Оценка погрешности определения метоположения излучателя дальномерными методами
The system of equations, depending on parameters which can contain errors, is examined. The method of calculation of maximal and middling quadratic errors of decision of the system at the small errors of parameters is presented.
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2010
|
| Назва видання: | Моделювання та інформаційні технології |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21824 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оценка погрешности определения метоположения излучателя дальномерными методами / А.П. Мартовский, Е.А. Немкова // Моделювання та інформаційні технології: Зб. наук. пр. — К.: ІПМЕ ім. Г.Є.Пухова НАН України, 2010. — Вип. 55. — С. 218-225. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-21824 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-218242011-06-20T12:06:48Z Оценка погрешности определения метоположения излучателя дальномерными методами Мартовский, А.П. Немкова, Е.А. The system of equations, depending on parameters which can contain errors, is examined. The method of calculation of maximal and middling quadratic errors of decision of the system at the small errors of parameters is presented. 2010 Article Оценка погрешности определения метоположения излучателя дальномерными методами / А.П. Мартовский, Е.А. Немкова // Моделювання та інформаційні технології: Зб. наук. пр. — К.: ІПМЕ ім. Г.Є.Пухова НАН України, 2010. — Вип. 55. — С. 218-225. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. XXXX-0068 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21824 534.17.171 ru Моделювання та інформаційні технології Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
The system of equations, depending on parameters which can contain
errors, is examined. The method of calculation of maximal and middling quadratic
errors of decision of the system at the small errors of parameters is presented. |
| format |
Article |
| author |
Мартовский, А.П. Немкова, Е.А. |
| spellingShingle |
Мартовский, А.П. Немкова, Е.А. Оценка погрешности определения метоположения излучателя дальномерными методами Моделювання та інформаційні технології |
| author_facet |
Мартовский, А.П. Немкова, Е.А. |
| author_sort |
Мартовский, А.П. |
| title |
Оценка погрешности определения метоположения излучателя дальномерными методами |
| title_short |
Оценка погрешности определения метоположения излучателя дальномерными методами |
| title_full |
Оценка погрешности определения метоположения излучателя дальномерными методами |
| title_fullStr |
Оценка погрешности определения метоположения излучателя дальномерными методами |
| title_full_unstemmed |
Оценка погрешности определения метоположения излучателя дальномерными методами |
| title_sort |
оценка погрешности определения метоположения излучателя дальномерными методами |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21824 |
| citation_txt |
Оценка погрешности определения метоположения излучателя дальномерными методами / А.П. Мартовский, Е.А. Немкова // Моделювання та інформаційні технології: Зб. наук. пр. — К.: ІПМЕ ім. Г.Є.Пухова НАН України, 2010. — Вип. 55. — С. 218-225. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Моделювання та інформаційні технології |
| work_keys_str_mv |
AT martovskijap ocenkapogrešnostiopredeleniâmetopoloženiâizlučatelâdalʹnomernymimetodami AT nemkovaea ocenkapogrešnostiopredeleniâmetopoloženiâizlučatelâdalʹnomernymimetodami |
| first_indexed |
2025-07-02T21:52:02Z |
| last_indexed |
2025-07-02T21:52:02Z |
| _version_ |
1836573652623032320 |
| fulltext |
218 © А. П. Матковский, Е. А. Немкова
Вище запропонований метод формального опису графічних засобів
захисту дозволяє визначати базові параметри, які характеризують стійкість
захисту документів, розробити математичну модель в межах якої можна було
б досліджувати графічні засоби захисту, оперативно змінювати їх рівень
захисту та забезпечити просту і ефективну ідентифікацію документів в
системі документообігу.
1. Киричок П. О. Захист цінних паперів та документів суворого обліку : монографія /
П. О. Киричок, Ю. М. Коростіль, А. В. Шевчук. – К. : НТУУ "КПІ", 2008. – 368 с.
2. Лазаренко Е. Т. Захист друкованої продукції : навч. посіб. / Е. Т. Лазаренко,
В. З. Маїк, А. В. Шевчук, С. В. Жидецький. – Л.: УАД, 2007. – 96 с.
3. Русин Б. П. Системи синтезу, обробки та розпізнавання складноструктурованих
зображень / Б. П. Русин. – Л. : Вертикаль, 1997. – 264 с.
4. Зыков А. А. Основы теории графов / А. А. Зыков. – М. : Наука, 1987. – 384 с.
