Рівномірне наближення з точним відтворенням значень функції та її похідних у заданих точках
Розглянуто задачу найкращої рівномірної (чебишовської) апроксимації дискретної функції з точним відтворенням її значень і значень її похідних у заданих точках. Досліджено властивості такої рівномірної апроксимації многочленом і встановлено необхідні та достатні умови її існування. Запропоновано тако...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2007
|
| Schriftenreihe: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21116 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Рівномірне наближення з точним відтворенням значень функції та її похідних у заданих точках / П. Малачівський // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2007. — Вип. 5. — С. 119-126. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-21116 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-211162011-06-15T12:06:51Z Рівномірне наближення з точним відтворенням значень функції та її похідних у заданих точках Малачівський, П. Розглянуто задачу найкращої рівномірної (чебишовської) апроксимації дискретної функції з точним відтворенням її значень і значень її похідних у заданих точках. Досліджено властивості такої рівномірної апроксимації многочленом і встановлено необхідні та достатні умови її існування. Запропоновано також алгоритм для визначення параметрів апроксимації за схемою Ремеза з уточненням точок альтернанса за модифікованим алгоритмом Валле-Пуссена. The problem of the best uniform (Chebyshev) approximation for a discrete function with exact reproduction of its values and derivatives ones in certain given points is considered. The properties of such uniform polynomial approximation are investigated. Necessary and sufficient conditions of approximation existence are established as well as the Remez scheme is proposed for determining the approximation parameters with application of modified Vallee-Poussin algorithm. Рассмотрена задача наилучшей равномерной (чебишевской) аппроксимации дискретной функции с точным восстановлением ее значений и значений ее производных в заданных точках. Исследованы свойства такой равномерной аппроксимации многочленом и установлены необходимые и достаточные условия ее существования. Предложен также алгоритм для определения параметров аппроксимации по схеме Ремеза с уточнением точек альтернанса по модифицированному алгоритму Валле-Пуссена. 2007 Article Рівномірне наближення з точним відтворенням значень функції та її похідних у заданих точках / П. Малачівський // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2007. — Вип. 5. — С. 119-126. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21116 519.65 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Розглянуто задачу найкращої рівномірної (чебишовської) апроксимації дискретної функції з точним відтворенням її значень і значень її похідних у заданих точках. Досліджено властивості такої рівномірної апроксимації многочленом і встановлено необхідні та достатні умови її існування. Запропоновано також алгоритм для визначення параметрів апроксимації за схемою Ремеза з уточненням точок альтернанса за модифікованим алгоритмом Валле-Пуссена. |
| format |
Article |
| author |
Малачівський, П. |
| spellingShingle |
Малачівський, П. Рівномірне наближення з точним відтворенням значень функції та її похідних у заданих точках Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| author_facet |
Малачівський, П. |
| author_sort |
Малачівський, П. |
| title |
Рівномірне наближення з точним відтворенням значень функції та її похідних у заданих точках |
| title_short |
Рівномірне наближення з точним відтворенням значень функції та її похідних у заданих точках |
| title_full |
Рівномірне наближення з точним відтворенням значень функції та її похідних у заданих точках |
| title_fullStr |
Рівномірне наближення з точним відтворенням значень функції та її похідних у заданих точках |
| title_full_unstemmed |
Рівномірне наближення з точним відтворенням значень функції та її похідних у заданих точках |
| title_sort |
рівномірне наближення з точним відтворенням значень функції та її похідних у заданих точках |
| publisher |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21116 |
| citation_txt |
Рівномірне наближення з точним відтворенням значень функції та її похідних у заданих точках / П. Малачівський // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2007. — Вип. 5. — С. 119-126. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| series |
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| work_keys_str_mv |
AT malačívsʹkijp rívnomírnenabližennâztočnimvídtvorennâmznačenʹfunkcíítaíípohídnihuzadanihtočkah |
| first_indexed |
2025-07-02T21:40:12Z |
| last_indexed |
2025-07-02T21:40:12Z |
| _version_ |
1836572908807258112 |
| fulltext |
Рівномірне наближення з точним відтворенням
значень функції та її похідних у заданих точках
Петро Малачівський
К. т. н., с. н. с., Центр математичного моделювання ІППММ НАН України, вул. Дж. Дудаєва, 15, Львів,
e-mail: psmal@cmm.lviv.ua
Розглянуто задачу найкращої рівномірної (чебишовської) апроксимації дискретної функції
з точним відтворенням її значень і значень її похідних у заданих точках. Досліджено влас-
тивості такої рівномірної апроксимації многочленом і встановлено необхідні та достатні
умови її існування. Запропоновано також алгоритм для визначення параметрів апроксимації
за схемою Ремеза з уточненням точок альтернанса за модифікованим алгоритмом Валле-
Пуссена.
