурації 0{ }ier є елементи базових матриць ijg 0 0 0 0 0 0 ˆ ˆˆ 2 T i j i j i j ijG E C r r e e e e g e e= + = ∇ ⋅∇ = ⋅ = r rr r r r r r r r . (3) Тут і надалі використовуємо правило сумування: за парою однакових індексів, один із яких — верхній, а інший — нижній; сумуємо, надаючи їм значення від 1 до 3. Індекс T вказує на операцію транспонування тензора. Тензори Ĝ та Ĉ можна виразити через вектор переміщення u r R= − rr r , на- приклад, для тензора деформації Коші-Гріна маємо [6] Василь Чекурін, Оксана Кравчишин Моделі динаміки пружних збурень у неоднорідно деформованому континуумі 202 ( ) ( )( )0 0 0 0 ˆ 1 2 T T C u u u u= ∇ +∇ +∇ ⋅ ∇ r r r rr r r r . (4) Тензори деформації Альманзі ĝ та Фінґера F̂ , натомість, є параметрами локального деформованого стану, що відповідають просторовому описові руху. Їх розглядають як функції радіус-векторів точок актуальної конфігурації r ∈r V і визначають через градієнт вектор-функції χ r у просторі актуальної конфігурації, а їх компонентами в локальних базах супровідної системи координат актуальної конфігурації коваріантній { }ier та контрваріантній { }ier є базові (метричні) матри- ці 0 ijg та 0 ijg відповідно [6] 0 0 0ˆ T i j i j i j ijg R R e e e e g e e= ∇ ⋅∇ = ⋅ = r r r r r r r r r r , ( ) ( )1 0 0 0 0 0 ˆ TT i j ij i j i jF R R r r e e e e g e e − = ∇ ⋅∇ = ∇ ⋅∇ = ⋅ = r r r r r rr r r r r r r r . (5) У випадку руху тіла як абсолютно жорсткого міри деформації ĝ та F̂ , як і Ĝ , є одиничними тензорами другого рангу Ê . Деколи замість мір деформації ĝ та F̂ зручно використовувати відповідні тензори деформації ( )gE/ ˆˆ21ˆ −=ε , ( )ˆ ˆˆ 1 2 F Eε = − . Ці тензори, як і тензор деформації Коші-Гріна Ĉ , є нульовими, якщо тіло рухається як абсолютно жорстке. Тензори деформації ε̂ та ε̂ виражаються через вектор переміщення співвідношеннями ε̂= ( ) ( )( )1 2 T T u u u u= ∇ +∇ −∇ ⋅ ∇ r r r rr r r r , ( ) ( )( )0 0 0 0ˆ 1 2 T T u u u uε = ∇ +∇ + ∇ ⋅∇ r r r rr r r r . (6) У формулах (3)-(6) використано позначення ∇ r та 0∇ r для операторів градієнта в актуальній та відліковій конфігураціях ( )T i ir e∇ = ∂ ∂ = ∂ ∂ξ r r r K K , ( )1 2 3, ,ξ ξ ξ ∈θ , ( ) 0 0 T i iR e∇ = ∂ ∂ = ∂ ∂ξ r r r K K , ( )1 2 3 0, ,ξ ξ ξ ∈θ , (7) Тут ( )1 2 3, ,ξ ξ ξ — матеріальні координати. Для опису деформації континууму в актуальній конфігурації надалі також використовуватимемо міру деформації Генкі Ĥ , що пов’язана із мірою Фінґера співвідношенням [6] ˆ ˆlnH F= . (8) Напружений стан визначають тензором напружень Коші σ̂ , який вводять у актуальній конфігурації і задають контрваріантними компонентами ijσ стосовно бази { }ier , означеної у цій конфігурації [6] ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 3, 199-216 203 ˆ ij i je eσ = σ r r . (9) Компоненти ijσ тензора напружень Коші мають прозорий фізичний зміст: це — компоненти вектора напружень, які діють на координатних площинках в актуальній конфігурації. Окрім тензора напружень Коші використовують також енергетичний тен- зор напружень T̂ , який у базі супровідної системи координат відлікової конфі- гурації визначається у вигляді 0 0ˆ ij i jT e e= σ r r , (10) та тензор напружень Піоли, який виражається через тензори σ̂ та T̂ співвідно- шеннями ( )0 0 0 ˆ ˆ ˆ T P g g T r g g R⋅∇ = ∇ ⋅σ= r r rr . (11) 2. Термодинаміка деформування. Рівняння Гіббса Згідно із першим законом термодинаміки [8], диференціал dU внутрішньої енергії U тіла B визначається як сума двох складових — припливу тепла Qδ та роботи деформації ( )eAδ ( )edU Q A= δ + δ . (12) Подаючи прирости Qδ та ( )eAδ у цій формулі через відповідні термодина- мічні параметри, отримаємо вираз для повного диференціалу внутрішньої енер- гії, на підставі якого можна встановити нелінійні співвідношення пружності. Згідно з другим законом термодинаміки [8] для рівноважних процесів при- ріст Qδ визначається як Q TdSδ = , (13) де S — ентропія системи. Для конкретизації другого доданку у формулі (12) розглянемо вираз для ві- ртуальної роботи внутрішніх поверхневих сил t r , які діють на замкнутій поверхні S , що обмежує область V деякого макроелемента тіла B . Використовуючи теоре- му Коші, згідно якої ˆt n= ⋅σ r r , де nr — одиничний вектор зовнішньої нормалі до S, та теорему Остроградського-Гауса, за відсутності масових сил отримуємо [6] ( ) ( )ˆ ˆ T e S A t rdS rdV r dV V V δ = ⋅δ = ∇ ⋅σ ⋅δ + σ ⋅⋅ ∇δ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ r rr r r r . (14) Беручи до уваги, що тіло перебуває у стані механічної рівноваги, маємо на- ступний вираз для віртуальної роботи Василь Чекурін, Оксана Кравчишин Моделі динаміки пружних збурень у неоднорідно деформованому континуумі 204 ( ) ( )ˆ V T eA r dVδ = σ ⋅⋅ ∇δ∫∫∫ r r . (15) Виходячи з означення мір деформації Альманзі та Фінґера, запишемо тен- зор ( )Tr∇δ r r у формулі (15) у вигляді ( )( ) ( )( )ˆ ˆ ˆ T T g R R r g g rδ = δ ∇ ⋅ ∇ = − ∇δ ⋅ + ⋅ ∇δ r r r r r rr r , ( )( ) ( )0 0 ˆ ˆ ˆT T F r r r F F rδ = δ ∇ ⋅∇ = ∇δ ⋅ + ⋅∇δ r r r rr r r r . Звідси випливають співвідношення ( ) ( )1ˆ ˆ ˆ T r g g r g−∇δ = − ⋅ δ +∇δ ⋅ r rr r , ( ) ( ) 1ˆ ˆ ˆT r F F r F −∇δ = δ − ⋅∇δ ⋅ r rr r . (16) Із врахуванням останніх виразів та симетрії тензора напружень Коші ( ˆ ˆTσ = σ ), формулу (16) зводимо до вигляду ( )dVrggggA V e ∫∫∫ δ∇⋅⋅⋅σ⋅−δ⋅⋅⋅σ−=δ −− rr11 )( ˆˆˆˆˆˆ або ( )dVrFFFFA V e ∫∫∫ δ∇⋅⋅⋅σ⋅−δ⋅⋅σ⋅=δ −− rrˆˆˆˆˆˆ 11 )( . (17) У випадку ізотропного тіла тензори σ̂ та ĝ або σ̂ та F̂ комутують [6], тому формули (17), із врахуванням співвідношень (15), запишуться наступним чином ( ) 1ˆ ˆ ˆ1 2eA g g dV V −δ =− σ ⋅ ⋅δ ⋅∫∫∫ або ( ) 1ˆ ˆˆ1 2eA F F dV V −δ = σ⋅⋅ ⋅ δ∫∫∫ . (18) А для міри Генкі матимемо ( ) ˆˆeA HdV V δ = σ ⋅ ⋅δ∫∫∫ . (19) Переходячи у формулі (12) до густин внутрішньої енергії u та ентропії s, віднесених до одиниці об’єму актуальної конфігурації, та беручи до уваги спів- відношення (18), (19), отримаємо три варіанти рівнянь Гіббса для деформованого тіла, в яких використані параметри локального напружено-деформованого стану, визначені в актуальній конфігурації ˆˆdu Tds dH= + σ ⋅ ⋅ , 11 ˆ ˆ ˆ 2 du Tds dg g −= − σ ⋅⋅ ⋅ , 11 ˆ ˆˆ 2 du Tds F dF−= + σ ⋅⋅ ⋅ . (20) Ці рівняння визначають повний диференціал густини внутрішньої енергії, як функції незалежних змінних ( )ˆ,s g , ( )ˆ,s F та ( )ˆ,s H відповідно. Якщо функції ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 3, 199-216 205 ( )ˆ,u s g , ( )ˆ,u s F та ( )ˆ,u s H відомі, то на підставі (20) можна визначити температу- ру T і тензор напружень Коші σ̂ , оскільки ці функції є термодинамічними по- тенціалами. Наприклад, для термодинамічного потенціалу ( )ˆ,u s H , використовую- чи означення похідної скалярної функції за тензорним аргументом, отримуємо ( ) Ĥ T u s= ∂ ∂ , ( )ˆˆ s u Hσ = ∂ ∂ . (21) Вводячи густину вільної енергії f (f — термодинамічний потенціал, який пов’язаний із густиною внутрішньої енергії перетворенням Лежандра f = u – Ts), отримуємо наступні рівняння Гіббса ˆˆdf sdT dH= − + σ ⋅⋅ , 11 ˆ ˆ ˆ 2 df sdT dg g −= − − σ ⋅ ⋅ ⋅ , 11 ˆ ˆˆ 2 df sdT F dF−= − + σ ⋅⋅ ⋅ . (22) У цих термодинамічних потенціалах незалежними змінними є ( )ˆ,T g , ( )ˆ,T F та ( )ˆ,T H відповідно. Для ізотермічних процесів приріст вільної енергії визначається лише робо- тою деформації. Тож f із точністю до адитивної константи співпадає з густиною пружного потенціалу Φ . З огляду на це, з формул (22) випливають співвід- ношення ˆˆ Hσ = ∂Φ ∂ , ˆ ˆ ˆ2 g gσ = − ∂Φ ∂ ⋅ , ˆ ˆˆ 2F Fσ = ⋅∂Φ ∂ , (23) які далі використаємо для отримання нелінійних співвідношень пружності. Переходячи у формулі (15) до інтегрування в області відлікової конфігура- ції 0V , можна вираз для роботи подати двояко ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 ˆ ˆT T eA P r dV g g T r r dV 0 0V V δ = ⋅⋅δ ∇ = ⋅⋅∇ ⋅δ ∇∫∫∫ ∫∫∫ r r rr r r . (24) Звідси, використовуючи означення міри та тензора деформації Коші-Гріна (3), (4), отримаємо подання для елементарної роботи деформації, записані в параметрах відлікової конфігурації ( ) 0 0 0 0 1 ˆ ˆˆ ˆ 2eA g g T GdV g g T CdV 0 0V V δ = ⋅⋅δ = ⋅ ⋅δ∫∫∫ ∫∫∫ . (25) Виражаючи у цих формулах градієнти вектора місця у відліковій конфігу- рації через міру та тензор деформації Коші-Гріна, прийдемо до наступних рів- нянь Гіббса, записаних щодо густини внутрішньої енергії u0, 0 0 0 1 ˆˆ 2 du Tds g g T dG= + ⋅⋅ , (26) а також густини вільної енергії f0 0 0 0 1 ˆˆ 2 df s dT g g T dG= − + ⋅⋅ , (27) Василь Чекурін, Оксана Кравчишин Моделі динаміки пружних збурень у неоднорідно деформованому континуумі 206 обчислених на одиницю об’єму відлікової конфігурації. Нелінійні співвідношен- ня пружності в термінах відлікової конфігурації аналогічно (23) будуть такими 0 0 0 0 ˆ ˆˆ 2T g g C g g G= ∂Φ ∂ = ∂Φ ∂ . (28) Тут 0Φ — густина потенціальної енергії деформації віднесена до одиниці об’єму відлікової конфігурації 0V . 