Скінченно-елементна реалізація методу розв’язування двовимірних задач поляризаційно-оптичної томографії напружень

У статті розроблений раніше варіаційний підхід до розв’язування обернених задач поляризаційно-оптичної томографії напружено-деформованого стану твердих тіл реалізовано з використанням методу скінченних елементів. Підхід базується на трьох складових: математичній моделі напружено-деформованого стану,...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2006
Автори:	Чекурін, В., Брич, Т.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2006
Назва видання:	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21361
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Скінченно-елементна реалізація методу розв’язування двовимірних задач поляризаційно-оптичної томографії напружень / В. Чекурін, Т. Брич // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 4. — С. 98-108. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-21361
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-213612011-06-16T12:03:57Z Скінченно-елементна реалізація методу розв’язування двовимірних задач поляризаційно-оптичної томографії напружень Чекурін, В. Брич, Т. У статті розроблений раніше варіаційний підхід до розв’язування обернених задач поляризаційно-оптичної томографії напружено-деформованого стану твердих тіл реалізовано з використанням методу скінченних елементів. Підхід базується на трьох складових: математичній моделі напружено-деформованого стану, який потрібно відновити, системі променевих поляризаційно-оптичних інтегралів, що пов’язують розподіли компонент тензора напружень на напрямку зондування з вимірюваними на цьому напрямку поляризаційно-оптичними параметрами та результатах вимірювання значень цих параметрів на деякій множині променів, що перетинають об’єкт дослідження. Ідея запропонованого методу полягає у застосуванні скінченно-елементних аналогів для моделі напружено-деформованого стану й для системи променевих інтегралів і формуванні на цій основі з використанням даних фізичних вимірювань перевизначеної системи лінійних алгебраїчних рівнянь стосовно вузлових переміщень. Результати проведених числових експериментів підтвердили ефективність запропонованого методу та дозволили оцінити параметри сітки скінченних елементів і об’єми даних фізичних вимірювань, достатніх для відтворення поля напружень із необхідною точністю. A finite-element method for solving of inverse problem of polarization-optical tomography of stress fields in solids has been developed. The approach is based on the three components: (1) a mathematical model for stressed-strained state, (2) ray polarization-optical integrals, which connect the distributions of stress tensor components on sounding direction with measured on this direction polarization-optical parameters and (3) data of these parameters values measuring on some set of directions crossing the object. The idea is to apply a finite-element approximations for the model of stressed-strained state and for the system of ray integrals. On this basis, using the data of polarization-optical measuring, a redefined system of linear algebraic equations for the nodal displacements is formed. The system is solved using the least-squares method. To test the method and estimate influences of the finite-element model parameters, scheme of scanning and completeness of input data on the inverse problem numerical solutions a 2-D problem for rectangular domain has been studied. В статье разработанный ранее вариационный подход к решению обратных задач поляризационно-оптической томографии напряженно-деформированного состояния твердых тел реализован с использованием метода конечных элементов. Подход применяется, в частности, к задачам определения напряженно-деформированного состояния объектов, для которых отсутствует полная априорная информация относительно внешних нагрузок, необходимая для формулировки корректных прямых задач теории упругости. Чтобы компенсировать нехватку априорной информации используются данные измерений, полученные с применением метода фотоупругости. Реализация подхода базируется на трех составляющих: математической модели напряженно-деформированного состояния, подлежащего восстановлению, системы лучевых поляризационно-оптических интегралов, и результатов измерения значений лучевых интегралов на некотором множестве направлений, пересекающих объект исследования. Идея предложенного метода заключается в применении конечно-элементных аналогов для модели напряженно-деформированного состояния и для системы лучевых интегралов и формировании на этой основе с использованием данных физических измерений переопределенной системы линейных алгебраических уравнений относительно узловых перемещений, которая решается с применением метода наименьших квадратов. Проведен численный анализ двухмерных задач для тела прямоугольной формы, нагруженного по одной из сторон самоуравновешенными силами. Полученные результаты численных экспериментов подтвердили эффективность предложенного метода и позволили оценить параметры сетки конечных элементов и объемы данных физических измерение, достаточных для восстановления поля напряжений с необходимой точностью. 2006 Article Скінченно-елементна реалізація методу розв’язування двовимірних задач поляризаційно-оптичної томографії напружень / В. Чекурін, Т. Брич // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 4. — С. 98-108. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21361 539.3 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	У статті розроблений раніше варіаційний підхід до розв’язування обернених задач поляризаційно-оптичної томографії напружено-деформованого стану твердих тіл реалізовано з використанням методу скінченних елементів. Підхід базується на трьох складових: математичній моделі напружено-деформованого стану, який потрібно відновити, системі променевих поляризаційно-оптичних інтегралів, що пов’язують розподіли компонент тензора напружень на напрямку зондування з вимірюваними на цьому напрямку поляризаційно-оптичними параметрами та результатах вимірювання значень цих параметрів на деякій множині променів, що перетинають об’єкт дослідження. Ідея запропонованого методу полягає у застосуванні скінченно-елементних аналогів для моделі напружено-деформованого стану й для системи променевих інтегралів і формуванні на цій основі з використанням даних фізичних вимірювань перевизначеної системи лінійних алгебраїчних рівнянь стосовно вузлових переміщень. Результати проведених числових експериментів підтвердили ефективність запропонованого методу та дозволили оцінити параметри сітки скінченних елементів і об’єми даних фізичних вимірювань, достатніх для відтворення поля напружень із необхідною точністю.
