Стійкість магнітострикційних прямокутних пластин

Стійкість магнітострикційних прямокутних пластин

На основі лінеаризованих рівнянь магнітопружності досліджено поведінку малих збурень у магнітоактивному деформівному середовищі. Для тонких діелектричних магнітострикційних прямокутних пластин, що перебувають у постійному магнітному полі з використанням гіпотези Кірхгофа та асимптотичного методу інт...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2006
1. Verfasser: Багдасарян, Ґ.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2006
Schriftenreihe:Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20988
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Стійкість магнітострикційних прямокутних пластин / Ґ. Багдасарян // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 9-19. — Бібліогр.: 25 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-20988
record_format dspace
spelling irk-123456789-209882011-06-14T12:11:21Z Стійкість магнітострикційних прямокутних пластин Багдасарян, Ґ. На основі лінеаризованих рівнянь магнітопружності досліджено поведінку малих збурень у магнітоактивному деформівному середовищі. Для тонких діелектричних магнітострикційних прямокутних пластин, що перебувають у постійному магнітному полі з використанням гіпотези Кірхгофа та асимптотичного методу інтегрування тривимірна задача зведена до двовимірної. На цій основі сформульовано та розв’язано відповідну задачу стійкості та показано, що існує область значень магнітострикційних характеристик матеріалу, у якій незбурений стан пластинки стійкий за довільних значень індукції зовнішнього магнітного поля; магнітострикційний ефект може суттєво зменшити критичне значення магнітної індукції, при якому пластинка втрачає стійкість. n the basis of linearized equatiоns of magneto elasticity the behaviour of small disturbances in magneto active deformable medium is investigated. The three-dimensional problem for thin dielectrical magnetostrictive rectangular plates in a constant magnetic field is reduced to the two-dimensional one using the Kirchhoff hypothesis and applying asymptotic method of integration. On this basis the concrete problem is solved; the existence of range of the material magnetostrictive characteristics for which the non-disturbed state of the plate is stable for any values of the induction of external magnetic field is shown; the magnetostrictive effect can essentially decrease the critical value of the magnetic induction at which plate loses stability. На основании линеаризованных уравнений магнитоупругости исследовано поведение малых возмущений в магнитоактивной деформируемой среде. Для тонких диэлектрических магнитострикционных прямоугольных пластин в постоянном магнитном поле с использованием гипотезы Кирхгоффа и асимптотического метода интегрирования трехмерная задача сведена к двумерной. На этом основании сформулирована и решена соответствующая задача устойчивости и показано, что существует область значений магнитострикционных характеристик материала, для которой невозмущенное состояние пластинки устойчиво при любом значении индукции внешнего магнитного поля; магнитострикционный эффект может существенно уменьшить критическое значение магнитной индукции, при котором пластинка теряет устойчивость. 2006 Article Стійкість магнітострикційних прямокутних пластин / Ґ. Багдасарян // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 9-19. — Бібліогр.: 25 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20988 539.3 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description На основі лінеаризованих рівнянь магнітопружності досліджено поведінку малих збурень у магнітоактивному деформівному середовищі. Для тонких діелектричних магнітострикційних прямокутних пластин, що перебувають у постійному магнітному полі з використанням гіпотези Кірхгофа та асимптотичного методу інтегрування тривимірна задача зведена до двовимірної. На цій основі сформульовано та розв’язано відповідну задачу стійкості та показано, що існує область значень магнітострикційних характеристик матеріалу, у якій незбурений стан пластинки стійкий за довільних значень індукції зовнішнього магнітного поля; магнітострикційний ефект може суттєво зменшити критичне значення магнітної індукції, при якому пластинка втрачає стійкість.
format Article
author Багдасарян, Ґ.
spellingShingle Багдасарян, Ґ.
