Особливості оцінки асимптотичної стійкості лінійних параметричних кіл частотним символьним методом
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Моделювання та інформаційні технології |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21828 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Особливості оцінки асимптотичної стійкості лінійних параметричних кіл частотним символьним методом / Ю.І. Шаповалов // Моделювання та інформаційні технології: Зб. наук. пр. — К.: ІПМЕ ім. Г.Є.Пухова НАН України, 2010. — Вип. 56. — С. 132-135. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-21828 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-218282011-06-20T12:02:25Z Особливості оцінки асимптотичної стійкості лінійних параметричних кіл частотним символьним методом Шаповалов, Ю.І. 2010 Article Особливості оцінки асимптотичної стійкості лінійних параметричних кіл частотним символьним методом / Ю.І. Шаповалов // Моделювання та інформаційні технології: Зб. наук. пр. — К.: ІПМЕ ім. Г.Є.Пухова НАН України, 2010. — Вип. 56. — С. 132-135. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. XXXX-0068 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21828 621.372.061 uk Моделювання та інформаційні технології Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| format |
Article |
| author |
Шаповалов, Ю.І. |
| spellingShingle |
Шаповалов, Ю.І. Особливості оцінки асимптотичної стійкості лінійних параметричних кіл частотним символьним методом Моделювання та інформаційні технології |
| author_facet |
Шаповалов, Ю.І. |
| author_sort |
Шаповалов, Ю.І. |
| title |
Особливості оцінки асимптотичної стійкості лінійних параметричних кіл частотним символьним методом |
| title_short |
Особливості оцінки асимптотичної стійкості лінійних параметричних кіл частотним символьним методом |
| title_full |
Особливості оцінки асимптотичної стійкості лінійних параметричних кіл частотним символьним методом |
| title_fullStr |
Особливості оцінки асимптотичної стійкості лінійних параметричних кіл частотним символьним методом |
| title_full_unstemmed |
Особливості оцінки асимптотичної стійкості лінійних параметричних кіл частотним символьним методом |
| title_sort |
особливості оцінки асимптотичної стійкості лінійних параметричних кіл частотним символьним методом |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21828 |
| citation_txt |
Особливості оцінки асимптотичної стійкості лінійних параметричних кіл частотним символьним методом / Ю.І. Шаповалов // Моделювання та інформаційні технології: Зб. наук. пр. — К.: ІПМЕ ім. Г.Є.Пухова НАН України, 2010. — Вип. 56. — С. 132-135. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Моделювання та інформаційні технології |
| work_keys_str_mv |
AT šapovalovûí osoblivostíocínkiasimptotičnoístíjkostílíníjnihparametričnihkílčastotnimsimvolʹnimmetodom |
| first_indexed |
2025-07-02T21:52:13Z |
| last_indexed |
2025-07-02T21:52:13Z |
| _version_ |
1836573663843844096 |
| fulltext |
132 © Ю.І. Шаповалов
Крім того, при організації управлінських процесів потрібно
враховувати наступні загальні характеристики організації:
• наявність ресурсів організації: людей (людських ресурсів), капіталу,
матеріалів, технології та інформації, які вона має перетворити для
досягнення своїх цілей і отримання результатів;
• залежність від зовнішнього середовища, яка включає соціально-
політичні та економічні умови, учасників управління, громадські
організації, законодавство та ін.;
• горизонтальний поділ праці;
• підрозділи (групи людей, діяльність яких свідомо направляється і
координується для досягнення загальної цілі), що являють собою
складові частини організації, які виконують специфічні конкретні
завдання та добиваються конкретних специфічних цілей, без яких не
може бути досягнута загальна ціль організації;
• вертикальний поділ праці (оскільки робота в організації розподіляється
на складові частини, хтось повинен координувати роботу підрозділів і
всієї організації для досягнення нею успіху).
Таким чином можливо системно підійти до синтезу організаційних
структур. Вони дозволять системно досягти головну мету - зміцнення та
захист незалежності, державного суверенітету та єдності України,
утвердження в житті держави і суспільства цінностей людської гідності,
свободи, справедливості, забезпечення демократії і верховенства права.
Поступила 25.02.2010р.
УДК 621.372.061
Ю.І. Шаповалов, Національний університет “Львівська політехніка”
ОСОБЛИВОСТІ ОЦІНКИ АСИМПТОТИЧНОЇ СТІЙКОСТІ
ЛІНІЙНИХ ПАРАМЕТРИЧНИХ КІЛ ЧАСТОТНИМ
СИМВОЛЬНИМ МЕТОДОМ
Вступ
Відомо [1,2], що так звана бічастотна передавальна функція ( , )W s r
лінійного параметричного кола з комплексними змінними s jσ ω= + та
r jρ μ= + може бути використана для оцінки його асимптотичної стійкості.
