Про напружений стан та стійкість пористої ортотропної пластини в процесі осушення

У роботі досліджується напружено-деформований стан і стійкість пружної ортотропної пористої пластини скінченних розмірів у процесі її осушення. Для опису пористості приймається модель регулярного капілярного середовища з циліндричними порами, які перпендикулярні до серединної поверхні пластини. При...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2006
Автор:	Гайвась, Б.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2006
Назва видання:	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21359
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Про напружений стан та стійкість пористої ортотропної пластини в процесі осушення / Б. Гайвась // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 4. — С. 12-24. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-21359
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-213592011-06-16T12:05:23Z Про напружений стан та стійкість пористої ортотропної пластини в процесі осушення Гайвась, Б. У роботі досліджується напружено-деформований стан і стійкість пружної ортотропної пористої пластини скінченних розмірів у процесі її осушення. Для опису пористості приймається модель регулярного капілярного середовища з циліндричними порами, які перпендикулярні до серединної поверхні пластини. При вивченні напруженого стану за основу прийнято відому модель неоднорідних за товщиною пластин. Встановлено, що зсувні напруження, які спричинені осушенням, виникають лише у випадку, коли дисторсія є неоднорідною у площинах, які паралельні до серединної поверхні пластини. Показано також, що осушення приводить до пониження критичного значення ейлеревої сили. The article deals with the stress-strain state and stability of orthotropic porous plate of finite sizes in the process of drainage. For description of porosity the regular capillary model of medium with cylinder pores which is perpendicular to the middle surface of plate is accepted. At the study of the stress state the known model of non-homogeneity on a thickness plate is accepted. It is shown that shearing stress caused by drainage arise up only in the case when distortion is heterogeneous in a plane which is parallel to the middle surface of a plate. It is established also, that drainage results in the decline of Euler critical force. В работе рассмотрено напряженно-деформированное состояние и устойчивость ортотропной пористой пластины конечных размеров в процессе сушки. При описании пористости принимается регулярная капиллярная модель среды с цилиндрическими порами, перпендикулярными к срединной поверхности пластины. При изучении напряженного состояния принята известная модель неоднородных по толщине пластин. Установлено, что сдвиговые напряжения, обусловленные сушкой, возникают только в случае, когда дисторсия является неоднородной в плоскости, параллельной срединной поверхности пластины. Показано, что сушка приводит к снижению критического значения эйлеровой силы. 2006 Article Про напружений стан та стійкість пористої ортотропної пластини в процесі осушення / Б. Гайвась // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 4. — С. 12-24. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21359 624.07 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	У роботі досліджується напружено-деформований стан і стійкість пружної ортотропної пористої пластини скінченних розмірів у процесі її осушення. Для опису пористості приймається модель регулярного капілярного середовища з циліндричними порами, які перпендикулярні до серединної поверхні пластини. При вивченні напруженого стану за основу прийнято відому модель неоднорідних за товщиною пластин. Встановлено, що зсувні напруження, які спричинені осушенням, виникають лише у випадку, коли дисторсія є неоднорідною у площинах, які паралельні до серединної поверхні пластини. Показано також, що осушення приводить до пониження критичного значення ейлеревої сили.
format	Article
author	Гайвась, Б.
spellingShingle	Гайвась, Б. Про напружений стан та стійкість пористої ортотропної пластини в процесі осушення Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
author_facet	Гайвась, Б.
author_sort	Гайвась, Б.
title	Про напружений стан та стійкість пористої ортотропної пластини в процесі осушення
title_short	Про напружений стан та стійкість пористої ортотропної пластини в процесі осушення
title_full	Про напружений стан та стійкість пористої ортотропної пластини в процесі осушення
title_fullStr	Про напружений стан та стійкість пористої ортотропної пластини в процесі осушення
title_full_unstemmed	Про напружений стан та стійкість пористої ортотропної пластини в процесі осушення
title_sort	про напружений стан та стійкість пористої ортотропної пластини в процесі осушення
publisher	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
publishDate	2006
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21359
citation_txt	Про напружений стан та стійкість пористої ортотропної пластини в процесі осушення / Б. Гайвась // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 4. — С. 12-24. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.