3. Нелінійні співвідношення пружності для ізотропного тіла: зв’язок тензора напружень Коші з мірами деформації Альманзі та Фінґера Для ізотропного матеріалу скалярну функцію тензорного аргументу можна зада- ти як функцію інваріантів цього тензора [6]. Тому, відповідно до подання (24), розглядатимемо густину потенціальної енергії Φ як функцію інваріантів мір де- формації Альманзі або Фінґера ( )1 2 3, ,g g gΦ =Φ , ( )1 2 3, ,F F FΦ =Φ , де 1 2 3, ,g g g — головні інваріанти міри деформації Альманзі, 1 2 3, ,F F F — головні інваріанти міри деформації Фінґера. Використовуючи теорему Гамільтона-Келлі, з (23) отримаємо загальний вигляд для нелінійних співвідношень пружності, які виражають тензор напружень Коші σ̂ через міри деформації Альманзі та Фінґера ( )2 0 1 2 ˆˆ ˆ ˆ2 a E a g a g′ ′ ′σ = + + та ( )2 0 1 2 ˆ ˆ ˆˆ 2 a E a F a Fσ = + + . (29) Скалярні коефіцієнти ia′ та ia у формулі є функціями головних інваріантів мір деформації Альманзі та Фінґера і подаються через пружний потенціал на- ступним чином ( )0 3 3 1 1 1 2 2 2, ,a g g a g g g a g′ ′ ′=− ∂Φ ∂ =− ∂Φ ∂ + ∂Φ ∂ =∂Φ ∂ , 0 3 3 1 1 1 2 2 2, ,a F F a F F F a F= ∂Φ ∂ = ∂Φ ∂ + ∂Φ ∂ = −∂Φ ∂ . (30) У разі використання міри деформації Генкі нелінійні співвідношення пруж- ності для ізотропного тіла є такими 2 0 1 2 ˆ ˆ ˆˆ b E b H b Hσ = + + , (31) де 0 1 1 2 2 3b H H H H H= ∂Φ ∂ + ∂Φ ∂ + ∂Φ ∂ , ( )1 2 1 3b H H H= − ∂Φ ∂ + ∂Φ ∂ , 2 3b H= ∂Φ ∂ ; 1 2 3, ,H H H — головні інваріанти тензора Ĥ . Отримані нелінійні рівняння стану (29) та (31) пов’язують тензор напру- жень Коші і міри деформації Альманзі, Фінґера та Генкі. Конкретна аналітична структура співвідношень пружності (29) та (31) ви- значається функціональними залежностями пружної енергії Φ від інваріантів мір деформації ĝ та F̂ . Зокрема, виберемо потенціал пружності у формі Сіньо- ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 3, 199-216 207 ріні ˆ( )gΦ , яка є функцією від головних інваріантів міри деформації Альманзі 1 2 3, ,g g g [6] ( ) ( ) ( )( )2 1 2 2 1 3 1 31 3 1m g m g m g gΦ = + + + + − , (32) де ( ) ( )1 2 34, 2 8, 3 2 4m с m с m с= = λ + µ − = − λ + µ − , ,λ µ — сталі Ляме, c — пружна стала третього порядку. На основі формул (29) та (32) отримаємо співвідношення пружності у вигляді ( ) ( ){ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) } 2 3 1 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ1 2 2 3 2 ˆ2 1 2 8 3 2 3 8 1 , g cg с g с g с g c g c g E σ= −  λ+µ+ − λ+µ−  +   + + + λ+µ −  + − λ+µ −  −     ( ) ( )2 2 1 2 1 1 ˆ ˆ ˆˆ 3 2 2 2 2c с E с c σ= λ + + λ+µ− + µ− λ+  +  ε ε ε ε ε ε , (33) де 1 2 3, ,ε ε ε — головні інваріанти тензора деформації Альманзі, що пов’язані з інваріантами відповідної міри співвідношеннями 1 1 2 1 2 3 1 2 33 2 , 3 4 4 , 1 2 4 8g g g= − = − + = − + −ε ε ε ε ε ε . Використовуючи подання Мурнагана, розглядатимемо питому потенціаль- ну енергію деформації ˆ( )Φ ε ізотропного тіла, розраховану на одиницю його об’єму в актуальній конфігурації, як функцію від інваріантів міри деформації Фінґера ( ){ } ( ) 2 1 1 1ˆ( ) 3 2 9 2 2 3 5 2 4 F a b c F a b c FΦ = − λ − µ +  + +  + λ + µ − − − +  ( ) ( ) ( ) ( )3 2 1 2 1 32 3 2 3 6 2 1 .b c F b с F F a b c F с F+ − µ + + − + + + + + − (34) Враховуючи формули зв’язку між головними інваріантами міри 1 2 3, ,F F F та тен- зора деформації Фінґера 1 2 3, ,ε ε ε , 1 1 2 1 2 3 1 2 33 2 , 3 4 4 , 1 2 4 8F F F= + ε = + ε + ε = + ε + ε + ε , вираз (34) перепишемо у вигляді кубічного полінома за степенями компонент тензора деформації Фінґера з постійними коефіцієнтами ( ) ( )2 3 1 2 1 1 2 3ˆ( ) 2 2 3 3 2a b c b c cΦ ε = λ ε − µε + + + ε − + ε ε + ε або 2 3 1 2 1 1 2 3ˆ( ) 2 3 3A A a A bA A c AΦ ε = λ + µ + + + . (35) Тут , ,a b c — пружні сталі третього порядку, 1 2 3, ,ε ε ε — головні інваріанти тен- зора деформації Фінґера, 2 3 1 1 2 1 3 1ˆ ˆ, ( ) , ( )ij ji ij jk kiA A I A I= ε = ε = ε ε = ε = ε ε ε — алгеб- ричні інваріанти тензора деформації Фінґера. Василь Чекурін, Оксана Кравчишин Моделі динаміки пружних збурень у неоднорідно деформованому континуумі 208 Використовуючи подання енергії деформації функцією (35), запишемо співвідношення пружності згідно другої формули з (29). Для цього визначимо коефіцієнти 0 1 2, ,a a a . У