До розв’язування одного класу звичайних нелінійних диференціальних рівнянь
Побудовано інструментарій для знаходження розв’язків системи звичайних диференціальних рівнянь зі степеневою нелінійністю. Для цього використано аперіодичні Ateb-функції. Параметри нелінійності є аргументами Ateb-функцій. Досліджено розв’язки системи рівнянь із різними параметрами нелінійності....
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2007
|
| Schriftenreihe: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21105 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | До розв’язування одного класу звичайних нелінійних диференціальних рівнянь / І. Дронюк, М. Назаревич // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2007. — Вип. 6. — С. 136-140. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-21105 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-211052011-06-15T12:06:43Z До розв’язування одного класу звичайних нелінійних диференціальних рівнянь Дронюк, І. Назаркевич, М. Побудовано інструментарій для знаходження розв’язків системи звичайних диференціальних рівнянь зі степеневою нелінійністю. Для цього використано аперіодичні Ateb-функції. Параметри нелінійності є аргументами Ateb-функцій. Досліджено розв’язки системи рівнянь із різними параметрами нелінійності. A tool for investigation of the set of ordinary differential equations solutions with power non-linearity is proposed using aperiodic Ateb-functions. The parameters of non-linearity of the set of differential equations are the arguments of Ateb-functions. The solutions of differential equations with different degrees of non-linearity are studied. Построен инструментарий для исследования решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений со степенной нелинейностью. Для этого использованы апериодические Ateb-функции. Параметры нелинейности системы дифференциальных уравнений являются аргументами Ateb-функций. Исследовано решения дифференциальных уравнений с разными параметрами нелинейности. 2007 Article До розв’язування одного класу звичайних нелінійних диференціальних рівнянь / І. Дронюк, М. Назаревич // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2007. — Вип. 6. — С. 136-140. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21105 62-501.72+681.62:655+510.5.52 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Побудовано інструментарій для знаходження розв’язків системи звичайних диференціальних рівнянь зі степеневою нелінійністю. Для цього використано аперіодичні Ateb-функції. Параметри нелінійності є аргументами Ateb-функцій. Досліджено розв’язки системи рівнянь із різними параметрами нелінійності. |
| format |
Article |
| author |
Дронюк, І. Назаркевич, М. |
| spellingShingle |
Дронюк, І. Назаркевич, М. До розв’язування одного класу звичайних нелінійних диференціальних рівнянь Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| author_facet |
Дронюк, І. Назаркевич, М. |
| author_sort |
Дронюк, І. |
| title |
До розв’язування одного класу звичайних нелінійних диференціальних рівнянь |
| title_short |
До розв’язування одного класу звичайних нелінійних диференціальних рівнянь |
| title_full |
До розв’язування одного класу звичайних нелінійних диференціальних рівнянь |
| title_fullStr |
До розв’язування одного класу звичайних нелінійних диференціальних рівнянь |
| title_full_unstemmed |
До розв’язування одного класу звичайних нелінійних диференціальних рівнянь |
| title_sort |
до розв’язування одного класу звичайних нелінійних диференціальних рівнянь |
| publisher |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21105 |
| citation_txt |
До розв’язування одного класу звичайних нелінійних диференціальних рівнянь / І. Дронюк, М. Назаревич // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2007. — Вип. 6. — С. 136-140. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| series |
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| work_keys_str_mv |
AT dronûkí dorozvâzuvannâodnogoklasuzvičajnihnelíníjnihdiferencíalʹnihrívnânʹ AT nazarkevičm dorozvâzuvannâodnogoklasuzvičajnihnelíníjnihdiferencíalʹnihrívnânʹ |
| first_indexed |
2025-07-02T21:39:47Z |
| last_indexed |
2025-07-02T21:39:47Z |
| _version_ |
1836572882431377408 |
| fulltext |
До розв’язування одного класу звичайних
нелінійних диференціальних рівнянь
Іванна Дронюк1, Марія Назаркевич2
1 к. ф.-м. н., доцент, Національний Університет «Львівська політехніка», ІКНІТ, вул. Бандери, 12, Львів,
e-mail: idronjuk@ukr.net
2 к. т. н., доцент, Національний Університет «Львівська політехніка», ІКНІТ, вул. Бандери, 12, Львів,
e-mail: nazarkevich@mail.ru
Побудовано інструментарій для знаходження розв’язків системи звичайних диференціаль-
них рівнянь зі степеневою нелінійністю. Для цього використано аперіодичні Ateb-функції.
