Математична модель поширення пульсової хвилі у великих кровоносних судинах
На основі рівнянь гідродинаміки та теорії пружності побудовано фізико-математичну модель для опису процесу поширення пульсових хвиль у кровоносних судинах. У рамках лінійної теорії проаналізовано основні закономірності даного процесу. Одержано аналітичні співвідношення, які пов’язують швидкість поши...
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2006
|
| Schriftenreihe: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21298 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Математична модель поширення пульсової хвилі у великих кровоносних судинах / Б. Благітко, І. Заячук, О. Пирогов // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 4. — С. 7-11. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-21298 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-212982011-06-16T12:03:54Z Математична модель поширення пульсової хвилі у великих кровоносних судинах Благітко, Б. Заячук, І. Пирогов, О. На основі рівнянь гідродинаміки та теорії пружності побудовано фізико-математичну модель для опису процесу поширення пульсових хвиль у кровоносних судинах. У рамках лінійної теорії проаналізовано основні закономірності даного процесу. Одержано аналітичні співвідношення, які пов’язують швидкість поширення плоских хвиль тиску і параметри рідини та тонкостінної оболонки у незбуреному стані. На основі отриманих результатів проаналізовано природу суттєвих розбіжностей між хвильовими процесами в еластичних судинах та абсолютно жорстких трубах. Based on the hydrodynamic and elasticity theories the physico-mathematical model for description of the process of distribution of pulse waives in the blood vascular is developed. Major conditions of such a process are reviewed in the frames of the linear theory. Analytical equations connecting the speed of distribution of flat waives of pressure and parameters of the liquid and thin-shell in non-disturbed state are presented. Based on the result received the nature of significant differences between waives processes in elastic vascular and absolutely hard vascular are analyzed. На основании уравнений гидродинамики и теории упругости построена физико-математическая модель, описывающая процесс распространения пульсовых волн в кровеносных сосудах. В рамках линейной теории рассмотрены основные закономерности данного процесса. Приведены аналитические выражения, связывающие скорость распространения плоских волн давления, параметры жидкости и тонкостенной оболочки в невозмущенном состоянии. На основании полученных результатов проведен анализ природы существенных расхождений между волновыми процессами в эластических и абсолютно жестких сосудах. 2006 Article Математична модель поширення пульсової хвилі у великих кровоносних судинах / Б. Благітко, І. Заячук, О. Пирогов // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 4. — С. 7-11. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21298 517.958:519.6 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
На основі рівнянь гідродинаміки та теорії пружності побудовано фізико-математичну модель для опису процесу поширення пульсових хвиль у кровоносних судинах. У рамках лінійної теорії проаналізовано основні закономірності даного процесу. Одержано аналітичні співвідношення, які пов’язують швидкість поширення плоских хвиль тиску і параметри рідини та тонкостінної оболонки у незбуреному стані. На основі отриманих результатів проаналізовано природу суттєвих розбіжностей між хвильовими процесами в еластичних судинах та абсолютно жорстких трубах. |
| format |
Article |
| author |
Благітко, Б. Заячук, І. Пирогов, О. |
| spellingShingle |
Благітко, Б. Заячук, І. Пирогов, О. Математична модель поширення пульсової хвилі у великих кровоносних судинах Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| author_facet |
Благітко, Б. Заячук, І. Пирогов, О. |
| author_sort |
Благітко, Б. |
| title |
Математична модель поширення пульсової хвилі у великих кровоносних судинах |
| title_short |
Математична модель поширення пульсової хвилі у великих кровоносних судинах |
| title_full |
Математична модель поширення пульсової хвилі у великих кровоносних судинах |
