Температурне поле та прогин півбезмежної пластинки із залежними від координати коефіцієнтами тепловіддачі
Розглянуто задачу про прогин півбезмежної пластинки, який зумовлений різницею температур зовнішнього середовища на її лицевих поверхнях і коефіцієнтами тепловіддачі, які залежать від координати. З використанням функції Гевісайда задачу про визначення температурного поля зведено до розв’язування взає...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2009
|
| Назва видання: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/22092 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Температурне поле та прогин півбезмежної пластинки із залежними від координати коефіцієнтами тепловіддачі / Б. Хапко, А. Чиж // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 9. — С. 133-144. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-22092 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-220922011-06-21T12:05:04Z Температурне поле та прогин півбезмежної пластинки із залежними від координати коефіцієнтами тепловіддачі Хапко, Б. Чиж, А. Розглянуто задачу про прогин півбезмежної пластинки, який зумовлений різницею температур зовнішнього середовища на її лицевих поверхнях і коефіцієнтами тепловіддачі, які залежать від координати. З використанням функції Гевісайда задачу про визначення температурного поля зведено до розв’язування взаємозв’язаної системи інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду. Для відшукання значень температурних характеристик побудовано числову схему розв’язування інтегральних рівнянь із використанням квадратурних формул Сімпсона. Наведено числовий аналіз розподілу прогинів і температурних моментів. Проаналізовано розподіл згинних моментів і прогинів пластинки, коефіцієнти тепловіддачі якої на обох лицевих поверхнях залежать від координати. problem of bending of a semi-infinite plate, caused by temperature differences between the top and bottom surfaces of the plate with coordinate-dependent heat exchange coefficients, was solved. The Heaviside generalized function was used and the problem on determining temperature distribution in the plate was reduced to the coupled system of Fredholm integral equations of the second kind. Using Simpson’s quadrature formulas a numerical scheme for solving integral equations and finding temperature characteristics was constructed. Numerical analysis for distribution of plate deflection and temperature moments was performed. The case of coordinate-dependent heat exchange coefficients that are equal on the top and bottom surfaces of the plate was studied and distribution of bending moments and plate deflection were analyzed. Рассмотрено задачу об изгибе полубесконечной пластины, обусловленным разницей температур внешней среды на её лицевых поверхностях и зависимыми от координаты коэффициентами теплоотдачи. Определение температурного поля с использованием функции Хэвисайда сведено к решению взаимосвязанной системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Для нахождения температурных характеристик с использованием квадратурных формул Симпсона построена численная схема решения интегральных уравнений. Проведен численный анализ распределения прогибов и температурных моментов. Проанализировано распределение изгибных моментов и прогибов пластины, коэффициенты теплоотдачи которой на обеих поверхностях одинаковые и зависят от координаты. 2009 Article Температурне поле та прогин півбезмежної пластинки із залежними від координати коефіцієнтами тепловіддачі / Б. Хапко, А. Чиж // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 9. — С. 133-144. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/22092 539.377 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Розглянуто задачу про прогин півбезмежної пластинки, який зумовлений різницею температур зовнішнього середовища на її лицевих поверхнях і коефіцієнтами тепловіддачі, які залежать від координати. З використанням функції Гевісайда задачу про визначення температурного поля зведено до розв’язування взаємозв’язаної системи інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду. Для відшукання значень температурних характеристик побудовано числову схему розв’язування інтегральних рівнянь із використанням квадратурних формул Сімпсона. Наведено числовий аналіз розподілу прогинів і температурних моментів. Проаналізовано розподіл згинних моментів і прогинів пластинки, коефіцієнти тепловіддачі якої на обох лицевих поверхнях залежать від координати. |
| format |
Article |
| author |
Хапко, Б. Чиж, А. |
| spellingShingle |
Хапко, Б. Чиж, А. Температурне поле та прогин півбезмежної пластинки із залежними від координати коефіцієнтами тепловіддачі Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| author_facet |
Хапко, Б. Чиж, А. |
| author_sort |
Хапко, Б. |
| title |
Температурне поле та прогин півбезмежної пластинки із залежними від координати коефіцієнтами тепловіддачі |
