Вплив механічних коливань на фільтрацію полярної рідини в гетеропористому шарі

У роботі запропоновано математичну модель для опису фільтрації в’язкої рідини крізь гетеропористий шар, у якому збуджується поздовжня механічна хвиля. Враховано, що контактна взаємодія рідини з твердою фазою приводить до зміни фізико-механічних властивостей рідини в приконтактній області, внаслідок...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2007
1. Verfasser: Кондрат, В.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2007
Schriftenreihe:Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21130
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Вплив механічних коливань на фільтрацію полярної рідини в гетеропористому шарі / В. Кондрат // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2007. — Вип. 5. — С. 64-74. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-21130
record_format dspace
spelling irk-123456789-211302011-06-16T12:04:09Z Вплив механічних коливань на фільтрацію полярної рідини в гетеропористому шарі Кондрат, В. У роботі запропоновано математичну модель для опису фільтрації в’язкої рідини крізь гетеропористий шар, у якому збуджується поздовжня механічна хвиля. Враховано, що контактна взаємодія рідини з твердою фазою приводить до зміни фізико-механічних властивостей рідини в приконтактній області, внаслідок чого виникає шар структурованої (зв’язаної) рідини. Вплив механічних коливань пов’язується з дією зсувних напружень на стан зв’язаної рідини. З використанням просторового та статистичного усереднення отримано узагальнений закон Дарсі, який враховує вплив механічних коливань на коефіцієнт проникності гетеропористого шару. Запропоновано також співвідношення для визначення ефективної пористості та внутрішньопорового тиску за дії механічних коливань. Отримані на основі побудованої моделі результати вивчення вібраційної зміни параметрів, які досліджуються, узгоджуються з експериментальними даними. Кількісно ці зміни можуть бути суттєвими, що вказує, зокрема, на важливість врахування зв’язаної рідини в моделях пористого середовища. In article the mathematical model is proposed that describes a viscous liquid filtration through a heteroporous layer, in which the longitudinal mechanical wave is excited. It is taken into account, that the contact interaction of a liquid with a solid phase results in change of physical and mechanical characteristics of a liquid in contact area, owing to what there is a layer of the structured (bound) liquid. The influence of mechanical vibrations is bound up with shear stresses influence on a state of a liquid. With usage of spatial and statistical averaging the generalized Darcy law which takes into account the influence of mechanical oscillations on a coefficient of transparency of heteroporous layer is obtained. The expressions for definition of effective porosity and interstitial pressure at effect of mechanical vibrations are also derived. The results of vibrational change of investigated parameters, obtained on the basis of constructed model conform well to experimental data. Quantitatively these changes can be substantial, that indicates, in particular, importance of the account of a bound liquid in models of porous medium mechanics. В работе предложена математическая модель для описания фильтрации вязкой жидкости сквозь гетеропористый слой, в котором возбуждена продольная механическая волна. Учтено, что контактное взаимодействие жидкости и твердой фазы приводит к изменению физико-механических свойств жидкости в приконтактной области и возникает слой структурированной (связанной) жидкости. Влияние механических колебаний связывается с воздействием сдвиговых напряжений на состояние связанной жидкости. С использованием пространственного и статистического осреднения получено обобщенный закон Дарси, который учитывает влияние механических колебаний на коэффициент проницаемости гетеропористого слоя. Предложены также соотношения для определения эффективной пористости и давления внутри пор при действии механических колебаний. Полученные на основании построенной модели результаты изучения вибрационного изменения исследуемых параметров согласуются с экспериментальными данными. Количественно эти изменения могут быть существенными, что указывает, в частности, на важность учета связанной жидкости в моделях пористой среды. 2007 Article Вплив механічних коливань на фільтрацію полярної рідини в гетеропористому шарі / В. Кондрат // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2007. — Вип. 5. — С. 64-74. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21130 539.3:537.8 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description У роботі запропоновано математичну модель для опису фільтрації в’язкої рідини крізь гетеропористий шар, у якому збуджується поздовжня механічна хвиля. Враховано, що контактна взаємодія рідини з твердою фазою приводить до зміни фізико-механічних властивостей рідини в приконтактній області, внаслідок чого виникає шар структурованої (зв’язаної) рідини. Вплив механічних коливань пов’язується з дією зсувних напружень на стан зв’язаної рідини. З використанням просторового та статистичного усереднення отримано узагальнений закон Дарсі, який враховує вплив механічних коливань на коефіцієнт проникності гетеропористого шару. Запропоновано також співвідношення для визначення ефективної пористості та внутрішньопорового тиску за дії механічних коливань. Отримані на основі побудованої моделі результати вивчення вібраційної зміни параметрів, які досліджуються, узгоджуються з експериментальними даними. Кількісно ці зміни можуть бути суттєвими, що вказує, зокрема, на важливість врахування зв’язаної рідини в моделях пористого середовища.
