Розрахункова модель пружної енергії деформації шару з включеннями типу квантових точок
Запропоновано математичну модель для розрахунку напружено-деформованого стану кристалічних шарів напівпровідникової наноструктури, зумовленого наявністю квантових точок, як сторонніх включень в основній матриці ізотропного матеріалу. Одержано та кількісно проаналізовано розв’язок задачі пружності дл...
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2006
|
| Назва видання: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21362 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Розрахункова модель пружної енергії деформації шару з включеннями типу квантових точок / П. Литвин, Г. Мороз, І. Прокопенко, Є. Чапля // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 4. — С. 47-59. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-21362 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-213622011-06-16T12:03:44Z Розрахункова модель пружної енергії деформації шару з включеннями типу квантових точок Литвин, П. Мороз, Г. Прокопенко, І. Чапля, Є. Запропоновано математичну модель для розрахунку напружено-деформованого стану кристалічних шарів напівпровідникової наноструктури, зумовленого наявністю квантових точок, як сторонніх включень в основній матриці ізотропного матеріалу. Одержано та кількісно проаналізовано розв’язок задачі пружності для окремого включення, пари та ансамблю включень залежно від їх розміру, взаємного розташування, товщини покриваючого шару, пружних характеристик матеріалу тощо. Показано, що побудована модель якісно добре описує закономірності розподілу енергії пружної деформації на поверхні верхнього шару. Проілюстровано, зокрема, що розподіл енергії пружної деформації у покриваючому шарі сприяє формуванню великих квантових точок над великими, а малі квантові точки на цей процес практично не впливають (так званий фільтраційний ефект). The mathematical model for calculating the stress-strained state of semiconductor nanostructure crystal layers, which induced by quantum dots as foreign inclusions in main isotropic material, is proposed. Solutions of elastic problems for unique inclusion, pair and ensemble of inclusions are received and quantitative analyzed according to inclusions size, their reciprocal disposition, thickness of overlying layer, material elastic constants etc. It is shown that received model qualitatively describe regularity of elastic strain energy distribution on the overlay surface. It is illustrated, in particular, that elastic strain energy distribution in overlay conduces generating big quantum dots over big ones and that small quantum dots don’t impact practically on this process (so-called filtration effect). Предложена математическая модель для расчета напряженно-деформированного состояния кристаллических слоев полупроводниковой наноструктуры, обусловленного наличием квантовых точек, как сторонних включений в основной матрице изотропного материала. Получены и количественно проанализированы решения задач упругости для отдельного включения, пары и ансамбля включений в зависимости от их размера, взаимного размещения, толщины покрывающего слоя, упругих характеристик материала и т. д. Показано, что полученная модель качественно хорошо описывает закономерности распределения энергии упругой деформации на поверхности верхнего слоя. Проиллюстрировано, в частности, что распределение энергии упругой деформации в покрывающем слое способствует формированию больших квантовых точек над большими, а малые квантовые точки на этот процесс практически не влияют (так называемый фильтрационный эффект). 2006 Article Розрахункова модель пружної енергії деформації шару з включеннями типу квантових точок / П. Литвин, Г. Мороз, І. Прокопенко, Є. Чапля // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 4. — С. 47-59. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21362 539.3 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Запропоновано математичну модель для розрахунку напружено-деформованого стану кристалічних шарів напівпровідникової наноструктури, зумовленого наявністю квантових точок, як сторонніх включень в основній матриці ізотропного матеріалу. Одержано та кількісно проаналізовано розв’язок задачі пружності для окремого включення, пари та ансамблю включень залежно від їх розміру, взаємного розташування, товщини покриваючого шару, пружних характеристик матеріалу тощо. Показано, що побудована модель якісно добре описує закономірності розподілу енергії пружної деформації на поверхні верхнього шару. Проілюстровано, зокрема, що розподіл енергії пружної деформації у покриваючому шарі сприяє формуванню великих квантових точок над великими, а малі квантові точки на цей процес практично не впливають (так званий фільтраційний ефект). |
| format |
Article |
| author |
Литвин, П. Мороз, Г. Прокопенко, І. Чапля, Є. |
| spellingShingle |
Литвин, П. Мороз, Г. Прокопенко, І. Чапля, Є. Розрахункова модель пружної енергії деформації шару з включеннями типу квантових точок Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| author_facet |
Литвин, П. Мороз, Г. Прокопенко, І. Чапля, Є. |
| author_sort |
Литвин, П. |
| title |
Розрахункова модель пружної енергії деформації шару з включеннями типу квантових точок |
