Обчислення гіперсингулярних інтегралів у реалізаціях числових алгоритмів розв’язування задач математичної фізики
Ефективність методів граничних елементів значною мірою залежить від якості апроксимації границі області, інтерполюючих функцій і схем інтегрування, які застосовуються. У роботі досліджено й апробовано декілька числових методів обчислення гіперсингулярних інтегралів, які використовуються при побудові...
Gespeichert in:
Datum: | 2007 |
---|---|
Hauptverfasser: | , |
Format: | Artikel |
Sprache: | Ukrainian |
Veröffentlicht: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2007
|
Schriftenreihe: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21124 |
Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Zitieren: | Обчислення гіперсингулярних інтегралів у реалізаціях числових алгоритмів розв’язування задач математичної фізики / І. Дияк, І. Макар // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2007. — Вип. 5. — С. 98-108. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-21124 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-211242011-06-16T12:03:42Z Обчислення гіперсингулярних інтегралів у реалізаціях числових алгоритмів розв’язування задач математичної фізики Дияк, І. Макар, І. Ефективність методів граничних елементів значною мірою залежить від якості апроксимації границі області, інтерполюючих функцій і схем інтегрування, які застосовуються. У роботі досліджено й апробовано декілька числових методів обчислення гіперсингулярних інтегралів, які використовуються при побудові схем числового інтегрування за реалізації симетричного варіанта методу граничних елементів. Наведено результати числових експериментів порівняння різних методик обчислення гіперсингулярних інтегралів. The efficiency of the boundary element method depends in particular on quality of approximation of boundary of the domain, functions of approximation and quadrature schemes of integration. Several numerical schemes of evaluation of hypersingular integrals are investigated and tested. Certain schemes of numerical integration are approved in the numerical realization of the symmetric Galerkin direct boundary element method. The results of numerical experiments and comparison analysis of different evaluation techniques of integrals are given. Эффективность методов граничных элементов в значительной степени зависит от качества аппроксимации границы области, интерполирующих функций и используемых схем интегрирования. В работе исследованы и апробированы несколько численных схем вычисления гиперсингулярных интегралов, используемых при реализации симметрического варианта прямого метода граничных элементов. Приведены результаты численных экспериментов сравнения разных методик вычисления гиперсингулярных интегралов. 2007 Article Обчислення гіперсингулярних інтегралів у реалізаціях числових алгоритмів розв’язування задач математичної фізики / І. Дияк, І. Макар // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2007. — Вип. 5. — С. 98-108. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21124 519.65 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Ukrainian |
description |
Ефективність методів граничних елементів значною мірою залежить від якості апроксимації границі області, інтерполюючих функцій і схем інтегрування, які застосовуються. У роботі досліджено й апробовано декілька числових методів обчислення гіперсингулярних інтегралів, які використовуються при побудові схем числового інтегрування за реалізації симетричного варіанта методу граничних елементів. Наведено результати числових експериментів порівняння різних методик обчислення гіперсингулярних інтегралів. |
format |
Article |
author |
Дияк, І. Макар, І. |
spellingShingle |
Дияк, І. Макар, І. Обчислення гіперсингулярних інтегралів у реалізаціях числових алгоритмів розв’язування задач математичної фізики Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
author_facet |
Дияк, І. Макар, І. |
author_sort |
Дияк, І. |
title |
Обчислення гіперсингулярних інтегралів у реалізаціях числових алгоритмів розв’язування задач математичної фізики |
title_short |
Обчислення гіперсингулярних інтегралів у реалізаціях числових алгоритмів розв’язування задач математичної фізики |
title_full |
Обчислення гіперсингулярних інтегралів у реалізаціях числових алгоритмів розв’язування задач математичної фізики |
title_fullStr |
Обчислення гіперсингулярних інтегралів у реалізаціях числових алгоритмів розв’язування задач математичної фізики |
