Використання коефіцієнтів асиметрії та ексцесу у параметричних статистичних моделях
Пропонується методика використання коефіцієнтів асиметрії й ексцесу параметричних розподілів випадкових величин у моделях фінансової економетрики й економетрики охорони здоров’я, для яких є характерними наявність «товстих хвостів» і великого значення коефіцієнта асиметрії. Візуалізація нормалізовани...
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2006
|
| Назва видання: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21137 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Використання коефіцієнтів асиметрії та ексцесу у параметричних статистичних моделях / В. Єлейко, Є. Пенцак // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 4. — С. 114-122. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-21137 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-211372011-06-16T12:05:16Z Використання коефіцієнтів асиметрії та ексцесу у параметричних статистичних моделях Єлейко, В. Пенцак, Є. Пропонується методика використання коефіцієнтів асиметрії й ексцесу параметричних розподілів випадкових величин у моделях фінансової економетрики й економетрики охорони здоров’я, для яких є характерними наявність «товстих хвостів» і великого значення коефіцієнта асиметрії. Візуалізація нормалізованих моментів третього та четвертого порядків емпіричного розподілу дозволяє адекватно вибрати параметричну сім’ю розподілів, відповідні нормалізовані моменти якої покривають їх емпіричні аналоги. На прикладах показано, що стандартні параметричні функції щільностей, які використовуються для моделювання асиметрії й ексцесу, не можуть генерувати емпіричних нормалізованих центральних моментів третього та четвертого порядків для даних витрат на лікування та прибутковості активів на українській фондовій біржі. The methodology of using skewness and kurtosis coefficients of random variables parametric distributions in financial and health care econometric models is considered. Fat tails and high skewness are regular characteristics of considered random variables. Visualization of normalized third and fourth moments of empirical distribution allows us to choose in an adequate way a parametric family of distributions for which respected normalized moments cover their empirical counterparts. Based on examples we show that standard parametric density functions used for excess skewness and kurtosis modelling are not able to generate empirical normalized central moments of order three and four using data set of health care expenses and assets returns on Ukrainian stock market. Предлагается методика использования коэффициентов асимметрии и эксцесса параметрических распределений случайных величин в моделях финансовой економетрики и економетрики здравоохранения, для которых характерно наличие «толстых хвостов» и большого значения коэффициента асимметрии. Визуализация нормализированных моментов третьего и четвертого порядков эмпирического распределения позволяет адекватно выбрать параметрическую семью распределений, соответствующие моменты которой покрывают их эмпирические аналоги. На примерах показано, что стандартные параметрические функции плотности, которые используются для моделирования асимметрии и эксцесса, не могут генерировать эмпирических нормализированных моментов третьего и четвертого порядков для данных расходов на лечение и прибыльности акций на украинской фондовой бирже. 2006 Article Використання коефіцієнтів асиметрії та ексцесу у параметричних статистичних моделях / В. Єлейко, Є. Пенцак // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 4. — С. 114-122. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21137 330.1317:519.81:65.016 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Пропонується методика використання коефіцієнтів асиметрії й ексцесу параметричних розподілів випадкових величин у моделях фінансової економетрики й економетрики охорони здоров’я, для яких є характерними наявність «товстих хвостів» і великого значення коефіцієнта асиметрії. Візуалізація нормалізованих моментів третього та четвертого порядків емпіричного розподілу дозволяє адекватно вибрати параметричну сім’ю розподілів, відповідні нормалізовані моменти якої покривають їх емпіричні аналоги. На прикладах показано, що стандартні параметричні функції щільностей, які використовуються для моделювання асиметрії й ексцесу, не можуть генерувати емпіричних нормалізованих центральних моментів третього та четвертого порядків для даних витрат на лікування та прибутковості активів на українській фондовій біржі. |
