Нелінійна контактно-крайова задача термомеханіки для опромінюваної двошарової пластини, з’єднаної проміжковим шаром
У роботі досліджено теплоперенесення та напружений стан у шаруватій пластині зі складниками різної прозорості, з’єднаними тонким проміжковим шаром, за теплового опромінення зі сторони частково прозорого шару. Ввівши ефективний коефіцієнт відбивання на поверхні контакту, отримано наближені співвіднош...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/22091 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Нелінійна контактно-крайова задача термомеханіки для опромінюваної двошарової пластини, з’єднаної проміжковим шаром/ О. Турій // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 9. — С. 118-132. — Бібліогр.: 25 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-22091 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-220912011-06-21T12:05:03Z Нелінійна контактно-крайова задача термомеханіки для опромінюваної двошарової пластини, з’єднаної проміжковим шаром Турій, O. У роботі досліджено теплоперенесення та напружений стан у шаруватій пластині зі складниками різної прозорості, з’єднаними тонким проміжковим шаром, за теплового опромінення зі сторони частково прозорого шару. Ввівши ефективний коефіцієнт відбивання на поверхні контакту, отримано наближені співвідношення для визначення поля випромінювання в основному частково прозорому шарі. Знайдено наближені співвідношення для напружень у пластині, що враховують жорсткісні характеристики на згин і розтяг проміжкового шару. Нелінійна крайова задача теплоперенесення розв’язана методом скінченних різниць із застосуванням процедури квазілінеаризації. Heat-transfer and the stress state in a layered plate with components of different transparency, connected by an intermediate thin layer, subjected to thermal irradiation from the part of a semitransparent layer is investigated. Introducing the effective factor of reflection on the contact surface, the approximate relations of the irradiation field in the main semitransparent layer are obtained. The approximate expressions for the stresses in the plate, which take into account characteristics of bending rigidity and tension of the intermediate layer are received. The nonlinear boundary problem of heat-transfer is solved by the method of final elements using quasilinearization procedure. В работе исследовано теплоперенос и напряженное состояние в пластине, состоящей из слоев различной прозрачности, соединенных тонким промежуточным слоем, при тепловом облучении со стороны частично прозрачного слоя. Вводя эффективный коэффициент отражения на поверхности контакта, получены приближенные соотношения для определения поля излучения в основном частично прозрачном слое. Получены также приближенные выражения для напряжений в пластине, учитывающие характеристики на изгиб и растяжение тонкого промежуточного слоя. Нелинейная граничная задача теплопереноса решена методом конечных элементов с использованием процедуры квазилинеаризации. 2009 Article Нелінійна контактно-крайова задача термомеханіки для опромінюваної двошарової пластини, з’єднаної проміжковим шаром/ О. Турій // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 9. — С. 118-132. — Бібліогр.: 25 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/22091 539.3 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
У роботі досліджено теплоперенесення та напружений стан у шаруватій пластині зі складниками різної прозорості, з’єднаними тонким проміжковим шаром, за теплового опромінення зі сторони частково прозорого шару. Ввівши ефективний коефіцієнт відбивання на поверхні контакту, отримано наближені співвідношення для визначення поля випромінювання в основному частково прозорому шарі. Знайдено наближені співвідношення для напружень у пластині, що враховують жорсткісні характеристики на згин і розтяг проміжкового шару. Нелінійна крайова задача теплоперенесення розв’язана методом скінченних різниць із застосуванням процедури квазілінеаризації. |
| format |
Article |
| author |
Турій, O. |
| spellingShingle |
Турій, O. Нелінійна контактно-крайова задача термомеханіки для опромінюваної двошарової пластини, з’єднаної проміжковим шаром Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| author_facet |
Турій, O. |
| author_sort |
Турій, O. |
| title |
Нелінійна контактно-крайова задача термомеханіки для опромінюваної двошарової пластини, з’єднаної проміжковим шаром |
| title_short |
Нелінійна контактно-крайова задача термомеханіки для опромінюваної двошарової пластини, з’єднаної проміжковим шаром |
| title_full |
Нелінійна контактно-крайова задача термомеханіки для опромінюваної двошарової пластини, з’єднаної проміжковим шаром |
| title_fullStr |
Нелінійна контактно-крайова задача термомеханіки для опромінюваної двошарової пластини, з’єднаної проміжковим шаром |
| title_full_unstemmed |
Нелінійна контактно-крайова задача термомеханіки для опромінюваної двошарової пластини, з’єднаної проміжковим шаром |
| title_sort |
нелінійна контактно-крайова задача термомеханіки для опромінюваної двошарової пластини, з’єднаної проміжковим шаром |
| publisher |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/22091 |
| citation_txt |
Нелінійна контактно-крайова задача термомеханіки для опромінюваної двошарової пластини, з’єднаної проміжковим шаром/ О. Турій // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 9. — С. 118-132. — Бібліогр.: 25 назв. — укр. |
| series |
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| work_keys_str_mv |
AT turíjo nelíníjnakontaktnokrajovazadačatermomehaníkidlâopromínûvanoídvošarovoíplastinizêdnanoípromížkovimšarom |
| first_indexed |
2025-07-02T23:10:39Z |
| last_indexed |
2025-07-02T23:10:39Z |
| _version_ |
1836578599703937024 |
| fulltext |
118
Нелінійна контактно-крайова задача термомеханіки
для опромінюваної двошарової пластини,
з’єднаної проміжковим шаром
Оксана Турій
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул. Наукова, 3б,
Львів, 79060
(Представлено професором Ю. Зозуляком)
У роботі досліджено теплоперенесення та напружений стан у шаруватій пластині зі
складниками різної прозорості, з’єднаними тонким проміжковим шаром, за теплового
опромінення зі сторони частково прозорого шару. Ввівши ефективний коефіцієнт відби-
вання на поверхні контакту, отримано наближені співвідношення для визначення поля ви-
промінювання в основному частково прозорому шарі. Знайдено наближені співвідношення
для напружень у пластині, що враховують жорсткісні характеристики на згин і розтяг
проміжкового шару. Нелінійна крайова задача теплоперенесення розв’язана методом скін-
ченних різниць із застосуванням процедури квазілінеаризації.