format	Article
author	Чекурін, В. Брич, Т.
spellingShingle	Чекурін, В. Брич, Т. Скінченно-елементна реалізація методу розв’язування двовимірних задач поляризаційно-оптичної томографії напружень Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
author_facet	Чекурін, В. Брич, Т.
author_sort	Чекурін, В.
title	Скінченно-елементна реалізація методу розв’язування двовимірних задач поляризаційно-оптичної томографії напружень
title_short	Скінченно-елементна реалізація методу розв’язування двовимірних задач поляризаційно-оптичної томографії напружень
title_full	Скінченно-елементна реалізація методу розв’язування двовимірних задач поляризаційно-оптичної томографії напружень
title_fullStr	Скінченно-елементна реалізація методу розв’язування двовимірних задач поляризаційно-оптичної томографії напружень
title_full_unstemmed	Скінченно-елементна реалізація методу розв’язування двовимірних задач поляризаційно-оптичної томографії напружень
title_sort	скінченно-елементна реалізація методу розв’язування двовимірних задач поляризаційно-оптичної томографії напружень
publisher	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
publishDate	2006
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21361
citation_txt	Скінченно-елементна реалізація методу розв’язування двовимірних задач поляризаційно-оптичної томографії напружень / В. Чекурін, Т. Брич // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 4. — С. 98-108. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.
series	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT čekurínv skínčennoelementnarealízacíâmetodurozvâzuvannâdvovimírnihzadačpolârizacíjnooptičnoítomografíínapruženʹ AT bričt skínčennoelementnarealízacíâmetodurozvâzuvannâdvovimírnihzadačpolârizacíjnooptičnoítomografíínapruženʹ
first_indexed	2025-07-02T21:48:09Z
last_indexed	2025-07-02T21:48:09Z
_version_	1836573408241909760
fulltext	Скінченно-елементна реалізація методу розв’язування обернених задач поляризаційно-оптичної томографії напружень Василь Чекурін1, Тарас Брич2 1 д. ф.-м. н., професор, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С.Підстригача НАН України, вул. Наукова, 3б, Львів, e-mail: chekurin@iapmm.lviv.ua 2 к. т. н., Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул. Науко- ва, 3б, Львів, e-mail: tb@mail.lviv.ua У статті розроблений раніше варіаційний підхід до розв’язування обернених задач поляри- заційно-оптичної томографії напружено-деформованого стану твердих тіл реалізовано з використанням методу скінченних елементів. Підхід базується на трьох складових: мате- матичній моделі напружено-деформованого стану, який потрібно відновити, системі про- меневих поляризаційно-оптичних інтегралів, що пов’язують розподіли компонент тензора напружень на напрямку зондування з вимірюваними на цьому напрямку поляризаційно-оп- тичними параметрами та результатах вимірювання значень цих параметрів на деякій мн- жині променів, що перетинають об’єкт дослідження. Ідея запропонованого методу поля- гає у застосуванні скінченно-елементних аналогів для моделі напружено-деформованого стану й для системи променевих інтегралів і формуванні на цій основі з використанням да- них фізичних вимірювань перевизначеної системи лінійних алгебраїчних рівнянь стосовно вузлових переміщень. Результати проведених числових експериментів підтвердили ефектив- ність запропонованого методу та дозволили оцінити параметри сітки скінченних елемен- тів і об’єми даних фізичних вимірювань, достатніх для відтворення поля напружень із не- обхідною точністю. Ключові слова: томографія тензорного поля, обернені задачі, метод скін- ченних елементів, метод фотопружності. Вступ. Методи скалярної променевої томографії [1] реалізують шляхом скану- вання тіла зовнішнім випромінюванням (наприклад, рентгенівським, ультразву- ковим, світлом тощо), що проникає в тіло у вигляді паралельного пучка (проме- ня). Якщо зміну параметрів зондувального поля внаслідок його взаємодії з тілом вдається подати у вигляді інтеграла від шуканого скаляра вздовж променя, то зіставляючи параметри зондувального променя перед входом у тіло з даними їх вимірювання на виході з нього, можна визначити значення променевого інтегра- ла для кожного напрямку зондування. Скануючи