| title_short |
Температурне поле та прогин півбезмежної пластинки із залежними від координати коефіцієнтами тепловіддачі |
| title_full |
Температурне поле та прогин півбезмежної пластинки із залежними від координати коефіцієнтами тепловіддачі |
| title_fullStr |
Температурне поле та прогин півбезмежної пластинки із залежними від координати коефіцієнтами тепловіддачі |
| title_full_unstemmed |
Температурне поле та прогин півбезмежної пластинки із залежними від координати коефіцієнтами тепловіддачі |
| title_sort |
температурне поле та прогин півбезмежної пластинки із залежними від координати коефіцієнтами тепловіддачі |
| publisher |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/22092 |
| citation_txt |
Температурне поле та прогин півбезмежної пластинки із залежними від координати коефіцієнтами тепловіддачі / Б. Хапко, А. Чиж // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 9. — С. 133-144. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. |
| series |
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| work_keys_str_mv |
AT hapkob temperaturnepoletaproginpívbezmežnoíplastinkiízzaležnimivídkoordinatikoefícíêntamiteplovíddačí AT čiža temperaturnepoletaproginpívbezmežnoíplastinkiízzaležnimivídkoordinatikoefícíêntamiteplovíddačí |
| first_indexed |
2025-07-02T23:11:18Z |
| last_indexed |
2025-07-02T23:11:18Z |
| _version_ |
1836578640305848320 |
| fulltext |
133
Температурне поле та прогин півбезмежної пластинки
із залежними від координати коефіцієнтами тепловіддачі
Богдан Хапко1, Анатолій Чиж2
1 к. ф.-м. н., Інститут прикладних проблеми механіки і математики ім. Я. C. Підстригача НАН України,
вул. Наукова, 3б, Львів, 79060, e-mail: labmtd@iapmm.lviv.ua
2 Інститут прикладних проблеми механіки і математики ім. Я. C. Підстригача НАН України, вул. Наукова, 3б,
Львів, 79060, e-mail: Chyzh_Tolik@ukt.net
(Представлено професором М. Сухорольським)
Розглянуто задачу про прогин півбезмежної пластинки, який зумовлений різницею температур
зовнішнього середовища на її лицевих поверхнях і коефіцієнтами тепловіддачі, які залежать
від координати. З використанням функції Гевісайда задачу про визначення температурного
поля зведено до розв’язування взаємозв’язаної системи інтегральних рівнянь Фредгольма
другого роду. Для відшукання значень температурних характеристик побудовано числову
схему розв’язування інтегральних рівнянь із використанням квадратурних формул Сімпсона.
Наведено числовий аналіз розподілу прогинів і температурних моментів. Проаналізовано
розподіл згинних моментів і прогинів пластинки, коефіцієнти тепловіддачі якої на обох
лицевих поверхнях залежать від координати.
Ключові слова: температурні характеристики, коефіцієнти тепловіддачі,
інтегральні рівняння Фредгольма другого роду, згинні моменти, прогин.
Вступ. За локального нагрівання тонкостінних елементів конструкцій (в областях
різної розмірності), наплавці, шліфуванні, імпульсній технології поверхневого зміц-
нення тощо коефіцієнти тепловіддачі на поверхнях є функції від координат. Задачі
термопружності шляхом граничних переходів для тіл із локально-змінними кое-
фіцієнтами тепловіддачі досліджували у монографії [1]. Температурні поля й на-
пруження в пластинках із кусково-постійними коефіцієнтами тепловіддачі за вузько-
зонального їх нагрівання розглянуто в працях [2, 3]. У дослідженнях [1, 4, 5]
вивчено термопружний стан пластинок за умови їх нагрівання у вузькій зоні торця,
у тому числі, якщо зона нагрівання може рухатися. Температурне поле та спри-
чинені ним напруження у тілах із залежними від часу та температури коефіцієн-
тами тепловіддачі з поверхонь досліджено в роботах [6-8]. Нагрів півбезмежної плас-
тинки за задання на лицевих поверхнях локалізованого сталого збурення температури
розглянуто в працях [9-11], а періодично розподіленого збурення температури та
внутрішніх джерел тепла в [12]. У дослідженнях [13, 14] знайдено напружений стан
нескінченної пластинки, яка ззовні нагрівається на кільцевих областях. Термона-
пружений стан прямокутної пластинки, коефіцієнти тепловіддачі якої на лицевих
поверхнях змінюються за квадратичним законом, досліджено в праці [15]. Вплив
зміни коефіцієнта теплообміну в області нагрівання та поза нею на напружено-
УДК 539.377
Богдан Хапко, Анатолій Чиж
Температурне поле та прогин півбезмежної пластинки із залежними від координати ...
134
деформований стан циліндричної оболонки вивчено в монографії [16]. Слід заува-
жити, що у згаданих роботах, окрім [16], розглядали плосконапружений стан пластин.
У цій роботі на прикладі півбезмежної пластинки, яка перебуває під дією
температури зовнішнього середовища, досліджено вплив різних значень кусково-
сталих коефіцієнтів тепловіддачі з поверхонь на прогин і згинні моменти. Для
визначення температурного поля використано функції Гевісайда й інтегральні
рівняння Фредгольма другого роду.
