Локально градієнтний підхід у термомеханіці

Подано загальну схему побудови математичних моделей за локально градієнтного підходу в термомеханіці та проведено огляд праць авторів у цьому напрямку. Підхід ґрунтується на використанні основних засад термодинаміки нерівноважних процесів та розширенні термодинамічного принципу локальної рівноваги н...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2006
Автори:	Грицина, О., Нагірний, Т., Червінка, К.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2006
Назва видання:	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20982
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Локально градієнтний підхід у термомеханіці / О. Грцина, Т. Нагірний, К. Червінка // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 72-83. — Бібліогр.: 56 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-20982
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-209822011-06-14T12:11:29Z Локально градієнтний підхід у термомеханіці Грицина, О. Нагірний, Т. Червінка, К. Подано загальну схему побудови математичних моделей за локально градієнтного підходу в термомеханіці та проведено огляд праць авторів у цьому напрямку. Підхід ґрунтується на використанні основних засад термодинаміки нерівноважних процесів та розширенні термодинамічного принципу локальної рівноваги на локально неоднорідні системи. Простір базових параметрів стану введено градієнт хімічного потенціалу, збурення якого ототожнюється зі збуренням енергії взаємодії. Приведено основні результати досліджень пружних, термопружних, електротермопружних процесів в одно- та багатокомпонентних тілах простої геометрії, у тому числі тонких плівках та волокнах. Вказано, зокрема, що локально градієнтний підхід дає змогу описати вплив температури, домішок і довкілля на межу міцності та її розмірний ефект. The general scheme for construction of mathematical models of local gradient approach in thermomechanics are presented and the papers of the authors in this area reviewed. This approach is based on the fundamental principles of thermodynamics of non-equilibrium processes and expands the local equilibrium principle for local nonhomogeneous bodies. The base parameter space is extended with gradient of chemical potential, which disturbation equates to disturbation of interaction energy. The basic results of researches are presented for elastic, thermoelastic, electrothermoelastic processes in simple geometry bodies and solid solutions including thin films and fibers. It is indicated, in particular, that local gradient approach allows describing influence of temperature, admixtures and environment on the strength and its size effect. Представлена общая схема построения математических моделей при локально градиентном подходе в термомеханике и проведен обзор трудов авторов в этом направлении. Подход базируется на использовании основных принципов термодинамики неравновесных процессов и расширении принципа локального равновесия на локально неоднородные системы. В пространство базовых параметров введен градиент химического потенциала, возмущение которого отождествляется с возмущением энергии взаимодействия. Представлены основные результаты исследований упругих, термоупругих, электротермоупругих процессов в одно- и многокомпонентных телах простой геометрии, в том числе тонких пленках и волокнах. Указано, в частности, что локально градиентный подход позволяет описывать влияние температуры, примесей и окружающей среды на предел прочности и его масштабный эффект. 2006 Article Локально градієнтний підхід у термомеханіці / О. Грцина, Т. Нагірний, К. Червінка // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 72-83. — Бібліогр.: 56 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20982 539.3 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Подано загальну схему побудови математичних моделей за локально градієнтного підходу в термомеханіці та проведено огляд праць авторів у цьому напрямку. Підхід ґрунтується на використанні основних засад термодинаміки нерівноважних процесів та розширенні термодинамічного принципу локальної рівноваги на локально неоднорідні системи. Простір базових параметрів стану введено градієнт хімічного потенціалу, збурення якого ототожнюється зі збуренням енергії взаємодії. Приведено основні результати досліджень пружних, термопружних, електротермопружних процесів в одно- та багатокомпонентних тілах простої геометрії, у тому числі тонких плівках та волокнах. Вказано, зокрема, що локально градієнтний підхід дає змогу описати вплив температури, домішок і довкілля на межу міцності та її розмірний ефект.
format	Article
author	Грицина, О. Нагірний, Т. Червінка, К.
spellingShingle	Грицина, О. Нагірний, Т. Червінка, К. Локально градієнтний підхід у термомеханіці Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
author_facet	Грицина, О. Нагірний, Т. Червінка, К.
author_sort	Грицина, О.
title	Локально градієнтний підхід у термомеханіці
title_short	Локально градієнтний підхід у термомеханіці
title_full	Локально градієнтний підхід у термомеханіці
title_fullStr	Локально градієнтний підхід у термомеханіці
title_full_unstemmed	Локально градієнтний підхід у термомеханіці
title_sort	локально градієнтний підхід у термомеханіці
publisher	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
publishDate	2006
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20982
citation_txt	Локально градієнтний підхід у термомеханіці / О. Грцина, Т. Нагірний, К. Червінка // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 72-83. — Бібліогр.: 56 назв. — укр.
