Застосування гамільтонового формалізму в теорії поширення магнітов'язкопружних хвиль зсуву в неоднорідно-періодичних середовищах

Побудовано і проаналізовано структуру загального розв’язку задачі про поширення плоских магнітов’язкопружних хвиль зсуву в неоднорідно-періодичних середовищах в рамках моделі лінеаризованої магнітострикції феритів кубічної системи з врахуванням феромагнітного резонансу і дисипації енергії.....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2006
1. Verfasser:	Шульга, М.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2006
Schriftenreihe:	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20984
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Застосування гамільтонового формалізму в теорії поширення магнітов'язкопружних хвиль зсуву в неоднорідно-періодичних середовищах / М. Шульга // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 217-224. — Бібліогр.: 16 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-20984
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-209842011-06-14T12:11:37Z Застосування гамільтонового формалізму в теорії поширення магнітов'язкопружних хвиль зсуву в неоднорідно-періодичних середовищах Шульга, М. Побудовано і проаналізовано структуру загального розв’язку задачі про поширення плоских магнітов’язкопружних хвиль зсуву в неоднорідно-періодичних середовищах в рамках моделі лінеаризованої магнітострикції феритів кубічної системи з врахуванням феромагнітного резонансу і дисипації енергії.. The structure of general solution for problem of propagation of magnetoviscoelastic shear waves in nonhomogeneous-periodic spaces is got and analyzed, using the model of linearized magnetostriction of ferrit of cubic system considering ferromagnetic resonance and energy dissipation. Получено и проанализировано структуру общего решения задачи о распространении плоских магнитовязкоупругих волн сдвига в неоднородно-периодических средах в рамках модели линеаризированной магнитострикции ферритов кубической системы с учетом ферромагнитного резонанса и диссипации энергии. 2006 Article Застосування гамільтонового формалізму в теорії поширення магнітов'язкопружних хвиль зсуву в неоднорідно-періодичних середовищах / М. Шульга // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 217-224. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20984 539.3:538.6:534.1 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Побудовано і проаналізовано структуру загального розв’язку задачі про поширення плоских магнітов’язкопружних хвиль зсуву в неоднорідно-періодичних середовищах в рамках моделі лінеаризованої магнітострикції феритів кубічної системи з врахуванням феромагнітного резонансу і дисипації енергії..
format	Article
author	Шульга, М.
spellingShingle	Шульга, М. Застосування гамільтонового формалізму в теорії поширення магнітов'язкопружних хвиль зсуву в неоднорідно-періодичних середовищах Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
author_facet	Шульга, М.
author_sort	Шульга, М.
title	Застосування гамільтонового формалізму в теорії поширення магнітов'язкопружних хвиль зсуву в неоднорідно-періодичних середовищах
title_short	Застосування гамільтонового формалізму в теорії поширення магнітов'язкопружних хвиль зсуву в неоднорідно-періодичних середовищах
title_full	Застосування гамільтонового формалізму в теорії поширення магнітов'язкопружних хвиль зсуву в неоднорідно-періодичних середовищах
title_fullStr	Застосування гамільтонового формалізму в теорії поширення магнітов'язкопружних хвиль зсуву в неоднорідно-періодичних середовищах
title_full_unstemmed	Застосування гамільтонового формалізму в теорії поширення магнітов'язкопружних хвиль зсуву в неоднорідно-періодичних середовищах
title_sort	застосування гамільтонового формалізму в теорії поширення магнітов'язкопружних хвиль зсуву в неоднорідно-періодичних середовищах
publisher	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
publishDate	2006
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20984
citation_txt	Застосування гамільтонового формалізму в теорії поширення магнітов'язкопружних хвиль зсуву в неоднорідно-періодичних середовищах / М. Шульга // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 217-224. — Бібліогр.: 16 назв. — укр.