1. Формулювання задачі
Розглянемо тонку півбезмежну пластинку товщини 2h, яка на лицевих поверхнях
z = ± h перебуває в умовах конвективного теплообміну з зовнішнім середовищем
температури ct+ , ct− відповідно. Відносні коефіцієнти тепловіддачі на цих поверхнях
дорівнюють 1
+µ і 1
−µ скрізь, окрім смуги 1 1
1 1 1a x b≤ ≤ , на якій вони набувають зна-
чень 2 2,+ −µ µ . На краю пластинки x1 = 0 задано температуру середовища Tc. Плас-
тинка на торці x1 = 0 закріплена та вільна від зовнішнього силового навантаження.
Стаціонарне температурне поле в пластинці за лінійного розподілу темпе-
ратури за товщиною описуємо взаємозв’язаною системою рівнянь [2, 16]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 0h T x x T x t x T x t∆ −µ − −µ − = ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 23 1 3 3h T x x T x t x T x t t∆ − + µ − − µ − = (1)
за граничних умов
1 1
1 1 1 1 20 , ,cx xT T T t r t= →∞= = +
( )
1 1
2 2 2 20 , 1cx xT T T r t∗
= →∞= = − . (2)
Тут 2 2
1x∆ = ∂ ∂ , а
( )
( ) ( )1 1
1,2 1 2
h x x
x
+ − µ ± µ µ = ; ( ) ( ) ( )1 1 1
1 1 2 1 1 1; ,
2
h x
H x a b
+
+ + +µ
= µ − µ −µ ;
( ) ( ) ( )1 1 1
1 1 2 1 1 1; , ;
2
h x
H x a b
−
− − −µ
= µ − µ −µ ( ) ( ) ( )1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1; , ;H x a b S x a S x b− += − − −
1,2 ;
2
c ct tt
+ −±
= 1 1
1
1 1 1 14
r
+ −
+ − + −
µ −µ
=
µ + µ + µ µ
; 1 1
2
1 1 1 14
r
+ −
+ − + −
µ + µ
=
µ + µ + µ µ
;
( )
1
1 11
1 1 1
1 1,
1, ,
0,
x a
S x a
x a−
≥− =
<
; ( )
1
1 11
1 1 1
1 1
1, ,
0,
x b
S x b
x b
+
>− =
≤
— асиметричні функції Гевісайда;
,+ −µ µ — коефіцієнти теплообміну з поверхонь z = ± h; T1(x1), T2(x1) — інтегральні
температурні характеристики [16, 17]. Подамо ( )1,2 1xµ у вигляді
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 9, 133-144
135
( ) ( ) ( )1 1
1,2 1 1 2 1 1 1 1; ,x H x a b± ± ±µ = η + η −η , (3)
де 1 1 1 2 2 2,± + − ± + −η = µ ± µ η = µ ± µ .
Введемо функції
θ1 = T1 – t1 – r1 t2, θ2 = T2 – t2 + r2 t2 (4)
та безрозмірну координату x = x1 / h. Тоді задача (1), (2) з урахуванням (3) матиме
вигляд
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 1 2 ; ,x x x Q x Q x H x a b+ −∆θ − η θ −η θ = + ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 1 3 43 1 3 ; , ,x x x Q x Q x H x a b+ −∆θ − + η θ − η θ = + (5)
1 1 1 2 10 , 0cx xT t r t= →∞θ = − − θ = ,
2 2 2 2 20 , 0cx xT t r t∗
= →∞θ = − + θ = ,
де
( ) ( ) ( )1 2 1 1 1 2Q x x r t+ += η −η θ + , ( ) ( ) ( )2 2 1 2 2 2Q x x r t− −= η −η θ − ,
( ) ( ) ( )3 2 1 2 2 23Q x x r t+ += η −η θ − , ( ) ( ) ( )4 2 1 1 1 23Q x x r t− −= η −η θ + , (6)
1
1a a h= , 1
1b b h= .
Система рівнянь (5) є взаємозв’язана, в праву частину якої входять розривні
функції.
2. Методика розв’язування задачі
Для знаходження розв’язку системи рівнянь (5) шукані функції θ1 і θ2 подамо у ви-
гляді [16]
( )( ) ( )( )1 1
1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1,F F F F− −θ = λ − λ λ − λ θ = λ − λ − λ , (7)
де Fi ( 1,2)i = — невідомі функції. Підставивши співвідношення (7) у систему (5),
для визначення функцій Fi отримаємо два диференціальні рівняння
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 ; ,i i i i i iF x a F x d F x F x c t H x a b ∆ − = + κ + , 1,2i = (8)
і граничні умови
0 ,i ixF e= = 0i xF →∞ = , (9)
де
( ) ( ) ( )2 2 1
1,2 1 1 1 13 2 3 2 12 6
−+ + − −
λ = + η + η + η η
∓ ; 1 13i ia + −= η + η λ ; 1,2i = ;
Богдан Хапко, Анатолій Чиж
Температурне поле та прогин півбезмежної пластинки із залежними від координати ...
