Моделювання процесу очищення стічної води з урахуванням залежності коефіцієнта дифузії від концентрації
Узагальнено модель процесу очищення стічної води на каркасно-засипних фільтрах шляхом "дифузійного збурення" відомої моделі Мінца. Запропоновано алгоритм асимптотичного розвинення розв’язку відповідної сингулярно-збуреної задачі для нелінійної системи диференціальних рівнянь типу "кон...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2007
|
| Schriftenreihe: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21108 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Моделювання процесу очищення стічної води з урахуванням залежності коефіцієнта дифузії від концентрації / А. Бомба, І. Присяжнюк, А. Сафоник // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2007. — Вип. 6. — С. 101-108. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-21108 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-211082011-06-15T12:06:45Z Моделювання процесу очищення стічної води з урахуванням залежності коефіцієнта дифузії від концентрації Бомба, А. Присяжнюк, І. Сафоник, А. Узагальнено модель процесу очищення стічної води на каркасно-засипних фільтрах шляхом "дифузійного збурення" відомої моделі Мінца. Запропоновано алгоритм асимптотичного розвинення розв’язку відповідної сингулярно-збуреної задачі для нелінійної системи диференціальних рівнянь типу "конвекція-дифузія-масообмін" із запізненням у часі. Отримано формули для характеристики співвідношення між концентраціями забруднень стічної води та фільтра. На цій основі проведено комп’ютерний експеримент. При цьому застосовуються класичні форми законів, які описують процеси руху рідини та забруднень у пористих середовищах. Це дозволяє при розв’язуванні відповідних збурених задач, не починаючи "все спочатку", доповнювати відомі "незбурені" розв’язки певними поправками. The model of sewerage treatment process on wire-frame filling filters is generalized by a way "diffusive disturbance" of the known model by Mints as well as the algorithm of asymptotic developing decision of the corresponding singular perturbative task for the nonlinear system of differential equations of "convection-diffusion-mass exchange" type with time delay. Formulae are obtained for describing a relation between contamination concentrations of both sewerage and filter. On this basis the computer experiment is carried out. At that settles the classic forms of laws, which describe the processes of motion of both liquid and contaminations in porous media, are saved. At solving the corresponding perturbative problems it gives an opportunity to complement the known "unperturbative" decisions by certain amendments, not beginning "everything at first". Обобщена модель процесса очистки сточной воды на каркасно-засыпных фильтрах путем "диффузионного возмущения" известной модели Минца. Предложен алгоритм асимптотического развития решения соответствующей сингулярно возмущенной задачи для нелинейной системы дифференциальных уравнений типа "конвекция-диффузия-массообмен" с опозданием во времени. Получены формулы для характеристики соотношения между концентрациями загрязнений сточной воды и фильтра. На этой основе проведен компьютерный эксперимент. При этом применяются классические формы законов, которые описывают процессы движения жидкости и загрязнений в пористых средах. Это разрешает при решении соответствующих возмущенных задач, не начиная "всё сначала", дополнять известные "невозмущенные" решения соответствующими поправками. 2007 Article Моделювання процесу очищення стічної води з урахуванням залежності коефіцієнта дифузії від концентрації / А. Бомба, І. Присяжнюк, А. Сафоник // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2007. — Вип. 6. — С. 101-108. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21108 628.113.2 : 66.067.1 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Узагальнено модель процесу очищення стічної води на каркасно-засипних фільтрах шляхом "дифузійного збурення" відомої моделі Мінца. Запропоновано алгоритм асимптотичного розвинення розв’язку відповідної сингулярно-збуреної задачі для нелінійної системи диференціальних рівнянь типу "конвекція-дифузія-масообмін" із запізненням у часі. Отримано формули для характеристики співвідношення між концентраціями забруднень стічної води та фільтра. На цій основі проведено комп’ютерний експеримент. При цьому застосовуються класичні форми законів, які описують процеси руху рідини та забруднень у пористих середовищах. Це дозволяє при розв’язуванні відповідних збурених задач, не починаючи "все спочатку", доповнювати відомі "незбурені" розв’язки певними поправками. |
| format |
Article |
| author |
Бомба, А. Присяжнюк, І. Сафоник, А. |
| spellingShingle |
Бомба, А. Присяжнюк, І. Сафоник, А. Моделювання процесу очищення стічної води з урахуванням залежності коефіцієнта дифузії від концентрації Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| author_facet |
Бомба, А. Присяжнюк, І. Сафоник, А. |
| author_sort |
Бомба, А. |
| title |
Моделювання процесу очищення стічної води з урахуванням залежності коефіцієнта дифузії від концентрації |
| title_short |
Моделювання процесу очищення стічної води з урахуванням залежності коефіцієнта дифузії від концентрації |
| title_full |
Моделювання процесу очищення стічної води з урахуванням залежності коефіцієнта дифузії від концентрації |
| title_fullStr |
Моделювання процесу очищення стічної води з урахуванням залежності коефіцієнта дифузії від концентрації |
| title_full_unstemmed |
Моделювання процесу очищення стічної води з урахуванням залежності коефіцієнта дифузії від концентрації |
| title_sort |
моделювання процесу очищення стічної води з урахуванням залежності коефіцієнта дифузії від концентрації |
| publisher |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21108 |
| citation_txt |
Моделювання процесу очищення стічної води з урахуванням залежності коефіцієнта дифузії від концентрації / А. Бомба, І. Присяжнюк, А. Сафоник // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2007. — Вип. 6. — С. 101-108. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| series |
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| work_keys_str_mv |
AT bombaa modelûvannâprocesuočiŝennâstíčnoívodizurahuvannâmzaležnostíkoefícíêntadifuzíívídkoncentracíí AT prisâžnûkí modelûvannâprocesuočiŝennâstíčnoívodizurahuvannâmzaležnostíkoefícíêntadifuzíívídkoncentracíí AT safonika modelûvannâprocesuočiŝennâstíčnoívodizurahuvannâmzaležnostíkoefícíêntadifuzíívídkoncentracíí |
| first_indexed |
2025-07-02T21:39:54Z |
| last_indexed |
2025-07-02T21:39:54Z |
| _version_ |
1836572889319473152 |
| fulltext |
101
Моделювання процесу очищення стічної води
з урахуванням залежності коефіцієнта дифузії
від концентрації
Андрій Бомба1, Ігор Присяжнюк2, Андрій Сафоник3
1 д. т. н., професор, Рівненський державний гуманітарний університет, вул. Остафова, 31, Рівне, 33000,
e-mail: abomba@mail.ru
2 к. т. н., Рівненський державний гуманітарний університет, вул. Остафова, 31, Рівне, 33000, e-mail: igor_pri@mail.ru
3 Національний університет водного господарства та природокористування, вул. Соборна, 11, Рівне, 33000,
e-mail: safonik@ukr.net
Узагальнено модель процесу очищення стічної води на каркасно-засипних фільтрах шляхом
«дифузійного збурення» відомої моделі Мінца. Запропоновано алгоритм асимптотичного
розвинення розв’язку відповідної сингулярно-збуреної задачі для нелінійної системи дифе-
ренціальних рівнянь типу «конвекція-дифузія-масообмін» із запізненням у часі. Отримано
формули для характеристики співвідношення між концентраціями забруднень стічної води
та фільтра. На цій основі проведено комп’ютерний експеримент. При цьому застосову-
ються класичні форми законів, які описують процеси руху рідини та забруднень у пористих
середовищах. Це дозволяє при розв’язуванні відповідних збурених задач, не починаючи «все
спочатку», доповнювати відомі «незбурені» розв’язки певними поправками.
Ключові слова: фільтрування, запізнення, асимптотика, сингулярно-збурені
задачі.