series	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT gajvasʹb pronapruženijstantastíjkístʹporistoíortotropnoíplastinivprocesíosušennâ
first_indexed	2025-07-02T21:48:04Z
last_indexed	2025-07-02T21:48:04Z
_version_	1836573403003224064
fulltext	Про напружений стан та стійкість пористої ортотропної пластини в процесі осушення Богдана Гайвась к. ф-м. н., с. н. с., Центр математичного моделювання ІППММ ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул. Дж. Ду- даєва, 15, Львів, 79005 У роботі досліджується напружено-деформований стан і стійкість пружної ортотроп- ної пористої пластини скінченних розмірів у процесі її осушення. Для опису пористості приймається модель регулярного капілярного середовища з циліндричними порами, які пер- пендикулярні до серединної поверхні пластини. При вивченні напруженого стану за основу прийнято відому модель неоднорідних за товщиною пластин. Встановлено, що зсувні на- пруження, які спричинені осушенням, виникають лише у випадку, коли дисторсія є неодно- рідною у площинах, які паралельні до серединної поверхні пластини. Показано також, що осушення приводить до пониження критичного значення ейлеревої сили. Ключові слова: пориста пружна ортотропна пластина, осушення, критич- на сила. Вступ. Актуальність проблеми стійкості деформівних систем підтверджується постійною увагою до неї значної кількості дослідників. Основні підходи вивчен- ня стійкості неоднорідних пластин запропоновані в роботах Гузя О. М., Хорошу- на Л. П. та ін. Зміна напружено-деформованого стану тіла та втрати його стійкості може спричинятися різними фізико-хімічними процесами (механічною дією, осушенням, фазовими переходами тощо). Неоднорідні деформації приво- дять до виникнення власних напружень, які накладаються на напруження, зумов- лені механічними діями, та можуть викликати нестійкість форми рівноваги. Побудові моделей осушення пористих тіл присвячені роботи Ликова О. В. [3], Луцика П. П. [4], Соколовського Я. І. [5] та ін. Дослідження процесу сушки зво- диться до розв’язування системи диференціальних рівнянь тепломасоперенесен- ня та напружено-деформованого стану твердих тіл. У роботах [5, 6] на основі го- могенізованого підходу побудовано систему рівнянь взаємозв’язаного теплома- соперенесення під час осушення тіла. У роботі [7] визначено напружено-дефор- мований стан пружного ізотропного шару в процесі його осушення. Досліджено вплив зміни пористості на напружений стан пластини. У даній роботі розглядається вплив сушки на напружено-деформований стан ортотропної пластини з врахуванням зсувних напружень і вплив параметра віднос- ної насиченості вологою на критичне значення ейлеревого навантаження. УДК 624.07 12 ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 4, 12-24 13 1. Масоперенесення у процесі осушення Розглянемо процес симетричного природного осушення ортотропної пластини товщини 2L0. Пористе тіло пластини будемо розглядати в рамках моделі цилінд- ричних капілярів [3]. У початковий момент пластина насичена вологою. Внаслі- док осушення з обох зовнішніх сторін пластини утворюються осушені зони, а все- редині — рідинна зона. За відносну насиченість κm приймемо відношення мас рідини в актуальний і початковий моменти часу. Вважаємо, що насиченість змі- нюється тільки за товщиною пластини. Процес масоперенесення повітря та пари в шарі, який контактує з пластиною, описуємо рівняннями Стефана-Максвелла в наближенні примежового шару. Всередині шару в осушеній газовій зоні врахова- но, що тиск газу в порах залежить від координати. На рухомій границі рідина–газ пара є насиченою. На границі розділу пластина–примежовий шар задовольняється умова неперервності потоку пари. У результаті отриманого наближеного розв’язку нелінійної задачі спряження одержано розподіл густини пари ( )3xvγ за товщиною залежно від відносної вологості та визначено зміну вологовмісту в обох зонах. Із зміною відносної вологості змінюються пружні властивості пластини. Для дослідження деформованого стану пластини, спричиненого зміною її відносної вологості, приймемо за основу модель неоднорідної за товщиною пластини [2]. 