| format |
Article |
| author |
Єлейко, В. Пенцак, Є. |
| spellingShingle |
Єлейко, В. Пенцак, Є. Використання коефіцієнтів асиметрії та ексцесу у параметричних статистичних моделях Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| author_facet |
Єлейко, В. Пенцак, Є. |
| author_sort |
Єлейко, В. |
| title |
Використання коефіцієнтів асиметрії та ексцесу у параметричних статистичних моделях |
| title_short |
Використання коефіцієнтів асиметрії та ексцесу у параметричних статистичних моделях |
| title_full |
Використання коефіцієнтів асиметрії та ексцесу у параметричних статистичних моделях |
| title_fullStr |
Використання коефіцієнтів асиметрії та ексцесу у параметричних статистичних моделях |
| title_full_unstemmed |
Використання коефіцієнтів асиметрії та ексцесу у параметричних статистичних моделях |
| title_sort |
використання коефіцієнтів асиметрії та ексцесу у параметричних статистичних моделях |
| publisher |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| publishDate |
2006 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21137 |
| citation_txt |
Використання коефіцієнтів асиметрії та ексцесу у параметричних статистичних моделях / В. Єлейко, Є. Пенцак // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 4. — С. 114-122. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| series |
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| work_keys_str_mv |
AT êlejkov vikoristannâkoefícíêntívasimetríítaekscesuuparametričnihstatističnihmodelâh AT pencakê vikoristannâkoefícíêntívasimetríítaekscesuuparametričnihstatističnihmodelâh |
| first_indexed |
2025-07-02T21:41:07Z |
| last_indexed |
2025-07-02T21:41:07Z |
| _version_ |
1836572966056361984 |
| fulltext |
Використання коефіцієнтів асиметрії та ексцесу
у параметричних статистичних моделях
Василь Єлейко1, Євген Пенцак2
1 д. е. н., професор, Львівська комерційна академія, вул. Туган-Барановського, 10, Львів, 79010
2 к. ф.-м. н., Львівський інститут менеджменту, вул. Ліська, 16, Львів, 79015, e-mail: YP@fame.ch
Пропонується методика використання коефіцієнтів асиметрії й ексцесу параметричних
розподілів випадкових величин у моделях фінансової економетрики й економетрики охорони
здоров’я, для яких є характерними наявність «товстих хвостів» і великого значення коефі-
цієнта асиметрії. Візуалізація нормалізованих моментів третього та четвертого порядків
емпіричного розподілу дозволяє адекватно вибрати параметричну сім’ю розподілів, відпо-
відні нормалізовані моменти якої покривають їх емпіричні аналоги. На прикладах показано,
що стандартні параметричні функції щільностей, які використовуються для моделювання
асиметрії й ексцесу, не можуть генерувати емпіричних нормалізованих центральних мо-
ментів третього та четвертого порядків для даних витрат на лікування та прибутковос-
ті активів на українській фондовій біржі.
Ключові слова: коефіцієнт асиметрії, коефіцієнт ексцесу, ненормально
розподілена випадкова величина, функція щільності розподілу.
Вступ. Відомо, що багато залежних змінних, наприклад, витрати на лікування,
дохід, заробітна плата, прибутковість активів, володіють специфічними рисами,
які суперечать припущенню про нормальний розподіл. Зокрема, розподіл витрат
на лікування типово демонструє надмірну асиметрію (skewness) і надлишковий
ексцес (kurtosis), що навіть звичний для моделювання цього явища логнормаль-
ний розподіл не може врахувати особливостей емпіричного розподілу витрат [7].
Відомо багато статистичних та економетричних методів, які дозволяють моде-
лювати зазначені вище специфічні риси цих розподілів. Серед цих методів розріз-
няють непараметричні методи оцінювання, метод моментів і різні робастні методики,
які є стійкими до незначних трансформацій баз даних. У даній роботі зупинимося на
параметричних методах оцінки економетричних моделей, у яких збурення не є нор-
мально розподіленими. Емпіричні дослідження показують, що навіть дуже добра ап-
роксимація емпіричного розподілу в його «голові» не гарантує прийнятних властивос-
тей для відповідних прогнозів. Тому фахівці в галузі фінансової економетрики й еко-
нометрики у сфері охорони здоров’я звертають особливу увагу на здатність парамет-
ричного розподілу апроксимувати нормалізовані моменти емпіричного розподілу [2].