Ключові слова: рівномірне (чебишовське) наближення з інтерполюванням,
точки чебишовського альтернанса, схема Ремеза.
Вступ. Розглянемо задачу найкращого рівномірного (чебишовського) наближення
функції многочленом із точним відтворенням її значень і значень її похідних
у заданих точках. Рівномірна апроксимація функцій із відтворенням значень її
похідних розглядалась у працях [1-4]. Зокрема, у роботах [3, 4] наведено алго-
ритм та описано програми для знаходження параметрів рівномірного наближення
функції з точним відтворенням її значень і значень її похідних, який зводиться до
розв’язування послідовності задач лінійного програмування. Для побудови ефек-
тивного алгоритму визначення параметрів найкращого рівномірного наближення
функції многочленом із точним відтворенням значень функції та її похідних у
заданих точках необхідно встановити умови існування такого наближення та його
характеристичну властивість. Властивості такої рівномірної апроксимації відмінні
від властивостей класичного найкращого рівномірного наближення многочленом [5].
У монографіях [6-8] досліджено існування й отримано характеристичну власти-
вість найкращого рівномірного наближення функцій многочленом з інтерполюван-
ням, а умови існування й характеристична властивість найкращого рівномірного
наближення функції многочленом із точним відтворенням її значень та значень її
похідної в заданих точках — у [9]. Метою даної роботи є узагальнення цих
результатів щодо точного відтворення в заданих точках значень функції та
значень її похідних до певного порядку. Встановлено необхідні та достатні умови
існування такого найкращого рівномірного наближення функції многочленом, а
також запропоновано алгоритм для визначення параметрів цієї апроксимації за
схемою Ремеза.
УДК 519.65
119
Петро Малачівський
Рівномірне наближення з точним відтворенням значень функції та її похідних у заданих точках
120
1. Постановка задачі
Нехай в (n + k) різних точках x відрізка [α, β] відомі значення деякої неперервно
диференційовної до r-го порядку на відрізку [α, β] функції f (x) ( f (x)∈C(r)[α, β] )
{ }1 11 1 1 1: ... ... ...
k kk k j j j k j nX x X x x u x x u x x+ += ∈ α ≤ < < < < < < < < < < ≤ β , (1)
де 1 ≤ j1 < j2 < ... < jk ≤ n – 1. У точках ui ( )1,i k= функція f (x) та її похідні ( )( )xf ir
до ri-го порядку набувають таких значень
( ) 0,ii vuf = , ( )( ) jii
j vuf ,= , irj ,1= , ki ,1= . (2)
Нехай вагова функція w(x) є неперервною та відмінною від нуля на відрізку
[α, β]: w(x) ≠ 0, x∈[α, β]. Функцію f (x) необхідно наблизити многочленом
( ) ∑
=
=
m
i
i
im xaxaP
0
; (3)
степеня
+≥ ∑
=
k
i
irkmm
1
так, щоб у точках ui ( )ki ,1= точно відтворювалися
значення функції f (x) і її похідних ( )( )xf ir до r-го порядку включно, тобто
( ) ( )( ) jii
j
miim vuaPvuaP ,0, ;,; == , irj ,1= , ki ,1= , (4)
а найбільша похибка з ваговою функцією w(x)
( ) ( )max ;
k
i
x X
a a x
∈
∆ = ∆ , (5)
де
( ) ( ) ( ) ( ); ;ma x f x P a x w x∆ = − , (6)
була найменшою з можливих на множині точок Xk.
До знаходження такого наближення з інтерполяційними умовами зводиться,
зокрема, розв’язування задач апроксимації розв’язків диференціальних рівнянь [9].
Нехай простір Rm + 1 коефіцієнтів многочлена (3) — це (m + 1)-вимірний прос-
тір дійсних чисел. Клас многочленів, що задовольняють умовам (4), характеризується
деякою множиною параметрів { } 0
m
i i
A a
=
= ( )1+∈ mRA , для яких виконуються рівності
∑
=
=
m
i
j
i
ji vua
0
0, ,
( ) ,
!