5. Сапаров М. Рекуррентные теоретико-графовые функции и алгоритмы их
вычисления / М. Сапаров. – Ашхабад : Ылым, 1987. – 290 с.
6. Пашкевич В. З. Опис графічних засобів захисту на основі їх графового представ-
лення / В. З. Пашкевич // Моделювання та інформаційні технології : зб. наук. пр. /
НАН України, Ін-т проблем моделювання в енергетиці ім. Г. Є. Пухова. – К., 2005. –
Вип. 35. – С. 76–84.
7. Алексеев В. Б. Элементы теории графов, схем и автоматов : учеб. пособие / В. Б.
Алексеев, С. А. Ложкин. – М. : Изд-во ВМиК МГУ, 2000. – 58 с.
8. Серебрянников О. Ф. Эвристические принципы и логические исчисления / О. Ф.
Серебрянников. – М. : Наука, 1970. – 282 с.
Поступила 18.01.2010р.
УДК 534.17.171
А. П. Матковский, к.т.н., Е. А. Немкова, к.ф.-м.н.
Институт новейших технологий и управления им.В.Чорновола,
каф. Компьютерных систем и защиты информации, Львов, Украина
ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МЕСТОПОЛОЖЕНИЯ
ИЗЛУЧАТЕЛЯ ДАЛЬНОМЕРНЫМИ МЕТОДАМИ
Abstract: The system of equations, depending on parameters which can contain
errors, is examined. The method of calculation of maximal and middling quadratic
errors of decision of the system at the small errors of parameters is presented.
Рассматривается система уравнений, зависящая от параметров, которые
могут содержать погрешности. Предлагается способ вычисления
максимальной и среднеквадратичной погрешностей решения системы при
малых ошибках параметров. В качестве примера рассматривается задача
219
определения местоположения точечного источника поля по измеренным
разностям расстояний относительно системы приемников и задача
вычисления координат приемников по задаваемым расстояниям
относительно системы передатчиков. Приведены числовые результаты.
Существует целый ряд задач, требующих знания местоположения
источника (излучателя) некоторого физического поля относительно системы
приемников. Если расположение приемников известно, то координаты
излучателя определяются дальномерными методами [1, 2], основанными на
измерении расстояний между приемниками или разности расстояний от
излучателя до каждого из двух приемников. При неизвестных координатах
приемников также могут быть применены дальномерные методы [3 ─ 4].
Так как при решении задачи используются результаты измерений,
которые содержат некоторые погрешности, то возникает задача оценки
погрешности искомых координат излучателя. В работе [5] сделана попытка
аналитически определить указанную погрешность, однако исследования
ограничились лишь приведением некоторых общих выражений, содержащих
малые погрешности координат. Некоторая оценка точности вычисления
координат приемников и излучателя проведена в [5] путем использования
математического моделирования ─ внесение в точные значения временных
задержек случайных малых составляющих, однако этот путь весьма
трудоемок по объему вычислений и не дает возможности найти
максимальную погрешность.
Настоящая работа посвящена определению максимальной погрешности
вычисления координат излучателя при малых ошибках в координатах
приемников и разностях расстояний. При этом используется подход,
изложенный в работах [6, 7].
Общий случай. Пусть исходная задача описывается системой
уравнений:
1 1( ,..., , ,..., ) 0,j n Lx x a aϕ = (1)
где xi ─ неизвестные (область решения); i, j = 1, 2, …, n; ak ─ параметры
(область параметров), k = 1, 2, …, L.
Предполагается, что погрешности параметров ak достаточно малы,
функции φj имеют непрерывные частные производные по xi и ak, а якобиан
системы (1) отличен от нуля. Тогда с точностью до величин высшего порядка
малости имеем связь между приращениями параметров и неизвестных:
1
L
i
i k
k k
x
x a
a=
∂
Δ = Δ
∂
∑ . (2)
Частные производные ∂xi/∂ak определяются из систем линейных
алгебраических уравнений, получающихся дифференцированием
соотношений (1) по ak:
1
n j ji
i i k k
x
x a a
ϕ ϕ
=
∂ ∂∂
⋅ = −
∂ ∂ ∂
∑ .
220
Так как значения погрешностей Δ ak, как правило, неизвестны, то будем
искать максимальное по {Δ ak} значение Km отношения K = Δ Sx / Δ Sa, где
2 2 2 2
1 1
,
L n
a k x i
k i
S a S x
= =
Δ = Δ Δ = Δ∑ ∑ .