результаті отримаємо ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 1 26 4 9 2 3 2 2 8a a b c a b F a b F b cF = − λ − µ + + + + λ − − + + − −  , 0 38a c F= , ( )( )2 12 3 2 4a b c b c F= µ − − + + . (36) Таким чином, для тензора напружень маємо наступне подання [ ] ( )[ +++µ−λ−+++−−µ+=σ 292321ˆ)2(32ˆ4ˆ 2 13 baFFcbcbEFc ]FFcbFbaFbac ˆ)2(2)()23(2 2 2 11 −−++−−λ++ . Або, переходячи до тензора деформації, [ ] 2 2 1 1 1 2ˆ ˆˆ 4 2(2 ) 2 ( ) ( ) (2 )c b c b a b b c σ = µ+ + + ε ε + µ + λ + ε + + ε − + ε ε +  2 1 1 2 3 ˆ( ) 2 2 .a b b c E + λε + + ε − ε + ε  (37) Замінюючи у співвідношеннях (37) головні інваріанти 1 2 3, ,ε ε ε алгебрич- ними 1 2 3, ,A A A , отримаємо 2 1 1 2 1 ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ 2 ( ) 2 ( 2 )A E aA bA E bA E σ = λ + µε + + + ε ⋅ + ε +  2 2 2 3 1 1 2 1 1 2 3 ˆˆ ˆ ˆ2 ( ) 1 3( 3 2 ) .c A A A A A A A E + ε + ε − − ε + − +  (38) Вважаючи початкові деформації достатньо малими, знехтуємо у поперед- ній формулі доданками, що містять степені ε̂ , вищі другого. У підсумку матимемо 2 2 1 1 2 1 ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ( 2 ) ( 2 ) ( ) 2A E E aA bA E bA cσ = λ + µε ⋅ + ε + + + ε + ε . (39) Таким чином, формули (33), (39) є квадратичними співвідношеннями пружності, які в актуальній конфігурації пов’язують тензор напружень Коші з тензорами деформації Альманзі та Фінґера відповідно. 4. Співвідношення пружності для малих пружних збурень Нехай на початковий напружено-деформований стан накладається мале пружне збурення, зумовлене, наприклад, акустичною хвилею. Тоді поряд із відліковою 0V та актуальною (незбуреною) V конфігураціями тіла розглядатимемо збуре- ну V% , яка відповідає його станові у довільний момент часу t після збурення. Ра- діус-вектори R r , rr та r r % визначають положення у просторі довільної матеріальної точки X у цих конфігураціях. При відліковому та просторовому описах закони руху для збуреної конфігурації задаються відображеннями ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 3, 199-216 209 0 ( , )r R t= κ rr r %% , та ( )0 ,R r t= χ r rr % % . (40) Використовуючи опис початкового деформованого стану у формі (2), при- ходимо до закону руху для збуреного стану у вигляді ( , )r r t= κ rr r %% , де 0κ = κ χ r r % % o . (41) Відображення (41) визначає деформацію у збуреній конфігурації стосовно актуальної. Таке подання закону руху для збуреної конфігурації називатимемо відносним описом руху [6]. Міри деформації Альманзі ĝ% та Фінґера F̂% для збуреної конфігурації ви- значаються, згідно формул (5), так ( ) 0 0 0ˆ T i j i j i j ijg R R e e e e g e e= ∇ ⋅ ∇ = ⋅ = r r r r r rr r r r% %% % % % % , ( ) ( ) 1 0 0 0 0 0 ˆ T T i j ij i j i jF R R r r e e e e g e e −  = ∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅∇ = ⋅ =    r r r r r r r rr r r r r r% % % % % % % % % . (42) Тут ie r~ та ∇ r~ — вектори локальної бази супровідної системи координат у збуреній конфігурації та оператор градієнта у цій конфігурації. Ці міри задають деформацію континууму у збуреній конфігурації стосовно відлікової. Базуючись на відносному способі опису руху (41), введемо тензорні міри p̂% і Q̂% , аналогічні мірам Альманзі і Фінґера, які визначають деформацію конти- нууму у конфігурації V% щодо незбуреної конфігурації V [9] ( )ˆ T i j i j i j ijp r r e e e e g e e= ∇ ⋅ ∇ = ⋅ = r r r r r rr r r r% %% % % % % , ( ) ( ) 1 ˆ T T i j ij i j i jQ r r r r e e e e g e e −  = ∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅∇ = ⋅ =    r r r r r rr rr r r r r r% % % % % % % . (43) Введемо вектори переміщення u r~ із відлікової та wr із актуальної конфігу- рацій у збурену u r R= − r r r % % , w r r= − rr r % . Із використанням співвідношень, які пов’язують локальні бази у збуреній і актуальній конфігураціях, отримаємо ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , T TTg R R g w g g w w g w= ∇ ⋅∇ = −∇ ⋅ − ⋅ ∇ +∇ ⋅ ⋅ ∇ r rr r r r r rr r r r% %% (44) ( ) ( ) ( ) 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ T T T F R R F F w w F w F w −  = ∇ ⋅ ∇ = + ⋅∇ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅ ⋅∇    r rr r r r r rr r r r% % % , (45) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ 2 T TT p r r E w E w E e w w w= ∇ ⋅ ∇ = −∇ ⋅ − ∇ = − +∇ ⋅ ∇ r r r r rr r r r r r r r% %% , Василь Чекурін, Оксана Кравчишин Моделі динаміки