Стійкість магнітострикційних прямокутних пластин
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
author_facet Багдасарян, Ґ.
author_sort Багдасарян, Ґ.
title Стійкість магнітострикційних прямокутних пластин
title_short Стійкість магнітострикційних прямокутних пластин
title_full Стійкість магнітострикційних прямокутних пластин
title_fullStr Стійкість магнітострикційних прямокутних пластин
title_full_unstemmed Стійкість магнітострикційних прямокутних пластин
title_sort стійкість магнітострикційних прямокутних пластин
publisher Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
publishDate 2006
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20988
citation_txt Стійкість магнітострикційних прямокутних пластин / Ґ. Багдасарян // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 9-19. — Бібліогр.: 25 назв. — укр.
series Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
work_keys_str_mv AT bagdasarâng stíjkístʹmagnítostrikcíjnihprâmokutnihplastin
first_indexed 2025-07-02T21:31:13Z
last_indexed 2025-07-02T21:31:13Z
_version_ 1836572344781373440
fulltext Устойчивость магнитострикционных прямоугольных пластин Геворг Багдасарян Д. ф.-м. н., профессор, академик НАН РА, Ереванский государственный университет, ул. А. Манукяна, 1, Ере- ван, email: gevorgb@ysu.am На основании линеаризованных уравнений магнитоупругости исследовано поведение малых возмущений в магнитоактивной деформируемой среде. Для тонких диэлектрических магни- тострикционных прямоугольных пластин в постоянном магнитном поле с использованием гипотезы Кирхгоффа и асимптотического метода интегрирования трехмерная задача сведена к двумерной. На этом основании сформулирована и решена соответствующая за- дача устойчивости и показано, что существует область значений магнитострикционных характеристик материала, для которой невозмущенное состояние пластинки устойчиво при любом значении индукции внешнего магнитного поля; магнитострикционный эффект может существенно уменьшить критическое значение магнитной индукции, при котором пластинка теряет устойчивость. Ключевые слова: магнитное поле, магнитострикция, пластинка, устойчивость. Введение. В настоящее время известно значительное количество работ, в кото- рых изучены различные проблемы магнитоупругости [1-15]. В частности, вопро- сы колебания и устойчивости тонких упругих проводящих неферромагнитных [5, 11, 16, 17], магнитомягких диэлектрических [10, 12, 18, 19] и проводящих маг- нитомягких [12, 20] пластин и оболочек в электромагнитном поле изучены доста- точно полно, и эффекты взаимодействия здесь оказались весьма существенными. Аналогичным же вопросам для тонких тел из ферромагнитного материала с маг- нитострикционными свойствами в литературе уделено сравнительно небольшое вни- мание [21, 22]. Предлагаемая работа посвящена вопросам колебания и устойчивости маг- нитострикционных пластин во внешнем магнитном поле. Исследование проведено на основе линеаризованных уравнений и граничных условий, описывающих по- ведение малых возмущений исследуемых полей в указанной магнитоактивной деформируемой среде [15]. Принимая гипотезу Кирхгоффа и применяя предло- женный в работах [23, 24] асимптотический метод интегрирования, сформулиро- ванная в [15] трехмерная задача сведена к двумерной в случае тонких диэлект- рических магнитострикционных пластин в поперечном магнитном поле. Получе- но однородное уравнение устойчивости и показано, что граничными