format Article
author Кондрат, В.
spellingShingle Кондрат, В.
Вплив механічних коливань на фільтрацію полярної рідини в гетеропористому шарі
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
author_facet Кондрат, В.
author_sort Кондрат, В.
title Вплив механічних коливань на фільтрацію полярної рідини в гетеропористому шарі
title_short Вплив механічних коливань на фільтрацію полярної рідини в гетеропористому шарі
title_full Вплив механічних коливань на фільтрацію полярної рідини в гетеропористому шарі
title_fullStr Вплив механічних коливань на фільтрацію полярної рідини в гетеропористому шарі
title_full_unstemmed Вплив механічних коливань на фільтрацію полярної рідини в гетеропористому шарі
title_sort вплив механічних коливань на фільтрацію полярної рідини в гетеропористому шарі
publisher Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
publishDate 2007
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21130
citation_txt Вплив механічних коливань на фільтрацію полярної рідини в гетеропористому шарі / В. Кондрат // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2007. — Вип. 5. — С. 64-74. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.
series Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
work_keys_str_mv AT kondratv vplivmehaníčnihkolivanʹnafílʹtracíûpolârnoírídinivgeteroporistomušarí
first_indexed 2025-07-02T21:40:49Z
last_indexed 2025-07-02T21:40:49Z
_version_ 1836572947206111232
fulltext Вплив механічних коливань на фільтрацію полярної рідини в гетеропористому шарі Василь Кондрат д. ф.-м. н., с. н. с., Центр математичного моделювання ІППММ ім. Я. С.Підстригача НАН України, вул. Дж. Дудаєва, 15, Львів, 79005, e-mail: kon@cmm.lviv.ua У роботі запропоновано математичну модель для опису фільтрації в’язкої рідини крізь ге- теропористий шар, у якому збуджується поздовжня механічна хвиля. Враховано, що кон- тактна взаємодія рідини з твердою фазою приводить до зміни фізико-механічних власти- востей рідини в приконтактній області, внаслідок чого виникає шар структурованої (зв’язаної) рідини. Вплив механічних коливань пов’язується з дією зсувних напружень на стан зв’язаної рідини. З використанням просторового та статистичного усереднення отримано узагальнений закон Дарсі, який враховує вплив механічних коливань на коефіцієнт проникності гетеропо- ристого шару. Запропоновано також співвідношення для визначення ефективної пористості та внутрішньопорового тиску за дії механічних коливань. Отримані на основі побудованої моделі результати вивчення вібраційної зміни параметрів, які досліджуються, узгоджу- ються з експериментальними даними. Кількісно ці зміни можуть бути суттєвими, що вка- зує, зокрема, на важливість врахування зв’язаної рідини в моделях пористого середовища. Ключові слова: гетеропористе тіло, зв’язана рідина, фільтрація, механічні ко- ливання, математичне моделювання, просторове та статистичне усереднення. Вступ. Інтенсифікацію процесу фільтрації рідини в пористих середовищах меха- нічними коливаннями необхідно враховувати при вивченні перенесення забруд- нень ґрунтовими водами, насиченні матеріалів спеціальними розчинами, зокре- ма, для потреб медицини, у практиці видобутку нафти тощо [1, 2]. Вплив механічних коливань на дифузію нейтральних частинок, який пов’я- заний із вібраційною зміною властивостей зв’язаної зі скелетом рідини, вивчався у роботі [3]. При цьому пористе середовище (шар) моделювалося сукупністю па- ралельних між собою та перпендикулярних до поверхонь шару