On calculation electronic states of carbon nanotubes
A new approach is development for description of physical properties of carbon nanotubes h taking into account their real atomic structure have been proposed. On the basis of the classical polynomial theory we have investigated main quantum of studding system. On the basis a functional integral re...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | English |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2010
|
| Назва видання: | Моделювання та інформаційні технології |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21822 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | On calculation electronic states of carbon nanotubes / A. Korostil, Yu. Korostil // Моделювання та інформаційні технології: Зб. наук. пр. — К.: ІПМЕ ім. Г.Є.Пухова НАН України, 2010. — Вип. 55. — С. 200-206. — Бібліогр.: 1 назв. — анг. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-21822 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-218222011-06-20T12:06:43Z On calculation electronic states of carbon nanotubes Korostil, A. Korostil, Yu. A new approach is development for description of physical properties of carbon nanotubes h taking into account their real atomic structure have been proposed. On the basis of the classical polynomial theory we have investigated main quantum of studding system. On the basis a functional integral representation for a statistic sum we have proposed an effective method for building of the closed self-consisted equations for Green functions of investigating system. The proposed approach is applicable for calculation of physical properties both single- and multiwall carbon nanotubes. 2010 Article On calculation electronic states of carbon nanotubes / A. Korostil, Yu. Korostil // Моделювання та інформаційні технології: Зб. наук. пр. — К.: ІПМЕ ім. Г.Є.Пухова НАН України, 2010. — Вип. 55. — С. 200-206. — Бібліогр.: 1 назв. — анг. XXXX-0068 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21822 72.25., 72.25. en Моделювання та інформаційні технології Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
English |
| description |
A new approach is development for description of physical properties of carbon
nanotubes h taking into account their real atomic structure have been proposed. On
the basis of the classical polynomial theory we have investigated main quantum of studding system. On the basis a functional integral representation for a statistic sum
we have proposed an effective method for building of the closed self-consisted
equations for Green functions of investigating system. The proposed approach is
applicable for calculation of physical properties both single- and multiwall carbon
nanotubes. |
| format |
Article |
| author |
Korostil, A. Korostil, Yu. |
| spellingShingle |
Korostil, A. Korostil, Yu. On calculation electronic states of carbon nanotubes Моделювання та інформаційні технології |
| author_facet |
Korostil, A. Korostil, Yu. |
| author_sort |
Korostil, A. |
| title |
On calculation electronic states of carbon nanotubes |
| title_short |
On calculation electronic states of carbon nanotubes |
| title_full |
On calculation electronic states of carbon nanotubes |
| title_fullStr |
On calculation electronic states of carbon nanotubes |
| title_full_unstemmed |
On calculation electronic states of carbon nanotubes |
| title_sort |
on calculation electronic states of carbon nanotubes |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21822 |
| citation_txt |
On calculation electronic states of carbon nanotubes / A. Korostil, Yu. Korostil // Моделювання та інформаційні технології: Зб. наук. пр. — К.: ІПМЕ ім. Г.Є.Пухова НАН України, 2010. — Вип. 55. — С. 200-206. — Бібліогр.: 1 назв. — анг. |
| series |
Моделювання та інформаційні технології |
| work_keys_str_mv |
AT korostila oncalculationelectronicstatesofcarbonnanotubes AT korostilyu oncalculationelectronicstatesofcarbonnanotubes |
| first_indexed |
2025-07-02T21:51:57Z |
| last_indexed |
2025-07-02T21:51:57Z |
| _version_ |
1836573647237545984 |
| fulltext |
200 © А. Korostil, Yu.Korostil
частини графічними образами, автор відповідних образів зберігає на них
авторські права, що записується у технічних даних про книжку, які також є
обов’язковими компонентами кнструкції книги і книги в цілому.
Переважно, автори інформаційної частини книжки самі пропонують
розподіл тексту на окремі частини. Це стосується, в основному, художньої
літератури. Коли мова йде про дитячу художню літературу, або підручники
для школи, то оформлення інформаційної складової, що стосується
визначення розділів і, в цілому, поділу матеріалу на частини, стає
принциповим, оскільки, такий розподіл тісно зв’язаний з методикою надання
відповідної інформації споживачам книжок. Переважно, відповідальність за
методику формування інформаційної компоненти покладають на автора, але
художній супровід матеріалу, що представляється, здійснбє художник, який
повинен знати сам інформаційний матеріал та повинен бути знайомий з
відповідними методичними вимогами.
Приведений вище аналіз основних класів книжкової продукції показує,
що для забезпечення ринкового успіху книжкової продукції не достатньо
користуватися обмеженою кількістю критеріїв, або одним економічним
критерієм спроектованим в основному на вартість книжкового видання.