title_full_unstemmed |
Обчислення гіперсингулярних інтегралів у реалізаціях числових алгоритмів розв’язування задач математичної фізики |
title_sort |
обчислення гіперсингулярних інтегралів у реалізаціях числових алгоритмів розв’язування задач математичної фізики |
publisher |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
publishDate |
2007 |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21124 |
citation_txt |
Обчислення гіперсингулярних інтегралів у реалізаціях числових алгоритмів розв’язування задач математичної фізики / І. Дияк, І. Макар // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2007. — Вип. 5. — С. 98-108. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
series |
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
work_keys_str_mv |
AT diâkí občislennâgípersingulârnihíntegralívurealízacíâhčislovihalgoritmívrozvâzuvannâzadačmatematičnoífíziki AT makarí občislennâgípersingulârnihíntegralívurealízacíâhčislovihalgoritmívrozvâzuvannâzadačmatematičnoífíziki |
first_indexed |
2025-07-02T21:40:32Z |
last_indexed |
2025-07-02T21:40:32Z |
_version_ |
1836572928942014464 |
fulltext |
Обчислення гіперсингулярних інтегралів
у реалізаціях числових алгоритмів розв’язування
задач математичної фізики
Іван Дияк1, Ігор Макар2
1 к. ф.-м. н., доцент, Львівський національний університет імені Івана Франка, вул. Університетська, 1, Львів,
e-mail: dyyak@franko.lviv.ua
2 Львівський національний університет імені Івана Франка, вул. Університетська, 1, Львів,
e-mail: ihor.makar@gmail.com
Ефективність методів граничних елементів значною мірою залежить від якості апрокси-
мації границі області, інтерполюючих функцій і схем інтегрування, які застосовуються.
У роботі досліджено й апробовано декілька числових методів обчислення гіперсингулярних
інтегралів, які використовуються при побудові схем числового інтегрування за реалізації
симетричного варіанта методу граничних елементів. Наведено результати числових експе-
риментів порівняння різних методик обчислення гіперсингулярних інтегралів.
Ключові слова: гіперсингулярний інтеграл, числові методи, головне зна-
чення за Коші, скінченна частина за Адамаром.
Вступ. Граничні інтегральні рівняння є ефективним методом дослідження широ-
кого кола задач математичної фізики. Використання граничних гіперсингулярних
інтегральних рівнянь під час розв’язування крайових задач теорії пружності та
механіки руйнування забезпечує отримання більш точних результатів у зонах
концентрації напружень. Однак, означення та способи обчислення (аналітичні
або числові) гіперсингулярних інтегралів і досі є складною й актуальною проб-
лемою сучасних наукових досліджень.
Розглянемо гіперсингулярний інтеграл вигляду
2
( ) ,
( )
b
a
f x dx a y b
x y
< <
−∫ . (1)
Такий інтеграл не існує ні в сенсі головного значення Коші, ні як невласний
інтеграл першого роду. Нижче наведено два найпоширеніші способи означення
гіперсингулярного інтеграла.
1. Інтеграл (1) розглядається як похідна від інтеграла, збіжного в сенсі го-
ловного значення за Коші [6],
( )2
( ) ( ). .
b b
a a
f x d f xdx PV dx
dy x yx y
=
−−
∫ ∫ ,
де P.V. — головне значення інтеграла у розумінні Коші.
УДК 519.65
98
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 5, 98-108
99
2. Інтеграл (1) трактується як скінченна частина розбіжного інтеграла
за Адамаром [5]
( ) ( )2 20
( ) ( ) 2 ( ). . lim
yb b
a a y
f x f x dx f yF P dx
x y x y
−ε
ε→+
+ε
= + −
ε − −
∫ ∫ ∫ , (2)
де F. P. — скінченна частина інтеграла. Поняття скінченної частини вперше вве-
дено Ж. Адамаром у 1923 р. [7]. У роботі [9] показано еквівалентність обох під-
ходів за умови, що функція f (t) є аналітичною на інтервалі (a, b).
У сучасній науковій літературі [2, 5, 9] зустрічаються різні означення гі-
персингулярного інтеграла, які є рівносильними. Наприклад, означення за Кут-
том [14] вимагає існування інтеграла також на кінці відрізка інтегрування, де
інтегранд має сингулярність
2 2
0
( ) ( ). . . .
( )
b yb
a y
f x f y dF P dx F P
x y
−
=
η+ η
= ≡
− η∫ ∫
'
'
2
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln ( ).
b y f y f y f y f yd f y b y
b y
− η+ − − η
≡ η− + −
−η∫
Відомо кілька способів обчислення інтеграла (1). Деякі з них аналітичні,
інші базуються на концепції скінченної частини розбіжного інтеграла та вико-
ристовують числові методи. Подамо короткий огляд найпопулярніших підходів
до вирішення цієї проблеми.