136
( )1 1 1 2 1 2 2 2c ce T t r t T t r t∗= − − −λ − + ;
( ) 1
2 1 2 2 2 2 2 1 2c ce T r t T t r t t∗ − = − −λ − + − λ ;
( )( ) ( )( ) ( ) 1
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 13 3 1d −+ + − − = η −η λ − λ + η −η λ λ − λ −λ ;
( )( ) ( )( ) ( ) 12
2 2 1 2 2 1 2 2 1 22 3 1d −+ + − − = η −η − λ + η −η λ − λ −λ λ ;
( ) ( )( ) ( ) 12
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 12 3 ;−+ + − − κ = η −η λ λ + η −η λ − λ λ λ − λ
( )( ) ( )( ) ( ) 12 2
2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 13 3 −+ + − − κ = η −η −λ λ + λ + η −η λ − λ λ λ λ −λ ;
( )( ) ( )( )1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 13 3c r r r r+ + − −= η −η − λ − η −η − λ ;
( )( ) ( )( ) 1
2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 23 3c r r r r+ + − − − = η −η − λ − η − η − λ λ .
Розв’язуючи систему рівнянь (8) методом варіації сталої та задовольняючи
граничні умови (9), для визначення функцій Fi одержимо систему інтегральних
рівнянь
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2
1 , ,
2
b
i i i i i
i a
F x f x d F F K a x d
a
= + ξ + κ ξ ξ ξ ∫ , 1,2i = . (10)
Тут
( ) ( ) ( ) ,i ia x a x
i i i i if x e g e g e v x−= − + + ( )2
2
i ia b a ai
i
i
c tg e e
a
− −= − ,
( ) ( ) ( )2
0
1 ; , sh
x
i i i
i
v x c t H a b a x d
a
= ξ − ξ ξ ∫ ,
( ) ( ) , , i ia x a x
iK a x e e− −ξ − +ξξ = − + .
Інтегральні рівняння (10) є рівняння Фредгольма другого роду, оскільки
( ) 2
,i i
b b
a x a x
a a
e e dsd− −ξ − +ξ − + ξ < ∞ ∫ ∫ ( ) 2
b
i
a
f x d ξ < ∞ ∫ .
Систему інтегральних рівнянь (10) розв’язуємо методом квадратурних
формул. В основі методу лежить квадратурна формула Сімпсона [18]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2
1
, , , ,
b n
i i i j i j i j i j
ja
d F F K a x d A d F x F x K a x x
=
+ κ ξ ξ = + κ + ∑∫
( )( )( )1 2, ,i i iR K a x d F F+ ξ + κ , (11)
де xj — абсциси, які ділять відрізок [a, b] на (n – 1)-у частини; Аj — коефіцієнти,
які не залежать від функції ( ) ( )1 2 , ,i i id F F K a x+ κ ξ ; ( )( )( )1 2, ,i i iR K a x d F Fξ + κ —
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 9, 133-144
137
похибка заміни інтеграла сумою. Лінійні неоднорідні інтегральні рівняння (10)
розглядаємо в точках поділу ( ) ( )1 1,
1l
b ax a l l n
n
−
= + − =
−
. У підсумку отримаємо
систему 2n співвідношень
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2
1 ,
b
i l i i l i l
i a
F x d F F K x d f x
a
− ξ + κ ξ ξ ξ = ∫ , 1,l n= , 1,2i = . (12)
Замінивши у формулах (12) інтеграли скінченними сумами згідно квадратурної фор-
мули (11) та знехтувавши малими величинами ( )( )( )1 2, ,i
i l i ilR R K a x d F F= ξ + κ ,
для відшукання наближених значень ( )i l ilF x F= розв’язку ( )iF x рівнянь (10) у
вузлах x1, x1, ..., xn одержимо таку систему 2n лінійних алгебраїчних рівнянь
( )1 2
1
1 , 1,
n
i
il j i j i j lj il
ji
F A d F F K f l n
a =
− + κ = =∑ ; 1,2i = ,
де введено позначення ( ), ,i
lj i l jK K a x x= , ( )il i lf f x= .