Вступ. Моделюванням процесу очищення стічних вод під час їх фільтрування на
каркасно-засипних фільтрах займались такі відомі вчені, як Мінц Д. М., Шехт-
ман Ю. М., Жуковицький А. А. [1-3]. Зокрема, відомою є модель Мінца Д. М.:
∂ρ(x, t) / ∂t + ν ∂c(x, t) / ∂x = 0, ∂ρ(x, t) / ∂t = β c(x, t) – α ρ(x, t) (відповідно закон збе-
реження маси та рівняння кінетики), де c(x, t) — концентрація домішок у рідині,
що фільтрується; ρ(x, t) — концентрація осаду в завантаженні; β — коефіцієнт,
який характеризує обсяги сорбованих за одиницю часу домішкових частинок; α —
коефіцієнт, який характеризує обсяги адсорбованих за той же час частинок оса-
ду; v — швидкість фільтрування.
Проте деякі важливі компоненти процесу очищення забруднених вод у цих
моделях залишилися неврахованими. Зокрема, знехтувано явищем поздовжньої
дифузії. Щодо доцільності урахування цього явища в літературних джерелах іс-
нують певною мірою суперечливі точки зору. Так, в адсорбційній лабораторії
Московського хіміко-технологічного університету встановлено, що на асимпто-
тичній стадії, у широкому діапазоні швидкостей потоку, ефект розмивання по-
здовжньої дифузії дуже малий порівняно з ефектом розмивання масообмінних
процесів. З іншого боку, в монографії [4] показано, що при сорбції деяких речовин
поздовжня дифузія вносить певні зміни в динаміку процесу.
УДК 628.113.2 : 66.067.1
Андрій Бомба, Ігор Присяжнюк, Андрій Сафоник
Моделювання процесу очищення стічної води з урахуванням залежності коефіцієнта дифузії...
102
На даний час актуальними є питання узагальнення моделі Мінца шляхом її
дифузійного збурення з метою дослідження нелінійних процесів очищення стіч-
них вод на каркасно-засипних фільтрах з урахуванням малої дифузії, запізненої
у часі. Виходячи з цього та враховуючи зворотній вплив характеристик процесу
(концентрацій) на характеристики середовища (коефіцієнт дифузії) із запізненням
у часі [6], розглянемо таку модельну сингулярно-збурену задачу конвективної
дифузії
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
*
, , ,
, , 0,
, ,
, , , ,
x t c x t c x t
v b c x t t
t x x x
x t x t
c x t x t b x t
t x x
∂ρ ∂ ∂ ∂
+ = ε − τ > ∂ ∂ ∂ ∂
∂ρ ∂ρ ∂ = β − αρ + ε ρ − τ ∂ ∂ ∂
(1)
( ) ( )* *0, ( ), 0, ( ), 0 ,0, 0,
x L x L
c t c t t t x Lc
x x= =
= ρ = ρ ≤ ≤∂ρ∂ = =
∂ ∂
( ) ( )0 0
0 0, ( , ), , ( , ), 0,c x t c x t x t x t t= ρ = ρ − τ ≤ ≤ (2)
де c*(t), ρ*(t) — концентрації відповідно завислих домішкових частинок та осаду
на вході фільтра, b, b* — коефіцієнти дифузії, ε — малий параметр, τ — час запіз-
нення (τ > 0), L — довжина фільтра. Відзначимо, що функції c*(t), ρ*(t), 0
0 ( , ),c x t
0
0 ( , )x tρ є достатньо гладкими й узгодженими в кутових точках області їх задання.
Окрім цього, вважаємо, що функції 0 0
0 0( , ), ( , )c x t x tρ при t = – τ та t = 0 задовольняють
умови гладкості розв’язку (c(x, t), ρ(x, t)) цієї задачі при t = τ n (n = 1, 2, ...) [5].