щілин, поперечні розміри яких є випадковими величинами (модель гетеропористого шару). У за- гальному випадку приймалося, що перший шар води, який безпосередньо контак- тує з поверхнею щілини і перебуває у сильнозв’язаному (адсорбованому) стані, має товщину ∆h. У разі випадкового розподілу поперечного розміру щілин у час- тині з них рідина є лише в адсорбованому стані, на який не впливають механічні коливання, у частині — в адсорбованому та слабозв’язаному станах, а в решті реалізується загальний випадок. Коефіцієнти дифузії у шарах відрізняються на порядки (найбільший коефіцієнт дифузії у вільній або гравітаційно рухомій рідині). Механічні коливання змінюють стан слабозв’язаної рідини, що спричинює зміну коефіцієнта дифузії частинок, які знаходяться у цьому шарі. Остільки в багатьох УДК 539.3:537.8 64 ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2007, вип. 5, 64-74 65 практично цікавих випадках концентрація домішкових частинок у слабозв’язаній рідині найбільша, то це приводить до значного збільшення потоку частинок та ефективного коефіцієнта дифузії. Дослідження проводилися для стаціонарних коливань і заданої сталої концентрації на поверхнях гетеропористого шару. При цьому приймалося, що поперечні розміри щілин розподілені за нормальним зако- ном, а порова рідина є нерухомою. У цій роботі в рамках аналогічних модельних уявлень розглядається вплив поздовжніх механічних хвиль на фільтрацію полярної рідини. При цьому прий- мається до уваги, що внаслідок зв’язування (структурування) рідини в околі по- верхні скелета зменшується прохідність каналів (коефіцієнт проникності) й ефек- тивна пористість середовища. Механічні коливання за певних умов спричинюють відновлення вихідного стану рідини, що приводить до збільшення ефективної по- ристості, коефіцієнта проникності та тиску рідини в порах. 1. Фізична модель Об’єктом розгляду є пружне тверде тіло, яке містить сукупність паралельно орієн- тованих щілин, заповнених полярною рідиною (рис. 1). Поперечні розміри щілин є випадковими величинами. Полярна рідина в приконтактній із твердою фазою області внаслідок поверхневої взаємодії набуває нових властивостей і характери- зується зсувною жорсткістю, більшою густиною маси тощо [5, 6]. Таку рідину називають зв’язаною та за постійної температури вона утворює пристінкову плів- ку товщиною h. У деяких моделях [5, 6] також виділяють шар міцнозв’язаної рі- дини, товщина якого ∆h << h. Решта рідини будемо називати вільною й опису- вати моделлю ньютонівської рідини. Зв’язана рідина є структурованою [6, 7]. За певних умов, наприклад під дією механічних коливань, зв’язана рідина може деструктуруватися та набути властивостей вільної [2, 6, 7]. Такий перехід відбувається, коли максимальні зсувні напруження τ стають більшими чи дорівнюють критичному значенню τ* *τ ≥ τ . (1) z h l y x Рис. 1 Василь Кондрат Вплив механічних коливань на фільтрацію полярної рідини в гетеропористому шарі 66 Якщо напруження τ стають меншими від τ*, то знову відбувається утворення зв’язаної рідини. Експерименти [2] свідчать, що характерний час такого утворен- ня, звичайно, значно більший за характерний час руйнування. Надалі руйнування структурованого стану будемо вважати миттєвим. Відзначимо принагідно, що у роботі у відповідність реальному, як правило, неоднорідному шару зв’язаної рідини приймається однорідна модель, характеристики якої відповідають деяким усередненим характеристикам реальної зв’язаної рідини. Приймемо, що за заданих зовнішніх дій на поверхні тіла вздовж кожної зі щілин створено сталий градієнт тиску, який викликає ламінарний фільтраційний потік рідини, а також поширюється поздовжня пружна хвиля, довжина якої знач- но більша від можливого поперечного розміру каналів, який значно менший від товщини примежового шару [8, 9]. За таких умов нехтуємо рухом рідини перпен- дикулярно до поверхонь щілин [10], стінки яких гармонічно коливаються. 