тіло в достатньо представниць- кій множині напрямків та використовуючи теорему Радона про обернення проме- невого перетворення [2], відновлюють шукане скалярне поле. У разі тензорних полів необхідно відтворити просторові розподіли декіль- кох скалярних компонент тензора. При цьому однієї множини променевих інтегра- лів, вочевидь, недостатньо і відомі методи томографії скалярного поля не вдається безпосередньо застосувати для тензорних полів. УДК 539.3 98 ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 4, 98-108 99 Разом із тим у наукових дослідженнях та інженерній практиці широкого за- стосування набули так звані неруйнівні теоретико-експериментальні методи ви- значення напружено-деформованого стану твердих тіл. Їх також реалізують шля- хом зондування тіла зовнішнім фізичним полем, яке проникаючи в товщу об’єкта, змінює свої характеристики внаслідок взаємодії з полем напружень (чи деформа- цій). Реєструючи зміни характеристик зондувального поля, зумовлені взаємодією з об’єктом, у деяких простих випадках вдається визначити безпосередньо з ре- зультатів вимірювання частину компонент шуканого тензорного поля або деякі комбінації цих компонент. Так, просвічуючи об’єкти, що перебувають у плоско- му напруженому стані, поляризованим світлом, й аналізуючи інтерференційні картини смуг та ізоклін, які при цьому виникають, можна визначити в кожній точці двовимірної області різницю головних значень і орієнтацію головних осей поля деформацій [3]. Застосовуючи методи оптичної поляриметрії та спеціальні схеми просвічування, можна визначити осьові напруження в тонких циліндрич- них оболонках як за осесиметричних умов [4], так і в загальному випадках [5, 6]. Порівнюючи ці два підходи (томографічний та теоретико-експерименталь- ний) слід наголосити, що, реалізуючи перший з них, прагнуть обмежитися апос- теріорною інформацією про актуальний стан об’єкта, використовуючи лише мо- дель взаємодії зондувального випромінювання з об’єктом у вигляді променевих інтегралів, а математичні моделі, які визначають розподіл параметрів, що підля- гають визначенню, як правило, не розглядають. Цей підхід більш універсальний щодо геометрії об’єктів, але вимоги до об’ємів і якості вхідних даних тут високі. Натомість у теоретико-експериментальному методі основною складовою частиною є математичні моделі у вигляді систем диференціальних, інтегральних чи інтегро-диференціальних рівнянь, відповідних крайових умов, умов спряження тощо. Ці моделі недоозначені через неповні знання щодо актуального стану об’єкта. Щоб компенсувати брак апріорної інформації про об’єкт тут використо- вують дані фізичних вимірювань. Вимоги до об’ємів вхідних даних за такого під- ходу істотно нижчі, проте його реалізація можлива лише в окремих випадках. 1. Метод томографії тензорних полів У працях [6-8] розроблено підхід до визначення напружено-деформованого стану твердих тіл, який поєднує теоретико-експериментальний та томографічний під- ходи. Метод базується на трьох складових: • результатах фізичних вимірювань змін інформативних параметрів зовнішньо- го зондувального поля, зумовлених його взаємодією з деформованим тілом, • математичній моделі взаємодії зондувального випромінювання з деформованим твердим тілом, яка пов’язує вимірювальні інформативні параметри з функціо- налами від компонент тензорного поля, що підлягає відновленню, • математичній моделі напружено-деформованого стану об’єкта. Для реалізації цього методу, як і томографічного, зручно подати модель взаємодії зондувального випромінювання з тілом у вигляді функціонала, який визначає вимірювальний інформативний параметр J Василь Чекурін, Тарас Брич Скінченно-елементна реалізація методу розв’язування обернених задач ... 