Ключові слова: шарувата пластина, теплове випромінювання, термомеха-
нічна поведінка, операторний метод, квазілінеаризація.
Вступ. Окремі елементи космічної, авіаційної техніки (багатошарові захисні обо-
лонки й покриття метеорологічних та космічних приладів і апаратів, сонячні бата-
реї), інфрачервоної техніки (функціональні оптичні матеріали), скляних конструкцій
у будівництві, машинобудуванні та теплоенергетиці є неоднорідні шаруваті струк-
тури зі складниками різної прозорості (частково прозорий і непрозорий) для теп-
лового випромінювання, під дією якого вони можуть перебувати під час експлуа-
тації [1-4]. Вибір раціональних режимів експлуатації передбачає дослідження як
процесів теплоперенесення в них (з урахуванням перенесення випромінювання),
так і розрахунок напруженого стану. У літературі відомі дослідження процесів
перенесення теплового випромінювання та теплопровідності в шаруватих (ком-
позитних) частково прозорих тілах, які проводилися, в основному, на модельних
задачах для шаруватої пластини [5]. Термонапружений стан двошарової опромі-
нюваної пластини зі складниками різної прозорості досліджено в роботах [6, 7].
При цьому розглянуто пластини з частково прозорими та частково прозорим і непро-
зорим шарами за дії випромінювання з боку непрозорого шару. Приймалися умови
ідеального теплового (з урахуванням випромінювання теплової енергії з поверхні
непрозорого шару) та механічного контактів. На практиці з’єднання шарів здійс-
нюється різними способами (зварка, наплавка, склеювання) [1, 2, 8], за яких наявний
проміжковий шар із відмінними від основних радіаційними, теплофізичними,
УДК 539.3
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 9, 118-132
119
механічними та термомеханічними характеристиками. Під час розрахунку термо-
механічної поведінки шаруватих структур із проміжковими шарами їх, зазвичай,
виключають із розгляду, а їхній вплив враховують узагальненими контактними
тепловими та механічними умовами [9, 10]. З урахуванням перенесення випромі-
нювання в шаруватих тілах зі складниками різної прозорості такі узагальнені
умови в літературі не отримано.
1. Формулювання задачі та метод її розв’язування
Розглянемо шарувату пластину, утворену частково прозорим шаром товщини h1 і
непрозорим — h2, з’єднаних проміжковим шаром завтовшки h0. Вважаємо про-
міжковий шар частково прозорим, а його товщину значно меншою за товщини
основних шарів 0 , 1,2jh h j<< = (часткова прозорість, зокрема, характерна для
прошарків клею, товщини яких не перевищують 0,3 мм). З боку поверхні z = 0
частково прозорого основного шару (вісь z направлена вздовж нормалі до шарів)
пластина перебуває під дією теплового випромінювання від нагрітої ізотермічної
плоскої паралельної до неї поверхні (джерела). Області 0z < і z h> , де h = h1 +
+ h0 + h2, зовнішнього середовища (повітря) приймаємо прозорими для теплового
випромінювання. Приймаємо, що на поверхнях поділу шарів z = h1, z = h10
(h10 = h1 + h0) виконуються умови ідеального механічного контакту. Поверхні
пластини z = 0 і z = h та краї x, y → ± ∞ вільні від навантаження [6, 7, 11].
Інтенсивність I λs теплового випромінювання від ізотермічної поверхні
вважаємо пропорційною до інтенсивності випромінювання I λb абсолютно чорно-
го тіла за температури Ts, тобто I λs = kI λb(Ts) [12, 13]. Поширення теплового ви-
промінювання в основному та проміжковому частково прозорих шарах описуємо
рівнянням перенесення в наближенні невипромінюючого матеріалу [12-14]. Вра-
ховуємо потоки теплового випромінювання від джерела та з поверхні z = h10 не-
прозорого шару в проміжковий (показник заломлення ( )0nλ ), інтенсивність якого
за дифузного характеру випромінювання ( ) ( ) ( )( )0
10 2 10
op
bI h I T h−
λλ λ= ε визначається
температурою T2(h10) поверхні z = h10 і ступенем чорноти ( )0−
λε поверхні контакту
клей-метал [8]. Визначення поля випромінювання в шарах зводимо до визначення
ефективних інтенсивностей ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0 0
1 1 100, , , , , , ,I I h I h I h+ − + −
λ λ λ λν ν ν ν випро-
мінювання на поверхнях z = 0, z = h1, z = h10. Тут ( )cos , ( , )jI z±
λν = β ν — спект-
ральні інтенсивності випромінювання в шарах у напрямках, що утворюють гострий
кут β та кут π – β з віссю z. Вважаючи поверхні шарів дифузно відбиваючими, з
балансу всіх потоків випромінювання, що підводяться до поверхонь (у тому числі
від випромінюючої поверхні та перевідбитих усередині шарів), для їх знаходження
отримуємо систему чотирьох інтегральних рівнянь типу Фредгольма другого роду
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1
1 1 1 1 1
1
0
(0, ) 2 ( , ) exp / ,sI v R I h w w w dw I v+ + −
λ λ λ λ λ− −θ =∫
Оксана Турій
Нелінійна контактно-крайова задача термомеханіки для опромінюваної двошарової пластини ...