При цьому необхідно визначити всі порушення аналітичності функції ( , )W s r
на площині ρσ , побудувати на цій основі так звану характеристику
збіжності ( )ρ χ σ= та область 1D . Критерій оцінки стійкості наступний:
133
якщо область 1D містить всередині себе точки з 0σ < , то коло з такою
характеристикою ( )ρ χ σ= вважається асимптотично стійким.
Дана робота присвячена вивченню можливості оцінки стійкості лінійних
параметричних кіл за поданим критерієм при їх аналізі частотним
символьним методом [3].
Як зазначається у [1], один з шляхів визначення функції ( , )W s r полягає
у застосуванні перетворення Лапласа до так званої нормальної передавальної
функції ( , )W s ξ по змінній ξ :
0
( , ) ( , ) rW s r W s e dξξ ξ
∞
−= ∫ , (1)
яка, у свою чергу, є перетворенням Лапласа імпульсної передавальної
функції ( , )w t ξ по змінній t , де t - час, ξ - момент подачі на вхід кола
дельта-імпульсу.
Основна частина
При обчисленні спряженої функції ( , )W s t частотним символьним
методом ми успішно [4] користуємося її апроксимацією ˆ ( , )W s t у вигляді
зрізаного ряду Фур’є:
0
1
ˆ ( , ) ( ) [ ( ) cos( ) ( )sin( )]
k
ci si
i
W s t W s W s i t W s i t
=
= + Ω + Ω∑ , (2)
де 0 ( )W s , ( )ciW s , ( )siW s - незалежні від часу t дробово-раціональні функції
комплексної змінної s з однаковим згідно частотного символьного методу
знаменником, який позначимо через ( )sΔ , k - кількість гармонік у ряді,
2 TπΩ = , T - період зміни параметра параметричного елемента кола під
дією сигналу накачки.
Така апроксимація:
а) забезпечує унікальну простоту визначення функцій 0 ( )W s , ( )ciW s , ( )siW s
у символьному виді завдяки тому, що зводиться до розв’язування системи
лінійних алгебраїчних рівнянь [3];
б) дозволяє отримувати як завгодно точний вираз для ˆ ( , )W s t (з точки зору
методичної помилки) шляхом збільшення кількості k врахованих у ряді (2)
членів [4];
в) формує вираз для ˆ ( , )W s t , який є набагато компактніший за вирази, які
отримані іншими, наприклад, наближеними методами з [1];
г) довела свою високу ефективність і зручність при подальшому дослідженні
лінійних параметричних кіл [3] шляхом дослідження функції ( , )W s t через її
апроксимацію ˆ ( , )W s t .
Задача оцінки асимптотичної стійкості, як витікає з (1), вимагає
134
попереднього визначення функції ( , )W s ξ . Формування цієї функції, у
зв’язку з зазначеними позитивними особливостями апроксимації (2),
доцільно проводити у аналогічному вигляді:
0
1
ˆ ( , ) ( ) [ ( ) cos( ) ( )sin( )]
k
ci si
i
W s W s W s i W s iξ ξ ξ
=
= + Ω + Ω∑ . (3)
Крім того, апроксимація (3) функції ( , )W s ξ , не маючи залежних від ξ
знаменників, забезпечує достатньо просте обчислення інтеграла (1). Так, у
випадку апроксимації функції ( , )W s ξ виразом (3), визначення інтеграла (1)
зводиться до обчислення наступних інтегралів:
0
10 0 0
( , ) ( ) [ ( ) cos( ) ( ) sin( ) ]
k
r r r
ci si
i
W s r W s e d W s i e d W s i e dξ ξ ξξ ξ ξ ξ ξ
∞ ∞ ∞
− − −
=
= + Ω + Ω∑∫ ∫ ∫ .(4)
Враховуючи, що [5]:
0
1re d
r
ξ ξ
∞
− =∫ , 2 2
0
cos( )
( )
r ri e d
r i
ξξ ξ
∞
−Ω =
+ Ω
∫ , 2 2
0
sin( )
( )
r ii e d
r i
ξξ ξ
∞
− Ω
Ω =
+ Ω
∫ ,
отримуємо вираз для бічастотної передавальної функції кола у вигляді:
0 2 2 2 2
1
1( , ) ( ) [ ( ) ( ) ]
( ) ( )
k
ci si
i
r iW s r W s W s W s
r r i r i=
Ω
= + +
+ Ω + Ω
∑ . (5)
У виразі (5), згідно критерію асимптотичної стійкості, необхідно
визначити всі порушення аналітичності, які визначаються коренями
знаменника цього виразу. З цього ж виразу (5) витікає, що його знаменник,
який позначимо через ( , )s rΔ , можемо записати у вигляді:
2 2
1
( , ) ( ) ( ( ) )
k
i
s r s r r i
=
Δ = Δ ⋅ ⋅ + Ω∏ . (6)
Вигляд виразу (6) переконує, що множина коренів виразу ( , )s rΔ
складається з множини коренів полінома ( )sΔ функції ( , )W s ξ та коренів:
0 0r = , 1r j= Ω , 2 2r j= Ω , … , kr jk= Ω . (7)
Оскільки дійсні частини всіх коренів у (7) є нульові, то на площині ρσ
вони будуть представлені накладеними одна на одну прямими лініями, що
зливаються з віссю σ . Дійсні частини коренів поліному ( )sΔ з (6) у площині
ρσ будуть представлені прямими лініями, паралельними осі ρ , які
перетинають вісь σ через значення дійсної частини «свого» кореня.