Используя равенства (2), получаем:
2 * *
1 1
L L
k l k l
k l
K g a a
= =
= Δ Δ∑ ∑ , (3)
где
*
1
, /
n
i i
k l k k a
i k l
x x
g a a S
a a=
∂ ∂
= ⋅ Δ = Δ Δ
∂ ∂
∑ .
Отметим, что
2 *
1
1
L
k
k
a
=
Δ =∑ . (4)
Таким образом, определение значения величины Km сводится к
нахождению максимума функции (3) при условии (4). При этом мы получаем
также единичный вектор А = {Δ ak
*}, в направлении которого происходит
наибольшее изменение Δ Sx.
Методом множителей Лагранжа находим:
maxm kk
K λ= ,
где λk ─ корень характеристического уравнения матрицы {g kl}.
Следовательно, с точностью до величин высшего порядка малости по
отношению к {Δ ak} имеем оценку:
x m aS K SΔ ≤ Δ . (5)
Величину Km называем оценкой погрешности решения системы
уравнений (1).
Определим теперь значение величины Δ Sa для которой можно принять,
что оценка (5) справедлива с заданной точностью. Пусть (здесь и далее) А ─
единичный собственный вектор матрицы {gkl}, соответствующий
максимальному собственному значению, тогда максимальное значение K
достигается при коллинеарности векторов А и {Δ ak}. Дадим параметрам {ak}
приращение в направлении вектора А: {Δ ak} = r*A (при этом Δ Sa = r).
Рассмотрим величину Km(r) = Δ Sx(r) / Δ Sa(r) и разложим ее в ряд Маклорена
по r:
' 2 "( ) (0) (0) (0) / 2 ...m m m mK r K r K r K= + ⋅ + ⋅ + . (6)
Отметим, что Km(0) = Km , а значение Km(r) находим путем решения
исходной системы (1), когда параметры {ak} получают приращения {Δ ak}.
Ограничимся двумя первыми членами в разложении (6). Значение K'm(0)
можно определить посредством процедуры численного дифференцирования,
т.е. K'm(0) = [Km(r1) - Km(0)]/r1, где r1 ─ шаг для численного
дифференцирования. Определение оптимального значения r1 приведено в [8],
221
отметим лишь, что оно может быть найдено и путем подбора в каждом
конкретном случае. Искомое значение Δ Sa = rε получим из условия, что
Km(rε) отличается от Km не более, чем на задаваемую величину относительной
погрешности ε:
'( ) (0) (0) (1 )m m m mK r K r K Kε ε ε= + ⋅ = + ⋅ .
Окончательно получаем:
1 1/( ( ) )m m mr K r K r Kε ε= − . (7)
Среднеквадратичное значение величины К определяется формулой:
2 /
L L
s L LK K d d
Ω Ω
= Ω Ω∫ ∫ , (8)
где ΩL ─ единичная сфера (4). Используя равенство (3) и вычислив
поверхностные интегралы в правой части (8), имеем формулу
1
1 L
s kk
k
K g
L =
= ∑ . (9)
Рассмотрим теперь задачу вычисления координат излучателя
дальномерными методами.
I. Пассивная форма дальномерного метода.
Пусть имеются n различных точек (приемников) Мi (xi, yi, zi) и базовая
точка О(0, 0, 0), не совпадающая ни с одной из точек Мi. Пусть также имеется
некоторая точка (излучатель) Nj(xtj, ytj, ztj), координаты которой в разные
моменты времени t1, t2, …, tm необходимо определить относительно
приемников по измеренным (заданным) разностям расстояний Dij = ρ(Nj, O) -
ρ(Nj, Mi), здесь ρ(А, В) ─ расстояние между точками А и В.
Для определения искомых координат получаем уравнения
( , , ; , , )ij tj tj tj i i i ijf x y z x y z D= , (10)
i = 1,2,…,n, j = 1,2,…,m,
где 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )ij tj tj tj tj i tj i tj if x y z x x y y z z= + + − − + − + − .
Систему координат фиксируем с помощью трех приемников О(0, 0, 0),
M1(0, 0, z1) и M2(x2, 0, z2). Таким образом, имеем 3n+3m-3 неизвестных и n*m
уравнений. Для двумерной (плоской) задачи неизвестных будет 2n+2m-1.
Поскольку величины Dij измеряются с некоторой погрешностью, под
решением системы (10) понимаем нахождение минимума функционала
2
1 1
( )
n m
ij ij
i j
F f D
= =
= −∑∑ . (11)
Необходимые условия минимума функции (11) ─ частные производные
от F по неизвестным приравниваются к нулю и получившаяся система
уравнений является частным случаем системы уравнений (1).
