Мезорівняння термомеханіки пористого насиченого рідиною багатокомпонентного середовища з урахуванням локальних зміщень маси та електричного заряду
Отримано повну систему мезорівнянь для опису взаємозв’язаних механотермоелектродифузійних процесів у пористому електропровідному неферомагнетному поляризованому середовищі з урахуванням необоротності процесів локальних зміщень електричних зарядів та маси. Насичене пористе середовище складається з тв...
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2007
|
| Series: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21112 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Мезорівняння термомеханіки пористого насиченого рідиною багатокомпонентного середовища з урахуванням локальних зміщень маси та електричного заряду / О. Грицина, В. Кондрат, Т. Нагірний // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2007. — Вип. 6. — С. 30-43. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-21112 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-211122011-06-15T12:08:08Z Мезорівняння термомеханіки пористого насиченого рідиною багатокомпонентного середовища з урахуванням локальних зміщень маси та електричного заряду Грицина, О. Кондрат, В. Нагірний, Т. Отримано повну систему мезорівнянь для опису взаємозв’язаних механотермоелектродифузійних процесів у пористому електропровідному неферомагнетному поляризованому середовищі з урахуванням необоротності процесів локальних зміщень електричних зарядів та маси. Насичене пористе середовище складається з твердофазного скелета та в’язкої порової рідини, які відповідно є n-компонентними твердим розчином і розчином сильного електроліта. Сформульована система рівнянь є базовою для отримання відповідної системи макрорівнянь із урахуванням ефектів контактної взаємодії твердої та рідкої фаз. A complete set of mesoscopic equations for the description of the mutually related mechanical, thermal, electrical, and diffusive processes in the porous electro-conductive ferromagnetic polarisable medium is obtained. The equilibrium character of local displacements of mass and electric charge is taken into account. The porous medium consists of a solid skeleton and a viscous liquid, where the former is the n-component non-ferromagnetic polarisable solid and the latter is the liquid electrolyte solution. The afore-mentioned equations form a basic set needed to obtain macroscopic equations in which the effect of the solid-fluid interaction is taken into consideration. Получено полную систему мезоуравнений для описания взаимосвязанных механотермоэлектродиффузионных процессов в пористой электропроводной неферромагнитной поляризующейся среде с учетом необратимости процессов локального смещения электрических зарядов и массы. Пористая среда состоит из твердофазного скелета и вязкой жидкости, которые являются n-компонентными неферромагнитными поляризующимися твердым раствором и раствором сильного электролита. Сформулированная система уравнений есть базовой для получения соответствующей системы макроуравнений с учетом эффектов контактного взаимодействия твердой и жидкой фаз. 2007 Article Мезорівняння термомеханіки пористого насиченого рідиною багатокомпонентного середовища з урахуванням локальних зміщень маси та електричного заряду / О. Грицина, В. Кондрат, Т. Нагірний // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2007. — Вип. 6. — С. 30-43. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21112 539.3 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Отримано повну систему мезорівнянь для опису взаємозв’язаних механотермоелектродифузійних процесів у пористому електропровідному неферомагнетному поляризованому середовищі з урахуванням необоротності процесів локальних зміщень електричних зарядів та маси. Насичене пористе середовище складається з твердофазного скелета та в’язкої порової рідини, які відповідно є n-компонентними твердим розчином і розчином сильного електроліта. Сформульована система рівнянь є базовою для отримання відповідної системи макрорівнянь із урахуванням ефектів контактної взаємодії твердої та рідкої фаз. |
| format |
Article |
| author |
Грицина, О. Кондрат, В. Нагірний, Т. |
| spellingShingle |
Грицина, О. Кондрат, В. Нагірний, Т. Мезорівняння термомеханіки пористого насиченого рідиною багатокомпонентного середовища з урахуванням локальних зміщень маси та електричного заряду Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| author_facet |
Грицина, О. Кондрат, В. Нагірний, Т. |
| author_sort |
Грицина, О. |
| title |
Мезорівняння термомеханіки пористого насиченого рідиною багатокомпонентного середовища з урахуванням локальних зміщень маси та електричного заряду |
| title_short |
Мезорівняння термомеханіки пористого насиченого рідиною багатокомпонентного середовища з урахуванням локальних зміщень маси та електричного заряду |
| title_full |
Мезорівняння термомеханіки пористого насиченого рідиною багатокомпонентного середовища з урахуванням локальних зміщень маси та електричного заряду |
| title_fullStr |
Мезорівняння термомеханіки пористого насиченого рідиною багатокомпонентного середовища з урахуванням локальних зміщень маси та електричного заряду |
| title_full_unstemmed |
Мезорівняння термомеханіки пористого насиченого рідиною багатокомпонентного середовища з урахуванням локальних зміщень маси та електричного заряду |
| title_sort |
мезорівняння термомеханіки пористого насиченого рідиною багатокомпонентного середовища з урахуванням локальних зміщень маси та електричного заряду |
| publisher |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21112 |
| citation_txt |
Мезорівняння термомеханіки пористого насиченого рідиною багатокомпонентного середовища з урахуванням локальних зміщень маси та електричного заряду / О. Грицина, В. Кондрат, Т. Нагірний // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2007. — Вип. 6. — С. 30-43. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. |
| series |
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| work_keys_str_mv |
AT gricinao mezorívnânnâtermomehaníkiporistogonasičenogorídinoûbagatokomponentnogoseredoviŝazurahuvannâmlokalʹnihzmíŝenʹmasitaelektričnogozarâdu AT kondratv mezorívnânnâtermomehaníkiporistogonasičenogorídinoûbagatokomponentnogoseredoviŝazurahuvannâmlokalʹnihzmíŝenʹmasitaelektričnogozarâdu AT nagírnijt mezorívnânnâtermomehaníkiporistogonasičenogorídinoûbagatokomponentnogoseredoviŝazurahuvannâmlokalʹnihzmíŝenʹmasitaelektričnogozarâdu |
| first_indexed |
2025-07-02T21:40:04Z |
| last_indexed |
2025-07-02T21:40:04Z |
| _version_ |
1836572899998171136 |
| fulltext |
Мезорівняння термомеханіки пористого насиченого
рідиною багатокомпонентного середовища з урахуванням
локальних зміщень маси та електричного заряду
Ольга Грицина1, Василь Кондрат2, Тарас Нагірний3
1 к. ф.-м. н., с. н. с., Центр математичного моделювання IППММ ім. Я. С. Пiдстригача НАН України, вул. Дж. Ду-
даєва, 15, Львів, 79005, e-mail: gryt@cmm.lviv.ua
2 д. ф.-м. н., с. н. с., Центр математичного моделювання IППММ iм. Я. С. Пiдстригача НАН України, вул. Дж. Ду-
даєва, 15, Львів, 79005, e-mail: kon@cmm.lviv.ua
3 д. ф.-м. н., професор, Центр математичного моделювання IППММ iм. Я. С. Пiдстригача НАН України,
вул. Дж. Дудаєва, 15, Львів, Україна, 79005; Зеленогурський Університет, вул. проф. Шафрана, 4, Зелена Гура,
Польща, 65-516, e-mail: tnagirny@yahoo.com
Отримано повну систему мезорівнянь для опису взаємозв’язаних механотермоелектроди-
фузійних процесів у пористому електропровідному неферомагнетному поляризованому се-
редовищі з урахуванням необоротності процесів локальних зміщень електричних зарядів та
маси. Насичене пористе середовище складається з твердофазного скелета та в’язкої по-
рової рідини, які відповідно є n-компонентними твердим розчином і розчином сильного
електроліта. Сформульована система рівнянь є базовою для отримання відповідної систе-
ми макрорівнянь із урахуванням ефектів контактної взаємодії твердої та рідкої фаз.