!
m
i l
i j j l
i l
i a x v
i l
−
=
=
−∑ , jrl ,1= , kj ,1= . (7)
Якщо існує точка a∗ ∈ A, у якій досягається точна нижня межа найбільшої зва-
женої похибки апроксимації (5)
( ) ( )inf
A
a a∗∆ = ∆ , (8)
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 5, 119-126
121
то многочлен Pm( a∗ ; x) на множині точок (1) є многочленом рівномірного (чеби-
шовського) наближення функції f (x) із найменшою зваженою похибкою, який
у точках uj ( )kj ,1= точно відтворює значення функції та її похідних.
2. Властивості рівномірного наближення многочленом
із точним відтворенням значень функції та її похідних у заданих точках
Властивості рівномірного наближення функцій многочленом із найменшою зва-
женою похибкою й точним відтворенням значень функції та її похідних у зада-
них точках встановлює така теорема.
Теорема. Нехай неперервна та диференційовна до r-го порядку
=
≤≤
i
ki
rr
1
max
функція f (x) ( f (x)∈C(r)[α, β] ) задана на множині точок (1), функція w(x) непе-
рервна та відмінна від нуля на відрізку [α, β] (w(x) ≠ 0, x ∈ [α, β] ), а Pm(a; x) —
поліном степеня m, де ∑
=
+≥
k
i
irkm
1
і 2
1
+−−≥ ∑
=
k
i
irkmn . Тоді існує і до того ж
єдине найкраще рівномірне наближення функції f (x) поліномом Pm(a; x) на
множині точок Xk з ваговою функцією w(x) і точним відтворенням у точках ui
( )ki ,1= значень функції та її похідних ( )( )i
r uf i до ri-го порядку включно.
Для того, щоб многочлен Pm(a*; x) був найкращим рівномірним наближен-
ням функції f (x) на множині точок Xk із ваговою функцією w(x) і точним відтворен-
ням її значення та значень її похідних ( )( )i
r uf i до ri-го порядку в точках ui ( )ki ,1=
необхідно та достатньо, щоб для точок ui ( )ki ,1= та деяких відмінних від них p
+−−= ∑
=
2
1
k
i
irkmp точок zj ( )1,j p= із множини Xk ( , , 1, ,j k j iz X z u i k∈ ≠ =
)1,j p= , упорядкованих за зростанням
1 2 ... pz z zα ≤ < < < ≤ β , (9)
виконувалися рівності
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
,0
,
1
; ,
; , 1, , 1, ,
; 1 , 1, ,
k
j l jj
m i i i
j j
m i i j i i
l r z u
l m l l
P a u v f u
P a u v f u j r i k
f z P a z w z l p=
∗
∗
+ + Θ −
= ≡
= ≡ = =
∑ − = − µ = (10
де
( ) ( ) ( )*
1
max ;i m i ii n
f x P a x w x
≤ ≤
µ = − , (11)
Петро Малачівський
Рівномірне наближення з точним відтворенням значень функції та її похідних у заданих точках
122
Θ(x) — функція Гевісайда
( )
0, якщо 0,
1, якщо 0,
x
x
x
<
Θ = ≥
(12)
а ( )( )xaP j
m ; — j-а похідна від полінома, яка визначається за формулою
( )( ) ( )∑
=
−
−
=
m
ki
ji
i
j
m xa
ji
ixaP
!
!; .
Доведення. Справедливість цієї теореми у випадку ri = 1 ( )ki ,1= встанов-
лено у роботі [8]. Пересвідчимось у правильності тверджень теореми у разі най-
кращого зваженого рівномірного наближення функції f (x) поліномом Pm(a; x) на
множині точок Xk із точним відтворенням значення функції та значення її
перших двох похідних (r1 = 2) лише в одній точці u1, тобто для k = 1.
Нехай у деяких двох точках u11 і u12 з відрізка [α, β], відмінних від точок
множини Xk і сусідніх з точкою u1, тобто
njj xxuuuxxx <<<<<<<<< + ...... 11111221 11
, (13)
функція f (x) набуває відповідно значень f (u11) і f (u12), а многочлен Pm(b; x) степе-
ня m (m ≥ 3) є найкращим рівномірним наближенням функції f (x) із ваговою
функцією w(x) на множині точок (13) та інтерполюванням у трьох точках u1, u11 та
u12. Тоді, згідно з властивостями найкращого зваженого рівномірного наближен-
ня многочленом з інтерполюванням [2], таке наближення існує і до того ж єдине.