100 ( ) ( )( ), dij ijJ = Φ σ = σ∫L r r d d . (1) Тут d — область проникнення зондувального випромінювання в об’єкт. Конкрет- ний вигляд оператора L(...) залежить від природи зондувального поля, вибору ін- формативного параметра J цього поля, обраного способу вимірювання, геометрії вимірювальної системи, прийнятого наближення тощо. Для поляризаційно-оптичного методу відбору даних про напружено-дефор- мований стан функціонали (1) отримано в публікаціях [7], [8]. У цьому випадку області d є відрізками прямих nL , які пронизують тіло в різних напрямках. Для кожного напрямку справедливі два променевих поляризаційно-оптичних інтеграли 2 1 11 22 1( ) 2 n n t n n n t P dt J c k ω σ −σ =∫ , 2 1 12 2 2 n n t n n t P dt J c k ω σ =∫ , (2) де 11 nσ , 22 nσ , 12 nσ — компоненти тензора напружень стосовно декартової системи координат {ξ1, ξ2, ξ3} такої, що вісь ξ3 співпадає з напрямком nL ; t — параметр, що визначає точку на прямій nL ; 1 nt , 2 nt — значення цього параметра на кінцях відрізка nd ; 1 nJ і 2 nJ — параметри, що визначаються за даними поляризаційно- оптичних вимірювань для кожної прямої nL ; k — діелектрична проникність се- редовища, c — швидкість світла, ω — циклічна частота світлової хвилі, P — ста- ла матеріалу. Скануючи зондувальним полем тіло, отримують множину значень вимірю- вального параметра J для деякої множини областей зондування { }=D d , що можна записати у вигляді відношень J→d ( ) ,J J= ∈d d D . (3) У запропонованому підході функціонал (1) та експериментальні дані (3) розглядають разом із математичною моделлю напруженого стану тіла. Обернену задачу томографії тензора напружень в об’єкті формулюють так: знайти в області V тіла розподіл напружень σij(r), який задовольняє математичну модель напру- жено-деформованого стану об’єкта й узгоджується певним чином із даними ви- мірювань, поданими у вигляді залежностей (3), та математичною моделлю (1), що описує взаємодію зондувального випромінювання з об’єктом. Для реалізації розробленого підходу шуканий розв’язок подають у вигляді розвинень за деякими системами функцій. У такий спосіб підхід було реалізовано з використанням системи власних функцій крайових задач теорії пружності для півсмуги [9, 10] і теорії тонких циліндричних оболонок [5]. У публікації [11] за- пропоновано гранично-елементний метод, а у цій статті для розвинутого в публі- каціях [7, 8] підходу пропонується скінченно-елементний метод реалізації. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 4, 98-108 101 2. Скінченно-елементний метод розв’язування задач поляризаційно-оптичної томографії напружень Розглянемо однорідне тверде тіло, що займає область V , обмежену поверхнею ∂V , і перебуває в стані пружної рівноваги, тобто в області V тіла виконуються рівняння рівноваги ( ) graddiv 0µ∆ + λ + µ =u u . (4) Тут λ , µ — коефіцієнти Ламе. Нехай uS і pS — частини поверхні ∂V , такі, що u p∅ ⊆ ⊆ ∂S S VU . (5) На поверхнях uS і pS задані вектори переміщень u і напружень 0 ˆ= ⋅p n σ , відповідно 0 0( ), , ( ), u pu p= ∈ = ∈u w r r p q r rS SS S . (6) Тут n0 — зовнішня нормаль до ∂V ; w0(r), q0(r) — задані функції. Зазначимо, що тільки у частковому випадку, коли u p = ∂S S VU , u p = ∅S SI (7) та за певних обмежень на геометрію поверхні ∂V і функції w0(r), q0(r), при- ходимо до коректної постановки прямої задачі теорії пружності. В інших випад- ках сформулювати коректні прямі задачі визначення напружено-деформованого стану тіла в рамках моделі (4), (6) неможливо. Тому розглядатимемо рівняння (4) та задану частину граничних умов (6) разом із функціоналами (1) і даними ви- мірювань (3). Апроксимуючи шукані функції ),,( 3211 xxxu , ( )2 1 2 3, ,u x x x , ( )3 1 2 3, ,u x x x , де ui — компоненти вектора переміщень u, xi — просторові координати, за методом скінченних елементів (МСЕ), та беручи до уваги задану частину граничних умов (6), прийдемо до наступної системи лінійних алгебраїчних рівнянь ⋅ =K U F . (8) Тут K — матриця жорсткості розмірності ( ) ( )3 3N m m N m− − × −% , де N — кіль- кість вузлів у сітці скінченних елементів; m — кількість вузлів, розташованих на частині u pS SU зовнішньої поверхні ∂V ; m% — кількість вузлів, розташованих на частині u p∂ −V S SU зовнішньої поверхні ∂V ; U — вектор-стовпчик вузлових переміщень розмірності 3(N –m); F — вектор-стовпчик розмірності ( )3 N m m− − % , елементи якого визначаються відповідно до значень вектор-функцій w0(r), q0(r) у вузлових точках, розташованих на частині u pS SU зовнішньої поверхні ∂V . Василь Чекурін, Тарас Брич Скінченно-елементна реалізація методу розв’язування обернених задач ... 