Метод дискретизації в задачах про втрату стійкості однопрольотних стрижнів зі змінними параметрами
У статті запропоновано новий наближений метод розв’язування задач про втрату стійкості однопрольотних стрижнів зі змінними параметрами. В його основу закладено апроксимацію коефіцієнтів відповідних диференціальних рівнянь узагальненими функціями. Отримані результати свідчать про ефективність методу...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2009
|
| Назва видання: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/22090 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Метод дискретизації в задачах про втрату стійкості однопрольотних стрижнів зі змінними параметрами / Р. Тацій, Т. Ушак // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 9. — С. 107-117. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-22090 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-220902011-06-21T12:05:02Z Метод дискретизації в задачах про втрату стійкості однопрольотних стрижнів зі змінними параметрами Тацій, Р. Ушак, Т. У статті запропоновано новий наближений метод розв’язування задач про втрату стійкості однопрольотних стрижнів зі змінними параметрами. В його основу закладено апроксимацію коефіцієнтів відповідних диференціальних рівнянь узагальненими функціями. Отримані результати свідчать про ефективність методу під час розв’язування задач стійкості. The new approximate method of solving the problems on resistance loss of single-span rods with variable parameters has been presented. The method is based on the approximation of coefficients of the corresponding differential equations with generalized functions. The obtained results illustrate the method efficiency when solving the resistance problems. New results unknown in specialized literature before were obtained. В статье предлагается новый приближенный метод решения задач о потере устойчивости однопролётных стержней с переменными параметрами. В основе метода лежит аппроксимация коэффициентов соответствующих дифференциальных уравнений обобщенными функциями. Полученные результаты свидетельствуют об эффективности метода в задачах устойчивости. Получено новые результаты, неизвестные в специализированной литературе. 2009 Article Метод дискретизації в задачах про втрату стійкості однопрольотних стрижнів зі змінними параметрами / Р. Тацій, Т. Ушак // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 9. — С. 107-117. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/22090 624.075:539.3 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
У статті запропоновано новий наближений метод розв’язування задач про втрату стійкості однопрольотних стрижнів зі змінними параметрами. В його основу закладено апроксимацію коефіцієнтів відповідних диференціальних рівнянь узагальненими функціями. Отримані результати свідчать про ефективність методу під час розв’язування задач стійкості. |
| format |
Article |
| author |
Тацій, Р. Ушак, Т. |
| spellingShingle |
Тацій, Р. Ушак, Т. Метод дискретизації в задачах про втрату стійкості однопрольотних стрижнів зі змінними параметрами Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| author_facet |
Тацій, Р. Ушак, Т. |
| author_sort |
Тацій, Р. |
| title |
Метод дискретизації в задачах про втрату стійкості однопрольотних стрижнів зі змінними параметрами |
| title_short |
Метод дискретизації в задачах про втрату стійкості однопрольотних стрижнів зі змінними параметрами |
| title_full |
Метод дискретизації в задачах про втрату стійкості однопрольотних стрижнів зі змінними параметрами |
| title_fullStr |
Метод дискретизації в задачах про втрату стійкості однопрольотних стрижнів зі змінними параметрами |
| title_full_unstemmed |
Метод дискретизації в задачах про втрату стійкості однопрольотних стрижнів зі змінними параметрами |
| title_sort |
метод дискретизації в задачах про втрату стійкості однопрольотних стрижнів зі змінними параметрами |
| publisher |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/22090 |
| citation_txt |
Метод дискретизації в задачах про втрату стійкості однопрольотних стрижнів зі змінними параметрами / Р. Тацій, Т. Ушак // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 9. — С. 107-117. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| series |
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| work_keys_str_mv |
AT tacíjr metoddiskretizacíívzadačahprovtratustíjkostíodnoprolʹotnihstrižnívzízmínnimiparametrami AT ušakt metoddiskretizacíívzadačahprovtratustíjkostíodnoprolʹotnihstrižnívzízmínnimiparametrami |
| first_indexed |
2025-07-02T23:10:22Z |
| last_indexed |
2025-07-02T23:10:22Z |
| _version_ |
1836578589810622464 |
| fulltext |
107
Метод дискретизації в задачах про втрату стійкості
однопрольотних стрижнів зі змінними параметрами
Роман Тацій1, Тарас Ушак2
¹ д. ф.-м. н., проф., Львівський державний університет безпеки життєдіяльності, вул. Клепарівська, 35,
Львів, 79000
² ЗАТ ЖБК «Ваш дім», e-mail: tushak@vashdim.com.ua
(Представлено професором М. Сухорольським)
У статті запропоновано новий наближений метод розв’язування задач про втрату стій-
кості однопрольотних стрижнів зі змінними параметрами. В його основу закладено апрок-
симацію коефіцієнтів відповідних диференціальних рівнянь узагальненими функціями. Отримані
результати свідчать про ефективність методу під час розв’язування задач стійкості.