2. Напружений стан ортотропних пластин при їх сушці з врахуванням зсувних напружень При описі напружено-деформованого стану пористих матеріалів приймаємо, що поведінка гетерогенного пористого середовища описується ефективними парамет- рами еквівалентного гомогенного ортотропного суцільного середовища. Якщо матеріали містять пружні неоднорідності (пори, включення, інші фа- зи, розорієнтовані зерна), то під дією сил тиску в околі цих неоднорідностей ви- никають зсувні напруження, які зумовлені різними параметрами стисливості в неоднорідностях і матриці матеріалу [2]. При дослідженні шаруватих пластин і оболонок є два підходи. Перший під- хід полягає у формулюванні гіпотез для кожного шару [1], а другий — для всього пакету шарів [2]. Другий підхід може бути застосовним як за дискретного, так і неперервного характеру зміни властивостей матеріалу за товщиною пластини. Перевагою цього підходу є незалежність порядку рівнянь від кількості шарів, що суттєво спрощує математичне формулювання та розв’язування задачі. Надалі приймемо, що: 1. Шари пластини, які паралельні до серединної площини, перебувають у плоскому напруженому стані. 2. Сили та моменти, віднесені до серединної площини, можна визначити шляхом інтегрування за товщиною поперечного перерізу сил, що діють на малий елемент товщини dx3, і моментів цих сил відносно серединної поверхні. 3. Бічні краї пластини x1 = const, x2 = const масонепроникні (нехтуємо кра- йовими ефектами випаровування з бічних сторін). Богдана Гайвась Про напружений стан та стійкість пористої ортотропної пластини в процесі осушення 14 Розглянемо тіло, яке у системі координат x1, x2, x3 має довжину a, ширину b та товщину 2L0. Рівняння рівноваги ортотропного тіла мають вигляд )3,1,(0, ==+σ jiFijij . (1) Тут σij — компоненти тензора напружень, Fi — компоненти вектора об’ємних сил. Рівняння в зусиллях і моментах можна подати так ++ 2,121,11 TT ( ) ( )[ ] 00 1013013 =+−σ−σ FLL , ++ 2,221,12 TT ( ) ( )[ ] 00 2023023 =+−σ−σ FLL , ++ 2,21,1 NN ( ) ( )[ ] 00 3033033 =+−σ−σ FLL , +−+ 12,121,11 NMM ( ) ( )[ ] 01 10130130 =+−σ+σ FLLL , +−+ 22,221,12 NMM ( ) ( )[ ] 01 20230230 =+−σ+σ FLLL , (2) де )2,1,(0 0 3 =σ= ∫− jidxT L L ijij — тангенціальні зусилля, ∫− σ= 0 0 33 L L ii dxN — перері- зуючі сили, ∫− σ= 0 0 33 L L ijij dxxM — згинні та крутні моменти, )2,1,( =ji , ( ) ∫−= 0 0 3 0 L L ii dxFF , ( ) ∫−= 0 0 33 1 L L ii dxFxF . Узагальнений закон Гука для ортотропного тіла, який враховує поперечні дотичні напруження, має вигляд ( ) ( ) ( )0101013331222111 1 11 ~~)(1 PPwwTT E −ϑ+−β+−α+σν−σν−σ=ε , ( ) ( ) ( )0202023332111222 2 22 ~~)(1 PPwwTT E −ϑ+−β+−α+σν−σν−σ=ε , ( ) ( ) ( )0303032223111333 2 33 ~~)(1 PPwwTT E −ϑ+−β+−α+σν−σν−σ=ε , 23 23 2313 13 1312 12 12 2 1, 2 1, 2 1 σ µ =εσ µ =εσ µ =ε , (3) Тут εij — компоненти сумарної деформації; E1, E2 — модулі пружності матеріалу в напрямку осей Ox1, Ox2; vij — коефіцієнти поперечного стиску в напрямку Oxj за розтягу в напрямку Oxi; 321 ,, ααα — коефіцієнти лінійного температурного розширення; 321 ,, βββ — коефіцієнти вологісної усадки (набухання) при сушці; 321 ,, ϑϑϑ — коефіцієнти, які дорівнюють відношенню коефіцієнта щільності упаков- ки до модуля об’ємного стиску; T, T0 — актуальна та початкова температури; P, P0 — тиски у порах і атмосферний; ( )[ ]sLww γΠ−γΠ= 1~,~ 0 — актуальний і початко- вий вологовміст пористого середовища, при цьому в рідинній зоні == Lww~ ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 4, 12-24 15 ( )[ ]smL γΠ−κγΠ= 1/ , в осушеній — ( )[ ]smvvww γΠ−κ−γΠ== 1/)1(~ ; κm — відносна вологість; γs, γL, γv — питомі густини матеріалів скелета, рідини та пари від- повідно; Π — пористість; 212121 ν=ν EE , 323232 ν=ν EE , 313131 ν=ν EE . Використаємо припущення макрооднорідності відносно координат x1, x2 [2]. Це дає змогу застосувати встановлені для макрооднорідного тіла залежності між напруженнями та деформаціями. Вважаємо, що якщо характерний розмір неод- норідності деформації значно більший від характерного розміру неоднорідності структури, то поведінка гетерогенного середовища описується ефективними ха- рактеристиками еквівалентного гомогенного анізотропного середовища. Ефек- тивні пружні характеристики вологого пористого тіла є функціями параметрів відносної вологості і визначаються експериментально. Подамо переміщення ui у вигляді [2] ( ) 0 333 0 3 ;2,1, uuuiuxvu iiii +==+ϕ+= , (4) де 33 uu = — середній прогин за товщиною; 3,ii u=ϕ , 0 3u , ui (i = 1, 2) означено, як у роботі [2]. Розв’язавши систему рівнянь (3) відносно напружень для плоско- го напруженого стану (σ33 = 0), отримаємо ( ) ( ) ςϑ−ηβ−θα−+κ++κ=σ 1112222312111131111 exEexE , ( ) ( ) ςϑ−ηβ−θα−+κ++κ=σ 2222222322111131222 exEexE , (5) ( )121231212 2 ex +κµ=σ , де 0TT −=θ , 0 ~~ ww −=η , 0PP −=ς , а 2121111 α+α=α EE , 2221122 α+α=α EE , 2121111 β+β=β EE , 2221122 β+β=β EE , 2121111 ϑ+ϑ=ϑ EE 2221122 ϑ+ϑ=β EE , 2112 1 11 1 νν− = E E , 2112 121 12 1 νν− ν = E E , 2112 2 22 1 νν− = E E . (6) Проінтегруємо співвідношення (4) за координатою x3 у межах [–L0, L0], а тоді до- множимо їх на x3 і проінтегруємо в тих же границях. Отримаємо ςηθ −−−κ+κ++= 111221211112212111111 TTTKKeCeCT , ςηθ −−−κ+κ++= 222222211122222111222 TTTKKeCeCT , 12211233123312 ,22 TTKeCT =κ+= , ςηθ −−−κ+κ++= 111221211112212111111 MMMDDeKeKM , ςηθ −−−κ+κ++= 222222211122222111222 MMMDDeKeKM , 12211233123312 ,22 MMDeKM =κ+= , (7) де eij — компоненти деформації серединної поверхні, Богдана Гайвась Про напружений стан та стійкість пористої ортотропної пластини в процесі осушення 16 3 0 0 dxEC L L ijij ∫ − = , 33 0 0 dxxEK L L ijij ∫ − = , 3 2 3 0 0 dxxED L L ijij ∫ − = )2,1,( =ji , 31233 0 0 dxC L L ∫ − µ= , 331233 0 0 dxxK L L ∫ − µ= , dxxD L L ∫ − µ= 0 0 2 31233 , 3 0 0 dxT L L ii ∫ − θ θα= , 3 0 0 dxT L L ii ∫ − η ηβ= , 3 0 0 dxT L L ii ςϑ= ∫ − ς , 33 0 0 dxxM L L ii ∫ − θ θα= , 33 0 0 dxxM L L ii ∫ − η ηβ= , 33 0 0 dxxM L L ii ςϑ= ∫ − ς )2,1( =i . Для симетричної сушки пластини товщини 2L0 ( )[ ]m L ijm v ijij EELC κ+κ−= 12 0 , 0=ijK , ( )[ ]333 0 1 3 2 m L ijm v ijij EELD κ+κ−= , 01 =ijD . Якщо характеристики матеріалу такі, що можна знехтувати їх залежністю від x3, то ,2 0 ijij ELC = 0=ijK , ,32 3 0 ijij ELD = )2,1,(01 == jiD ij , 12033 2 µ= LC , 033 =K , 32 3 033 ijLD µ= . (8) Для несиметричної сушки пластини товщини L0 ( )[ ]m L ijm v ijij EELC κ+κ−= 10 , ( )[ ]22 2 0 1 2 m L ijm v ijij EELK κ+κ−= , ( )[ ]333 0 1 3 1 m L ijm v ijij EELD κ+κ−= , ( )[ ]m L m vLC κµ+κ−µ= 1212033 1 , ( )[ ]2 12 2 12 2 0 33 1 2 m L m vLK κµ+κ−µ= , ( )[ ]3 12 3 12 3 0 33 1 3 m L m vLD κµ+κ−µ= . Тут LL ij vv ij EE 1212 ,;, µµ — модулі пружності в осушеній і вологій зонах відповідно. Вирази для компонент деформації приймають вигляд 1,131111 ϕ+=ε xe , 2,232222 ϕ+=ε xe , ( )1,22,1 3 1212 2 ϕ+ϕ+=ε xe , ( ) ( )[ ]ςγ−ηγ−θγ−κ++κ+−=ε 3212232223113111333 xeExeE , (9) де jiji x∂ϕ∂=ϕ , , а 3 3 232131 1 α+ να+να =γ E , 3 3 232131 2 β+ νβ+νβ =γ E , 3 3 232131 3 ϑ+ νϑ+νϑ =γ E . Тоді перерізуючі сили є такими ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 4, 12-24 17 ( ) ( ) 1,11,11,11,22231,1113 3 0 13111301 3 ,2 ςηθ τ+τ+τ+κ+κµ−+ϕµ= EELwLN , ( ) ( ) 2,22,22,22,22232,1113 3 0 23222302 3 ,2 ςηθ τ+τ+τ+κ+κµ−+ϕµ= EELwLN , (10) а нормальне до серединної площини переміщення 22 2 0 2311 2 0 13 66 κ+κ+= LELEww , де ( )( ) ( )( )00 3 0 130 12 θα µ −θγµ=τ θ i i ii L , ( )( ) ( )( )00 3 0 230 12 ηβ µ −ηγµ=τ η i i ii L , ( )( ) ( )( )00 3 0 330 12 ςϑ µ −ςγµ=τ ς i i ii L )2,1( =i , (11) ( ) ( )21123 2312131 13 1 νν− νν+ν = E EE , ( ) ( )21123 1321232 23 1 νν− νν+ν = E EE , ( )ijjiij ,,2 1 ϕ+ϕ=κ , • означає операцію усереднення відповідної величини. При цьому ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ,, 0 3 0 3 3 k i k i k i x k i k i dxx