Рівномірне наближення функцій з інтерполюванням у заданих точках
Розглядається задача найкращої рівномірної (чебишовської) апроксимації дискретних функцій із точним відтворенням її значень у заданих точках. Досліджено властивості такої апроксимації виразами, що задовольняють умові Хаара. Встановлено необхідні й достатні умови існування рівномірної апроксимації та...
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2006
|
| Назва видання: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21296 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Рівномірне наближення функцій з інтерполюванням у заданих точках / П. Малачівський // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 4. — С. 142-150. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-21296 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-212962011-06-16T12:04:16Z Рівномірне наближення функцій з інтерполюванням у заданих точках Малачівський, П. Розглядається задача найкращої рівномірної (чебишовської) апроксимації дискретних функцій із точним відтворенням її значень у заданих точках. Досліджено властивості такої апроксимації виразами, що задовольняють умові Хаара. Встановлено необхідні й достатні умови існування рівномірної апроксимації такими виразами з інтерполюванням у заданих точках і запропоновано алгоритм визначення її параметрів на основі схеми Ремеза із застосуванням модифікованого алгоритму Валле-Пуссена. It the problem of the best uniform (Chebyshev) approximation for a discrete function with exact reproduction of its values in certain given points is considered. The properties of such approximation by expressions under Haar condition are studied. Necessary and sufficient conditions of approximation existence are established as well as the Remez scheme is proposed for determining the approximation parameters with application of modificate Vallee-Poussin algorithm. Рассматривается задача наилучшей равномерной (чебишевской) аппроксимации дискретных функций с точным восстановлением ее значений в заданных точках. Исследованы свойства такой аппроксимации выражениями, которые удовлетворяют условию Хаара. Определены необходимые и достаточные условия существования равномерной аппроксимации такими выражениями с интерполированием в заданных точках и предложен алгоритм определения ее параметров на основании схемы Ремеза с применением модифицированного алгоритма Валле-Пуссена. 2006 Article Рівномірне наближення функцій з інтерполюванням у заданих точках / П. Малачівський // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 4. — С. 142-150. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21296 518.5 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Розглядається задача найкращої рівномірної (чебишовської) апроксимації дискретних функцій із точним відтворенням її значень у заданих точках. Досліджено властивості такої апроксимації виразами, що задовольняють умові Хаара. Встановлено необхідні й достатні умови існування рівномірної апроксимації такими виразами з інтерполюванням у заданих точках і запропоновано алгоритм визначення її параметрів на основі схеми Ремеза із застосуванням модифікованого алгоритму Валле-Пуссена. |
| format |
Article |
| author |
Малачівський, П. |
| spellingShingle |
Малачівський, П. Рівномірне наближення функцій з інтерполюванням у заданих точках Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| author_facet |
Малачівський, П. |
| author_sort |
Малачівський, П. |
| title |
Рівномірне наближення функцій з інтерполюванням у заданих точках |
| title_short |
Рівномірне наближення функцій з інтерполюванням у заданих точках |
| title_full |
Рівномірне наближення функцій з інтерполюванням у заданих точках |
| title_fullStr |
Рівномірне наближення функцій з інтерполюванням у заданих точках |
| title_full_unstemmed |
Рівномірне наближення функцій з інтерполюванням у заданих точках |
| title_sort |
рівномірне наближення функцій з інтерполюванням у заданих точках |
| publisher |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| publishDate |
2006 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21296 |
| citation_txt |
Рівномірне наближення функцій з інтерполюванням у заданих точках / П. Малачівський // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 4. — С. 142-150. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| series |
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| work_keys_str_mv |
AT malačívsʹkijp rívnomírnenabližennâfunkcíjzínterpolûvannâmuzadanihtočkah |
| first_indexed |
2025-07-02T21:46:32Z |
| last_indexed |
2025-07-02T21:46:32Z |
| _version_ |
1836573306208124928 |
| fulltext |
Рівномірне наближення функцій
з інтерполюванням у заданих точках
Петро Малачівський
к. т. н., с. н. с., Центр математичного моделювання ІППММ НАН України, вул. Дж. Дудаєва, 15, Львів,
e-mail: psmal@cmm.lviv.ua
Розглядається задача найкращої рівномірної (чебишовської) апроксимації дискретних функ-
цій із точним відтворенням її значень у заданих точках. Досліджено властивості такої
апроксимації виразами, що задовольняють умові Хаара. Встановлено необхідні й достатні
умови існування рівномірної апроксимації такими виразами з інтерполюванням у заданих
точках і запропоновано алгоритм визначення її параметрів на основі схеми Ремеза із за-
стосуванням модифікованого алгоритму Валле-Пуссена.