2. Протікання рідини в окремій щілині й умова деструктурування Щілину, у якій рухається рідина, віднесемо до декартової системи координат (x, y, z), вісь Oz якої співпадає з напрямком руху рідини, а вісь Oy перпендикулярна до її стінок. Нехай щілина займає область y ∈(– l, l), де l — її півширина (див. рис. 1). Шар зв’язаної рідини товщини h < l займає область ),(),( lhlhlly −+−−∈ ∪ . При h ≥ l зв’язана рідина займає всю область каналу. За умови ламінарності потоку рідини в щілині рівняння її руху можна запи- сати у вигляді yzt j zy j zz j z j ∂ σ∂ + ∂ σ∂ = ∂ ∂ ρ v , (2) z p f zf zz ∂ ∂       η+η+−=σ v 21 3 4 , y f zf zy ∂ ∂ η=σ v 2 ; (3) z uGK b z bb b zz ∂ ∂       +=σ 3 4 , y uG b z b b zy ∂ ∂ =σ . (4) Тут j zy j zz σσ , — компоненти тензорів напружень; p — тиск; j z j z u,v — компонен- ти векторів швидкостей і переміщень відповідно; ρj — густина; j = f для вільної рідини, яка займає область ( ) ),0(0, hlhly −+−∈ ∪ , j = b для зв’язаної рідини, яка займає область ( ) ),(,, lhlhlly −+−−∈ ∪ ; η1, η2 — коефіцієнти в’язкості віль- ної, а Kb, Gb — модулі стиску та зсуву зв’язаної рідини. Співвідношення (4) запи- сані без урахування ефектів повзучості зв’язаної рідини. Крайові умови на поверхні щілини s z b z vv = при ly ±= , (5) а на поверхні розділу структурованої та вільної рідини ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2007, вип. 5, 64-74 67 b zy f zy b z f z σ=σ= ,vv при ( )hly −±= . (6) При цьому з умови симетрії маємо, що 0=σ f zy при 0=y . (7) Тут ( ) ( )tit ss z ω= exp0vv — z-компонента вектора ( )s z s vv ,0,0= коливної швидкості стінок щілини, s 0v — амплітуда, ω — циклічна частота. Для врахування впливу механічних коливань на рух рідини умову (1) запи- шемо через критичний розмір щілини. Розглянемо окремо щілини, в яких є лише зв’язана рідина (l ≤ h), і щілини, в яких є зв’язана та вільна рідина (l > h). Подамо зсувні напруження у зв’язаній рідині сумою усередненої за періодом коливань ( )         ττ= ∫ +Tt t df T f 1 та коливної ( )fff −= ~ складових { }bfjj zy j zy j zy ,,~ =σ+σ=σ . (8) З умов рівноваги для рідини у щілині, які полягають у зрівноваженні сил тиску та сил, зумовлених зсувними напруженнями на поверхнях y = ± l, випливає, що ( ) , ,,b zy z z pl lp p z ∂ σ = = ∂ . (9) Коливний рух рідини в щілині відбувається під дією поздовжніх коливань її стінок. За прийнятої умови малості ширини щілин відносно довжини поздовж- ньої хвилі та товщини примежового шару можна знехтувати несинфазністю ко- ливань рідини та стінок щілини і записати, що ( ) s b b z zy l l t ∂ σ = ρ ∂ v при hl ≤ ; ( ) ( ) s s b f b fz z zy l l h t t ∂ ∂ σ = ρ + ρ −ρ ∂ ∂ v v при l > h. (10) Позначаючи ( )lb zy t σ=τ sup , зі співвідношень (1), (8)-(10) отримуємо умову деструктуризації зв’язаної рідини, записану відносно поперечних розмірів щілин. Подамо її у вигляді ( ) ( )2,1* =≥ nll n , (11) де ( ) bsP l *1 * τ = ( )hl ≤ , ( ) fsP Tl *2 * = ( )hl > , { }( )bfjWIWpP sj jsjszjs ,,, =ρρ=κν+= , ( ) sfb sW ρρ−ρ=∆ , Василь Кондрат Вплив механічних коливань на фільтрацію полярної рідини в гетеропористому шарі 68 IhWT sκν−τ= ∆** , cs /22 ρπ=κ , c — швидкість хвилі у твердій фазі, cI s a s vωρ= 5,0 — інтенсивність хвилі, ν — частота. 