Моделювання взаємодії тіл з урахуванням поверхневого натягу рідини у міжконтактному просвіті

Запропоновано модель контакту пружного півпростору з жорсткою основою, що має плитку поверхневу виїмку, за наявності нестисливої рідини на крайніх ділянках міжповерхневого просвіту й ідеального газу в центральній його частині. Поверхневий натяг рідини, яка змочує поверхні тіл, зумовлює перепад тискі...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2007
Автори:	Слободян, Б., Мартиняк, Р.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2007
Назва видання:	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21104
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Моделювання взаємодії тіл з урахуванням поверхневого натягу рідини у міжконтактному просвіті / Б. Слободян, Р. Мартиняк // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2007. — Вип. 6. — С. 19-29. — Бібліогр.: 24 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-21104
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-211042011-06-15T12:08:00Z Моделювання взаємодії тіл з урахуванням поверхневого натягу рідини у міжконтактному просвіті Слободян, Б. Мартиняк, Р. Запропоновано модель контакту пружного півпростору з жорсткою основою, що має плитку поверхневу виїмку, за наявності нестисливої рідини на крайніх ділянках міжповерхневого просвіту й ідеального газу в центральній його частині. Поверхневий натяг рідини, яка змочує поверхні тіл, зумовлює перепад тисків у рідині та газі, що враховано формулою Лапласа. Зв’язок між тиском газу та його об’ємом описано рівнянням стану Клапейрона-Менделєєва. Сформульована на цій основі плоска контактна задача для пружного півпростору є істотно нелінійною, оскільки тиски газу та рідини, а також довжина рідинних ділянок заздалегідь невідомі та залежать від прикладеного навантаження. З використанням методу функцій міжконтактних зазорів задачу зведено до системи чотирьох рівнянь — сингулярного інтегрального відносно функції висоти просвіту та трьох трансцендентних стосовно тиску газу, висоти та координати меніска. Запропоновано аналітико-числову процедуру розв’язування цих рівнянь. Проаналізовано залежності висоти меніска, довжини рідинної ділянки та тиску в складових заповнювача від величини прикладеного навантаження, кількості рідини у просвіті та її поверхневого натягу. The interaction between an elastic half-space and a rigid base with a recess is presented. The contact gap has an incompressible liquid which forms meniscus on the edge of the gap and an ideal gas in its middle part. The liquid wets surfaces of bodies completely. Surface tension causes a pressure jump in a liquid and a gas. This fact is taken into consideration by Laplace formula. The relation between gas pressure and it’s volume is described by Clapeyron-Mendeleyev equation. Formulated on this basis plane contact problem for elastic half-space is considerably nonlinear since gas pressure and pressure in liquid and length of liquid part of a gap are unknown apriori and depend on loading. With help of the gap-height functions method, the problem is reduced to a system of four equations — singular integral equation in the gap height function and three transcendent equations in gas pressure, height and coordinate of meniscus. The analytical-numerical procedure of solving these equations is proposed. The dependence of meniscus height, length of liquid part of a gap and pressure in gas and liquid from loading is analyzed. Предложена модель контакта упругого полупространства и жесткого основания, с неглубокой поверхностной выемкой, при наличии на крайних участках межповерхностного зазора несжимаемой жидкости и идеального газа в центральной его части. Поверхностное натяжение жидкости, полностью смачивающей поверхности тел, обусловливает перепад давлений в жидкости и газе, который учтен формулой Лапласа. Связь между давлением газа и его объемом описана уравнением состояния Клапейрона-Менделеева. Сформулированная на этом основании плоская контактная задача для упругого полупространства является существенно нелинейной, поскольку давления газа и жидкости, длина участка с жидкостью, фигурирующие в условиях контакта, заранее неизвестны и зависят от приложенной нагрузки. С использованием метода функций межконтактных зазоров задача сведена к системе четырех уравнений — сингулярного интегрального относительно функции высоты зазора и трех трансцендентных относительно давления газа, высоты мениска и координаты мениска. Предложена аналитико-численная процедура решения этих уравнений. Проанализированы зависимости высоты мениска, длины участка с жидкостью и давлений в газе и жидкости от приложенной нагрузки, количества жидкости в зазоре и ее поверхностного натяжения. 2007 Article Моделювання взаємодії тіл з урахуванням поверхневого натягу рідини у міжконтактному просвіті / Б. Слободян, Р. Мартиняк // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2007. — Вип. 6. — С. 19-29. — Бібліогр.: 24 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21104 539.3 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Запропоновано модель контакту пружного півпростору з жорсткою основою, що має плитку поверхневу виїмку, за наявності нестисливої рідини на крайніх ділянках міжповерхневого просвіту й ідеального газу в центральній його частині. Поверхневий натяг рідини, яка змочує поверхні тіл, зумовлює перепад тисків у рідині та газі, що враховано формулою Лапласа. Зв’язок між тиском газу та його об’ємом описано рівнянням стану Клапейрона-Менделєєва. Сформульована на цій основі плоска контактна задача для пружного півпростору є істотно нелінійною, оскільки тиски газу та рідини, а також довжина рідинних ділянок заздалегідь невідомі та залежать від прикладеного навантаження. З використанням методу функцій міжконтактних зазорів задачу зведено до системи чотирьох рівнянь — сингулярного інтегрального відносно функції висоти просвіту та трьох трансцендентних стосовно тиску газу, висоти та координати меніска. Запропоновано аналітико-числову процедуру розв’язування цих рівнянь. Проаналізовано залежності висоти меніска, довжини рідинної ділянки та тиску в складових заповнювача від величини прикладеного навантаження, кількості рідини у просвіті та її поверхневого натягу.