Параметри нелінійності є аргументами Ateb-функцій. Досліджено розв’язки системи рівнянь
із різними параметрами нелінійності.
Ключові слова: система нелінійних диференціальних рівнянь, моделюван-
ня складних систем, аперіодичні Ateb-функції.
Вступ. Динамічні процеси у складних нелінійних аперіодичних структурах можуть
зазнавати малих збурень, які здатні впливати на їх стійкість. Пошуку розв’язків
систем рівнянь, які описують процеси у таких структурах, присвячені праці [1, 2].
Присутність навіть малих нелінійних сил у системі приводить до того, що пору-
шується принцип суперпозиції, й окремі гармоніки коливань вступають у взаємо-
дію між собою, що може мати катастрофічні наслідки. Математичний апарат
Ateb-функцій дозволяє отримати точні розв’язки нелінійних диференціальних рів-
нянь із степеневою нелінійністю. Точні розв’язки використовуються при керу-
ванні та прогнозуванні збурень у нелінійних аперіодичних системах.
1. Розв’язування системи нелінійних диференціальних рівнянь
із допомогою математичного апарату Ateb-функцій
Для керування динамічними процесами в істотно нелінійних коливних структурах
з одним ступенем вільності необхідно отримати розв’язки відповідних систем
з високою точністю [1]. Динамічні процеси в нелінійних коливних структурах опи-
суються системами диференціальних рівнянь із степеневою нелінійністю вигляду [3]
0
0,
,m
n
y z
z y
β =
− α =
+
(1)
де α, β — деякі дійсні сталі, а
УДК 62-501.72+681.62:655+510.5.52
136
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 6, 136-140
137
1 2
1 2
1 2 1, ,
2 1 2 1
2n m
′ ′θ + θ +
= =
′′ ′′θ + θ +
{ }* 1 1 2 2 *, , , , 0, 1, 2,′ ′′ ′ ′′θ = θ θ θ θ θ = … (2)
Якщо m = 1, а n визначається згідно співвідношень (2), то систему (1) мож-
на привести до вигляду
1 0,y c y yθ−+ ⋅ = (3)
де θ залежить від параметрів 1 1,′ ′′θ θ , а с — деяка стала.
Розв’язок системи (1) після деяких замін значень змінних можна виразити
через неповну Beta-функцію, яка визначається рівністю [4]
∫ −− −=
x
qp
x dtttqpB
0
11 )1(),( , ] 1, 1[x∈ − (4)
де p і q деякі числа. У частковому випадку при x = 1 формула (4) набуває вигляду
інтеграла Ейлера першого роду
( )
1
11
1
0
( , ) 1 qpB p q t t dt−−= −∫ , (5)
тобто повної Beta-функції.
Для всіх t з інтервалу [0, 1] функції Bx(p, q) задані формулами (4) є додатно-
визначеними [3] і задовольняють такі умови
),(),(0 1 qpBqpBx ≤≤ , ),(),(),( 11 qpBqpBqpB xx −−= .