Ключові слова: насичене пористе середовище, взаємозв’язані електроме-
ханотермодифузійні процеси, необоротні зміщення маси й електричного
заряду, приконтактна неоднорідність.
Вступ. Один із підходів до побудови макроскопічних рівнянь фізико-механічних
процесів у пористих насичених середовищах полягає у формулюванні мезорів-
нянь, які описують розглядувані процеси у твердофазному скелеті та поровій рі-
дині, відповідних крайових умов і наступному осередненні отриманої системи
співвідношень [1-3]. При цьому вважають, що розміри пор такі, що до рідини
у порах і твердофазного скелета можна застосувати методи нерівноважної термо-
динаміки, механіки й електродинаміки суцільного середовища. Приймають також,
що віддаль L*, яка характеризує розглядувані процеси, суттєво перевищує харак-
терний розмір пор l*, таким чином, що l* << d* << L* (d* — діаметр області, у якій
проводять просторове осереднення). Такий підхід дозволяє як на мезо-, так і на
макрорівні враховувати ефекти контактної взаємодії твердої та рідкої фаз. На осно-
ві такого підходу у працях [4, 5] отримано рівняння моделі електромагнетної ме-
ханіки пористих тіл, у якій явища механоелектромагнетної взаємодії зумовлені
наявністю подвійного електричного шару в околі поверхні контакту фаз. Однак
у згаданих роботах не враховано структурну перебудову речовини в приконтакт-
ній області, яка може приводити до приповерхневої неоднорідності напружено-
УДК 539.3
30
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 6, 30-43
31
деформованого стану, виникнення поверхневого заряду, що, своєю чергою, може
впливати на параметри подвійного електричного шару та міцність пористого тіла
загалом. У дослідженнях [6-8] таку структурну перебудову пов’язують з явищем
локального зміщення маси. На цій основі проведено дослідження приповерхневої
неоднорідності механічних напружень, електричної поляризації, наведеного елект-
ричного заряду у твердих тілах і рідинах, вивчено вплив такої неоднорідності на па-
раметри міцності та стійкості, електромагнітний відгук на утворення нових по-
верхонь [7-10] тощо.
Метою цієї роботи є формулювання мезорівнянь для опису взаємозв’язаних
механічних, теплових, дифузійних та електромагнетних процесів у неферомагнет-
них поляризованих пористих насичених рідиною багатокомпонентних середови-
щах із урахуванням процесів локального зміщення маси й електричного заряду.
1. Об’єкт дослідження
Відтак об’єктом дослідження є пористе насичене в’язкою стисливою рідиною се-
редовище, яке складається з твердофазного скелета (n-компонентного неферо-
магнетного поляризованого твердого розчину) та порової рідини (n-компонентного
неферомагнетного поляризованого розчину електроліту). Приймаємо, що порис-
тість є відкритою, а середовище статистично однорідне й ізотропне. У ньому
протікають взаємозв’язані фізико-механічні процеси, посеред яких визначальни-
ми є процеси деформування, тепло- та масоперенесення, електропровідності, а
також локальних зміщень електричного заряду (електрична поляризація) та маси.
Локальні зміщення електричного заряду та маси спричиняються, зокрема, упо-
рядкуванням атомно-молекулярної структури тіла під дією електричного поля.
Ці зміщення будемо характеризувати відповідно векторними потоками ( )j
esJ та
( )j
msJ [7-9]. Тут і надалі значення верхнього індексу j = 1 відповідатиме характе-
ристикам твердої, а j = 2 — рідкої фаз.
2. Рівняння електродинаміки
Рівняння Максвелла для твердої (j = 1) і рідкої фаз (j = 2) мають вигляд [11, 12]
( ) 0jB∇ ⋅ = , ( ) ( )j j
eD∇ ⋅ = ρ ,
( )
( )
j
j BE
t
∂
∇× = −
∂
, ( )( ) jj
efH J∇× = . (1)
Тут ( )jE та ( )jH — вектори напруженостей електричного та магнетного полів;
( )jD , ( )jB — вектори індукції електричного та магнетного полів ( ( ) ( )
0
j jD E= ε +
( )j
e+Π , 0ε — електрична стала, ( )j
eΠ — вектор локального зміщення електричного
заряду (поляризації); для неферомагнетних середовищ, розглядом яких обмежує-
мося, ( ) ( )
0
j jB H= µ , 0µ — магнетна стала); ( ) ( )( )j jj
eef edJ J J= + + ( )j
esJ — вектор гус-
тини повного електричного струму; ( ) ( )
0
j j
edJ E t= ε ∂ ∂ ; ( ) ( )j j
es eJ t= ∂Π ∂ — вектор
Ольга Грицина, Василь Кондрат, Тарас Нагірний
Мезорівняння термомеханіки пористого насиченого рідиною багатокомпонентного середовища ...