условиями для такого уравнения являются обычные однородные условия закрепления краев прямоугольной пластинки. На этой основе решена соответствующая задача УДК 539.3 9 Геворг Багдасарян Устойчивость магнитострикционных прямоугольных пластин 10 устойчивости и показано, что в зависимости от магнитострикционных характе- ристик материала невозмущенное состояние пластинки может оказаться устой- чивым при любом значении индукции внешнего магнитного поля (отметим [10, 12, 19], что магнитомягкая ферромагнитная пластинка всегда теряет устой- чивость под действием поперечного магнитного поля) и, наоборот, магнито- стрикционный эффект может заметно уменьшить критическое значение магнит- ной индукции при котором пластинка теряет устойчивость. 1. Постановка задачи устойчивости Пусть упругая диэлектрическая среда с упорядоченной магнитной структурой находится во внешнем стационарном магнитном поле, которое в отсутствии фер- ромагнитного тела характеризуется вектором напряженности 0H r и вектором магнитной индукции 000 HB rr µ= ( 2H/A7 0 104 −⋅π=µ — магнитная постоянная). Окружающая тело среда в отношении электромагнитных свойств принимается в приближении вакуума. В работе [15], используя основные положения нелинейной теории магнито- упругости ферромагнитных тел и теории малых возмущений, путем линеариза- ции получены следующие линейные уравнения и граничные условия, описывающие поведение малых возмущений в указанной магнитоактивной деформируемой среде: для внутренней области ( ) , ,,0div,0rot , 0 0 2 2 000 kijk l k ijklij k i non k i i knon i m knon imik i me x ucs mhbbh t u x Hm x hM x uss x µ+ ∂ ∂ = +µ=== ∂ ∂ ρ= ∂ ∂ µ+ ∂ ∂ µ+      ∂ ∂ + ∂ ∂ rrrrr ,kik k j ijki mA x u gh + ∂ ∂ = (1) где iks — возмущения компонент тензора магнитоупругих напряжений; non iks — компоненты тензора напряжений невозмущенного состояния; ku — компоненты возмущения вектора упругих перемещений; kk mh , и kb — компоненты векто- ров mh rr , и b r ; представляющие возмущения соответственно напряженности nonH r , намагниченности nonM r и магнитной индукции nonB r невозмущенного маг- нитного поля; ix — декартовые координаты; для внешней области ,,0div,0rot )( 0 )()()( eeee hbhh rrrr µ=== (2) ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 3, 9-19 11 индекс «е» здесь и в дальнейшем означает принадлежность к внешней среде; условия на поверхности 0S недеформируемого тела [ ] [ ] ,0)(0)(0 k m inon km enon kmkki e kik m inon kmik n x uTTnttn x uss ∂ ∂ −+−=      ∂ ∂ + [ ] [ ] ,0)(0)( i m ienon m non mk e kk n x uBBnbb ∂ ∂ −=− [ ] [ ] ,0)(0)(       ∂ ∂ −−−ε i m ienon n non nm e nnnmk n x uHHnhh (3) где non kmT и )(enon kmT — тензоры напряжений Максвелла невозмущенного состояния соответственно для тела и окружающей среды, 0 kn — компоненты вектора внеш- ней нормали 0n r к поверхности 0S , ijkε — символ Леви-Чивита, ,0 hHBhHbt non ki non ik non ikki rr δµ−+= [ ] .)()()()()()( 0 )( enone ki enon i e k enon i e k e ki hHHhHht rr δ−+µ= (4) В уравнениях (1) использованы следующие обозначения ( ) ( ) ( ) ( ), , 2 0 0 0 non jmk non mkjmi non lijklijk non r non kisjqip non jisqlpkpqrs non s non rpljqikpljkiqkljqippqrs kriqlpiriqklrqplik non j non rpqijklijkl MAMBe MMMB MMB MMAcc δ+δ+= δδδ+δδδµ+ +δδδ+δδδ+δδδ µ + +δδδ+δδδ+δδδµ+= ( ),non rskij non jisrk non rjkisrs non pjkpiijk MMMAMBg δδ+δδ+δδ+= (5) где ijklc , 1− klA и ijklB — соответственно тензоры упругих постоянных, магнитных восприимчивостей