| title_short |
Розрахункова модель пружної енергії деформації шару з включеннями типу квантових точок |
| title_full |
Розрахункова модель пружної енергії деформації шару з включеннями типу квантових точок |
| title_fullStr |
Розрахункова модель пружної енергії деформації шару з включеннями типу квантових точок |
| title_full_unstemmed |
Розрахункова модель пружної енергії деформації шару з включеннями типу квантових точок |
| title_sort |
розрахункова модель пружної енергії деформації шару з включеннями типу квантових точок |
| publisher |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| publishDate |
2006 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21362 |
| citation_txt |
Розрахункова модель пружної енергії деформації шару з включеннями типу квантових точок / П. Литвин, Г. Мороз, І. Прокопенко, Є. Чапля // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 4. — С. 47-59. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| work_keys_str_mv |
AT litvinp rozrahunkovamodelʹpružnoíenergíídeformacííšaruzvklûčennâmitipukvantovihtočok AT morozg rozrahunkovamodelʹpružnoíenergíídeformacííšaruzvklûčennâmitipukvantovihtočok AT prokopenkoí rozrahunkovamodelʹpružnoíenergíídeformacííšaruzvklûčennâmitipukvantovihtočok AT čaplâê rozrahunkovamodelʹpružnoíenergíídeformacííšaruzvklûčennâmitipukvantovihtočok |
| first_indexed |
2025-07-02T21:48:11Z |
| last_indexed |
2025-07-02T21:48:11Z |
| _version_ |
1836573411086696448 |
| fulltext |
Розрахункова модель пружної енергії деформації шару
з включеннями типу квантових точок
Петро Литвин1, Галина Мороз2, Віктор Стрельчук3, Ігор Прокопенко4,
Євген Чапля5
1 к. ф.-м. н., с. н. с., Інститут фізики напівпровідників НАН України, просп. Науки, 41, Київ, 03028
2 к. ф.-м. н., Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики
ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул. Дж. Дудаєва, 15, Львів, 79005, e-mail: moros@cmm.lviv.ua
3 д. ф.-м. н., Інститут фізики напівпровідників НАН України, просп. Науки, 41, Київ, 03028
4 д. ф.-м. н., професор, Інститут фізики напівпровідників НАН України, просп. Науки, 41, Київ, 03028
5 д. ф.-м. н., Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики
ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул. Дж. Дудаєва, 15, Львів, 79005, e-mail: chaplia@cmm.lviv.ua
Запропоновано математичну модель для розрахунку напружено-деформованого стану
кристалічних шарів напівпровідникової наноструктури, зумовленого наявністю квантових
точок, як сторонніх включень в основній матриці ізотропного матеріалу. Одержано та
кількісно проаналізовано розв’язок задачі пружності для окремого включення, пари та
ансамблю включень залежно від їх розміру, взаємного розташування, товщини покриваю-
чого шару, пружних характеристик матеріалу тощо. Показано, що побудована модель
якісно добре описує закономірності розподілу енергії пружної деформації на поверхні верх-
нього шару. Проілюстровано, зокрема, що розподіл енергії пружної деформації у покриваю-
чому шарі сприяє формуванню великих квантових точок над великими, а малі квантові
точки на цей процес практично не впливають (так званий фільтраційний ефект).
Ключові слова: ізотропний пружний шар, квантова точка, енергія пружної
деформації.
Вступ. При формуванні багатошарових напівпровідникових наноструктур часто
спостерігають певне самовпорядкування розташування квантових точок (КТ) та
уніфікацію їхніх розмірів. Це зумовлено характером напружено-деформованого
стану шарів. Зазвичай приймають, що такий стан розглядуваного шару спричине-
ний наявністю КТ у попередніх шарах [1, 2]. При цьому нові КТ виникають у
місцях мінімуму енергії пружної деформації на поверхні шару, а їхні розміри
пов’язані з глибиною цього мінімуму [1, 2]. Такий характер формування наносис-
тем відкриває перспективи для створення масивів КТ, які уніфіковані за розмі-
рами та певним чином упорядковані у просторі.
Метою даної роботи є побудова розрахункової схеми для визначення
пружної енергії деформації на вільній поверхні шару, де відбувається форму-
вання нових КТ, яка обумовлена вже існуючими КТ на його іншій поверхні;
проведення аналізу залежності її поверхневого розподілу від глибини знахо-
дження, форми і геометричних параметрів окремої КТ, а також від відносних
розмірів і взаємного розташування у випадку пари та системи КТ.
УДК 539.3
47
Петро Литвин, Галина Мороз, Віктор Стрельчук, Ігор Прокопенко, Євген Чапля
Розрахункова модель пружної енергії деформації шару з включеннями типу квантових точок
48
В основу побудови згаданої розрахункової схеми визначення пружної
енергії деформації вибрано підхід, запропонований у роботі [3], який полягає у
розбитті півпростору з поодиноким включенням (моделюється зосередженою
силою) на шар і півпростір так, що сила діє на границі їхнього контакту. Такий
підхід дозволяє визначити також напружено-деформований стан, коли механічні
характеристики шару і півпростору різні. Оскільки конкретні вирази для пружної
енергії деформації у [3] не наведені, то нижче розглядається вихідна постановка
задачі для згаданого розбиття ізотропного півпростору, зокрема, досліджується її
залежність, коли КТ є кубом і моделюється системою шести взаємозв’язаних
самозрівноважених сил.