120
( ) ( ) ( ) ( )( )
10
1 1 1 1
1
0
( , ) 2 (0, ) exp /
v
I h v R I v v v dv
∗
− − +
λ λ λ λ− −θ −∫
( ) ( )( )
10
1
1 12 (0, ) exp /
v
I v v v dv
∗
+
λ λ− −θ =∫
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )21 0 0 0 0
10 01 01 01
01
/ 1 ( , )exp / , якщо 0 ,
0, якщо 1,
n n R I h v v
v v
+ −
∗λ λ λ λ λ
∗
− ξ −θ ξ ≤ ≤=
≤ <
( ) ( ) ( ) ( )( )
01
0 0 0 0
1 10
0
( , ) 2 ( , ) exp /
v
I h v R I h w w w dw
∗
+ + −
λ λ λ λ− −θ −∫
( ) ( )( )
01
1
0 0
102 ( , ) exp /
v
I h w w w dw
∗
−
λ λ− −θ =∫
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )20 1 1 1 1
10 10
10
/ 1 (0, )exp / , якщо 0 ,
0, якщо 1,
n n R I v v v
v v
− +
∗λ λ λ λ λ
∗
− −θ ξ ≤ ≤=
< ≤
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
01
01
0 0 0 0
1 10
0
1
0 0
10
( , ) 2 ( , ) exp /
2 ( , ) exp /
v
v
I h v R I h w w w dw
I h w w w dw
∗
∗
+ + −
λ λ λ λ
−
λ λ
− −θ −
− −θ =
∫
∫
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )20 1 1 1 1
10 10
10
/ 1 (0, )exp / , якщо 0 ,
0, якщо 1,
n n R I v v v
v v
− +
∗λ λ λ λ λ
∗
− −θ ξ ≤ ≤=
< ≤
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
1
0 0 0 0
10 10 1
0
( , ) 2 ( , ) exp /opI h v I h R I h w w w dw− − +
λ λ λ λ λ= + −θ∫ , (1)
де
( ) ( )
( )( ) ( )( )1 2
1 1 0
0
1 ( ), якщо 0 ,
0, якщо 1,
s
s
s
n R I v v
I v
v v
λ ∗λ λ
λ
∗
− ξ ≤ ≤=
< ≤
( ) ( )( ) ( )
20 1 2
01 1 1 ,n n vλ λξ = − − ( ) ( )( ) ( )
21 0 2
10 1 1 ,n n vλ λξ = − −
01 1v∗ = , якщо ( ) ( )1 0n nλ λ< та ( ) ( )( ) 20 1
01 1v n n∗ λ λ= − , якщо ( ) ( )1 0n nλ λ> ,
10 1v∗ = , якщо ( ) ( )1 0n nλ λ> та ( ) ( )( ) 21 0
10 1v n n∗ λ λ= − , якщо ( ) ( )1 0n nλ λ< ,
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 9, 118-132
121
( )jnλ — показники заломлення матеріалів шарів відносно довкілля; sR λ , ( )1R+
λ ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 0 0, , , 1R R R R− + − − −
λ λ λ λ λ− = ε — коефіцієнти дифузного відбивання поверхонь
z = 0 – 0, z = 0 + 0, z = h1 – 0, z = h1 + 0, z = h1 + h0; ( ) ( )j j
ja hλ λθ = — оптичні товщини
шарів, а ( )jaλ — їх коефіцієнти поглинання.
Ослаблення випромінювання внаслідок проходження через проміжковий шар
малих товщин ( )0 1λθ << є незначне, тобто ( )( )0
12exp 1λ−θ ξ ≈ . При цьому теплове
випромінювання непрозорого шару проникає через проміжковий шар. Тоді роз-
в’язування системи (1) можна звести до визначення ефективних інтенсивностей
випромінювання ( ) ( )1 0,I v+
λ , ( ) ( )1
1,I h v−
λ , вводячи ефективний коефіцієнт Ref відби-
вання поверхні z = h1 – 0, який враховує радіаційні характеристики проміжкового
та непрозорого шарів. За однократного перевідбивання в проміжковому шарі для
згаданих інтенсивностей отримуємо систему рівнянь
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1
1 1 1 1 1
1
0
(0, ) 2 ( , ) exp / ,sI v R I h w w w dw I v+ + −
λ λ λ λ λ− −θ =∫
( ) ( ) ( )( )
1
1 1 1
1
0
( , ) 2 ( ) (0, ) exp /efI h v R w I w w w dw− +
λ λ λ− −θ =∫
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )21 0 0 0
01 01
01
/ 1 exp / , якщо 0 ,
0, якщо 1,
opn n R I v v
v v
+
∗λ λ λ λ λ
∗
− −θ ξ ≤ ≤=
< ≤
(2)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 0 0 1 1
10
10
1 1 exp , якщо 0 ,
1, якщо 1.
ef
R R R R w w v
R w
v w
− − + −
∗λ λ λ λ λ
∗
+ − − −θ ≤ ≤=
< ≤
Зауважимо, що система (2) має структуру аналогічну до системи рівнянь
для визначення ефективних інтенсивностей випромінювання на поверхнях опро-
мінюваного частково прозорого шару [15]. Її розв’язок буде
( ) ( ) ( )1 1
1 20, ( )op
sI v A I A I+
λ λ λ= + ,
( ) ( ) ( )1 1
1 1 3, ( )op
sI h v A I A I−
λ λ λ= + .
Тут
( ) ( )( )1 1 1
3 3 1
1
1 2
A
R A E a h+
λ λ
=
−
, ( ) ( )( )1 1
2 3 12A R E a h+
λ λ= ,
( ) ( )( )
1
1
3
0
2 exp /efA R w w w dwλ= −θ∫ ,
Оксана Турій
Нелінійна контактно-крайова задача термомеханіки для опромінюваної двошарової пластини ...
122
( ) ( )
1
3
0
exp /E x x d= µ − µ µ∫ — інтегроекспоненційна функція [13].
Тепловий стан пластини за конкретних умов теплообміну з довкіллям по-
в’язуємо з поглинанням енергії випромінювання шарами, враховуючи випромі-
нювання теплової енергії непрозорим складником. Через ефективні інтенсивності
( ) ( ) ( ) ( )1 1
10, , ,I v I h v+ −
λ λ знаходимо вираз для тепловиділень ( )( , ) 0,1jQ z t j = в основ-
ному та проміжковому частково прозорих шарах [11].
( ) ( ) ( ) ( )( ){
1
1 1 1
1
0 0
( , ) 2 0, exp /Q z t a I v a z v
∞
+
λ λ λ= π − +∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) }1 1
1 1, exp /I h v a h z v dv d−
λ λ
+ − − λ
,
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1 1
0 10 0 0 0
0 1
0 0 0
( , ) 2 2 exp / exp /opQ z t a I R I w w dw a h z
∞
+ +
λ λ λ λ λ λ
= π + −θ − + ν +
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1
0 10 0 0
10
0
2 exp exp /opI R I w w dw a h z dv d+ +
λ λ λ λ λ
+ + −θ − − ν λ
∫ ,
( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )20 1 1 1 1
10 10 10 10
10
/ 1 (0, )exp / , якщо 0 ,
0, якщо 1.
n n R I v vI
v v
− +
+ ∗λ λ λ λ λ
λ
∗
− ξ −θ ξ ≤ ≤=
< ≤
Ці тепловиділення розглядаємо як питому потужність неперервно розподі-
лених теплових джерел у рівняннях теплопровідності для згаданих шарів.