Метод дискретних особливостей уперше запропоновано у 1955 році у пра-
цях С. М. Бєлоцерковського. Шуканий клас розв’язку виділяється тут завдяки
вибору взаємного розміщення двох сіток — дискретних особливостей (вихорів) і
розрахункових вузлів [1]. Далі використовують інтерполяційні квадратурні фор-
мули Ньютона-Котеса. Інтегральні суми, якими замінюють сингулярні інтеграли,
повинні існувати у розумінні головного значення за Коші чи скінченної частини
за Адамаром. Для цього внутрішні розрахункові точки розташовують посередині
між двома точками дискретних особливостей. У монографії [1] подано матема-
тичне обґрунтування методу дискретних особливостей, а також досліджено пи-
тання стійкості цього методу.
Авторами роботи [6] запропоновано квадратури, які базуються на визна-
ченні гіперсингулярного інтеграла, як похідної від інтеграла, збіжного в сенсі го-
ловного значення за Коші, та використанні відомої формули Гауса для сингулярних
інтегралів [6]. Одним із недоліків цього підходу є необхідність обчислення похідної
від підінтегральної функції, що є проблемним у разі складного її аналітичного виразу.
Відомі способи наближення гіперсингулярних інтегралів шляхом побудови
деякого конформного відображення інтегранда на дійсну вісь і наступного інтег-
рування «звичайними» квадратурами [2, 10]. Ці квадратурні формули характери-
зуються експоненційною швидкістю збіжності інтегральних сум. Однак, якщо
Іван Дияк, Ігор Макар
Обчислення гіперсингулярних інтегралів у реалізаціях числових алгоритмів ...
100
підінтегральна функція має особливість високого порядку, то такі формули вима-
гатимуть великої кількості вузлів інтегрування для забезпечення високої точності.
У роботі [4] для обчислення гіперсингулярних інтегралів запропоновано
ефективні схеми, які поєднують використання низки числових і аналітичних ме-
тодів. Цей підхід характеризується високою точністю, універсальністю, може за-
стосовуватися для розв’язування слабосингулярних, сингулярних та гіперсингу-
лярних інтегральних рівнянь, як методом колокацій, так і Бубнова-Гальоркіна. Ці
схеми є придатними для побудови p- та hp-адаптивних версій методу граничних
елементів.
У цьому дослідженні описано й апробовано квадратурні формули, які ви-
користовуються при побудові схем числового інтегрування за реалізації симет-
ричного варіанта методу граничних елементів [4]. Наведено результати обчис-
лення гіперсингулярних інтегралів за використання різних методик інтегрування.
1. Методи обчислення інтегралів із особливостями
1.1. Обчислення гіперсингулярних інтегралів за формулами множення (Pro-
duct Rules) [4]. Під час розв’язування сингулярних інтегральних рівнянь виникає
необхідність обчислення інтегралів вигляду
( ) ( ) ( , )
b
a
w x f x K y x dx∫ , (3)
де функція f (x) задовольняє певним вимогам щодо гладкості. Основна ідея ме-
тоду інтегрування за формулами множення полягає в аналітичному інтегруванні
сингулярності, яка зосереджена в ядрі K(y, x). Нехай {πν} (ν = 0, 1, ...) — множина
ортогональних поліномів на інтервалі (a, b) з ваговою функцією w(x). Позначимо
через λν та τν ( 1,nν= ) вагові коефіцієнти та вузли класичної формули Гауса n-го
порядку. Інтерполяційний поліном Лагранжа для функції f (x), побудований на
нулях полінома πn(x), має вигляд
1
( ; ) ( ) ( )
n
nL f x f l xν ν
ν=
= τ∑ ,
де ( ) '( ) ( ) , 1,n nl x x nν ν ν = π − τ π τ ν = . Розклавши його в ряд за ортогональ-
ними поліномами {πν}, одержимо
1
0
( ; ) ( )
n
nL f x a x
−
ν ν
ν=
= π∑ ,
де [ ]2
1 ( ; ),na L fν ν
ν
= ⋅ π =
π 2
1 ( ) ( ; ) ( ) , 0, 1
b
n
a
w x L f x x dx nν
ν
π ν = −
π
∫ .