102 Щоб використати результати фізичних вимірювань (3) та математичну модель взаємодії випромінювання з об’єктом прирівняємо для кожного d інтеграли, що у правій частині співвідношень (1), до виміряних значень параметрів ( )J d (3) ( )( ) ( )dij Jσ =∫L r r d d . (9) Виражаючи в отриманих інтегральних співвідношеннях (9) компоненти тензора напружень через компоненти вектора переміщень та апроксимуючи їх за методом скінченних елементів, прийдемо до системи лінійних алгебраїчних рів- нянь виду ⋅L U = J . (10) Тут L — матриця розміру ( )3o dn N N m× − , де n0 — кількість незалежних фізич- них параметрів, які вимірюються на кожному напрямку зондування (у випадку поляризаційно-оптичного методу відбору даних n0 = 2), Nd — кількість напрямків зондування, J — вектор-стовпчик, утворений із виміряних параметрів. Компоненти матриці L залежать від напрямків зондування, виду оператора L(...) в інтегралі (9), пробних функцій МСЕ. З рівнянь (8) та (10) утворимо систему    ⋅ =       K FUL J . (11) Далі розглянемо випадок, коли 3o dn N m> % . При цьому система (11) — пе- ревизначена, її матриця має розмір ( )[3 N m m− − +% ]o dn N ( )3 N m× − . Застосовуючи до отриманої системи метод найменших квадратів, прийдемо до такої системи рівнянь із 3(N –m) невідомими   ⋅ + ⋅ ⋅ =      T T T T K FK K L L U L J . (12) Розв’язавши цю систему, визначимо значення переміщень у вузлах сітки, а відтак — і напружено-деформований стан. 3. Скінченно-елементна модель для прямої задачі Для тестування розробленого методу необхідно дослідити вплив параметрів скін- ченно-елементного розбиття та схеми зондування, оцінити мінімальну кількість напрямків зондування об’єкта. Ці дослідження проведемо для двовимірного поля напружень. Розглянемо тверде тіло, що перебуває у стані плоскої деформації. Пе- реріз тіла площиною симетрії утворює прямокутну область {S 0 , x a= ≤ ≤ }1 1y− ≤ ≤ . Напруження у тілі виникають під дією нормальних σ(y) та тангенціа- льних τ(y) сил, прикладених до однієї із сторін області S ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 4, 98-108 103 ( ) ( )11 0, y yσ = σ , ( ) ( )12 0, y yσ = τ . (13) Тут σ(y) і τ(y) задані на відрізку [–1, 1] функції, що задовольняють умови зрівно- важення ( ) 1 1 0y dy − σ =∫ , ( ) 1 1 0y dy − τ =∫ , ( ) 1 1 0y y dy − τ =∫ . (14) Інші бічні поверхні вільні від навантажень. Як відомо, напруження, викликані зрівноваженим навантаженням, прикла- деним у локальній області на поверхні тіла, згасають із віддаленням від поверхні прикладення навантаження. Як показано в статті [10], для смуги, торець якої на- вантажений зрівноваженим розподілом сил, напруження практично згасають вже на відстанях від торця однієї-півтори товщини смуги. Тому, вибираючи параметр a достатньо великим, можемо порівнювати розв’язок МСЕ для області S , з отри- маним у праці [10] аналітичним розв’язком. Рівняння рівноваги (4) для двовимірного випадку мають вигляд 2 2 2 2 2 2 1 v 02 2(1 )1 E u u E x yx y  ∂ − ν ∂ ∂+ + =  − ν ∂ ∂− ν ∂ ∂  2 2 2 2 2 2 1 v v 02 2(1 )1 E E u x yx y  − ν ∂ ∂ ∂+ + =  − ν ∂ ∂− ν ∂ ∂  . (15) а матриця K системи рівнянь (8) визначиться так T 1 EN ds λ λ λ λ λ= = ∑ ∫K BN D BN S . (16) Тут E і v — модуль Юнга та коефіцієнт Пуассона; NE — кількість елементів роз- биття; λS , Nλ та Dλ — область, яку займає елемент λ, його матриця функцій форми та матриця пружних характеристик; u, v — компоненти вектора переміщень u. Використовуватимемо лінійні трикутні елементи, для яких матриця функ- цій форми має вигляд [12] 0 0 0 0 0 0 i j k i j k N N N N N Nλ   =     N , 1 ( )2i i i iN a b x c yA= + + , , , i j k λ∈ I (17) де Iλ — множина номерів вузлів елемента λ; ai, bi, ci, A — параметри, які для кож- ного елемента визначають через координати його вузлів Xj, Yk, j, k ∈ Iλ i j k k j i j k i k j a X Y X Y b Y Y c X X = − = − = − , 1 2 1 1 i i j j k k X Y A X Y X Y = , Василь Чекурін, Тарас Брич Скінченно-елементна реалізація методу розв’язування обернених задач ... 104 B — матричний диференціальний оператор [12], який діє на матриці функцій форми виду (17) наступним чином 0 0 0 1 0 0 02 i j k i j k i i j j k k b b b c c cA c b c b c b λ λ    = ≡     BBN N . За відсутності об’ємних сил вектор F має вигляд 1 2 1 20 0 ... 0 0 ... ... 