format	Article
author	Слободян, Б. Мартиняк, Р.
spellingShingle	Слободян, Б. Мартиняк, Р. Моделювання взаємодії тіл з урахуванням поверхневого натягу рідини у міжконтактному просвіті Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
author_facet	Слободян, Б. Мартиняк, Р.
author_sort	Слободян, Б.
title	Моделювання взаємодії тіл з урахуванням поверхневого натягу рідини у міжконтактному просвіті
title_short	Моделювання взаємодії тіл з урахуванням поверхневого натягу рідини у міжконтактному просвіті
title_full	Моделювання взаємодії тіл з урахуванням поверхневого натягу рідини у міжконтактному просвіті
title_fullStr	Моделювання взаємодії тіл з урахуванням поверхневого натягу рідини у міжконтактному просвіті
title_full_unstemmed	Моделювання взаємодії тіл з урахуванням поверхневого натягу рідини у міжконтактному просвіті
title_sort	моделювання взаємодії тіл з урахуванням поверхневого натягу рідини у міжконтактному просвіті
publisher	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
publishDate	2007
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21104
citation_txt	Моделювання взаємодії тіл з урахуванням поверхневого натягу рідини у міжконтактному просвіті / Б. Слободян, Р. Мартиняк // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2007. — Вип. 6. — С. 19-29. — Бібліогр.: 24 назв. — укр.
series	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT slobodânb modelûvannâvzaêmodíítílzurahuvannâmpoverhnevogonatâgurídiniumížkontaktnomuprosvítí AT martinâkr modelûvannâvzaêmodíítílzurahuvannâmpoverhnevogonatâgurídiniumížkontaktnomuprosvítí
first_indexed	2025-07-02T21:39:45Z
last_indexed	2025-07-02T21:39:45Z
_version_	1836572879798403072
fulltext	19 Моделювання взаємодії тіл з урахуванням поверхневого натягу рідини у міжконтактному просвіті Богдан Слободян1, Ростислав Мартиняк2 1 Інститут прикладних проблеми механіки і математики ім. Я. C. Підстригача НАН України, вул. Наукова, 3-б, Львів, 79060, e-mail: labmtd@iapmm.lviv.ua 2 д. ф.-м. н., Інститут прикладних проблеми механіки і математики ім. Я. C. Підстригача НАН України, вул. Нау- кова, 3-б, Львів, 79060, e-mail: labmtd@iapmm.lviv.ua Запропоновано модель контакту пружного півпростору з жорсткою основою, що має плитку поверхневу виїмку, за наявності нестисливої рідини на крайніх ділянках міжповерх- невого просвіту й ідеального газу в центральній його частині. Поверхневий натяг рідини, яка змочує поверхні тіл, зумовлює перепад тисків у рідині та газі, що враховано формулою Лапласа. Зв’язок між тиском газу та його об’ємом описано рівнянням стану Клапейрона- Менделєєва. Сформульована на цій основі плоска контактна задача для пружного півпрос- тору є істотно нелінійною, оскільки тиски газу та рідини, а також довжина рідинних ді- лянок заздалегідь невідомі та залежать від прикладеного навантаження. З використанням методу функцій міжконтактних зазорів задачу зведено до системи чотирьох рівнянь — сингулярного інтегрального відносно функції висоти просвіту та трьох трансцендентних стосовно тиску газу, висоти та координати меніска. Запропоновано аналітико-числову процедуру розв’язування цих рівнянь. Проаналізовано залежності висоти меніска, довжини рідинної ділянки та тиску в складових заповнювача від величини прикладеного наванта- ження, кількості рідини у просвіті та її поверхневого натягу. Ключові слова: ідеальний газ, нестислива рідина, контактна взаємодія, ви- їмка, міжповерхневий просвіт, меніск, капілярні явища, поверхневий натяг. Вступ. Функціонування різних технічних і природних систем часто супроводжу- ється конденсацією вологи на поверхнях, яка під час їхнього контакту переміща- ється під дією поверхневого натягу у вужчі місця міжповерхневих просвітів. Вплив поверхневого натягу рідини та капілярних явищ на контактну поведінку тіл зростає зі зменшенням розмірів тіла. Для мікро- та наноструктур капілярна адгезія є істотним чинником формування фактичної площі контакту, тертя та зношування, контактної передачі навантажень, кінематичних параметрів рухомих з’єднань. Тому сучасні дослідження в галузі трибології [1, 2], комп’ютерних техно- логій [3, 4], нано- та мікровимірювальної техніки [5-7], геомеханіки [8], біомеха- ніки [9-11] все більше використовують моделювання взаємодії тіл за наявності в області їх контакту рідинних менісків. Методи дослідження контактних задач те- орії пружності з урахуванням капілярних явищ почали розроблятися в останнє де- сятиліття для тіл із неузгодженими поверхнями, для яких властивий локальний контакт [12-16]. УДК 539.3 Богдан Слободян, Ростислав Мартиняк Моделювання взаємодії тіл з урахуванням поверхневого натягу рідини у міжконтактному просвіті 20 У разі взаємодії тіл з узгодженими поверхнями площа їх контакту співмірна з площею поверхонь, а міжконтактні зазори, які виникають в області малих гео- метричних збурень границь, мають локальний характер. У цьому разі заповню- вач міжповерхневих просвітів стає активним чинником контактної системи, оскільки при навантаженні такі зазори можуть істотно змінювати свій об’єм і ви- кликати зворотну реакцію з боку заповнювача у вигляді зміни тиску. Раніше ви- вчалася контактна поведінка тіл з узгодженими поверхнями, коли просвіт містив один вид заповнювача — рідину або газ [17-21]. У праці [22] започатковано моделювання контакту тіл із узгодженими гра- ницями з урахуванням капілярних явищ при заповненні рідиною крайніх ділянок міжповерхневого зазору, зумовленого локальною виїмкою на одній із поверхонь. При цьому вважали, що на середній частині зазору на межі тіл діє сталий тиск. У такий спосіб враховували дію газу, який може вільно виходити з зазору та при навантаженні тіл не змінює свого тиску. Нижче цю модель узагальнено на випадок наявності у проміжку між край- німи ділянками зазору з рідиною фіксованої кількості ідеального газу, який не може виходити з зазору. Враховано зміну тиску газу під час навантаження. Зв’я- зок між параметрами стану газу описано рівнянням Клапейрона-Менделєєва. 1. Умови взаємодії пружного тіла з газорідинним заповнювачем просвіту Дослідимо взаємодію пружного півпростору з жорсткою основою, що вздовж не- скінченної смуги шириною 2c має плитку виїмку, поперечний переріз якої опи- сується функцією (рис. 1а). Плиткість виїмки означає, що r(x) / c << 1, x ∈[– c, c]. Зовні виїмки поверхня жорсткого тіла плоска. Під дією прикладеного на нескінченності рівномірно розподіленого навантаження P ∞ півпростір вступає в контакт з основою, перебуваючи в умовах плоскої деформації. Приймаємо основу нерухомою, а взаємодію тіл — безфрикційною. Тому на межі пружного півпростору на ділянках контакту дотичні напруження і нормальні переміщення дорівнюють нулю. а) Тіла до контакту б) Тіла під час контакту Рис. 1 ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2007, вип. 6, 19-29 21 Внаслідок нерівності основи прямий контакт тіл відсутній вздовж виїмки, де між ними утворюється міжконтактний просвіт (зазор) (рис. 1б). Вважаємо, що на краях зазору вздовж смуг ширини l конденсується чи адсорбується нестислива рідина (рис. 1б), яка повністю змочує поверхні тіл (тобто крайовий кут змочуван- ня θ = 0º [23]). На середній частині зазору вздовж смуги шириною 2a міститься ідеальний газ. Рідина та газ не можуть виходити з зазору та їхня кількість під час стиску тіл залишається незмінною, тобто об’єм нестисливої рідини V2 на кожно- му з кінців зазору та маса газу m1, що припадають на одиницю довжини зазору у поздовжньому його напрямі, є величинами