series	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT gricinao lokalʹnogradíêntnijpídhídutermomehanící AT nagírnijt lokalʹnogradíêntnijpídhídutermomehanící AT červínkak lokalʹnogradíêntnijpídhídutermomehanící
first_indexed	2025-07-02T21:31:01Z
last_indexed	2025-07-02T21:31:01Z
_version_	1836572330844749824
fulltext	Локально градієнтний підхід у термомеханіці Ольга Грицина1, Тарас Нагірний2, Костянтин Червінка3 1 к. ф.-м. н., с. н. с., Центр математичного моделювання IППММ iм. Я. С. Пiдстригача НАН України, вул. Дж. Ду- даєва, 15, Львiв, Україна, 79005, e-mail: gryt@cmm.lviv.ua 2 д. ф.-м. н., професор, Центр математичного моделювання IППММ iм. Я. С. Пiдстригача НАН України, вул. Дж. Дудаєва, 15, Львів, Україна, 79005; Зеленогурський Університет, вул. проф. Шафрана, 4, Зелена Гура, Польща, 65-516, e-mail: tnagirny@yahoo.com 3 к. ф.-м. н., Львівський національний університет імені Івана Франка, вул. Університетська, 1, Львів, Україна, 79000, e-mail: k.tchervinka@gmail.com Подано загальну схему побудови математичних моделей за локально градієнтного підходу в термомеханіці та проведено огляд праць авторів у цьому напрямку. Підхід ґрунтується на використанні основних засад термодинаміки нерівноважних процесів та розширенні термодинамічного принципу локальної рівноваги на локально неоднорідні системи. Простір базових параметрів стану введено градієнт хімічного потенціалу, збурення якого ототож- нюється зі збуренням енергії взаємодії. Приведено основні результати досліджень пруж- них, термопружних, електротермопружних процесів в одно- та багатокомпонентних тілах простої геометрії, у тому числі тонких плівках та волокнах. Вказано, зокрема, що локально градієнтний підхід дає змогу описати вплив температури, домішок і довкілля на межу міц- ності та її розмірний ефект. Ключові слова: локально неоднорідні моделі термомеханіки, взаємозв’я- зані процеси, поверхневі явища, огляд. Вступ. В останні десятиріччя у науковій літературі значна увага надається вив- ченню напружено-деформованого стану елементів конструкцій та приладів на основі моделей локально неоднорідної механіки, тобто із урахуванням нелокаль- ної залежності між тензорами напружень та деформації. Серед нелокальних мо- делей механіки можна виокремити феноменологічні моделі [1, 2], у яких посту- люється залежність між тензорами напружень σ̂ і деформації ê , та моделі, які ґрунтуються на загальних принципах термодинаміки нерівноважних процесів. Визначальне співвідношення для феноменологічних моделей у загальному ви- падку є таким ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ′′′−=σ V rdrerrr rrrrv ˆ:ˆˆ )4(χ , (1) де ( )rr rr ′−)4(χ̂ — функція впливу (тензор четвертого рангу), яка залежить від від- далі між розглядуваною точкою з радіус-вектором rr та біжучою, радіус-вектор якої r ′r ; ( )V — довільно виділена область тіла. УДК 539.3 72 ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, Вип. 3, 72-83 73 Конкретизуючи функцію ( )o)4(χ̂ , визначальне співвідношення (1) можна привес- ти до вигляду ( ) eAa ˆ:ˆ1ˆ )4(2∇−=σ , (2) або ( ) eAb ˆ:ˆˆ1 )4(2 =σ∇− . (3) Тут )4(Â , a, b — характеристики матеріалу. Нелокальну залежність між тензорами σ̂ та ê дозволяє також враховувати локально градієнтний підхід у термомеханіці, започаткований роботами [3-5]. Згідно з цим підходом нелокальна залежність між напруженнями σ̂ та деформа- ціями ê може бути записана у вигляді [6] ( ) ( ) ( )IbebeBbb e ˆˆ:ˆ1ˆ1 )4(22 θ++∇−=σ∇− θ , (4) де e — кульова складова тензора деформації; θ — температура; )4(B̂ — тензор четвертого рангу; Î — одиничний тензор; θbbe , — сталі величини. За такого підходу, із врахуванням ефектів локальної градієнтності, побудо- вано низку математичних моделей пружних, термопружних одно- та багатоком- понентних тіл, у тому числі й електропровідних, опрацьовано методи розв’язу- вання відповідних крайових задач математичної фізики та проведено широкий комплекс досліджень. Показано, зокрема, що такі моделі дозволяють описувати залежність міцності від температури, домішок та довкілля, а також різного роду роз- мірні ефекти. У роботі подано загальну схему побудови визначальних співвідношень за локально градієнтного підходу в термомеханіці та проведено огляд праць авторів у цьому напрямку. 