Зазначимо, що дещо іншим способом напружено-деформований стан ізо-
тропного півпростору з точковим джерелом визначено в [4].
1. Постановка задачі
Розглянемо ізотропний шар товщини d (область (1)), який лежить на півпросторі
з такого ж матеріалу (область (2)), за дії на межі їх контакту локальної сили f
r
(рис. 1). Система координат ( )321 ,, xxx вибрана таким чином, що осі 1Ox , 2Ox
належать поверхні шару, а вісь 3Ox скерована вглиб півпростору. Силу
( ) ( )210 xxff δδ=
rr
прикладено в точці ( )d,0,0 , де 0f
r
— сталий вектор.
Рис. 1. Геометрія досліджуваного об’єкта
Шар і півпростір перебувають в умовах статичної рівноваги [5], зовнішня
поверхня шару вільна від навантажень, а на границі dx =3 контакту шару та пів-
простору задаються умови ідеального контакту, тобто розглядаємо крайову задачу
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
,02
31
3
2
21
2
2
2
3
1
2
2
2
1
2
2
1
1
2
=
∂∂
∂
µ+λ+
∂∂
∂
µ+λ+
∂
∂
µ+
∂
∂
µ+
∂
∂
µ+λ
xx
u
xx
u
x
u
x
u
x
u kkkkk
1x
2x
3x
0
d
f
r
( )1
( )2
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 4, 47-59
49
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
,02
32
3
2
21
1
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
=
∂∂
∂
µ+λ+
∂∂
∂
µ+λ+
∂
∂
µ+
∂
∂
µ+λ+
∂
∂
µ
xx
u
xx
u
x
u
x
u
x
u kkkkk
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
,02
32
2
2
31
1
2
2
3
3
2
2
2
3
2
2
1
3
2
=
∂∂
∂
µ+λ+
∂∂
∂
µ+λ+
∂
∂
µ+λ+
∂
∂
µ+
∂
∂
µ
xx
u
xx
u
x
u
x
u
x
u kkkkk
(1.1)
за таких граничних умов на поверхні 03 =x
( ) 01 =σ
r або ( ) 01
13 =σ , ( ) 01
23 =σ , ( ) 01
33 =σ , (1.2)
умов контакту на поверхні dx =3
( ) ( )21 uu rr
= , ( ) ( ) ( ) ( ) 021
21 fxx
rrr
δδ+σ=σ (1.3)
та умов на безмежності ∞→3x
( ) 02 →ste . (1.4)
Тут ( )k
lu — компоненти вектора переміщення ( )kur ( 3,1=l ; 2,1=k ); ( ) ( )kk n σ⋅=σ ˆrr ,
( ) ( ) ( )kkk eIe ˆ2ˆˆ µ+λ=σ — тензор напруження Коші; λ , µ — сталі Ляме; nr — зов-
нішня нормаль до поверхні, на якій діє сила; ( ) ( )kk ee ˆSp≡ — перший інваріант
тензора деформації ( )kê ; Î — одиничний тензор; ( )k
ste — компоненти тензора де-
формацій ( ) ( ) ( )( ) 2ˆ T
⊗∇+⊗∇= kkk uue rrrr
; індекс «T » позначає транспонований
тензор; символ «⊗ » — тензорний добуток двох векторів. Тут і надалі індексами
1=k та 2=k будемо позначати відповідні характеристики шару та півпростору.
Зазначимо, що в даному випадку основною ціллю є аналітичне визначення
потенціальної енергії деформації на поверхні 03 =x
( ) ( ) ( ) ( )[ ]−+
µ+λ
µ+λµ
−= 00
2
20 21
2
2221
2
1121 ,x,xe,x,xe,x,xw
( ) ( ) ( )000
2
2
21
2
1221222111 ,x,xe,x,xe,x,xe µ−
µ+λ
λµ
− , (1.5)
тобто отримання виразів для компонент деформацій 11e , 22e , 12e .
2. Побудова розв’язку задачі
До системи рівнянь (1.1)-(1.4) застосуємо перетворення Фур’є за змінними 1x ,
2x , тобто
( )( ) ( )( ) ( )∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
+= 212211321321 exp,,,,~ dxdxyxyxixxxuxyyu k
l
k
l .