Для непрозорого шару поглинання та випромінювання теплової енергії є при-
поверхневі [13, 16]. Враховуємо їх в умовах балансу теплових потоків на поверхні
z = h10 контакту проміжкового та непрозорого шарів і на поверхні z = h пластини.
При цьому інтенсивність теплового випромінювання з поверхні z = h буде
( )opI hλ ( )( )2bI T hλ λ= ε , де ε λ — ступінь чорноти поверхні z = h непрозорого шару.
Проміжковий шар можна виключити з розгляду і при дослідженні теплопере-
несення в розглядуваній тришаровій системі, скориставшись формальним опера-
торним методом, який стосовно задач термомеханіки для однорідних і шаруватих
оболонок застосовано в роботах [9, 10, 17, 18]. З його допомогою в монографії [18]
отримано узагальнені умови фізичного обміну через проміжковий шар за ліній-
них контактних умов (зокрема, тепло- та масообміну). Цей метод застосовано
для встановлення рівнянь, що описують теплопровідність у тонких однорідних
оболонках за лінійних [10, 17] і нелінійних (за законом Стефана-Больцмана) [17]
теплових крайових умов. У літературі не отримано узагальнені контактні умови
теплообміну через проміжковий шар із врахуванням перенесення випроміню-
вання у шаруватому тілі.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 9, 118-132
123
За сталих густин ρ j і теплофізичних характеристик матеріалів шарів (кое-
фіцієнти теплопровідності jκ , теплоємності jcε , 0,2j = ; індекси «0», «1» і «2»,
як і раніше, стосуються відповідно проміжкового й основних частково прозорого
та непрозорого шарів) система рівнянь для визначення відхилення θ j температури
від початкової T0 = const в пластині має вигляд [14, 19]
( ) ( ) ( ) ( )
2
22
, , ,1 , , 0j j j
j j
z t z t Q z t
Q z t
tz
∂ θ ∂θ
− = − =
ϖ ∂ κ∂
, 0,2j = (3)
де /j j j jcεϖ = κ ρ — коефіцієнти температуропровідності матеріалів шарів.
Систему рівнянь (3) доповнюємо крайовими умовами на поверхнях z = 0,
z = h пластини та контактними на межах z = h1, z = h10 поділу шарів. Їх отримаємо
з балансу всіх теплових потоків, що підводяться до цих поверхонь [13, 14]. На
поверхні z = 0 наявні потоки, зумовлені теплопровідністю та конвективним теп-
лообміном із повітрям. На поверхні z = h — це потік, викликаний теплопровідністю,
потік, що визначається конвективним теплообміном, і потік, спричинений випро-
мінюванням тепла з інтенсивністю ( )( )0
2
opI h Tλ θ + у довкілля (для повітря nλ ≈ 1).
Якщо поверхню непрозорого шару, що контактує з повітрям, прийняти дифузно
сірою (ελ = ε = const), то крайові умови на поверхнях z = 0, z = h пластини будуть
( ) ( ) ( )1 10
1 1 1
0,
0, ext
t
H t T T
z
∂ θ κ = θ + − ∂
,
( ) ( ) ( ) ( )42 20 0
2 2 2 2
,
, , ext
h t
h t T H h t T T
z
∂ θ κ = −σε θ + − θ + − ∂
, (4)
де σ — постійна Стефана-Больцмана [13], H j — коефіцієнти тепловіддачі з по-
верхонь, ( )j
extT — температури повітря в областях 0z < і z h> . Контактні умови
на межах поділу z = h1, z = h10 шарів, враховуючи випромінювання та поглинання
теплової енергії [7] і приймаючи рівність температур, запишемо так
( ) ( )1 1 0 1
1 0
, ,h t h t
z z
∂ θ ∂ θ κ = κ
∂ ∂
,
( ) ( )1 1 0 1, ,h t h tθ = θ ,
( ) ( ) ( ) ( )40 10 2 100 2 0
0 0 2 10 2
, ,
,
h t h t
n h t T q
z z
−∂ θ ∂ θ κ = −σε θ + + + κ ∂ ∂
,
( ) ( )0 10 2 10, ,h t h tθ = θ . (5)
Тут поверхню контакту непрозорого шару з проміжковим вважаємо дифузно сі-
рою ( ( ) ( )0 0− −
λε = ε ), показник заломлення сталим ( )( )0
0n nλ = , а потік q поглинутої
Оксана Турій
Нелінійна контактно-крайова задача термомеханіки для опромінюваної двошарової пластини ...
124
енергії через ефективну інтенсивність ( ) ( )1 0,I v+
λ випромінювання з поверхні z = 0
визначається за формулою
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
1
0 1 1
0 0
1 0, expq R I v v dv d
∞
− +
λ λ λ
= − −θ λ
∫ ∫ .
Інтегрування проводиться у всьому спектральному діапазоні.
Щоб застосувати операторний метод для отримання узагальнених контакт-
них умов, рівняння (3) для тонкого проміжкового шару запишемо у вигляді
2
2 0
0 02
0
1p Q
z
∂ θ
θ + = −
κ∂
, (6)
де 2 0
0
1p
t
∂θ
= −
ϖ ∂
.
Згідно цього методу, загальний розв’язок рівняння (6) шукаємо у вигляді
( ) ( ) ( ) ( )0
1cos cosM t pz N t pz
p ∗θ = + + θ , (7)
де N(t), M(t) — невідомі функції часу t, а θ* — його частковий розв’язок
( ) ( )2 1sin cosq pz q pz∗θ = − ,
( ) ( )1 0
0
1 , sinq Q z t pz dz= −
κ∫ , ( ) ( )2 0
0
1 , cosq Q z t pz dz= −
κ∫ .
Введемо у розгляд інтегральні характеристики Φ, Φ* проміжкового шару
( )
0
0
2
0
0 2
1 h
h
z dz
h ∗ ∗
−
Φ = θ∫ , ( )
0
0
2
02
0 2
6 h
h
z z dz
h∗ ∗ ∗ ∗
−
Φ = θ∫ .