| title_fullStr |
Математична модель поширення пульсової хвилі у великих кровоносних судинах |
| title_full_unstemmed |
Математична модель поширення пульсової хвилі у великих кровоносних судинах |
| title_sort |
математична модель поширення пульсової хвилі у великих кровоносних судинах |
| publisher |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| publishDate |
2006 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21298 |
| citation_txt |
Математична модель поширення пульсової хвилі у великих кровоносних судинах / Б. Благітко, І. Заячук, О. Пирогов // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 4. — С. 7-11. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| work_keys_str_mv |
AT blagítkob matematičnamodelʹpoširennâpulʹsovoíhvilíuvelikihkrovonosnihsudinah AT zaâčukí matematičnamodelʹpoširennâpulʹsovoíhvilíuvelikihkrovonosnihsudinah AT pirogovo matematičnamodelʹpoširennâpulʹsovoíhvilíuvelikihkrovonosnihsudinah |
| first_indexed |
2025-07-02T21:46:36Z |
| last_indexed |
2025-07-02T21:46:36Z |
| _version_ |
1836573311252824064 |
| fulltext |
Математична модель поширення пульсової хвилі
у великих кровоносних судинах
Богдан Благітко1, Ігор Заячук2, Олександр Пирогов3
1 к. т. н., доцент, Львівський національний університет імені Івана Франка, вул. генерала Тарнавського, 107,
79000, Львів, e-mail: blagitko@electronics.wups.lviv.ua
2 к. т. н., с. н. с., Центр математичного моделювання IППММ iм. Я. С. Пiдстригача НАН України, вул. Дж. Ду-
даєва, 15, 79005, Львів, e-mail: igorzaj@litech.lviv.ua
3 Львівський національний університет імені Івана Франка, вул. генерала Тарнавського, 107, Львів, 79000
На основі рівнянь гідродинаміки та теорії пружності побудовано фізико-математичну мо-
дель для опису процесу поширення пульсових хвиль у кровоносних судинах. У рамках лінійної
теорії проаналізовано основні закономірності даного процесу. Одержано аналітичні спів-
відношення, які пов’язують швидкість поширення плоских хвиль тиску і параметри рідини
та тонкостінної оболонки у незбуреному стані. На основі отриманих результатів проана-
лізовано природу суттєвих розбіжностей між хвильовими процесами в еластичних судинах
та абсолютно жорстких трубах.
Ключові слова: пульсова хвиля, рівняння Нав’є-Стокса, розтяжність судини.
Вступ. При дослідженні кровоносної системи людини постає ряд гідродинаміч-
них задач, розв’язок яких має важливе практичне значення. Сюди можна віднес-
ти такі питання як, наприклад, пульсуюча течія крові в трубках, що піддаються де-
формаціям (теорія пульсової хвилі, визначення жорсткості судин і швидкості руху
крові за виміряними значеннями тиску та т. д.), врахування збурень, викликаних
розгалуженням і звуженням судин, вивчення супутніх акустичних явищ тощо [1].
Тому актуальною є побудова фізико-математичної моделі для аналізу процесів у
судинах і розробки методів клінічної діагностики кровоносної системи.
1. Фізико-математична модель поширення пульсової хвилі
Побудуємо фізико-математичну модель, яка б відображала основні характерис-
тики згаданих вище біологічних об’єктів.
Система рівнянь моделі, яка описує поширення хвиль у судинах із пруж-
ними стінками, включає:
• рівняння руху рідини (крові);
• закон збереження маси рідини та матеріалу стінки;
• граничні та початкові умови.
Вважаємо рідину (кров) ньютонівською, а її рух — ламінарним і осесимет-
ричним. Рівняння руху рідини записуємо у вигляді лінеаризованих (без конвектив-
них складових) рівнянь Нав’є-Стокса в циліндричних координатах [2]
УДК 517.958:519.6
7
Богдан Благітко, Ігор Заячук, Олександр Пирогов
Математична модель поширення пульсової хвилі у великих кровоносних судинах
8
∂
∂
+−
∂
∂
+
∂
∂
ν+
∂
∂
ρ
−=
∂
∂
2
2
22
2 11
xrrrrr
p
t
rrrrr vvvvv , (1)
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ν+
∂
∂
ρ
−=
∂
∂
2
2
2
2 11
xrrrx
p
t
xxxx vvvv
. (2)
Рівняння неперервності має вигляд
0=+
∂
∂
+
∂
∂
rrx
rrx vvv
. (3)
Тут ρ — густина рідини, v — кінематична в’язкість, p — тиск, rv і xv — відпо-
відно радіальна й осьова компоненти вектора швидкості, r, x — радіальна й осьо-
ва координати, t — час.
Матеріал стінки вважаємо лінійним, в’язко-пружним, однорідним та ізо-
тропним, а судину розглядаємо як безмежну, прямолінійну та незакріплену.