Підставляючи визначені значення ilF , 1,2; 1,i l n= = , у формулу
( ) ( ) ( ) ( )1 2
1
1 , ,
n
i i j i j i j i j
ji
F x f x A d F F K a x x
a =
= + + κ∑ , 1,2i = ,
визначаємо значення функції Fi у будь-якій точці пластинки. Відповідно темпе-
ратурні характеристики ( )iT x , 1,2i = , з урахуванням співвідношень (6) і (4) зна-
ходимо за формулами
( )
( ) ( )2 1 1 2
1 1 1 2
2 1
F x F x
T x t r t
λ − λ = + +
λ − λ
,
( ) ( ) ( ) ( )2 2 1
2 2 2
2 1
1
F x F x
T x r t
λ −
= + +
λ − λ
. (13)
3. Прогин пластинки
Прогин пластинки w, зумовлений температурним полем (13), визначаємо з дифе-
ренціального рівняння [16]
( ) ( )2w x A T x∆∆ = − ∆ (14)
і граничних умов
( ) ( )
0
0
0, 0,
x
x
w x
w x
x=
=
∂
= =
∂
Богдан Хапко, Анатолій Чиж
Температурне поле та прогин півбезмежної пластинки із залежними від координати ...
138
( ) ( ) ( ) ( )2 3
2
22 30, 0,
x x
w x w x T x
AT x A
xx x
→∞ →∞
∂ ∂ ∂
+ = + =
∂∂ ∂
(15)
де ( )1 tA h= + ν α , αt — коефіцієнт лінійного температурного розширення, ν —
коефіцієнт Пуассона.
Прогин пластинки подамо сумою w = w*+ w2, де w* = С1х3 + С2х2 +
3 4C x C+ + — розв’язок однорідного рівняння ( )* 0w x∆∆ = , а w2 — частковий
розв’язок неоднорідного рівняння
( ) ( )2 2w x AT x∆ = − . (16)
Для знаходження розв’язку рівняння (16) чинимо так: визначаємо з системи
рівнянь (1) температурний момент
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1
2 1 2 2 1 2 3 4 ; ,T x B T x CT x Dt Q Q C Q Q H x a b− = ∆ − + − + − + , (17)
де ( ) ( )2 2
1 1 1 1B − + + − = η − η − η η
, ( ) ( )2 2
1 1 1D − + − = η − η η
, ( )1 13C + −= η η .
Підставивши (17) у рівняння (16) і проінтегрувавши його, одержуємо функцію
( ) ( )
2
2 1 2 2 1 2 3 4
0 0
; ,
2
xA xw T CT Dt Q Q C Q Q H s a b dsd
B
ξ = − − − + + − + ξ
∫ ∫ .
Тепер, задовольняючи граничні умови (15), знаходимо прогин пластинки
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 3
0 0
xAw x T x CT x Q s Q s CQ s
B
ξ= − − + + − +
∫ ∫
( ) ( )
2
*1 2
4 2
0
( ) ( ); ,
2 c c
x
T x T xxCQ s H s a b dsd Dt C x T CT
x x =
∂ ∂ + ξ − + − + − ∂ ∂
. (18)
Тут температурні характеристики ( )iT x , 1,2i = , задані формулою (13).
Згинні моменти набувають значень
1 0M = , ( )
( )
( )
23
2 22
12
3 1
tEhM x T x
h
α − ν
= −
− ν
, (19)
де E — модуль пружності.
4. Числові результати та їх аналіз
Розрахунки температурного моменту 2T та прогину w проведено згідно формул
(13) і (18) за таких даних: a = 0,3; b = 0,6; Tc = 30°C; * 0 C;cT = ° t1 = 20°C; t2 = 5°C;
51,52 10 1 Сt
−α = ⋅ ° ; ν = 0,3.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 9, 133-144
139
На рис. 1 наведено графіки розподілу температурних моментів T2 та прогинів
w1 = 10 5w пластинки, коефіцієнти тепловіддачі на поверхнях якої набувають зна-
чень 1
+µ = 2
−µ = 0,1. Зі збільшенням коефіцієнта тепловіддачі на смузі 0,3 ≤ x ≤ 0,6
верхньої лицевої поверхні 2
+µ = 0,5; 1; 5 і поза смугою 0 ≤ x < 0,3; 0,6 < x < ∞ на
нижній лицевій поверхні 1
−µ = 0,5; 1; 5 (криві 2-4 відповідно), порівняно з пластин-
кою (рис. 1а), в якій коефіцієнти тепловіддачі однакові 2
+µ = 1
−µ = 0,1 (крива 1),
температурний момент зростає та досягає максимального значення поза смугою,
а на смузі — мінімального значення. Зі зростанням аргументу x функція T2 асимп-
тотично прямує до заданих на нескінченності значень. На рис. 1б зображено
відповідні прогини пластинки w1 = 10 5w, зумовлені температурними моментами,
наведеними на рис. 1а. Зі збільшенням величини температурного моменту про-
гин пластинки зростає та набуває параболічної форми.