У роботі зроблено огляд основних розподілів, які пропонуються для моделю-
вання ненормально розподілених випадкових величин та визначено їхні теоретичні
області покриття нормалізованих моментів третього (коефіцієнт асиметрії) та
УДК 330.1317:519.81:65.016
114
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 4, 114-122
115
четвертого порядків (коефіцієнт ексцесу). Для дослідників ця інформація є важ-
ливим індикатором щодо придатності обраного розподілу для моделювання дослі-
джуваного явища. У роботі наведено приклади застосування запропонованої ме-
тодики до аналізу витрат на лікування серцево-судинних захворювань на основі
даних швейцарського госпіталю CHUV, а також аналізу даних прибутковості
компаній із найбільшою капіталізацією на фондовому ринку України (ПФТС).
Отримані результати можуть бути використані також для оцінки вартості під ри-
зиком (VaR) у ризик-менеджменті.
У роботі наведено стандартні параметричні функції щільності, які викорис-
товуються для моделювання асиметрії та «товстих хвостів» емпіричних розподі-
лів; описано проблему моментів Ґамбургера та визначено теоретичну границю
покриття коефіцієнтами асиметрії й ексцесу. Проілюстровано нормалізовані мо-
менти третього та четвертого порядків для описаних вище стандартних розподі-
лів, закономірності розподілів емпіричних коефіцієнтів ексцесу й асиметрії для
прибутковості «голубих фішок» української фондової біржі, а також витрат на лі-
кування різноманітних серцево-судинних захворювань на основі даних швейцарсь-
кого госпіталю CHUV.
1. Стандартні функції щільності, які використовуються
для моделювання асиметрії та «товстих хвостів»
Наведемо типові приклади функцій щільності, включені у стандартні статистичні
й економетричні пакети, які допускають оцінку їх параметрів методом макси-
мальної правдоподібності вбудованими у них засобами. Оскільки нас будуть ці-
кавити теоретичні області покриття розподілами нормалізованих третіх і четвер-
тих моментів, то запишемо також формули для їх обчислення. Для кількісної
оцінки відхилення від нормального розподілу дослідники використовують міри
асиметрії й ексцесу [5], що визначаються як
2/3
2
3
1 m
m
=γ , 2
2
4
2 m
m
=β
відповідно, де mi — центральний момент порядку і. Коефіцієнт γ1, відомий як
«стандартизований третій центральний момент», вказує на відхилення від симет-
рії і називається коефіцієнтом асиметрії. Коли розподіл є симетричним, то γ1 = 0.
Проте, можна отримати γ1 = 0 і тоді, коли розподіл не є цілком симетричним.
Коефіцієнт γ2 = β2 – 3 (β2 відомий як «стандартизований четвертий центральний
момент») допомагає класифікувати розподіли відносно їх поведінки у «хвостах»
і називається коефіцієнтом ексцесу.
Для повноти викладу розпочнемо з функції щільності нормального розподілу.
• Функція щільності для нормального розподілу
σ
µ−
−
σπ
=σµ 2
2
2
)(exp
2
1),;( xxfN , (1)
Василь Єлейко, Євген Пенцак
Використання коефіцієнтів асиметрії та ексцесу у параметричних статистичних моделях
116
де );( ∞−∞∈µ і );0( ∞∈σ . Для нормального розподілу γ1 = 0 і γ2 = 0.
• Функція щільності для логнормального розподілу
σ
µ−
−
σπ
=σµ 2
2
2
)(lnexp
2
1),;( x
x
xfLN , (2)
де );( ∞−∞∈µ і );0( ∞∈σ . Відомо, що для логнормального розподілу
[ ]3/22
22
1
1-)exp(
2+)3exp(-)exp(3
σ
σσ
=γ ,
[ ]22
2222
2
1–)exp(
6–)12exp(+)3exp(2–)4exp(3–)exp(6
σ
σσσσ
=γ .