Крім того, параметри цього наближення задовольняють систему рівнянь
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11 12
1 1
11 11
12 12
; ,
; ,
; ,
; 1 , 1, 1,i i i
m
m
m
i z u z u z u
i m i i
P b u f u
P b u f u
P b u f u
f z P b z w z i m+Θ − +Θ − +Θ −
=
=
=
− = − η = − (14)
де ( )1, 1iz i m= − — точки альтернанса, впорядковані за зростанням zi < zi + 1
( )1, 2i m= − та відмінні від точок u1, u11 та u12; поліном Pm(b; x) визначається
за формулою (3); η визначається так само, як µ у формулі (11).
Оскільки значення функції f (x) і многочлена Pm(b; x) у точках u1, u11 і u12
співпадають, то за теоремою Лагранжа [11] їхні середні нахили між цими точками
однакові. Якщо точку u12 подумки наближати до точки u11, а точку u11 — до u1, то
ці середні нахили на відповідних відрізках будуть прямувати до значення похід-
ної функції f (x) і похідної многочлена Pm(b; x) відповідно в точках u11 і u1. Отже,
у разі суміщення точки u12 з точкою u11, а точки u11 — з u1 отримаємо многочлен,
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 5, 119-126
123
який окрім точного відтворення значення функції f (x) у точці u1, ще й точно
відтворює значення її першої похідної в точках u11 і u1.
Система рівнянь (14) еквівалентна такій системі
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11 12
1 1
1 11 1 11
1 11 1 11
11 12 11 12
11 12 11 12
; ,
; ;
,
; ;
,
; 1 , 1, 1,i i i
m
m m
m m
i z u z u z u
i m i i
P b u f u
P b u P b u f u f u
u u u u
P b u P b u f u f u
u u u u
f z P b z w z i m+Θ − +Θ − +Θ −
=
− − = − −
− − =
− −
− = − η = − (15)
в якій друге рівняння є різницею першого й другого рівнянь системи (14), поділе-
ною на (u1 – u11), а третє — різницею другого й третього рівнянь, поділеною на
(u11 – u12).
Оскільки за умовою теореми функція f (x) є неперервно диференційовною, то,
перейшовши до границі в системі рівнянь (15), спрямовуючи точку u11 до u1 в усіх
рівняннях цієї системи, крім третього, а точку u12 — до u11 в усіх рівняннях, окрім
перших двох, отримаємо
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11
1 1
1 1
11 11
2
; ,
; ,
; ,
; 1 1, 1.i i
m
m
m
i z u z u
i m i i
P b u f u
P b u f u
P b u f u
f z P b z w z i m+ Θ − +Θ −
=
′ ′=
′ ′=
− = − η = − (16)
Таким чином, у результаті спрямування точки u11 до u1, а u12 — до u11,
отримаємо многочлен Pm(b; x) , який є найкращим рівномірним наближенням
функції f (x) на множині (1) точок Xk з ваговою функцією w(x) і точним відтворен-
ням значення функції у точці u1 і значень її першої похідної в точках u1 та u11.
При цьому параметри такої рівномірної апроксимації задовольняють систему
рівнянь (16).
Оскільки значення похідної функції f (x) і многочлена Pm(b; x) у точках u1
та u11 співпадають, то за теоремою Лагранжа [11] їхні середні нахили між цими
точками однакові. Повторимо щодо похідної f '(x) функції і похідної ( )xbPm ;′
многочлена ті самі міркування, які ми навели щодо функції f (x) і многочлена
Pm(b; x). А саме, подумки будемо наближати точку u11 до точки u1. При цьому
середній нахил згаданих вище похідних на цьому відрізку буде прямувати
відповідно до значення другої похідної функції f (x) і другої похідної многочлена
Pm(b; x) у точці u1. Отже, у разі суміщення точки u11 з u1 отримаємо многочлен,
який, окрім точного відтворення значень функції f (x) і її першої похідної в точці u1,
точно відтворює ще й значення її другої похідної в точці u1.