32
густини струму, зумовленого упорядкуванням зарядової системи (поляризаційний
струм) [11]; ( ) ( )( ) ( )j jj j
e esef edJ J J J= − − ; ( )j
eρ — густина вільних електричних зарядів;
t — час; ∇ — оператор Гамільтона; «·», «×» — знаки скалярного та векторного
добутків відповідно.
Введемо у розгляд густину наведеного заряду ( )j
eπρ таким чином, щоб для
довільного тіла скінченних розмірів (область (V(j))) вектор ( )j
eΠ локального змі-
щення електричного заряду, густина ( )j
eπρ та радіус вектор ( )jr справджували
співвідношення [11]
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )j j
j j j
e e
V V
dV r dVπΠ = ρ∫ ∫ . (2)
Як наслідок із співвідношення (2) отримуємо [9, 11]
( )
( )
( )
0
j
j
e
V
dVπρ =∫ , ( ) ( )j j
e eπρ = −∇ ⋅Π . (3)
Якщо продиференціювати друге співвідношення системи (3) за часом і врахува-
ти, що ( ) ( )j j
es eJ t= ∂Π ∂ , то одержимо рівняння
( )
( ) 0
j
je
esJ
t
π∂ρ
+∇ ⋅ =
∂
,
яке має форму закону збереження наведеного електричного заряду [11].
Надалі замість вектора ( )j
eΠ будемо використовувати загальновживане по-
значення ( )jP для вектора поляризації.
3. Рівняння балансу маси
Нехай тверда ( j = 1) і рідка ( j = 2) фази пористого середовища є n-компонент-
ними хімічно інертними ізотропними розчинами, які складаються з підсистем
розчинника — підсистема n, та домішок — підсистеми 1, 1k n= − . Рівняння ба-
лансу маси для розглядуваних підсистем в інтегральній формі мають вигляд [6]
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )j j
j j j j
k k k
V
d dV n d
dt
Σ
ρ = − ρ ⋅ Σ∫ ∫ v , 1, 1k n= − , j = 1, 2, (4)
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )j j
j j j j j
n n n ms
V
d dV J n d
dt
Σ
ρ = − ρ + ⋅ Σ∫ ∫ v , j = 1, 2, (5)
де ( )j
kρ — густина маси k-ої підсистеми твердої ( j = 1) та рідкої ( j = 2) фаз; ( )j
kv —
вектор швидкості k-ої компоненти у точці евклідового простору з радіус-вектором
( )jr ; ( )jn — вектор зовнішньої нормалі до поверхні тіла ( )( )jΣ .
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 6, 30-43
33
Аналогічно до вектора локального зміщення електричного заряду ( )j
eΠ ≡
( )jP≡ введемо вектори ( )j
mΠ локального зміщення маси розчинника твердої
( j = 1) та рідкої ( j = 2) фаз [7-9]
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
0
, ,
t
j j j j
m msr t J r t dt′ ′Π = ∫ . (6)
Таким чином, для визначення вектора ( )j
msJ маємо співвідношення
( )
( )
j
j m
msJ
t
∂Π
=
∂
. (7)
З урахуванням співвідношення (7) і теореми Остоградського-Гаусса [13]
рівняння балансу маси (4) та (5) у локальній формі набувають вигляду
( )
( ) ( )( ) 0, 1, 1
j
j jk
k k k n
t
∂ρ
+∇ ⋅ ρ = = −
∂
v , (8)
( ) ( )
( ) ( ) 0
j j
j jn m
n nt t
∂ρ ∂Π
+∇ ⋅ ρ + = ∂ ∂
v . (9)
Введемо також у розгляд континуум центрів мас, який характеризувати-
мемо густиною ( )jρ та вектором ( )jv швидкості центра мас частинок тіла
( ) ( )( )( ) ( ) ( )
1
, ,
n
jj j j
k
k
r t r t
=
ρ = ρ∑ ,
( )
( ) ( )( )
( )
1
1 jn
j jj m
k kj
k t=
∂Π
= ρ + ∂ρ
∑v v . (10)
Якщо рівняння (8), (9) додати і врахувати формули (10), то отримаємо рівняння
балансу маси континуума центрів мас у загальноприйнятому вигляді [14, 15]
( )
( ) ( )( ) 0
j
j j
t
∂ρ
+∇ ⋅ ρ =
∂
v . (11)
Введемо концентрації компонент твердого розчину ( ) ( )j j
k kC = ρ ρ . Тоді рів-
няння балансу маси (8), (9) можна записати так
( )
( )( )
j
j k jj
mk
d C
J
dt
ρ = −∇ ⋅ , 1, 1k n= − , (12)
( ) ( )
( )
j j
j n j m
mn
d C
J
dt t
∂Π
ρ = −∇ ⋅ + ∂
. (13)
Тут ( )( ) ( ) ( ) ( )j j j j
mk k kJ = ρ −v v — вектори потоків маси компонент твердої ( j = 1) та
рідкої ( j = 2) фаз [6], ( ).../ .../ ...j
jd dt t= ∂ ∂ + ⋅∇v — оператор субстанціональної
похідної за часом. З огляду на співвідношення (10) для векторів ( )j
mkJ маємо
( )
( )
1
jn
j m
mk
k
J
t=
∂Π
= −
∂∑ . (14)
Ольга Грицина, Василь Кондрат, Тарас Нагірний
Мезорівняння термомеханіки пористого насиченого рідиною багатокомпонентного середовища ...
34
Аналогічно до густини наведеного заряду ( )j
eπρ введемо у розгляд густину
наведеної маси ( )j
mπρ . Приймаємо, що для довільного тіла скінченних розмірів
(область ( )( )jV ) вектор ( )j
mΠ локального зміщення маси та густина ( )j
mπρ задо-
вольняють таке інтегральне співвідношення [7-9]
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )j j
j j j
m m
V V
dV r dVπΠ = ρ∫ ∫ . (15)
Звідси маємо [7-9]
( )
( )
( )
0
j
j
m
V
dVπρ =∫ ,
( )
( ) 0
j
jm
msJ
t
π∂ρ
+∇ ⋅ =
∂
, (16)
( ) ( )j j
m mπρ = −∇ ⋅Π . (17)
Друге співвідношення системи (16) має форму закону збереження наведеної маси
твердої ( j = 1) та рідкої ( j = 2) фаз [7-9].