• Функція щільності для гама розподілу
( ) ),;0(,exp),;(
1
∞∈=
−
xbx
b
xbaxf a
a
G (3)
де );0( ∞∈a і );0( ∞∈b . Відомо, що для гама розподілу
)(
)(2)2(3)3(
2/3
3
1 aa
aaaaa
Γ
Γ++Γ−+Γ
=γ ,
)(
)(3)(3)2(6)3(4)4(
2
242
2 aa
aaaaaaaaa
Γ
Γ−Γ−+Γ++Γ−+Γ
=γ .
• Функція щільності для розподілу Вейбула
−=
− b
b
b
W a
x
a
bxbaxf exp),;(
1
, (4)
де );0( ∞∈a і );0( ∞∈b . Відомо, що для розподілу Вейбула
[ ] 2/32
3
1
)/11()/21(
)/11(2)/11()/21(3)/31(
bb
bbbb
+Γ−+Γ
+Γ++Γ+Γ−+Γ
=γ ,
[ ] −
+Γ−+Γ
+Γ+Γ++Γ+Γ−+Γ
=γ 22
2
2
)/11()/21(
)/11()/21(12)/11()/31(4)/41(
bb
bbbbb
[ ]22
42
)/11()/21(
)/11(6)/21(3
bb
bb
+Γ−+Γ
+Γ−+Γ
− .
• Функція щільності для розподілу Стьюдента
[ ]
2/)1(2 )/1(
11
)2/(
2/)1();( +νν+νπνΓ
+νΓ
=ν
x
xfST , (5)
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 4, 114-122
117
де );0( ∞∈ν . Відомо, що для розподілу Стьюдента
01 =γ , .
4
6
2 −ν
=γ
• Функція щільності для розподілу Рейлі
),;0(,
2
exp);( 2
2
2 ∞∈
σ
−
σ
=σ xxxxfR (6)
де );0( ∞∈σ . Відомо, що для розподілу Рейлі
2/31 )4(
)3(2
π−
−ππ
=γ , 2
2
2 )4(
)83(
π−
−π
=γ .
• Функція щільності для оберненого розподілу Гауса
[ ] [ ]
),;0(,1,0;
)/ln(5,0exp
)1/(
)/ln(5,0exp
),;( ∞∈
−
= x
ax
axbf
ax
bbaxf NIG (7)
де );0( ∞∈a і );0( ∞∈b . Відомо, що для оберненого розподілу Гауса
b31 =γ , .152 b=γ
• Функція щільності для розподілу Бірнбаума-Саундерса
),;0(,1,0;//
2
//),;( ∞∈
−+
= x
b
xaaxf
bx
xaaxbaxf NBS (8)
де );0( ∞∈a і );0( ∞∈b . Відомо, що для розподілу Бірнбаума-Саундерса
32
22
1 )45(
)611(16
+
+
=γ
a
aa , .
)45(
)4193(6
22
22
2 +
+
=γ
a
aa
• Функція щільності для бета розподілу
),1;0(,)1(
),(
1),;( 11 ∈−= −− xxx
baB
baxf ba
B (9)
де );0( ∞∈a і );0( ∞∈b . Відомо, що для бета розподілу
ab
ba
ba
ab 1
)2(
)(2
1
++
++
−
=γ , .