У випадку тонкостінної труби можна використати рівняння теорії оболонок [3]
∂
∂σ
+
σ−
−
∂
∂
µ−=
∂
∂
ρ
= x
u
aa
uEh
r
p
t
uh xr
ar
rr
w
0
22
0
2
2
1
2 v
, (4)
∂
∂σ
+
∂
∂
σ−
+
∂
∂
+
∂
∂
µ−=
∂
∂
ρ
= x
u
ax
uEh
xrt
uh rx
ar
rxx
w
0
2
2
2
0
2
2
1
vv
, (5)
де ρw — густина матеріалу судини, E — модуль Юнга, σ0 — коефіцієнт Пуассона,
h — товщина судини, a — внутрішній радіус судини, ur і ux — радіальна й осьова
компоненти зміщення відповідно. У випадку товстостінної судини останні рів-
няння стають дуже громіздкими.
Для завершення постановки задачі до системи рівнянь необхідно долучити
граничні умови, а саме: умови неперервності компонент вектора швидкості на
межі розділу між рідиною та стінкою й обмеженості компонент швидкості на осі
судини
ar = :
t
ur
r ∂
∂
=v ,
t
ux
x ∂
∂
=v ;
0=r : 0=rv , 0=
∂
∂
r
xv .
Записані вище рівняння у рамках лінійної теорії описують поширення в
судинах хвиль довільного типу. Знаючи початкові та граничні умови задачі,
можемо чисельно проінтегрувати дану систему рівнянь і визначити поле вектора
швидкості чи розподіл тиску у судинах.
Обмежимось розглядом поширення плоских хвиль. Це дозволяє звести за-
дачу до одномірної [4]. Якщо з системи рівнянь (1), (2) виключити швидкість, то
отримаємо таке хвильове рівняння
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 4, 7-11
9
2
2
2
2
2
t
pc
x
p ee
∂
∂
=
∂
∂ − , (6)
де швидкість хвилі с визначається формулою
DK
dp
dAA
dp
dc
ee
+=
+
ρ
ρ=ρ −−−− 1121 при pe = 0. (7)
Тут pe = p – p0 — надлишковий тиск рідини; ρ = ρ(pe) — густина, A = A(pe) — пло-
ща поперечного перерізу судини, а індексом «0» відзначені відповідні величини
у незбуреному стані.
В отриманій рівності відносні збільшення густини та площі поперечного
перерізу, які припадають на одиницю надлишкового тиску, називають стисливістю
рідини K і розтяжністю судини D відповідно.
Можна показати, що локальна швидкість рідини пов’язана з надлишковим
тиском простим співвідношенням
0ρ
=
c
pe
xv . (8)
Для ізотропної тонкостінної судини розтяжність визначається таким чином
hE
aD 02
= , (9)
a0, h — радіус і товщина стінки судини. Якщо прийняти, що судина зафіксована
щодо поздовжніх зміщень, то
hE
aD )1(2 2
00 σ−
= . (10)
Швидкість поширення хвилі тиску визначається формулою
[ ] 2/1)( −+ρ= DKc . (11)
Артерії ссавців характеризуються розтяжністю D порядку 1 бар 1− [4], тобто
це відповідає збільшенню площі просвіту судини на 10% внаслідок зміни тиску
на величину, порядку 10 1− бар (саме така зміна тиску спостерігається за нор-
мальних фізіологічних умов [1]). За такої великої розтяжності стисливістю крові
(K порядку 10–5 бар 1− [4]) можна знехтувати. Тому експериментально отримані
значення швидкості поширення пульсових хвиль виявляються на два порядки
менші від швидкості звуку в крові [5].
М’які тканини, які оточують артерію, настільки еластичні, що зовнішній тиск
безпосередньо біля артеріальної стінки майже не реагує на пульсації. Проте, мож-
ливо, що ці тканини відповідають за фіксацію артерії відносно поздовжніх дефор-
мацій. У такому випадку для розрахунку розтяжності необхідно користуватися
Богдан Благітко, Ігор Заячук, Олександр Пирогов
Математична модель поширення пульсової хвилі у великих кровоносних судинах
10
формулою (10), де коефіцієнт Пуассона σ0 дещо менший від 0,5 — величини, яка
є характерною для матеріалів, у яких пружні характеристики значно перевищу-
ють стисливість. Параметр, який визначається як відношення товщини стінки до
діаметра труби, змінюється у діапазоні від 0,06 до 0,10 [1].