series	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT šulʹgam zastosuvannâgamílʹtonovogoformalízmuvteoríípoširennâmagnítovâzkopružnihhvilʹzsuvuvneodnorídnoperíodičnihseredoviŝah
first_indexed	2025-07-02T21:31:06Z
last_indexed	2025-07-02T21:31:06Z
_version_	1836572336002695168
fulltext	Застосування гамільтонового формалізму в теорії поширення магнітов’язкопружних хвиль зсуву в неоднорідно-періодичних середовищах Микола Шульга Д. ф.-м. н., член-кор. НАН України, професор, Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України, вул. П. Нестерова, 3, Київ, 03057, тел.: (044) 454-77-53, e-mail: mo_shulga@ukr.net Побудовано і проаналізовано структуру загального розв’язку задачі про поширення плоских магнітов’язкопружних хвиль зсуву в неоднорідно-періодичних середовищах в рамках моделі лінеаризованої магнітострикції феритів кубічної системи з врахуванням феромагнітного резонансу і дисипації енергії. Ключові слова: неоднорідно-періодичне магнітострикційне середовище, феромагнітний резонанс, дисипація енергії, плоскі магнітов’язкопружні хвилі. Вступ. Взаємодія механічних деформацій твердих тіл з електромагнітним полем базується на різних фізичних механізмах і моделях залежно від електричних і магнітних властивостей матеріалів [1-10]. Усі тверді діелектрики, незалежно від їх структури і симетрії, мають електрострикційні властивості. Особливо важлива електрострикція в сегнетоелектриках: у разі їх попередньої поляризації постій- ним електричним полем для них характерний аномально високий п’єзоефект (лінеаризована електрострикція). У деяких кристалах (кварц, титанат барію та ін.) проявляється лінійний п’єзоелектричний ефект (п’єзоефект). Деформації і напруження в твердих тілах із п’єзоефектом або електрострикцією називаються електропружними (акустоелектричними). Магнітним упорядкованим структурам властива магнітострикція, яка досягає значних величин у феро- й антиферо- магнетиках та феритах. Питання про існування лінійного п’єзомагнітного ефекту є дискусійним, і він якщо і є (в антиферомагнетиках), то дуже слабкий [1]. Де- формації та напруження в твердих тілах із магнітострикцією називаються магнітопружними (акустомагнітними). У твердих тілах і за відсутності п’єзо- електричних, електро- і магнітострикційних властивостей проявляється взаємодія електромагнітного поля з деформаціями твердих тіл шляхом силової дії електро- магнітного поля (сила Лоренца, тензор напружень Максвела) і виникнення індук- ційних струмів [4, 6, 8-10]. Деформації і напруження в твердих тілах, спричинені силовим впливом електромагнітного поля, називаються електромагнітопружними (акустоелектромагнітними). Якщо механізм силової дії слабкий, то електричні струми відповідно до закону Джоуля-Ленца та співвідношень термопружності Дюа- меля-Неймана можуть викликати значні теплові напруження. УДК 539.3:538.6:534.1 217 Микола Шульга Застосування гамільтонового формалізму в теорії поширення магнітов’язкопружних хвиль… 218 Важливе значення мають дослідження поширення електропружних та маг- нітопружних, і в певній мірі електромагнітопружних, хвиль у періодично-неод- норідних середовищах із різними фізико-механічними властивостями, зважаючи на перспективність таких структур при створенні різного типу пристроїв на зв’я- заних хвилях. Цьому питанню присвячена значна кількість робіт [12-14]. Мож- ливості вивчення загальних питань теорії значно розширюються, якщо рівняння хвильової задачі вдається звести до гамільтонової системи та скористатися відпо- відними теоремами для аналізу загального розв’язку такої системи [12-16]. Зупи- нимося докладніше на цьому питанні в задачах про поширення магнітов’язко- пружних хвиль зсуву в періодично-неоднорідних середовищах із властивостями магнітострикції феритів кубічної системи. 