)3)(2(
)2(2)1()12(6
223
2 ++++
+−++−−
=γ
babaab
babbbbaa
• Функція щільності для розподілу Фішера
( )[ ] 2/)(2
21
12/2/
2
1
21
21
21
11
/1)2/()2/(
)2/)(();( ν+ν
−νν
νν+
ν
ν
νΓνΓ
ν+νΓ
=ν
x
xxfF , (10)
де );0(1 ∞∈ν і );0(2 ∞∈ν . Відомо, що для розподілу Фішера
)2(
)4(8
6
22
211
2
2
21
1 −ν+νν
−ν
−ν
−ν+ν
=γ ,
Василь Єлейко, Євген Пенцак
Використання коефіцієнтів асиметрії та ексцесу у параметричних статистичних моделях
118
.3
)2)(8)(6(
165225324482012
21221
2
2
1
2
1
2
21211
3
2
2
22
2 −
−ν+ν−ν−νν
−νν+ν−νν+νν−ν+ν+ν−ν
=γ
Бачимо, що для розподілу Рейлі та нормального розподілу значення кое-
фіцієнтів асиметрії й ексцесу є сталими, а для розподілу Стьюдента значення ко-
ефіцієнта асиметрії дорівнює нулеві. Тому зупинимось лише на геометричній
ілюстрації відповідних коефіцієнтів для решти розподілів.
2. Проблема моментів
Засади характеризації можливого покриття коефіцієнтами асиметрії та ексцесу
ґрунтуються на теоретичних дослідженнях Гамбургера [2] та стосуються проб-
леми існування такої неспадної функції α для послідовності нецентральних мо-
ментів µj, Mj ,1= , що
∫
∞
∞−
α=µ )(zdz j
j .
У роботі [9] було доведено, що достатньою умовою для цього є додатня
визначеність послідовності µj, тобто
,00 ≥µ 0
21
10 ≥
µµ
µµ
, K,0
432
321
210
≥
µµµ
µµµ
µµµ
(11)
Зокрема, для проблеми чотирьох моментів з умови додатньої визначеності (11)
отримаємо таке співвідношення між коефіцієнтом асиметрії й ексцесу
12
2
1 −β<γ . (12)
А тому, для даного значення ексцесу може бути зреалізована лише обмежена об-
ласть значень коефіцієнта асиметрії [2]. Проте, область покриття для коефіцієн-
тів асиметрії й ексцесу може бути навіть значно вужчою від заданої теоретичним
обмеженням (12). Ґрунтуючись на моментах емпіричного розподілу, зокрема, на
коефіцієнтах асиметрії й ексцесу, деякі дослідники намагаються будувати ентро-
пійні щільності [4], щільності Ґрема-Чарлі [3] чи знайти наближення з допомо-
гою параметричних сімей щільностей розподілів. Не аналізуючи недоліки перших
двох способів, зосередимося на останньому підході.
3. Графічна ілюстрація коефіцієнтів асиметрії й ексцесу
для стандартних розподілів. Застосування
Наведемо графічну ілюстрацію (рис. 1) коефіцієнта асиметрії (вісь у) й ексцесу
(вісь х) для деяких параметричних сімей розподілів, які розглядалися вище.
Із рис. 2 бачимо, що розподіл Фішера є більш гнучким у плані генерування об-
ласті покриття коефіцієнтів асиметрії й ексцесу порівняно з іншими стандартни-
ми розподілами, які показані на рис. 1.
Багато залежних змінних, наприклад, витрати на лікування, дохід, заробітна
плата, прибутковість активів, не є нормально розподіленими. До того ж, часто витрати
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 4, 114-122
119
5,0
4,5
4,0
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
0,5
1,0
0,0
0 10 20 30 40 50 60
Рис. 1. Коефіцієнти ексцесу й асиметрії
для деяких параметричних розподілів
на лікування характеризуються надмірною асиметрією та «товстими хвостами».
Розлянемо дві бази даних: витрати на лікування серцево-судинної системи у швей-
царському госпіталі CHUV і прибутковість акцій на українській фондовій біржі
(ПФТС).