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 5, 98-108
101
Для обчислення інтеграла в останньому виразі можемо застосувати формулу Гау-
са, оскільки степінь Ln(f, x)πν(x) не більший від 2n – 2. Враховуючи також, що
( ; ) ( )n k kL f fτ = τ для всіх nk ,1= одержимо 2
1 ( ) ( )n
k k kka f−
ν ν ν=
= π λ τ π τ∑ .
Тепер формула множення отримується шляхом заміни функції f(x) її інтер-
поляційним поліномом Ln(f; x) в інтегралі (3)
( ) ( ) ( , ) ( ; ) ( ; )
b
PR
n n
a
w x f x K y x dx Q f y R f y= +∫ ,
де ( );PR
nR f y — залишок квадратурної формули множення, ( ; ) ( )
b
n a
Q f x w x= ×∫
( ; ) ( , )nL f y K y x dx× 1 1
0 0( ) ( ) ( , ) ( )
bn n
a
a w x x K y x dx a b y− −
ν ν ν νν= ν=
= π =∑ ∑∫ . Величини
( ) ( ) ( ) ( , )
b
a
b y w x x K y x dxν ν= π∫ часто називають модифікованими моментами ядра
K(y, x).
Розглянемо докладніше спосіб побудови формул множення з використанням
множини поліномів Лежандра {Pi(x)}, які є ортогональними на інтервалі (– 1, 1)
із ваговою функцією w(x) = 1. Тоді
1
11
( , ) ( ) ( ) ( ) ( , )
n
PR
k k n
k
K y x f x dx w y f x R f y
=−
= +∑∫ . (4)
Зауважимо, що формула (4) є точною, якщо f (x) є поліномом степеня, мен-
шого від n. Для обчислення вагових функцій wk маємо [4]
1
0
1( ) (2 1) ( ) ( )
2
n
k k i i k
i
w y i y P x
−
=
= λ + µ∑ , (5)
де {λk, xk} — вагові коефіцієнти (числа Крістофеля) та вузли формули Гауса-Ле-
жандра порядку n
1
11
( ) ( )n
k kkf x dx f x
=−
≈ λ∑∫ ; Pi(x) — поліном Лежандра степеня i;
µi(y) — модифіковані моменти ядра K(y, x)
1
1
( ) ( , ) ( )i iy K x y P x dx
−
µ = ∫ . (6)
Вирази для інтегралів (6) отримуються на основі рекурентних співвідношень
між поліномами Лежандра. Наведемо результати обчислення модифікованих мо-
ментів для деяких ядер. (Символьні перетворення виконувались у пакеті Mathe-
matica 4.2). Для поліномів Лежандра маємо [4]
0
1
(0) (0)
1 1
( ) 1,
( ) ,
( ) ( ) ( ), 1,j j j j j
P x
P x x
P x xP x P x j+ −
=
=
= α −β ≥
Іван Дияк, Ігор Макар
Обчислення гіперсингулярних інтегралів у реалізаціях числових алгоритмів ...
102
де ( ) ( )(0) 2 1 1j j jα = + + , ( )(0) 1j j jβ = + .
Якщо K(y, x) = ln | x – y | — ядро з логарифмічною особливістю, то для
обчислення модифікованих моментів пропонується така процедура
0
(1,1)
1
( ) (1 ) ln(1 ) (1 )ln(1 ) 2,
1( ) ( ), 1.
2j j
y y y y y
y Q y j
j −
µ = + + + − − −
µ = ≥
Тут (1,1)
jQ — функції Якобі другого роду
(1,1) 2
0
(1,1) (1,1)
1 0
(1,1) (1,1)(1,1)
1 2
1( ) (1 )ln 2 ,
1
8( ) 2 ( ) ,
3
1 (2 1) ( ) ( ) , 2.
( 2)j j j
yQ y y y
y
Q y yQ y
jQ j yQ y jQ y j
j j − −
− = − − +
= +
+ = + − ≥ +
Якщо ядро K(y, x) є дробово-раціональною функцією, чисельник чи
знаменник якої містить множники виду (x – ay) та 2 2( )y yx a b− + , то модифіковані
моменти обчислюються за таким алгоритмом [4].