1. Асимптотика розв’язку
Розв’язування задачі (1)-(2) із запізненням τ на часових проміжках [(n – 1)τ, n τ],
n = 1, 2, ... замінимо послідовним розв’язуванням n задач без запізнення [6]
[ ] [ ]
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
* *
[ ] [ ] [ 1]
*
[ ] [ 1] [0] 0
0
[ ] [ ] [ 1]
*
*
, ,
0, ( ), , , ,
( , ) , , , ,0 ,0 ,
0, ( ), , , ,
( ,
n nn n n n n n n
t x n xx x n x t n xx x n x
n n n
n n
n
n n n
n
vc b c c b c b b
c t c t c x t c x t
b x t b c x t b c x t c x c x
t t x t x t
b x
τ τ τ τ
−
−
τ
−
τ
ρ + = ε + ε ρ = β − αρ + ε ρ + ερ
= − τ = − τ
= − τ = − τ =
ρ = ρ ρ − τ = ρ − τ
( )( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] [ 1] [0] 0
* * 0) , , , ,0 ,0 .n nt b x t b x t x x−
= ρ − τ = ρ − τ ρ = ρ (3)
Тут c[n], ρ[n] — відповідно концентрації домішок та осаду на часовому проміжку
[(n – 1)τ, n τ].
Розв’язок задач (3) з точністю O(εm + 1) шукаємо у вигляді асимптотичних
рядів за степенями малого параметра ε [7]
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 6, 101-108
103
[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( )
1
0 1
1 0
, , , , , , ,
m m
n n n nn i i
i i
i i
c x t c x t c x t t R x t
+
= =
= + ε + ε Π ξ + ε∑ ∑
[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( )
1
/ 2
0 2
1 0
, , , , , , ,
m m
n n n nn i i
i i
i i
x t x t x t P t R x t
+
= =
ρ = ρ + ε ρ + ε µ + ε∑ ∑ (4)
де [ ] ( ) [ ] ( ), , ,n n
i ic x t x tρ ( 0,i m= ) — складові регулярних частин відповідних асимп-
тотик, зокрема, [ ] [ ]
0 0,n nc ρ — розв’язок відповідної виродженої задачі, а [ ] [ ]
1 , ...,n n
mc c —
поправки, які враховують «вклад» дифузії вздовж фільтра (за винятком деякої
його примежової зони); [ ] ( ) [ ] ( )( ), , , 0, 1n n
i it P t i mΠ ξ µ = + — функції типу погран-
шару, які враховують вплив джерел забруднень в околі x = L (поправки на виході
фільтраційного потоку); ξ = (L – x) ε – 1, µ = (L – x) ε – 1 / 2 — відповідні регуляри-
зуючі перетворення, ( )[ ] , ,n
iR x t ε — залишкові члени (i = 1, 2).
Якщо співвідношення (4) підставити у систему (3) та застосувати стандартну
«процедуру прирівнювання» [8], то для визначення функцій [ ] [ ] ( ), 0,n n
i ic i mρ =
отримаємо такі задачі
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]0 0 0
0 0
[ ] [ ] 0
* 00 0
[ ] [ ] 0
* 00 0
0, ,
0, ( ), , 0 , 0 ,
0, ( ), , 0 ,0 ,
n n n
n n
n n
n n
c
v c
t x t
c t c t c x c x
t t x x
∂ρ ∂ ∂ρ
+ = = β − αρ
∂ ∂ ∂
= =
ρ = ρ ρ = ρ (5)
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ] [ ] [ ]
, ,
0, 0, , 0 0, , 0 0, 0, 0,
n n n
n n n ni i i
i i i i
n n n n
i i i i
c
v c
t x t
c t c x x t
∂ρ ∂ ∂ρ
+ = Ψ = β − αρ + Φ
∂ ∂ ∂
= = ρ = ρ = (6)
де [ ] ( ) [ ] [ ]
1, 1,,n n n
i n xi xx i xx t c c b τ− −Ψ = + , [ ] ( ) [ ] [ ]
*1, 1,,n n n
i n xi xx i xx t b τ− −Φ = ρ + ρ , i = 1, 2, ...
Знаходження розв’язку задачі (5) зводиться до розв’язування рівнянь [9]
2 [ ] [ ] [ ]
0 0 0 0,
n n nc c c
x t v t x
∂ ∂ ∂β
+ + α =
∂ ∂ ∂ ∂
[ ] [ ] [ ]2
0 0 0 0
n n n
x t x v t
∂ ρ ∂ρ ∂ρβ
+ α + =
∂ ∂ ∂ ∂
(7)
за додаткових умов ( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ] 0 [ ]
* 0 *0 0 00, ( ), ,0 ,0 , 0, ( ),n n nc t c t c x c x t t= = ρ = ρ ( )[ ]
0 ,0n xρ =
( )0
0 ,0x= ρ .