1. Вихідні співвідношення локально градієнтної електротермомеханіки твердих розчинів Локально градієнтні моделі будуються на засадах термодинаміки нерівноважних процесів та нелінійної механіки. Об’єктом дослідження є деформівне тверде тіло, в якому окреслюються базові процеси. Для кожного з цих процесів формулю- ються відповідні балансові співвідношення, а також рівняння балансу повної енергії. Вони є основою для одержання рівняння балансу внутрішньої енергії, наслідком якого є визначальні співвідношення моделі. Загальну схему формулю- вання визначальних співвідношень проілюструємо на прикладі моделі локально градієнтної електротермомеханіки твердих розчинів. З цією метою розглянемо неферомагнітне деформівне тверде тіло, визначальними в якому є процеси дефор- мування, масоперенесення, тепло- та електропровідності. Приймемо, що твердий розчин складається зі скелета (підсистема 1) та домішок (підсистеми N,2 ). Ольга Грицина, Тарас Нагірний, Костянтин Червінка Локально градієнтний підхід та вплив температури й домішок на поверхневий натяг у шарі 74 Розглядувані процеси справджують рівняння збереження повної енергії Е, енергії електромагнітного поля eU , імпульсу механічного поступального руху vk r , ентропії S, заряду, маси, а також рівняння Максвелла, які у локальній формі при нехтуванні конвективними складовими похідних за часом є такими       × µ +Φ−−−υ⋅σ⋅∇= ∂τ ∂ BEJJHJTE emkks rrrrrrr 0 1ˆ , ( ) ( ) EJBEU ee e rrrrrr ⋅υρ++×⋅∇ µ = ∂τ ∂ 0 1 e v Fk rr r +σ⋅∇= ∂τ ∂ ˆ , ssJS σ+⋅∇−= ∂τ ∂ rr , e e J rr ⋅∇−= ∂τ ∂ρ , mkmk k J σ+⋅∇−= ∂τ ∂ρ rr , (k = N,1 ) τ∂ ∂ −=×∇ BE r rr , ( )υρ+µ+ τ∂ ∂ εµ=×∇ rr r rr eeJEB 000 , 0=⋅∇ B rr , eE ρ=⋅∇ε rr 0 . (5) Тут υ r — вектор швидкості континууму центрів мас; sJ r , eJ r — вектори потоків ентропії та електричного заряду; kH , kρ , mkσ , mkJ r (k = N,1 ) — хімічний потен- ціал, густина, виробництво та вектор потоку маси k-ої компоненти твердого роз- чину; T — абсолютна температура; Φ — термодинамічний електричний потен- ціал; BE rr , — вектори напруженості електричного та індукції магнітного полів; ( ) EBJF eeee rrrrr ρ+×υρ+= — пондеромоторна сила; ( ) 2/21 0 2 0 BEUe rr −µ+ε= ; 00, εµ — магнітна та електрична сталі; τ — час, ∇ r — оператор Гамільтона. Тут і надалі значення індексу k = 1 відповідає підсистемі скелета, k = N,2 — підсистемам до- мішок, а за індексами, що повторюються в доданку, проводиться підсумовування від 1 до N. Зазначимо, що для замкнутих систем сума джерел маси дорівнює ну- лю (∑ σk mk = 0). Головною ідеєю локально градієнтного підходу є подання потоків mkJ r , sJ r , eJ r сумою їх оборотних та необоротних складових [7, 8] mlmlm m m jJjJ rrrrr =+ ∂τ π∂ −= ,1 1 1 l = N,2 , e e es s s jJjJ rrrrrr + ∂τ π∂ −=+ ∂τ π∂ −= , , (6) де вектори esm πππ rrr ,,1 названо векторами зміщень відповідних величин. Однак розвиток одержали моделі, які враховують лише пружне зміщення маси скелета ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, Вип. 3, 72-83 75 1mπ r та заряду eπ r . Слід відзначити, що основні співвідношення моделей локально градієнтної термомеханіки деформівних одно- та багатокомпонентних тіл, у тому числі й електропровідних, можна одержати на основі реологічних мо- делей шляхом виокремлення незатухаючої пам’яті для відповідних потоків [9, 10]. Наступний крок при побудові моделей полягає у конкретизації повної енергії Е. Її приймаємо у вигляді суперпозиції внутрішньої енергії U, енергії руху K та енергії електромагнітного поля Ue. Для означення приросту енергії руху dK розглядалися випадки: • класичного подання vkddK rr ⋅=v , 2/2vkv rr ρ= ; • означення енергії K в просторі імпульсів відповідних форм руху та посту- лювання потоків як параметрів, спряжених до імпульсів. Такі моделі до- зволили врахувати скінченні швидкості процесів теплопровідності та ма- соперенесення [8, 11-14], інерційність процесу деформування [15] та пруж- них зміщень маси [16, 17], а також описати вібраційне прискорення не- оборотних процесів, у тому числі й дифузії [15, 18]. У першому випадку з використанням співвідношень (5) та (6) отримаємо таке рівняння балансу енергії F ( ) ( ) ( ) − ∂τ ∂ ρ− ∂τ ∂ − ∂τ ′−Φ∇∂ ⋅π− ∂τ ∇∂ ⋅π− ∂τ ∇∂ ⋅π− ∂τ ∂ σ≡ ∂τ ∂ k kesm HTSETHeF rr r r r r r 1 1 ˆ :ˆ ( ) ( )1HHEjHjTjT kmkekmksse −σ−′−Φ∇⋅−∇⋅−∇⋅−σ− ∂τ Φ∂ ρ− rrrrrrr . (7) Тут ( )ETHHSTUF esmekk ′−Φ∇⋅π−∇⋅π−∇⋅π−Φρ−ρ−−= rrrrrrr 11 , BEE rrrr ×υ+=′ . Формула (7) є основою для формулювання рівнянь стану та кінетичних співвідношень. Таким чином, подання (6) дозволило ввести у простір параметрів стану градієнти хімічного потенціалу скелета, температури та термодинамічного електричного потенціалу, і у підсумку розширити термодинамічний принцип ло- кальної рівноваги на локально неоднорідні системи. У роботі [19] в рамках моделі термопружного тіла враховано тензорний характер хімічного потенціалу. Хімічний потенціал та спряжений до нього пара- метр — густину маси, прийнято тензорами другого рангу, тоді як вектор пруж- них зміщень маси — тензором третього рангу. Для опису самодифузійних явищ розглядається термопружний твердий розчин, у якому частинки одного й того ж сорту можуть перебувати у зв’язаному (скелет) та вільному (домішки) станах [20]. При цьому підсистеми скелета й до- мішок можуть обмінюватися масою. Основні модельні співвідношення для локально неоднорідного термопруж- ного тіла в області структурних перетворень сформульовано в [21, 22]. Прийма- лося, що структурні перетворення, які описуються внутрішніми ступенями вільності (векторним та тензорним параметрами), можуть бути як оборотними, так і необоротними. Одержані співвідношення використано для опису процесу гартування. Ольга Грицина, Тарас Нагірний, Костянтин Червінка Локально градієнтний підхід