Ключові слова: метод дискретизації, узагальнене квазідиференціальне
рівняння 4-го порядку, стійкість стрижня.
Вступ. Для дослідження стійкості стрижнів змінної жорсткості під дією змінного
навантаження використовують, зазвичай, наближені методи [1, 2]. Отримати точні
розв’язки вдається, здебільшого, лише для диференціальних рівнянь зі сталими
коефіцієнтами. Проте, у випадку кусково-неперервних розподілів параметрів мо-
делі, інтегрування диференціальних рівнянь класичними підходами пов’язане зі
значними труднощами або з появою складних фундаментальних функцій. Тому
розвиток різних варіантів числово-аналітичних методів для розрахунку стрижневих
систем, зокрема зі змінною жорсткістю — актуальна наукова проблема. Дослі-
дження задач на вільні коливання рам із розподіленою та зосередженою масами
проведено у працях [3-5]. У даній роботі для розв’язування задач стійкості засто-
совується метод дискретизації, який ґрунтується на концепції квазіпохідних для
квазідиференціальних рівнянь (КДР) з узагальненими коефіцієнтами й апроксимації
розв’язків відповідних їм систем лінійних диференціальних рівнянь із мірами [6].
1. Узагальнене квазідиференціальне рівняння 4-го порядку
На відкритому інтервалі І дійсної осі розглядаємо рівняння
( ) ( )0 2 1( ) ( ) ( ) 0a x y a x y a x y″ ′′′ ′+ + = , (1)
де 1
0 ( )a x− — локально обмежена та вимірна на І функція, 1 1 2( ) ( ); ( )a x b x a x′= =
= 2 0 1 2( ); ( ); ( ); ( )b x b x b x b x′ — функції локально обмеженої на І варіації (клас
УДК 624.075:539.3
Роман Тацій, Тарас Ушак
Метод дискретизації в задачах про втрату стійкості однопрольотних стрижнів ...
108
( )locBV I+ [7]), 1 2( ), ( )b x b x′ ′ — узагальнені похідні (міри на І) [7]. Для розв’язування
рівняння (1) введемо квазіпохідні таким чином
( )[0] [1] [2] [3]
0 1 0( ) ( ); ( ); ( ); ( ) ( ) ( )
def
y x y x y y x y a y x y x a y x a y x ′′ ′′ ′ ′′≡ = = = + . (2)
Вихідне КДР (1) зводиться до системи рівнянь першого порядку
( ) ( ) ( )x x x′ ′=Y C Y ; (3)
де
[1]
[2]
[3]
( )
y
y
x
y
y
=
Y ;
1
0
1
2
0 1 0 0
0 0 ( ) 0
( )
0 ( ) 0 1
( ) 0 0 0
a x
x
a x
a x
−
′ = −
−
C . (4)
Система (3) коректна [7], оскільки виконується необхідна та достатня умови
коректності
( )2( ) 0,x x I∆ = ∀ ∈C , (5)
де
( ) ( ) ( )
1
2
0 0 0 0
0 0 0 0
0
0 ( ) 0 0
( ) 0 0 0
x x x
b x
b x
∆ = − − = −∆
−∆
C C C (6)
— матриця стрибків цієї системи.
Нехай ( , )x sB — фундаментальна матриця системи (3), структуру якої добре
вивчено в [7, 8], із такими властивостями
1. ( ),s s =B Ε , де E — одинична матриця;
2. ( ) ( ) ( ), 0,x s x x s= + ∆ − B E C B ; (7)
3. ( ) ( ) ( )1 2 3 3 2 2 1 3 1, , , , ,x x x I x x x x x x∀ ∈ =B B B .