Тут для спрощення викладок початок координат перенесено на серединну поверхню
проміжкового шару, тобто 1 0 2z z h h∗ = − − . Тоді, усереднюючи співвідношення (7)
і виключаючи невідомі N(t), M(t), визначимо температуру в шарі через ці харак-
теристики
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
22
00
0
0 0 0 0
2 sin 1cos
2sin 2 3 sin 2 cos 2 2
p h pzph pz z
p h pp h ph p h
∗ ∗
∗ ∗ ∗
ΦΦ
θ = + + θ
−
,
( )1
1 q z
p
∗
∗Φ = Φ − , ( )2
1 q z
p
∗ ∗ ∗
∗Φ = Φ − ,
( )
0
0
2
1
0 2
1 h
h
q z dz
h
∗
∗ ∗ ∗
−
= θ∫ , ( )
0
0
2
2 2
0 2
6 h
h
q z z dz
h
∗
∗ ∗ ∗ ∗
−
= θ∫ .
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 9, 118-132
125
Усереднюючи рівняння (6) і виключаючи в отриманих співвідношеннях вели-
чини Φ, Φ* з допомогою контактних умов (5) і спрямовуючи товщину проміжко-
вого шару до нуля ( )0 2 0h → , отримуємо такі узагальнені контактні умови
( ) ( ) ( )
0
0
2
0 42 1 22 1
2 1 0 0 22
2
2 2 ,
h
h
n C Q t dz
z z z
−
∗
−
∂ θ + θ∂θ ∂θ κ − κ = σε θ + − θ ∂ ∂ ∂ ∫ ,
( ) ( ) ( )0 42 1 22 1
2 1 2 1 0 26 12 6D n C
z z t
− ∂ θ − θ∂θ ∂θ κ + κ − θ − θ = σε θ + − ∂ ∂ ∂
( )
0
0
2
0 2
2
,
h
h
Q t z dz∗ ∗
−
− θ∫ . (8)
Тут 0 0 0C h c= ρ ε , 0 0D h= κ — приведені теплоємність і теплопроникність.
Таким чином визначення температури в пластині зводиться до розв’язування
системи (3) в основних шарах за крайових (4) й узагальнених контактних (8) умов.
Термонапружений стан пластини, викликаний нагрівом, визначаємо з температурної
задачі теорії пружності [20]. При цьому систему вихідних рівнянь записуємо
в напруженнях
2 ( )
2 0
j
zz
z
∂ σ
=
∂
,
22 ( )
2 2 0
1
j
j jxx
j
E M
z z
∂∂ σ
+ =
− ν∂ ∂
,
2 ( ) 2
2 2 0
1
j
yy j j
j
E M
z z
∂ σ ∂
+ =
− ν∂ ∂
,
де ( ) ( )( ) 0j
j j t jM T T T= α − , 0,2j = .
Граничні умови для пластини, поверхні якої вільні від навантажень, а краї
,x y → ±∞ вільні від зусиль і моментів, відповідно будуть
(1) (0, ) 0zz tσ = , (0)
1( , ) 0zz h tσ = , (2) ( , ) 0zz h tσ = ,
1 01
1 1 0
(1) (0) (2)
* * *
0
0
h hh h
ll ll ll
h h h
dz dz dz
+
+
σ + σ + σ =∫ ∫ ∫ ,
1 01
1
(1) (0)
* 1 0 * * 1 0 *
0
( 2) ( 2)
h hh
ll ll
h
z h h dz z h h dz
+
− − σ + − − σ +∫ ∫
1 0
(2)
* 1 0 *( 2) 0, ,
h
ll
h h
z h h dz l x y
+
+ − − σ = =∫ .
Контактні умови, які забезпечують рівність переміщень, мають вигляд [11]
(1) (0)
ll lle e= , (0) (2)
ll lle e= ,
(1) (0)
* *
ll lle e
z z
∂ ∂
=
∂ ∂
,
(0) (2)
* *
, , .ll lle e l x y
z z
∂ ∂
= =
∂ ∂
Оксана Турій
Нелінійна контактно-крайова задача термомеханіки для опромінюваної двошарової пластини ...
126
Тоді напруження ( ) ( )j j
xx yyσ = σ у пластині визначаються за формулами
( )
( ) 0 ( ) ( )
1 * 2( ) , , ,
1
j
t jj j j
jll
j
E
T T C z C l x y
α
σ = − − + + =
− ν
де постійні ( ) ( )
1 2,j jC C ( )0, 1, 2j = знаходимо з системи рівнянь
33 3
1 1 0 0 0 1 0 01 2
1 1 1
10 12
1
3 2 2 12 2 2 3
h h h h h h hh hC h h
K K
+ + + + + + +
( ) ( )2 2 01 1
2 1 0
12
,
2 2
h h hhC h h P
K
+
+ − + + =
( ) ( )2 2 01 1 01 2
1 1 0 2 1
12 10 12
,
2
h h h hh hC h h C h S
K K K
+
− + + + − + =
0 1 0 1 2 1 2 1
1 1 10 2 2 10 1 1 12 2 2 12, , ,C C K C C K C C K C C K= = = = . (9)
Тут
( )
( )01
10
1 0
1
1
EK
E
− ν
=
− ν
,
( )
( )20
02
0 2
1
1
EK
E
− ν
=
− ν
,
( )
( )21
12
1 2
1
,
1
EK
E
− ν
=
− ν
( ) ( ) ( )
1 01
1 1 0
0 0 01 1 0 0 2 2
1 0 2
1 0 20
,
1 1 1
h hh h
t t t
h h h
E E ES T T dz T T dz T T dz
+
+
α α α
= − + − + −
− ν − ν − ν∫ ∫ ∫
( )( ) ( )( )
1 01
1
0 01 1 0 0
1 1 1 0
1 001 1
h hh
t t
h
E EP z h T T dz z h T T dz
+
α α
= − − + − − +
− ν − ν∫ ∫
( )( )
1 0
02 2
1 2
2
.
