Гетерогенна крайова задача математичної моделі адвекції-дифузії у середовищі з включенням

Шляхом пониження вимірності співвідношень адвекції-дифузії у тонкому включенні із застосуванням напіваналітичної апроксимації шуканого розподілу за товщиною включення отримано у диференціальній формі гетерогенну крайову задачу, яка описується співвідношеннями різної вимірності за просторовими коорди...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2006
Hauptverfasser:	Савула, Я., Мандзак, Т.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2006
Schriftenreihe:	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20991
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Гетерогенна крайова задача математичної моделі адвекції-дифузії у середовищі з включенням / Я. Савула, Т. Мандзак // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 150-158. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-20991
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-209912011-06-14T12:11:21Z Гетерогенна крайова задача математичної моделі адвекції-дифузії у середовищі з включенням Савула, Я. Мандзак, Т. Шляхом пониження вимірності співвідношень адвекції-дифузії у тонкому включенні із застосуванням напіваналітичної апроксимації шуканого розподілу за товщиною включення отримано у диференціальній формі гетерогенну крайову задачу, яка описується співвідношеннями різної вимірності за просторовими координатами. Сформульовано основні властивості білінійних форм відповідного варіаційного формулювання у вигляді лем і теорем. Подано числові результати розрахунку тестової гетерогенної задачі із застосуванням експоненційних напіваналітичних апроксимацій. By dimensional reduction of advection-diffusion equations in thin inclusion with use of semi analytical approximations of thought field in thickness direction heterogeneous boundary value problem in differential form is obtained. It is described by mathematical relations at different dimensions by special coordinates. Main properties of bilinear forms of corresponding variational formulation are presented. Results of test numerical computations of heterogeneous problem in case of use of exponential semi analytical approximation are presented. Путем снижения порядка соотношений адвекции-диффузии в тонком включении на основании использования полуаналитических аппроксимаций искомого распределения по толщине включения получено в дифференциальной форме гетерогенную краевую задачу, которая описывается соотношениями разной размерности по пространственным координатам. Сформулированы главные свойства соответственной вариационной формулировки в виде лемм и теорем. Приведены численные результаты расчета тестовой гетерогенной задачи с использованием экспоненциальной полуаналитической аппроксимации. 2006 Article Гетерогенна крайова задача математичної моделі адвекції-дифузії у середовищі з включенням / Я. Савула, Т. Мандзак // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 150-158. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20991 519.63 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Шляхом пониження вимірності співвідношень адвекції-дифузії у тонкому включенні із застосуванням напіваналітичної апроксимації шуканого розподілу за товщиною включення отримано у диференціальній формі гетерогенну крайову задачу, яка описується співвідношеннями різної вимірності за просторовими координатами. Сформульовано основні властивості білінійних форм відповідного варіаційного формулювання у вигляді лем і теорем. Подано числові результати розрахунку тестової гетерогенної задачі із застосуванням експоненційних напіваналітичних апроксимацій.
format	Article
author	Савула, Я. Мандзак, Т.
spellingShingle	Савула, Я. Мандзак, Т. Гетерогенна крайова задача математичної моделі адвекції-дифузії у середовищі з включенням Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
author_facet	Савула, Я. Мандзак, Т.
author_sort	Савула, Я.
title	Гетерогенна крайова задача математичної моделі адвекції-дифузії у середовищі з включенням
title_short	Гетерогенна крайова задача математичної моделі адвекції-дифузії у середовищі з включенням
title_full	Гетерогенна крайова задача математичної моделі адвекції-дифузії у середовищі з включенням
title_fullStr	Гетерогенна крайова задача математичної моделі адвекції-дифузії у середовищі з включенням
title_full_unstemmed	Гетерогенна крайова задача математичної моделі адвекції-дифузії у середовищі з включенням
title_sort	гетерогенна крайова задача математичної моделі адвекції-дифузії у середовищі з включенням
publisher	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
publishDate	2006
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/20991
citation_txt	Гетерогенна крайова задача математичної моделі адвекції-дифузії у середовищі з включенням / Я. Савула, Т. Мандзак // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 150-158. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.