та вплив температури й домішок на поверхневий натяг у шарі 76 2. Рівноважний стан деформівних твердих тіл із врахуванням ефектів локальної градієнтності Дослідження рівноважних станів проводилося на основі лінеаризованих систем рівнянь згаданих вище моделей для тіл простої геометричної конфігурації. Вра- ховуючи, що збурення хімічного потенціалу можна ототожнити зі збуренням енергії взаємодії [6], при постановці відповідних крайових задач математичної фізики приймалося, що значення хімічних потенціалів частинок на поверхні та в глибинних областях тіла є різними. Показано, що врахування різних умов взає- модії частинок у глибинних областях тіла та на його поверхнях призводить до неоднорідного напружено-деформованого стану й у підсумку дозволяє опису- вати приповерхневі явища [5, 23, 24]. Для прикладу на рис. 1 показано розподіл приведених напружень yyσ у вільному від зовнішнього силового навантаження шарі товщини 2l ( lx ≤ , 1−ξ — характерний розмір області приповерхневої неод- норідності, стала величина). Бачимо, що розподіл напружень yyσ є симетричним відносно серединної поверхні шару. На поверхнях тіла lx ±= напруження yyσ є розтягуючими. Напруження монотонно зменшуються при відході від зовнішніх поверхонь, стають нульовими у деяких точках axx ±= й у глибинних областях є стискаючими. Для шарів, товщина яких є великою, порівняно з характерним розміром області приповерхневої неоднорідності ( 1>>ξl ), неоднорідність у розподілі напружень є властивою для приповерхневих областей тіла, тоді як у глибинних областях напруження є майже незмінними. Для тонких плівок така неоднорідність характерна для всієї області тіла. Поверхневим напруженням властивий розмірний ефект — зі збільшенням товщини шару (безрозмірного параметра lξ ) напруження ( )lyy ±σ монотонно збільшуються, прямуючи до зна- чення поверхневих напружень у півпросторі. Однорідна температура не впливає на характер розподілу напружень, у то- му числі на точку переходу розтягуючих приповерхневих напружень у стиска- ючі, однак може суттєво змінювати їх значення [25]. Розподіл домішок у тілі спрямований на «вирівнювання» неоднорідності хімічного потенціалу скелета. При цьому домішки можуть суттєво змінювати характерний розмір області при- поверхневої неоднорідності. Залежно від співвідношення між параметрами ске- лета та домішок наявність останніх у тілі може призводити як до збільшення, так і до зменшення поверхневих напружень [26-28]. На основі порівняння гетеродифузії, яка враховує різні шляхи міграції до- мішкової речовини [29, 30], та опису дифузії за локально градієнтного підходу показано [28], що локально градієнтні моделі враховують внутрішню структуру тіл. До такого ж висновку дійшли у роботі [6] при співставленні та аналізі ло- кально градієнтної та нелокальної теорій пружності. Вплив електронної підсистеми на напружено-деформований стан в рамках моделі локально неоднорідного електропровідного термопружного твердого тіла вивчено в [8, 31]. У цих роботах показано, що подвійний електричний шар має ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, Вип. 3, 72-83 77 самоорганізаційну природу і спричинений приповерхневою неоднорідністю енер- гії взаємодії та силами Лоренца. У низці робіт [20, 25, 31-34] для тіл простої геометрії досліджено та про- аналізовано вплив кривини поверхні на закономірності розподілу компонент твердого розчину, напружено-деформований стан та поверхневий натяг pf , а та- кож його розмірний ефект. Показано, зокрема, що значення pf лінійно залежить від однорідної температури тіла. Проведені дослідження [6, 25-27, 31, 32, 35-37] засвідчили, що локально градієнтний підхід дозволяє описувати розмірний ефект межі міцності, а також вплив на межу міцності та її розмірний ефект температури, домішок та довкілля. За основу приймалися класичні критерії міцності. Показано, що напружено-де- формований стан тіла, що перебуває під дією силового навантаження, є суперпо- зицією напружено-деформованого стану, спричиненого зовнішнім силовим на- вантаженням, та стану, зумовленого наявністю поверхні тіла. Домішки, темпера- тура та довкілля, впливаючи на напружено-деформований стан, зумовлений наяв- ністю поверхні тіла, змінюють значення силового навантаження krp , що призводить до руйнування. Так, за однорідної температури та стаціонарного розподілу домі- шок, виходячи із першого класичного критерію міцності, для krp , що спричиняє руйнування товстих (порівняно з характерним розміром області приповерхневої неоднорідності) шарів одержано формулу aa krp 2βη−θα−σ= + . Тут +σ — інтенсивність силового навантаження, що приводить до руйнування товстих шарів при початковій температурі ( 0=θ ) та за відсутності домішок, aa 2,ηθ — збурення початкових значень температури та поверхневого хімічного потенціалу домішок, βα, — сталі. Залежність межі міцності (приведеного значен- ня krp ) від однорідної температури тіла ілюструють криві на рис. 2. Хрестиками відзначено експериментальні дані [38] для