и магнитострикционных коэффициентов. Для магнитоупругих сред, которые в размагниченном состоянии изотроп- ны по отношению как магнитных, так и упругих свойств, справедливы равенства ( ) ,, 1 klkljkiljlikklijijkl Ac δχ=δδ+δδµ+δλδ= − ( )( ), 2 1 212 jkiljlikklijijkl eeeB δδ+δδ−+δδ= (6) где λ и µ — постоянные Ляме, χ — магнитная восприимчивость, 1+χ=µ r — относительная магнитная проницаемость, e1 и e2 — магнитострикционные пос- тоянные среды. Геворг Багдасарян Устойчивость магнитострикционных прямоугольных пластин 12 К уравнениям (2) необходимо присоединить условия затухания возмуще- ний магнитных величин на бесконечности. Отметим, что в коэффициенты линеаризованных соотношений (1)-(5) вхо- дят неизвестные компоненты non ijs тензора напряжений невозмущенного состоя- ния. Они являются решениями следующей статической задачи теории упругости: уравнения равновесия ,00 = ∂ ∂ µ+ ∂ ∂ n non knon n k non ik x HM x s non l non kijkl non k non jik non klijkl non ij MMBMMAcs 00 2 1 µ+µ+ε= (7) условия на поверхности S0 недеформируемого тела [ ] ,0)(0 k нон ki нeно kik нон ik nTTNs −= (8) [ ] , 2 1 2 0 нон ik нон k нон i нон ki HBHT r δµ−= [ ] . 2 1 2)( 0 )()( 0 )( нeно ik нeно k нeно i нeно ki HHHT r δµ−µ= (9) Согласно принятому предположению, входящие в (7)-(9) характеристики невозмущенного магнитного поля определяются из следующей задачи магнито- статики для недеформируемого тела: уравнения магнитостатики для внутренней области ,0div,0rot == ноннон BH rr ( ) ;,0 нон lkl нон kнон ноннон MAHMHB =+µ= rrr (10) уравнения для внешней области ,0div,0rot )()( == e нон e нон HH rr ;,0 )( 0 )( e нон нонe нон HBM rrr µ== (11) условия сопряжения на поверхности S0 ( ) ,00 )( =⋅− nBB e ноннон rrr ( ) ,00 )( =×− nHH e ноннон rrr (12) условия на бесконечности )()( ee нон HH rr → при ∞→++ 2 3 2 2 2 1 xxx . (13) 2. Двумерные уравнения магнитоупругой устойчивости тонкой пластинки Пусть упругая изотропная прямоугольная магнитострикционная ферромагнитная пластинка постоянной толщины 2h в прямоугольной системе координат (x1, x2, x3) ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 3, 9-19 13 расположена так, что ее срединная плоскость совпадает с координатной плос- костью x1, x2. Для простоты и наглядности ограничиваемся рассмотрением слу- чая, когда пластинка находится в поперечном магнитном поле ),0,0( 0BB r , а ее торцы неподвижны в своей плоскости. Учитывая, что для основных магнито- стрикционных материалов 40~,30~ ieχ и 3,0~SB Тл (BS — индукция насыще- ния), принимаем, что при SBB <0 имеет место следующее ограничение ( ) .1/ 0 2 0 2 <<µµχ ri Be (14) Для применения процедуры получения двумерных уравнений магнито- упругой устойчивости тонких пластин, необходимо знать характеристики (напря- женность, магнитная индукция и намагниченность) магнитных полей невозму- щенного и возмущенного состояний. Их определяем, решая трехмерные задачи математической физики, сформулированные в предыдущем параграфе. Решение указанных краевых задач, в случае пластин конечных размеров связано с серьез- ными математическими трудностями. Численные решения этих задач для плас- тинки-полосы приведены в работе [25]. Анализ полученных решений показы- вает, что характеристики магнитных полей (невозмущенного и возмущенного) для пластин конечных размеров вне некоторого достаточно узкого пограничного слоя практически совпадают с соответствующими характеристиками для беско- нечной пластинки. На этом