3. Усереднена швидкість протікання рідини та проникність середовища Усереднимо рівняння (2) за періодом коливань. Використовуючи визначальні співвідношення (3) та покладаючи нулю усереднену силу інерції, отримуємо 2 2 1 2 22 2 4 0 3 f f z zp z z y ∂ ∂∂  − + η + η + η = ∂ ∂ ∂  v v . (12) Враховуючи, що 0/ 22 =∂∂ zf zv та інтегруючи рівняння (12) за змінною y з вико- ристанням умов 0=f zv при hlz −= і 0= ∂ ∂ y f zv при 0=y , знайдемо ( )[ ]22 , 22 1 hlyp z f z −− η −=v для ( )hly −∈ ,0 . Усереднюючи швидкість f zv за перерізом щілини ( )1 0 l f f z zl y dy−   =     ∫v v , отрима- ємо вираз для середньої швидкості рідини у щілині ( ) z f z phl , 2 2 3η − =v для l > h. (13) Тут враховано, що усереднена за часом складова тиску не залежить від координа- ти y. При l ≤ h, тобто за відсутності вільної рідини у щілині, 0=f zv . У разі виконання умови деструктурування (11) середня швидкість води у щілині буде z f z pl , 2 2 3η =v . (14) Середня швидкість f zv залежить від ширини щілини l. Тому для визначення середньої швидкості f zv фільтрації води в середовищі проведемо усереднення ( )lf zv за розмірами щілин ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2007, вип. 5, 64-74 69 ∫ ∞ = 0 )()( dllflf z f z vv , (15) де f (l) — густина розподілу ймовірності поперечних розмірів щілин. Викорис- товуючи рівняння (13), (14), вираз (15) для середньої швидкості фільтрації ріди- ни можна записати так z f z pk , 2αη −=v , (16) де α — абсолютна пористість, k — коефіцієнт проникності середовища ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )    +         +−−θ+−θ= ∫ ∫∫ ∞h l l l h dlllfdlhllfhldlllflhk 1 * 2 * 2 * 222 * 21 *3 1 ( )( ) ( )     −θ+ ∫ ∞ h dlllflh 22 * . (17) Тут θ — функція Гевісайда. Зауважимо, що формула (17) для коефіцієнта проникності буде такою са- мою та за відсутності коливань, однак в умовах деструктурування (11) будуть відсутні складові, зумовлені коливаннями. Проведемо кількісний аналіз отриманих результатів. Густину розподілу ймовірності виберемо у вигляді ( ) ( ) )(2exp)( 22 ξθ    ζξ−ξ−=ξ Bf , (18) де ξ — середнє значення, ζ2 — дисперсія, ( ){ } 1 22 − ζξζ= FB , F(z) = ( )duu z 2exp −= ∫ ∞− . Густину скелета та швидкість поздовжньої хвилі у ньому візьмемо відпо- відно ρs = 2,5·103 кг/м3 і c = 5·103 м/с. Досліджуватимемо залежність відносного кое- фіцієнта проникності k / k0 від параметра Ig ν= , де k0 — коефіцієнт проник- ності при g = 0, для різних значень відносної товщини h пристінкового шару зв’язаної води, дисперсії ζ2 розподілу поперечних розмірів каналів, градієнта тиску. Результати обчислень наведені на рис. 2, 3. Бачимо, що віброфільтраційний ефект чутливий до відносної товщини верстви зв’язаної води (рис. 2) та дисперсії розмірів пор (рис. 3). Він збільшуєть- ся з ростом відносної товщини шару зв’язаної води (тобто, зі зменшенням серед- нього розміру каналів за незмінного h) (рис. 2) та зі зменшенням дисперсії роз- поділу каналів за розмірами (рис. 3). Кількісні дослідження показують також, що Василь Кондрат Вплив механічних коливань на фільтрацію полярної рідини в гетеропористому шарі 70 вібраційний ефект зменшується з ростом градієнта тиску. Відносне збільшення коефіцієнта проникності середовища може досягати десятків разів, що підтвер- джується експериментальними даними [2]. Коефіцієнт проникності пористого се- редовища (для прийнятих умов за відсутності резонансних ефектів) зростає як зі збільшенням частоти коливань, так і їх інтенсивності. Ця залежність суттєво про- являється в певній області зміни параметра g, ширина якої збільшується з ростом дисперсії розмірів каналів, а розташування визначається, в основному, градієнтом тиску, критичним напруженням для зв’язаної рідини та середніми розмірами пор. Поза цією областю вплив вібрації на зміну коефіцієнта проникності є незначним. 