0 0 + +  =  l m l m T l lf f f fF , де f1l і f2l — складові вектора сил у вузлі ∈Σml , де Σm — множина номерів вуз- лів, розташованих на торці області x = 0. При числових дослідженнях приймали a = 3. Навантаження (13) на торці смуги задавали у вигляді ( )13 2 )( 20 − σ =σ yy , ( ) 0yτ = . (18) Результати розрахунку для сіток різної густини порівнювалися з аналітич- ним розв’язком цієї задачі [10]. Для цього визначали середньоквадратичну по- хибку обчислень для перетинів x = const за формулою ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 1 21 2 21 0 1 , , 0, ,a a dir xx xx xy xyx x y x y y x y dy− −      ε = σ σ −σ + σ −σ        ∫ (19) де ( , )a xx x yσ , ( , )a xy x yσ — значення компонент тензора напружень, отримані на ос- нові аналітичного розв’язку, ( , )xx x yσ , ( , )xy x yσ — відповідні значення отримані МСЕ. Результати розрахунку наведені в табл. 1 Таблиця 1 № моделі Модель Ступені вільності Кількість елементів ( )0dirε ( )0,2dirε ( )0,4dirε 1 8х12 192 154 0,00985 0,009759 0,010328 2 18х27 972 884 0,00419 0,002475 0,001932 3 21х31 1302 1200 0,003278 0,001618 0,000765 4 40х60 4800 4602 0,001796 0,000408 0,000361 4. Скінченно-елементна модель для оберненої задачі томографії Нехай навантаження, що діє на стороні x = 0, невідоме, проте відомо, що на ін- ших сторонах області S навантаження дорівнює нулю. Якщо застосувати МСЕ до системи диференціальних рівнянь (15) та врахувати однорідні умови, що ді- ють на трьох сторонах області, то отримаємо однорідну систему лінійних алгеб- раїчних рівнянь ⋅ =K U 0 (20) ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 4, 98-108 105 яка містить на 2m% рівнянь менше, ніж кількість невідомих вузлових переміщень, де m% — кількість вузлів, що лежать на стороні, на якій умови навантаження не- відомі. Неважко переконатися, що така система має безліч розв’язків. Різницю Nund між кількістю невідомих та кількістю рівнянь скінченно-елементної моделі (20) називатимемо ступенем її невизначеності. Припустимо, що тіло зондували лінійно поляризованим світлом у деякій множині напрямків { }( ) ( ); ( ); = = = ∈L n n n t x x t x x t t R , dNn ,1= , що лежать у площині xOy. Нехай ( )1 2, Tn n nJ J=J — числові значення виміряних інфор- мативних параметрів для цих напрямків зондування, які визначають для кожного nL праві частини інтегральних співвідношень (2). Застосуємо скінченно-еле- ментну апроксимацію до виразів для компонент напружень 11σn , 22σn , 12σn . Для цього для кожного елемента λ подамо компоненти напружень через значення вузлових переміщень, а відтак перейдемо до системи координат, пов’язаної з напрямком просвічування. У результаті отримаємо n n λ λ λ λ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅BA T D N Uσ . (21) Тут ( )11 22 12, Tn n n n λσ = σ −σ σ , Tn — матриця переходу від глобальної системи коор- динат xOy до системи, пов’язаної з напрямком просвічування n, A — допоміжна матриця 1 1 0 0 0 1 − =    A . (22) Підставляючи (21) в інтегральні співвідношення (20), отримуємо для кож- ного n два лінійних рівняння, які у матричному вигляді запишемо так 2 λ λ λ λ λ∈ ω ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =∑ N n n n E P d c k BA T D U JN . (23) Тут EN — множина елементів, які перетинає пряма Ln , ndλ — довжина відрізку прямої nL , що належить елементу λ. Ансамблюючи рівняння (23) для всіх напрямків просвічування, отримуємо матрицю та вектор-стовпчик правої частини рівняння (10). Для числового дослідження розв’язків оберненої задачі та впливу на ре- зультат густини сітки скінченних елементів, схеми просвічування та об’єму вхід- них даних використовували метод числового експерименту. З цією метою дані зондування об’єкта розраховували за формулами (23), використовуючи результа- ти розв’язування прямої задачі. Розглядали дві схеми зондування (а — системою паралельних до осі Ox променів; б — системою паралельних до осі Oy променів) та чотири сітки скін- ченних елементів різної густини (табл. 2). Василь Чекурін, Тарас Брич Скінченно-елементна реалізація методу розв’язування обернених задач ... 