Тоді система (1.1)-(1.4) набуде вигляду
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
~~
~~2 2
3
1
2
3
3
12211
2
2
2
1 =µ−µ+λ+µ+λ+µ+µ+λ
dx
ud
dx
ud
yiuyyuyy
kk
kk ,
Петро Литвин, Галина Мороз, Віктор Стрельчук, Ігор Прокопенко, Євген Чапля
Розрахункова модель пружної енергії деформації шару з включеннями типу квантових точок
50
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
~~
~~2 2
3
2
2
3
3
21212
2
2
2
1 =µ−µ+λ+µ+λ+µ+λ+µ
dx
ud
dx
ud
yiuyyuyy
kk
kk ,
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2,1;0
~
2
~~
~
2
3
3
2
3
2
2
3
1
13
2
2
2
1 ==µ+λ−
+µ+λ++µ k
dx
ud
dx
ud
y
dx
ud
yiuyy
kkk
k (2.1)
( ) 01
13 =σ~ , ( ) 01
23 =σ~ , ( ) 01
33 =σ~ при 03 =x ; (2.2)
( ) ( )2
1
1
1 u~u~ = , ( ) ( )2
2
1
2 u~u~ = , ( ) ( )2
3
1
3 u~u~ = ,
( ) ( )
1
2
13
1
13 f~~ +σ=σ , ( ) ( )
2
2
23
1
23 f~~ +σ=σ , ( ) ( )
3
2
33
1
33 f~~ +σ=σ при dx =3 ; (2.3)
( ) 0~ 2 →ste при ∞→3x . (2.4)
Тут sf ( )3,1=s — компоненти сили f
r
у системі координат ( )321 x,x,x .
Розв’язок задачі (2.1)-(2.4) шукаємо у вигляді
( ) ( ) ( ) ( )( ) 3
321
~,~,~~ ipxkkkk eauuuu rr
== , (2.5)
де ar — власний вектор, p — власне число.
Шляхом підстановки (2.5) у рівняння (2.1) приходимо до задачі на визна-
чення власних значень p та власних векторів ar характеристичної матриці сис-
теми (2.1): ( ) 0det =− IΛ p , де Λ — матриця коефіцієнтів системи рівнянь, I —
одинична матриця.
У підсумку отримаємо загальні розв’язки системи рівнянь (2.1) у вигляді:
для шару dx <≤ 30
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
µ+λ
µ+λ
−−−−−+
+
µ+λ
µ+λ
−++=
+−+
+=
+−++=
4
1
6
2
5
1
43
1
3
1
1
3
2
2
1
13
1
3
1
3
643
1
2
3313
1
2
3
1
2
54332133
1
1
31exp
31exp~
,expexp~
,expexp~
C
y
C
p
yC
p
yCx
y
ppxi
C
y
C
p
yC
p
yCx
y
ppxiu
CCx
y
ypxCCx
y
ypxu
CCxpxCCxpxu
(2.6)
та півпростору dx >3
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ,31exp~
,exp~
,exp~
4
1
6
2
5
1
43
1
3
2
3
643
1
2
3
2
2
5433
2
1
µ+λ
µ+λ
−−−−−=
+−=
+−=
g
y
g
p
yg
p
ygx
y
ppxiu
ggx
y
ypxu
ggxpxu
(2.7)
де 2
2
2
1 yyp += .
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 4, 47-59
51
Коефіцієнти 654654321 g,g,g,C,C,C,C,C,C співвідношень (2.6), (2.7) визнача-
ємо із матричного рівняння
FXA =⋅ , (2.8)
яке отримуємо з лінійної системи рівнянь (2.2), (2.3) шляхом підстановки в неї
розв’язків (2.6) і (2.7). Тут [ ]654654321
T ,,,,,,,, gggCCCCCC=X , [ ,0,0,0,0,0,0T =F
µ+λ
−
µµ 2
,, 321 ifff .
Після визначення з матричного рівняння (2.8) коефіцієнтів ,,,, 4321 CCCC
65465 ,,,, gggCC і їх підстановки в розв’язки (2.6), (2.7), застосуємо до знайдених
функцій ( )k
lu~ зворотне перетворення Фур’є, яке подається формулою
( )( )
( )
( )( ) ( )∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
−−
π
= 2122113212321 exp,,~
2
1,, dydyyxyxixyyuxxxu k
l
k
l . (2.9)
При зворотному перетворенні Фур’є здійснюємо перехід від декартових
координат ( )21 y,y до циліндричних ( )φ,p , де ∞<≤ p0 , π<φ≤ 20 .
На основі знайдених за формулою (2.9) переміщень ( )( )321 ,, xxxu k
l дефор-
мації ( )02111 ,x,xe , ( )02122 ,x,xe і ( )02112 ,x,xe на поверхні 03 =x визначаються так
( )
( ) ( ) ( )∫
π
+ϕ+ϕ
µ+λµ
ϕλ
+ϕ
µ
−
π
=
2
0
21
2
1222111 sincos
2
coscos11
2
0,, fff
D
ixxe
( ) ( )( ) ϕ
+ϕϕ+ϕ
µ
+
µ+λ
ϕ
+ difffd
D
fi
32
2
133
2
sincoscos1
2
cos , (2.10)
( )
( ) ( ) ( )∫
π
−ϕ−ϕ
µ+λµ
ϕϕλ
π
=
2
0
21222122 cossin
2
sincos1
2
0,, ff
D
ixxe
( )
( ) ( ) +
µ+λ
ϕ
+
µ+λµ
ϕµ+λ
− 3
2
2 2
sin
2
sin2 fif
( ) ϕ
+ϕ+ϕϕ
µ
+ difffd
D 321
2
3 sincossin1 , (2.11)
( )
( ) ( ) ( )∫
π
−
µ
ϕ
−ϕ−ϕ
µ+λµ
ϕλ
π
=
2
0
121
2
222112 2
sincossin
2
cos1
2
0,, fff
D
ixxe
( ) ( ) ( ) ϕ
+ϕ+ϕϕϕ
µ
+
ϕ−
µ+λ
ϕ
− difffd
D
iff 321332 sincossincos1sin
2
cos , (2.12)
де ( )ϕ+ϕ+= sincos 21 xxidD .
Петро Литвин, Галина Мороз, Віктор Стрельчук, Ігор Прокопенко, Євген Чапля
Розрахункова модель пружної енергії деформації шару з включеннями типу квантових точок
52
Підставляючи вирази (2.10)-(2.12) у формулу (1.5), потенціальну енергію на
поверхні 03 =x запишемо через дійсні частини компонент деформацій у вигляді
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]{ }−+
µ+λ
µ+λµ
−= 2
2122
2
211121 0,,Re0,,Re
2
20,, xxexxexxw
( ) ( ) ( )[ ]2
211221222111 0,,Re0,,Re0,,Re
2
2 xxexxexxe µ−
µ+λ
λµ
− . (2.13)
3. Модель включення. Система включень
Визначимо напружено-деформований стан у півпросторі, який містить об’ємне
включення у вигляді куба зі стороною a (рис. 2).
Рис. 2. Об’ємне включення у вигляді куба
Оскільки сформульована задача теорії пружності розв’язується у лінійній
постановці, то деформації (напруження) на поверхні 03 =x для задачі з КТ у
формі кубика моделюємо суперпозицією шести розв’язків задач з точковою
силовою дією у центрі кожної з граней куба. Отже, на поверхні 03 =x маємо
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ).0,,0,,
,0,,0,,,0,,0,,
6
1
21122112
6
1
21222122
6
1
21112111
∑
∑∑
=
==
=
==
k
m
k
m
k
m
xxexxe
xxexxexxexxe
(3.1)
Тут me11 , me22 , me12 — компоненти тензора деформації на поверхні 03 =x , зумовлені
дією сили mf
r
в точці mA ( )6,1=m , де ( )0,0,11 ff =
r
( )0,0,12 ff −=
r
, ( )0,,0 23 ff =
r
,
( )0,,0 24 ff −=
r
, ( )35 ,0,0 ff =
r
, ( )36 ,0,0 ff −=
r
; ( )daA ,0,21 = , ( )daA ,0,22 −= ,
( )daA ,2,03 = , ( )daA ,2,04 −= , ( )2,0,05 adA += , ( )2,0,06 adA −= .
1x
2x
0
d
3x
1f
r
3f
r
5f
r
2f
r
4f
r6f
r
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 4, 47-59
53
З урахуванням формул (2.10)-(2.12) модельної задачі визначаємо компо-
ненти тензорів деформацій me11 , me22 , me12 для кожного ( 6,1=m ), спричинені систе-
мою сил mf
r
. Пружну енергію деформації на поверхні 03 =x обчислюємо за фор-
мулою (2.13).
Надалі розглянемо систему включень, латерально-розподілених у проміж-
ному шарі. Розв’язок просторової задачі пружності будуємо як суперпозицію
розв’язків, одержаних для кожного включення. Розв’язок задачі для окремого
включення записуємо на основі раніше знайденого розв’язку для локальної сили
з урахуванням положення відповідної точки.
4. Аналіз отриманих результатів
4.1. Поодиноке включення. Проведено дослідження розподілу деформацій, на-
пружень та енергії пружної деформації на поверхні 03 =x півпростору залежно
від розмірів включення, його віддалі від поверхні, значення пружних сталих
матеріалу та невідповідності ґраток включення та основного матеріалу (величини
сил, які діють на гранях куба). При цьому позитивне значення сили f
r
відповідає
випадкові, коли період ґратки основного матеріалу менший від періоду ґратки
включення, а від’ємне значення сили — коли період ґратки основного матеріалу
більший від періоду ґратки включення.