основании при определении характеристик невозму- щенного магнитного поля пластинку будем считать бесконечной. Тогда прибли- женное решение задачи (10)-(13) представляется в виде )2,1(,0,0,0,0,0 )()( ====== iMHHBB non i non i enon i non i enon i .,,, 33 0 0 3 0 0)( 303 )( 3 nonnon r nonenonnonenon HMBHBHBBB χ= µµ = µ === (15) Подставляя (15) в (7)-(9) и используя условия неподвижности краев плас- тинки в своей плоскости, для ненулевых компонент тензора напряжений невоз- мущенного состояния получим следующие выражения . 2 ,)1( 22 2 0 2 0 2 33122 0 2 0 2 2211 r non r nonnon BseeBss µµ χ =      − µ+λ λ − µµ χ == (16) Для приведения трехмерных уравнений магнитоупругой устойчивости (1) к двумерным принимается гипотеза недеформируемых нормалей, согласно кото- рой имеем ),,,(,, 213 2 32 1 31 txxwu x wxvu x wxuu = ∂ ∂ −= ∂ ∂ −= (17) где ),,(),,,( 2121 txxvtxxu и ),,( 21 txxw — возмущения перемещений точек сре- динной плоскости пластинки. Геворг Багдасарян Устойчивость магнитострикционных прямоугольных пластин 14 Подставляя соотношения (15)-(17) в систему (1) и усредняя полученные при этом уравнения по толщине пластинки, с учетом поверхностных условий (3), приходим к двумерным уравнениям магнитоупругой устойчивости рассматри- ваемой пластинки относительно u, v, w. В частности, уравнение поперечных колебаний имеет вид −∆αχ+∆+ ∂ ∂ ρ+∆ ∫ − h h dxhxBwhP t whwD 333002 2 0 2 22 ( ) .03303 2 2 1 1 3 3 0 =−χ−      ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ µ χ − −+ − ∫ hhBdx x h x h x xB h hr (18) Здесь ( ) ).,,,(, 1 2 1 )21( 2 , 1 ,, 13 2 2133 0 2 0 212 0 2 0 2 0 212 2 2 2 1 2 2 3 thxxhhBeeBP ee xx EhD rr r ±= µµ χ +      ν− ν −      − ν− ν χ+ µµ χ =       − ν− ν µ χ =α ∂ ∂ + ∂ ∂ ≡∆ ν− = ± При получении уравнений (18) учтено принятое ограничение (14). 3. Приведение трехмерной задачи магнитоупругой устойчивости тонкой пластинки к двумерной Для замыкания системы (18) следует определить компоненты ih возмущенного магнитного поля в пластинке. Введем потенциальные функции ϕ и )(eϕ .grad,grad )()( eehh ϕ=ϕ= rr Тогда определение векторов h r и )(eh r , согласно (1)-(3), сводится к решению сле- дующей трехмерной задачи , 0 0 3 wB r ∆α µµ χ =ϕ∆ (во внутренней области), ,0)( 3 =ϕ∆ e (во внешней области) (19) при условиях       ∆− ∂ ∂ + ∂ ∂ α µµ χ + ∂ ϕ∂ = ∂ ϕ∂ µµµ χ +ϕ=ϕ wx x v x uB xx wB r e rr e 3 210 0 33 )( 0 0)( 1, (20) на поверхностях hx ±=3 , условиях типа (20) на торцах пластинки и условиях затухания возмущений на бесконечности. В соотношениях (19), (20) 3∆ — трехмерный оператор Лапласа. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 3, 9-19 15 Таким образом, рассматриваемые задачи устойчивости, несмотря на двухмер- ность уравнений относительно wvu ,, , остались трехмерными. Решение сформулированной выше трехмерной задачи для бесконечной пластинки строится следующим образом: сначала решается задача для бесконечной пластинки [ ];)(exp),,(),,( 2211000 xkxktiwvuwvu −−ω= ( ) [ ],)(exp)(),(),( 22113 )( 30 )( xkxktixx ee −−ωϕϕ=ϕϕ (21) а неизвестные волновые числа k1 и k2 определяются с использованием асимптотического метода интегрирования [23, 24] и условий закрепления краев пластинки. Подставляя (21) в (19)-(20), определяем функцию φ и индуцированное в пластинке магнитное поле h r . Используя найденные выражения для компонент hi, получим систему уравнений устойчивости пластинки относительно u, v, w. При этом, уравнения продольных (относительно u, v) и