Використовуючи метод Рімана, маємо [9]
Андрій Бомба, Ігор Присяжнюк, Андрій Сафоник
Моделювання процесу очищення стічної води з урахуванням залежності коефіцієнта дифузії...
104
( ) ( ) ( )[ ] 0
0 0 00
0
, 0, 0 2 2
x xtn v vc x t e c I x t e I x t
v v
β βξ
− −α αβ αβ= + − ξ ×
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
0 *0
0 0 *
0
, 0
,0 2
tdc dc
c d e I x t c d
d v v d
αη
ξ η β αβ × + ξ ξ + − η + α η η ξ η
∫ ,
[ ] ( ) ( ) ( )* 0 00
0
, 0 2 2
x ttn v xx t e I xt e I t
v v
β
− −α αη αβ αβρ = ρ + − η ×
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
* 0 0
* 0 0
0
,0
2 ,0 ,
x
v
d dtd e I x d
d v v d v
βξ ρ η ρ ξβ αβ β × + ρ η η+ − ξ + ρ ξ ξ η ξ
∫
де I0 — функції Бесселя першого роду нульового порядку від уявного аргументу.
Аналогічно [10], отримаємо задачі для знаходження [ ] ( ) [ ] ( ), , , ,n n
i ic x t x tρ
i = 1, 2, ...
[ ] [ ] [ ]
[ ] ( )
2 1 , 0,
n n n
ni i i
i
c c c G x t
x t v t x v
∂ ∂ ∂β
+ + α − =
∂ ∂ ∂ ∂
[ ] [ ] [ ]
[ ] ( )
2
, 0,
n n n
ni i i
iQ x t
x t v t x
∂ ρ ∂ρ ∂ρβ
+ + α − =
∂ ∂ ∂ ∂
( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ] [ ] [ ]0, 0, ,0 0, ,0 0, 0, 0n n n n
i i i ic t c x x t= = ρ = ρ = , (8)
де [ ] ( )
[ ]
[ ]
[ ]
,
n n
n ni i
i iG x t
t t
∂Ψ ∂Φ
= + αΨ −
∂ ∂
, [ ] ( )
[ ]
[ ],
n
n ni
i iQ x t
x v
∂Φ β
= + Ψ
∂
.
Розв’язавши систему (8) методом Рімана, одержимо рекурентні формули
для визначення [ ] ( ),n
ic x t і [ ] ( ),n
i x tρ
[ ] ( ) ( )( ) [ ] ( )0
0 0
, 2 , ,
x t x tvn nv
i i
ec x t e I x t G d d
v v
β
− −α βξ
+αη αβ
= − ξ − η ξ η η ξ
∫ ∫
[ ] ( ) ( )( ) [ ] ( )0
0 0
, 2 ,
x x ttn nv v
i ix t e e I x t Q d d
v
β βξ
− −α +αη αβ
ρ = − ξ − η ξ η η ξ
∫ ∫ . (9)
Функції
1
[ ] [ ]
0
m
n n i
i
i
+
=
Π ≡ Π ε∑ ,
1
[ ] [ ] / 2
0
m
n n i
i
i
P P
+
=
≡ ε∑ , які входять у подання (4), введені
для усунення неузгодженостей, внесених побудованими регулярними частинами
[ ] [ ]
0
m
n n i
i
i
c c
=
= ε∑ , [ ] [ ]
0
m
n n i
i
i=
= ερ ρ∑ в околі точки x = L, тобто забезпечують виконання
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 6, 101-108
105
умов: ( ) ( )[ ] [ ] 1Пn n mc O
x
+∂
+ = ε
∂
, ( ) ( )[ ] [ ] 1n n mP O