Ключові слова: рівномірне (чебишовське) наближення, наближення з інтер-
полюванням, точки чебишовського альтернансу, схема Ремеза.
Вступ. Нехай неперервна функція f (x) (f (x) ∈ C [α, β]) задана в (n + 1)-ій різних
точках відрізка [α, β].
{ }β≤<<<<<<<≤α∈= + njj xxuxxxXxX ......: 121 , (1)
вираз Fm(a; x) з m параметрами ( )1>m задовольняє умову Хаара [1] на відрізку
[α, β] і вагова функція w(x) неперервна на [α, β] така, що не набуває нульового
значення на [α, β]. Необхідно функцію f (x) наблизити виразом Fm(a; x) так, щоб в
одній із точок множини X, позначимо її через u ( )11 −≤≤ nj , значення функції
f (x), що дорівнює v (f (u) = v), відтворювалось точно
( ) vuaFm =; (2)
і найбільша зважена похибка апроксимації
( ) ( )i
ni
xaa ;max
1
∆=∆
≤≤
, (3)
де
( ) ( ) ( )[ ] ( )xwxaFxfxa m ;; −=∆ , (4)
була найменшою можливою на множині точок X (1).
Задача знаходження такого наближення виникає, коли з технічних вимог
необхідно, щоб апроксимаційний вираз у певній точці відтворював точне значення
деякої заданої функціональної залежності. Наприклад, якщо задано результати спос-
тереження за деякою функціональною залежністю і з фізичних властивостей відоме
її точне значення лише в одній із точок спостереження, скажімо u, а в решті точок —
УДК 518.5
142
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 4, 142-150
143
із похибкою, зумовленою точністю вимірювання. Такі задачі зустрічаються, зокре-
ма, під час проектування вимірювальних приладів [2], у яких певному значенню ви-
хідного сигналу сенсора має відповідати конкретне значення вимірюваної величини,
описі передавальних характеристик систем автоматизованого керування [3] й інших
випадках [1, 4]. До визначення рівномірного наближення з інтерполюванням в
одній або двох крайніх точках, які відповідають межам ланок, зводиться також
задача побудови неперервних апроксимаційних сплайнів [4].
Нехай простір Rm коефіцієнтів виразу Fm(a; x) — це m-мірний простір дійс-
них чисел. Клас виразів Fm(a; x), що задовольняють співвідношення (2), характе-
ризується деякою множиною параметрів { }m
iiaA 1== ( )mRA∈ , для яких ця умова
справджується. Якщо існує точка Aa ∈* , для якої досягається точна нижня межа
найбільшої зваженої похибки апроксимації ∆(a)
( ) ( )aa
A
∆=∆ inf* , (5)
то вираз Fm(a*; x) на множині точок (1) є найкращим рівномірним наближенням
функції f (x) зі зваженою похибкою w(x), яке у точці u точно відтворює значення
функції — f (u) = v. Таке наближення, що задовольняє умови (2), (3), називають
рівномірним наближенням з інтерполюванням або з умовою [1].
Рівномірне наближення з інтерполюванням виразами, що задовольняють
умову Хаара, не відповідає умовам характеристичної теореми про найкраще рів-
номірне наближення. Властивості рівномірної апроксимації з інтерполюванням
вивчались у роботах [1, 5, 6]. Зокрема, у роботах [1, 4, 7] встановлені необхідні й
достатні умови існування найкращого рівномірного наближення з інтерполюван-
ням многочленом і раціональним виразом, досліджено відповідні характеристичні
властивості та запропоновано алгоритми для визначення параметрів наближення.