поперечных (относитель- но w) колебаний разделяются. В дальнейшем, для применения асимптотического метода, будем рассматривать прямоугольные пластинки, полагая kh << 1. В силу этого предположения уравнения устойчивости упрощаются и уравнение (18) относительно w принимает вид ,022 2 2 0 2 =∆+ ∂ ∂ ρ+∆ whP t whwD (22) где .)2( 11 21 0 2 0 2             −− ν− ν µ χ + µ+ µ µµ χ = ee kh B P rr r r При решении конкретных задач к уравнению (22) следует присоединить обычные условия закрепления краев пластинки. Уравнения типа (22) при различных условиях на контуре прямоугольника )0,0( 2211 axax ≤≤≤≤ решены в работе [24]. Используя результаты этой рабо- ты для определения k1 и k2, в зависимости от типа магнитоупругих возмущений и от способа закрепления краев пластинки, получаем следующие системы транс- цендентных уравнений: для шарнирно опертой по всему контуры прямоугольной пластинки ,...)2,1,(,, 2 2 1 1 = π = π = nm a mk a nk ; (23) для защемленной пластинки (в этом случае формы магнитоупругих колебаний пластинки распадаются на четыре группы по типам симметрии) 2 1 2 1 2 22 222 1 2 2 2 11 11 2 2 ctg,2 2 ctg −−       −+−=      −+−= D Pkkkka D Pkkkka , (24) Геворг Багдасарян Устойчивость магнитострикционных прямоугольных пластин 16 для симметричных в обоих направлениях форм колебаний и 2 1 2 1 2 22 222 1 2 2 2 11 11 2 2 tg,2 2 tg −−       −+=      −+= D Pkkkka D Pkkkka (25) для антисимметричных в обоих направлениях форм колебаний. Для остальных смешанных форм колебаний уравнения относительно k1 и k2 получаются из приведенных, комбинируя соответствующим образом формулы (24) и (25). Отметим также, что, комбинацией уравнений (23)-(25), можно получить соотношения относительно k1 и k2 для других видов опорного за- крепления. Таким образом, для каждого типа колебаний и граничных условий имеем сис- тему двух уравнений с двумя неизвестными k1 и k2. Присоединяя эти трансцендент- ные уравнения к (22), получаем замкнутую систему из трансцендентных и дифференциальных уравнений, описывающую поведение магнитоупругих возму- щений в прямоугольной магнитострикционной пластинке под действием попе- речного магнитного поля. Таким образом, трехмерная задача магнитоупругой устойчивости тонкой пластинки сведена к двумерной. 4. Возможность потери устойчивости под действием магнитного поля Рассмотрим устойчивость шарнирно опертой по всему контуру прямоугольной пластинки под действием внешнего заданного магнитного поля. Для этой цели при известных условиях шарнирного закрепления необходимо решить уравнение (22) (в котором 2211 /,/ ankamk π=π= ). Решение уравнения (22), удовлетворяющее условиям шарнирного опира- ния, представим в виде .,,sinsin 21 210 a n a mxxeww nmnm ti π =µ π =λµλ= ω (26) Подставляя (26) в (22), получим следующие формулы для определения час- тот ω магнитоупругих колебаний ,)2( 12)(1)( )1(31 212 2 0 2 0 2 0             −− ν− ν µ χ + µ+ µν− µµ χ −=      ω ω ee hkhkE B rmnr r mnrmn mn (27) где 0 mnω — частоты собственных колебаний пластинки при отсутствии магнит- ного поля ( ) ., 2 2 2 2 1 2 0 220       π +      π = ρ =ω a n a mk h Dk mn mn mn Из соотношения (27) видно, что потеря статической устойчивости пластин- ки невозможна, если выражение в квадратной скобке отрицательное. Следова- ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 3, 9-19 17 тельно, если физико-механические и геометрические параметры задачи таковы, что имеет место следующее условие ,0)2( 