Рис. 1
0
1
2
3
4
0 0,3 0,6 0,9
1
2
3
4
T 2
x
а
-0,021
-0,014
-0,007
0
0 0,3 0,6 0,9
4
3
12
w 1
x
б
T2 w1
x x
4
3 2
1
– 0,4
– 0,2
0
0,2
0,5 0 1 1,5 2
0
– 0,005
– 0,01
– 0,015
– 0,02
1
2
3
4
0 0,5 1 1,5 2
Рис. 2
б а
Богдан Хапко, Анатолій Чиж
Температурне поле та прогин півбезмежної пластинки із залежними від координати ...
140
Криві 1-4 на рис. 2 відповідають температурним моментам T2 та прогинам
пластинки w1, коефіцієнти тепловіддачі з поверхонь якої набувають значень 1
+µ =
= 1
−µ = 2
−µ = 0,1, а 2
+µ = 0,1; 0,5; 1,5; 2,5. Із ростом коефіцієнта тепловіддачі 2
+µ на сму-
зі 0,3 ≤ x ≤ 0,6 верхньої лицевої поверхні (рис. 2а), порівняно з однорідною пластин-
кою 2
+µ = 0,1 (крива 1), температурний момент зменшується, досягає мінімального
значення на смузі й асимптотично прямує до заданого на нескінченності значення.
Прогини пластинки w1 = 10 5w (криві 1-4 на рис. 2б) спричинено наведеними
на рис. 2а температурними моментами (криві 1-4). Зі збільшенням коефіцієнта
тепловіддачі на смузі верхньої лицевої поверхні прогин пластинки зменшується,
змінює знак, починаючи з зони смуги, оскільки на цій ділянці температура пластин-
ки на нижній лицевій поверхні вища від температури на верхній лицевій поверхні.
5. Температурний момент і прогин за однакових коефіцієнтів
тепловіддачі з лицевих поверхонь
Розглянемо випадок, коли коефіцієнти тепловіддачі з лицевих поверхонь z = ± h
рівні між собою ( )+ −µ = µ і дорівнюють 1
+µ скрізь, окрім смуги a ≤ x ≤ b, на якій
вони набувають значення 2
+µ 1 2( )+ +µ ≠ µ . Тоді задача теплопровідності (1), (2)
спрощується та розподіл інтегрального температурного моменту в пластинці ви-
значається формулою
( ) ( ) ( ) ( )3 33
2 3 2 3
3
1
2
b
x xx
c
a
x T d t e Q e e d−κ −ξ −κ +ξ−κ∗ θ = − + ξ − ξ κ ∫ , (20)
де
1
3
1
2
1 2
d
+
+
µ
=
+ µ
, ( )3 13 1 2 +κ = + µ , ( ) ( ) ( ) 2
3 2 1 2
1
6
1 2
tQ x x+ +
+
= µ −µ θ − + µ
. (21)
Знайшовши з (21) вираз для θ2(x), підставляємо його в ліву частину співвід-
ношення (20) у підсумку чого для визначення функції ( )3Q x отримаємо неодно-
рідне інтегральне рівняння Фредгольма другого роду
( ) ( ) ( )2 2
3 2 1 2 3 36 1x x
cQ x t d d e T e−κ −κ+ + ∗ = µ −µ − − + +
( )
( ) ( )2 2
1 2
3
2
3 b
x x
a
Q e e d
+ +
−κ −ξ −κ +ξ
µ −µ
+ ξ − ξ κ ∫ . (22)
Інтегральне рівняння (22) розв’язуємо числово, використовуючи квадра-
турні формули Сімпсона [18]. Підставивши розв’язок інтегрального рівняння
(22) у (20), після заміни
2 2 3 2T d t= θ + (23)
знайдемо температурний момент, який спричиняє прогин пластинки
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 9, 133-144
141
( ) ( ) ( ) 2
2 1 2
1
3
3 1 2
Aw x T x t x+
+
= − − µ ++ µ
( ) ( ) ( )2 *
3
0 0 0
; ,
x
c
x
T x
Q s H s a b dsd x T
x
ξ
=
∂
+ ξ + +
∂
∫ ∫ (24)
та згинний момент M2 згідно подання (19).
Розрахунки згинного моменту M2 та прогину w1 за однакових коефіцієнтів
тепловіддачі на лицевих поверхнях проведено на основі формул (23) і (24).