θγ−θγ=θγθγ=θγ ∫ ( )( ) ( )( ) 3 0 0 0 2 1 dx L L L k i k i ∫ − θγ=θγ . (12) Для ізотермічної сушки θ = 0, η = η(κm). Вклад складових, пов’язаних зі зміною тиску в порах, є малий порівняно із вкладом складових, зумовлених зміною вологовмісту, тому ними можна знехтувати. Для зсувних напружень і деформацій отримаємо такі співвідношення     +κ        −+κ        −−=σ 22 2 02 3 12 11 2 02 3 11 0 1 13 32322 L xEL xE L N ] 2, 12312 0 3 2 3 121,3131312231211311 6 1 2 2         +κ      −µ−ςϑ−ηβ−θα−−+ ex L xxxxxexEexE ,     −+κ      −+κ      −−=σ 1131222 2 02 3 22 11 2 02 3 12 0 2 23 32322 exELxELxE L N ] 1, 12312 0 3 2 3 122,32323222322 6 1 2 2         +κ      −µ−ςϑ−ηβ−θα−− ex L xx xxxexE , 1,32313222331113 2 322 232 311 13 13 13 13 22 12     ηγ−θγ−++κ+κ+σ µ =ε xxxeExeExExE , Богдана Гайвась Про напружений стан та стійкість пористої ортотропної пластини в процесі осушення 18 2,32313222331113 2 322 232 311 13 23 23 23 22 12     ηγ−θγ−++κ+κ+σ µ =ε xxxeExeExExE . Отже, якщо дисторсія матеріалу (температурне розширення, температура, вологісна усадка, зміна вологовмісту, зміна тиску в порах) не залежить від коор- динат x1, x2, то зсувних напружень, викликаних осушенням, у математичній мо- делі можна не враховувати. 3. Стійкість плоскої форми рівноваги шарнірно опертої пористої ортотропної пластини в процесі симетричної сушки Пластина втрачає стійкість або випучується, якщо вона навантажена в своїй пло- щині стискуючими зусиллями. У процесі сушки виникає нерівномірний розподіл напружень за товщиною залежно від зміни відносної насиченості вологою пористої пластини. Втрата стійкості може виникати внаслідок дії стискуючих напружень за відсутності в’язей і зовнішніх зусиль. Критичні значення параметрів системи визначаються з умови термодинамічної рівноваги. Задача вологісної стійкості плоскої форми рівноваги пластини з ортотроп- ного пористого матеріалу полягає в наступному. Нехай до серединної площини пластини, вологовміст якої нерівномірно розподілений за товщиною, прикладені зовнішні зусилля. Пластина може втратити стійкість у зонах дії стискуючих на- пружень, спричинених нерівномірним розподілом вологовмісту, зовнішніми зу- силлями тощо. Ці зусилля викликають стиск, згин або зсув і призводять до випучу- вання. У задачі стійкості необхідно визначити такі найменші значення параметрів (критичні), за яких відбувається розгалуження форм рівноваги, тобто можливе існування декількох форм. Критичні значення сил і відносної вологості можна отримати, припустивши, що пластина має деяку початкову кривизну, перебуває під дією поперечного навантаження або нерівномірного розподілу вологовмісту. Потрібно визначити величину цих сил або відносну вологість, які необхідні для того, щоб втримати пластину в такому стані. Серединну площину ненавантаже- ної пластини сумістимо з площиною x1, x2 прямокутної системи координат. Модулі пружності та коефіцієнти усадки є ефективними характеристиками, які можуть залежати від вологовмісту або відносної вологості матеріалу. Вони визначаються експериментально (наприклад, ультразвуковим методом). Диференціальні рівняння стійкості розглядуваної пористої ортотропної пластини із врахуванням поперечних зсувів у процесі сушки мають вигляд ( ) ( ) ,0,,1 0 , 0 3 =+− jnjnjjjjj wTNeE ( )2,1,,0 3 0 ,, 0 2 00 ,, ==−      ϕ−+− jinNvTLvMNM jjinijnnijnijij . (13) Тут Nj, Mij, Tjn — перерізуючі сили, моменти та тангенціальні зусилля відповідно. Нуликами відзначено компоненти відповідних величин у докритичному стані. Нехай до втрати стійкості пластина перебуває в безмоментному стані. Пластина стискається вздовж осей x1, x2 розподіленим навантаженням інтенсивності P1, P2 відповідно. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 4, 12-24 19 Початковий напружений стан визначимо за геометрично нелінійною теорією. За врахування поперечних зсувів переміщення в пластині подамо у вигляді (4), де ( )[ ] +         κ µ µ −κ      µ −+κ      µ −−= −i i i i i i i i i i EEEELxxu 3,12 3 2 ,22 3 2 23,11 3 1 13 2 0 2 33 0 22 6 1 3,12 2 1 3,12 3 2 ,22 3 2 23,11 3 1 13 2 3 =                 µ µ −      µ −+      µ −+ − ieeEEeEEx i i i i i i i i i . (14) Складові 0 3 0 ,uui характеризують малі відхилення тангенціальних перемі- щень від лінійного закону зміни за товщиною. У разі дії стискуючих зусиль P1, P2 0 0 2LPT jjj −= . (15) Вирази для моментів і перерізуючих сил за ізотермічної симетричної суш- ки мають вигляд 2,2121,11111 ϕ+ϕ= DDM , 2,2221,11222 ϕ+ϕ= DDM , ( )1,22,13312 ϕ+ϕ= DM , ( ) 12,21211,1111111 , ϕ−ϕ−+ϕ= BBwKN , ( ) 22,22212,1212222 , ϕ−ϕ−+ϕ= BBwKN . (16) Тут jiijii BKBLK =µ= ,2 30 , ( ) ( ) ( ) ( )21123 132123 2 02 2 21123 231213 2 01 1 16 , 16 νν− νν+ν = νν− νν+ν = E LEB E LEB . За плоского напруженого стану маємо 103 3 2211 1122211101111 2)(2 0 0 PLxdQEeeLET L L −=      β βν+β −ν+= ∫ − , 02112 ==TT , 203 3 1122 2211122201122 2)(2 0 0 PLxdQEeeLET L L −=      β βν+β −ν+= ∫ − , (17) де ( )03 ~~ wwQ −β= — дисторсія, пов’язана зі зміною вологовмісту в процесі суш- ки (визначається з розв’язку задачі вологоперенесення), 3β — усадка матеріалу в напрямку x3. Приймемо, що випаровування з країв constxconstx == 21 , настільки мале, що ним можна знехтувати. Тоді Lw β=β , ( ) ( )txQtxQ L ,, 33 = , ( ) ( )txtx L ,, 33 η=η для ( )mκ<κ<0 , (18) vw β=β , ( ) ( )txQtxQ v ,, 33 = , ( ) ( )txtx v ,, 33 η=η для ( )1<κ<κm , (19) де ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     Π−γ Πγ −κ− Π−γ Πκγ β=−β=κκ 1 1 1 , 0 s L m s v vvvmv wwQ , Богдана Гайвась Про напружений стан та стійкість пористої ортотропної пластини в процесі осушення 20 ( ) ( ) ( ) ( )     Π−γ Πγ − Π−γ κΠγ β=−β=κ 110 s L s mL LLLmL wwQ , vL ββ , — коефіцієнти набухання й усадки тіла. Враховуючи результати роботи [3], у випадку симетричного осушення у формулах (17) ( )m L L CxQd L κ=∫ − 53 0 0 0 2 1 , ( ) ( ) 3 1 215 21 a GQQQC vmvmLm +κ−+κ=κ , ( )1 21 11 11 CaCQ vv +β= , ( );11 12 CQ vv β= ( ) ( ) 3 23 34 23 34 1 maaaaG κ+−+ = , ( ) ,1,1 2 121 aa b aa −= ′ ′+ −= λΓ= 013 2aa , maaa κ−= 324 , ( ) RTK DMa ag a 1/ γµ =′ , va an M Mb 1γ γ =′ , D DLC 10 00 δ =Γ , 00 1 η′+= bC , ( )Π−γ Πγ = 1 1 1 s nC , ( )Π−γ Πγ −= 1 1 2 s LC , ( ) ( )mm CtC κ−=κ 1)( 1 1 11 1 , де κm — відносна вологість матеріалу в актуальний момент. Сталі ai визнача- ються через коефіцієнти дифузії у примежовому шарі та пластині, коефіцієнти проникливості K, товщину пластини 2L0 і дифузного шару δ, відносну вологість навколишнього повітря η0 та інші параметри, якими описується масоперенесення у пластині в процесі осушення [7]. Із системи рівнянь (17) визначимо компонен- ти деформації 0 22 0 11,ee , спричиненої осушенням у докритичному стані 0, 1 ~~ , 1 ~~ 12 2112 11220 22 2112 22110 11 = νν− ν− = νν− ν− = effeffe . Тут       β β +−=      β β +−= 5 3 2 20 220 25 3 1 10 110 1 2 2 1~,2 2 1~ CPL EL fCPL EL f . Нехай PPPP 2211 , α=α= . Тоді 22 0 11 0 2211 , gPegPe +δ=+δ= , (20) де 2211 22211211 2 2211 11212122 1 , EE EE EE EE να−α −=δ να−α −=δ , 3 5 2211 22121211 2 3 5 2211 11212122 1 , β νβ−β −= β νβ−β −= C EE EE g C EE EE g , 2121111 β+β=β EE , 2221122 β+β=β EE . ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 4, 12-24 21 Підставивши співвідношення (20) у рівняння стійкості (13), приходимо до такої системи рівнянь ( )( ) ( ) −ϕ+ϕ++ϕ+ϕ 2,1,22,133 0 1121,21211,111 1 DeDD ( )[ ] ( ) 0 3 21, 11,1 1 2 00 1112,21211,111111 =ϕ−+ϕ−ϕ−+ϕ− PLeBBwK , ( )( ) ( ) −ϕ+ϕ++ϕ+ϕ 1,1,22,133 0 2222,22212,112 1 DeDD ( )[ ]( ) 0 3 21, 22,2 2 2 00 2222,22212,121222 =ϕ−+ϕ−ϕ−+ϕ− PLeBBwK , ( )0 13 11 1 eE− ( )[ ]121,212111,1111,111 , ϕ−ϕ−+ϕ BBwK + ( )0 13 22 1 eE− ( )[ ] −ϕ−ϕ−+ϕ 222,222122,1212,222 , BBwK 0 6 2 6 2 222,223 2 0 22,20111,113 2 0 11,10 =        ϕ−−        ϕ−− E L wPLE L wPL . (21) Задачу стійкості розв’яжемо за умови шарнірного закріплення країв пластини 0,0,0 211 =ϕ== Mw при x1 = 0, x1 = a, 0,0,0 122 =ϕ== Mw при x2 = 0, x2 = b. (22) Ці умови задовольняються, якщо для середнього