4. Рівняння балансу ентропії
У локальній формі рівняння балансу ентропії для обох фаз має вигляд [15]
( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1j
j j jj j j j j j j
q q sj
d s
T J J T T
dt T
ρ =−∇ ⋅ + ⋅∇ + σ +ρ ℜ . (18)
Тут ( )js — питома ентропія; ( )jT — абсолютна температура; ( )j
qJ — вектор гус-
тини потоку тепла; ( )j
sσ — виникнення ентропії за одиницю часу; ( )jℜ — розпо-
ділені джерела тепла.
5. Рівняння балансу енергії електромагнетного поля
Із рівнянь Максвелла випливає співвідношення, яке трактують як рівняння ба-
лансу енергії електромагнетного поля [11, 12],
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0
j j
j j je
e e
U PS J E
t t
∂ ∂
+∇ ⋅ + + ⋅ = ∂ ∂
. (19)
Тут ( ) ( )2 2( ) ( ) ( )
0 0 2j j j
eU E H = ε + µ
— густина енергії електромагнетного поля,
( ) ( ) ( )j j j
eS E H= × — вектор густини потоку енергії електромагнетного поля. Пере-
пишемо останню складову у рівнянні (19) таким чином, щоб вона містила вектори
напруженості електричного поля ( ) ( ) ( ) ( )
*
j j j jE E B= + ×v , поляризації ( ) ( )
*
j jP P= +
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 6, 30-43
35
( ) ( )
0 0
j jM+ε µ ×v і густини ( ) ( ) ( ) ( )
*
j j j j
e eeJ J= −ρ v електричного струму провідності,
віднесені до системи відліку центрів мас, яка рухається зі швидкістю ( )jv відносно
лабораторної системи відліку. Тут ( )jM — вектор намагнеченості, який у випадку
немагнетного тіла дорівнює нулеві. У розглядуваному випадку, коли кожна з фаз є
багатокомпонентною, маємо також співвідношення [4, 5]
( ) ( )
*
1
n
j j
ke mk
k
J q J
=
=∑ , ( )( ) ( )
1
n
jj j
e k k
k
q C
=
ρ = ρ∑ , (20)
де kq — питомий заряд k-ої компоненти. Тоді, враховуючи рівняння балансу ма-
си (11), рівняння балансу енергії електромагнетного поля (19) запишемо так
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
* * * *
( )j j j
j j j jj j je
e ee e
U pS J E E J B
t t
∂ ∂ ρ
+∇ ⋅ + ⋅ + ρ + + × + ∂ ∂
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
* * *
ˆ 0
j
j j jj j j j j jdpE p E E p I
dt
+ρ ∇⊗ ⋅ ⋅ + ρ ⋅ −∇ ⋅ ρ ⋅ ⋅ = v v . (21)
Тут ( ) ( ) ( )/j j jp P= ρ — вектор питомої поляризації, Î — одиничний тензор, «⊗ » —
знак діадного добутку.
6. Рівняння балансу енергії
Приймаємо, що повна енергія обох фаз у довільний момент часу є сумою внут-
рішньої ρ(j)u(j) (u(j) — питома внутрішня енергія) та кінетичної ( )2( ) ( ) / 2j jρ v енер-
гій, а також енергії ( )j
eU електромагнетного поля. Її зміна відбувається внаслідок
наявності конвективної складової потоку енергії, дії поверхневих сил потужності
( ) ( )ˆ j jσ ⋅v , потоку енергії електромагнетного поля ( )j
eS , потоку тепла ( )j
qJ , робо-
ти, затраченої на масоперенесення ( ) ( )
1
n
j j
k mk
k
J
=
µ∑ й «упорядкування» структури тіла
( ) ( )j j
m tπµ ∂Π ∂ , а також дії масових сил ( )jF і розподілених теплових джерел по-
тужності ( )jℜ
( )
( )
( )
( )( ) ( )
2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1
2 2j j
j j j j j j j j
e
V
d u U dV u
dt
Σ
ρ + + = − ρ + −
∫ ∫v v v
( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
ˆ
jn
j jj j j j j jm
e q k mk
k
S J J n d
tπ
=
∂Π −σ ⋅ + + + µ + µ ⋅ Σ +
∂
∑v
( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
j
j j j j j
V
F dV+ ρ ⋅ + ρ ℜ∫ v . (22)
Ольга Грицина, Василь Кондрат, Тарас Нагірний
Мезорівняння термомеханіки пористого насиченого рідиною багатокомпонентного середовища ...
36
Тут ( )ˆ jσ — тензор напружень (для рідкої фази (2) (2) (2)ˆ ˆˆ p I Pσ = − + v , p(2) — тиск у рі-
дині, а (2)P̂v — тензор в’язких напружень), ( )j
kµ — хімічний потенціал k-ої ком-
поненти j-ої фази, ( )j
πµ — енергетична міра зміни внутрішньої енергії j-ої фази,
спричинена локальним зміщенням маси.