series	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT savulaâ geterogennakrajovazadačamatematičnoímodelíadvekcíídifuzííuseredoviŝízvklûčennâm AT mandzakt geterogennakrajovazadačamatematičnoímodelíadvekcíídifuzííuseredoviŝízvklûčennâm
first_indexed	2025-07-02T21:31:21Z
last_indexed	2025-07-02T21:31:21Z
_version_	1836572351403130880
fulltext	Гетерогенна крайова задача математичної моделі адвекції-дифузії у середовищі з включенням Ярема Савула1, Тарас Мандзак2 1 д. ф.-м. н., професор, Львівський національний університет імені Івана Франка, вул. Університетська, 1, Львів, 79000, e-mail: savula@franko.lviv.ua 2 Львівський національний університет імені Івана Франка, вул. Університетська, 1, Львів, 79000, e-mail: t_mandzak@franko.lviv.ua Шляхом пониження вимірності співвідношень адвекції-дифузії у тонкому включенні із засто- суванням напіваналітичної апроксимації шуканого розподілу за товщиною включення отримано у диференціальній формі гетерогенну крайову задачу, яка описується співвідно- шеннями різної вимірності за просторовими координатами. Сформульовано основні влас- тивості білінійних форм відповідного варіаційного формулювання у вигляді лем і теорем. Подано числові результати розрахунку тестової гетерогенної задачі із застосуванням експоненційних напіваналітичних апроксимацій. Ключові слова: адвекція, дифузія, експоненційна апроксимація, метод скін- ченних елементів, неоднорідне середовище. Вступ. В інженерії навколишнього середовища, мікроелектроніці, медицині важливе місце посідає числове дослідження процесів адвекції-дифузії у неоднорідних середо- вищах. У разі середовищ ґрунтів з чужорідними відкладеннями, гірських порід з трі- щинами, гідротехнічних споруд, електронних мікросхем, різноманітних тканин люд- ського організму та в інших споріднених випадках маємо справу з наявністю відносно тонких включених неоднорідностей (включень), що характеризуються ма- лою товщиною та відмінними від оточуючого середовища фізико-хімічними пара- метрами. Числовий аналіз класичних початково-крайових задач адвекції-дифузії у таких середовищах наштовхується на значні труднощі дискретизації та адекватної апроксимації. Математичному моделюванню впливу тонких включень на процеси адвекції-дифузії присвячені праці Дейнеки В. С., Кіта Г. С., Підстригача Я. С., Сер- гієчка І. В., Скопецького В. В., Сулима Г. Т. та інших. Огляд сучасного стану дослі- джень у цьому напрямі приведено у роботі [1]. Альтернативний підхід, що полягає у побудові гетерогенних математичних моделей, які описуються співвідношеннями різної вимірності за просторовими координатами у середовищі та включеному тон- кому шарі, започатковано у працях [2, 3]. Пониження вимірності співвідношень математичної моделі у тонких включеннях на основі застосування відповідної напів- аналітичної апроксимації шуканого розподілу за товщиною включення дозволяє ви- користовувати прості методи дискретизації, зменшити обчислювальні затрати. У стат- ті [4] нами сформульовано процедуру пониження вимірності співвідношень УДК 519.63 150 ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 3, 150-158 151 адвекції-дифузії у тонкому шарі, запропоновано підхід до побудови відповідних напіваналітичних апроксимацій у випадку домінуючої адвекції (великих чисел Пекле), наведено результати тестових числових розрахунків моделі адвекції-дифузії у тонкому шарі з використанням експоненційних апроксимацій та ієрархічних бази- сів функцій-бульбашок [5]. У даній роботі описано гетерогенну крайову задачу адвекції-дифузії у середовищі з включенням у диференціальній і варіаційній фор- мах, сформульовано властивості відповідних білінійних форм, наведено результа- ти тестових числових розрахунків із застосуванням експоненційних функцій-ша- почок [6] та експоненційних напіваналітичних апроксимацій. 