1
h
t
h h
E z h T T dz
+
α
+ − −
− ν ∫
Враховуючи малість товщини проміжкового шару знайдемо наближені спів-
відношення для визначення напружень σ в основних шарах. Для цього перейдемо
до границі при 0 2 0h → у співвідношеннях (9), зберігаючи приведені жорсткісні
характеристики на згин 3
0 02 0 2g K h∗ = та розтяг 0 02 02g K h= проміжкового шару.
Тоді для знаходження постійних ( ) ( )
1 2,j jC C ( )1,2j = отримаємо таку систему рівнянь
( ) ( )1 3 3 1 2 2
1 12 1 0 2 2 12 1 2 122 2 3 3 6 ,C K h g h C K h h K M∗+ + + − + =
( ) ( )1 2 2 1
1 12 1 2 2 12 1 0 2 122 2 ,C K h h C K h g h K N− + + − + =
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 9, 118-132
127
де
( ) ( )
1
1
0 01 1 2 2
1 2
1 20
,
1 1
h h
t t
h
E EN T T dz T T dzα α
= − + −
− ν − ν∫ ∫
( )( ) ( )( )
1
1
0 01 1 2 2
1 1 1 2
1 20
.
1 1
h h
t t
h
E EM z h T T dz z h T T dzα α
= − − + − −
− ν − ν∫ ∫
2. Числові результати та їх аналіз
Для того, щоб розв’язати контактно-крайову задачу (3)-(5) методом скінченних
різниць [21], лінеаризуємо граничні умови, використовуючи метод квазілінеари-
зації [22]
1
1 12 2 2
21 ,k k k k kY Y Y Y f
h h h
ν ν ν ν− ν
− +
τ τ τ − + + = − −τ
( )1 0
1 1 0 0 1 0,extY Y H Y T T
h
ν ν
ν−
κ − + − =
( ) ( )3 4, 1 1, 1 1, 1 , 1
1 , , 1 , 24 3 0,k p k p k p k p
k p k p k p
Y Y Y Y
Y Y Y
h h
ν ν ν ν
+ − + + + +ν ν ν
+
− −
κ + σε − σε −κ =
( ) ( )3 4, 1 1, 1
2 , , 1 ,4 3N p N p
N p N p N p
Y Y
Y Y Y
h
ν ν
+ − + ν ν ν
+
−
κ + σε − σε +
2 , 1 0 2( ) 0,ext
N pH Y T Tν
++ + − =
де / ,h h N= /T Mτ = — крок по координаті та часу, ( k , p , N і M — натуральні
числа), , , , , ( , )k k j kz kh k N t T Y z tν
ν ν= < = ντ τ < = θ , а
( )1 1
1
, , 0 ,
0, .
k k
k
k
Q z t z h
f
h z h
νν < <=
< <
Числові дослідження проводилися для пластини, що складається з частково
прозорого шару скла BS-37A та непрозорого шару із нержавіючої сталі Х18Н9ТЛ,
з’єднаних проміжковим шаром кремній–органічного клею (КО-85) товщиною 0,3 мм.
Такий клей використовують на практиці для з’єднання елементів електровакуум-
них приладів. Він характеризується високою температурою трансформації 800 К.
Коефіцієнти поглинання основного та проміжкового частково прозорих шарів
апроксимували [3, 23-25] кусково-постійною функцією
( ) 1 п
2 п
, 0 ,
, ,
j jj
j j
a
a
aλ
<λ<λ= λ <λ<∞
де пjλ — порогова довжина хвилі, 0,1j = .
Оксана Турій
Нелінійна контактно-крайова задача термомеханіки для опромінюваної двошарової пластини ...
128
Температуру Ts випромінюючої поверхні вважаємо рівною 1000 K чи
3000 K. Інтегральний потік випромінювання від неї в напрямку шарів
0
s sI k I d
∞
λ= λ∫ (10)
вибирався так, щоб температура в скляному шарі пластини (h1 ≤ 1 см при h2 =
= 1 см) за дії випромінювання розглядуваної інтенсивності протягом 4 год. не
перевищувала температури трансформації розглядуваного виду скла — 720 K.
Характеристики матеріалів шарів згідно з [2, 3, 6, 8, 14, 25] є такі:
для скла BS-37A:
1 0,02R = , 1 1,66n = , п 4,80мкмλ = , 1
11 70м ,a −= 1
21 900ма −= ,
1 1,38Вт/м Кκ = ⋅ , 7 2
1 5,7 10 м / c−ϖ = ⋅ , 6 1
1 9,3 10 Kt
− −α = ⋅ ,
2
1 22,4Вт /м KH = ⋅ , 11
1 1,03 10 ПaE = ⋅ , 1 0,277ν = ,
для клею КО-85:
6
0 4,5 10 ПaE = ⋅ , 5 1
0 7 10 Kt
− −α = ⋅ , 0 0,35ν = ,
п0 2,73мкмλ = , 1
10 100м ,a −= 1
20 1000ма −= ,
для сталі Х18Н9ТЛ:
2 16,7Вт/м Кκ = ⋅ , 6 2
2 4,22 10 м / c−ϖ = ⋅ , 2
2 50Вт /м KH = ⋅ ,
12
2 0,198 10 ПaE = ⋅ , 2 0,28ν = , 4 1
2 0,17 10 Kt
− −α = ⋅ , 0,2ε = .
Розподіли тепловиділень 1 1( ) ( ) / (0)Q z Q z Q∗ = (в усталеному температурному
режимі) за товщиною частково прозорого шару при товщинах складників h1 =
= 0,001 м, h2 = 0,01 м показано на рис. 1а. Криві 1-3 відповідають значенням кое-
фіцієнта відбивання R – (0) на межі поділу «клей» – «сталь» 0,5; 0,65; 0,8 (суцільні
криві для Ts = 1000 K, а штрихові — для Ts = 3000 K). Зауважимо, що це значення
може залежати від шороховатості поверхні непрозорого матеріалу, умов склеювання
і т. п. Бачимо, що зі збільшенням коефіцієнта відбивання рівень тепловиділень
в околі поверхні контакту зростає. Отже, характер розподілу тепловиділень ви-
значається не тільки поглинальними властивостями матеріалу шару та темпера-
турою джерела випромінювання, але й якістю склеювання. Розподіли Q* для
h1 = 0,01 м, h2 = 0,01 м, R – (0) = 0,8 і Ts = 1000, 3000 K зображено на рис. 1б кри-
вими 1, 2 відповідно. Штрихові лінії отримано у разі нехтування випромінюван-
ня теплової енергії непрозорим складником на поверхні контакту. Як бачимо,
неврахування випромінювання в узагальнених теплових контактних умовах сут-
тєво змінює характер розподілу тепловиділень в околі контакту, зокрема, призво-
дить до заниження їхнього рівня.