Замечание 1. Задачу (11) можно решать непосредственно, используя
222
функцию «Поиск решения» электронных таблиц Excel, однако при этом надо
задать более или менее хорошее начальное приближение.
Проиллюстрируем изложенное выше на примерах в двумерной
постановке. Пусть имеется базовый приемник О в начале координат, четыре
приемника М1 ─ М4 (изображены черными квадратиками) и восемь
положений излучателя (черные кружочки) ─ рис. 1. Мы имеем 32 уравнения
и 23 неизвестных, вектор которых Х имеет вид:
Х = {x1, x2, x3, x4, y2, y3, y4, xt1, yt1, xt2, yt2, …, xt8, yt8}.
При определении искомых координат (точных значений Хточн) путем
минимизации функционала (11) в качестве начального приближения брался
вектор Хнач со случайными компонентами такой, что ║Хточн - Хнач║ = 586, при
этом задача решилась за 52 итерации и 3,5 секунды на персональном
компьютере с процессором AMD Sempron 1400 MHz. Величина Km для
рассматриваемого примера равна ≈ 48.
На рис. 1 значками с белым фоном показаны результаты решения
задачи, когда в разности расстояний {Dij} внесены погрешности {Δ Dij} = r*A
для r = 10 (напомним, что вектор А определяет в пространстве параметров
направление, соответствующее максимальному росту нормы вектора
неизвестных). Как видно из рис.1, небольшие погрешности исходных данных
могут вызвать значительные ошибки в искомых координатах, что
объясняется большим значением оценки погрешности Кm.
Рис. 1. Влияние погрешностей исходных данных на погрешность в искомых
координатах для пассивной формы дальномерного метода
Приведем теперь оценки погрешности определения координат
излучателя в разные моменты времени ti, при условии, что координаты
приемников заданы. Как видно из таблицы, значения Km(j) значительно
меньше по сравнению с оценкой погрешности для всей задачи (Km = 48) и
при удалении излучателя от приемников возрастают. В таблице приведены
также значения величины rε(j), вычисленные по формуле (7) для ε = 0,1. При
удалении излучателя от приемников величины rε(j) уменьшаются.
223
Таблица
Оценки погрешности координат излучателей
для заданных координат приемников
II. Активная форма дальномерного метода.
В этом случае наряду с приемниками Мi(xi, yi, zi) имеются передатчики
(излучатели) Pj(Xj, Yj, Zj), которые позволяют измерять расстояния до
приемников.
Для определения искомых координат получаем уравнения
( , , ; , , ) ,ij j j j i i i ijg X Y Z x y z d= (12)
i = 1, 2, …, n , j =1, 2, …, m,
где 2 2 2( ) ( ) ( )ij i i ig Xj x Yj y Zj z= − + − + − .
Систему координат фиксируем с помощью трех приемников M1(0, 0, 0),
M2(0, 0, z2) и M3(x3, 0, z3). Таким образом имеем 3n+3m-6 неизвестных и n*m
уравнений. Для двумерной задачи неизвестных будет 2n+2m-3.
Поскольку величины dij измеряются с некоторой погрешностью, под
решением системы (12) также понимаем минимизацию соответствующего
функционала
2
1 1
( )
n m
ij ij
i j
G g d
= =
= −∑∑ (13)
Рассмотрим пример в двумерной постановке. Пусть имеется пять
приемников М1 ─ М5 (изображены черными квадратиками) и четыре
излучателя P1 ─ P4 (черные кружочки) ─ рис. 2. Получаем 23 уравнения и 15
неизвестных, вектор которых Х имеет вид:
Х = {x2, x3, x4, x5, y3, y4, y5, X1, Y1, X2, Y2, X3, Y3, X4, Y4}.
Величина Km для рассматриваемого примера равна ≈ 5,8. На рис. 2
значками с белым фоном показаны результаты решения задачи, когда в
расстояния {dij} внесены погрешности {Δ dij} = r*A для r = 50.
Как видно из рис. 2, достаточно большие погрешности исходных
данных не вызывают значительных ошибок в искомых координатах, что
объясняется относительно небольшим значением оценки погрешности Кm ─
сравним с результатами, представленными на рис. 1 для r = 10.