12)(1 21 <      −− ν− ν µ χ + µ+ µ ≡γ ee hk rmnr r (28) то невозмущенное состояние пластинки устойчиво и присутствие магнитного по- ля увеличивает частоты магнитоупругих колебаний. Если же 0>γ , то сущест- вуют такие значения ),(0 nmB магнитной индукции заданного магнитного поля, при которых 0=ωmn (условия потери статической устойчивости). На этом осно- вании, для определения критического значения kpB магнитной индукции ( =kpB   = ),(min 0),( nmB nm , при котором пластинка теряет устойчивость, получим формулу .)2( 12)(1)1(3 )( 1 21 11 2 2 11 0 2 −             −− ν− ν µ χ + µ+ µ ν−χ µ = µ ee hk hk E B rr rrkp (29) С использованием последней формулы произведены вычисления величины kpB в случае квадратной пластинки из материала феррит Ф-107, для которого 3,0,/1071,1,49,98,30 211 21 =ν⋅=−===µ MHEeer . Для расчета принято 1 11 )200( −=hk . В результате получим 061,0 kpkp BB = , где 28,00 =kpB Тл — крити- ческое значение магнитной индукции при условии пренебрежения магнито- стрикционным эффектом. Литература [1] Brown W.F. Magnetoelastic Interactions. — Springer-Verlag, New-York, 1966. — 155 p. [2] Бурак Я. И., Галапац Б. П., Подстригач Я. С. Исходные уравнения теории дефор- маций неполяризованных электропроводных твердых тел // Избранные проблемы прикладной механики. — М.: ВИНИТИ, 1974. — С. 167-178. [3] Селезов И. Т., Селезова Л. В. Волны в магнитогидроупругих средах. — К.: Наук. думка, 1975. — 163 с. [4] Борисенко В. А., Гринченко В. Т., Улитко А. Ф. Соотношения электроупругости для пьезокерамических оболочек вращения // Прикл. механика. — 1976. — Т. 12, № 2. — С. 26-34. [5] Амбарцумян С. А., Багдасарян Г. Е., Белубекян М. В. Магнитоупругость тонких обо- лочек и пластин. — М.: Наука, 1977. — 272 с. [6] Подстригач Я. С., Бурак Я. И., Гачкевич А. Р., Чернявская Л. В. Термоупругость элект- ропроводных тел. — К.: Наук. думка, 1977. — 247 с. [7] Бурак Я. И., Галапац Б. П., Гнидец Б. М. Физико-механические процессы в элект- ропроводных телах. — К.: Наук. думка, 1978. — 232 с. [8] Подстригач Я. С., Бурак Я. И., Кондрат В. Ф. Магнитотермоупругость электропро- водных тел. — К.: Наук. думка, 1981. — 293 с. Геворг Багдасарян Устойчивость магнитострикционных прямоугольных пластин 18 [9] Гузь А. Н., Махорт Ф. Г. Акустоэлектромагнитоупругость. — К.: Наук. думка, 1988. — 285 с. [10] Maugin G. A. Continuum mechanics of electromagnetic solids // North-Holand-Amster- dam-New-York-Oxford-Tokyo. — 1988. — 560 p. [11] Амбарцумян С. А., Багдасарян Г. Е. Электропроводящие пластинки и оболочки в магнитном поле. — М.: Наука, 1996. — 288 с. [12] Багдасарян Г. Е. Колебания и устойчивость магнитоупругих систем. — Ереван: ЕГУ, 1999. — 440 с. [13] Киселев М. И. Математическое моделирование нестационарных магнитотермоме- ханических процессов, конденсированных в проводящих средах // Пробл. механи- ки тонких деформируемых тел. — Изд-во НАН РА, 2002. — С. 195-199. [14] Бурак Я. И., Гачкевич А. Р. Математические модели и методы в термомеханике электропроводных тел // Пробл. механики тонких деформируемых тел. — Изд-во НАН РА, 2002. — С. 89-98. [15] Багдасарян Г. Е. Математическое моделирование поведения возмущений в магни- тострикционных средах // Мат. методы и физ-мех поля. — 1998. — Т. 41, № 3. — С. 70-75. [16] Kaliski S. Magnetoelastic vibration of perfectly conducting plates and bars assuming the principle of plane sections // Proc.Vibr. Probl. Pol. Acad. Sci. — 1962. — Vol. 