Враховуючи формули (14) і (17), рівняння балансу маси (11), (12) та ентро-
пії (18), енергії електромагнетного поля (21), а також теорему Остроградського-
Гаусса, з (22) отримуємо такі балансові рівняння у локальній формі:
для твердої фази
(1) (1) (1) (1)
(1) (1)(1) (1) (1) (1)1 1 1 1
* *
ˆˆd u d s d e d pT E
dt dt dt dt
ρ =ρ +σ + ρ ⋅ +
(1) (1) (1)1
(1)(1) (1) (1) (1) (1)1 1 1
1
n
k m m
k
k
d C d d
dt dt dt
−
π π
=
ρ π′ ′ ′+ ρ µ +ρ µ −ρ ∇µ ⋅ +∑
1
(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)
* * (1)
1
1n
q se mk k
k
J E J J T T
T
−
=
′+ ⋅ − ⋅∇µ − ⋅∇ − σ −∑
(1)
(1) (1)(1) (1) (1) (1)1
* *ˆ e
d F F
dt
− ⋅ ρ −∇ ⋅σ −ρ −
v
v , (23)
для рідкої фази
(2) (2) (2) (2)
(2) (2)(2) (2) (2) (2)2 2 2 2
* *
d u d s d e d pT p E
dt dt dt dt
ρ =ρ − + ρ ⋅ +
(2) (2) (2)1
(2)(2) (2) (2) (2) (2)2 2 2
1
n
k m m
k
k
d C d d
dt dt dt
−
π π
=
ρ π′ ′ ′+ ρ µ +ρ µ −ρ ∇µ ⋅ +∑
1(2) (2)
(2) (2) (2) (2) (2)(2)2 2
* *
1
ˆˆ :
nd
tl e mk k
k
d e d eP P J E J
dt dt
−
=
′+ + + ⋅ − ⋅∇µ −∑vv
(2) (2)
(2)
1
qJ T
T
⋅∇ −
(2) (2)
sT− σ −
(2)
(2) (2)(2) (2) (2) (2) (2)2
* *
ˆ
e
d p P F F
dt
⋅ ρ +∇ −∇ ⋅ −ρ −
v
v
v . (24)
Тут (2)(2) (2)ˆ ˆ ˆ
tlP P I P= +v vv , (2) ˆ
lP Iv та (2)ˆ
tPv — складові тензора в’язких напружень, зумов-
лені відповідно зміною об’єму та форми порової рідини; ( ) ( )ˆ,j j de e — кульова та
девіаторна складові тензора деформації ( )( ) ( ) ( )ˆ 2j j je u u= ∇⊗ + ⊗∇ , ( )ju —
вектор переміщення; ( ) ( ) ( )j j j
nk k′µ = µ −µ , ( ) ( ) ( )j j j
nπ π′µ = µ −µ ; ( )( ) ( ) / jj j
m mπ = Π ρ ;
( ) ( ) ( )/j j j
m mπρ = ρ ρ ; а приведений тиск у рідкій (2)
*p та тензор напружень (1)
*σ̂ у твер-
дій фазах, вектори густин приведеної масової ( )
*
jF та пондеромоторної ( )j
eF сил
визначаються такими співвідношеннями
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 6, 30-43
37
( )(1) (1) (1)(1) (1) (1) (1) (1) (1)
* *
ˆˆ ˆ m mE p Iπ π′ ′σ =σ −ρ ⋅ − ρ µ − π ⋅∇µ ,
( )(2) (2)(2) (2) (2) (2) (2) (2) (2)
* * m mp p E p π π′ ′= + ρ ⋅ − ρ µ − π ⋅∇µ ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
*
j j j j j j
m mF F π π′ ′= + ρ ∇µ − π ⋅∇⊗∇µ ,
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
* * *
j j
j j jj j j j j
e e e
p
F E J B E p
t
∂ ρ
= ρ + + × + ρ ∇⊗ ⋅
∂
, ( j = 1, 2).
Аналогічно до [7, 8] подамо вектори ( )
*
jE та ( )j
π′∇µ сумами їх оборотних
( )
*
j
rE , ( )j
rπ′∇µ та необоротних ( )
*
j
iE , ( )j
iπ′∇µ складових, тобто ( ) ( )
* *
j j
rE E= + ( )
*
j
iE ,
( ) ( ) ( )j j j
r iπ π π′ ′ ′∇µ = ∇µ +∇µ . Беручи до уваги інваріантність рівнянь балансу енергії
щодо просторових трансляцій, із рівнянь (23) та (24) отримаємо такі рівняння ба-
лансу імпульсу та внутрішньої енергії:
для твердої фази
(1)
(1) (1)(1) (1) (1)1
* *ˆ e
d F F
dt
ρ =∇ ⋅σ +ρ +
v , (25)
(1) (1) (1) (1)
(1) (1)(1) (1) (1) (1)1 1 1 1
* *
ˆˆ r
d u d s d e d pT E
dt dt dt dt
ρ =ρ +σ + ρ ⋅ +
(1)1
(1)(1) 1
1
n
k
k
k
d C
dt
−
=
′ρ µ +∑
(1) (1)
(1) (1) (1) (1)1 1m m
r
d d
dt dtπ π
ρ π′ ′+ρ µ −ρ ∇µ ⋅ −
(1)
(1) (1) (1) (1) 1 m
s i
dT
dtπ
π′σ −ρ ∇µ ⋅ +
1(1)
(1) (1) (1) (1) (1)(1) (1) (1)1
* * * (1)
1
1n
qi e mk k
k
d pE J E J J T
dt T
−
=
′+ρ ⋅ + ⋅ − ⋅∇µ − ⋅∇∑ ; (26)
для рідкої фази
(2)
(2) (2)(2) (2) (2) (2)2
* *
ˆ
e
d p P F F
dt
ρ = −∇ +∇ ⋅ +ρ +v
v , (27)
(2) (2) (2) (2)
(2) (2)(2) (2) (2) (2)2 2 2 2
* *r
d u d s d e d pT p E
dt dt dt dt
ρ =ρ − + ρ ⋅ +
(2) (2) (2)1
(2)(2) (2) (2) (2) (2)2 2 2
1
n
k m m
rk
k
d C d d
dt dt dt
−
π π
=
ρ π′ ′ ′+ ρ µ +ρ µ −ρ ∇µ ⋅ −∑
(2) (2)
sT− σ
1(2) (2)
(2) (2) (2) (2) (2)(2)2 2
* *
1
ˆˆ :
nd
tl e mk k
k
d e d eP P J E J
dt dt
−
=
′+ + + ⋅ − ⋅∇µ +∑vv
(2)
(2)(2) 2
*i
d pE
dt
+ρ ⋅
(2)
(2) (2) 2 m
i
d
dtπ
π′−ρ ∇µ ⋅ – (2) (2)
(2)
1
qJ T
T
⋅∇ . (28)
Ольга Грицина, Василь Кондрат, Тарас Нагірний
Мезорівняння термомеханіки пористого насиченого рідиною багатокомпонентного середовища ...