106 Систему (10) розв’язували із використанням методу Хаусхолдера, реалізо- ваного у підпрограмі LSBRR зі стандартної бібліотеки підпрограм IMSL пакета Compaq Visual Fortran [13]. Точність отриманих розв’язків оберненої задачі оцінювали за формулою ( ) ( )2 2 1 1 2 2 dir inv dir inv F k k k k k F F F Fε = − + −∑ (24) де 1 2,dir dir k kF F — компоненти вектора вузлових сил, які використовували при роз- в’язуванні прямої задачі, 1 2,inv inv k kF F — їхні значення, отримані в результаті роз- в’язування оберненої задачі, сумування здійснюють за вузлами, розташованими на стороні x = 0. Зі згущенням сітки скінченних елементів зростає точність апроксимації ви- хідної математичної моделі (15) моделлю МСЕ і збільшується ступінь невизначе- ності моделі МСЕ. Інтуїтивно зрозуміло, що для отримання надійного розв’язку оберненої задачі кількість напрямків зондування повинна перевищувати ступінь невизначеності моделі МСЕ. Вплив об’єму вхідних даних оберненої задачі та схеми сканування на точність отриманого розв’язку можна простежити за дани- ми, наведеними в табл. 2. Таблиця 2 8 × 12 18 × 27 21 × 31 40 × 60 Ступені вільності 2N 192 972 1302 4800 Елементи NE 154 884 1200 4602 Модель МСЕ Схема просвічування Невідомі сили Nund 8 18 21 40 Лінії просв. Nd Похибка 62 2,324·10-5 1,809·10-2 1,700·10-1 3,255 125 5,734·10-5 2,466·10-4 1,345·10-2 1,157 250 8,600·10-6 1,787·10-4 8,993·10-3 2,113·10-1 375 2,154·10-5 1,406·10-4 6,113·10-3 4,915·10-3 а 500 1,227·10-5 1,111·10-4 1,270·10-4 1,520·10-3 41 1,194·10-5 5,130·10-5 2,918·10-4 9,237·10-5 б 79 1,320·10-5 1,617·10-5 4,741·10-5 2,439·10-5 Легко помітити, що дві схеми сканування, які розглядали, дають істотно відмінні результати. У схемі б кожен промінь проходить через елемент, який містить вузли, що лежать на стороні, на якій навантаження, що спричиняє напру- ження, невідоме. За такої схеми необхідна для досягнення достатньо високої точ- ності кількість ліній просвічування є значно меншою, ніж для схеми а, у якій тільки перший промінь проходить через усі елементи, які містять вузли, розта- шовані на стороні x = 0. Оскільки напруження у цій задачі згасають з віддаллю від сторони прикладання навантаження, то й інформативність даних, отриманих за цією схемою на променях x = const, зменшується зі зростанням x. Проте, слід зазначити, що на практиці схему б значно складніше реалізувати, оскільки про- ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 4, 98-108 107 свічування здійснюється через ту частину поверхні тіла, на якій діє зовнішнє навантаження, тож вона може бути недоступною для зондування. Подібним чином можна дослідити й інші схеми сканування [12]. Отже, запропонований метод можна реалізовувати у такій послідовності. На першому етапі, розв’язуючи відповідні прямі задачі механіки методом скін- ченних елементів, слід вибрати необхідні параметри сітки розбиття, які забезпеч- чують достатню точність апроксимації вихідної математичної моделі моделлю МСЕ. Відтак, виходячи із фізичного змісту задачі, слід вибрати схеми сканування, при- датні для практичної реалізації. На наступному етапі необхідно, використовуючи метод числового експерименту, визначити необхідні для обраних схем скануван- ня об’єми вимірювань. Останній етап — розв’язування конкретних обернених за- дач на основі даних, отриманих шляхом поляризаційно-оптичних вимірювань. Література [1] Бейтс Р. Х. Т., Гарден К. Л., Петерс Т. М. Реконструктивная вычислительная то- мография: Современные достижения и перспективы развития // ТИИЭР. — 1983. — Т. 71, № 3. — С. 84-104. [2] Хелгасон С. Преобразование Радона. — М.: Мир, 1983. — 152 с. [3] Александров А. Я., Ахметзянов М. Х. Поляризационно-оптические методы механи- ки деформируемого твердого тела. — М: Наука, 1973. — 576 с. [4] Абен Х. К. Интегральная фотоупругость. — Таллинн: Валгус, 1975. — 218 с. [5] Чекурін В. Ф. Обернена задача неруйнівного оптичного контролю залишкових на- пружень у кусково-однорідних циліндричних оболонках // Фіз.-хім. механіка мате- ріалів. — 2000. — Т. 36, № 2. — С. 93-102. [6] Чекурін В. Ф. Математичні проблеми томографії тензорних полів у твердих тілах із залишковими напруженнями // Мат. методи і фіз.