3, № 4. — Р. 225-234. [17] Бурак Я. И., Гачкевич А. Р. Влияние периодических во времени электромагнитных полей на вынужденные колебания электропроводной пластинки // Динамика и прочность машин. — 1975. — № 21. — С. 102-107. [18] Tiersten H. F. Thickness Vibrations of Saturated Magneto-elastic Plates // J. of Appl. Phys. — 1965. — Vol. 36, № 7. [19] Мун Ф., Пао И-Синь. Магнитоупругое выпучивание тонкой пластинки // Тр. Аме- риканского общества инженеров-механиков. Сер. Е. Прикладная механика. — 1968. — № 1. — С. 59-61. [20] Багдасарян Г. Е., Микилян М. А. Математическое моделирование магнитоупругих колебаний проводящих ферромагнитных пластин // Изв. НАН Армении. Механи- ка. — 1996. — Т. 49, № 4. — С. 3-18. [21] Филиппов Б. Н., Болтачев В. Д., Тараканинов В. В. Изгибные колебания много- слойных стрикционных пластин // ЖТФ. — 1977. — Т. 47, вып. 1. — С. 209-219. [22] Багдасарян Г. Е., Даноян Э. А. Математическое моделирование колебаний двух- слойной магнитострикционной пластинки // Изв. АН РФ, МТТ. — 1992. — № 3. — С. 87-94. [23] Болотин В. В., Макаров Б. П., Мишенков Г. В., Швейко Ю. Ю. Асимптотический ме- тод исследования спектра собственных частот упругих пластинок // Расчеты на прочность. — М.: Машгиз, 1960. — Вып. 6. — С. 31-253. [24] Багдасарян Г. Е. Асимптотический метод исследования магнитоупругих колеба- ний прямоугольных пластин // Мат. методы и физ.-мех. поля. — 1986. — № 24. — С. 72-75. [25] Bagdasarian G. E., Philiposian G. T. Mathematical modeling and numerical investiga- tion magnetoelastic stability of superconductive plates // Proc. North American Conf. on Smart Structures and Materials (SPIE). — USA, 1997. — Vol. 3039. — P. 715-725. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 3, 9-19 19 Stability of Magnetostrictive Rectangular Plates Gevorg Baghdasaryan On the basis of linearized equations of magneto elasticity the behaviour of small disturbances in magneto active deformable medium is investigated. The three-dimensional problem for thin dielectrical magnetostrictive rectangular plates in a constant magnetic field is reduced to the two- dimensional one using the Kirchhoff hypothesis and applying asymptotic method of integration. On this basis the concrete problem is solved; the existence of range of the material magne- tostrictive characteristics for which the non-disturbed state of the plate is stable for any values of the induction of external magnetic field is shown; the magnetostrictive effect can essentially decrease the critical value of the magnetic induction at which plate loses stability. Стійкість магнітострикційних прямокутних пластин Ґеворґ Багдасарян На основі лінеаризованих рівнянь магнітопружності досліджено поведінку малих збурень у магнітоактивному деформівному середовищі. Для тонких діелектричних магнітострикцій- них прямокутних пластин, що перебувають у постійному магнітному полі з використан- ням гіпотези Кірхгофа та асимптотичного методу інтегрування тривимірна задача зведена до двовимірної. На цій основі сформульовано та розв’язано відповідну задачу стій- кості та показано, що існує область значень магнітострикційних характеристик матеріалу, у якій незбурений стан пластинки стійкий за довільних значень індукції зовнішнього маг- нітного поля; магнітострикційний ефект може суттєво зменшити критичне значення магнітної індукції, при якому пластинка втрачає стійкість. Отримано 06.09.05

Ähnliche Einträge