пружних збурень у неоднорідно деформованому континуумі 210 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1ˆ ˆ 2 , T TTQ r r r w r w E e w w w − = ∇ ⋅∇ = ∇ + ⋅∇ + = + + ∇ ⋅∇ r r r r r rr r r r r r r r r r% % % (46) де ( ) ( )( )ˆ 1 2 T e w w w= ∇ + ∇ r rr r r — лінійний тензор деформації збурення. У збуреній конфігурації напруження задаються тензором напружень Коші σ̂% , який пов’язаний з мірами деформації ĝ% та F̂% співвідношеннями, аналогічни- ми (29), а саме ( )2 210 ~̂~~̂~ˆ~2~̂ gagaEa ′+′+′=σ , ( )2 0 1 2 ˆ ˆˆ ˆ2 a E a F a Fσ = + +% %% % % % (47) Формули (44)-(47) дають змогу виразити тензор напружень Коші в конфі- гурації V% через градієнт вектора переміщень wr у конфігурації V . Встановимо цей зв'язок, беручи до уваги малість деформацій збурення. З цією метою у спів- відношеннях (44), (45) утримаємо лише лінійні стосовно градієнтів вектора пере- міщення доданки. У цьому наближенні інваріанти мір деформації ĝ% та F̂% пода- ються через інваріанти тензорів ĝ та F̂ наступним чином ( )1 1 ˆ ˆ2g g g e w− = − ⋅⋅ r % , ( ) ( )2 2 2 1 ˆ ˆ ˆ2g g g g g e w− = − − ⋅ ⋅ r % , ( )3 3 3 ˆ ˆ2g g g E e w− = − ⋅⋅ r % , ( )1 1 ˆ ˆ2F F F e w− = ⋅⋅ r% , ( ) ( )2 2 2 1 ˆ ˆ ˆ2F F F F F e w− = − ⋅ ⋅ r% , ( )3 3 3 ˆ ˆ2F F F E e w− = ⋅⋅ r% . (48) Коефіцієнти ia′% та ia% у формулах (47) визначаються як функції потенціалів пруж- ності ( )1 2 3, ,g g g′ ′Φ = Φ% % % % або ( )1 2 3, ,F F FΦ =Φ % % %% за формулами, аналогічними (30) ( )0 3 3 1 1 1 2 2 2, ,a g g a g g g a g′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= − ∂Φ ∂ = − ∂Φ ∂ + ∂Φ ∂ = ∂Φ ∂% % % %% % % % % % % % % , 0 3 3 1 1 1 2 2 2, ,a F F a F F F a F= ∂Φ ∂ = ∂Φ ∂ + ∂Φ ∂ =− ∂Φ ∂% % % % % %% % % %% % % , (49) де 1 2 3, ,g g g% % % — головні інваріанти міри деформації ĝ% ; 1 2 3, ,F F F% % % — головні інва- ріанти міри деформації F̂% . У лінійному наближенні зв’язок між функціями ′Φ% або Φ% та відповідними їх функціями ′Φ або Φ є таким ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3, , , , i i i i ig g g g g g g g g g g = ′ ′ ′ ′Φ = Φ = Φ + ∂Φ ∂ − % % % % %% % % % % , ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3, , , , i i i i iF F F F F F F F F F F = Φ = Φ =Φ + ∂Φ ∂ − % % % % % %% % % % . Для ia% та ia′% отримаємо у лінійному щодо w∇ r r наближенні ( ) j j i i i j j jF F a a a F F F = = + ∂ ∂ − % % %% % , ( ) j j i i i j j jg g a a a g g g = ′ ′ ′= + ∂ ∂ − % % % % % . (50) ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 3, 199-216 211 Тоді, із врахуванням формул (49), для коефіцієнтів ia% та ia′% запишемо ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 3 3 3i i i i ia a a F F F a F F F a F F F= + ∂ ∂ − + ∂ ∂ − + ∂ ∂ − =% % %% ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 1 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ2 2 ( ) ,j i i i i i j i j a a a E a a F a a F e w a a a F e w =  = + + + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅  ∑r r ( ) ( ) 2 2 0 1 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) .j i i i i i i j i j a a a a E a a g a a g e w a a a g e w =  ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= + + + ⋅⋅ = + ⋅⋅  ∑ r % У результаті матимемо наступні лінеаризовані співвідношення пружності, які в термінах актуальної конфігурації пов’язують тензор напружень Коші з мірами деформації Альманзі чи Фінґера відповідно { }ˆ ˆ ˆ , ,s g Fησ = σ + η∈% . (51) Тут тензори напружень для збурень ˆ ,sη { }Fg,∈η визначаються неліній- ними співвідношеннями пружності у вигляді ˆ ˆ ˆ ˆT gs w w w= −σ∇ ⋅ + σ ⋅∇ +∇ ⋅σ + r r rr r r ( ) ( ) ( )         ⋅⋅′+⋅⋅′+′−+ ∑ = 2 1, 20 ˆˆˆˆˆˆˆ4 ji ji ij weggagwegawea rrr , ˆ ˆ ˆ ˆT Fs w w w= −σ∇ ⋅ + σ ⋅∇ +∇ ⋅σ + r r rr r r ( ) ( ) ( ) 2 0 2 , 1 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ4 .i j ij i j a e w a F e w F a F F e w =   + − + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅    ∑r r r (52) Запишемо співвідношення пружності для збурень у випадку тіла Сіньоріні. У першій формулі (52) від міри деформації Альманзі перейдемо до відповідних тензорів, а початкові напруження σ̂ замінимо поданнями у вигляді першої фор- мули (29). У результаті отримаємо ( )( ) +         ⋅∇−∇⋅−′+′+⋅⋅′= ∑ = 2 1, 21 ˆˆˆ2ˆˆˆ4ˆ ji Tji ijg wweaaeggas εε rrrr ( )2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ8 .Ta e e w w e′+ − ⋅ − ⋅ + ⋅∇ + ∇ ⋅ + ⋅ ⋅ r rr r ε ε ε ε