Із допомогою цієї матриці для довільного початкового вектора ( )0 0x=Y Y
0x I∈ , розв’язок системи (3) записуємо у вигляді
( ) ( )0 0,x x x=Y B Y . (8)
Апроксимуємо змінні коефіцієнти рівняння (1) таким чином. Розіб’ємо
стрижень довжиною l на n рівних ділянок. Нехай початкова точка x0 = 0, кінцева
nx l= , крок розбиття 1k kh x x+= − , де 0,k n= .
Апроксимуємо коефіцієнт a0(x) таким чином (l-апроксимація [6]). На кож-
ному з проміжків [xk; xk + 1) величина a0(x) є стала
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 9, 107-117
109
( ) ( )
[ )1 00
0 1( ) , ,k k
k k k
b x b x
a x a x x x
h
+
+
−
≈ = ∈ , 0 0
0
( ) ( ) .
x
b x a t dt= ∫ (9)
Апроксимуємо відповідним чином [9] коефіцієнти 2 2( ) ( )a x b x′= та 1( )a x =
1( )b x′= (d-апроксимація) на проміжку 1[ ; )k kx x +
( ) ( ) ( )1 1( )
def
k k k ka x b x x x c x x≈ δ − = δ − ,
( ) ( ) ( )2 2( )
def
k k k ka x b x x x d x x≈ δ − = δ − . (10)
Тут ( )kx xδ − — δ-функція Дірака з носієм у точці kx x= .
Після апроксимації КДР (1) буде мати вигляд
( ) ( )
1 1 1
0 0 0
0
n n n
k k n k k n k k n
k k k
a y d x x y c x x y
− − −
= = =
′″ ′′ ′θ + δ − + δ − =
∑ ∑ ∑ , (11)
де kθ — характеристична функція проміжку 1[ ; )k kx x + : 1
1
1, [ , [ ,
0, [ , [.
k k
k
k k
x x x
x x x
+
+
∈
θ = ∉
Рівняння (11) — частковий (конкретизований) випадок КДР (1).
Якщо n →∞ , то усі розв’язки рівняння (11) разом зі своїми квазіпохідними
y [1], y [2] й y [3] рівномірно прямують до відповідних розв’язків і квазіпохідних
рівняння (1) [6]
[ ] ( ) ( )[ ]lim 0, 0 3ii
nn
y x y x i ,
→∞
− = = . (12)
Матриця стрибків (6) для цього випадку є
0 0 0 0
0 0 0 0
( )
0 0 0
0 0 0
k
k
k
x
c
d
∆ = −
−
C . (13)
За такого визначення коефіцієнтів a0, a1, a2, фундаментальна матриця B(xk + 1, xk)
КДР 0( ) 0a y′′ ′′ = має вигляд [8]
( )
2 3
2
1
1
2! 3!
, 0 1
2!
0 0 1
0 0 0 1
k k
k k
k k
h hh
a a
h hx x
a a
h
+
=
B . (14)
Роман Тацій, Тарас Ушак
Метод дискретизації в задачах про втрату стійкості однопрольотних стрижнів ...
110
Фундаментальну матрицю диференціальної системи (3), враховуючи влас-
тивості (7), можна знайти за формулою [8]
( ) ( ) ( ) ( )
1
0 1
0
, ,0 ,
n
n k k k
k
x x l x x x
−
+
=
= = + ∆ ∏B B E C B . (15)
Матрицю B(l, 0) можна побудувати й іншим шляхом [10].
2. Класична задача про стійкість стрижня змінної жорсткості
2.1. Апроксимація задачі про стійкість стрижня змінної жорсткості та побу-
дова характеристичного рівняння. Така задача зводиться до розв’язування
такого КДР на проміжку [0, l]
( ) 0y Py″′′ ′′α + = , (16)
де ( ) ( )x EJ xα = , Е — модуль Юнга, ( )J x — момент інерції в перетині x стрижня,
P — повздовжнє навантаження.
До рівняння (16) додаються однорідні крайові умови (умови закріплення)
( ) 0; 1,4s y s= =U , (17)
які разом із рівнянням (16) утворюють задачу на власні значення.