38
Перейдемо до нової термодинамічної функції — питомої узагальненої віль-
ної енергії Гельмгольца ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
*
jj j j j j j j
m rrf u T s p E π′= − − ⋅ + π ⋅∇µ . З огляду на
те, що { }( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
*ˆ, , , , ,j jj j j j j j
m rk rf f T e C E π′= ρ ∇µ на основі співвідношень
(26) та (28) отримуємо узагальнені рівняння Гіббса та вирази для виробництва
ентропії для твердої
1
(1) (1) (1) (1)(1) (1) (1) (1) (1)
* *(1)
1
1 ˆ ˆ:
n
r k k
k
df s dT de p dE dC
−
=
′=− + σ − ⋅ + µ +
ρ
∑
(1) (1) (1) (1)
m m rd dπ π′ ′+µ ρ + π ⋅ ∇µ , (29)
( )
(1) (1)(1) 1(1)(1)
* (1) (1)(1) (1) (1) 1 *
*2 (1) (1) (1)(1) 1
n
i k
s q e mk
k
E Ed pTJ J J
dt T T TT
−
=
′∇µ∇
σ = − ⋅ + ρ ⋅ + ⋅ − ⋅ −∑
(1)(1)
(1) 1
(1)
imd
dt T
π′∇µπ
−ρ ⋅ (30)
та рідкої фаз
1
(2) (2) (2) (2)(2) (2) (2) (2) (2)
* *(2)
1
1 n
r k k
k
df s dT p de p dE dC
−
=
′=− − − ⋅ + µ +
ρ
∑
(2) (2) (2) (2)
m m rd dπ π′ ′+µ ρ + π ⋅ ∇µ , (31)
( )
(2) (2) (2)
(2) (2)(2) (2)2 2
(2) (2) 2(2)
ˆ1 1ˆ :
d
s ql
d e d e TP P J
dt dtT T T
∇
σ = + − ⋅ +v vt
(2) (2)(2)(2) (2)1(2)
* (2) (2)(2) (2) 22 *
*(2) (2) (2) (2)
1
n
i ik m
e mk
k
E E dd p J J
dt dtT T T T
−
π
=
′∇µ′∇µ π
+ρ ⋅ + ⋅ − ⋅ −ρ ⋅∑ . (32)
Бачимо, що простір параметрів, які визначають термодинамічний стан обох фаз,
порівняно з класичною термомеханікою поляризованих тіл містить два нових
параметри, а саме: ( )j
mρ та ( )j
rπ′∇µ . Ці параметри зумовлені врахуванням процесу ло-
кального зміщення маси. Спряженими до них є параметри ( )j
πµ та ( )j
mπ
відповідно.
7. Визначальні співвідношення
Рівняння стану. У силу незалежності параметрів { }( )( ) ( )ˆ, , jj j
kT e C , ( )j
mρ , ( )
*
j
rE , ( )j
rπ′∇µ
із рівнянь Гіббса (29) і (31) одержуємо рівняння стану, які мають однаковий ви-
гляд для обох фаз, за винятком рівнянь для тензора напружень у твердій фазі та
тиску у поровій рідині
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 6, 30-43
39
( )
( )
( )
j
j
j
f
s
T
∂
= −
∂
,
( )
( )
( )
j
j
k j
k
f
C
∂
µ =
∂
,
( )
( )
( )
j
j
j
m
f
π
∂
′µ =
∂ρ
,
( )
( )
( )
j
j
r j
f
p
E
∂
= −
∂
,
( )
( )
( )
j
j
m r j
f
π
∂
π = −
′∂∇µ
,
(1)
(1) (1)
* (1)
ˆ
ˆ
f
e
∂
σ = ρ
∂
,
(2)
(2) (2)
* (2)
f
p
e
∂
= −ρ
∂
. (33)
Для конкретизації рівнянь стану необхідно вибрати відповідне подання питомої
вільної енергії f ( j).
Кінетичні рівняння. Кінетичні співвідношення отримаємо з рівнянь (30), (32)
для виробництва ентропії. Беручи до уваги принцип Онзагера [15], у лінійному
наближенні ці рівняння запишемо у вигляді [7, 8]
(2)
(2) (2) 2
11 (2)
1
l
d eP L
dtT
′=v ,
(2)
(2)(2) 2
22 (2)
ˆ1ˆ
d
t
d eP L
dtT
′=v ; (34)
( )
( ) ( )( ) ( )( ) 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) **
33 34 35 36 372 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1
j jj jj n
j j j j k jj i i k
q j j j jj k
EETJ L L L L L
T T T TT
−
′ ′ ′ ′ ′π
=
′′ ∇µ∇µ∇
= − + + − −∑ ,
( )
( ) ( )( ) ( )( ) 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )**
43 44 45 46 472 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1
j jj jj n
j k j k j k j k j kl ji i l
mk j j j jj l
EETJ L L L L L
T T T TT
−
′ ′ ′ ′ ′π
=
′′ ∇µ∇µ∇
= − + + − −∑ ,
( )
( ) ( )( ) ( )( ) 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )**
55 5753 54 56* 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1
j jj jj n
j j j j j k ji i k
e j j j jj k
EETJ L L L L L
T T T TT
−
′ ′ ′ ′ ′π
=
′′ ∇µ∇µ∇
= − + + − −∑ ,
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) **
63 64 65 66 672 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1
j j jj jj n
j j j j j k jj i i k
j j j jj k
d p EETL L L L L
dt T T T TT
−
′ ′ ′ ′ ′π
=
′′ ∇µ∇µ∇
ρ = − + + − −∑ ,
( )
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) **
7573 74 762 ( ) ( ) ( )( )
j jj jj
j m j j j jj i i
j j jj
d EETL L L L
dt T T TT
′ ′ ′ ′ ππ ′∇µ∇
ρ = − + + − −
( )1
( )
77 ( )
1
jn
k j k
j
k
L
T
−
′
=
′∇µ
−∑ , ( j = 1, 2). (35)
де ( )
11
jL ′ , ( )
22
jL ′ , ( )jL ′
αβ , ( )
7
k jL ′
α , ( )
47
kl jL ′ ( ), 1, 1; , 3,7k l n= − α β = — кінетичні коефіцієнти.
Відзначимо, що для твердої фази ( j = 1) кінетичні рівняння мають вигляд (35), а
у поровій рідині ( j = 2) до системи (35) слід долучити також співвідношення (34).
Записані рівняння Максвелла (1), балансу маси (11), (12), ентропії (18), ба-
лансу імпульсів (25), (27), визначальні співвідношення (33), (34), (35) разом із від-
повідними геометричними співвідношеннями й умовами контакту на міжфазовій
поверхні складають повну систему мезорівнянь, яка може бути використана для
Ольга Грицина, Василь Кондрат, Тарас Нагірний
Мезорівняння термомеханіки пористого насиченого рідиною багатокомпонентного середовища ...