Аналіз результатів, наведених на рис. 1, показує, що нерівномірність теп-
ловиділень у скляному шарі зростає з пониженням температури джерела та збіль-
шенням його товщини.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 9, 118-132
129
На рис. 2 суцільними та штриховими лініями подані розподіли температури
та напружень (в усталеному режимі) за товщиною пластини внаслідок її нагрівання
джерелом із температурою 1000 K та 3000 K для R –(0) = 0,8. Коефіцієнт K у спів-
відношенні (10) для цих температур вибирався рівним 0,028 та 0,00035. Криві 1-3
за фіксованої товщини стального шару h2 = 10 мм відповідають різним товщинам
скляного шару h1 = 3 мм, 5 мм, 7 мм. Бачимо, що градієнтність нагріву пластини
зростає з пониженням температури джерела від 3000 K до 1000 K, а за фіксованої
температури — зі збільшенням товщини скляного шару. Зауважимо, що за розра-
хованими кривими розподілу температури в пластині та відомими з експеримен-
ту її значеннями на поверхнях можна оцінити радіаційні характеристики на межі
поділу шарів. За розглядуваних товщин і температур джерела в обох шарах наявні
зони розтягувальних і стискальних напружень. Максимальні рівні розтягувальних
напружень досягаються на поверхні металевого, а стискальні — скляного шарів.
На поверхні контакту є стрибок напружень. Їх рівні і величина стрибка зроста-
ють зі збільшенням товщини скляного шару.
На рис. 3 зображено розподіли температури та напружень у пластині (h1 =
= 3 мм, h2 = 10 мм) для R –(0) = 0,8, отримані на основі сформульованої нелінійної
контактно-крайової задачі (суцільні лінії), нелінійної за нехтування випроміню-
ванням на поверхні контакту (штрихові лінії) та лінійної, коли випромінюванням
Рис. 1. Розподіли тепловиділень Q*(z) за товщиною частково прозорого шару
Q *
0,95
0,90
0,85
0,80
0,75
0,70
0 0,02 0,04 0,06 0,08 z, с
1 2 3
Q *
0 0,02 0,04 0,06 0,08 z, с
0,8
0,6
0,4
0,2
0
2
1
а б
σ,
МПа
360
180
0
– 360
– 180
0 0,005 0,010 0,015 z, м
б
T, K
540
570
600
630
660
690
0 0,005 0,010 0,015 z, м
а
Рис. 2. Розподіли температури та напружень
Оксана Турій
Нелінійна контактно-крайова задача термомеханіки для опромінюваної двошарової пластини ...
130
теплової енергії непрозорим складником знехтувано (штрих-пунктирні лінії).
Штрихові та штрих-пунктирні криві вказують на те, що нехтування ефектами ви-
промінювання теплової енергії при формулюванні контактних задач для шарува-
тих опромінюваних елементів (що містять непрозорі складники) суттєво впливає
на розрахункові значення температури та напружень.
Висновки. У статті запропоновано методику дослідження термомеханічної пове-
дінки опромінюваної пластини зі складниками різної прозорості, з’єднаних тон-
ким проміжковим шаром. Вона базується на використанні операторного методу
при встановленні узагальнених контактних умов теплообміну через проміжковий
шар за врахування переносу випромінювання. На основі розробленої аналітико-
числової методики розв’язування нелінійної контактно-крайової задачі проаналі-
зовано вплив ефектів випромінювання теплової енергії на термомеханічну пове-
дінку пластини.
Література
[1] Степаньянц, Ю. Р. Экспериментальное исследование скоростей нагрева оболочки ЦЭЛТ
при обезгаживании лучевым способом / Ю. Р. Степаньянц, М. В. Морозов // Оборудование
электронного машиностроения, технология и робототехника: межвуз. сборник научн. тру-
дов. — Москва: МИЭМ, 1984. — С. 81-86.
[2] Спосіб термовакуумної обробки електровакуумних приладів / С. Ф. Будз, О. Р. Гачкевич,
Р. Ф. Терлецький, Ю. Р. Сосновий // Деклараційний патент України 45183 А на винахід від
15.03.2002 р. (Заявка 2001064014. Рішення від 27.11.2001 р.). — Опубл. 15.03.2002 р. Бюл. № 3. —
С. 1-3.
[3] Термонапряженное состояние стеклооболочки кинескопа при нагреве электромагнитным
излучением / А. Р. Гачкевич, В. О. Драбык, Ю. Р. Сосновый, Р. Ф. Терлецкий // Мат. методы
и физ.-мех. поля. — 1991. — Вып. 33. — С. 31-35.
[4] Кочубей, Г. С. Потери мощности солнечных батарей высокоорбитальных космических аппа-
ратов при длительном воздействии потоков газа, плазмы и излучения / Г. С. Кочубей //
Техническая механика. — 2004. — № 2. — С. 64-70.
[5] Siegel, R. Transient effects of radietive transfer in semitransparent materials / R. Siegel // Int. J. Eng.
Sci. — 1998. — Vol. 36. — P. 1701-1739.
Рис. 3. Розподіли температури та напружень
z, м
600
575
550
525
– 100
– 200
– 300
0
100
0 0,003 0,006 0,009 0,012 0 0,003 0,006 0,009 0,012
σ,
МПаT, K
а б
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 9, 118-132
131
[6] Терлецький, Р. Ф. Термонапружений стан частково прозорої шаруватої пластини при
тепловому опроміненні / Р. Ф. Терлецький, О. П. Турій // Мат. методи та фіз.-мех. поля. —
2006. — Т. 49, № 3. — С. 177-187.
[7] Терлецький, Р.Ф. Термомеханічна поведінка шаруватої пластини з складниками різної
прозорості при тепловому опроміненні / Р. Ф. Терлецький, О. П. Турій // Физ.-хим. механика
материалов. — 2007. — № 5. — С. 125-136.