сплаву 10ВМЦ системи Nb-W-Mo-Zr. 300 400 500 250 450 650 T, K (p) , МПа -0,4 0,0 0,4 0,8 -1,0 -0,5 0,0 0,5 x/l spr 1 2 3 ,)( pσ prσ Рис. 1. Приведені напруження )/( lxprσ у шарі товщини 25,15,5=ξ l (криві 1-3) Рис. 2. Межа міцності в діапазоні температур 290..770 К (МПа) 0,8 0,4 0,0 –0,4 –1,0 –0,5 0,0 0,5 500 400 300 450 250 650 Ольга Грицина, Тарас Нагірний, Костянтин Червінка Локально градієнтний підхід та вплив температури й домішок на поверхневий натяг у шарі 78 Варіаційне формулювання крайових задач математичної фізики локально градієнтної термомеханіки та загальну схему їх чисельного дослідження з ви- користанням апроксимацій найменших рухомих квадратів представлено в [39, 40]. Методику вивчення рівноважного стану локально неоднорідних термопруж- них твердих тіл у двовимірній постановці з використанням методу послідовних наближень запропоновано у роботах [6, 41]. Методика є ефективною для дослі- дження поведінки тіл, область яких може бути конформно відображена на зов- нішність одиничного кола. Низка публікацій [42-44] присвячена розробці методики дослідження рівно- важних станів у кусково-однорідних одно- та двокомпонентних тілах. У роботі [43] вивчено рівноважний розподіл домішок та напружень у суцільній двошаровій системі куля-покриття. Такі ж дослідження для кусково-однорiдних тiл з плоски- ми границями приведені у працях [42, 44]. Отримані розв’язки та їх аналіз є важ- ливими для вибору раціональних параметрів одно- та багатошарових захисних покрить. 3. Квазістатичні задачі У роботах [28, 34, 45-48] розроблено методику розв’язування та вивчено закономірності механотермодифузійних процесів у тілах простої геометричної конфігурації у разі їх нагріву та насичення домішками. Приймалося, що домішки не впливають на процес теплопровідності, для опису якого використовувалося класичне рівняння, а при описі масоперенесення знехтувано впливом кульової складової тензора деформації на густини компонент твердого розчину. Методика ґрунтується на виокремленні головної частини розв’язку, що відповідає стаціонарному стану, до якого прямує система при +∞→τ . Це дозволило отримати розв’язки відповідних крайових задач у вигляді швидкозбіжних рядів. На цій основі проведено широкий комплекс досліджень механотермодифу- зійних процесів в одно- та двокомпонентних тілах простої геометрії. Основна увага надавалася вивченню впливу температури та домішок на напружено-де- формований стан, поверхневий натяг та міцність. При аналізі параметрів міцнос- ті за розрахункові вибрано поверхневі напруження. Дослідження поверхневих напружень проведено у випадках, коли одночасно і насичення домішками, і на- грів тіла спричиняють збільшення (зменшення) поверхневих напружень, а також коли один із згаданих процесів призводить до збільшення, а інший — до змен- шення поверхневих напружень. На прикладі шару проаналізовано температурні режими, які дозволяють досягнути потрібного рівня поверхневих напружень (міцності) у процесі дифузійного насичення [34, 48]. 4. Динамічні задачі У роботах [49-52] опрацьовано методику дослідження хвильових процесів у пружних і термопружних тілах та твердих розчинах із врахуванням ефектів локальної неоднорідності. Методика базується на використанні операції осеред- ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, Вип. 3, 72-83 79 нення на періоді коливань та поданні шуканого розв’язку сумою коливної і по- вільно змінної на періоді коливань складових, а також асимптотичному розви- ненні у ряд за малим параметром задачі. На прикладі пружного шару, в наближенні хвиль основної гармоніки, ви- вчено вплив приповерхневої неоднорідності на частоти власних коливань за різ- них умов закріплення його поверхонь. Встановлено, що для шару із нерухомими поверхнями такий вплив є нехтовно малим, а для шару з вільними поверхнями — удвічі більшим, порівняно з шаром, одна із поверхонь якого закріплена. У робо- тах [51, 52] вивчено вплив однорідної температури та домішок за їх стаціонарного розподілу на частоти власних коливань шару. Показано, що для шарів, товщина яких значно більша за характерний розмір області приповерхневої неоднорідності, така залежність може бути врахована опосередковано завдяки врахуванню впли- ву температури та домішок на швидкості поширення пружної хвилі. У рамках моделі локально градієнтного термопружного тіла, із врахуванням тензорного характеру хімічного потенціалу [19], показано, що модель враховує нелокальну залежність не лише між кульовими, але і девіаторними складовими тензорів напружень і деформацій та описує поряд з дисперсією хвиль стиску дис- персію хвиль зсуву. У роботах [53-56] розроблено методику вивчення вкладу поверхневого чинника в акустичну емісію за раптового виникнення у тілі вільних поверхонь та твердих включень. Утворення нової поверхні тіла моделюється граничними умо- вами для хімічного потенціалу. Приймається, що у початковий момент часу 0=τ у тілі реалізується рівноважний неоднорідний стан, зумовлений наявністю по- верхні (S). Для часу 0+=τ на поверхні (S) + ( S′ ), де ( S′ ) — новоутворена по- верхня, встановлюється значення хімічного потенціалу, властиве вільній поверхні. При виникненні включення на новоутвореній поверхні ( S′ ) миттєво встановлю- ється значення хімічного потенціалу, характерне новоутвореній кусково-однорідній системі. На цій основі вивчено вплив поверхневого чинника в акустичну емісію у разі раптового виникнення поверхні півпростору, кульової, циліндричної порож- нин та пружного включення у вигляді шару в безмежному середовищі. Дослідже- но також вплив термодинамічного електричного потенціалу на величину стриб- ків напружень при переході через фронт хвилі розширення. У працях [16, 17] у рамках моделі узагальненого локально неоднорідного твердого тіла враховано та досліджено також вклад в акустичну емісію інерційності пружних зміщень. Висновки. За локально градієнтного підходу в термомеханіці термодинамічний принцип локальної рівноваги розширено на локально неоднорідні системи. При цьому простір базових параметрів розширено градієнтом хімічного потенціалу скелета, збурення якого ототожнено зі збуренням енергії взаємодії. На цій основі побудовано низку математичних моделей, дано постановку та опрацьовано мето- ди розв’язування відповідних крайових задач математичної фізики. Проведений комплекс досліджень дозволив вивчити закономірності взає- мозв’язаних полів у пружних, термопружних, електротермопружних одно- та ба- гатокомпонентних тілах, у тому числі тонких плівках та волокнах, із врахуван- Ольга Грицина, Тарас Нагірний, Костянтин Червінка Локально градієнтний підхід та вплив температури й домішок на поверхневий натяг у шарі 80 ням ефектів приповерхневої неоднорідності. Встановлено, зокрема, що локально градієнтні моделі термомеханіки дозволяють описувати вплив температури, до- мішок та довкілля на межу міцності та її розмірний ефект. Література [1] Edelen D. G., Green A. E., Laws N. Nonlocal Continuum Mechanics // Arch. Rat. Mech. Anal. — 1971. — Vol. 43, № 1. — P. 36-44. [2] Eringen A. C., Edelen D. G. On Nonlocal Elasticity // Int. J. Eng. Sci. — 1972. — Vol. 10. — P. 233-248. [3] Бурак Я. Й. Локально-градієнтний підхід в термомеханіці електропровідних нефе- ромагнітних тіл // Доп. АН УССР. Сер. А. — 1988. — № 4. — С.23-26. [4] Нагирный Т.С. Термоупругие процессы в вязкоупругих телах с учетом градиент- ности полей температуры и химического потенциала // Мат. методы и физ.-мех. поля. — 1989. — Вып. 29. — С. 34-37. [5] Бурак Я. Й., Нагірний Т. С., Грицина О. Р. Про термодинамiчне моделювання при- поверхневих явищ в термомеханiцi // Доп. АН України. Сер. А. — 1991. — № 9. — С. 66-70. [6] Бурак Я., Чапля Є., Нагірний Т. та ін. Фізико-математичне моделювання складних систем / За ред. Я. Бурака, Є. Чаплі. — Львів: СПОЛОМ, 2004. — 264 с. [7] Бурак Я. Й., Грицина О. Р., Нагірний Т. С. Визначальні співвідношення узагальне- ної електротермомеханіки N-компонентного твердого розчину // Физ.-хим. меха- ника материалов. — 1991. — № 1. — С.9-13. [8] Бурак Я. И., Нагирный Т. С. Математическое моделирование локально-градиент- ных процессов в инерционных термомеханических системах // Прикладная меха- ника. — 1992. — Т. 28, № 12. — C. 3–23. [9] Нагірний Т. С. До питання про вибір функцій впливу в реологічних кінетичних рів- няннях механіки суцільного середовища // ДАН України, 1992, №2, с.49-53 [10] Нагірний Т. С. Термодинамічний підхід до формулювання конститутивних співвід- ношень термомеханічних реологічних систем // Доп. НАН України. — 1997. — № 2. — С. 52-56. [11] Бурак Я. Й., Нагірний Т. С. Термодинамічні аспекти узагальненої термомеханіки // Доп. АН УРСР. Сер. А. — 1990. — № 8. — С. 34-37. [12] Бурак Я. Й., Грицина О. Р., Нагірний Т. С. Визначальні співвідношення узагальне- ної електротермомеханіки // Доп. АН УРСР. Сер. А. — 1990. — № 9. — С. 32-35. [13] Бурак Я. Й., Нагірний Т. С. Термодинамічні основи локально-градiєнтної узагальне- ної термомеханiки // Мат. методи та фiз.-мех. поля. — 1992. — Вип. 35. — С. 20-24. [14] Буряк Я. Й., Зозуляк Ю. Д., Нагірний Т. С. Визначальні співвідношення інерційної ло- кально-нерiвноважної термопружності // ДАН України. — 1993. — № 6. —С. 48-53. [15] Burak Ya., Nagirny T. Mathematical modelling of the nonequilibrium processes in local- ly nonhomogeneous thermoelastic systems // Zeszyty naukowe politechniki Rzeshows- kiej. — 1996. — № 151. — Mechanika. — z. 48. — P. 21-28. [16] Бурак Я. Й., Говда Ю. І., Нагірний Т. С. Термодинамічне моделювання локально- градiєнтних термопружних систем з врахуванням iнерцiйностi пружних зміщень // Доп. НАН України. — 1996. — № 2. —C. 39-43. [17] Burak Ya., Govda Yu., Nagirny T. Thermodynamical modelling of the dynamical proces- ses in thermoelastic systems allowing for the interface phenomena // XVII Symp. Vibra- tion in physical systems. — Poland, Poznan', 1996. Abstracts. — P. 82-83. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, Вип. 3, 72-83 81 [18] Burak Ya., Nagirny T. Thermodynamical aspects of vibrational acceleration of nonequi- librium processes // XVI Symp. Vibration in physical systems. — Poland, Poznan' 1994, May 26-28. Abstracts. — P. 75-76. [19] Нагірний Т. С., Червінка К. А. Модель термопружного твердого тіла з урахуванням ефектів локальної градієнтності та тензорного характеру хімічного потенціалу // Доп. НАН України. — 2000. — № 2. — С. 50-53. [20] Грицина О. Р. Математичне моделювання та дослідження механодифузійних про- цесів у твердих розчинах із врахуванням ефектів локальної градієнтності: Авто- реф. дис. … к-та фіз.-мат. наук: 01.02.04 / Львів, 1995. — 16 c. [21] Нагирный Т. С. Уравнения термомеханики электропроводных неферромагнитных тел с учетом структурных превращений // Мат. методы и физ.-мех. поля. — 1990. — Вып. 31. — С. 21-24. [22] Нагірний Т. С. Моделювання термопружного деформування твердих тіл із внут- рішніми ступенями вільності // Фіз.-хім. механіка матеріалів. — 1991. — № 3. — С. 79-83. [23] Бурак Я. Й., Нагірний Т. С., Грицина О. Р. Про один підхід до врахування припо- верхневої неоднорідності в термомеханіці твердих розчинів // Доп. АН України. Сер. А. — 1991. — № 11. — С. 47-51. [24] Бурак Я. Й., Нагірний Т. С. Теоретичні основи розрахунку локально-градієнтних термомеханічних систем з врахуванням поверхневих явищ // Фіз.-хім. механіка матеріалів. — 1993. — № 4. — С. 24-30. [25] Нагірний Т. С., Червінка К. А. Поверхневі напруження в шарі. Вплив температури на приповерхневий натяг та міцність // Доп. НАН України. — 2000. — № 10. — C. 57-62. [26] Нагірний Т. С., Грицина О. Р. Дослідження впливу домішок на міцність розтягну- того циліндра // Машинознавство. — 1999. — № 8. — С. 13-18. [27] Бурак Я. И., Нагирный Т. С., Грицина О. Р., Червинка К. А. Поверхностные напря- жения в слое. Влияние температуры и примесей на прочность // Проблемы проч- ности. — 2000. — № 6. — C. 35–43. [28] Нагірний Т. С., Грицина О. Р. Моделювання та дослідження квазістатичних меха- нодифузійних процесів із врахуванням приповерхневої неоднорідності // У зб.: Механіка середовища, методи комп’ютерних наук та моделювання. — Львів: Сплайн, 2004. — C. 159-174. [29] Aifantis E. C. Continuum basis for diffusion in regions with multiple diffusivity // J. Appl. Phys. — 1979. — Vol. 50, № 3. — P. 1334-1338. [30] Буряк Я. И., Галапац Б. П., Чапля Є. Я. Деформация электропроводных тел с уче- том гетеродиффузии заряженных примесных частиц // Физ.-хим. механика мате- риалов. — 1980. — № 5. — С. 71-77. [31] Нагірний Т. С. Термодинамічні моделі та методи у локально градієнтній термоме- ханіці з врахуванням приповерхневих явищ: Автореф. дис. … д-ра фіз.-мат. наук: 01.02.04 / Львів, 1998. — 36 c. [32] Нагірний Т. С. Поверхневі напруження в шарі. Поверхневий натяг та міцність шару // Мат. методи та фіз.-мех. поля, 1999. — Т. 42, № 4. — С. 111-115. [33] Грицина О. Р., Нагірний Т. С. Вплив кривини поверхні та домішок на поверхневий натяг у кулі // Мат. методи та фіз.-мех. поля. — 2001. — Т. 44, № 1. — С. 12-16. [34] Грицина О. Р., Нагірний Т. С., Червінка К. А. Локально градієнтний підхід та вплив температури й домішок на поверхневий натяг у шарі // Фізико-математичне моде- лювання та інформаційні технології. — 2005. — Вип. 1.— С. 38-49. Ольга Грицина, Тарас Нагірний, Костянтин Червінка Локально градієнтний підхід та вплив температури й домішок на поверхневий натяг у шарі 82 [35] Nagirny T., Burak Ya. Thermodynamical models of continual description of the coupled processes in thin-film systems // In: «Trends in Continuum Physics», Word Scientific, 1999 — P. 263-276. [36] Грицина О. Р., Нагірний Т. С. Вплив домішок на міцність розтягнутого шару // Фіз.-хім. механіка матеріалів. — 2000. — № 4. — С. 87-90. [37] Грицина О. Р., Нагірний Т. С. Моделювання і дослідження впливу домішок на міц- ність порожнистого циліндра // Машинознавство. — 2002. — №4. — С. 12-15. [38] Бухановский В. В., Борисенко В. А., Харченко В. К. Характеристики кратковремен- ной прочности и пластичности ниобиевого сплава 10ВМЦ системы Nb-W-Mo-Zr в диапазоне температур 290...2270 K // Проблемы прочности. — 1996. — № 6. — С. 113-120. [39] Bozhenko B., Hrytsyna O., Nahirnyj T. Surface stresses in layer and admixture effect on strength // In: «New Trends in Statics and Dynamics of Buildings». — Bratislava: Slovak University of Technology in Bratislava. — 2004. — P. 22-25. [40] Боженко Б. Л., Нагірний Т. С. До чисельного розв’язування варіаційних задач локально градієнтної механіки з використанням апроксимацій найменших ру- хомих квадратів // Мат. методи та фiз.-мех. поля. — 2004. — Т. 47, № 2. — С. 124-128. [41] Нагірний Т. С., Червінка К. А. До визначення хімічного потенціалу у двовимірних задачах моделі локально градiєтного термопружного тіла // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. — 2004. — Вип. 63. — С. 108-113. [42] Бурак Я. Й., Грицина О. Р., Нагiрний Т. С. Моделювання та дослідження механо- концентрацiйних полів у приконтактних областях двокомпонентних кусково-одно- рiдних систем // Фiз.