На рис. 3 і 4 наведено згинні моменти M2 та прогини w1 пластинки, у якій коефі-
цієнти тепловіддачі на поверхнях відповідно набувають значень 1
+µ = 0,1 і 1
+µ = 5.
-51
-34
-17
0
0 0,3 0,6 0,9
M 2
1
2
3
4
x
а
-90
-60
-30
0
0 0,3 0,6 0,9
M 2
1
2
3
x
б
Рис. 3
-0,012
-0,008
-0,004
0
0 0,3 0,6 0,9
3
1
2
4
w 1
x
а
-0,021
-0,014
-0,007
0
0 0,3 0,6 0,9
1
2
3
w 1
x
б
Рис. 4
Богдан Хапко, Анатолій Чиж
Температурне поле та прогин півбезмежної пластинки із залежними від координати ...
142
Зі збільшенням коефіцієнта тепловіддачі 2
+µ = 0,5; 1; 5 (криві 2-4 на рис. 3а) на
смузі 0,3 ≤ x ≤ 0,6 пластинки порівняно з однорідною пластинкою 2
+µ = 0,1 (кри-
ва 1), величина згинного моменту M2 зростає та досягає максимуму на смузі. За
наведених на рис. 3а значень згинного моменту M2 прогин w1 пластинки (рис. 4а),
порівняно з однорідною пластинкою (крива 1), зростає. Зі зменшенням коефіцієнта
тепловіддачі 2
+µ = 2; 0,01 на смузі 0,3 ≤ x ≤ 0,6 (криві 2 та 3 на рис. 3б), порівняно
з пластинкою з однаковими коефіцієнтами тепловіддачі 2
+µ = 5 (крива 1), згинний
момент на смузі зменшується, а зі зростанням аргументу — зростає до заданого
значення. Зменшення величини згинного моменту M2 (рис. 3б) на цій смузі
призводить до зменшення прогину (криві 2, 3 на рис. 4б), порівняно з пластин-
кою з однаковими коефіцієнтами тепловіддачі (крива 1).
Висновки. Досліджено прогин півбезмежної пластинки, зумовлений різницею
температур зовнішнього середовища на лицевих поверхнях, а також різними кое-
фіцієнтами тепловіддачі на кожній із смуг цих поверхонь. Розв’язування частко-
во виродженої системи рівнянь теплопровідності зведено до знаходження
розв’язку системи взаємозв’язаних інтегральних рівнянь Фредгольма другого
роду. Розроблено аналітико-числову схему розв’язування системи цих ін-
тегральних рівнянь. Наведені графіки ілюструють, що нерівномірність тепловід-
дачі з лицевих поверхонь тонких пластинок суттєво впливає на розподіл у них
температурних і згинних моментів, а також прогинів.
Література
[1] Подстригач, Я. С. Термоупругость тел неоднородной структуры / Я. С. Подстригач, В. А. Ло-
макин, Ю. М. Коляно. — Москва: Наука, 1984. — 368 с.
[2] Термоупругость тел при переменных коэффициентах теплоотдачи / Я. С. Подстригач, Ю. М. Ко-
ляно, В. И. Громовык, В. Л. Лозбень. — Киев: Наук. думка, 1977. — 158 с.
[3] Коляно, Ю. М. Температурное напряжениe от объемных источников / Ю. М. Коляно, А. Н. Ку-
лик. — Киев: Наук. думка, 1983. — 288 с.
[4] Підстригач, Я. С. Температурне поле в тонких пластинках при змінному коефіцієнті тепло-
віддачі з бокових поверхонь / Я. С. Підстригач, Ю. М. Коляно // Доп. АН УРСР. Сер. А. —
1971. — № 1. — С. 75-78.
[5] Грицько, Е. Г. Температурные поля и напряжения в ортотропной полубесконечной пластинке
при кусочно-постоянном коэффициенте теплоотдачи с торцевой поверхности / Е. Г. Гриць-
ко // Термомеханические процессы в кусочно-однородных элементах конструкций. — Киев:
Наук. думка, 1978. — С. 173-178.
[6] Видин Ю. В. О температурном поле неограниченной пластины при переменном коэффици-
енте теплообмена / Ю. В. Видин // Изв. вузов. Авиационная техника. — 1967. –— № 7. —
С. 65-69.
[7] Коляно, Ю. М. Нагрев движущимся источником тепла полубесконечной пластинки с пере-
менным коэффициентом теплоотдачи / Ю. М. Коляно, В. Л. Лозбень // Прикл. механика. —
1974. — Т. 10, № 3. — С. 42-47.