Нехай нам відомі величини
1
1
( , ) ( )j jm K y x p x dx
−
= ∫ , (7)
які називають стартовими моментами. Тут pj(x) — ортогональні поліноми, які,
у загальному випадку, задовольняють співвідношення
0
(1) 1
1 01
1 1
( ) 1,
( ) ,
( ) ( ) ( ), 1.j j j j j
p x
p x k x k
p x x p x p x j+ −
=
= +
= α −β ≥
(8)
Наприклад, за стартові моменти (7) можна прийняти модифіковані момен-
ти ядра K(y, x) ≡ 1. Нижче подано результати для довільної множини ортогональ-
них поліномів, які задаються співвідношеннями (8). Зокрема, це може бути
множина поліномів Лежандра (при (1) (1) (0) (0)
1 01, 0, ,j j j jk k= = α = α β = β ). Знаючи
стартові моменти деякого «стартового» ядра K(y, x), обчислимо модифіковані мо-
менти ядра ( , )K y x
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 5, 98-108
103
a) ( , ) ( , )( )yK y x K y x x a= − .
b) ( , )( , ) , 1
( ) y
y
K y xK y x a
x a
= ≠ ±
−
.
c) 2 2
( , )( , ) , 0
( ) y
y y
K y xK y x b
x a b
= ≠
− +
.
Отримаємо відповідно
a)
(1)
0
0 1 0(1) (1)
1 1
1 1
1( ) ( ) ( ),
1( ) ( ) ( ) ( ), 1.
y
j
j j y j j
j j
k
m y m y a m y
k k
m y m y a m y m y j+ −
= − +
β = − + ≥ α α
b) ( ) ( )j j ym y q a= , де
1
0 1
(1)
1 1 0 01
1 1
( , )( ) ,
( ) ( ) ( ) ( ) ,
( ) ( ) ( ) ( ), 1.
−
+ −
= − = +
= α −β + α ≥
∫
j j j j j j j
K y xq z dx
x z
q z p z q z k m y
q z zq z q z m y j
c)
( )
0 1
2 2
2 0 1 0 1 0 1 1 0
, —безпосереднєінтегрування ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
( ) , 3.
= α α + − α α + +β
+
= ≥
y y y
I
j y y
j
y
m m
m y m y a m y a b m y
q a ib
m y j
b
0 1 0
0
1( ) ( ) ( )R
y yq z m y a m y= −
α
,
0 0( ) ( )I
y yq z b m y= ,
1
1 2 1 0
1 1
1( ) ( ) ( ) ( )R
y yq z m y a m y m yβ
= − +
α α
,
1 1( ) ( )I
y yq z b m y= ,
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )R R I R
j y j y j y j y j y j j y i jq z a q z b q z q z m y+ −= α −α −β + α ,
1 1( ) ( ) ( ) ( ), 1I I R I
j y j y j y j y j y j j yq z a q z b q z q z j+ −= α + α −β ≥ .
Іван Дияк, Ігор Макар
Обчислення гіперсингулярних інтегралів у реалізаціях числових алгоритмів ...
104
Зауважимо, що при z ∈ (– 1, 1) інтеграл для визначення q0(z) є збіжним у сен-
сі головного значення за Коші.
Приймаючи знайдені на цьому кроці моменти ядра ( , )K y x за стартові, мо-
жемо обчислити модифіковані моменти, утворивши ядро бажаного вигляду. Тоб-
то ( , ) : ( , ) , ( ) : ( )j jK y x K y x m y m y= = . Нове ядро ( , )K y x будуємо у вигляді a, b або c.
У роботі [4] сформульовано теорему, яка характеризує порядок збіжності
формул множення.
Теорема 1. Нехай f ∈ C p [– 1, 1] і f (p) ∈ Hµ [– 1, 1], 0 < µ ≤ 1. Тоді, якщо
( )∫− ≤
1
1
2, CdxxyK для всіх y ∈ [– 1, 1], то ( , ) ( ), [ 1,1].PR p
nR f y O n y− −µ= ∀ ∈ −
1.2. DE-формула для інтегрування функцій із слабкою особливістю [10]. DE-
формули вперше запропоновані японськими вченими H. Takahasi та M. Mori [11]
у 1974 році для числового обчислення інтегралів виду ( )
b
a
f x dx∫ . З допомогою
деякого перетворення x = ϕ(u) відрізок інтегрування відображається на дійсну
вісь R. При цьому функція f має бути аналітичною в деякій смужці вздовж R та
експоненційно прямувати до нуля при u → ± ∞, аби досягнути асимптотичного
порядку збіжності O [exp (– C N 1/2)].