1. Характеристична властивість найкращого рівномірного наближення
з інтерполюванням виразом, що задовольняє умову Хаара
Властивості найкращого рівномірного наближення з інтерполюванням в одній
точці сформулюємо у вигляді теореми.
Теорема 1. Нехай неперервна функція f (x) (f (x) ∈ C [α, β]) задана в точках
множини X (1), w(x) — функція неперервна на відрізку [α, β] така, що не набуває
нульового значення на [α, β] ( ) [ ]( )βα∈≠ ,,0 xxw і вираз ( )xaFm ; з m параметрами
(m > 1) задовольняє умову Хаара [1] на відрізку [α, β]. Тоді найкраще рівномірне
наближення функції f (x) виразом Fm(a; x) на множині точок X із ваговою функ-
цією w(x) і точним відтворенням її значення v у точці u (f (u) = v) існує і до того ж
єдине. Для того, щоб вираз Fm(a*; x) був найкращим рівномірним наближенням
функції f (x) на множині точок X із ваговою функцією w(x) й інтерполюванням у
точці u необхідно й достатньо, щоб для точки u і ще деяких m відмінних від неї
точок zi ( )mi ,1= із множини X ( )mjuzXz jj ,1,, =≠∈ , упорядкованих за зрос-
танням
Петро Малачівський
Рівномірне наближення функцій з інтерполюванням у заданих точках
144
β≤<<<≤α mzzz ...21 , (6)
виконувалися рівності
( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )
=µ−=−
≡=
−Θ+ ,,1,1;
,;
*
*
mizwzaFzf
ufvuaF
uzi
iimi
m
i
(7)
де
( ) ( )[ ] ( )iimi
ni
xwxaFxf ;max *
1
−=µ
≤≤
,
а ( )xΘ — функція Хевісайда
( )
≥
<
=Θ
.0якщо,1
,0якщо,0
x
x
x (8)
Доведення. Нехай ( )xbFm ;* — найкраще рівномірне наближення функції f (x)
на множині точок X із ваговою функцією w(x) без інтерполяційної умови (2). То-
ді, відповідно до характеристичної властивості найкращого рівномірного набли-
ження [1], його параметри визначаються з системи рівнянь
( ) ( ) ( ) ( ) 1,1,1;* +=ζη−=ζ−ζ miwbFf i
i
imi , (9)
де ( )1,1 +=ζ mii — точки чебишовського альтернансу. Ці точки альтернансу
впорядковані за зростанням ( )miii ,11 =ζ<ζ + і такі, що належать множині (1), а
модуль η — похибка апроксимації.
Розглянемо найкраще рівномірне наближення виразом Fm(b; x) функції f (x)
на множині точок X із додатною ваговою функцією w(x), яка в точці u множини Х
послідовно набуває значень
( ) ...,3,2,1,1 == rruw . (10)
Параметри найкращого рівномірного наближення виразом Fm(b; x) функції f (x) з
такою ваговою функцією w(x) для кожного конкретного значення r однозначно
визначаються з відповідної системи рівнянь (9). Це є наслідком того, що вираз
Fm(b; x) на відрізку [α, β] справджує умову Хаара й у цьому разі система рівнянь (9) є
системою незалежних лінійних рівнянь, яка на множині точок X має єдиний роз-
в’язок щодо параметрів ( )mibi ,1= і похибки η.