ε ε (53) Для потенціалу Сіньоріні ненульові коефіцієнти ia′% матимуть наступний вигляд ( ) ( ) ( )( )2 00 2 1 1 32 2 2 3 2 9 5 2 16a g c g c g c g′ = + λ + µ − − λ + µ − + λ + µ − , ( )( )01 10 1 32 3 2 8 ,a a c g c g′ ′= = λ + µ + − λ −µ + 02 20 38a a c g′ ′= = , ( )( )11 32 8a c g′ = λ + µ + . (54) Із врахуванням (54) співвідношення (53) перепишуться як Василь Чекурін, Оксана Кравчишин Моделі динаміки пружних збурень у неоднорідно деформованому континуумі 212 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 1 2 02 1 1 2 2 11 1 2 11 1 00 11 01 02 1 ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ4( 2 ) 4 ( )) ( )) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ4 ( ) 8 ˆˆ ˆˆ ˆ4 ( ) 4 2 ( ) T g T s a a e w w a I e E I e a I e a e e w w e a I e a a a a I e E ′ ′ ′= + − ⋅∇ − ∇ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ′ ′+ ⋅ + − ⋅ − ⋅ + ⋅∇ + ∇ ⋅ + ⋅ ⋅ + ′ ′ ′ ′ ′+ ⋅ + + + + − r rr r r rr r ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ( ) ( )01 11 02 1 1 ˆˆ ˆˆ ˆ8 2 ( ) ( ) ,a a a I e E I e′ ′ ′− + + ⋅ +ε ε (55) де 2 1 1 1 ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ), ( ), ( )I e I e I e⋅ ⋅ε ε — перші інваріанти відповідних тензорів. Запишемо співвідношення пружності для збурень у випадку матеріалу Мурнагана. У другій формулі (52) від міри деформації Фінґера перейдемо до від- повідних тензорів, а початкові напруження σ̂ виразимо згідно другої формули із (29). Тоді ( )1 2 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ4 ( 2 )( )i j T F ijs a F F e a a e w w= ⋅⋅ + + + ε ⋅∇ +∇ ⋅ε + r rr r 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ8 (2 ).Ta e e e w w+ ε ⋅ ⋅ ε + ε ⋅ + ⋅ ε + ε ⋅∇ +∇ ⋅ε r rr r (56) Для потенціалу Мурнагана ненульові коефіцієнти ija матимуть вигляд ( )2 00 3 1 1 2 2 38 8 1 2 2( ) 4 8a c F c= = + ε + ε −ε + ε + ε , ( )12 21 2 8a a b c= = + , ( )( ) ( )( )11 1 13 2 2 4 3 2 2 4a a b a c F a b a c= λ− − + − = λ− − + − ε . (57) Із врахуванням ненульових коефіцієнтів (57) співвідношення (56) перепи- шуться наступним чином ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 12 1 2 2 2 2 00 11 12 11 12 12 1 2 11 12 11 12 12 1 ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ4( 2 ) ε 16 ( ) 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ8 ˆ ˆ ˆ ˆ4 2 2 3 4 ( ) ˆ ˆ ˆ ˆˆ8 3 2 4 4 ( ) , T F T s a a e w w a I e E a e e w w e a a a E a a a I e a a E a a a I e = + + ⋅∇ +∇ ⋅ε + ⋅ ε + ε + + ε ⋅ + ⋅ ε + ε ⋅∇ +∇ ⋅ε + ε ⋅ ⋅ ε +  + + + + + ε+ ε +   + + + + ε+ ε ⋅ ε  r rr r r rr r (58) де 2 1 1 1ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ), ( ), ( )I e I e I eε ⋅ ε ⋅ — перші інваріанти відповідних тензорів. Підставляючи у формулу (58) значення коефіцієнтів із (41) та (56) і нехту- ючи доданками, що містять початкові деформації у степенях, вищих другого та деформації збурення у степенях, вищих першого, отримаємо ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2 2ε 2 ε 2 ( ) ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ2 ( ε) ε ε 2 ( ) ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ( ε) ( ) ε ε ε . F T s I e E e E E e I e E I e E w w a I e E b I e E I e e c e e = λ + µ ⋅ + + λε + µ ⋅ − +  + λ ⋅ + µ ⋅∇ + ∇ ⋅ + ε +   + ⋅ + + ε + ⋅ + ⋅  r rr r (59) ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 3, 199-216 213 Формули (55) та (59) виражають лінійні щодо тензорів деформації збурення співвідношення пружності, задаючи тензор напружень для збурень як функцію відповідних тензорів початкової деформації (Альманзі чи Фінґера) та тензора де- формації збурення. 5. Рівняння динаміки для малих пружних збурень у неоднорідно деформованому континуумі Рівняння руху ізотропного пружного середовища за відсутності масових сил у збуреній конфігурації V% записується як ˆDv Dtρ = ∇ ⋅σ rr %% % , (60) де ρ% — густина середовища у збуреній конфігурації, v r t w t= ∂ ∂ = ∂ ∂ rr r % — швид- кість поширення збурення, D Dt t v= ∂ ∂ + ⋅∇ rr % — матеріальна похідна по часу у збуреній конфігурації. Зважаючи на малість w∇ r r , у лінійному наближенні приймемо, що 2 2Dv Dt v t w t≈ ∂ ∂ = ∂ ∂ r r r . Оскільки в актуальній конфігурації справедливе рів- няння рівноваги за відсутності масових сил, перепишемо рівняння (60) наступ- ним чином ( ) { }2 2 ˆ , ,w t s w g Fηρ∂ ∂ = ∇ ⋅ − ∇ ⋅∇ ⋅σ η∈ r r rr r r . (61) де ρ — густина середовища в актуальній