40
опису електромагнетотермомеханічних процесів у багатокомпонентному поляри-
зованому пористому середовищі з урахуванням необоротності процесів локаль-
ного зміщення маси та заряду.
8. Початковий і відліковий (природний) стани
Надалі будемо розрізняти початковий стан, який відповідає невзаємодіючим фа-
зам за рівномірного розподілу домішок і відсутності електромагнітного та меха-
нічного полів, наведеної маси та вектора локального зміщення маси, і природний
рівноважний стан, який характеризується неоднорідним розподілом концентрації
домішок ( )
0
j
kC ( )1, 1, 1,2k n j= − = , густин наведеної маси ( )
0
j
mρ і наведеного
електричного заряду ( )
0
j
eρ , електричного потенціалу ( )
0
jϕ , енергетичної міри ( )j
πµ ,
векторів електромагнетного поля, локального зміщення електричного заряду та
маси ( ) ( )
0 0
j jE = −∇ϕ , ( )
0
jD , ( )
0
jP , ( )j
mπ , тензорів ( )
0
je , ( )
0
jσ деформацій та механіч-
них напружень за відсутності зовнішньої дії. Цей стан приймемо за відліковий.
Поля у відліковому стані визначаються з відповідних (1), (11), (12), (18), (25),
(27) рівнянь статики за урахування рівнянь Гіббса (29), (31) та рівності нулю
виробництва ентропії (30), (32)
( )
0 0jE∇× = ,
( )
( ) 0
0 ( )
j
j e
jD
ρ
∇⋅ =
ε
,
( ) ( ) ( ) ( )
00 0 0 0
j j j jD E p= ε + ρ , ( ) ( )( )
0 0
1
n
j jj
ke k
k
q C
=
ρ = ρ∑ , ( ) ( )
0 0
j jE = −∇ϕ ,
( ) ( )
0 0 0j j
k kq E −∇µ = , ( )1, 1k n= − , ( ) ( ) ( )
0*0 *0 0j j j
eF F∇ ⋅ σ + + = ,
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0 0 0
j j j j j j
e eF E E p= ρ + ρ ∇⊗ ⋅ , ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0*0
j j j j j
m mF π π′ ′= ρ ∇µ − π ⋅ ∇⊗∇µ ,
( )
( ) 0
0 ( )
0
j
j
j
f
s
T
∂
= −
∂
,
( )
( ) 0
0 ( )
0
j
j
k j
k
f
C
∂
µ =
∂
,
( )
( ) 0
0 ( )
0
j
j
j
m
f
π
∂
′µ =
∂ρ
,
( )
( ) 0
0 ( )
0
j
j
r j
f
p
E
∂
= −
∂
,
( )
( ) 0
0 ( )
0
j
j
m j
f
π
∂
π = −
′∂∇µ
,
(1)
(1) (1) 0
0*0 (1)
0
ˆ
ˆ
f
e
∂
σ = ρ
∂
,
(2)
(2) (2) 0
0*0 (2)
0
f
p
e
∂
= −ρ
∂
, ( )
00
jT T= ,
( )( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0
j j j j
m mρ ρ = −∇ ⋅ ρ π , ( ) ( )
0 0
j j
rE E= , ( ) ( )
0 0
j j
rπ π′ ′∇µ = ∇µ ,
( )T( ) ( ) ( )
0 0 0
1ˆ
2
j j je u u = ∇⊗ + ∇⊗
(36)
та умов на поверхні ( )12Σ контакту фаз
(1) (2)
0 0u u= , ( ) ( )(1) (1) (2) (2)
0 0*0 *0
ˆ ˆˆ ˆe eT n T nσ + ⋅ = σ + ⋅ ,
( )(1) (2)
0 0 0E E n− × = , ( )(1) (2)
0 0 0D D n− ⋅ = ,
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 6, 30-43
41
(1) (1) (2) (2)
0 00 0k kk kq qϕ + µ = ϕ + µ , (1) (2)
π π′ ′µ = µ . (37)
Тут нижнім індексом «0» відзначено величини у відліковому стані, ( )
0
ˆ j
eT =
( )( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0
1 ˆ
2
j j j jE D E D I= ⊗ − ⋅ — тензори натягів Максвелла ( j = 1, 2), n — зовніш-
ня нормаль до твердої фази (середовища 1), ( )
0
jϕ — електричні потенціали ( j = 1, 2).
9. Збурення полів відносно відлікового стану
Для практики важливим є вивчення збурень шуканих полів, спричинених зов-
нішньою дією, щодо відлікового рівноважного неоднорідного стану. У зв’язку
з цим шукані функції записаної вище системи рівнянь подаються у вигляді сум
( ) ( ) ( )
0
j j jf f f ′= + , де штрихом відзначено збурення відповідної величини. З огля-
ду на нелінійність виразів для масової та пондеромоторної сил, тензора натягів
Максвелла тощо, характеристики полів у відліковому стані будуть входити у рів-
няння для визначення збурень шуканих функцій навіть у випадку лінеаризованих
за збуреннями співвідношень. Справді тоді
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0*
j j j j jj j j j j
m mm mF F π ππ π′ ′′ ′ ′ ′′ ′ ′= + ρ ∇µ + ρ ∇µ − π ⋅∇⊗∇µ − π ⋅∇⊗∇µ ,
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
0 0 0 0*
j j j j jj j j
e eeF E E E p′ ′ ′ ′= ρ + ρ + ρ ∇⊗ ⋅ +
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
0 0 0 0*
j j j j jjE p E p′ ′+ρ ∇⊗ ⋅ + ρ ∇⊗ ⋅ ,
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0
1ˆ ˆ
2
j j j j j j j j jT E D E D E D E D I′ ′ ′ ′ ′= ⊗ + ⊗ − ⋅ + ⋅ .
Зауважимо, що врахування неоднорідності розподілу електричного заряду в околі
поверхні контакту фаз (подвійного електричного шару) привело до побудови
макроскопічної моделі електромагнетомеханіки пористих насичених тіл [16, 17].