Зі зменшенням значення вагової функції w(x) (10) у точці u зростає значи-
мість похибки апроксимації функції f (x) у цій точці порівняно з похибкою апрок-
симації в решті точок множини (1), в яких значення вагової функції w(x) дещо
більше. Тому, починаючи з деякого значення r, точка u буде точкою альтернансу
цього наближення. Окрім цієї точки u це наближення матиме ще m точок альтер-
нансу ζi ( )mi ,1= , упорядкованих за зростанням ( )1,11 −=ζ<ζ + miii . Із враху-
ванням упорядкованості цих точок альтернансу щодо точки u, параметри найкращого
рівномірного наближення виразом Fm(b; x) функції f (x) із ваговою функцією w(x) (10)
будуть визначатися з системи рівнянь
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 4, 142-150
145
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )
=η−=ζζ−ζ
η∑−
=−
−ζΘ+
ζ−Θ+
=
.,1,1;
,1;
*
1
* 1
miwbFf
r
ubFuf
ui
iimi
u
m
i
m
i
i
(11)
Оскільки система рівнянь (11) — це система незалежних лінійних рівнянь,
то її розв’язок неперервно залежить від r [8]. Переходячи в системі рівнянь (11)
до границі при r→ ∞, отримаємо
( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )
=η−=ζζ−ζ
=−
−ζΘ+ .,1,1;
,0;
*
*
miwbFf
ubFuf
ui
iimi
m
i
(12)
Вираз Fm(b*; x), параметри якого задовольняють цій системі рівнянь, апрок-
симує значення функції f (x) із ваговою функцією w(x) на множині точок X із по-
хибкою не більшою за |η| і його значення в точці u співпадає зі значенням функції
f (x) у цій точці. Отже, вираз Fm(b*; x) буде найкращою рівномірною апроксима-
цією функції f (x) із ваговою функцією w(x) на множині точок (1) й інтерполюван-
ням у точці u. Оскільки за умовою теореми вираз Fm(b; x) задовольняє умову
Хаара, то система рівнянь (12) є системою незалежних лінійних рівнянь і відпо-
відно має єдиний розв’язок щодо параметрів ( )mibi ,1* = і похибки η. Таким чи-
ном, для функції f (x) на множині точок X існує єдине найкраще рівномірне на-
ближення виразом Fm(b; x) із додатною ваговою функцією w(x) й інтерполюванням
у точці u.
Система рівнянь (12) еквівалентна системі рівнянь (7), отже для додатної
вагової функції w(x) справедливість теореми доведена.
Аналогічним чином можна довести існування єдиного найкращого рівномір-
ного наближення функції f (x) виразом Fm(b; x) на множині точок X з інтерполю-
ванням у точці u у разі від’ємної вагової функції w(x). У цьому випадку слід припус-
тити, що вагова функція w(x) у точці u із множини (1) послідовно набуває значень
( ) ...,3,2,1,1 =−= rruw . (13)
Теорему доведено.
Встановлена цією теоремою характеристична властивість найкращого рів-
номірного наближення з інтерполюванням полягає в тому, що кількість точок
альтернансу для такого наближення дорівнює кількості параметрів апроксимую-
чого виразу. До того ж, у випадку найкращого рівномірного наближення з інтер-
полюванням порушується ще й звичний для чебишовського наближення порядок
почергової зміни знаку похибки апроксимації у точках альтернансу. Для найкра-
щого рівномірного наближення з інтерполюванням властиво те, що знаки похибки
апроксимації у точках альтернансу, сусідніх із точкою інтерполювання, співпадають.
Розглянемо, наприклад, рівномірне наближення виразом із трьома параметрами
( ) xeaxaaxaQ 2103 ; ++= (14)
Петро Малачівський
Рівномірне наближення функцій з інтерполюванням у заданих точках
146
деякої неперервної функції f (x) з найменшою абсолютною похибкою й інтерпо-
люванням у точці u. Цей вираз задовольняє умову Хаара для будь-яких дійсних
значень x ( )( )∞∞−∈ ;x [9] і тому для нього справедлива теорема 1. Згідно цієї
теореми, якщо точки альтернансу рівномірного наближення виразом (14) з інтер-
полюванням у точці u розташовані в такій послідовності
321 zuzz <<< , (15)
то його коефіцієнти a0, a1 і a2 задовольняють систему рівнянь
( )
( )
( )
( )
µ−=−−−
µ−=−−−
µ=−−−
=−−−
.
0
3
2
1
23103
22102
21101
210
z
z
z
u
eazaazf
eazaazf
eazaazf
eauaauf
(16)
У цьому разі знаки похибки апроксимації в точках альтернансу z2 і z3 співпадають,
оскільки точка інтерполювання u розташована поміж цими точками альтернансу
(15). Для знаходження точок альтернансу під час найкращої рівномірної апрокси-
мації з інтерполюванням можна застосувати схему Ремеза [1] з уточненням на-
ближення до точок альтернансу за модифікованим алгоритмом Валле-Пуссена [10].