Доцільно, при проектуванні книжки, описратися на досить глибокий аналіз
інформаційної складової, що пропонується авторами. На основі такого
аналізу можна вибирати необхідні критерії проектування конструкції книжки
та книжки в цілому.
1. Пушкарь О.І. Інформатика. Комп’ютерна техніка. Комп’ютерні технології. – Київ:
Видавничий центр “Академія”, 2001.
2. Чехман Я.И., Сейкусь В.Т., Бирбраер Е.Г. Печатные машины. М.: Книга, 1987.
3. Ярема С.М., Грибков А.В. Електронне устаткування для виготовлення фотоформ і
друкарських форм. К.: НМК ВО, 1992.
4. Гоцгарский А., Попов В. Последние достижения голографических технологий в
России / Новости полиграфии. 2001, N5.
Поступила 1.02.2010р.
УДК 72.25., 72.25.
А. Korostil, Yu.Korostil
ON CALCULATION ELECTRONIC STATES OF CARBON NANOTUBES
A new approach is development for description of physical properties of carbon
nanotubes h taking into account their real atomic structure have been proposed. On
the basis of the classical polynomial theory we have investigated main quantum of
201
studding system. On the basis a functional integral representation for a statistic sum
we have proposed an effective method for building of the closed self-consisted
equations for Green functions of investigating system. The proposed approach is
applicable for calculation of physical properties both single- and multiwall carbon
nanotubes.
1. Introduction
Carbon nanotubes, representing a two-dimensional carbon hexagonal
structure rolling along a given direction and reconnecting the carbon bonds,
possess unusual mechanical, electrical and optical properties. Geometrically such
structures are characterized by a diameter of the order of few nanometers with
large aspect ratio that significantly larger than any other materials. Such cylindrical
carbon molecules have novel physical properties that make them potentially useful
in many applications in nanotechnology, electronics, optics and other fields of
materials science, as well as potential uses in architectural fields. They exhibit
extraordinary strength and unique electrical properties, and are efficient thermal
conductors.
Description of physical phenomena in carbon nanotubes assumes building of
exact, close and self-consistent systems of equations taking into account features of
atomic and electron subsystems and their collective excitations. In known
theoretical approaches these are realized on the basis of a point and Lattinger
models, Hubbard model and density functional approximation [1]. In the
framework of the mentioned approaches a real cylindrical geometrical structure of
carbon nanotubes for simplicity was substituted by a plane carbon structure though
an electron dynamic in these cases are considerably different. The adequate
approach for description of the carbon nanotubes taking into account their real
structure without anyone geometric simplification have been proposed in [1] on the
basis of the functional; integral method.
In the presented paper we propose the development of the above mentioned
approach based on application of a classical polynomial theory for calculations of
quantum states of nanotubes and a generating functional method for obtaining the
self-consistence of equations for Green functions describing collective electron and
phonon excitations.
2. Quantum states of carbon nanotube
Physical properties of carbon nanotubes depend on its atomic carcass
structure unwrapping of which into a two-dimensional planar sheet, called a
grapheme, is possible along a vector, which is the integer combination of unite
vectors 1T and 2T of the honeycomb carbon lattice: 1 2NMR NT MT= + ( N and
M are integer) (Fig.1). Besides, we assume translation symmetry along z with the
translation vector 1 2zT LT KT= − ( L and K are integer numbers). Therefore the
nanotube properties are characterized by the number pair ( , )N M called the chiral
vector.
202
Because of the symmetry and unique electronic structure of graphene, the
structure of a nanotube strongly affects its electrical properties. For a given
chirality ( , )N M nanotube, if N M= (armchair nanotube), the nanotube is
metallic; if N M− is a multiple of 3, then the nanotube is semiconducting with a
very small band gap, otherwise the nanotube is a moderate semiconductor. Thus all
armchair nanotubes are metallic, and nanotubes (5,0), (6,4), (9,1), etc. are
semiconducting. In theory, metallic nanotubes can carry an electrical current
density of 4 × 109 A/cm2 which is more than 1,000 times greater than metals such
as copper.
Insertion the coordinate system with axes z and 0 xyϕ ( 0 xy NMRϕ ϕ= )
(Fig.1) leads to representation of the electron wave function of the nanotube in the
form ([1])
( )1( ) ( ) expnmk nm xyx R r i k kz
L ϕψ ϕ
π
= + .
Here ,n m and k are quantum numbers related to radial, azimuthal and
longitudinal modes of the wave function. Due to the invariant properties
( )2 / | |NMk m Rϕ π= , where (0,1,2, ,m = ± K ( ) / 2N M+ ) and xyk mϕϕ ϕ= .