-хiм. механiка матерiалiв. — 1994. — № 1. — С. 78-88. [43] Грицина О. Р., Нагірний Т. С. Рівноважний стан насиченої домішками кулі з по- криттям з урахуванням приповерхневих явищ // Мат. методи та фіз.-мех. поля. — 2000. — Т. 43, № 2. — С. 171-175. [44] Грицина О. Р., Нагірний Т. С. Напружений стан і розподіл домішок у півпросторі з покриттям із урахуванням приповерхневої неоднорідності // У зб.: Моделювання та інформаційні технології. — Вип. 15. — К.: 2002. — С. 15-22. [45] Бурак Я. Й., Грицина О. Р., Нагірний Т. С. Механодифузійні процеси у півпросторі з врахуванням поверхневих явищ // Доп. АН України. — 1992. — № 11. — С. 37-40. [46] Грицина О. Р., Нагірний Т. С. Вплив домішок на приповерхневу неоднорідність та міцність циліндра в процесі його насичення // Мат. методи та фіз.-мех. поля. — 2000. — Т. 43, № 3. — С. 122-126. [47] Нагірний Т. С., Грицина О. Р. Вплив домішок на приповерхневу неоднорідність та міцність шару в процесі його насичення // Доп. НАН України. — 2001. — № 4. — С. 51-57. [48] Грицина О. Р., Нагірний Т. С., Червінка К. А. Мехонотермодифузiйнi процеси у розтягнутій пластині із врахуванням ефектів приповерхневої неоднорідності // Мат. методи та фiз.-мех. поля. — 2002. — Т. 45, № 1. — С. 123-127. [49] Burak Y., Nagirny T. The problems of mathematical modelling of wave processes in nonlinear thermomechanic systems // In Vibration in Physical Systems. — Poznan' 1998. — Р. 81-82. [50] Нагірний Т. С., Червінка К. А. Моделювання хвильових процесів у деформівних твердих тілах з врахуванням ефектів приповерхневої неоднорідності // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. — 1999. — Вип. 54. — С. 117-124. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, Вип. 3, 72-83 83 [51] Нагірний Т. С., Червінка К. А. Моделювання та дослідження впливу температури на власні коливання шару // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. — 2002. — Вип. 60. — C. 102-106. [52] Грицина О. Р., Нагірний Т. С. Про вплив домішок на частоти власних коливань шару // Мат. методи та фіз.-мех. поля, 2006. — У друці. [53] Нагірний Т. С. До питання про опис акустичної емісії та оцінки амплітуди механіч- них коливань у півпросторі при утворенні його поверхні // ДАН України. — 1993. — № 8. — C. 17-20. [54] Нагірний Т. С., Говда Ю. І. Класифікація задач локально-градiєнтної механіки та одна динамічна задача для середовища зі сферичною порожниною // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. — 1997. — Вип. 47. — С. 107-115. [55] Burak Y., Nagirny T. To Describe the Contribution of Interface Factor on Acoustical Emission in Solids // Zeszyty naukowe politechniki Rzeshowskiej. — 2002. — № 197. — Mechanika, z. 60. — P. 67-75. [56] Бурак Я. Й., Нагiрний Т. С. Математичне моделювання вкладу приповерхневого фактору в акустичну емісію у деформівних твердих тілах // В кн.: Інформатично- математичне моделювання складних систем. — Львів: Ахіл, 2002. — С. 209-216. Local Gradient Approach in Thermomechanics Olha Hrytsyna, Taras Nahirnyy, Kostiantyn Tchervinka The general scheme for construction of mathematical models of local gradient approach in thermomechanics are presented and the papers of the authors in this area reviewed. This approach is based on the fundamental principles of thermodynamics of non-equilibrium processes and expands the local equilibrium principle for local nonhomogeneous bodies. The base para- meter space is extended with gradient of chemical potential, which disturbation equates to distur- bation of interaction energy. The basic results of researches are presented for elastic, thermo- elastic, electrothermoelastic processes in simple geometry bodies and solid solutions including thin films and fibers. It is indicated, in particular, that local gradient approach allows describing influence of temperature, admixtures and environment on the strength and its size effect. Локально градиентный подход в термомеханике Ольга Грицина, Тарас Нагирный, Константин Червинка Представлена общая схема построения математических моделей при локально градиент- ном подходе в термомеханике и проведен обзор трудов авторов в этом направлении. Под- ход базируется на использовании основных принципов термодинамики неравновесных про- цессов и расширении принципа локального равновесия на локально неоднородные системы. В пространство базовых параметров введен градиент химического потенциала, возмуще- ние которого отождествляется с возмущением энергии взаимодействия. Представлены основные результаты исследований упругих, термоупругих, электротермоупругих процес- сов в одно- и многокомпонентных телах простой геометрии, в том числе тонких пленках и волокнах. Указано, в частности, что локально градиентный подход позволяет описывать влияние температуры, примесей и окружающей среды на предел прочности и его масш- табный эффект. Отримано 17.09.05

Локально градієнтний підхід у термомеханіці

Репозитарії

Схожі ресурси