сталими: V2 = const, m1 = const. Роз- глядаємо квазістатичне навантаження, за якого у рідині та газі діє лише тиск і не виникають зсувні зусилля. Тому межа пружного тіла вздовж зазору вільна від до- тичних напружень. У процесі навантаження змінюються висота просвіту h(x), його об’єм і дов- жина рідинних ділянок. Зі зміною зазору змінюються також об’єм і тиск газу, зв’язок між якими описуємо рівнянням стану ідеального газу у формі Клапейрона- Менделєєва 1 1 1 1 mPV RT= µ , де V1 — об’єм газу, що припадає на одиницю довжини зазору в його поздовжньо- му напрямі; µ1 — молярна маса газу; T — температура газу; R — універсальна газова стала. Меніск — бічна поверхня рідини, що межує з газом — у перетині має фор- му дуги кола деякого радіуса R. Внаслідок поверхневого натягу, який характе- ризується коефіцієнтом σ, тиск у рідині P2 є менший від тиску газу P1, і перепад тисків ∆P у цих двох субстанціях визначається формулою Лапласа [23] 1 2P P P R σ ∆ = − = . Враховуючи повне змочування рідиною тіл, малу висоту зазору та його по- логість в околі межі між рідиною та газом, вважаємо, що меніск є півциліндром, радіус якого дорівнює половині висоти зазору в точках x = ± a виходу меніска на поверхню пружного тіла: R = h(a) / 2. Якщо висоту меніска позначити h0 (h0 = h(a)), то формула Лапласа для нашого випадку набуде вигляду 1 2 0 2P P h σ − = . Визначивши об’єми газу та рідини через функцію висоти зазору h(x), умову збереження кількості рідини у просвіті та рівняння Клапейрона-Менделєєва за- пишемо так 2( ) c a h x dx V=∫ , 1 1 1 ( ) a a mP h x dx RT − = µ∫ . Богдан Слободян, Ростислав Мартиняк Моделювання взаємодії тіл з урахуванням поверхневого натягу рідини у міжконтактному просвіті 22 Останні три рівняння пов’язують три заздалегідь невідомі величини (тиски га- зу P1 і рідини P2, довжину рідинної ділянки l) через висоту зазору h(x) із трьома зада- ними параметрами (масою газу m1, об’ємом рідини V2 та поверхневим натягом σ). 2. Формулювання контактної задачі Зважаючи на те, що у пружному півпросторі реалізується стан плоскої деформа- ції, розглядаємо плоску контактну задачу для верхньої півплощини D2, яка утво- рена перетином півпростору площиною, перпендикулярною до твірної виїмки. Компоненти тензора напружень у цьому разі задовольняють у півплощині D2 (– ∞ < x < ∞, 0 < y < ∞) рівняння рівноваги та сумісності деформацій 0xyx x y ∂τ∂σ + = ∂ ∂ , 0xy y x y ∂τ ∂σ + = ∂ ∂ , ( ) 0x y∆ σ + σ = . (1) З урахуванням сформульованих вище положень про умови взаємодії пруж- ного тіла з рідиною та газом, запишемо такі контактно-крайові умови на межі y = 0 півплощини • на ділянці зазору 0xyτ = , ( , )x c c∈ − , 1y Pσ = , ( , )x a a∈ − , 1 0 2 y P h σ σ = − , ( , ) ( , )x c a a c∈ − − ∪ ; (2) • на ділянках контакту з жорсткою основою 0xyτ = , 0yu = , ( , ) ( , )x c c∈ −∞ − ∪ ∞ , (3) де ux, uy — компоненти вектора переміщень. Умови на нескінченності ( 2 2x y+ →∞ ) матимуть вигляд y P∞σ = − , 0xσ = , 0xyτ = . (4) Особливістю сформульованої контактної задачі є її нелінійність — тиск га- зу P1, координата a та висота h0 меніска, які входять у крайові умови (2) на ділян- ці просвіту, заздалегідь невідомі та змінюються внаслідок навантаження. Для ви- значення цих параметрів використаємо три рівняння 0 ( )h h a= , 1 1 1 ( ) a a mP h x dx RT − = µ∫ , 2( ) c a h x dx V=∫ , (5) що замикають контактно-крайові умови. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2007, вип. 6, 19-29 23 3. Методика розв’язування задачі В умови (2), (5) входить висота просвіту h(x). Тому ці умови можуть бути ефек- тивно використані для розв’язування контактної задачі методом функцій міжкон- тактних зазорів [19, 24]. Згідно з цим методом розв’язок сформульованої контактно- крайової задачі (1)-(5) подамо через висоту початкового зазору між тілами [– r(x)] і висоту актуального просвіту h(x), що виникає при навантаженні системи і дії міжповерхневого середовища 4Re ( )x y zσ + σ = Φ , ( ) ( ) ( ) ( )y xyi z z z z z P∞′σ − τ = Φ −Φ + − Φ − , (6) ( ) 32 ( ) ( ) ( ) ( ) 4x yG u iu z z z z z P∞− κ′ ′ ′+ = κ Φ +Φ − − Φ + , 2z D∈ , де комплексний потенціал 1 1 ( ) ( )( ) ( 1) c c j c c h t r tz dt dt K t z t z + − −  ′ ′ Φ = − − π − −   ∫ ∫ , jz D∈ , 1,2j = , а для визначення похідної висоти просвіту h'(x) отримаємо сингулярне інтеграль- не рівняння (СІР) ( )( ) ( )( ) 4 c c c c h t K r tdt P P x dt t x t x ∞ − − ′ ′π = − − + − −∫ ∫ , ( , )x c c∈ − . (7) Тут 1 1 , ; ( ) 2 , ; ( ) P x a P x P a x c h a  < = σ − < <  1 2 K G + κ = ; 3 4κ = − ν ; G, ν — модуль зсуву та коефіцієнт Пуассона; z = x + iy; D1, D2 — нижня та верхня півплощини. Функція h(x) повинна задовольняти умови рівності нулю висоти просвіту у крайніх його точках h( с) = h(– с) = 0, які запишемо у вигляді двох еквівалентних умов ( ) 0 c c h t dt − ′ =∫ , ( ) 0h c− = . (8) Подальше дослідження функції h(x) пов’язане з конкретизацією функції r(x), яка задає форму виїмки та входить у праву частину СІР (7). Розглянемо виїмку з обрисом 2 2( ) 1 /r x A x c= − , де A = r(0) — максимальна висота виїмки (A << c). Тоді ( )c c r t Adt t x c− ′ = π −∫ та рівняння (7) набуває вигляду ( ) ( ) 4 c c h t K Adt P P x t x c ∞ − ′ π  = − − + π −∫ . (9) Богдан Слободян, Ростислав Мартиняк Моделювання взаємодії тіл з урахуванням поверхневого натягу рідини у міжконтактному просвіті 24 Розв’язок рівняння (9) з урахуванням першої умови (8) визначає похідну від висоти просвіту ( ) [ ]1 2 2 0 ( ) ( , , ) ( , , ) 2 K P P x Kh x c x a c x a hc x ∞ − σ′ = − − Γ − −Γ + π− 2 2 2 2 0 2arcsinKx a A x c ch c x c x  σ  + − π −     π − − , (10) де ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , , ) ln a tx a x a t a x t a tx a x a t − + − − Γ = − − − − Інтегруючи функцію (10) та враховуючи другу умову (8), визначимо висо- ту зазору h(x) ( ) 2 1 2 0 ( ) 2arcsin 1 2 K K a A xh x P P h c c c ∞  σ  = − − − π − − −   π     ( ) ( ) 0 ( , , ) ( , , ) 2 K x a c x a x a c x a h σ −  + Γ − − − Γ  π . (11) Підставляючи співвідношення (11) у формули (5), для визначення координати меніска a, його висоти h0 та тиску газу P1 отримаємо три трансцендентні рівняння ( )2 2 2 0 1 02 Kh P P c a h∞+ − − − 2 2 2 2 22arcsin ln 0K a K a cc a A c a c c  σ σ   − − π − − − − =    π π     , ( )1 1 0 2arcsin 2 A K K aP P P c h c ∞  σ  − − + − π ×   π     2 2 2 1 1 arcsin maa c a c RT c   × − − =   µ   , (12) ( )1 0 2arcsin 2 A K K aP P c h c ∞  σ  − − + − π ×   π     2 2 2 2 2 2 0 2arcsin ln 4 2 2 c a c a K a cc a V c h a  π σ   × − − − + =    π     . ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2007, вип. 6, 19-29 25 4. Числові результати та їх аналіз Для розв’язування системи рівнянь (12) розроблено числовий ітераційний алго- ритм. Розрахунки проведено для безрозмірних величин: висоти міжконтактного зазору h = h / c; довжини ділянки дії газу a = a / c; поверхневого натягу рідини /K cσ = σ ; тиску на нескінченності P KP∞ ∞= ; тиску газу в міжконтактному зазо- рі 1 1P KP= ; максимальної висоти виїмки /A A c= ; маси газу 1 1 2 1 m RTKm c = µ ; дов- жини ділянки з рідиною /l l c= ; висоти меніска 0 0 /h h c= ; об’єму рідини 2 2 /V V V= , де V — об’єм виїмки. Числовий аналіз здійснено для виїмки, макси- мальна висота якої A = 0,001. Криві на рис. 2 ілюструють залежності довжини рідинних ділянок l , тиску газу 1P та рідини 2P і висоти меніска 0h від прикладеного до тіл навантаження P∞ для різних значень об’єму рідини ( 2 1/10V = ; 2 1/15V = ; 2 1/ 20V = ) і фіксова- них інших вхідних параметрів ( 7 1 4 10m −= ⋅ ; 83 10−σ = ⋅ ). Зі збільшенням наванта- ження довжина рідинної ділянки і тиски газу та рідини зростають, а висота ме- ніска зменшується. Що більший об’єм рідини, то більші рідинна ділянка і висота меніска. Тиски у рідині та газі синхронно зростають зі збільшенням об’єму ріди- ни. Найчутливішими до зміни кількості рідини в зазорі виявилися довжини діля- нок із газом і рідиною. Вплив поверхневого натягу та зовнішнього навантаження на геометричні параметри заповненої рідиною частини зазору та тиск заповнювача проілюстро- вано на рис. 3. Обчислення проведені для трьох різних значень натягу 81 10−σ = ⋅ ; 83 10−⋅ ; 85 10−⋅ та фіксованих маси газу 7 1 4 10m −= ⋅ й об’єму рідини 2 1/10V = . Збільшення натягу зумовлює зменшення довжини рідинної ділянки та висоти ме- ніска. При цьому тиски складових поводять себе асинхронно — тиск газу збіль- шується, а рідини — зменшується. Наслідком збільшення зовнішнього наванта- ження є зростання рідинної ділянки і тиску заповнювача та зменшення висоти меніска для всіх розглянутих значень поверхневого натягу рідини. Найчутливі- шим до зміни поверхневого натягу є тиск газу. Висновки. Розглянуто контакт пружного півпростору та жорсткої основи з плит- кою еліптичною в профілі виїмкою. Зумовлений виїмкою міжповерхневий про- світ на крайніх ділянках містить нестисливу рідину, посередині яких є ідеальний стисливий газ. Особливістю такої системи є те, що тиски газу, рідини та точка їх розмежування є заздалегідь невідомі та змінюються при навантаженні. З ураху- ванням малої висоти зазору та його пологості формулу Лапласа, яка визначає зумовлений поверхневим натягом перепад тисків у рідині та газі, рівняння стану ідеального газу Клапейрона-Менделєєва й умову збереження кількості рідини записа- но через функцію висоти зазору. Це дало змогу задачу про визначення механічної Богдан Слободян, Ростислав Мартиняк Моделювання взаємодії тіл з урахуванням поверхневого натягу рідини у міжконтактному просвіті 26 Рис. 2. Залежності довжини рідинної ділянки l (а), тисків газу 1P (суцільні лінії) та рідини 2P (штриховані лінії) (б), висоти меніска 0h (в) від величини прикладеного навантаження P∞ й об’єму рідини в зазорі для 2 1/10V = ; 1/15; 1/20 (криві 1-3) Рис. 3. Залежності довжини рідинної ділянки l (а), тисків газу 1P (суцільні лінії) та рідини 2P (штриховані лінії) (б), висоти меніска 0h (в) від величини прикладеного навантаження P∞ та поверхневого натягу 81 10−σ = ⋅ ; 3·10 – 8; 5·10 – 8 (криві 1-3) в) в) б) б) а) а) 0,0008 0,00160 3 1 2, 10P P ⋅ 3 1 2, 10P P ⋅ P ∞ P ∞ 0,0008 0,00160 0,0008 0,0016 0 0,0008 0,0016 0 P ∞ P ∞ l l 4 0 10h ⋅ 4 0 10h ⋅ P ∞ P ∞ ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2007, вип. 6, 19-29 27 поведінки чотирискладової системи сформулювати у вигляді нелінійної контакт- ної задачі для півпростору та, з використанням методу функцій міжконтактних зазорів, звести її до розв’язування системи чотирьох рівнянь, а саме: сингулярного інтегрального відносно функції висоти просвіту та трьох трансцендентних від- носно тиску рідини, висоти та координати меніска. На основі розробленої аналі- тико-числової схеми розв’язування цих рівнянь проаналізовано вплив кількості рі- дини в зазорі та її поверхневого натягу на контактну поведінку системи. Зокрема, показано, що зі збільшенням навантаження довжина рідинних ділянок, тиски у газі та рідині зростають, а висота меніска — зменшується. Збільшення поверхне- вого натягу рідини приводить до зменшення довжини частин зазору, заповнених рідиною, і висоти меніска. Встановлено асинхронну залежність тисків рідини та газу від поверхневого натягу, а саме, зростання тиску газу та спадання тиску рі- дини зі збільшенням натягу. Збільшення ж кількості рідини за фіксованого