Вимірювання швидкості пульсової хвилі в артеріях можна проводити, ре-
єструючи двома послідовно розташованими давачами деформацій судини часову
затримку між одним і тим же збуренням. Для зменшення завад, спричинених на-
явністю відбитої хвилі, давачі доцільно помістити на однорідній ділянці артерії з
невеликим коефіцієнтом звуження судини та малою кількістю розгалужень.
Обчислена за відліками тиску швидкість поширення пульсохвилі дає можливість
визначити розтяжність
21 −−ρ= cD ,
а, отже, і жорсткість (модуль Юнга E) судини. За виміряними значеннями тиску
також можна обчислити локальну швидкість руху крові
ρ
=
c
pe
xv .
Усереднюючи її за періодом часу, упродовж якого здійснювалися вимірювання,
також визначимо середню швидкість об’ємних витрат.
При побудові одномірної теорії пульсової хвилі для спрощення задачі було
зроблено ряд суттєвих припущень: 1) нехтується похибками, які вносяться у швид-
кість, внаслідок в’язких властивостей крові; 2) амплітуда збурення (пульсового
коливання тиску) приймається достатньо малою, і тому співвідношення, які опи-
сують пружні властивості стінки судини та рух рідини, є лінійними. З точки зору
подальших досліджень актуальним є теоретичне обґрунтування справедливості
зроблених припущень.
Описаний непрямий спосіб визначення жорсткості судин і швидкості руху
крові на основі виміряних значень тиску можна використати як метод клінічного
дослідження та діагностики вад кровоносної системи.
Висновки. Для аналізу процесів, які відбуваються в судинах кровоносної систе-
ми, побудовано лінеаризовану фізико-математичну модель, яка базується на рів-
няннях Нав’є-Стокса в циліндричних координатах. Ці рівняння описують поши-
рення хвиль довільного типу у судинах. За умови поширення плоских хвиль задачу
зведено до одномірної й отримано її розв’язок.
Проаналізовано результати застосування запропонованої моделі для дослі-
дження процесу поширення пульсохвилі в судинах ссавців.
Література
[1] Механика кровообращения / Каро, Педли, Шротер, Сид. — М.: Мир, 1981. — 326 с.
[2] Ландау Л. Д, Лифшиц Е. М. Гидродинамика. — М.: Высш. шк., 1982. — 71 с.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 4, 7-11
11
[3] Cox R. H. Comparison of linearized wave propagation models for arterial blood flow
analysis // Journal of Biomechanics. — 1969. — Vol. 2, № 3. — P. 251-265.
[4] Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. — М.: Мир, 1981. — 116 с.
[5] Савицкий Н. Н. Биофизические основы кровообращения и клинические методы
изучения гемодинамики. — Л.: 1963.
The Mathematical Model of the Pulse Wave Propagation
in Large Blood Vascular
Bogdan Blagitko, Igor Zayachuk, Oleksandr Pyrogov
Based on the hydrodynamic and elasticity theories the physico-mathematical model for description
of the process of distribution of pulse waives in the blood vascular is developed. Major conditions
of such a process are reviewed in the frames of the linear theory. Analytical equations connecting
the speed of distribution of flat waives of pressure and parameters of the liquid and thin-shell in
non-disturbed state are presented. Based on the result received the nature of significant differen-
ces between waives processes in elastic vascular and absolutely hard vascular are analyzed.
Математическая модель распространения
пульсовой волны в больших кровеносных сосудах
Богдан Благитко, Игор Заячук, Александр Пирогов
На основании уравнений гидродинамики и теории упругости построена физико-математи-
ческая модель, описывающая процесс распространения пульсовых волн в кровеносных сосудах.
В рамках линейной теории рассмотрены основные закономерности данного процесса. При-
ведены аналитические выражения, связывающие скорость распространения плоских волн
давления, параметры жидкости и тонкостенной оболочки в невозмущенном состоянии.
На основании полученных результатов проведен анализ природы существенных расхожде-
ний между волновыми процессами в эластических и абсолютно жестких сосудах.
Отримано 10.10.06
|