Fig.1. The two-dimensional carbon sheet wrapping up of which around the axes z ( || zz T )
along the vector NMR ( z NMT R⊥ ) results in the nanotube ( 1T and 2T are two lattice
unite vectorss
Then the electron wave function takes the form
( )1( ) ( ) expnmk nmx R r i m kz
L
ψ ϕ
π
= + , (1)
where the function nmR is determined by a model potential for the nanotube
(see [1])
203
( ) ( )2
1
exp 2 ( / 1) 2exp ( / 1)
l
i
ef i i
i
V a r R a r R
a
λ
=
⎡ ⎤= − − − − −⎣ ⎦∑ (2)
Here the index i denotes number of walls of the nanotube, iR is a radius of
i th wall of the nanotube, 2i iRλ π σ= , σ is the charge density of the nanotube
carcass consisting of ions 4C+ . In the case of the single-wall nanotube ( 2 0λ = ).
Taking into account Eq.1 and Eq.2 in the case of the single-wall nanotube the
Schrödinger equation for the function ( ) ( )nm nmu r rR r= in the terms of
variable 1/x r R= can be written as
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1
2 ( 1) ( 1)1 1
2 2
1 1/ 4
22 2
e 2 e ( ) 0. (3)a x a x
nm
d m k
LR dx R x
E u x
a a
π
λ λ− − − −
⎛ −
+ + +⎜⎜
⎝
⎞⎡ ⎤+ − − =⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎠
The main contribution in Eq.3 is related to a vicinity 1x R= , that implies very
slow deviation of the variable x on the value 1 in the nonexponential part of
Eq.3. Then we can transform Eq.3 to the form of the hypergeometric equation
2
2 2
( ) ( ) 0
( ) ( )
d du u u
dd
τ ξ σ ξ
σ ξ ξξ σ ξ
+ + =
%
, (4)
Where 2 2( ) 1, ( ) , ( ) / 4 ( 1/ 2)t s sτ ξ σ ξ ξ σ ξ ξ ξ= = = − + + − +% . Here the
following denotations are inserted
( )2 ( 1)
2
22
2 1
1 2
2 2 / , 2 / ,
2 / ( 1/ 2),
( )1 .
2 8 2
a xa e s a
t s
kRmER
L
ξ λ ε
λ α
π
ε
− −= = −
= − +
= − + −
(5)
The bound quantum states are described by solutions Eq.4 which are
represented by classical orthogonal polynomials (see [5]). Solving this problem
supposes reducing Eq.4 to the canonical hypergeometric form
2
2 0d dy y y
dd
σ τ λ
ξξ
+ + = , (4a)
with the help of the substitution ( )u yφ ξ= , where ( )φ ξ obey the equation
( )' ( ) 1, ( ) ( ) ( )
( ) 2
φ π ξ π ξ τ ξ τ ξ
φ σ ξ
= = − % . (6)
The polynomial ( )π ξ is determined by the formula
204
2
' '( ) , '( ).
2 2
k kσ τ σ τπ ξ σ σ λ π ξ
⎛ ⎞− −
= ± − + = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
% %
(7)
So as ( )π ξ is polynomial of the first degree in ξ , the radicand discriminate
in Eq.7 is equals to 0, that determines the constant k . Under consideration case of
the Eq.4 ' 0σ τ− =% and the mentioned condition on discriminate is expressed by
the equation
2( 1/ 2) 0k t s s− + − + = .
Hence 2 1/ 2k t s s= + − + and due to Eq.7 ( ) / 2.π ξ ξ= ± Then from Eq.6 we
obtain that ( ) 1 .τ ξ ξ= ± Condition of bound states is expressed in a boundedness
of the weight function ( )ρ ξ (which obeys the equation ( ) 'σρ τρ= ) of polynomial
solutions Eq.4 and the corresponding condition ' 0τ < in a solution region.
Therefore the selection ( ) 1τ ξ ξ= − corresponds to known solutions and in
accordance with Eq.6 the transformation function ( )φ ξ is obtained in the
form / 2( ) e ξφ ξ −= .
Due to the above mentioned equation the weight function ( )ρ ξ will be
described by the expression ( ) e ξρ ξ −= . Then in accordance with the Rodrige
formula the polynomial solution Eq.4a can be represented as
( ) ( )( )
n n
n n
n n
B d dy Be e
d d
ξ ξσ ρ ξ
ρ ξ ξ ξ
−= = , (8)
where the constant B is determined by boundary conditionss.
Taking into account Eq.8 the electron wave function can be represented in the
form
( ) ( )1 n
n i m kz
nmk n
de e e
Lr d
ξ ξ ϕψ ξ
π ξ
− − += . (9)
The spectrum of the polynomial solution is determined by the general
equation od the form
' ( 1) ''/ 2 0n n nλ τ σ+ + − = .
Taking into account that due to Eq.7 '( )kλ π ξ= + from the last equation we
can obtain relation
'( ) ' ( 1) ''/ 2 0k n n nπ ξ τ σ+ + + − = (10)
determining spectral properties polynomial solutions.