по- верхневого натягу зумовлює синхронне зростання тисків рідини і газу та збіль- шення довжини рідинних ділянок і висоти меніска. Література [1] Чижик С. А. Капиллярный механизм адгезии и трения шероховатых поверхностей, разделенных тонким слоем жидкости // Трение и износ. — 1994. — Т. 15, № 1. — С. 11–26. [2] Peng Wei, Bhushan B. Sliding Contact Analysis of Layered Elastic/Plastic Solids With Rough Surfaces // Journal of Tribology. Trans. ASME. — 2002 — Vol. 124. — P. 46-61. [3] Kato Takahisa, Watanabe Souta, Matsuoka Hiroshige. Dynamic characteristics of an in- contact headslider considering meniscus force: Part 2. Application to the disk with ran- dom undulation and design conditions // Journal of Tribology. Trans. ASME. — 2001. — Vol. 123. — P. 168-174. [4] Kobatake S., Kawakubo Y., Suzuki S. Laplace pressure measurement on laser textured thin-film disk // Tribology International. — 2003 — Vol. 36. — P. 329–333. [5] Ando Y. Effect of capillary formation on friction and pull-off forces measured on sub- micron-size asperities // Tribology Letters. — 2005. — Vol. 19, № 1. — P. 29-36. [6] Zitzler L., Herminghaus S., Mugele F. Capillary forces in tapping mode atomic force microscopy // Physical review. — 2002. — B 66. — P. 155436 (8 pages). [7] Li Shi, Arunava Majumdar. Thermal Transport Mechanisms at Nanoscale Point Contacts // Journal of Heat Transfer. — 2002. — Vol. 124. — P. 329-337. [8] Soulie F., Cherblanc F., El Youssoufi M., Saix C. Influence of liquid bridges on the me- chanical behaviour of polydisperse granular materials // International journal for nume- rical and analytical methods in geomechanics. — 2006. — Vol. 30. — P. 123-228. [9] Dai Z., Min Yu, Gorb S. Frictional characteristics of the beetle head-joint material // Wear. — 2006. — Vol. 260. — P. 168-174. [10] Rennie A., Dickrell P., Sawyer W. Friction coefficient of soft contact lenses: measurements and modeling // Tribology Letters. — 2005. — Vol. 18, № 4. — P. 499-504. [11] Pailler-Mattei C., Zahouani H. Analysis of adhesive behaviour of human skin in vivo by an indentation test // Tribology International. — 2006. — Vol. 39, № 1. — P. 12-21. [12] Горячева И. Г., Маховская Ю. Ю. Адгезионное взаимодействие упругих тел // Прикл. математика и механика. — 2001. — Т. 65, № 2. — С. 279–289. Богдан Слободян, Ростислав Мартиняк Моделювання взаємодії тіл з урахуванням поверхневого натягу рідини у міжконтактному просвіті 28 [13] Горячева И. Г., Маховская Ю. Ю. Контактирование упругих тел при наличии ка- пиллярной адгезии // Прикл. математика и механика. — 1999. — Т. 63, № 1. — С. 128–137. [14] Lambert P., Delchambre A. Parametrers ruling capillary force at the submillimetric scale // Langmuir. — 2005. — Vol. 21, № 21. — P. 9537-9543. [15] Zheng Jie, Streutor J. L. A liquid bridge between two elastic half-spaces: A theoretical study of interface instability // Tribology Letters. — 2004. — Vol. 16, Nos. 1-2. — P. 1-9. [16] Rabinovich Y., Esayanur M., Moudgil B. Capillary forces between two spheres with a fixed volume liquid bridge: theory and experiment // Langmuir. — 2005. — Vol. 21. — P. 10992-10997. [17] Мартиняк Р. М. Контактна взаємодія двох півпросторів при наявності поверхневої виїмки, частково заповненої нестисливою рідиною // Фіз.-хім. механіка матеріалів. — 1990. — Т. 26, № 2. — С. 91–94. [18] Мартиняк Р. М. Контакт півпростору з нерівною основою при заповненому іде- альним газом міжконтактному зазорі // Мат. методи та фіз.-мех. поля. — 1998. — Т. 41, № 4. — С. 144–149. [19] Мартиняк Р. М. Механотермодифузійна взаємодія тіл з врахуванням заповнювача міжконтактних зазорів // Фіз.