1. Диференціальне формулювання гетерогенної крайової задачі Розглянемо пористе середовище Ω, яке містить проникне включення В з товщи- ною h, значно меншою за інші характерні розміри (рис. 1). Область Ω обмежена ліпшицевою грани- цею ∂Ω і контактує з тонким включен- ням В вздовж ліпшицевої границі Г. Область В віднесемо до криволінійної сис- теми координат 1 2 3, ,ξ ξ ξ і подамо у ви- гляді ( ){ }1 2 3 1 2 3, , : , , ( 1, 1)Β = ξ ξ ξ ξ ξ ∈Ξ ξ ∈ − , де Ξ — прообраз серединної поверхні включення, 3ξ — координата, що зміню- ється вздовж товщини включення. Засто- совуючи процедуру пониження вимірності співвідношень адвекції-дифузії у тон- кому включенні, позбуваючись його товщини, від тривимірної області В переходимо до двовимірної [4]. У включенні В застосуємо напіваналітичну апроксимацію шуканого поля (температури чи концентрації) за товщиною ( ) ( ) ( ) [ ]1 2 3 1 2 3 1 , , , , 1, 1 m k k k u u = = ξ ξ ψ ξ ξ ξ ∈Ξ ξ ∈ −∑ , (1) де ( ){ }3 1 m k k = ψ ξ — заданий набір m лінійно незалежних базових функцій, ( )1 2,ku ξ ξ — нові шукані величини. Враховуючи результати [4], математичну модель адвекції-дифузії у неоднорідному середовищі ΒΩU опишемо наступни- ми співвідношеннями різної вимірності за просторовими координатами. • В області Ω тривимірним рівнянням вигляду 0j uΩ Ω Ω−∇ ⋅ − φ σ = r r . (2) Тут ˆj qu D uΩ Ω Ω= − φ ⋅∇ rr r — адвективно-дифузійний потік в Ω, qr — поле швид- костей ( 0)q∇ ⋅ = r r , u — шукане поле, D̂Ω — тензор дифузії, ,Ω Ωφ σ — коефіці- єнти пористості й поглинання в Ω. Рис. 1. Середовище з включенням Ω∂ Γ BΩ Ярема Савула, Тарас Мандзак Гетерогенна крайова задача математичної моделі адвекції-дифузії… 152 • В області В системою двовимірних рівнянь пониженої вимірності вигляду ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 1 , , 0A A u A A u u f A A α α α= ⋅ − ⋅ + − + + ⋅ + =∑ α αα 3 33Q K Q K R rr r r в Ξ , (3) де ur — шуканий вектор коефіцієнтів напіваналітичної апроксимації ( )1 2,ku ξ ξ з формули (1); ( )1 1 1 2,A A= ξ ξ , ( )2 2 1 2,A A= ξ ξ — коефіцієнти Ляме на серединній поверхні включення; ( )( ),i i ∂ = ∂ξ o o — позначення часткової похідної; ( ) ( ) 1 1 3 3 3 3 3 1 1 1 , 1 2 2 h hq h d q h dα − − ′= + κ ξ ξ = + κ ξ ξ∫ ∫α 3Q Ψ Q Ψ , ( ) ( ) 1 1 3 3 33 3 3 1 1 1 , 1 2 2 h hD h d D h dαα − − ′′= φ + κ ξ ξ = φ + κ ξ ξ∫ ∫αα 33K Ψ K Ψ , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 3 1 1 , 1 1 1 1 2 h h d f j h j h− + − = φσ + κ ξ ξ = −ψ − − κ − ψ + κ∫R Ψ r r r , , , , ,α αα 3 33Q K Q K R — матричні величини розміру m m× , які визначаються че- рез відповідні коефіцієнти вихідного тривимірного співвідношення адвекції-ди- фузії в області В, товщину включення h, середню кривину серединної поверхні κ, нормальні складові адвективно-дифузійних потоків на лицевих поверхнях ,j j− + та базові функції ( )3kψ ξ [4]; 3( )ψ = ψ ξ r r — вектор розміру m з елементами ( )3kψ ξ ; [ ]k l= ψ ψΨ , 3 k l d d  ψ′ = ψ ξ  Ψ , 3 3 k ld d d d  ψ ψ′′ =  ξ ξ  Ψ — матриці розміру m m× , , 1,k l m= . На границі ∂Ω задамо крайову умову першого роду ( )u g x= r на Ω∂ . (4) На Г, як спільній границі суміжних областей Ω і В, потрібно задати умови спряження [7], які складаються з умови неперервності нормальних складових адвективно-дифузійного потоку та неперервності шуканого поля j n j nΩ Β Ω Β Γ Γ− ⋅ = ⋅ r rr r , (5) n nu u −Γ Γ= , (6) де ˆj qu D uΒ = − φ ⋅∇ rr r — адвективно-дифузійний потік у В, nr — орт зовнішньої нормалі до поверхні Г, а ,Ω ΒΓ Γ — зовнішня і внутрішня сторони поверхні Г з нормалями nr та – nr відповідно. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 3, 150-158 153 Подамо тонку бічну поверхню включення у вигляді ( ) [ ]{ }1,1,,:,, 321321 −∈ξΞ∂∈ξξξξξ=ΓS . Умову (6) на SΓ , враховуючи (1), запишемо у вигляді ( )n n S S Tu u −Γ Γ= ψ ⋅ r r . (7) Область визначення оператора цієї гетерогенної задачі можна охарактери- зувати так ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ){ }74умови,,:, 1 2 1 2 −Ξ∈Ω∈= WuWuuuD kp r . Зауважимо, що оскільки DP містить елементи ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 0,u u C C∞ ∞∈ Ω × Ξ r і ( ) 0C ∞ утворює щільну множину в L2, то DP є щільною множиною в ( ) ( )2 2L LΩ × Ξ [8]. 2. Дослідження варіаційного формулювання Введемо простір функцій ( ){ }(1) 2V : , 0 наv v W vΩ = ∈ Ω = ∂Ω зі скалярним добутком ( ) ( )1,,u v uv u v dΩ Ω = + ∇ ⋅∇ Ω∫ і нормою ( )1 2 1,1, ,u u u ΩΩ = . Введемо також простір векторних функцій розмірності m ( ) ( ){ }mkнаvWvvV kk ,1,0,: 1 2 =Ξ∂=Ξ∈=Ξ r відповідно зі скалярними добутками та нормою ( ) ( ) 1 2 1 21,, , ,T Tu v u v u v A A d dα αΞ Ξ = ⋅ + ⋅ ξ ξ∫ r r r r r r , ( ) 1 2 1 2, Tu v u v A A d dΞ Ξ = ⋅ ξ ξ∫ r r r r , ( )1 2 1,1, ,u u u ΞΞ = r r r . Визначимо також простір V ( ) ( ) ( ){ }7,6умови,,:, ΞΩ ∈∈== VvVvvvv rV з нормою ( )1 22 2 1, 1, 1,u u uΩ Ξ= +V r . Ярема Савула, Тарас Мандзак Гетерогенна крайова задача математичної моделі адвекції-дифузії… 154 Дамо варіаційне формулювання гетерогенної задачі (2)-(7) для випадку однорідних крайових умов. ( ) ( )      =⋅∇ ∈∀=+ ∈ ,0 ,0,, щотаке,знайти q vvuavuA u rr rr V V (8) де ( )ˆ( , )A u v qu D u v d uv dΩ Ω Ω Ω Ω Ω = − − φ ⋅∇ ⋅∇ Ω + φ σ Ω∫ ∫ r rr (9) — білінійна форма, що відповідає рівнянню (2), ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 , ( , ) ( , ) ( , ), 1( , ) , , , 1( , ) , , , , ( , ) , a u v c u v d u v r u v c u v A A u u v A A d u v A A u v A A r u v u v α Ξ α α Ξ Ξ  = + +    = ⋅ − ⋅       = − ⋅      = + ⋅ α 3 αα 33 Q Q K K R r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r (10) — білінійні форми, що відповідають рівнянню (3). Зауважимо, що для отримання співвідношень (8), (9) застосовано теорему Остроградського-Гауса і враховано природну умову (5). Введені у поданнях (9), (10) білінійні форми мають властивості, які сформульовані в наступних лемах і теоремах. Теорема 1. Білінійна форма ( , ) :A V V RΩ Ω⋅ ⋅ × → неперервна і VΩ — еліптична 2 1 1, 1,( , )A u v M u vΩ Ω≤ , 22 1 1,( , )A u u u Ω≥ ρ . Лема 1. Білінійна форма ( , ) :c V V RΞ Ξ⋅ ⋅ × → кососиметрична ( , ) ( , ) ,c u v c v u u v VΞ= − ∀ ∈ r r r r r r і справедлива рівність ( )1 2 1 2( , ) , ,T Tc u v v A A u u d d u v Vα Ξ Ξ = ⋅ ⋅ + ⋅ ξ ξ ∀ ∈∫ α 3Q Qr r r r r r r , коли виконується умова ( ) 1 3 3 1 1 0u q h + − ⋅ + κ ξ =Ψ r . ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 3, 150-158 155 Лема 2. Білінійна форма ( , ) :d V V RΞ Ξ⋅ ⋅ × → симетрична ( , ) ( , ) ,d u v d v u u v VΞ= ∀ ∈ r r r r r r і справедлива рівність ( ) 1 2 1 2, , ,Td u v v A A u d dα α Ξ = ⋅ ⋅ ξ ξ∫ ααKr r r r . Лема 3. Білінійна форма ( , ) :r V V RΞ Ξ⋅ ⋅ × → симетрична ( , ) ( , ) ,r u v r v u u v VΞ= ∀ ∈ r r r r r r . Лема 4. Білінійна форма ( , ) :a V V RΞ Ξ⋅ ⋅ × → неперервна 2 2 1, 1,( , )a u v M u vΞ Ξ≤ r r r r . Теорема 2. Білінійна форма ( , ) :a V V RΞ Ξ⋅ ⋅ × → VΞ — еліптична 22 2 1,( , )a u u u Ξ≥ ρ r r r за умови 1 hκ < . Доведення теореми 2 ґрунтується на лінійній незалежності послідовності ( ){ }3 1 m k k = ψ ξ і полягає у застосуванні теореми Релея-Рітца та попередніх лем. 3. Числові експерименти Для проведення тестового числового розрахунку розглянемо двовимірний част- ковий випадок задачі (2)-(7) у квадратній області Ω, приймаючи фізико-хімічні параметри включення й оточуючого середовища однаковими, а контакт між ни- ми — ідеальним. Тоді можемо порівняти числовий розв’язок гетерогенної крайо- вої задачі з аналітичним розв’язком деякої класичної крайової задачі в області без включення. Розглянемо, наприклад, таку задачу 2 2 1 22 2 Pe Pe 0u u u u x yx y ∂ ∂ ∂ ∂ − − + + = ∂ ∂∂ ∂ , ( , ) (0,1) (0,1),x y ∈Ω = × (11) 2 1 2 1 ( 1)Pe ( 1)Pe 0 1 0 1Pe Pe 1 1, 0, , 0. 1 1 y x x x y y e eu u u u e e − − = = = =− − − − = = = = − − (12) Тут 1 2Pe , Pe — числа Пекле за напрямками осей ,Ox Oy відповідно. Аналітичний розв’язок задачі має вигляд ( )( ) ( )( ) 1 2 1 2 ( 1)Pe ( 1)Pe Pe Pe 1 1 ( , ) 1 1 x y ex e e u x y e e − − − − − − = − − . (13) Ярема Савула, Тарас Мандзак Гетерогенна крайова задача математичної моделі адвекції-дифузії… 156 Рис. 2. Дискретизація області Дискретизація області Ω зображена на рис. 2, де виділеними вузлами позначено область включення, а вектор вказує на напрям адвективного потоку. Для скінченноелементної апроксимації застосуємо неявні експоненційні функції-шапочки на трикутних елементах [5], вигляд яких залежить від чисел Пекле (рис. 3). За товщиною включення застосуємо експоненційну напіваналі- тичну апроксимацію (1) на основі таких базових функцій [4] 2 3Pe 1 21, e ξψ = ψ = . Приймемо товщину включення h = 10–6 м при розмірі області 1×1 м. З огляду на малу товщину, для спрощення числових розрахунків, приймемо розподіл кон- центрації на лівому краї включення сталим. Зауважимо, що числове розв’язання гетерогенної крайової задачі адвекції- дифузії (2)-(7) зводиться до розв’язування єдиної системи лінійних алгебричних рівнянь, яка формується звичайним чином на основі білінійних форм (9), (10) із спеціальним врахуванням головних умов спряження (6). Числовий та аналітич- ний (див. формулу (13)) розв’язки тестової гетерогенної крайової задачі для 1 2Pe Pe 100= = зображено на рис. 4. Рис. 3. Протабульовані функції-шапочки для Pe1, Pe2 = 2 (зліва) i Pe1, Pe2 = 10 (справа) ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 3, 150-158 157 Рис. 4. Числовий роз’язок (зліва) і аналітичний (справа) Таким чином, можемо зробити висновок про адекватність числового розв’язку гетерогенної крайової задачі до вхідних даних математичної моделі. На рис. 5 показано числовий розв’язок для випадку, коли швидкість адвективного пере- несення вздовж включення є у 100 разів більшою, ніж у середовищі. Рис. 5. Числовий розв’язок за домінуючої адвекції у включенні Про це свідчить відповідний «виступ» на графіку розподілу шуканого поля в області розташування включення. Висновки. Сформульовано гетерогенну математичну модель, яка описується три- та двовимірними рівняннями адвекції-дифузії й умовами спряження на гра- ниці контакту тонкого включення з середовищем. Побудовано варіаційне форму- лювання гетерогенної моделі, досліджено відповідні білінійні форми й