Характеристична властивість найкращого рівномірного наближення з інтер-
полюванням дещо спрощується і знак похибки апроксимації у точках альтернансу
набуває звичного знакозмінного характеру, якщо точка інтерполювання співпадає
з однією із крайніх точок відрізка, на якому шукається наближення. Наприклад,
нехай потрібно знайти найкраще рівномірне наближення функції f (x) виразом
Fm(a; x), що задовольняє умову Хаара на множині точок X з ваговою функцією
w(x) й інтерполюванням у точці u, яка співпадає з точкою α (u = α) чи β (u = β). У
цьому випадку, згідно теореми 1, параметри найкращого рівномірного набли-
ження задовольняють систему рівнянь
( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )
=µ−=−
=
,,1,1;
;
*
*
mizwzaFzf
ufuaF
i
iimi
m (17)
де ( )mizi ,1= — точки альтернансу. Точки альтернансу повинні бути упорядко-
ваними за зростанням ( )1,11 −=< + mizz ii і не співпадати відповідно з точкою α,
якщо u = α, чи β, якщо u = β. У цьому випадку для уточнення наближення до
точок альтернансу під час застосування схеми Ремеза, можна використати кла-
сичний алгоритм Валле-Пуссена [1].
Властивість, встановлену теоремою 1, можна узагальнити для найкращого
рівномірного наближення виразом, що задовольняє умову Хаара, з інтерполю-
ванням у декількох точках.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 4, 142-150
147
2. Найкраще рівномірне наближення виразом, що задовольняє умову Хаара,
з інтерполюванням у декількох точках
Нехай неперервна функція f (x) (f (x) ∈ C[α, β]) задана в (n + k) різних точках від-
різка [α, β]
{ ......: 1121 11
<<<<<<≤α∈= +jjkk xuxxxXxX
}β≤<<<<< + njkj xxux
kk
...... 1 , (18)
вираз Fm(a; x) із m параметрами ( )km > задовольняє умову Хаара на відрізку
[α, β] і вагова функція w(x) неперервна на [α, β] така, що не набуває нульового
значення на [α, β]. Необхідно функцію f (x) наблизити виразом ( )xaFm ; так, щоб
у точках ui ( ki ,1= ) її значення vi ( )( )kivuf ii ,1, == відтворювались точно
( ) iim vuaF =; , ki ,1= (19)
і найбільше значення зваженої похибки апроксимації (3) було найменшим мож-
ливим на множині точок Xk. Таке наближення називають рівномірним наближен-
ням з інтерполюванням у k точках [1].
Властивості найкращого рівномірного наближення виразом, що задоволь-
няє умову Хаара, з інтерполюванням у декількох точках сформулюємо у вигляді
теореми.
Теорема 2. Нехай неперервна функція f (x) (f (x) ∈ C[α, β]) задана в точках
множини Xk (18), w(x) — функція неперервна на відрізку [α, β] така, що не набу-
ває нульового значення на [α, β] ( ) [ ]( )βα∈≠ ,,0 xxw і вираз ( )xaFm ; з m парамет-
рами ( )km > задовольняє умову Хаара [1] на відрізку [α, β]. Тоді найкраще рів-
номірне наближення функції f (x) виразом Fm(a; x) на множині точок Xk з ваговою
функцією w(x) і точним відтворенням її значень vi ( )ki ,1= у відповідних точках
ui ( )( )kivuf ii ,1, == існує і до того ж єдине. Для того, щоб вираз Fm(a*; x) був
найкращим рівномірним наближенням функції f (x) на множині точок Xk з ваго-
вою функцією w(x) й інтерполюванням у точках ui ( )ki ,1= необхідно й достат-
ньо, щоб для точок ui ( )ki ,1= і ще деяких (m – k + 1)-ої відмінних від них точок
zi ( )1,1 +−= kmi із множини (18) ( )kikmjuzXz ijkj ,1,1,1,, =+−=≠∈ , упо-
рядкованих за зростанням
β≤<<<≤α +− 121 ... kmzzz , (20)
виконувалися рівності
( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )
( )
+−=µ−=−
==
∏
=
−Θ+
,1,1,1;
,,1,;
1
*
*
kmizwzaFzf
kivuaF
k
j
juizi
iimi
iim
(21)
Петро Малачівський
Рівномірне наближення функцій з інтерполюванням у заданих точках
148
де
( ) ( )[ ] ( )iimi
ni
xwxaFxf ;max *
1
−=µ
≤≤
,
а ( )—xΘ функція Хевісайда (8).