Розглянемо два випадки, а саме,
1 1,
1 1
p q
n m
= =
+ +
; (6)
1 1,
1 1 1
mp q
n m n
= = −
+ + +
, (7)
де m і n визначаються формулами (2). Якщо p > 0, q > 0, то Beta-функція є визна-
ченою та неперервною, а для інших дійсних значень p і q вона прямує у нескін-
ченність. Для побудови розв’язку системи диференціальних рівнянь (1) при вико-
нанні співвідношень (6) було введено аперіодичні Ateb-функції. Ateb-функції є
оберненими функціями до Beta-функцій. Ateb-функції, побудовані для значень (6),
прийнято називати періодичними, а для значень (7) — гіперболічними (аперіодич-
ними) Ateb-функціями [4]. При m = n = 1 Ateb-функції співпадають із тригоно-
метричними та гіперболічними функціями. Якщо m, n задовольняють співвідно-
шення (6), то система (1) описує коливальний рух, а якщо m, n задовольняють
співвідношення (7) — гіперболічний (аперіодичний) рух.
Іванна Дронюк, Марія Назаркевич
До розв’язування одного класу звичайних нелінійних диференціальних рівнянь
138
Аперіодична Ateb-функція v = sha(n, m, ω) є оберненою до інтеграла [4, 5]
0 1 1
1
2
(1 )
v
m
n m
n dv
v + +
′+
ω =
′+
∫ , (8)
де ω — незалежна змінна (– ∝ ≤ ω ≤ ∝), ∞≤≤ v0 , а m і n — параметри, які
визначаються формулами (2) та задовольняють наступну умову аперіодичності
1 0.
1 1
m
m n
− ≤
+ +
(9)
Для v = 1 маємо
1
0
0 1 1
1
2
(1 )
m
n m
n dv
v + +
′+
ω =
′+
∫ . (10)
Підінтегральний вираз у формулі (8) розкладемо в степеневий ряд і по-
членно проінтегруємо. Тоді співвідношення (8) набуде вигляду
2( 1)1 ...
2 1!( 1) 2!(2 1)
b bb a a av v v
b b
+
ω = − + + + + +
,...
)1(!
)1)...(1()1(
+
+
−++
−+ kbk v
kbk
kaaa (11)
де
.1,
1
+=
+
= nb
m
ma (12)
Розклад у ряд (11) справедливий для всіх m i n, що мають вигляд (2) і задо-
вольняють нерівність (9). Ліва частина нерівності (9) не може бути цілим числом.
Тому в розкладі (11) знаменники дробів не набувають нульових значень. Розклад
у ряд аперіодичних Ateb-функцій є збіжним [3, 5].
Співвідношенням
( ) [ ]1 1cha , , sha( , , ) 1
m nm n n m
+ + ω − ω = . (13)
вводять у розгляд аперіодичну Ateb-функцію cha(n, m, ω).
З допомогою аперіодичних Ateb-функцій вдалося побудувати точні роз-
в’язки системи диференціальних рівнянь (1) [4]. Ці ж функції можуть бути ви-
користані для побудови точних розв’язків істотно нелінійних диференціальних
рівнянь, що задані у вигляді (3) [5]. Однак, застосування формул точних розв’яз-
ків системи диференціальних рівнянь (1) і диференціального рівняння (3) у виг-
ляді аперіодичних Ateb-функцій було суттєво обмежене недостатнім розвитком
обчислювальної техніки.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 6, 136-140
139
2. Комп’ютерна реалізація обчислення аперіодичних Ateb-функцій
Параметри нелінійності системи диференціальних рівнянь (1) є аргументами Ateb-
функцій. У роботі запропоновано інструментарій для обчислення та побудови
графіків аперіодичних Ateb-функцій.
Комп’ютерна реалізація обчислень передбачає введення початкових даних:
m і n, які задаються формулами (2); кроку обчислень; а також вибір графіку
функції sha(n, m, ω) чи cha(n, m, ω), що буде будуватися.
Розглянемо докладніше реалізацію обчислень. На початковому етапі для
введених значень m і n за формулою (4) обчислюємо значення повної Beta-функ-
ції, де p і q задані (6). Для обчислення визначеного інтеграла застосовуємо метод
трапецій [6]. Це значення необхідне для визначення ω0 за формулою (10). Крок
обчислень може бути змінений залежно від довжини інтервалу [0, ω0] і вимог
деталізації розв’язків. Введемо у розгляд функцію
2
1
( 1)( , ) 1 ...