3.1. Витрати на лікування серцево-судинної системи у швейцарському гос-
піталі CHUV. Розглянемо емпіричні значення коефіцієнтів асиметрії й ексцесу
для різних категорій пацієнтів, які пройшли лікування серцево-судинної системи
Рис. 2. Графічна ілюстрація коефіцієнтів ексцесу та асиметрії
для розподілу Фішера, F
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Theoretical boundary
Beta distribution
Gamma distribution
Inverse Gaussian
distribution
Weibull distribution
Lognormal distribution
Loglogistic distribution
Birnbaum-saunders distributionBirnbaum-saunders distibution
Lognormal distibution
Loglogistic distibution
Weibull distibution
Inserve Gaussian
distibution
Gamma distibution
Beta distibution
Theoretical boundary
0 10 20 40 50 60 70 8030 90 100
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Theoretical boundary
Beta distribution
Gamma distribution
Inverse Gaussian
distribution
Weibull distribution
Lognormal distribution
Loglogistic distribution
Birnbaum-saunders distributionBirnbaum-saunders distibution
Lognormal distibution
Loglogistic distibution
Weibull distibution
Gamma distibution
Beta distibution
Theoretical boundary
0 10 20 40 50 60 70 8030 90 100
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Inserve Gaussian
distibution
Василь Єлейко, Євген Пенцак
Використання коефіцієнтів асиметрії та ексцесу у параметричних статистичних моделях
120
Рис. 3. Емпіричні значення коефіцієнтів ексцесу та асиметрії витрат на лікування
серцево-судинних захворювань різних категорій пацієнтів у швейцарському госпіталі CHUV
та їх теоретичні аналоги для різних параметричних сімей функцій щільності
у швейцарському госпіталі CHUV. Для графічної ілюстрації (рис. 3) співставимо
ці емпіричні характеристики розподілу витрат на лікування із фрагментами кри-
вих, які описують теоретичні значення коефіцієнтів асиметрії й ексцесу. Анало-
гічно зобразимо емпіричні значення коефіцієнтів асиметрії й ексцесу порівняно з
областю покриття відповідних значень розподілом Фішера (рис. 4).
Провівши візуальний аналіз, бачимо, що жоден із запропонованих розподі-
лів не покриває область емпіричних значень коефіцієнтів асиметрії й ексцесу для
бази даних витрат на лікування серцево-судинної системи.
3.2. Прибутковість акцій на українській фондовій біржі (ПФТС). Запишемо
результати обчислень коефіцієнтів асиметрії й ексцесу для прибутковості «голу-
бих фішок» української фондової біржі.
Таблиця 1
Коефіцієнти асиметрії й ексцесу прибутковості українських «голубих фішок»
Компанія
Центр-
енерго
Дніпро-
енерго
Захід-
енерго
Київ-
енерго
Укр-
нафта
Стірол
Укр-
телеком
Донбас-
енерго
коефіцієнт
асиметрії 0,05 – 0,51 0,06 – 0,56 – 1,21 0,51 0,10 – 0,39
коефіцієнт
ексцесу – 2,30 1,21 – 0,19 7,28 10,96 – 2,24 – 0,17 0,24
Можна показати, що жодна із запропонованих сімей функцій щільності не
покриває область отриманих коефіцієнтів асиметрії й ексцесу. Таким чином, фі-
нансове моделювання вимагає ширшого спектру параметричних сімей функцій
щільності, до яких належать різноманітні узагальнення гама розподілу, розподілів
0 10 20 30 40 50 60
0
1
2
3
4
5
6
7 7
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 4, 114-122
121
Рис. 4: Емпіричні значення коефіцієнтів ексцесу та асиметрії витрат на лікування серцево-
судинних захворювань різних категорій пацієнтів у швейцарському госпіталі CHUV
та їх теоретичні аналоги для параметричної сім’ї функцій щільності Фішера
Фішера та Стьюдента. Проте їх аналіз виходить за межі розгляду у даній роботі
та є предметом сучасних досліджень фінансової економетрики [2-4, 8], початок
яких був закладений у роботах [1, 6].
Висновки. Показано, що емпіричні значення коефіцієнтів ексцесу й асиметрії часто
не відповідають можливій теоретичній області покриття даної сім’ї функцій щіль-
ності, з допомогою якої проводяться економетричні оцінки методом найбільшої
правдоподібності. Така невідповідність призводить до втрати точності інтервальних
оцінок параметрів розподілу, що в свою чергу веде до неточних прогнозів. Тому
за додатковий критерій для оцінки адекватності моделі можна обрати здатність
заданої сім’ї функцій щільності покривати емпіричну область значень коефіцієн-
тів асиметрії й ексцесу.