-хім. механіка матеріалів. — 2000. — Т. 36, № 2. — С. 124–126. [20] Кит Г. С., Мартыняк Р. М., Мачишин И. М. Влияние газожидкостного заполнителя межконтактного пространства на напряженное состояние сопряженных тел // Прикл. механика. — 2003. — Т. 39, № 3. — С. 52–60. [21] Монастирський Б. Є. Вплив заповнювача міжповерхневого просвіту на взаємодію тіл в умовах недосконалого контакту // Прикл. проблеми механіки і математики. — 2003. — Вип. 1. — С. 78–82. [22] Мартиняк Р. М., Слободян Б. С. Взаємодія двох тіл за наявності капілярів у між- контактному зазорі // Мат. методи та фіз.-мех. поля. –2006. — Т. 49, № 1. — С. 164-173. [23] Арцыбышев С. А. Курс физики. Часть 1. Механика и теплота. — М.: Гос. уч.-пед. из-во мин. просвещения РСФСР, 1951. — 672 с. [24] Мартиняк Р. М. Механотермодифузійна взаємодія тіл з контактно-поверхневими неоднорідностями і дефектами: Дис. д. ф.-м. н.: 01.02.04 — Львів, 2000. — 356 с. Modelling of bodies interaction considering liquid surface tension in an contact gap Bohdan Slobodyan, Rostyslav Martynyak The interaction between an elastic half-space and a rigid base with a recess is presented. The contact gap has an incompressible liquid which forms meniscus on the edge of the gap and an ideal gas in its middle part. The liquid wets surfaces of bodies completely. Surface tension causes a pressure jump in a liquid and a gas. This fact is taken into consideration by Laplace formula. The relation between gas pressure and it’s volume is described by Clapeyron-Mendeleyev equation. Formulated on this basis plane contact problem for elastic half-space is considerably nonlinear since gas pressure and pressure in liquid and length of liquid part of a gap are unknown apriori and depend on loading. With help of the gap-height functions method, the problem is reduced to a system of four equations — singular integral equation in the gap height function and three transcendent equations in gas pressure, height and coordinate of meniscus. The analytical- ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2007, вип. 6, 19-29 29 numerical procedure of solving these equations is proposed. The dependence of meniscus height, length of liquid part of a gap and pressure in gas and liquid from loading is analyzed. Моделирование взаимодействия тел с учетом поверхностного натяжения жидкости в межконтактном зазоре Богдан Слободян, Ростислав Мартыняк Предложена модель контакта упругого полупространства и жесткого основания, с неглу- бокой поверхностной выемкой, при наличии на крайних участках межповерхностного зазора несжимаемой жидкости и идеального газа в центральной его части. Поверхностное натя- жение жидкости, полностью смачивающей поверхности тел, обусловливает перепад дав- лений в жидкости и газе, который учтен формулой Лапласа. Связь между давлением газа и его объемом описана уравнением состояния Клапейрона-Менделеева. Сформулированная на этом основании плоская контактная задача для упругого полупространства является су- щественно нелинейной, поскольку давления газа и жидкости, длина участка с жидкостью, фигурирующие в условиях контакта, заранее неизвестны и зависят от приложенной на- грузки. С использованием метода функций межконтактных зазоров задача сведена к сис- теме четырех уравнений — сингулярного интегрального относительно функции высоты зазора и трех трансцендентных относительно давления газа, высоты мениска и коорди- наты мениска. Предложена аналитико-численная процедура решения этих уравнений. Про- анализированы зависимости высоты мениска, длины участка с жидкостью и давлений в газе и жидкости от приложенной нагрузки, количества жидкости в зазоре и ее поверх- ностного натяжения. Отримано 12.11.07

Моделювання взаємодії тіл з урахуванням поверхневого натягу рідини у міжконтактному просвіті

Репозитарії

Схожі ресурси