–мех. поля. — 2003. — T. 46, № 3. — С. 133-148. [7] Чекурін В. Ф. Варіаційний метод розв’язування задач томографії напруженого ста- ну твердих тіл // ФХММ. — 1999. — T. 35, № 5. — С. 23-32. [8] Чекурин В. Ф. Об одном подходе к решению задач томографии напряженного со- стояния упругих тел с несовместными деформациями // Изв. РАН: Механика твер- дого тела. — 2000. — № 6. — С. 38-48. [9] Чекурин В. Ф. Обратная задача неразрушающего контроля уровня закалки листового стекла // Изв. Академии Наук: Механика твердого тела. — 1998. — № 3. — С. 86-97. [10] Чекурин В. Ф. Вариационный метод решения прямых и обратных задач теории уп- ругости для полубесконечной полосы // Известия Академии Наук: Механика твер- дого тела. — 1999. — № 2. — С. 58-70. [11] Чекурін В. Ф. Варіаційний граничноелементний метод розв’язування обернених задач інтегральної фотопружності // Доповіді НАН України. — 1998. — № 6. — С. 82-87. [12] Zienkiewicz O. C., Taylor R. L. The Finite Element Method. Fifth edition. V. 1. Bristol Printed and bound by MPG Books Ltd. — 2000. — 689 р. [13] IMSL. Fortran Subroutines for Mathematical Applications Math/Library Volumes 1 and 2. [14] Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. — М.: Мир, 1990. — 280 с. Василь Чекурін, Тарас Брич Скінченно-елементна реалізація методу розв’язування обернених задач ... 108 Finite Element Realization Method for Solving of Inverse Problems of Polarization-Optical Tomography of Stresses Vasyl Chekurin, Taras Brych A finite-element method for solving of inverse problem of polarization-optical tomography of stress fields in solids has been developed. The approach is based on the three components: (1) a mathematical model for stressed-strained state, (2) ray polarization-optical integrals, which connect the distributions of stress tensor components on sounding direction with measured on this direction polarization-optical parameters and (3) data of these parameters values measuring on some set of directions crossing the object. The idea is to apply a finite-element approximations for the model of stressed-strained state and for the system of ray integrals. On this basis, using the data of polarization-optical measuring, a redefined system of linear algebraic equations for the nodal displacements is formed. The system is solved using the least-squares method. To test the method and estimate influences of the finite-element model parameters, scheme of scanning and completeness of input data on the inverse problem numerical solutions a 2-D problem for rectan- gular domain has been studied. Конечно-элементная реализация метода решения обратных задач поляризационно-оптической томографии напряжений Василий Чекурин, Тарас Брыч В статье разработанный ранее вариационный подход к решению обратных задач поляри- зационно-оптической томографии напряженно-деформированного состояния твердых тел реализован с использованием метода конечных элементов. Подход применяется, в частнос- ти, к задачам определения напряженно-деформированного состояния объектов, для кото- рых отсутствует полная априорная информация относительно внешних нагрузок, необхо- димая для формулировки корректных прямых задач теории упругости. Чтобы компенсиро- вать нехватку априорной информации используются данные измерений, полученные с применением метода фотоупругости. Реализация подхода базируется на трех состав- ляющих: математической модели напряженно-деформированного состояния, подлежаще- го восстановлению, системы лучевых поляризационно-оптических интегралов, и результа- тов измерения значений лучевых интегралов на некотором множестве направлений, пере- секающих объект исследования. Идея предложенного метода заключается в применении конечно-элементных аналогов для модели напряженно-деформированного состояния и для системы лучевых интегралов и формировании на этой основе с использованием данных фи- зических измерений переопределенной системы линейных алгебраических уравнений отно- сительно узловых перемещений, которая решается с применением метода наименьших квадратов. Проведен численный анализ двухмерных задач для тела прямоугольной формы, нагруженного по одной из сторон самоуравновешенными силами. Полученные результаты численных экспериментов подтвердили эффективность предложенного метода и позволи- ли оценить параметры сетки конечных элементов и объемы данных физических измерение, достаточных для восстановления поля напряжений с необходимой точностью. Отримано 06.11.06

Скінченно-елементна реалізація методу розв’язування двовимірних задач поляризаційно-оптичної томографії напружень

Репозитарії

Схожі ресурси