На основі запропонованої методики калібрування моделі оцінювання з ви-
користанням коефіцієнтів асиметрії й ексцесу у роботі показано, що стандартні
параметричні розподіли не підходять до моделювання витрат на лікування серце-
во-судинних захворювань у швейцарському госпіталі CHUV і не адекватно опи-
сують прибутковість акцій на українській фондовій біржі (ПФТС).
Література
[1] Engle R. Auto-regressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of
United Kingdom inflation // Econometrica. — 1982. — Vol. 50. — P. 987-1007.
[2] Jondeau E., Rockinger M. Conditional volatility, skewness, and kurtosis: existence, per-
sistence, and comovements // Journal of Economic Dynamics & Control. — 2003. —
Vol. 27. — P. 1699-1737.
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7
Василь Єлейко, Євген Пенцак
Використання коефіцієнтів асиметрії та ексцесу у параметричних статистичних моделях
122
[3] Jondeau E., Rockinger M. Gram-Charlier densities // Journal of Economic Dynamics and
Control. — 2001. — Vol. 25. — P. 1457-1483.
[4] Jondeau E., Rockinger M. Entropy densities with an application to autoregressive conditional
skewness and kurtosis // Journal of Econometrics. — 2002. — Vol. 106. — P. 119-142.
[5] Kendall M., Stuart A. The Advanced Theory of Statistics. Vol. I: Distribution Theory;
Vol. II: Inference and Relationship. — Charles Griffin, 1977.
[6] Mandelbrot B. The speculation of certain speculative prices // Journal of Business. —
1963. — Vol. 35. — P. 394-419.
[7] Manning W. G., Basu A., Mullahy J. Generalized modeling approaches to risk adjustment of
skewed outcomes data // Journal of Health Economics. — 2005. — Vol. 24. — P. 465-488.
[8] Premarante G., Bera A. K. Modeling asymmetry and excess kurtosis in stock return data //
WP, University of Illinois. — 1999.
[9] Widder D. V. The Laplace Transform. — Princeton University Press, 1946.
Using Coefficients of Skewness and Kurtosis
in Parametric Statistical Models
Vasyl Yeleyko, Yevhen Pentsak
The methodology of using skewness and kurtosis coefficients of random variables parametric dist-
ributions in financial and health care econometric models is considered. Fat tails and high skew-
ness are regular characteristics of considered random variables. Visualization of normalized third
and fourth moments of empirical distribution allows us to choose in an adequate way a parametric
family of distributions for which respected normalized moments cover their empirical counter-
parts. Based on examples we show that standard parametric density functions used for excess
skewness and kurtosis modelling are not able to generate empirical normalized central moments
of order three and four using data set of health care expenses and assets returns on Ukrainian
stock market.
Использование коэффициентов асимметрии и эксцесса
в параметрических статистических моделях
Василий Елейко, Евгений Пенцак
Предлагается методика использования коэффициентов асимметрии и эксцесса парамет-
рических распределений случайных величин в моделях финансовой економетрики и еконо-
метрики здравоохранения, для которых характерно наличие «толстых хвостов» и большо-
го значения коэффициента асимметрии. Визуализация нормализированных моментов тре-
тьего и четвертого порядков эмпирического распределения позволяет адекватно выбрать
параметрическую семью распределений, соответствующие моменты которой покрывают
их эмпирические аналоги. На примерах показано, что стандартные параметрические функ-
ции плотности, которые используются для моделирования асимметрии и эксцесса, не мо-
гут генерировать эмпирических нормализированных моментов третьего и четвертого по-
рядков для данных расходов на лечение и прибыльности акций на украинской фондовой бирже.
Отримано 27.11.06
|