Петро Малачівський
Рівномірне наближення з точним відтворенням значень функції та її похідних у заданих точках
124
Розглянемо систему рівнянь
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11
1 1
1 1
1 11 1 11
1 11 1 11
2
; ,
; ,
; ;
,
; 1 , 1, 1,i i
m
m
m m
i z u z u
i m i i
P b u f u
P b u f u
P b u P b u f u f u
u u u u
f z P b z w z i m+ Θ − +Θ −
=
′ ′=
′ ′ ′ ′− − = − −
− = − η = − (17)
яка еквівалентна системі рівнянь (16). Третє рівняння цієї системи є різницею
третього та другого рівнянь системи (16), поділеною на (u1 – u11).
Оскільки за умовою теореми друга похідна функції f (x) є неперервно дифе-
ренційовною, то, перейшовши до границі, спрямовуючи точку u11 до u1, отримаємо
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 1
1 1
1 1
3
; ,
; ,
; ,
; 1 , 1, 1.i
m
m
m
i z u
i m i i
P b u f u
P b u f u
P b u f u
f z P b z w z i m+ Θ −
=
′ ′=
′′ ′′=
− = − η = − (18)
Таким чином, у результаті граничного переходу в системі рівнянь (17), а саме,
спрямування точки u11 до u1, отримано многочлен Pm(b; x) , який є найкращим
рівномірним наближенням функції f (x) на множині точок Xk з ваговою функцією
w(x) і який до того ж точно відтворює значення функції та перших двох її похід-
них у точці u1. Відповідно до теореми про найкраще зважене рівномірне набли-
ження многочленом із інтерполюванням [2] цей поліном буде єдиним. При цьому
параметри bi ( )0,i m= цього многочлена задовольняють систему рівнянь (18),
яка співпадає з системою рівнянь (10) при r1 = 2 і k = 1.
Отже, найкраще рівномірне наближення функції f (x) многочленом Pm(a; x)
степеня m (m ≥ 3) на множині точок Xk з ваговою функцією w(x) і точним відтво-
ренням значень функції та перших двох її похідних у точці u1 існує й до того ж
єдине, а його параметри задовольняють систему рівнянь (10) при r1 = 2 і k = 1.
Відтворюючи міркування, викладені під час обґрунтування справедливості
теореми при r1 = 2 і k = 1, можна пересвідчитись у її справедливості для будь-
якого фіксованого значення r1 > 1 та k = 1. Міркуючи так само для двох і більше
заданих точок ui ( )2,i k= , можна встановити справедливість теореми й у разі
найкращого рівномірного наближення функції f (x) многочленом Pm(a; x) степеня
m
+≥ ∑
=
k
i
irkm
1
на множині точок Xk з ваговою функцією w(x) і точним відтво-
ренням значень функції та її похідних до ri порядку ( )ki ,1= в точках ui ( )ki ,1= .
При цьому, крім застосування властивості рівномірного наближення з інтерполю-
ванням у k різних точках [2], слід ще вважати, що функція f (x) додатково задана
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 5, 119-126
125
ще в ∑
=
k
j
jr
1
різних точках ui, j ( )1, , 1, ii k j r= = , відмінних від точок множини Xk і
сусідніх із відповідними точками ui. Теорему доведено.
Для знаходження точок чебишовського альтернанса zi ( 1, ,i p= p = m – k –
1
2
k
i
i
r
=
− +
∑ у разі визначення параметрів рівномірної апроксимації неперервної
функції f (x) на множині точок Xk з ваговою функцією w(x) і точним відтворенням
значень функції та її похідних до ri порядку ( )ki ,1= в точках ui ( )ki ,1= можна
використати схему Ремеза з одноточковою заміною наближення до точок
альтернанса [8]. Уточнення наближення до точок альтернанса тут має певні
особливості. Згідно з характеристичною властивістю (10) залежно від порядку
похідної ri у точках ui ( )ki ,1= спостерігаються різні варіанти чергування зміни
знаку похибки апроксимації в точках альтернанса, сусідніх із точкою ui. У випадку
непарного значення ri знаки похибки апроксимації у точках альтернанса, сусідніх
із точкою ui, чергуються, тоді як у разі парного значення ri чергування зміни
знаку похибки апроксимації в точках альтернанса, сусідніх із точкою ui, пору-
шується — знаки похибки апроксимації у цих точках альтернанса співпадають. Тоді
для організації уточнення наближення до точок альтернанса можна застосувати
модифікований алгоритм Валле-Пуссена [12]. Під час вибору початкового набли-
ження до точок альтернанса слід пам’ятати, що ui ( )ki ,1= не можуть входити
в альтернанс.