x
+∂
ρ + = ε
∂
. Для знаходження цих
функцій маємо такі задачі
[ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( )00 0 0 0П П 0, П 0, П ,n n n n
nb v L t K tτ ξξ ξ ξξ→∞
→+ = = ,
[ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( )
[ ] [ ] ( ) [ ]
[ ] [ ]( ) ( ) [ ] ( ) [ ]
[ ]
[ ]
1, 1, 1,
1
2
* *1, 1,
1
,
, 0, , , 1, ,
1
n n n nn
n i ii i i
im
n n nn
i n ni i i t
i
m
n n n ni i i
n n it iti i
i
ib v U L t K t i m
U b b I i P
i
b P b P I i P I i P
τ ξξ ξ ξ
τ τξ− ξξ − ξ −
=
τµ τµ− µµ − µµ
=
ξ→∞
ΠΠ + Π = → Π = =
ξ
= Π + Π + +
+ µ −µ + ε + +
∑
∑
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( )
[ ] [ ] [ ] ( ) [ ]
*
* *1, 1, 1
1
, 0, , , 0, ,
П ,
n n n n n n
n i i it i i i i
im
n n n n
i n ni i i
i
b P P P Z P P L t H t i m
Z b P b P M i
i
τ µµ µ
τ τµ− µµ − µ −
=
µ→∞
−α − = → = =
µ
= + −β
∑ (10)
( )
0, — парне,
1, — непарне,
а
I a
а
=
( )
1, — парне,
0, — непарне,
а
M a
а
=
( ) [ ] ( )
0, 1,
, , 0, ,i n
ix
i m
K t
c L t i m
= +=
− =
( ) [ ] ( )
0, 1,
, , 0, .i n
ix
i m
H t
L t i m
= +=
−ρ =
З огляду на те, що (10) є звичайними диференціальними рівняннями друго-
го порядку та параболічними рівняннями зі сталими коефіцієнтами, розв’язки
відповідних задач можна записати в явному вигляді.
Для оцінки залишкових членів маємо задачу
[ ] [ ] [ ] [ ]
( )
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
( )
2
12 1 1 1
2
2
12 2 2
* * 11 2 2
, , ,
, , ,
n n n n
m
n n x
n n n
n n m
n n x
R R R R
v b b g x t
t x xx
R R R
R R b b g x t
t xx
+
τ τ
+
τ τ
∂ ∂ ∂ ∂
+ − ε − ε = ε ε
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
−β + α − ε − ε = ε ε ∂ ∂∂
де
( )
2 2[ ] [ ]2 22 [ ] 2 [ ]
1 1
2 2 2 2
П ПП
, ,
2 2
n nn n
n nm m m m
n n
b bc
g x t b b
x
τξξ τξξ+ +
τ τξ
ξ ξ∂ ∂∂ ∂
ε = + − ξ + ε +
∂ ∂ξ ∂ξ ∂ξ
2 2[ ][ ] [ ] [ ]
2 1
2 2
nn n n
n nm m m m
n x n
b bcb b
x
τξξξ τξξξ−
τ τξξ
ξ ξ∂Π∂ ∂Π ∂Π
+ε − + ξ + ε −
∂ ∂ξ ∂ξ ∂ξ
2[ ] [ ] [ ]
21 1 1 ,
2
n n n
nm m m
n n
b
b b τξξξ+ + +
τξ τξξ
ξ∂Π ∂Π ∂Π
− + εξ − ε
∂ξ ∂ξ ∂ξ
Андрій Бомба, Ігор Присяжнюк, Андрій Сафоник
Моделювання процесу очищення стічної води з урахуванням залежності коефіцієнта дифузії...