Найменше власне значення р1 задачі (16), (17) і є критичне навантаження
( р1 = р кр ), за якого стрижень втрачає стійкість (за Ейлером [2]).
Розглянемо такі умови закріплення на кінцях стрижня: 1) шарнірне: y = 0 і
[ ]2 0y = ; 2) жорстке: 0y = і 0y′ = ; 3) вільний край: [ ]2 0y = і [ ]3 0y = .
Цим трьом умовам закріплень умовно присвоїмо індекси 0, 1, 2 відповідно
та розглядатимемо задачі типів ( ), , 0,2ij i j = . Так, наприклад, задача типу (01)
означає, що на лівому кінці (x = 0) стрижень закріплений шарнірно, а на правому
(x = l) — жорстко.
Дискретизацію проведемо таким чином. Відрізок [0, l] точками x0 = 0,
x1, x2, ..., xn = l розіб’ємо на n рівних частин, довжина кожної з яких дорівнює
l / n = h (крок розбиття). Замість рівняння (16) розглянемо КДР n-го наближення
(метод дискретизації)
( ) ( )0
1
0.
n
n k n
k
a y Ph x x y
=
′
″′′ ′+ δ − ⋅ =
∑ (18)
Побудуємо фундаментальну матрицю Bn(l, 0) методом, описаним у праці [10].
Позначимо через Y0 початкову матрицю, що враховує умови закріплення
в точці x = 0. Для шарнірного, жорсткого закріплення і вільного кінця відповідно
0
0 0
1 0
0 0
0 1
=
Y , 0
0 0
0 0
1 0
0 1
=
Y , 0
1 0
0 1
0 0
0 0
=
Y . (19)
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 9, 107-117
111
Позначимо
( )
11 12
21 22
0
31 32
41 42
,0
a a
a a
l
a a
a a
=
B Y . (20)
Тоді, залежно від умов закріплення на правому кінці ( )x l= отримаємо
характеристичне рівняння для визначення критичного навантаження, відповідно,
для шарнірного, жорсткого закріплення та для вільного кінця
11 12
31 32
det 0
a a
a a
=
; 11 12
21 22
det 0
a a
a a
=
; 31 32
41 42
det 0.
a a
a a
=
(21)
2.2. Реалізація методу дискретизації в задачі про стійкість стрижня змінної
жорсткості. Розглянемо задачу про обчислення критичного навантаження для
стрижня змінної жорсткості
1( )
2 cos( )
x EJ
x
α = =
+β
(22)
на проміжку [ ]0;π (рис. 1), яку в монографії [2] розв’язано різними наближеними
методами для 1β = і шарнірного закріплення обох кінців. Параметр β характери-
зує зміну згинної жорсткості EJ(x).
У табл. 1 подано величини перших трьох значень критичної сили Pкр для різ-
них значень параметра β. Під час обчислень із кроком розбиття 10 – 6 і 0,5 · 10 – 6
значення критичної сили P на шостому знаку після коми не змінювалося, тому
зменшення кроку розбиття не має сенсу.
У табл. 2 наведено величини першої критичної сили для стрижня (рис. 1)
змінної згинної жорсткості, означеної формулою (22), та β = 1. Незаповнені
клітинки означають відсутність числових результатів у відповідній літературі.
Рис. 1
P P
x
x = 0 x = π
Роман Тацій, Тарас Ушак
Метод дискретизації в задачах про втрату стійкості однопрольотних стрижнів ...
112
Таблиця 1
β
Pi
1
0,5
0
P1 0,49003607 0,497426 0,500000
P2 2,05934900 2,016210 2,000000
P3 4,65445000 4,536918 4,500000
Таблиця 2
Метод обчислення
Тип Метод послідовних
наближень [2]
Метод
Рітца
[2]
Метод
колокацій
[2]
Метод
ланцюгових
дробів
Авторський
00 0,489891≤Р1≤0,490066 0,49003562 0,49003562 0,490036 0,49003607
01 – – – – 1,03639400
10 – – – – 1,06032900
11 – – – – 2,07906300
12 – – – – 0,99516900
21 – – – – 0,16432300
3. Задача про втрату стійкості стиснутого стрижня на пружній основі
Задача про знаходження критичної сили для стисненого стрижня на пружній ос-
нові (рис. 2) зводиться до розв’язування КДР 4-го порядку [2]
[ ]( ) .EJ x y Ky Py″′′ ′′+ = − (23)
Крайові умови у разі шарнірного закріплення мають вигляд
( ) ( ) 0y a y b= = , ( ) ( ) 0y a y b′′ ′′= = . (24)
Тут ( )EJ x —змінна згинна жорсткість.