У сучасній науковій літературі значна увага надається використанню
функції Віттакера для апроксимації підінтегральної функції на (– ∞, + ∞) і на-
ступного інтегрування «звичайними» квадратурами [2]. Підходи, які ґрунтуються
на такій ідеї, називають SINC-методами.
За реалізації симетричного варіанта прямого методу граничних елементів
ми використовуємо DE-формулу для обчислення зовнішнього інтеграла у по-
двійному інтегралі Гальоркіна, якщо підінтегральна функція має логарифмічну
(слабку) сингулярність на кінці відрізка інтегрування
1
0
( ) ( )
N
DE DE DE
k k N
k N
f x dx h w f x R
=−
= +∑∫ , (9)
де 1 1 tanh sinh( )
2 2
DE
kx kh π = +
, ( )
( )2
4 cosh( )
cosh 2 sinh( )
DE
k
kh
w
kh
π
=
π
[4].
Теорема 2. Якщо f (x) є аналітичною функцією на (0, 1) і має слабку сингу-
лярність на кінцях інтервалу, то ( / ln ) ,DE c N N
NR O e N− = →∞ [4].
Зазначимо, що для забезпечення точності 10–7 доцільно вибрати N = 8 та
h = 0,3 [4].
1.3. Формула типу Гауса для гіперсингулярних інтегралів 2-го порядку [6].
Враховуючи означення гіперсингулярного інтеграла, як похідної від інтеграла,
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 5, 98-108
105
збіжного в сенсі головного значення за Коші, з використанням відомого розвинен-
ня Гауса для інтеграла Коші у праці [6] запропоновано формулу
( ) 121 '
2 2 2
11
2 ( ) 1 ( )( ) 2 ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
n
k
n k
n kn k
f y y f xf x f ydx Q y
P yx y P y x y
−
=−
−
≅ − − + λ
− −
∑∫ . (10)
Тут Pn, Qn — функції Лежандра 1-го та 2-го роду відповідно, kλ та kx — вагові
коефіцієнти та вузли класичної квадратурної формули Гауса.
3. Числові приклади
Для порівняння числової ефективності описаних вище алгоритмів розглянемо
приклади обчислення гіперсингулярних інтегралів [1, 6].
Приклад 1. У статті [6] наведено результати застосування формули типу
Гауса для обчислення гіперсингулярних інтегралів (10) і методу Кутта для обчис-
лення інтегралів I1 та I2
1
2
1 2
1
( ). . ; ( ) 1 cos( ), 0
( )
f xI F P dx f x x x y
x y−
= = − =
−∫ ,
1
2 2
1
( ). . ; ( ) cos( ), 0
( )
xf xI F P dx f x e x y
x y−
= = =
−∫ .
Нижче ці значення співставлені з результатами розрахунків, проведених за фор-
мулою множення (4) із відповідним типом ядра.
Таблиця 1
n
Формула
множення (4),
( ) 1w x =
Формула
множення (4),
2( ) 1w x x= −
Формула Кутта
[6]
Формула
типу Гауса (10)
4 −3,75270 –3,87100 −3,90719 −3,90699
5 −3,89909 –3,91076 −3,90916 NA
6 −3,86527 –3,91043 −3,90997 −3,90945
7 −3,91390 –3,91090 −3,91033 NA
8 −3,93578 –3,91090 −3,91140 −3,91022
У табл. 1 n — порядок квадратурної формули Гауса. Відзначимо, що при
непарних n нуль є коренем поліномів Лежандра, що співпадає з y = 0, а тому під
час обчислень із використанням формули типу Гауса виникає переповнення
(у табл. 1 позначено NA (Not Available)) [6].
У праці [6] зазначено, що певна осциляція у значеннях інтеграла I1, обчис-
лених за формулою типу Гауса, зумовлена наявністю у функції f множника
Іван Дияк, Ігор Макар
Обчислення гіперсингулярних інтегралів у реалізаціях числових алгоритмів ...