106
( )
5
4
2 [ ] 2 [ ]2 [ ]
[ ] 1 1
1 * * *1 2 2 2, , П
n nn
n m m m
n n nm
P P
g x t b b b
x
+ +
τ τ τµ+
∂ ∂∂ ρ
ε = β + + − ε µ +
∂ ∂µ ∂µ
2 22 [ ] [ ][ ] [ ]
* *1 1
* *22 2
n nn n
n nm m m m
n x n
b bP PPb b
x
τµµ τµµµ+ +
τ τµ
µ µ∂ ∂∂ρ ∂
+ε + − + −
∂ ∂µ ∂µ∂µ
5
4
2[ ] [ ]
*1 1
* ,
2
n n
nm m
n
bP
b τµµµ+ +
τµµ
µ∂ ∂
−ε µ + ε
∂µ ∂µ
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
1 1 1 2 2(0, , ) ( , , ) ( ,0, ) (0, , ) ( , , )n n n n nR t R L t R x R t R L tε = ε = ε = ε = ε =
[ ] ( )1
2 ( ,0, )n mR x O += ε = ε .
Вимагаючи достатньої гладкості початкової та граничних умов і коефіцієнтів
системи рівнянь (1), а також їх узгодженості, з використанням принципу максимуму
одержуємо, що [ ] ( )1( , , )n m
iR x t O +ε = ε (i = 1, 2) [7].
2. Результати числових розрахунків
Наведемо результати розрахунків за формулами (4), (9) при ρ0(x, t) ≡ 0, c0(t) = e –t,
β = 1/36 c–1, α = 1/18000 c–1, v = 1/36 мc–1. На рис. 1 зображено розподіли концент-
рацій c(x, t0) і ρ(x, t0) при t0 = 0,1; 1; 2; 3 (відповідно криві 1а-4а при ε = 0 та криві
1b-4b при ε = 0,05). Розподіли концентрацій c(x, t0) і ρ(x, t0) для ε = 0,1; 0,05; 0,03;
0,01 (відповідно криві 1-4) зображено на рис. 2.
При цьому бачимо, що малі зміни коефіцієнтів дифузії (і відповідно малі
зміни концентрації домішок) приводять до відносно суттєвих змін концентрації
осаду завантаження, що не враховує класична модель Мінца.
Рис. 1. Розподіл c(x, t0) і ρ(x, t0) у різні моменти часу.
Криві а відповідають ε = 0, а b — ε = 0,05
0 1 2 3 4 x
1a
1b
2a
2b
3a
3b
4a
4b
c(x, t0)
0,8
0,6
0,4
0,2
0 1 2 3 4 x
ρ(x, t0)
0,8
0,6
0,4
0,2
1a 1b
2a
2b
3a
3b
4a
4b
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 6, 101-108
107
Рис. 2. Розподіл c(x, t0) і ρ(x, t0) для різних значень ε
c(x, t0) ρ(x, t0)
0,8
0,6
0,4
0,2
0 1 2 3 4 x
0,8
0,6
0,4
0,2
0 1 2 3 4 x
1
2
3
4
1
2
3
4
Висновки. Запропонована в роботі методика уточнення відомої моделі Мінца
шляхом переходу до відповідної «збуреної» задачі (1), (2) дозволяє застосувати
класичні форми законів, які описують процеси руху рідини в пористих середовищах,
а при побудові розв’язку задач, не починаючи «спочатку», доповнювати відомі
«незбурені» розв’язки відповідними поправками. Слід відзначити, що запропоно-
ваний вище підхід можна також використати для розв’язування відповідних за-
дач за умови τ = 0 (підсилення нелінійності) й у випадках складнішої структури
коефіцієнта дифузії, наприклад, якщо D = ε [1 + µ h(c(x, y, t))], або D = ε (1 +
0
( , , )
t
c x y t dt
+µ
∫ , чи
1
1
n
i i
i
i
D a c
=
= ε + ε
∑ [6, 11], де µ, ai — довільні дійсні числа.
Планується поширити запропоновану методику на відповідні нелінійні задачі, а
також аналогічні дво- та тривимірні задачі.
Література
[1] Минц Д. М. Теоретические основы технологии очистки воды. — М.: Стройиздат,
1964. — 156 с.
[2] Шехтман Ю. М. Фильтрация малоконцентрированных суспензий. — М.: Изд-во
АН СССР, 1961. — 212 с.