Відзначимо, що реальні значення ( ) ( ) ( )pp
st
p
st we ,,σ ( )3,1, =ts деформацій,
напружень та енергії пружної деформації визначаються через їхні безрозмірні
значення we stst ,,σ за формулами
( )
st
p
st e
d
fe
0
2
0
0
µ
= , ( )
st
p
st d
f
σ=σ 2
0
0 , ( ) w
d
fw p
0
4
0
0
µ
= ,
де H10 10
0
−=f , м10 7
0
−=d , Па109
0 =µ .
На рис. 3 показано розподіл приведеної компоненти 22e тензора деформа-
ції вздовж координати 2x залежно від розмірів куба (рис. 3 а: суцільні, пунктирні
та штрихові лінії відповідають довжинам ребра куба 35,0;3,0;25,0=a ) та від-
далі включення до поверхні 03 =x (рис. 3 б: суцільні, пунктирні та штрихові
лінії відповідають віддалям 4,1;2,1;1=d ). Бачимо, що більшим включенням, а
також меншим їхнім віддалям до поверхні відповідають вищі рівні деформацій.
При цьому зі зростанням віддалі d , а також параметра a розміру включення,
дещо збільшується область суттєвої зміни величини деформацій. Характерним
для розподілу деформацій є зміна знаку зі збільшенням віддалі від центрального
екстремуму. Це буде впливати на характер утворення КТ при напиленні на
поверхню 03 =x нового шару відповідного напівпровідникового матеріалу. Для
прикладу, якщо основним матеріалом є GaAs, (період ґратки
o
A65359,52 =a [3]),
Петро Литвин, Галина Мороз, Віктор Стрельчук, Ігор Прокопенко, Євген Чапля
Розрахункова модель пружної енергії деформації шару з включеннями типу квантових точок
54
а КТ формуються з InAs (період ґратки
o
A0583,61 =a [3]), то в цьому випадку
включення спричинюють в основному матеріалі деформації розтягу (рис. 3 а).
Внаслідок цих деформацій віддаль між атомами основного матеріалу збільшу-
ється (ефективне 2a зростає). При напиленні шару InAs на поверхню 03 =x в об-
ластях, де невідповідність ґраток менша, напруження будуть меншими. В облас-
тях, де деформації змінили знак (стали деформаціями стиску), збільшується
різниця періодів ґраток і зростають напруження стиску. Отже на поверхні існує
зона, в якій зародження КТ буде найвигіднішим. Ця зона оточена сильнодефор-
мованою областю, де зародження КТ малоймовірне. Матеріал для формування
нової КТ є в околі точки ( )0,0,0 . Над великою КТ, зарощеною у попередньому
шарі, діаметр такої області більший. Відтак створюються передумови для заро-
дження більшої КТ. Цьому також буде сприяти більша величина ґрадієнта
деформацій в околі точки ( )0,0,0 , що внаслідок поверхневої дифузії спричинить
більший потік маси InAs до новостворюваної КТ.
На рис. 4 показано розподіл компоненти 22σ напруження на поверхні
03 =x залежно від величини сталої Ляме (суцільні, пунктирні та штрихові лінії
відповідають безрозмірним значенням 4;5,3;3=λ ). Бачимо, що вплив величини
пружної сталої Ляме не є суттєвим.
2 1 0 1 2
1000
0
1000
2000
3000
x2
s2
2
22σ
2x
4Рис.
1000
2000
0
-1000
-2 -1 0 1 2x
б
2 1 0 1 2
200
0
200
400
600
x2
e2
2
2x
22e
e22
400
200
0
– 200
– 2 – 1 0 1 x2
3Рис.
2 1 0 1 2
500
0
500
1000
x2
e2
2
22e
2x
e22
500
0
– 500
– 2 – 1 0 1 x2
а
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 4, 47-59
55
На рис. 5 і 6 показано розподіли пружної енергії деформації на поверхні
03 =x залежно від параметра a розміру включення (лінії 1, 2, 3, 4 та 5 відпо-
відають значенням довжини грані куба 26,0;22,0;18,0;14,0;1,0=a ).
Бачимо, що зі збільшенням параметра a величина енергії суттєво збільшу-
ється за абсолютним значенням, а область суттєвих змін енергії розширюється.
У зв’язку з цим виникають передумови росту великих точок саме над великими
КТ у попередньому шарі.
Залежність пружної енергії деформації на поверхні 03 =x в околі точки
( )0,0,0 від розмірів включення та віддалі від поверхні ілюструють криві на
рис. 7, 8. Більшим розмірам включення та меншій віддалі від поверхні відповідає
більше абсолютне значення енергії.