Знайдемо критичне навантаження Pкр для стисненого стрижня на пружній
основі (коефіцієнт пружної основи K = 60 c), шарнірно закріпленого в точках
x = ±1 (див. рис. 2), який має змінну жорсткість на згин ( )2( ) 3EJ x c x= − [2], де с
— параметр.
Для P c= λ задача (23), (24), набуде вигляду
Pис. 2
P P x
x = – 1 x = 0 x = 1
α = El = c(3 – x 2)
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 9, 107-117
113
( )23 60 ,x y y y′′ ′′ ′′− + = −λ (25)
( 1) ( 1) (1) (1) 0.y y y y′′ ′′− = − = = = (26)
Апроксимація задачі для знаходження критичної сили стисненого стрижня на
пружній основі та побудова характеристичного рівняння. Квазіпохідні для
розв’язування рівняння (25) позначимо таким чином
[0]( ) ( )
def
y x y x≡ ; [1]( ) ( )y x y x′= ; ( )[2] 2( ) 3 ( )y x x y x′′= − ;
( )[3] 2( ) ( ) 3 ( )y x y x x y x
′
′ ′′= λ + − . (27)
Вихідне КДР (25) зводиться до системи рівнянь першого порядку
( ) ( ) ( )x x x′ ′=Y C Y , (28)
де
[1]
[2]
[3]
( )
y
y
x
y
y
=
Y ,
1
0
0 1 0 0
0 0 ( ) 0
( )
0 0 1
60 0 0 0
a x
x
−
′ = −λ
−
C . (29)
За допомогою фундаментальної матриці B(x, x0) [7, 8] для довільного початко-
вого вектора Y0 = Y(x0), x0∈I, розв’язок системи (28) записується у вигляді (8).
Апроксимуємо змінні коефіцієнти рівняння (25).
Розіб’ємо стрижень довжиною l на n ділянок однакової довжини. Нехай по-
чаткова точка 0 1x = − , кінцева 1nx = , крок розбиття 1k kh x x+= − , де 0,k n= .
Апроксимацію коефіцієнта 2
0 0( ) 3 ( )a x x b x′= − = кусково-сталими коефіці-
єнтами на кожному проміжку проводимо так.
Визначимо 0 ( )b x згідно формули (9): ( ) ( )2 3
0 0
( ) 3 9 3
x
b x x dx x x= − = −∫ .
Знаходимо на проміжку 1[ , )k kx x + коефіцієнт ka
( ) ( )
( )
3 3
1 1
1
9
3
k k k k
k
k k
x x x x
a
x x
+ +
+
− − −
=
−
.
Після апроксимації КДР (25) і матриця стрибків (13) будуть мати вигляд
( ) ( )
1 1 1
0 0 0
60 0
n n n
k k n k n k n
k k k
a y h x x y h x x y
− − −
= = =
′′′ ′′ ′θ + δ − + λ δ − =
∑ ∑ ∑ , (30)
Роман Тацій, Тарас Ушак
Метод дискретизації в задачах про втрату стійкості однопрольотних стрижнів ...
114
0 0 0 0
0 0 0 0
( )
0 0 0
60 0 0 0
kx
h
h
∆ = −λ
−
C . (31)
Отримавши фундаментальну матрицю B(1, – 1) за формулами (14), (15),
врахуємо граничні умови закріплення та сформуємо характеристичне рівняння.
Початкова матриця Y0, для шарнірного закріплення в точці x = – 1 має
вигляд 0
0 0
1 0
0 0
0 1
=
Y . Позначимо ( )
12 14
22 24
0 0
32 34
42 44
,
n
a a
a a
x x
a a
a a
=
B Y .