[3] Жуковицкий А. А., Забежинский Я. Л., Тихонов А. Н. Поглощение газа из тока воздуха
слоем зернистого материала // Журн. физ. химии. — 1945. — Т. 19, вып. 6. — С. 253-261.
[4] Смирнов А. Д. Сорбционная очистка воды. — Л.: Химия, 1982. — 166 с.
[5] Єльсгольц Л. Є., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений
с отклоняющимся аргументом. — М: Наука, 1971.– 296 с.
[6] Бомба А. Я., Присяжнюк І. М. Асимптотичне розвинення розв’язків нелінійних
сингулярно збурених крайових задач типу «конвекція-дифузія» із запізненням //
Доповіді НАН України. — 2005. — № 3. — С. 60-66.
Андрій Бомба, Ігор Присяжнюк, Андрій Сафоник
Моделювання процесу очищення стічної води з урахуванням залежності коефіцієнта дифузії...
108
[7] Бомба А. Я. Про асимптотичний метод розв’язання однієї задачі масопереносу при
фільтрації в пористому середовищі // Укр. мат. журн. — 1982. — Т. 4, № 4. —
С. 493-496.
[8] Лаврик В. И., Бомба А. Я., Власюк А. П. Об асимптотическом приближении реше-
ний некоторых задач массопереноса при фильтрации в неоднородной среде. —
К.: Ин-т математики АН УССР, 1985. — 16 с. (Препр.; 85.72).
[9] Демчик І. І. Лінійна модель фільтрування (модель Мінца) та її узагальнення // Віс-
ник УДУВГП (збірник наукових праць). — 2004. — Вип. 1(25). — С. 107-118.
[10] Кочмарский В. З., Демчик И. И. Интегрирование системы уравнений фильтрования
методом Римана. В сб.: Дифференциальные уравнения и их приложения. — Днеп-
ропетровск: Днепропетр. гос. ун-т, 1986. — С. 50-53.
[11] Бомба А. Я., Присяжнюк И. М., Климюк Ю. Е. Численно-асимптотическое прибли-
жение решений одного класса модельных нелинейных сингулярно возмущенных
краевых задач конвективной диффузии с последействием // Компьютерная матема-
тика. — 2005. — № 3. — С. 3-12.
Моделирование процесса очистки сточной воды с учетом
зависимости коэффициента диффузии от концентрации
Андрей Бомба, Игорь Присяжнюк, Андрей Сафоник
Обобщена модель процесса очистки сточной воды на каркасно-засыпных фильтрах путем
«диффузионного возмущения» известной модели Минца. Предложен алгоритм асимптоти-
ческого развития решения соответствующей сингулярно возмущенной задачи для нелинейной
системы дифференциальных уравнений типа «конвекция-диффузия-массообмен» с опозданием
во времени. Получены формулы для характеристики соотношения между концентрациями
загрязнений сточной воды и фильтра. На этой основе проведен компьютерный экспери-
мент. При этом применяются классические формы законов, которые описывают процессы
движения жидкости и загрязнений в пористых средах. Это разрешает при решении соот-
ветствующих возмущенных задач, не начиная «всё сначала», дополнять известные «невоз-
мущенные» решения соответствующими поправками.
Modelling of sewerage treatment process allowing for diffusion
coefficient dependence of concentration
Andriy Bomba, Igor Prysyazhnyuk, Andriy Safonyk
The model of sewerage treatment process on wire-frame filling filters is generalized by a way «dif-
fusive disturbance» of the known model by Mints as well as the algorithm of asymptotic developing
decision of the corresponding singular perturbative task for the nonlinear system of differential
equations of «convection-diffusion-mass exchange» type with time delay. Formulae are obtained
for describing a relation between contamination concentrations of both sewerage and filter. On
this basis the computer experiment is carried out. At that settles the classic forms of laws, which
describe the processes of motion of both liquid and contaminations in porous media, are saved. At
solving the corresponding perturbative problems it gives an opportunity to complement the known
«unperturbative» decisions by certain amendments, not beginning «everything at first».
Отримано 19.06.07
|