1 2 3
1 .1010
1 .109
1 .108
1 .107
1 .106
1 .105
1 .104
1 .103
100
d
104
106
108
1010
Рис. 8
d 1 2
|w|
0 0.1 0.2 0.3 0.4
0
1 .106
2 .106
3 .106
6102 ⋅
610
1,0 2,0 3,0 4,0
Рис. 7
а
|w|
2 1 0 1 2
8 .105
6 .105
4 .105
2 .105
0
w
5Рис.
W
6Рис.
2x
w
5102 ⋅−
5104 ⋅−
5106 ⋅−
5108 ⋅−
0
1
2
-2 -1 0 1 2
1
2
3
4
5
w
Петро Литвин, Галина Мороз, Віктор Стрельчук, Ігор Прокопенко, Євген Чапля
Розрахункова модель пружної енергії деформації шару з включеннями типу квантових точок
56
4.2. Взаємодія двох включень. На прикладі системи з двома КТ досліджувались
вплив на розподіл енергії пружної деформації взаємодії цих точок, віддалі між
ними, а також їх розмірів.
На рис. 9, 10 показано розподіл енергії на поверхні 03 =x при взаємодії
двох КТ однакового розміру з довжиною грані 3.0=a , які розташовані близько
одна від одної (центри точок ( )1,0,0 та ( )1;0;4,0 відповідно).
Бачимо, що внаслідок взаємодії цих точок утворюється один чіткий
мінімум, який зміщений відносно обидвох точок до середини віддалі між ними
(рис. 10). Така взаємодія зумовлює утворення в цій точці в наступному шарі
однієї КТ.
Зі збільшенням віддалі між включеннями їх взаємний вплив на енергію
пружної деформації буде слабшати, що ілюструє рис. 11. Тут показано розподіл
енергії в результаті взаємодії двох КТ з довжиною грані 3,0=a , центри яких
розташовані в точках ( )1,0,0 та ( )1,0,1 відповідно. Бачимо, що тут уже спостері-
гається два мінімуми енергії, які розташовані строго над центрами точок. Отже в
1 0 1 2
1 .106
5 .105
0
w x1 0,( )
x1
6101⋅−
5105 ⋅−
1− 0 1 2 w
31Рис.
Рис. 11
– 2·105
– 4·105
– 6·105
– 8·105
0,4
0
0– 1
1
w
2x
а б
w
0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
3 .106
2 .106
1 .106
0
344.701−
2.567− 106×
w x1 0,( )
2.50.5− x1
0 1 2
6101⋅−
6102 ⋅−
6103 ⋅−
2x
Рис. 9
w
Рис. 10
– 1·10– 6
– 2·10– 6
– 0,4
– 0,5 0 0,5 1
0,4
0
– 1
w
w
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 4, 47-59
57
наступному шарі КТ є передумови для формування двох однакових точок
вертикально над попередніми.
Дещо іншою є ситуація за взаємодії двох точок різних розмірів. На рис. 12
показано розподіл пружної енергії на поверхні 03 =x , зумовленої наявністю двох
КТ з довжинами граней 3,0;25,0=a та центрами в точках ( )1,0,0 та ( )1,0,1 відпо-
відно. Бачимо, що над більшою точкою енергія має глибший і ширший мінімум,
а тому саме над нею в наступному шарі утвориться більша КТ.
4.3. Фільтраційний ефект. На рис. 15 зображено розподіл пружної енергії де-
формації на поверхні 03 =x , зумовленої взаємодією трьох різних КТ зі сторо-
нами 5,0;1,0;3,0=a з центрами в ( )7,0;0;0 , ( )9,0;0;1 , ( )5,0;0;2 відповідно.
Бачимо, що внаслідок такої взаємодії енергія деформації має два чітко
виражені мінімуми, які утворюються над двома більшими точками. Саме в цих
точках у наступному шарі будуть формуватися нові КТ. Вплив малих точок при
цьому не є істотним. У цьому і полягає фільтраційний ефект.
w
а41Рис.
0,4
0,2
0
– 0,4
– 0,2
– 0,5 0 0,5 1,51
w
Рис. 12
а
w
б41Рис.
w
Рис. 14
– 1·10– 6
– 2·10– 6
– 3·10– 6
– 0,4
0,4
0
– 0,5 0 0,5
1,5 1
б
0 1 2
1.5 .107
1 .107
5 .106
00
1.5− 107⋅
w x1 0,( )
2.50.5− x1
w
– 5·106
– 1·107
– 1,5·107
0 1 2 x1
а
w
– 5·106
– 1·107
1
0
0 1 2
б
31Рис.
w
Петро Литвин, Галина Мороз, Віктор Стрельчук, Ігор Прокопенко, Євген Чапля
Розрахункова модель пружної енергії деформації шару з включеннями типу квантових точок
58
На рис. 16 зображено розподіл енергії, зумовленої взаємодією п’яти точок,
які розташовані в двох шарах. У першому шарі три точки зі сторонами
5,0;1,0;3,0=a та центрами ( )7,1;0;0 , ( )9,1;0;1 , ( )5,1;0;2 , а в другому — дві точки
зі сторонами 55,0;35,0=a та центрами ( )65,0;0;0 , ( )45,0;0;2 .