1. Рівняння лінеаризованої магнітострикції феритів Лінеаризовану в стані магнітного насичення zS eMMM rrr 00 == полем zeHH rr 00 = систему рівнянь магнітострикції за антиплоскої деформації w (x, y, t) для феритів кубічної системи можна записати [7, 14-16] у вигляді 2 2 t w yx yzxz ∂ ∂ ρ= ∂ σ∂ + ∂ σ∂ , 0= ∂ ∂ + ∂ ∂ y b x b yx , xxzxz mMc 1 0255 −β+γ=σ , yyzyz mMc 1 0255 −β+γ=σ , xxx mhb π+= 4 , yyy mhb π+= 4 , x hx ∂ ϕ∂ −= , y hy ∂ ϕ∂ −= , yzy M yHxr x hmm t m γγβ− π ω =ω+ω+ ∂ ∂ 24 , xzx M xHyr y hmm t m γγβ+ π ω −=ω−ω+ ∂ ∂ 24 . (1) У системі (1) прийняті загальновживані позначення: ρ — густина; 55c — пружна стала, 2β — магнітопружна стала; γ — гіроскопічне відношення; αh , αb , αm — відхилення магнітного поля від поля підмагнічування 0M r та 0H r ; ϕ — магнітний потенціал; zxσ , zyσ і x w zx ∂ ∂ =γ , y w zy ∂ ∂ =γ — механічні напруження і деформації; ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 3, 217-224 219 HH ω=γ 0 — частота феромагнітного резонансу; 04 MM πγ=ω ; rω — частота релаксації ( rr τ=ω−1 — час релаксації). Система (1) ускладнюється квазікласичними рівняннями прецесії магнітно- го моменту, в яких на відміну від робіт [14-16] по поширенню хвиль, враховано дисипацію енергії. Для її врахування використовуються [11] модифіковані рівнян- ня Блоха для прецесії магнітного моменту )( 00 MHHM t M r rrrr r −χω+×γ−= ∂ ∂ , (2) де 000 / HM=χ — значення магнітної сприйнятливості для статичного поля під- магнічування. Зауважимо, що поряд із співвідношенням (2) у літературі відомі інші, близькі до нього, залежності. В усіх подібних співвідношеннях втрати характери- зуються одним параметром на зразок rω ; експериментальні дані та їх теоретичні інтерпретації свідчать про достатність одного параметра для опису втрат у феро- магнетиках. 2. Перетворення рівнянь за монохроматичних коливань до системи гаміль- тонового типу При гармонічних коливаннях (часовий множник exp (- i ω t) опущений і амплі- тудні функції позначені тими ж самими літерами) з рівнянь (1) можна визначити амплітудні значення xm , ym . Тоді xzσ , yzσ , xb , yb і похідні від переміщень w (x, y) та магнітного потенціалу ϕ (x, y) пов’язують залежності y i xy wic x wcxz ∂ ϕ∂ β− ∂ ϕ∂ β+ ∂ ∂ − ∂ ∂ =σ 52515455 , yx i y wic x wicyz ∂ ϕ∂ β+ ∂ ϕ∂ β+ ∂ ∂ + ∂ ∂ =σ 51525554 , y wi x w x i x bx ∂ ∂ βπ− ∂ ∂ πβ+ ∂ ϕ∂ α− ∂ ϕ∂ µ−= 5251 44 , y w x wi xx iby ∂ ∂ πβ+ ∂ ∂ βπ+ ∂ ϕ∂ µ− ∂ ϕ∂ α= 5152 44 . (3) Комплексні модулі в’язкопружності 55c , 54c , комплексні компоненти тензора Польдера µ, α та магнітов’язкопружні модулі 51β , 52β визначаються формулами Микола Шульга Застосування гамільтонового формалізму в теорії поширення магнітов’язкопружних хвиль… 220 ( ) 22 1 0 2 2 5555 Hr H i Mcc ω−ω+ω γβω += − , ( ) ( ) 22 1 0 2 2 54 Hr r i Mic ω−ω+ω γβω+ω = − , ( ) 221 Hr MH i ω−ω+ω ωω −=µ , ( ) ( ) 22 Hr Mr i i ω−ω+ω ωω+ω =α , ( ) 22 2 51 Hr H i ω−ω+ω γβω =β , ( ) ( ) 22 2 52 Hr r i i ω−ω+ω γβω+ω =β . (4) Перетворимо сукупність матеріальних співвідношень (3) і рівняння 02 =ρω+ ∂ σ∂ + ∂ σ∂ w yx yzxz , 0= ∂ ∂ + ∂ ∂ y b x b yx (5) таким чином, щоб одержати систему рівнянь відносно xzσ , xb ,w, ϕ 2 2 12 2 2 2 112111 y w y w y bir y ir x xxzxz ∂ ϕ∂ α+ρω− ∂ ∂ α+ ∂ ∂ + ∂ σ∂ = ∂ σ∂ , 2 2 222 2 212221 yy w y bir y ir x b xxzx ∂ ϕ∂ α+ ∂ ∂ α+ ∂ ∂ + ∂ σ∂ = ∂ ∂ , y ir y wirbb x w xxz ∂ ϕ∂ π − ∂ ∂ − ∆ +σ ∆ µ = ∂ ∂ 4 21 11 0 51 0 , y ir y wirbcb x xxz ∂ ϕ∂ − ∂ ∂ π− ∆ −σ ∆ π = ∂ ϕ∂ 2212 0 55 0 51 44 . (6) У рівняннях системи (6) використані позначення ( ) 054525111 4 ∆µ+βπβ−= cr , ( ) 05552545112 ∆β−β−= ccr , ( ) 0515221 4 ∆αβ+µβπ−=r , ( ) 055525122 4 ∆α−βπβ−= cr , 125211545511 