106
21 x− . Бачимо, що формула множення з ваговою функцією w(x) = 1 також дає
деякі відхилення. У даному випадку доцільно застосувати формулу множення з ви-
користанням поліномів Чебишева другого роду sin(( 1) arccos( ))( )
sin(arccos( ))n
n xU x
x
+
= , які є
ортогональними на відрізку (– 1, 1) із ваговою функцією 21 x− . Формула для
вагових коефіцієнтів (5) матиме вигляд: 1
0
2( ) ( ) ( )n
k k i i kiw y y U x−
=
= λ µ
π ∑ , де ( )i yµ =
1 2
1
1 ( , ) ( )ix K x y U x dx
−
= −∫ , cos( ( 1))kx k n= π + , 2( 1)sin ( ( 1))k n k nλ = π + π + .
Таблиця 2 Таблиця 3
nd Метод дискретних
особливостей [1]
3 −2,13163
9 −2,11370
13 −2,11230
19 −2,11161
25 −2,11135
У табл. 3 наведено значення інтеграла I2, обчислені з використанням квад-
ратурно-різницевої формули [1], nd — кількість дискретних вихорів (особ-
ливостей)
( ) ( )
( )
( )
1 1
02 2 2
0 00 0 0
( ) ( )k k
k k
x xb nd nd
k
k ka x xj j j
f x f x dxdx dx f x
x x x x x x
+ +
= =
≈ ≈ ≈
− − −
∑ ∑∫ ∫ ∫
( )0
0 1 00
1 1 ,
nd
k
k j k jk
f x
x x x x+=
≈ −
− −
∑ (11)
де множини E = { kx , 1,k nd= } і E0 = { 0kx , 0,k nd= } утворюють канонічне роз-
биття відрізка [a, b] з кроком h. При цьому точки xi ділять відрізок [a, b] на nd + 1
частини довжиною h = (b – a)/(nd + 1), а точки x0j (вихор) є серединами відрізків
[xj, xj + 1], 0,j nd= ; x0 = a, xnd+1 = b.
Приклад 2. У роботі [1] наведено точні значення таких гіперсингулярних
інтегралів
1 2
1 2 2 2 22
1
1 1 (25 )( ) , ( 1,1)
( 25)( ) 5 26 (25 )1
yH y dx y
x x y yx−
π −
= = − ∈ −
+ − +−
∫ .
( ) ( )
5 221
2 4
2 2
1
1 5 3 12 8 , ( 1,1).
8( )
x
H dx y y y
x y−
− π
= = − − + ∈ −
−∫
n Формула
множення (4)
Формула
Кутта [6]
Формула
типу Гауса (10)
4 −2,31386 −2,11100 −2,11100
5 −2,11106 −2,11100 NA
6 −2,11124 −2,11102 −2,11100
7 −2,11098 −2,11100 NA
8 −2,11094 −2,11187 −2,11100
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 5, 98-108
107
При y = 0, H1 ≈ – 0,000492894, H2 = – 15π/8 ≈ – 5,89048622. Результати обчислень
цих інтегралів за формулою множення (4) містять таблиці 4 та 5.
Таблиця 4 Таблиця 5
Певна осциляція у значеннях інтеграла H2 зумовлена множником ( )5 221 x−
у чисельнику. Для обчислення інтеграла H1 використано формулу множення (4)
з ваговою функцією 21 1 x− , що забезпечило стійкий характер збіжності (див.
табл. 4).
Метод дискретних особливостей для даних інтегралів дозволяє досягнути
задовільної точності при дуже великій кількості вузлів. Наприклад, за викорис-
тання квадратурно-різницевої формули (11) для обчислення інтеграла H2 з
nd = 55 абсолютна похибка становить 0,0026.
Висновки. У роботі апробовано реалізацію декількох методів обчислення гіпер-
сингулярних інтегралів. Розглянуто спосіб побудови формул множення для інтег-
рування функцій із різним виглядом ядра K(y, x) і ваги w(x). Результати числових
експериментів підтверджують ефективність модифікованої числової схеми інтегру-
вання, яка запропонована в роботі [4]. Цю схему можна застосовувати для обчис-
лення гіперсингулярних інтегралів, які отримують під час розв’язування плоскої
задачі теорії пружності симетричним методом граничних елементів.