прогину та кутів повороту прийняти таке подання 21222111213 sincos,sincos,sincos xnxfxnxfxnxfw λ=ϕλ=ϕλ= , де bnnam π=π=λ 0, — параметри хвилеутворення. Отримаємо рівняння ( ) ( ) ( ) 01 13 0 133 1 12 0 122 1 11 0 111 =+++++ PfffPfffPfff , ( ) ( ) ( ) 01 23 0 233 1 22 0 222 1 21 0 211 =+++++ PfffPfffPfff , ( ) ( ) ( ) 01 33 0 333 1 32 0 322 1 31 0 311 =+++++ PfffPfffPfff . (23) З умови нетривіальності розв’язку дістаємо таке характеристичне рівняння 001 2 2 3 3 =+++ PAPAPAPA , (24) де 0 33 0 21 0 12 0 32 0 23 0 11 0 13 0 22 0 31 0 13 0 32 0 21 0 31 0 23 0 12 0 33 0 22 0 110 ffffffffffffffffffA −−−++= , ( )[ ] ( )[ ] ++++++= 1 31 0 23 0 12 0 31 0 23 1 12 1 23 0 12 1 33 0 22 0 11 0 33 0 22 1 11 1 22 0 111 ffffffffffffffffA ( )[ ] ( )[ ] −++−+++ 1 13 0 22 0 31 0 13 0 22 1 31 1 22 0 31 1 13 0 21 0 32 0 13 0 21 1 32 1 21 0 32 ffffffffffffffff ( )[ ] ( )[ ]1 33 0 21 0 12 0 33 0 21 1 12 1 21 0 12 1 32 0 23 0 11 0 32 0 23 1 11 1 23 0 11 ffffffffffffffff ++−++− , Богдана Гайвась Про напружений стан та стійкість пористої ортотропної пластини в процесі осушення 22 ( )[ ] ( )[ ] ++++++= 0 31 1 23 1 12 1 31 0 23 1 12 1 23 0 12 0 33 1 22 1 11 1 33 0 22 1 11 1 22 0 112 ffffffffffffffffA + ( )[ ] ( )[ ] −++−++ 0 13 1 22 1 31 1 13 0 22 1 31 1 22 0 31 0 13 1 21 1 32 1 13 0 21 1 32 1 21 0 32 ffffffffffffffff ( )[ ] ( )[ ]0 33 1 21 1 12 1 33 0 21 1 12 1 21 0 12 0 32 1 23 1 11 1 32 0 23 1 11 1 23 0 11 ffffffffffffffff ++−++− , 1 33 1 21 1 12 1 32 1 23 1 11 1 13 1 22 1 31 1 13 1 32 1 21 1 31 1 23 1 12 1 33 1 22 1 113 ffffffffffffffffffA −−−++= , 0 110 20 11 20 11 0 11 22 fnfff n ++λ= λ , 1 110 21 11 1 11 2 fff +λ= λ , ,1212 λ= λnff j n j ,1313 λ= λ jj ff ,2121 nff j n j λ= λ ,2323 nff j n j = 2 31 3 313131 23 nffff j n jjj λ+λ+λ= λλλ , nfnfnff j n j n j n j 2 32 3 323132 23 λ++= λ , 2 33 2 3333 22 nfff j n jj +λ= λ , 1,0=j 0 220 20 22 20 22 0 22 22 ffnff n +λ+= λ , 1 220 21 11 1 22 2 fnff n += , ( )1 13 1311 0 11 1 63 1 2 gEEf +      µ+=λ , ( ) 122 13 2312 0 21 3 11 63 1 µ++      µ+=λ gEEf n , 12 0 11 3 1 2 µ=nf , 2 13 2312 1 21 63 1 δ      µ+=λ E Ef n , ( )113 0 110 1 gf +µ= , ( )2 23 2322 0 22 1 63 1 2 gEEf n +      µ+= , 11 13 1311 1 11 3 1 63 1 2 α−δ      µ+=λ E Ef , 12 0 22 3 1 2 µ=λf , 113 1 110 δµ=f , ( )223 0 220 1 gf +µ= , ( ) 121 23 1312 0 12 3 11 63 1 µ++      µ+=λ g E Ef n , ( )11313 0 31 1 gEf −µ=λ , 22 23 2322 1 22 3 1 63 1 2 α−δ      µ+= E Ef n , ( )113 23 13 0 32 1 6 2 gE E f n −µ=λ ,       µ+=λ 63 1 23 1312 1 12 E Ef n , 223 1 220 δµ=f , 22323 1 32 δµ−= Ef n , ( )113 0 13 1 gf +µ=λ , 113 1 13 δµ=λf , ( )223 0 23 1 gf n +µ= , 223 1 23 δµ=nf ( )113 13 13 0 31 1 6 3 gE E f −µ=λ , ( )223 13 23 0 31 1 6 2 gEEf n −µ=λ , 11313 1 31 δµ−=λ Ef , 2 2 2323 1 32 6 1 3 δµ−= Ef n , 1132313 1 32 6 1 2 δµ−=λ EEf n , 1 2 1313 1 31 6 1 3 δµ−=λ Ef , ( )11313 0 33 12 gEf −µ=λ , 2231323 1 31 6 1 2 δµ−=λ EEf n , ( )22323 0 33 12 gEf n −µ= , ( )22323 0 3 1 gEf n −µ=λ , 113131 1 33 2 δµ−α−=λ Ef , ( )2232323 0 33 1 6 1 3 gEEf n −µ= , 223232 1 33 2 δµ−α−= Ef n . ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 4, 12-24 23 Корені цього рівняння визначають величину критичного навантаження, яке залежить від фізико-механічних характеристик матеріалу, геометричних розмірів тіла тощо. Оцінимо вплив процесу сушки на критичне значення навантаження Приймемо, що товщина пластини є малою порівняно з її довжиною та шириною. Подамо критичну силу у вигляді ряду за параметрами 02,, Lhbhnah =π=π=λ . Коефіцієнти біля степенів P у рівнянні (24) є сумами виразів за парними степе- нями λ, n, тобто λ2, n2, λ2n2, λ4, n4. Тому для Р запишемо ...22 3 2 2 2 10 +λ++λ+= nPnPPPP . (25) Прирівнюючи члени при однакових степенях λ, n, отримаємо системи рівнянь для визначення Pi. У зв’язку з громіздкістю приведемо лише деякі з них ,...,;0 1 0 21 0 10 2 4 2 4 n n A A P A A PP −=−== λ λ (26) де ( ) ( ) ( )[ ]2232232211323 1 1112 gEggAn −δµ+α++µµ−= , ( ) ( ) ( )[ ]1131131121323 1 1112 gEggA −δµ+α++µµ−=λ , ( )( )( )223211323 220 111 3 4 gEggEAn −++µµ= , ( )( )( )113211323 110 111 3 4 gEggEA −++µµ=λ . (27) Таким чином, враховуючи співвідношення (25), (26), маємо ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )[ ] ... 