конфігурації, пов’язана з густиною збу- реної конфігурації співвідношенням g gρ = ρ% % . Підставивши замість σ̂ його подання у вигляді (29), а замість { }ˆ , ,s g Fη η∈ формули (53), отримаємо 2 2 2 0 0 2ˆ ˆ2 2w t a w e a a g w ′ ′ ′ρ∂ ∂ = − ∇∇ ⋅ − ⋅∇ + ⋅⋅∇∇ + r r r r rr r r ( )1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ,p s spa g w a g e g a g g e ′ ′ ′+ ⋅ ⋅∇∇ + ∇ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅  r r rr 2 2 0 0 1 ˆ2 2w t a w e a a F wρ∂ ∂ = − ∇∇ ⋅ − ⋅∇ + ⋅⋅∇∇ + r r r r rr r r r ( )2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 .p s spa F w a F e F a F F e + ⋅ ⋅∇∇ + ∇ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅  r r rr r r (62) Замінивши в останніх формулах міри деформації Альманзі та Фінґера від- повідними тензорами деформації, остаточно отримаємо лінеаризовані рівняння поширення малих пружних збурень для ізотропного тіла ( ) ( ){2 2 2 2 0 2 0 1 2 2 ˆˆ2 4w t a w e a a a a w a w′ ′ ′ ′ ′ ′ρ∂ ∂ = − ∇∇ ⋅ + ⋅∇ − + + ∆ + ⋅ ⋅∇∇ + r r r r rr r r r ε ( )( ) ( ) ( ) }1 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 p s spa a e w a e e e a g g e ′ ′ ′ ′+ + ∇ ⋅ + ⋅ ⋅∇∇ +∇ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅  r r r rr ε ε ε ε ε , Василь Чекурін, Оксана Кравчишин Моделі динаміки пружних збурень у неоднорідно деформованому континуумі 214 ( ) ( ){2 2 2 2 0 2 0 1 2 2 ˆˆ2 4w t a w e a a a a w a wρ∂ ∂ = − ∇∇⋅ + ⋅∇ − + + ∆ + ε ⋅⋅∇∇ + r r r r rr r r r ( )( ) ( ) ( ) }1 2 2 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 .p s spa a e w a e e e a F F e + + ∇ ⋅ + ε ⋅ ⋅∇∇ +∇ ⋅ ε ⋅ + ⋅ ε + ε ⋅ ⋅ ε + ⋅ ⋅  r r r rr (63) Підставляючи у другу формулу (63) коефіцієнти (57) та нехтуючи доданка- ми, що містять початкові деформації у степенях, вищих другого, та деформації збурення у степенях, вищих першого, отримаємо ( )( ) ( )2 2 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2 2 2 ( ) 2 2 ( )w t I e e E I e E e a I e Eρ∂ ∂ =∇⋅ λ + µ + ε + λ ⋅ ε + µε ⋅ + ε + rr ( ) ( ) ( )( )1 1 1 ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ( ) 2 .b I e E e c e e e w w+ ⋅ ε + ε + ⋅ ε + ε ⋅ + λε ∇ ⋅ + µ ε ⋅ ⋅∇∇ + ε ⋅∇∇ ⋅ r r r r rr r (64) Приймемо, що початкові деформації достатньо малі, так що можна знех- тувати відмінністю між локальними базами відлікової та актуальної конфігура- цій. У цьому випадку нелінійний зв’язок між компонентами тензорів напружень Коші σ̂ та деформації ε̂ або ε̂ , лінійні частини яких співпадають, на основі формули (37) у декартовій системі координат для потенціалу Мурнагана зада- ється виразом [1, 2] ( )0.5ij ijkl ijklmn mn klcσ = + Γ ε ε . (65) Коефіцієнти у попередній формулі визначаються як ( )ijkl ij kl ik jl il jkc = λδ δ +µ δ δ +δ δ , ( )( )( )( ) ,ijklmn ij kl mn ′Γ = Γ (66) ( ) ( )2 3 3 2ijklmn ij kl mn ij pkm pln ikm jlna b c b c cΓ = + + δ δ δ − + δ ∈ ∈ + ∈ ∈ . (67) Дужки в позначенні компонент ( )( )( )( )ij kl mnΓ вказують на операцію симетризації щодо перестановок відповідних груп індексів, pkm∈ — символи Леві-Чівіта. Компоненти тензора напружень { }ijs=s з точністю до членів першого по- рядку запишуться наступним чином ( )ij ijkl ijklmn mn kls c e= +Γ ε . (68) Із врахуванням (67) лінеаризовані рівняння поширення малих пружних збурень у тілі з початковими деформаціями (65) у декартовій системі координат перепишуться у вигляді ( )( )2 2 i ijkl ijklmn mn k l jw t c w x xρ∂ ∂ = ∂ + Γ ε ∂ ∂ ∂ . (69) Співвідношення (69) є системою рівнянь гіперболічного типу, коефіцієнти якої визначаються через компоненти тензора початкових деформацій як функцій просторових координат, що описує поширення ультразвукової хвилі в середови- щі з неоднорідними початковими напруженнями. Ці формули разом із рівняння- ми, які визначають незбурений напружено-деформований стан, є теоретичною ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 3, 199-216 215 основою для формулювання задач неруйнівного визначення неоднорідно розпо- ділених тензорних полів початкових деформацій та напружень у твердому тілі з використанням даних акустичних вимірювань. Висновки. У статті розвинена теорія нелінійного пружного деформування твер- дого тіла, що базується на термодинамічних потенціалах, які залежать від мір де- формації, визначених щодо актуальної конфігурації. Встановлено декілька таких потенціалів, які визначають густину внутрішньої (вільної) енергії, віднесену