У випадку шарнірного закріплення в точці (x = 1) отримаємо таке характе-
ристичне рівняння
12 14
32 34
( ) ( )
( ) det 0
( ) ( )
a a
a a
λ λ
λ = = λ λ
A . (32)
Розв’язуючи рівняння (32), отримуємо значення параметра λ критичної
сили. Під час обчислень із кроком розбиття 10 – 6 і 0,5 · 10 – 6 значення параметра λ
на шостому знаку після коми не змінювалося, тому зменшувати кроки розбиття
недоцільно.
У табл. 3 подано результати розрахунку перших трьох критичних сил λi
для стрижня змінного перерізу на пружній основі. Результати отримані за різних
значень коефіцієнта пружної основи K та n = 10 6.
Табл. 4 містить порівняльні результати першої критичної сили стрижня для
K = 60 і різних типів закріплення стрижня. Незаповнені клітинки означають від-
сутність числових результатів у відповідній літературі.
Таблиця 3
K
λi
20
40
60
80
100
λ1 15,155414 23,255463 31,352864 34,734330 36,756698
λ2 28,666269 30,689107 32,711797 39,445176 47,525654
λ3 60,124234 61,027563 61,933504 62,844496 63,767286
Таблиця 4
Тип Теорема включення [2] Метод Коха [2] Авторський
00 31,07≤ λ1 ≤32,00 31,35096 ≤ λ1 ≤ 31,35485 31,352864
01 – – 32,001283
10 – – 32,001283
11 – – 43,958269
12 – – 13,390518
21 13,390518
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 9, 107-117
115
4. Метод дискретизації в задачі про стійкість плоскої форми згину стрижня
Для ілюстрації методу дискретизації розглянемо задачу про втрату плоскої фор-
ми згину [2]. Задача зводиться до розв’язування КДР
( )IV 2 2 0y x y y ′′− λ − + =
(33)
із такими крайовими умовами
(0) (0) (1) (1) 0.y y y y′′′ ′= = = = (34)
Квазіпохідні для рівняння (33) позначимо таким чином
[0]( ) ( )
def
y x y x≡ ; [1]( ) ( )y x y x′= ; [2]( ) ( )y x y x′′= ;
[3] 2( ) ( ) ( )y x x y x y x′ ′′′= λ + , (35)
Вихідне КДР (35) зводиться до системи рівнянь першого порядку
( ) ( ) ( ),x x x′ ′=Y C Y (36)
де
[1]
[2]
[3]
( )
y
y
x
y
y
=
Y , 2
0 1 0 0
0 0 1 0
( )
0 0 1
2 0 0 0
x
x
′ = − λ
λ
C . (37)
За допомогою фундаментальної матриці B(x, x0) [7, 8] для довільного початко-
вого вектора ( )0 0 0, x x I= ∈Y Y , розв’язок системи (36) має вигляд (8).
Апроксимуємо згідно формули (10) коефіцієнт 2
1 1( ) ( )a x x b x′= = . Знаходимо
1( ) :b x 2 3
1
0
( ) 3
x
b x t dt x= =∫ .
На проміжку 1[ , )k kx x + позначимо ( )3 3
1 1( ) 3k k k kc b x x x+= = − . Після апрок-
симації КДР (33) буде мати вигляд
( ) ( )
1 1
IV
0 0
2 0
n n
n k n k k n
k k
y h x x y c x x y
− −
= =
′
′− λ δ − + λ δ − =
∑ ∑ . (38)
Матриця стрибків (13) для цього випадку
( )
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
2 0 0 0
k
k
x
c
h
∆ = −λ
λ
C . (39)
Роман Тацій, Тарас Ушак
Метод дискретизації в задачах про втрату стійкості однопрольотних стрижнів ...
116
Фундаментальна матриця 1( , )k kx x+B КДР ( )0 0a y ′′′′ = має вигляд [8]
( )
2 3
2
1
1
2 3!
, 0 1
2
0 0 1
0 0 0 1
k k
h hh
hx x h
h
+
=
B . (40)
Фундаментальну матрицю системи диференціальних рівнянь (36) можна
знайти за формулою (15).
Враховуючи умови закріплення в точці x = 0, початкова матриця Y0 має
вигляд 0
0 0
1 0
0 1
0 0
=
Y . Позначимо ( )
12 13
22 23
0 0
32 33
42 43
,
n n
a a
a a
x x
a a
a a
=
B Y .