113 11 113 11 223223212 222322 2 11311311 111311 2 + δµ−+α+ +− + δµ−+α+ +−λ = gEg ggEEn gEg ggEEP (28) Так як δ1, δ2 є величинами порядку 2211 1,1 EE , то другою складовою у знамен- нику можна знехтувати. Для безмежної пластини ∞==α a,1( 1 або ),12 ∞==α b приходимо до відомого [1, 2] значення ейлеревої сили. Висновки. Врахування геометричної нелінійності та зсувних деформацій дало змогу оцінити вплив зміни відносної вологості на критичне значення наванта- ження. За вологості κm < 0,5, коли проявляється усадка матеріалу, величина кри- тичного значення навантаження є меншою порівняно з класичним значенням ейле- ревої сили. Зсувні напруження, які є небажаними при осушенні, виникають лише тоді, коли дисторсія є функцією координат x1, x2. Література [1] Гузь А. Н. Динамика и устойчивость слоистых композитных материалов. — К.: Наук. думка, 1992. — 368 c. [2] Обобщенная теория неоднородных по толщине пластин и оболочек / Хорошун Л. П., Козлов С. В., Иванов Ю. А., Кошевой И. К. — К.: Наук. думка, 1988. — 152 с. Богдана Гайвась Про напружений стан та стійкість пористої ортотропної пластини в процесі осушення 24 [3] Хейфец Л. И., Неймарк Ф. В. Многофазные процессы в пористых средах. — М.: Химия, 1982. — 320 с. [4] Лыков О. В., Михайлов Ю. Ф. Теория тепломассопереноса. — М.: Теплоэнергоиз- дат, 1963. — 535 c. [5] Луцык Р. П. Уравнения теории сушки деформируемых твердых изотропных тел // Промышленная теплотехника. — 1985. — T. 7, № 6. — С. 8-20. [6] Соколовский Я. И. Взаимосвязь деформационно-релаксационных и тепломассооб- менных процессов при сушке капилярно-пористых тел // Прикладная механика. — 1998. — T. 34, № 7. — С. 101-107. [7] Бурак Я. Й., Гайвась Б. І. Математична модель сушки пористого шару з врахуван- ням обмежень на параметри напружено-деформованого стану // Механіка середо- вища, методи комп’ютерних наук. — 2004. — С. 12-26. [8] Бурак Я., Кондрат В., Гайвась Б. До математичного моделювання процесу сушки пористих тіл. Інформативно-математичне моделювання складних систем. — MIMUZ’. — Львів: 2002. — C. 153-159. About Stress State and Stability of Orthotropic Porous Plate in the Process of Drying Bogdana Gayvas The article deals with the stress-strain state and stability of orthotropic porous plate of finite sizes in the process of drainage. For description of porosity the regular capillary model of medium with cylinder pores which is perpendicular to the middle surface of plate is accepted. At the study of the stress state the known model of non-homogeneity on a thickness plate is accepted. It is shown that shearing stress caused by drainage arise up only in the case when distortion is heterogeneous in a plane which is parallel to the middle surface of a plate. It is established also, that drainage results in the decline of Euler critical force. О напряженном состоянии и устойчивости равновесия ортотропной пластины в процессе сушки Богдана Гайвась В работе рассмотрено напряженно-деформированное состояние и устойчивость орто- тропной пористой пластины конечных размеров в процессе сушки. При описании порис- тости принимается регулярная капиллярная модель среды с цилиндрическими порами, пер- пендикулярными к срединной поверхности пластины. При изучении напряженного состояния принята известная модель неоднородных по толщине пластин. Установлено, что сдвиго- вые напряжения, обусловленные сушкой, возникают только в случае, когда дисторсия явля- ется неоднородной в плоскости, параллельной срединной поверхности пластины. Показано, что сушка приводит к снижению критического значения эйлеровой силы. Отримано 06.09.06

Про напружений стан та стійкість пористої ортотропної пластини в процесі осушення

Репозитарії

Схожі ресурси