4 rrcc πβ−−−=α , 2252 21 54512112 44 1 rrc β− π −β−=α π =α , 21522222 rr β−α−µ=α , 2 51550 4πβ+µ=∆ c . (7) Для плоских хвиль приймаємо { } tikyin xxz ep H chphqHqсwb ω−       ξξ π ξξ=ϕσ 2)(,),( 4 ),(),(Re,,, 2 0 0000 1 00 20100 , (8) ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 3, 217-224 221 де змінна 00/ hx=ξ ; ( )21,nn — напрямні косинуси нормалі до фронту хвиль, при- чому 01 =n , 12 ±=n . Для амплітудних функцій )(1 ξq , )(2 ξq , )(1 ξp , )(2 ξp з рівнянь у часткових похідних (6) одержимо систему звичайних диференціальних рівнянь (i, j = 1, 2) jijjij i pQqR d dq += ξ , jjijij i pRqP d dp −−= ξ , (9) постійні коефіцієнти якої є такими 0011211 hrknR −= , 00 000 12212 c HhrknR −= , 0 0000 21221 H hcrknR −= , 0022222 hrknR −= , 00 0 11 4 cP ∆ πµ −= , 0 0 51 2112 4 HPP ∆ πβ −== , 00 2 0 0 55 22 c HcP ∆ = , 00 2 002 11 2 11 )( 4 1 c hkQ α+ρω π −= , 0 2 00 12 2 2112 H hkQQ α−== , 2 0 00 2 00 22 2 22 H chkQ α−= . (10) Система (9) є [12-14] гамільтоновою системою з функцією Гамільтона jijijijijiji pQpqRpqPqH 2 1 2 1 ++= . (11) 3. Загальний розв’язок для періодично-неоднорідного середовища Якщо фізико-механічні параметри регулярно-шаруватого півпростору будуть пе- ріодичними функціями координати x з періодом h, то система (9) буде гамільто- новою періодичною системою з періодом 0000 / hh=ξ . Структура загального роз- в’язку періодичної системи визначається теоремою Флоке, виходячи з якої йому можна надати [13, 14] вигляду [ ] m m n mm T dncpq rrr )0,)1(()(),( 00 4 1 1 ξ−−ξρ=ξξ ∑ = − Ω , (12) де ( )0,ξΩ — матрицант системи (5) на першому (основному) періоді ),0( 00ξ , mc — невідомі сталі інтегрування. Микола Шульга Застосування гамільтонового формалізму в теорії поширення магнітов’язкопружних хвиль… 222 Власні значення (мультиплікатори) mρ і власні вектори md r матриці моно- дромії )0,( 00ξΩ четвертого порядку визначаються з характеристичного рівняння [ ] 0)0,(det 00 =ρ−ξ 4IΩ (13) та однорідної системи [ ] 0)0,( 00 =ρ−ξ md r 4IΩ . (14) Тут 4I — одинична матриця четвертого порядку. Передбачається, що мультиплі- катори mρ прості. Випадок кратних мультиплікаторів, який практично не зустрі- чається, вимагає особливого розгляду. Характеристичне рівняння (13) матриці монодромії гамільтонової періодич- ної системи є зворотним 011 2 2 3 1 4 =+ρ−ρ+ρ−ρ aaa (15) і його можна звести до двох квадратних рівнянь 012 1 2 =+ρ−ρ b , 012 2 2 =+ρ−ρ b . (16) Коефіцієнти цих рівнянь 1b , 2b визначаються з квадратного рівняння 0224 21 2 =−+− abab . (17) Якщо покласти ( )is±=ρ exp , то характеристичні рівняння (16) можна записа- ти в тригонометричній формі 11cos bs = , 22cos bs = . (18) Для дисипативних середовищ коефіцієнти 1a , 2a , а отже і корені 1b і 2b рів- нянь (16), завжди є комплексними величинами. У свою чергу комплексними бу- дуть і характеристичні числа 1ρ , 2ρ та 3ρ , 4ρ , що визначаються з рівнянь (16). Виразимо характеристичні числа через комплексні корені imre isss .1.11 += , imre isss .2.22 += рівнянь (18) ( )imre sis .1.11 exp −=ρ , ( )imre sis .1.12 exp +−=ρ , ( )imre sis .2.23 exp −=ρ , ( )imre sis .2.24 exp +−=ρ . Таким чином розв’язок (12) набуде вигляду ( )( ) +ξ−−ξ=ξξ −− 100 1 1 )0,)1(()](),([ .1.1 dnecpq nsisT imre vrr Ω ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 3, 217-224 223 ( )( ) +ξ−−ξ+ −+− 200 1 2 )0,)1((.1.1 dnec nsis imre r Ω ( )( ) +ξ−−ξ+ −− 300 1 3 )0,)1((.2.2 dnec nsis imre r Ω ( )( ) 400 1 4 )0,)1((.2.2 dnec nsis imre v ξ−−ξ+ −−− Ω . (19) Перший і третій доданки цього виразу при 0. >rejs , 0. >imjs ( 2,1=j ) відпо- відають хвилям, які поширюються з затуханням у додатному напрямку +∞→ξ ( +∞→n ) осі ξ, а другий і четвертий доданки — хвилям, які поширюються