У випадку шарнірного закріплення в точці x = 1 одержуємо таке характе-
ристичне рівняння
12 13
22 23
( ) ( )
( ) det 0
( ) ( )
a a
a a
λ λ
λ = = λ λ
A .
звідки отримуємо λ1 = 26,415715.
Висновки. Запропоновано новий наближений метод обчислення критичного на-
вантаження для стрижнів зі змінними параметрами, в основу якого закладено
апроксимацію коефіцієнтів відповідних диференціальних рівнянь узагальненими
функціями. Метод характеризується простотою й універсальністю алгоритму та
швидкістю збіжності. Отримані при цьому числові результати для відповідних
значень параметрів співпадають із відомими у літературі.
Література
[1] Вольмир, А. С. Устойчивость деформируемых систем. / А. С. Вольмир. — 2-е из-д. — Москва:
Наука, 1967. — 984 c.
[2] Коллатц, Л. Задачи на собственные значения с техническими приложениями / Л. Коллатц;
пер. с нем. — Москва: Наука, 1968. — 503 с.
[3] Давидчак, О. Р. Розв’язок задач динаміки і стійкості стержневих систем з дискретно-неперервним
розподілом параметрів / О. Р. Давидчак, Р. М. Тацій // ZESZYTY NAUKOWE Politechniki
Rzeshowskiej. Budownictwo i inzynieria srodowiska. — Rzezow, 2004. — Z. 37. — C. 57-60.
[4] Давидчак, О. Р. Розв’язок задач динаміки дискретно-неперервних стержневих систем методом
граничних елементів із апроксимацією коєфіцієнтів диференціальних рівнянь / О. Р. Да-
видчак, Р. М. Тацій, Т. І. Ушак // Вісник НУ «Львівська політехніка». Cep. Теорія та практика
будівництва. — 2004. — С. 62-64.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 9, 107-117
117
[5] Тацій, Р. М. Метод дискретизації в задачах про вільні коливання стрижневих систем із
дискретно-неперервним розподілом параметрів / Р. М. Тацій, Т. І. Ушак // Будівництво
України. — 2008. — № 4. — С.39-44.
[6] Тацій, Р. М. Про апроксимацію розв’язків диференціальних рівнянь з мірами / Р. М. Тацій,
В. В. Іщук, В. В. Кісілевич // Вісн. Київ. ун-ту. Математика і механіка. — Київ: Либідь, 1990. —
№ 32. — С. 128-131.
[7] Тацій, Р. М. Узагальнені квазідиференціальні рівняння / Р. М. Тацій. — (Препр. / АН України
ІППММ; 1994. — № 2-94. — С. 1-54).
[8] Тацій, Р. М. Про структуру фундаментальної матриці квазідиференціального рівняння /
Р. М. Тацій, Б. Б. Пахолок // Доп. АН УРСР. Сер. А. — 1989. — № 4. — С. 25-28.
[9] Аткинсон, Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи / Ф. Аткинсон; пер. с англ. —
Москва, 1968. — 749 c.
[10] Тацій, Р. М. Метод дискретизації в задачах стійкості стрижнів змінної жорсткості / Р. М. Та-
цій, Т. І. Ушак // Вісник НУ «Львівська політехніка». Теорія та практика будівництва. —
2005. — № 545. — C. 178-181.
Method of digitization in problems of resistance loss
of single-span rods with variable parameters
Roman Tatsii, Тaras Ushak
The new approximate method of solving the problems on resistance loss of single-span rods with
variable parameters has been presented. The method is based on the approximation of coefficients of
the corresponding differential equations with generalized functions. The obtained results illustrate
the method efficiency when solving the resistance problems. New results unknown in specialized
literature before were obtained.
Метод дискретизации в задачах о потере устойчивости
однопролётных стержней с переменными параметрами
Роман Таций, Тарас Ушак
В статье предлагается новый приближенный метод решения задач о потере устойчивости
однопролётных стержней с переменными параметрами. В основе метода лежит аппрок-
симация коэффициентов соответствующих дифференциальных уравнений обобщенными
функциями. Полученные результаты свидетельствуют об эффективности метода в задачах
устойчивости. Получено новые результаты, неизвестные в специализированной литературе.
Отримано 19.02.09
|