[8] Сідляр, М. М. Визначення нестаціонарного температурного поля в двошаровій пластинці
у випадку змінного в часі коефіцієнта тепловіддачі / М. М. Сідляр // Прикл. механика. —
1963. — Т. 9, № 3. — С. 309-314.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 9, 133-144
143
[9] Литвинова, А. Ф. Температурные напряжения в ортотропной полубесконечной пластинке,
обусловленные локальным нагревом / А. Ф. Литвинова // Обобщенные функции в термо-
упругости. — Киев: Наук. думка, 1980. — С. 106-112.
[10] Дидык, В. З. Двумерная задача термоупругости пластин с кусочно-постоянными коэффици-
ентами теплоотдачи / В. З. Дидык // Математические методы в термомеханике. — Киев:
Наук. думка, 1978. — С. 144-152.
[11] Коляно, Ю. М. Температурные напряжения в пластинках с зависящими от координаты ко-
эффициентами теплоотдачи / Ю. М. Коляно, В. З. Дидык, Б. М. Кордуба // Докл. АН УССР.
Сер. А. — 1976. — № 6. — С. 517-521.
[12] Коляно, Ю. М. Метод интегральных характеристик в термоупругости пластин с кусочно-
постоянными коэффициентами теплоотдачи / Ю. М. Коляно, В. З. Дидык // Докл. АН УССР.
Сер. А. — 1977. — № 11. — С. 1015-1018.
[13] Кулик, А. Н. Температурные напряжения в пластинке, обусловленные нагревом по кольце-
вой области путем конвективного теплообмена / А. Н. Кулик, Т. А. Рутт // Математические
методы в термомеханике. — Киев: Наук. думка, 1978. — С. 36-41.
[14] Material design for reduction of thermal stress in a functionally graded material rotating disk / Y. Sugano,
R. Chiba, K. Hirose, K. Takahashi // JSME Int. Journal. Ser. A. — 2004. — Vol. 47, No 2. —
P. 189-197.
[15] Sugano, Y. Transient thermal stresses in a rectangular plate due to ariation of heat-transfer coeffi-
cients on upper and lower surfaces / Y. Sugano // Int. J. Engng Sci. — 1983. — Vol. 21, No 10. —
P. 1203-1214.
[16] Подстригач, Я. С. Термоупругость тонких оболочек / Я. С. Подстригач, Р. Н. Швец. — Киев:
Наук. думка, 1978. — 344 с.
[17] Коляно, Ю. М. Методы теплопроводности и термоупругости неоднородного тела /
Ю. М. Коляно. — Киев: Наук. думка, 1992. — 280 с.
[18] Верлань, А. Ф. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ /
А. Ф. Верлань, В. С. Сизиков. — Киев: Наук. думка, 1978. — 292 с.
Temperature field and deflection of a semi-infinite plate
with coordinate-dependent heat exchange coefficients
Bohdan Khapko, Anatoly Chyzh
The problem of bending of a semi-infinite plate, caused by temperature differences between the top
and bottom surfaces of the plate with coordinate-dependent heat exchange coefficients, was sol-
ved. The Heaviside generalized function was used and the problem on determining temperature
distribution in the plate was reduced to the coupled system of Fredholm integral equations of the
second kind. Using Simpson’s quadrature formulas a numerical scheme for solving integral equa-
tions and finding temperature characteristics was constructed. Numerical analysis for distribution
of plate deflection and temperature moments was performed. The case of coordinate-dependent
heat exchange coefficients that are equal on the top and bottom surfaces of the plate was studied
and distribution of bending moments and plate deflection were analyzed.
Температурное поле и прогиб полубесконечной пластины
при зависимых от координаты коэффициентах теплоотдачи
Богдан Хапко, Анатолий Чиж
Рассмотрено задачу об изгибе полубесконечной пластины, обусловленным разницей темпе-
ратур внешней среды на её лицевых поверхностях и зависимыми от координаты коэффи-
Богдан Хапко, Анатолій Чиж
Температурне поле та прогин півбезмежної пластинки із залежними від координати ...
144
циентами теплоотдачи. Определение температурного поля с использованием функции Хэ-
висайда сведено к решению взаимосвязанной системы интегральных уравнений Фредгольма
второго рода. Для нахождения температурных характеристик с использованием квадра-
турных формул Симпсона построена численная схема решения интегральных уравнений.
Проведен численный анализ распределения прогибов и температурных моментов. Проана-
лизировано распределение изгибных моментов и прогибов пластины, коэффициенты тепло-
отдачи которой на обеих поверхностях одинаковые и зависят от координаты.
Отримано 13.05.08
|