Доведення. Справедливість цієї теореми у випадку однієї точки інтерполю-
вання k = 1 встановлює теорема 1. Послідовно збільшуючи кількість точок ін-
терполювання, долучаючи щоразу по одній новій точці ui ( ki ,2= ), і повторюючи
для кожної з них міркування, викладені при доведенні теореми 1, можна показа-
ти її справедливість для всіх k точок інтерполювання.
Згідно цієї теореми кількість точок альтернансу найкращого рівномірного
наближення з інтерполюванням у декількох точках дорівнює m – k + 1, де m —
кількість параметрів апроксимуючого виразу, а k — кількість точок інтерполю-
вання. Крім того, подібно до найкращого рівномірного наближення з інтерполю-
ванням в одній точці, характеристична властивість наближення з інтерполюванням
у декількох точках також проявляється в дотриманні співпадіння знаків похибки
апроксимації у точках альтернансу, сусідніх із точкою інтерполювання. Це пра-
вило стосується усіх точок інтерполювання. Наприклад, розглянемо рівномірне
наближення з найменшою абсолютною похибкою деякої неперервної функції f (x)
виразом із п’ятьма параметрами
( ) xeaxaxaxaaxaQ 4
3
3
2
2105 ; ++++= (22)
й інтерполюванням у двох точках u1 і u2. Оскільки співвідношення (22) задоволь-
няє умову Хаара для будь-яких дійсних значень x ( )( )∞∞−∈ ;x [9], то для нього
справедлива теорема 2. Відповідно до цієї теореми рівномірне наближення вира-
зом (22) з найменшою абсолютною похибкою й інтерполюванням у точках u1 і u2
матиме чотири точки альтернансу zi ( )4,1=i . Нехай ці точки альтернансу розта-
шовані в такій послідовності щодо точок інтерполювання u1 і u2
432211 zzuzuz <<<<< . (23)
Згідно альтернансної властивості, встановленої теоремою 2, коефіцієнти ai ( )4,0=i
у співвідношенні (22) і значення похибки апроксимації µ задовольняють систему
рівнянь
( )
( )
( )
( )
( )
( )
µ−=−−−−−
µ=−−−−−
µ=−−−−−
µ=−−−−−
=−−−−−
=−−−−−
.
0
0
4
3
2
1
2
1
4
3
43
2
424104
4
3
33
2
323103
4
3
23
2
222102
4
3
13
2
121101
4
3
23
2
222102
4
3
13
2
121101
z
z
z
z
u
u
eazazazaazf
eazazazaazf
eazazazaazf
eazazazaazf
eauauauaauf
eauauauaauf
(24)
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 4, 142-150
149
Оскільки точки інтерполювання u1 і u2 розташовані поміж точками альтернансу
z1, z2 і z3, то знаки похибки апроксимації у цих точках альтернансу співпадають.
Характеристична властивість найкращого рівномірного наближення з інтер-
полюванням у двох точках дещо спрощується, і знак похибки апроксимації у точ-
ках альтернансу набуває звичного знакозмінного характеру, якщо точки інтерпо-
лювання співпадають із крайніми точками відрізка, на якому шукається набли-
ження. Наприклад, нехай потрібно знайти найкраще рівномірне наближення
функції f (x) виразом Fm(a; x), що задовольняє умову Хаара, на множині точок Xk
з ваговою функцією w(x) й інтерполюванням у точках u1 і u2, які співпадають від-
повідно з точками α і β (u1 = α, u2 = β). У цьому випадку, згідно теореми 2, матимемо
(m – 1)-у точку альтернансу та параметри найкращого рівномірного наближення
з абсолютною похибкою задовольнятимуть систему рівнянь
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )
−=µ−=−
=
=
,1,1,1;
;
;
*
*
*
22
11
mizwzaFzf
ufuaF
ufuaF
i
iimi
m
m
(25)
де zi ( )1,1 −= mi — точки альтернансу. Ці точки альтернансу повинні бути впо-
рядкованими за зростанням ( )2,11 −=< + mizz ii і не співпадати з точками α і β.