Характеристика збіжності ( )ρ χ σ= у цьому випадку буде мати вигляд
прямого кута, одна сторона якого лежить на осі σ , інша – на вертикальній
лінії, що відповідає кореню ( )sΔ з найбільшою дійсною частиною, та
вершина розташована у точці, де ця лінія перетинає вісь σ . Побудований
таким чином прямий кут максимально включає верхній правий квадрант
135
площини ρσ , чим і утворює область 1D . Очевидно, що у такому випадку
область 1D не включає точки з 0ρ < та: а) включає точки з 0σ < , якщо
найбільша дійсна частина серед дійсних частин усіх коренів ( )sΔ від’ємна,
або б) не включає точки з 0σ < , якщо найбільша дійсна частина серед
дійсних частин усіх коренів ( )sΔ рівна нулю чи додатна. Очевидно, що у
випадку (а) коло стійке, у випадку (б) – нестійке. Виходячи з способу
побудови області 1D , робимо висновок про те, що апроксимація ˆ ( , )W s ξ у
вигляді (3) зводить проблему оцінки асимптотичної стійкості кола з аналізу
характеристики збіжності ( )ρ χ σ= функції ( , )W s r до звичайного
знаходження найбільшої дійсної частини серед дійсних частин усіх коренів
знаменника ( )sΔ нормальної функції передачі кола ( , )W s ξ .
Висновки
У статті показано, що апроксимація нормальної функції передачі
ˆ ( , )W s ξ у вигляді зрізаного ряду Фур’є зводить проблему оцінки асимпто-
тичної стійкості кола з аналізу характеристики збіжності ( )ρ χ σ= функції
( , )W s r до звичайного знаходження найбільшої дійсної частини серед
дійсних частин усіх коренів знаменника ( )sΔ нормальної функції передачі
кола ( , )W s ξ . Цей факт дозволяє відмовитись від обчислення функції ( , )W s r
та переконує, що для оцінки асимптотичної стійкості лінійного
параметричного кола достатньо:
а) знайти частотним символьним методом у вигляді зрізаного ряду Фур’є
(3) нормальну передавальну функцію ˆ ( , )W s ξ цього кола;
б) знайти корені знаменника ( )sΔ функції ˆ ( , )W s ξ ;
в) визначити серед коренів поліному ( )sΔ наявність коренів з нульовою
або додатною дійсними частинами. Якщо такі корені є, то коло нестійке,
якщо їх немає – то коло стійке.
1. Солодов А.В., Петров Ф.С. Линейные автоматические системы с переменными
параметрами.-М.:Наука, 1971.-620 с.
2. Бриккер И.Н. О частотном анализе линейных систем с переменными
параметрами//Автоматика и телемеханика, № 8, 1966.-с.43-54.
3. Шаповалов Ю., Мандзій Б. Символьний аналіз лінійних параметричних кіл: стан
питань, зміст і напрямки застосування // Теоретична електротехніка. 2007. Вип. 59, с.3-9.
4. Шаповалов Ю.І., Маньковський С.В. Застосування топологічних методів за
символьного аналізу лінійних параметричних кіл. Вісник НУ «Львівська політехніка»
Електроніка та телекомунікації, № 618, 2008.-с. 76-81.
5. Г. Корн, Т. Корн Справочник по математике (для научных работников и
инженеров), М., 1974.- 832с.
Поступила 25.12.2009р.
|