Висновки. Найкраща рівномірна апроксимація неперервно диференційовної до r-го
порядку
=
≤≤
i
ki
rr
1
max функції f (x) ( f (x)∈C(r)[α, β] ) поліномом Pm(a; x) степеня m
+≥ ∑
=
k
i
irkm
1
із ваговою функцією w(x) і точним відтворенням значень функції та
її похідних до ri порядку ( )ki ,1= у заданих точках ui ( )ki ,1= характеризується аль-
тернансною властивістю (10). Згідно цієї властивості така рівномірна апроксимація
має
+−− ∑
=
k
i
irkm
1
2 -і точки альтернанса, в яких спосіб зміни знаку похибки
апроксимації залежить від порядку похідної. Для знаходження параметрів такої
апроксимації можна використати схему Ремеза з одноточковою заміною набли-
ження до точок альтернанса за модифікованим алгоритмом Валле-Пуссена.
Рівномірна апроксимація з точним відтворенням значень функції та її по-
хідних у заданих точках може бути використана для побудови неперервних
балансних сплайн-наближень із неперервними похідними, в яких кожна з ланок є
найкращим рівномірним наближенням.
Петро Малачівський
Рівномірне наближення з точним відтворенням значень функції та її похідних у заданих точках
126
Література
[1] Лоран Ж.-П. Аппроксимация и оптимизация. — М.: Мир, 1975. — 496 с.
[2] Попов Б. А. Равномерное приближение сплайнами. — К.: Наук. думка, 1989. — 272 с.
[3] Кондратьев В. П. Совместное приближение функции одного переменного и ее про-
изводных // Программы оптимизации: приближение функций. — Свердловск: УНЦ
АН СССР. — 1975. — Вып. 6. — С. 18-31.
[4] Кондратьев В. П. Равномерная аппроксимация с ограничениями интерполяцион-
ного типа // Алгоритмы и программы приближения функций. — Свердловск: Ин-т
матем. и мех. УНЦ АН СССР. — 1981. — С. 40-69.
[5] Ремез Е. Я. Основы численных методов чебышевского приближения. — К.: Наук.
думка, 1969. — 623 с.
[6] Демьянов В. Ф., Малоземов В. Н. Введение в минимакс. — М.: Наука, 1972. — 368 с.
[7] Вопросы теории и элементы программного обеспечения минимаксных задач. Под
ред. Дем’янова В. Ф., Малоземова В. Н. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977. — 192 с.
[8] Попов Б. А., Теслер Г. С. Приближение функций для технических приложений. —
К.: Наук. думка. 1980. — 352 с.
[9] Коллатц Л., Крабс В. Теория приближений. Чебышевские приближения и их при-
ложения. — М.: Наука, 1978. — 272 с.
[10] Малачівський П. С. Рівномірне наближення з точним відтворенням значень функ-
ції та похідної в заданих точках // Доп. НАН України. — 2006. — № 9. — С. 80-85.
[11] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников. — М.: Мир,
1977. — 831 с.
[12] Малачівський П. Модифікований алгоритм Валле-Пуссена // Фізико-математичне
моделювання та інформаційні технології. — 2005. — Вип. 2. — C. 159-166.
Uniform Approximation with Exact Reproduction of Function and
its Derivatives Values in Given Points
Petro Malachivskyy
The problem of the best uniform (Chebyshev) approximation for a discrete function with exact
reproduction of its values and derivatives ones in certain given points is considered. The
properties of such uniform polynomial approximation are investigated. Necessary and sufficient
conditions of approximation existence are established as well as the Remez scheme is proposed for
determining the approximation parameters with application of modified Vallee-Poussin algorithm
Равномерное приближение с точным восстановлением
значений функции и ее производных в заданных точках
Петро Малачивский
Рассмотрена задача наилучшей равномерной (чебишевской) аппроксимации дискретной
функции с точным восстановлением ее значений и значений ее производных в заданных
точках. Исследованы свойства такой равномерной аппроксимации многочленом и установ-
лены необходимые и достаточные условия ее существования. Предложен также алгоритм
для определения параметров аппроксимации по схеме Ремеза с уточнением точек альтер-
нанса по модифицированному алгоритму Валле-Пуссена.
Отримано 11.03.07
|