Врахування поряд із процесом локального зміщення електричного заряду (проце-
сом електричної поляризації) також локального зміщення маси приведе до враху-
вання неоднорідності напружено-деформованого стану твердої та рідкої фаз в околі
поверхні їх контакту [9, 18]. Побудова відповідних макроскопічних рівнянь і дослі-
дження на цій основі впливу такої неоднорідності на збурення полів будуть пред-
метом наступних досліджень.
Висновки. Таким чином отримана в роботі система мезорівнянь для опису взає-
мозв’язаних механотермоелектродифузійних процесів у твердій і рідкій фазах
пористого електропровідного неферомагнетного поляризованого середовища з
урахуванням процесів локальних зміщень електричного заряду та маси є осно-
вою побудови відповідних макроскопічних рівнянь, які дозволять врахувати
вплив приконтактної неоднорідності як електричних величин, так і напружено-
деформованого стану на збурення досліджуваних полів.
Ольга Грицина, Василь Кондрат, Тарас Нагірний
Мезорівняння термомеханіки пористого насиченого рідиною багатокомпонентного середовища ...
42
Література
[1] Николаевский В. Н., Басниев К. С., Горбунов А. Т., Зотов Г. А. Механика насыщен-
ных пористых сред. — М.: Недра, 1970. — 339 с.
[2] Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред. — М.: Наука, 1978. — 336 с.
[3] Хорошун Л. П., Солтанов Н. С. Термоупругость двухкомпонентных смесей. —
К.: Наук. думка, 1984. — 112 с.
[4] Кондрат В. Ф. К описанию физико-механических процессов в пористых насыщен-
ных средах // В сб. научных трудов: Геофизическая диагностика нефтеазоносных и
угленосных разрезов. — К.: Наук. думка, 1989. — С. 124-133.
[5] Фізико-математичне моделювання складних систем. Під заг. ред. Я. Бурака та Є. Чап-
лі. — Львів: Сполом, 2004. — 264 с.
[6] Бурак Я. Й., Кондрат В. Ф., Грицина О. Р. Математичне моделювання механотер-
модифузійних процесів у твердих розчинах при врахуванні локального зміщення
маси // ДАН України. — 2007. — № 3. — С. 59-64.
[7] Грицина О. Р. Механотермодифузійні процеси в багатокомпонентних твердих роз-
чинах з урахуванням необоротності локальних зміщень маси // Фізико-математич-
не моделювання та інформаційні технології. — 2007. — Вип. 5. — С. 30-41.
[8] Грицина О. Р., Кондрат В. Ф. Моделювання електротермомеханічних процесів у в’яз-
кій електропровідній поляризованій рідині з урахуванням необоротності
локальних зміщень маси та електричного заряду // Фізико-математичне
моделювання та інформаційні технології. — Вип. 5, 2007. — С. 42-54.
[9] Бурак Я. Й., Кондрат В. Ф., Грицина О. Р. Приповерхневі механоелектромагнетні
явища у термопружних поляризованих тілах з врахуванням локального зміщення
маси // Фіз.-хім. механіка матеріалів. — 2007. — № 4. — С. 5-17.
[10] Бурак Я. И., Нагирный Т. С., Грицина О. Р., Червинка К. А. Поверхностные напря-
жения в слое. Влияние температуры и примесей на прочность // Проблемы проч-
ности. — 2000. — № 6. — С. 35-43.
[11] Бредов М. М., Румянцев В. В., Топтыгин И. Н. Классическая электродинамика. —
М.: Наука, 1985. — 400 с.
[12] Можен Ж. Механика электромагнитных сплошных сред. — М.: Мир, 1991. — 560 с.
[13] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. — М.: Наука, 1974. — 831 с.
[14] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. — М.: Наука, 1986. — 736 с.
[15] Гроот де С., Мазур П. Ш. Неравновесная термодинамика. — М.: Мир, 1964. — 456 с.
[16] Кондрат В. Ф. К исследованию механоэлектромагнитных процессов в пористых на-
сыщенных средах во внешнем электрическом поле // Проблемы динамики взаимо-
действия деформируемых сред. — Ереван: АН Арм. ССР, 1987. — С. 166-170.
[17] Pride S. Governing equations for the coupled electromagnetics and acoustics of porous media //
Phys. Rev. B. — 1994. — Vol. 50, № 21. — P. 15678-15696.
[18] Кондрат В. Ф., Нагірний Т. С., Грицина О. Р. Локальне зміщення маси у термоме-
ханічних системах та приповерхневі явища // Тези доп. 8-й Міжнар. симпозіуму
українських інженерів-механіків у Львові. — Львів, 23-25 травня 2007 p. — С. 64-65.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 6, 30-43
43
The mesoequations of thermo-mechanics of porous
fluid saturated multicomponent medium taking into account
the local displacements of mass and electric charge
Olha Hrytsyna, Vasyl Kondrat, Taras Nahirnyy
A complete set of mesoscopic equations for the description of the mutually related mechanical,
thermal, electrical, and diffusive processes in the porous electro-conductive ferromagnetic polari-
sable medium is obtained. The equilibrium character of local displacements of mass and electric
charge is taken into account. The porous medium consists of a solid skeleton and a viscous liquid,
where the former is the n-component non-ferromagnetic polarisable solid and the latter is the
liquid electrolyte solution. The afore-mentioned equations form a basic set needed to obtain
macroscopic equations in which the effect of the solid-fluid interaction is taken into consideration.
Мезоуравнения термомеханики пористой насыщенной
жидкостью многокомпонентной среды с учетом локальных
смещений массы и электрического заряда
Ольга Грицина, Василий Кондрат, Тарас Нагирный
Получено полную систему мезоуравнений для описания взаимосвязанных механотермоэлект-
родиффузионных процессов в пористой электропроводной неферромагнитной поляризую-
щейся среде с учетом необратимости процессов локального смещения электрических заря-
дов и массы. Пористая среда состоит из твердофазного скелета и вязкой жидкости,
которые являются n-компонентными неферромагнитными поляризующимися твердым
раствором и раствором сильного электролита. Сформулированная система уравнений
есть базовой для получения соответствующей системы макроуравнений с учетом эффек-
тов контактного взаимодействия твердой и жидкой фаз.
Отримано 4.03.07
|