2 1!( 1) 2!(2 1)
b bb a a aF v v v v
b b
+
ω = ω− − + + + + +
(14)
( 1)...( 1)( 1) ...
!( 1)
k kba a a k v
k kb
+ + −
+ − + +
.
Застосовуючи метод поділу відрізка наполовину шукаємо інтервал зміни знаку
функції F1(ω, v) при v ∈ [ ]1,0 . Середину інтервалу приймаємо за шукане значен-
ня sha(n, m, ω). Для обчислення cha(n, m, ω) застосовуємо співвідношення (13).
Обчислення проводилися з подвійною точністю. На рис. 1 показано інтер-
фейс розробленої програми, який ілюструє протабульовані значення та графіки
функцій sha(n, m, ω) і сha(n, m, ω). Програма передбачає обчислення розв’язків
системи (1) для різних значень параметрів нелінійності m і n.
Рис. 1. Інтерфейс системи комп’ютерного моделювання
та графіки Ateb-функцій sha(1, 5, ω) та сha(5, 1, ω)
Іванна Дронюк, Марія Назаркевич
До розв’язування одного класу звичайних нелінійних диференціальних рівнянь
140
Висновки. Теорія періодичних Ateb-функцій разом із використанням сучасних обчис-
лювальних машин дає потужний апарат для імітаційного моделювання та керування
динамічними процесами істотно нелінійних коливних систем. Знайдені розв’язки
описують динамічні процеси у нелінійних коливних системах і можуть бути застосо-
вані, зокрема, для розрахунку бурових установок, нафтових промислів, вентиляційних
каналів шахт, трубопроводів із метою діагностики та прогнозування їхньої поведінки.
Розроблено інструментарій для знаходження розв’язків системи диферен-
ціальних рівнянь зі степеневою нелінійністю у вигляді Ateb-функцій. Програма
аналізує параметри нелінійності вказаної системи, які є аргументами Ateb-функцій.
Промодельовано поведінку Ateb-функцій із різними показниками неліній-
ності. З цією метою Ateb-функції розкладено у степеневі ряди.
Результати обчислень можуть бути використані в задачах управління з ме-
тою прогнозування та діагностики поведінки складних систем.
Література
[1] Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нели-
нейных колебаний. — М.: Наука, 1974. — 503 с.
[2] Сокіл Б. І. Про асимптотичні наближення розв’язку для одного нелінійного неавто-
номного рівняння // Укр. мат. журнал. — 1997. — Т. 49, № 11. — С. 1580-1583.
[3] Возний А. М. Застосування Ateb-функцій для побудови розв’язку одного класу істотно
нелінійних диференціальних рівнянь. — Доп. АН УРСР. Сер. А. — 1970. — № 9. —
С. 971-974.
[4] Сеник П. М. Обращение неполной Beta-функции // Укр. мат. журн. — 1969. —
Т. 21, № 3. — С. 325-333.
[5] Сеник П. М. Про Ateb-функції // Доп. АН УРСР. Сер. А. — 1968. — № 1. — С. 23-27.
[6] Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельников Г. М. Численные методы. М.: Наука,1987. —
600 с.
About solving one type of ordinary nonlinear differential equations
Ivanna Dronyuk, Maria Nazarkevych
A tool for investigation of the set of ordinary differential equations solutions with power non-
linearity is proposed using aperiodic Ateb-functions. The parameters of non-linearity of the set of
differential equations are the arguments of Ateb-functions. The solutions of differential equations
with different degrees of non-linearity are studied.
К решению одного класса обыкновенных
нелинейных дифференциальных уравнений
Иванна Дронюк, Мария Назаркевич
Построен инструментарий для исследования решений системы обыкновенных дифферен-
циальных уравнений со степенной нелинейностью. Для этого использованы апериодические
Ateb-функции. Параметры нелинейности системы дифференциальных уравнений являются
аргументами Ateb-функций. Исследовано решения дифференциальных уравнений с разными
параметрами нелинейности.
Отримано 16.04.07
|