4. Вібраційна зміна ефективної пористості При механічних коливаннях насиченого пористого середовища деструктурування шарів зв’язаної рідини приведе до збільшення об’єму вільного порового просто- ру, тобто, до зростання ефективної пористості [11]. Проведемо кількісне дослі- дження цього ефекту. Ефективний коефіцієнт пористості а [11] визначається формулою V V a p= , (19) де Vp — об’єм, який займає вільна рідина, V — об’єм тіла. Тоді коефіцієнт 0 0 * pv p Vaa a V = = (20) 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 1,5 2 2,5 3lg(g ) k /k 0 1 2 3 Рис. 2. Залежність відносного коефіцієнта проникності від параметра g при Па/м100, =zp , Па10τ 3− ∗ = , ξζ = , м10ξ 6−= , ξ= 1,0h ; ξξ ;5,0 (криві 1-3) 1 2 3 4 5 6 1,5 2 2,5 3 lg(g ) k /k 0 2 3 1 Рис. 3. Залежність відносного коефіцієнта проникності від параметра g при Па/м250, =zp , Па10τ 3− ∗ = , м10 6−=ξ , ξ8,0=h , ξ5;ξ;ξ5,0ζ = (криві 1-3) lg(g) lg(g) k/k0 k/k0 ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2007, вип. 5, 64-74 71 визначає вплив коливань на ефективну пористість середовища. Тут a, Vpν — ефективний коефіцієнт пористості й об’єм порового простору, зайнятого вільною рідиною при дії вібрації в усталеній ситуації, a a0, Vp0 — їхні значення за відсут- ності коливань. При цьому для визначення Vpν маємо ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )    +         +−−θ+−θ= ∫ ∫∫ ∞h l l l h pv ldllfdlhllfhlldllflhNLbV 1 * 2 * 2 * 2 * 1 *2 ( )( ) ( )     −θ+ ∫ ∞ h ldllflh 2 * . (21) Тут L — довжина щілини, b — розмір щілини вздовж осі Oz, N — кількість щілин в об’ємі V. За відсутності коливань Vp0 = Vpν (I = 0). Проведено кількісний аналіз параметра a/a0 залежно від параметра вібрації g для різних значень дисперсії поперечних розмірів щілин, товщини пристінко- вого шару та градієнта тиску. Функція розподілу розмірів щілин приймалась у вигляді (18). Встановлено, що ефективна пористість внаслідок вібрації може змі- нитися на десятки та навіть сотні відсотків (рис. 4). Зміни є суттєвішими для се- редовищ, у яких відношення товщини пристінкового шару до середнього розміру щілин (рис. 4а) є більшим, а розсіяння поперечних розмірів щілин навколо серед- нього значення є меншим (рис. 4б). З ростом градієнта тиску вібраційний ефект зменшується (рис. 5). Як і для коефіцієнта проникності, ріст пористості суттєво проявляється лише у певній області зміни параметра g, поза якою цим ефектом можна знехтувати. З огляду на те, що коефіцієнт проникності тісно пов’язаний з актуальною ефективною пористістю (динамічною пористістю) [11], можна було очікувати подібності у закономірностях вібраційного впливу на обидва пара- метри. 