Література
[1] Белоцерковский С. М., Лифанов И. К. Численные методы в сингулярных интег-
ральных уравнениях. — М.: Наука, 1985. — 256 с.
[2] Вінтоняк Н., Хапко Р. Про використання SINC квадратур для наближеного обчис-
лення інтегралів з різними типами особливостей // Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл.
матем. та інформ. — 2006. — Вип. 11. — С. 35-42.
n H1
Абсолютна
похибка
4 −0,000483229 0,00009665
5 −0,000492846 0,00000048
6 −0,000492751 0,00000142
7 −0,000492893 0,00000000
8 −0,000492892 0,00000002
9 −0,000492894 0,00000000
10 −0,000492894 0,00000000
12 −0,000492894 0,00000000
n H2
Абсолютна
похибка
4 −3,972069585 1,91841664
5 −5,839539347 0,05094688
6 −5,715361179 0,17512505
7 −5,893146233 0,00266001
8 −5,903564857 0,01307863
9 −5,890148277 0,00033795
10 −5,887968076 0,00251815
12 −5,891395774 0,00090955
Іван Дияк, Ігор Макар
Обчислення гіперсингулярних інтегралів у реалізаціях числових алгоритмів ...
108
[3] Дияк І. І. Чисельне дослідження плоскої задачі теорії пружності методом гранич-
них елементів // Мат. методи та фіз.-мех. поля. — 1997. — Т. 40, № 3. — С. 60-63.
[4] Aimi A., Carini A., Diligenty M., Monegato G. Numerical Integration Schemes for Eva-
luation the (hyper) Singular Integrals in 2D BEM // Computational mechanics. — 1998. —
22. — P. 1-12.
[5] Diligenty M., Monegato G. Finite-part integrals: their occurrence and computation //
Rend. Circ. Mat. Palermo. Ser. II. — 1993. — 33. — P. 39-61.
[6] Hui Y., Shia D. Evaluations of Hypersingular Integrals Using Gaussian Quadrature //
IJNME. — 1999. — 44. — P. 205-214.
[7] Hadamard J. Lectures on Cauchy’s Problem in Linear Partial Differential Equations //
New Haven, Conn., Yale Univ. Press. — 1923.
[8] Gray L. J. et al. Direct Evaluation of Hypersingular Galerkin Surface Integrals // Electro-
nic Journal of Boundary Elements. — 2006. — 4, № 3. — P. 105-130.
[9] Iovane G., Lifanov I. K., Sumbatyan M. A. On direct numerical treatment of hypersingular
integral equations arising in mechanics and acoustics // Acta Mechanica. — 2003. —
162. — P. 99-110.
[10] Mori M. Discovery of the Double Exponential Transformation and Its Developments //
Publ. RIMS, Kyoto Univ. — 2005. — 41. — P. 897-935.
[11] Mori M., Sugihara M. The double-exponential transformation in numerical analysis //
J. Comput. Appl. Math. — 2001. — 127. — P. 287-296.
The Evaluation of Hypersingular Integrals
in Numerical Algorithms for Problems of Mathematical Physics
Ivan Dyyak, Ihor Makar
The efficiency of the boundary element method depends in particular on quality of approximation
of boundary of the domain, functions of approximation and quadrature schemes of integration.
Several numerical schemes of evaluation of hypersingular integrals are investigated and tested.
Certain schemes of numerical integration are approved in the numerical realization of the
symmetric Galerkin direct boundary element method. The results of numerical experiments and
comparison analysis of different evaluation techniques of integrals are given.
Вычисление гиперсингулярных интегралов в реализациях
числовых алгоритмов решения задач математической физики
Иван Дыяк, Игорь Макар
Эффективность методов граничных элементов в значительной степени зависит от ка-
чества аппроксимации границы области, интерполирующих функций и используемых схем
интегрирования. В работе исследованы и апробированы несколько численных схем вычис-
ления гиперсингулярных интегралов, используемых при реализации симметрического ва-
рианта прямого метода граничных элементов. Приведены результаты численных экспе-
риментов сравнения разных методик вычисления гиперсингулярных интегралов.
Отримано 10.11.06
|