показано, що за певних умов вони зберігають властивості неперервності та V-еліптичності, як і вихідні оператори, до яких застосовано процедуру пониження вимірності. Наведено результати успішних тестових числових експериментів, які дозволяють перейти до розрахунку реальних задач адвекції-дифузії у середовищах із вклю- ченнями. Ярема Савула, Тарас Мандзак Гетерогенна крайова задача математичної моделі адвекції-дифузії… 158 Література [1] Cулим Г. Т., Піскозуб Й. З. Умови контактної взаємодії тіл (Огляд) // Мат. методи та фіз.-мех. поля. — 2004. — Т. 47, № 3. — С. 110-125. [2] Дяконюк Л., Кухарський В., Савула Я. Математичне моделювання процесів тепло- провідності у багатошарових середовищах із тонкими включеннями // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур. — Львів: 2000. — Т. 1. — C. 212-216. [3] Савула Я. Г., Сипа І. М., Струтинській І. В. Математичні моделі теплопровідності для тіл з тонкими покриттями та включеннями // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.- матем. — 1992. — Вип. 37. — С. 39-45. [4] Мандзак Т. І., Савула Я. Г. Пониження вимірності математичної моделі адвекції- дифузії у тонкому включенні з використанням експоненційних апроксимацій // Во- линський математичний вісник. Сер. прикл. матем. — 2004. — Вип. 2 (11). — С. 52–57. [5] Мандзак Т. І., Савула Н. Я. Про використання ієрархічних базисів у методі скін- ченних елементів // Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. та інформ. — 2003. — Вип. 6. — С. 80-85. [6] Song Wang, Zi-Cai Li. An analysis of a conforming exponentially fitted finite element method for a convection-diffusion problem // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2002. — Issue 143. — P. 291-310. [7] Дейнека В. С., Сергиенко И. В., Скопецкий В. В. Модели и методы решения задач с условиями сопряжения. — К.: Наук. думка, 1998. — 615 с. [8] Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. — М.: Мир, 1985. — 590 с. Heterogeneous Boundary Value Problem of Advection-Diffusion Mathematical Model in Medium with Inclusion Yarema Savula, Taras Mandzak By dimensional reduction of advection-diffusion equations in thin inclusion with use of semi ana- lytical approximations of thought field in thickness direction heterogeneous boundary value prob- lem in differential form is obtained. It is described by mathematical relations at different dimensions by special coordinates. Main properties of bilinear forms of corresponding variational formulation are presented. Results of test numerical computations of heterogeneous problem in case of use of exponential semi analytical approximation are presented. Гетерогенная краевая задача математической модели адвекции-диффузии в среде с включением Ярема Савула, Тарас Мандзак Путем снижения порядка соотношений адвекции-диффузии в тонком включении на осно- вании использования полуаналитических аппроксимаций искомого распределения по толщи- не включения получено в дифференциальной форме гетерогенную краевую задачу, которая описывается соотношениями разной размерности по пространственным координатам. Сформулированы главные свойства соответственной вариационной формулировки в виде лемм и теорем. Приведены численные результаты расчета тестовой гетерогенной задачи с использованием экспоненциальной полуаналитической аппроксимации. Отримано 08.02.06

Гетерогенна крайова задача математичної моделі адвекції-дифузії у середовищі з включенням

Institution

Ähnliche Einträge