1 2 3 4 1,5 2 2,5 3 3,5 lg(g ) a /a 0 2 3 4 а 1 1 1,5 2 2,5 3 1,5 2 2,5 3 3,5 lg(g ) a /a 0 Рис. 4. Залежність ефективної пористості від параметра g при Па10τ 3− ∗ = , 6ξ 10 м−= , Па/м100, =zp , ξζ = , ξ;ξ0,8;ξ0,5;ξ0,1=h (a, криві 1-4); ξ0,5=h , ξ8;ξ5;ξ;ξ0,5ζ = (б, криві 1-4) 1 2 3 4 б a/a0 a/a0 lg(g) lg(g) Василь Кондрат Вплив механічних коливань на фільтрацію полярної рідини в гетеропористому шарі 72 5. Тиск рідини в порах при вібрації Відомо [5, 6], що густина маси ρb зв’язаної рідини, зазвичай, більша від густини ρf вільної. Перетворення зв’язаної рідини у вільну приведе до збільшення її об’єму. У поровому просторі, обмеженому твердим скелетом, це зумовить збільшення тиску. Для кількісної оцінки цього ефекту розглянемо середовище з нульовим початковим тиском порової рідини. При вібрації в початкові моменти часу об’єм вільного порового простору визначається за формулою (26), a для визначення об’єму порової рідини маємо ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 * 1 * 1 2 * *2 lb h f f hl V NLb h l f l ldl l h f l l h dR ρ = θ − + θ − − + ρ  ∫ ∫ ( ) ( ) ( )2 * b f l f l l h h dl ∞  ρ + − + +  ρ   ∫ ( )( ) ( ) ( )∫ ∞       ρ ρ +−−θ h f b dlhhllflh 2 * . (22) Відносна деформація рідини при цьому дорівнює f pv f pvf V V V VV −= − =ε 1 , а тиск p у поровій рідині визначається формулою p = Kε, де K — модуль стиску рідини. Кількісний аналіз величини ε = p / K проведено при ρf = 103 кг/м3, ρb = 1,56 · 103 кг/м3, K = 2,05 · 103 Па. Його результати подані на рис. 6. Бачимо, 1 1,2 1,4 1,6 0,5 1,5 2,5 3,5 lg(g ) a /a 0 0 0,1 0,2 0,3 1 2 3 4 lg(g ) p/K 1 2 3 4 Рис. 6. Залежність тиску порової рідини від параметра g при Па/м100, =zp , Па10τ 3− ∗ = , м10 6−=ξ , ξξ=ζξ= 5;,1,0h , (криві 1, 2) та ξξ=ζξ= 5;,8,0h (криві 3, 4) Рис. 5. Залежність ефективної пористості від параметра g при м10ξПа,10τ 63 −− ∗ == , ξ5,0=h , ξζ = , Па/м100, =zp , Па/м800 , Па/м1500 (криві 1-3) 1 2 3 a/a0 p/K lg(g) lg(g) ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2007, вип. 5, 64-74 73 що тиск у щілинах, спричинений механічними коливаннями, може досягати значної величини. Наслідком цього може бути витік рідини з тіла. Найсуттєвіший ефект можна очікувати для дрібнопористих середовищ, у яких товщина шару зв’язаної рідини співвимірна з середнім розміром пор. Висновки. Проведені в рамках моделі гетеропористого шару дослідження фільт- рації полярної рідини (води) за умови дії механічних коливань показали, що така дія, зумовлюючи перетворення зв’язаної води у вільну, може приводити до сут- тєвих змін коефіцієнта проникності середовища, його ефективної пористості та внутрішньопорового тиску. З ростом градієнта тиску вібраційний ефект зменшу- ється. Він збільшується з ростом відносної товщини шару зв’язаної води (змен- шенням середнього розміру каналів) і зі зменшенням дисперсії розподілу каналів за розмірами. Відносне збільшення ефективної пористості середовища може ста- новити сотні відсотків, а коефіцієнта проникності — десятки разів, що підтвер- джується експериментальними даними [2]. Коефіцієнт проникності пористого се- редовища, ефективна пористість і тиск порової рідини (за прийнятих умов, при відсутності резонансних ефектів) зростають зі збільшенням частоти коливань і їх інтенсивності. Залежність ця суттєво проявляється в певній області зміни пара- метра Ig ν= , ширина якої збільшується з ростом дисперсії розмірів каналів, а розташування визначається, в основному, градієнтом тиску, критичним напру- женням для зв’язаної рідини та середніми розмірами пор. Поза цією областю вібраційні зміни коефіцієнта проникності незначні. Література [1] Physical Principles of Medical Ultrasonics / Ed. Hill C. R. — Chichester: Ellis Harwood Limited Publishers, 1986. — 586 p. [2] Кузнецов О. Л., Симкин Э. М. Преобразование и взаимодействие геофизических полей в литосфере. — М.: Недра, 1990. — 269 с. [3] Kubik J., Kondrat V., Chaplia Y. Modelling of diffusive transport of