у від’ємному напрямку −∞→ξ ( −∞→n ) осі ξ. Для напівобмежених областей ξ < 0 у формулі (19) необхідно покласти сталі 042 == cc , а для обмежених областей ∞<ξ — слід враховувати всі чотири доданки. Висновки. У статті узагальнюються отримані раніше автором результати дослі- джень поширення плоских хвиль у неоднорідно-періодичних магнітострикційних середовищах. Використовуються лінеаризовані рівняння моделі, в якій врахову- ється феромагнітний резонанс і дисипація енергії. Побудовано і проведено аналіз структури загального розв’язку задачі про поширення плоских магнітов’язко- пружних хвиль зсуву в неоднорідно-періодичному середовищі. Література [1] Физическая акустика. Т. 1, часть А. Методы и приборы ультразвуковых исследова- ний. — М.: Мир, 1966. — 592 с. [2] Сиротин Ю. И., Шаскольская Н. П. Основы кристаллографии. — М.: Наука, 1975. — 680 с. [3] Дьелесан Э., Руайе Д. Упругие волны в твердых телах. Применение для обработки сигналов. — М.: Наука, 1982. — 424 c. [4] Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах. — М.: Мир, 1986. — 160 c. [5] Шульга Н. А., Болкисев А. Н. Колебания пьезоэлектрических тел. — К.: Наук. дум- ка, 1990. — 228 с. [6] Можен Ж. Механика электромагнитных сплошных сред. — М.: Мир, 1991. — 560 с. [7] Такер Дж., Рэмптон В. Гиперзвук в физике твердого тела. — М.: Мир, 1975. — 453 с. [8] Подстригач Я. С., Бурак Я. И., Гачкевич А. Р., Чернявская Л. В. Термоупругость электропроводных тел. — К.: Наук. думка, 1977. — 247 с. [9] Бурак Я. Й., Галапац Б. П., Гнідець Б. М. Фізико-механічні процеси в електропро- відних тілах. — К.: Наук. думка, 1978. — 230 с. [10] Подстригач Я. С., Бурак Я. И., Кондрат В. Ф. Магнитотермоупругость электро- проводных тел. — К.: Наук. думка, 1982. — 293 с. [11] Гуревич А. Г. Ферриты на сверхвысоких частотах. — М.: ГИФМЛ, 1960. — 407 с. Микола Шульга Застосування гамільтонового формалізму в теорії поширення магнітов’язкопружних хвиль… 224 [12] Шульга Н. А. Основы механики слоистых сред периодической структуры. — К.: Наук. думка, 1981. — 200 с. [13] Shul’ga N. A. Propagation of elastic waves in periodic-nonhomogeneous space // Int. Appl. Mech. — 2003. — Vol. 39, № 7. — P. 763-796. [14] Shul’ga N. A. Propagation of coupled waves in layered-periodic continua for interaction with an electromagnetic field // Int. Appl. Mech. — 2003. — Vol. 39, № 10. — P. 1146-1172. [15] Шульга М. О. Про поширення поперечних хвиль в магнітопружних періодичних середовищах // Доп. НАН України. — 2002. — № 7. — С. 60-63. [16] Шульга М. О. До теорії магнітопружних хвиль в періодичних середовищах // Доп. НАН України. — 2002. — № 8. — С. 55-59. Use of Hamiltonian Formalism in the Theory of Propagation of Magnetoviscoelastic Shear Waves in Nonhomogeneous-Periodic Spaces Mykola Shul'ga The structure of general solution for problem of propagation of magnetoviscoelastic shear waves in nonhomogeneous-periodic spaces is got and analyzed, using the model of linearized magnetostriction of ferrit of cubic system considering ferromagnetic resonance and energy dissipation. Использование гамильтонового формализма в теории распространения магнитовязкоупругих волн сдвига в неоднородно-периодических средах Николай Шульга Получено и проанализировано структуру общего решения задачи о распространении плос- ких магнитовязкоупругих волн сдвига в неоднородно-периодических средах в рамках модели линеаризированной магнитострикции ферритов кубической системы с учетом ферромаг- нитного резонанса и диссипации энергии. Отримано 08.08.05

Застосування гамільтонового формалізму в теорії поширення магнітов'язкопружних хвиль зсуву в неоднорідно-періодичних середовищах

Institution

Ähnliche Einträge