до одиниці об’єму відлікової конфігурації. За такого підходу отримано різні варіан- ти систем рівнянь динаміки малих пружних збурень у попередньо неоднорідно деформованому континуумі, коефіцієнти яких залежать від тензорних параметрів початкового напружено-деформованого стану, які визначаються стосовно незбу- реної конфігурації, — тензорів (мір) деформації Альманзі та Фінґера. У такому вигляді ці рівняння зручно застосовувати для опису поширення зондувальних акустичних хвиль у задачах неруйнівного визначення неоднорідного напружено- деформованого стану. Література [1] Гузь А. Н. Об основах неразрушающего ультразвукового метода определения трех- осных напряжений в твердых телах // Прикл. механика. — 2001. — Т. 37, № 7. — С. 78-84. [2] Гузь А. Н. Упругие волны в телах с начальными (остаточными) напряжениями. — К.: «А. С. К.», 2004. — 672 с. [3] Патон Б. Е., Труфяков В. И., Гуща О. И., Гузь А. Н, Махорт Ф. Г. Ультразвуковой неразрушающий метод измерения напряжений в сварных конструкциях // Диаг- ностика и прогнозирование разрушения сварных конструкций. — 1986. — Вып. 2. — С. 13-19. [4] Ананьев И. В., Калинчук В. В., Полякова И. В. О возбуждении волн вибрирующим штампом в среде с неоднородными начальными напряжениями // Прикл. матема- тика и механика. — 1983. — Т. 47, № 3. — С. 483-489. [5] Равасоо А. Распространение волн в среде с неоднородной статической деформа- цией // Изв. АН ЭССР. Физ., матем. — 1982. — Т. 31, № 3. — С. 277-283. [6] Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. — М.: Наука, 1980. — 512 с. [7] Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. — М.: Мир, 1975. — 592 с. [8] Новацкий В. Теория упругости. — М.: Мир, 1975. — 872 с. [9] Кравчишин О. З., Чекурін В. Ф. Нелінійна модель поширення пружних збурень у пружно-деформованому континуумі // Мат. методи та фіз.–мех. поля. — 2004. — Т. 47, № 3.– С. 163-170. Василь Чекурін, Оксана Кравчишин Моделі динаміки пружних збурень у неоднорідно деформованому континуумі 216 Models for Dynamic of Elastic Disturbances in Non-uniformly Strained Continuum Vasyl Chekurin, Oksana Kravchyshyn A nonlinear theory of elasticity as applied to problems of tensor fields tomography in non- uniformly strained solids has been developed. As constitutive thermodynamic parameters of the theory, corresponding the process of deformation, the tensor characteristics determinate in the actual configuration — tensors Almansi’s and Finger’s have been used. In the frame of the theory several variants of system equations for dynamics of small elastic disturbances in non-uniformly strained continuum, linearized with respect to the amplitude of the disturbance, have been built. These equations coefficients are depended on local parameters of the body stress-strained state, determined in local base of the actual configuration. In such a form they are convenient to use for describing of the wave processes in non-uniformly strained solids activated to obtain some a posteriori information about the actual stress-strained state of such objects. Модели динамики упругих возмущений в неоднородно деформированном континууме Василь Чекурин, Оксана Кравчишин Развита нелинейная теория упругости применительно к задачам томографии тензорных полей в неоднородно деформированных твердых телах. В качестве определяющих пара- метров локального термодинамического состояния, соответствующих процессу деформи- рования, приняты тензорные характеристики, определяемые относительно актуальной (деформированной) конфигурации — тензор напряжений Коши и меры деформации Аль- манзи или Фингера. В рамках предложенной нелинейной теории построено несколько вари- антов системы уравнений динамики малых упругих возмущений в неоднородно деформиро- ванном твердом континууме, линеаризированной относительно деформации возмущения. Коэффициенты полученных уравнений зависят от локальных параметров напряженно-де- формированного состояния, заданных в актуальной конфигурации. В таком виде их удобно применять для описания волновых процессов, которые возбуждают в неоднородно дефор- мированных телах для получения апостериорной информации об актуальном напряженно- деформированном состоянии этих объектов. Отримано 22.02.05

Моделі динаміки пружних збурень у неоднорідно деформованому континуумі

Репозитарії

Схожі ресурси