Замечание 2. Для активной формы дальномерного метода также
желательно знать начальное приближение при минимизации функционала
(13), однако возможно решение будет найдено (как в рассмотренном
примере) и при нулевом начальном приближении.
tj 1 2 3 4 5 6 7 8
Km(j) 15,06 8,59 1,27 0,74 0,85 1,01 4,42 10,61
rε(j) 5,3 7,0 26 185 133 57 7,8 5,5
224
Рис. 2. Влияние погрешностей исходных данных на погрешность в искомых
координатах для активной формы дальномерного метода
Выводы
Поданный материал дает возможность оценивать погрешность решения
систем уравнений в зависимости от погрешностей параметров, входящих в
уравнения, не решая сами уравнения. Применение изложенного подхода к
задачам определения координат точечного источника физического поля
дальномерными методами позволяет оптимально располагать системы
приемников по отношению к излучателю сигнала и оценивать точность
полученных результатов.
1. Андреева И.В. Физические основы распространения звука в океане. Л.:
Гидроиздат, 1975, 208 с.
2. Телятников В.И. Методы и устройства для определения местоположения
источников звука.─Зарубежная радиоэлектроника, 1978, № 4, с.66-86.
3. Матковский А.П. Вычисление координат излучателя по измеренным временным
задержкам // Методы и средства анализа пространственно-временных полей:
Сб.науч.тр. ─ Львов: ВНИИМИУС, 1987. ─ С.89-92.
4. Заяц А.Г., Чалый В.П. Метод определения взаимного расположения приемников
и движущегося источника поля.─ В кн. Методы и средства анализа случайных
пространственно-временных полей: Сб. науч.тр.─Лъвов:ВНИИМИУС,1983.─С.66-72.
5. Третьяков В.В., Цыцык З.Я., Чабан A.С. Погрешность определения координат в
задаче пространственно-временного анализа акустических полей. ─ В кн.: Методы и
средства анализа случайных пространственно-временных полей: Сб. науч. тр. ─
Львов: ВНИИМИУС, 1983. ─ С.51-56.
6. Матковский А.П. Оценка погрешности вычисления координат излучателя по
измеренным временным задержкам // Исследования в области измерения параметров
пространственно-временных полей: Сб.науч.тр.─Львов:ВНИИМИУС,1985.─С.56-63.
7. Матковский А.П., Сухенко А.И. Вычисление максимальной погрешности
решения систем уравнений при малых ошибках параметров // Методы и средства
225 © И.В.Рубан, О.В.Шитова, Д.П. Пашков
определения метрологических характеристик измерительных систем: Сб. науч.тр. ─
Львов: ВНИИМИУС, 1990. ─ С.91-96.
8. Волков Е.А. Численные методы.─М.: Наука. ─ 248 с.
Поступила 25.01.2010р.
УДК 621.34
И.В.Рубан, нач. каф. математического и программного обеспечения АСУ,
д.т.н., профессор,
О.В.Шитова, преп. каф. математического и программного обеспечения АСУ,
Харьковский университет Воздушных Сил им. И. Кожедуба
Д.П. Пашков, докторант Национальной академии обороны Украины, к.т.н.,
доцент
МЕТОД ОБРАБОТКИ ЦИФРОВОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ ДЛЯ
ЛОКАЛИЗАЦИИ ИНФОРМАТИВНЫХ ОБЛАСТЕЙ
В работе предложен многокритериальный подход к обработке
изображения для локализации информативных областей. Основное отличие
подхода – обработка изображения параллельно тремя процессами, а именно
локализация информативных областей на цветном и бинарном представлениях
изображения по цвету, и локализация областей на бинарном представлении по
геометрическим признакам объекта.
There is offered multicriterion from is in-process of image’s working for
localization informing areas in this work. A basic difference of approach is treatment
of image parallell by three processes, namely localization of informing areas on the
coloured and binary presentations of image in color, and localization of areas on
binary presentation on the geometrical features of object.
Ключевые слова: изображение, область представления, локализация,
многокритериальная обработка.
Постановка задачи.
В настоящее время одними из основных задач построения технических
систем являются задачи обработки изображений. Большой интерес в области
анализа изображений, искусственного интеллекта, информационных систем
представляет собой разработка методов автоматической обработки
визуальной информации. К методам автоматической обработки изображений
относятся методы автоматического поиска, обнаружения и локализации
участков изображения, представляющих интерес для предметной области.
Под объектом в задачах анализа изображений понимается множество
точек изображения, характеризующихся общими и индивидуальными
|