Бачимо, що на поверхні другого шару на розподіл енергії пружної дефор-
мації суттєвим залишається лише вплив найбільшої КТ.
Висновки. Побудовано математичну модель для визначення напружено-дефор-
мованого стану ізотропних проміжних шарів напівпровідникової наноструктури,
спричиненого наявністю окремої КТ або їх системи.
У результаті проведеного кількісного аналізу побудованих розв’язків задач
теорії пружності для окремої, пари та множини КТ виявлено такі закономірності.
Встановлено, що для окремої КТ мінімум енергії пружної деформації
(точка екстремуму деформації) на поверхні шару досягається строго над
відповідною КТ. Глибина екстремуму деформації та енергії пружної деформації
зростає зі зменшенням віддалі точки від поверхні шару та збільшенням її
геометричних розмірів.
Показано, що взаємодія близькорозташованих КТ може призводити до
утворення одного мінімуму енергії пружної деформації, який досягається поміж
областями розташування цих КТ.
Проведений аналіз розподілу енергії пружної деформації системи КТ різ-
них розмірів показав, що більші КТ мають більший вплив на формування нових
точок, вплив малих КТ нівелюється зі зростанням кількості проміжних шарів
(фільтраційний ефект).
Запропонована методика побудови базового розв’язку просторової задачі
теорії пружності для ізотропного півбезмежного тіла може бути застосована, зо-
крема, при побудові відповідного розв’язку для анізотропного тіла.
0 1 2
4 .107
3 .107
2 .107
1 .107
00
4− 107⋅
w x1 0,( )
2.50.5− x1
w
– 4·107
– 1
0
1
1
2
– 1·107
– 2·107
– 3·107
w
1x
41Рис.
0
– 2·107
w
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 4, 47-59
59
Література
[1] Springholz G., Pinczolits M., Holy V., Zerlauth S., Vavra I., Bauer G. Vertical and lateral
ordering in self-organized quantum dot superlattices // Physica E. — 2001. — Vol. 9. —
P. 149-163.
[2] Quck S. S. and Liu G. R. Effects of elastic anisotropy on the self-organized ordering of
quantum dot superlattices // Institute of Physics Publishing, 7 May 2003. — P. 752-764.
[3] Pan E., Yuan F. G. Three-dimensional Green’s functions in anisotropic bimaterials //
International Journal of Solids and Structures. — 2000. — Vol. 37. — P. 5329-5351.
[4] Mindlin R. D. Force at a point in the interior of a semi-infinite solid // Physics. — 1936. —
Vol. 7. — P. 195-202.
[5] Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. — М.: Наука, 1980. — 512 с.
Elastic Strain Energy Calculation Model of Layer
with Inclusions of Quantum Dots Type
Petro Lytvyn, Halyna Moroz, Viktor Strelchuk, Igor Prokopenko, Yevgen Chaplia
The mathematical model for calculating the stress-strained state of semiconductor nanostructure
crystal layers, which induced by quantum dots as foreign inclusions in main isotropic material, is
proposed. Solutions of elastic problems for unique inclusion, pair and ensemble of inclusions are
received and quantitative analyzed according to inclusions size, their reciprocal disposition,
thickness of overlying layer, material elastic constants etc. It is shown that received model quali-
tatively describe regularity of elastic strain energy distribution on the overlay surface. It is illust-
rated, in particular, that elastic strain energy distribution in overlay conduces generating big
quantum dots over big ones and that small quantum dots don’t impact practically on this process
(so-called filtration effect).
Расчетная модель упругой энергии деформации слоя
с включениями типа квантовых точек
Петр Литвин, Галина Мороз, Виктор Стрельчук, Игорь Прокопенко, Евгений Чапля
Предложена математическая модель для расчета напряженно-деформированного состоя-
ния кристаллических слоев полупроводниковой наноструктуры, обусловленного наличием
квантовых точек, как сторонних включений в основной матрице изотропного материала.
Получены и количественно проанализированы решения задач упругости для отдельного
включения, пары и ансамбля включений в зависимости от их размера, взаимного разме-
щения, толщины покрывающего слоя, упругих характеристик материала и т. д. Показано,
что полученная модель качественно хорошо описывает закономерности распределения
энергии упругой деформации на поверхности верхнего слоя. Проиллюстрировано, в част-
ности, что распределение энергии упругой деформации в покрывающем слое способствует
формированию больших квантовых точек над большими, а малые квантовые точки на
этот процесс практически не влияют (так называемый фильтрационный эффект).
Отримано 09.09.06
|