chemicals in po- rous media accounting for solid matrix vibrations // Studia Geotechnika et Mechanika. — 1999. — XXI, № 3-4. — P. 21-29. [4] Фридрихсберг Д. А. Курс коллоидной химии. — Л.: Химия, 1974. — 352 с. [5] Грунтоведение; под ред. Сергеева Ю. С. — М.: Изд. МГУ, 1983. — 465 с. [6] Дерягин Б. В., Чураев Н. В., Муллер В. М. Поверхностные силы. — М.: Наука, 1985. — 398 с. [7] Овчинников П. Ф. Виброреология. — К.: Наук. думка, 1983. — 272 с. [8] Бреховских Л. М., Гончаров В. В. Введение в механику сплошных сред. — М.: На- ука, 1982. — 335с. [9] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: учебное пособие: в 10 т. Т. VI. Гидродинамика. — М.: Наука, 1986. — 736 с. [10] Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. II. Higher frequency range // J. Acoust. Soc. оf Amer., 1956. — Vol. 28, № 2. — P. 179-191. [11] Кобранова В. Н. Петрофизика. — М.: Недра, 1986. — 392 с. Василь Кондрат Вплив механічних коливань на фільтрацію полярної рідини в гетеропористому шарі 74 Influence of Mechanical Vibrations on a Polar Liquid Filtration in Heteroporous Layer Vasyl Kondrat In article the mathematical model is proposed that describes a viscous liquid filtration through a heteroporous layer, in which the longitudinal mechanical wave is excited. It is taken into acco- unt, that the contact interaction of a liquid with a solid phase results in change of physical and mechanical characteristics of a liquid in contact area, owing to what there is a layer of the struc- tured (bound) liquid. The influence of mechanical vibrations is bound up with shear stresses influ- ence on a state of a liquid. With usage of spatial and statistical averaging the generalized Darcy law which takes into account the influence of mechanical oscillations on a coefficient of transpa- rency of heteroporous layer is obtained. The expressions for definition of effective porosity and interstitial pressure at effect of mechanical vibrations are also derived. The results of vibrational change of investigated parameters, obtained on the basis of constructed model conform well to experimental data. Quantitatively these changes can be substantial, that indicates, in particular, importance of the account of a bound liquid in models of porous medium mechanics. Влияние механических колебаний на фильтрацию жидкости в гетеропористом слое Василий Кондрат В работе предложена математическая модель для описания фильтрации вязкой жидкос- ти сквозь гетеропористый слой, в котором возбуждена продольная механическая волна. Учтено, что контактное взаимодействие жидкости и твердой фазы приводит к измене- нию физико-механических свойств жидкости в приконтактной области и возникает слой структурированной (связанной) жидкости. Влияние механических колебаний связывается с воздействием сдвиговых напряжений на состояние связанной жидкости. С использованием пространственного и статистического осреднения получено обобщенный закон Дарси, ко- торый учитывает влияние механических колебаний на коэффициент проницаемости гетеро- пористого слоя. Предложены также соотношения для определения эффективной пористости и давления внутри пор при действии механических колебаний. Полученные на основании по- строенной модели результаты изучения вибрационного изменения исследуемых параметров согласуются с экспериментальными данными. Количественно эти изменения могут быть существенными, что указывает, в частности, на важность учета связанной жидкости в моделях пористой среды. Отримано 23.01.07