Substitution explicit expression for quantities ,k τ and σ into eq.10 yelds
the equation
2 ( 1) / 2 0s s t n− − − − = .
205
Due to Eq.5 22 / ( 1/ 2)t sλ α= − + and then from the last equation we ca
obtain the expression
2
1
1
1/ 2
2 2 2
a n
λ
ε λ
⎛ ⎞⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
,
which describes quantum values of energy.
He last equation takes the form obtai which into this equation the expression
'( )kλ π ξ= + Taking into account Eq.7 and the condition
' ( 1) ''/ 2 0n n nλ τ σ+ + − = related to the solution of polynomial type of the degree
n . Under consideration case the last equation Therefore The corresponding
eigenvalue elfeigenvalue The second equation in Eq.7 determines.
3. Quantum states of carbon nanotube
Description of collective properties of the carbon nanotubes related to
electron and phonon excitations assumes calculation Green’s functions of the
system. The generating function for the Green’s functions can be a corresponding
statistical sum of the quantum system.
The statistical sum Z can be represented in the form of the functional integral
[1]
( )exp [ ]Z D D Sψ ψ ψ+= ∫ , (11)
where [ ]S ψ is determined by the expression
0
2
0
0
[ ] ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( ) ( , )
2
( )
( ) ( ) , , .
2
a
a a
a
s s
s
l
l r l
Cl
S dr dx x r K x r x r
e dr dxdy x r V x y y r
p r
dr ip r q r a
M
β
β
β
ψ ψ ψ
ρ ρ
α β
+= −
− − +
⎡ ⎤
+ ∂ − =⎢ ⎥
⎣ ⎦
∑∫ ∫
∫ ∫
∑∫
(12)
Here s is an electron spin, ( , )s x rψ is the two-component wave function of
the nanotube lattice,
alp ,
alq and 2 CM are a moment, a coordinate and the mass
of an ion in al sublattice cite, ( ) 1/ | |V x y x y− = − is the operator of the Coulomb
interaction. Beside, ( , )K x r is the operator of kinetic energy represented in the
form
,
, ,
( , ) 0
( , ) , ( , )
0 ( , ) 2
a ba
a b r a b
b
K x r
K x r K x r
K x r mε
μ
Δ⎛ ⎞
= = −∂ + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
where /r r∂ = ∂ ∂ , /(2 )a mΔ is kinetic energy for the a th sublattice, aμ a
206 © О.В.Тимченко, Б.М.Верхола, А.Т.Ратич
chemical potential of the a th sublattice.
The charge density ( , )x rρ is composed of ion ( ( , )q x rρ ) and electron
( ( , )e x rρ ) parts and equals ( , ) ( , ) ( , )q ex r x r x rρ ρ ρ= − . Taking into account that
for carbon nanotubes sublattices a and b are identical and
( , ) ( , ) ( , )a bK x r K x r K x r= = we can describe the system by the Green functions
determined by the equation
'( , ) ( , ; , ) ( ) ( )x y x yK x r G x r y r x y r rδ δ= − − ,
where
1 2
2 1
( , ; , ) ( , ; , )
( , ; , )
( , ; , ) ( , ; , )
x y x y
x y
x y x y
G x r y r G x r y r
G x r y r
G x r y r G x r y r
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
1. R. F. Akhmet’yanov, V. O. Ponomarev,† O. A. Ponomarev,‡ and E. S. Shikhovtseva,
Theor. Math. Phys., 149, N1 2006 .
Поступила 18.01.2010р.
УДК 621.311
О.В.Тимченко, Б.М.Верхола, А.Т.Ратич
ЕФЕКТИВНІСТЬ ПЕРЕДАЧІ ВІДЕОТРАФІКУ MPEG
В МЕРЕЖІ MPLS
Вступ.
Передача трафіку мультимедіа вимагає стабільної пропускної здатності
мережі, що досягається шляхом резервування. Протокол резервування каналу
(Resource Reservation Protocol - RSVP) використовується сервером для
забезпечення вимог необхідної якості сервісу (quality of service - QoS) [1].
Хоча концепція QoS забезпечує стабільну пропускну здатність для
мультимедійного трафіку, вузьким місцем передачі найчастіше є
маршрутизатори, які пересилають пакети почергово.
MPLS (Multiprotocol Label Switching) - це технологія швидкої комутації
пакетів в багатопротокольних мережах, заснована на використанні міток.
MPLS розробляється і позиціонується як спосіб побудови високошвидкісних
IP-магістралей, проте область її застосування не обмежується протоколом IP,
а розповсюджується на трафік будь-якого мережевого протоколу, що
маршрутизується.
У основі MPLS лежить принцип обміну міток. Будь-який пакет
асоціюється з тим або іншим класом мережевого рівня (Forwarding
|