Висновок. Найкраща рівномірна апроксимація функцій із точним відтворенням
її значень у заданих точках виразами, що задовольняють умову Хаара, характери-
зується альтернансною властивістю (21). Згідно з цією властивістю кількість
точок альтернансу найкращого рівномірного наближення з інтерполюванням у
декількох точках дорівнює m – k + 1, де m — кількість параметрів апроксимую-
чого виразу, а k — кількість точок інтерполювання. Крім того, характеристична
властивість наближення з інтерполюванням у декількох точках проявляється ще в
дотриманні умови співпадіння знаків похибки апроксимації в точках альтер-
нансу, сусідніх із точкою інтерполювання. Для визначення параметрів такої
апроксимації можна застосувати схему Ремеза з одноточковим уточненням
наближення до точок чебишовського альтернансу за модифікованим алгоритмом
Валле-Пуссена.
Література
[1] Попов Б. А., Теслер Г. С. Приближение функций для технических приложений. —
К.: Наук. думка, 1980. — 352 с.
[2] Температурные измерения / Геращенко О. А., Гордов А. И., Еремина А. К. и др. —
К.: Наук. думка, 1989. — 704 с.
[3] Методы и устройства интерпретации экспериментальных зависимостей при иссле-
довании и контроле энергетических процессов / Верлань А. Ф., Адбусадаров Б. Б.,
Игнатенко А. А., Максимович Н. А. — К.: Наук. думка, 1993. — 208 с.
[4] Попов Б. А. Равномерное приближение сплайнами. — К.: Наук. думка, 1989. — 272 с.
Петро Малачівський
Рівномірне наближення функцій з інтерполюванням у заданих точках
150
[5] Кондратьев В. П. Равномерная аппроксимация с ограничениями интерполяцион-
ного типа // Алгоритмы и программы приближения функций. — Свердловск: Ин-т
матем. и мех. УНЦ АН СССР, 1981. — С. 40-69.
[6] Dunham C., Zhu C. Strong uniqueness of nonlinear Chebyshev approximation (with inter-
polation) // Numerical mathematics and computing, Proc. 20th Manitoba Conf., Winni-
peg / Can. 1990, Congr. Numerantium 80. P 161-169 (1991).
[7] Мельничок Л. С., Попов Б. А. Наилучшее приближение табличных функций с усло-
вием // Алгоритмы и программы для вычисления функций на ЭЦВМ. — К.: Ин-т
кибернетики, 1977. — Вып. 4. — С. 189-200.
[8] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников. — М.: Мир,
1977. — 831 с.
[9] Ремез Е. Я. Основы численных методов чебышевского приближения. — К.: Наук.
думка, 1969. — 623 с.
[10] Малачівський П. Модифікований алгоритм Валле-Пуссена // Фізико-математичне
моделювання та інформаційні технології. — 2005. — Вип. 2. — C. 159-166.
Uniform Approximation of Function
with Interpolation in the Choosed Points
Petro Malachivskyy
It the problem of the best uniform (Chebyshev) approximation for a discrete function with exact
reproduction of its values in certain given points is considered. The properties of such approxima-
tion by expressions under Haar condition are studied. Necessary and sufficient conditions of app-
roximation existence are established as well as the Remez scheme is proposed for determining the
approximation parameters with application of modificate Vallee-Poussin algorithm.
Равномерное приближение функций
с интерполированием в заданных точках
Петро Малачивский
Рассматривается задача наилучшей равномерной (чебишевской) аппроксимации дискрет-
ных функций с точным восстановлением ее значений в заданных точках. Исследованы
свойства такой аппроксимации выражениями, которые удовлетворяют условию Хаара.
Определены необходимые и достаточные условия существования равномерной аппрокси-
мации такими выражениями с интерполированием в заданных точках и предложен алгоритм
определения ее параметров на основании схемы Ремеза с применением модифицированного
алгоритма Валле-Пуссена.
Отримано 03.10.06
|