[8] Щуров, А. Ф. Физико-химия эпоксидных композиций на основе кристаллических мономе-
ров / А. Ф. Щуров, В. М. Николаев. — Нижний Новгород, 1991. — 125 с.
[9] Підстригач, Я. С. Умови теплового контакту твердих тіл / Я. С. Підстригач // Доповіді АН
УРСР. — 1963. — № 7. — С. 872-874.
[10] Подстригач, Я. С. О влиянии поверхностных слоев на процесс диффузии и на обусловленное им
напряженное состояние в твердых телах / Я. С. Подстригач, П. Р. Шевчук // Физ.-хим. меха-
ника материалов. — 1967. — Т. 3, № 5. — С. 575-583.
[11] Гачкевич, А. Р. Термомеханика электропроводных тел при воздействии квазиустановившихся
электромагнитных полей / А. Р. Гачкевич. — Київ: Наук. думка, 1992. — 192 с.
[12] Рубцов, Н. А. Теплообмен излучением в сплошных средах / Н. А. Рубцов. — Новосибирск:
Наука, 1984. — 277 с.
[13] Зигель, Р. Теплообмен излучением / Р. Зигель, Д. Хауэлл. — Москва: Мир, 1975. — 935 с.
[14] Температурные поля и напряжения в системе плоскопараллельных слоев при нагреве электро-
магнитным излучением / Б. С. Малкиель, А. Р. Гачкевич, Ю. Р. Сосновый, Р. Ф. Терлецкий //
Мат. методы и физ.-мех. поля. — 1988. — Вып. 28. — С. 21-26.
[15] Моделювання та оптимізація в термомеханіці електропровідних неоднорідних тіл; під заг.
ред. Я. Й. Бурака, Р. М. Кушніра. Т. 2. Механотермодифузія в частково прозорих тілах /
О. Р. Гачкевич, Р. Ф. Терлецкий, Т. Л. Курницький. — Львів: СПОЛОМ, 2007. — 184 с.
[16] Бурак, Я. Й. Термомеханіка тіл низької електропровідності при дії електромагнітного ви-
промінювання інфрачервоного діапазону / Я. Й. Бурак, О. Р. Гачкевич, Р. Ф. Терлецький //
Доповіді АН УРСР. Сер. А.— 1990. — № 6. — С. 39-43.
[17] Підстригач, Я. С. Задача теплопровідності для опромінюваних оболонок / Я. С. Підстригач,
Ю. А. Чернуха // Доповіді АН УРСР. Сер. А. — 1974. — № 3. — C. 263-267.
[18] Підстригач, Я. С. Теплообмен излучением в сплошных средах / Я. С. Підстригач,
Р. Н. Швець. — Новосибирск: Наука, 1984. — 277 с.
[19] Гачкевич, О. Р. Механотермодифузійні процеси в напівпрозорому твердому шарі при дії теп-
лового інфрачервоного випромінювання / О. Р. Гачкевич, Т. Л. Курницький, Р. Ф. Терлецький //
Мат. методи та фіз.-мех. поля. — 1998. — Т. 41, № 3. — С. 121-131.
[20] Коваленко, А. Д. Основы термоупругости / А. Д. Коваленко. — Киев: Наук. думка, 1970. —
307 с.
[21] Волков, Е. А. Численные методы / Е. А. Волков. — Москва: Наука, 1982. — 254 с.
[22] Беллман, Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи / Р. Беллман, Р. Калаба. —
Москва: Мир, 1968. — 223 с.
[23] Гачкевич, О. Р. Математичне моделювання механотермодифузійних процесів у частково-про-
зорих деформівних твердих тілах з газовими домішками за умов дії електромагнітного випромі-
нювання світлового діапазону частот / О. Р. Гачкевич, Р. Ф. Терлецький // Мат. методи та фіз.-
мех. поля. — 2003. — Т. 46, № 1. — С. 151-164.
[24] Гачкевич, А. Р. Напряженное состояние в стеклянных телах при их дегазации с использова-
нием нагрева инфракрасным излучением / А. Р. Гачкевич, Т. Л. Курницкий, Р. Ф. Терлецкий //
Прикл. механика и техн. физика. — 2002. — Т. 43, № 2. — С. 155-165.
[25] Гачкевич, А. Р. Напряженное состояние в стеклянных телах при их дегазации с использованием
нагрева инфракрасным излучением / А. Р. Гачкевич, Т. Л. Курницкий, Р. Ф. Терлецкий //
Прикл. механика и техн. физика. — 2002. — Т. 43, № 2. — С. 155-165.
Оксана Турій
Нелінійна контактно-крайова задача термомеханіки для опромінюваної двошарової пластини ...
132
Nonlinear contact boundary problem of thermomechanics
for the irradiated two-layer plate connected by an intermediate layer
Oksana Turii
Heat-transfer and the stress state in a layered plate with components of different transparency,
connected by an intermediate thin layer, subjected to thermal irradiation from the part of a semi-
transparent layer is investigated. Introducing the effective factor of reflection on the contact surface,
the approximate relations of the irradiation field in the main semitransparent layer are obtained.
The approximate expressions for the stresses in the plate, which take into account characteristics
of bending rigidity and tension of the intermediate layer are received. The nonlinear boundary
problem of heat-transfer is solved by the method of final elements using quasilinearization
procedure.
Нелинейная контактно-граничная задача термомеханики
для облучаемой двухслойной пластины,
соединенной промежуточным слоем
Оксана Турий
В работе исследовано теплоперенос и напряженное состояние в пластине, состоящей из
слоев различной прозрачности, соединенных тонким промежуточным слоем, при тепловом
облучении со стороны частично прозрачного слоя. Вводя эффективный коэффициент отра-
жения на поверхности контакта, получены приближенные соотношения для определения
поля излучения в основном частично прозрачном слое. Получены также приближенные
выражения для напряжений в пластине, учитывающие характеристики на изгиб и растя-
жение тонкого промежуточного слоя. Нелинейная граничная задача теплопереноса реше-
на методом конечных элементов с использованием процедуры квазилинеаризации.
Отримано 10.09.08
|