Динамічні процеси у параметрично нелінійних пружних системах за врахування інерційності процесу деформування
На основі енергетичного підходу сформульовано базові фізичні співвідношення математичної моделі потенціального опису динамічних процесів у пружних дисипативних системах, яка враховує у взаємодії інерційну поступальну, обертову та деформаційну форми локального руху. Встановлено відповідні динамічні р...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/22255 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Динамічні процеси у параметрично нелінійних пружних системах за врахування інерційності процесу деформування / О. Мічуда // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 10. — С. 66-74. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-22255 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-222552011-06-21T12:06:52Z Динамічні процеси у параметрично нелінійних пружних системах за врахування інерційності процесу деформування Мічуда, О. На основі енергетичного підходу сформульовано базові фізичні співвідношення математичної моделі потенціального опису динамічних процесів у пружних дисипативних системах, яка враховує у взаємодії інерційну поступальну, обертову та деформаційну форми локального руху. Встановлено відповідні динамічні рівняння руху. З використанням фізичних співвідношень локального динамічного стану одержано взаємозв’язану ключову систему рівнянь несиметричної динамічної теорії пружності для характерних форм руху. На цій основі запропоновано постановку параметрично нелінійних крайових задач моделі та сформульовано енергетичні умови переходу динамічної системи в рівноважний дисипативний стан. On the basis of energy approach the initial physical correlations of mathematical model of potential description of dynamical processes in elastic dissipative systems, which takes into account during interaction the inertia linear, rotary and deformation forms of motion are formulated. The corresponding equations of motion are established. Using physical correlations of local dynamical state the correlated key set of equations of unsymmetrical dynamic theory of elasticity for characteristic forms of motion is obtained. On that ground the statement of parametrically nonlinear boundary value problems of the model is proposed. С использованием энергетического подхода сформулированы исходные физические соотношения математической модели потенциального описания динамических процессов в упругих диссипативных системах, которые учитывают взаимовлияние инерционной поступательной, вращательной и деформационной форм локального движения. Установлены соответствующие динамические уравнения движения. С использованием физических соотношений локального динамического состояния получена взаимосвязанная разрешающая система уравнений несимметричной динамической теории упругости для характерных форм движения. В этой связи предложена постановка параметрически нелинейных краевых задач модели и сформулированы энергетические условия перехода динамической системы в равновесное диссипативное состояние. 2009 Article Динамічні процеси у параметрично нелінійних пружних системах за врахування інерційності процесу деформування / О. Мічуда // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 10. — С. 66-74. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/22255 539.3 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
На основі енергетичного підходу сформульовано базові фізичні співвідношення математичної моделі потенціального опису динамічних процесів у пружних дисипативних системах, яка враховує у взаємодії інерційну поступальну, обертову та деформаційну форми локального руху. Встановлено відповідні динамічні рівняння руху. З використанням фізичних співвідношень локального динамічного стану одержано взаємозв’язану ключову систему рівнянь несиметричної динамічної теорії пружності для характерних форм руху. На цій основі запропоновано постановку параметрично нелінійних крайових задач моделі та сформульовано енергетичні умови переходу динамічної системи в рівноважний дисипативний стан. |
| format |
Article |
| author |
Мічуда, О. |
| spellingShingle |
Мічуда, О. Динамічні процеси у параметрично нелінійних пружних системах за врахування інерційності процесу деформування Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| author_facet |
Мічуда, О. |
| author_sort |
Мічуда, О. |
| title |
Динамічні процеси у параметрично нелінійних пружних системах за врахування інерційності процесу деформування |
| title_short |
Динамічні процеси у параметрично нелінійних пружних системах за врахування інерційності процесу деформування |
| title_full |
Динамічні процеси у параметрично нелінійних пружних системах за врахування інерційності процесу деформування |
| title_fullStr |
Динамічні процеси у параметрично нелінійних пружних системах за врахування інерційності процесу деформування |
| title_full_unstemmed |
Динамічні процеси у параметрично нелінійних пружних системах за врахування інерційності процесу деформування |
| title_sort |
динамічні процеси у параметрично нелінійних пружних системах за врахування інерційності процесу деформування |
| publisher |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/22255 |
| citation_txt |
Динамічні процеси у параметрично нелінійних пружних системах за врахування інерційності процесу деформування / О. Мічуда // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 10. — С. 66-74. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| series |
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| work_keys_str_mv |
AT míčudao dinamíčníprocesiuparametričnonelíníjnihpružnihsistemahzavrahuvannâínercíjnostíprocesudeformuvannâ |
| first_indexed |
2025-07-02T23:26:26Z |
| last_indexed |
2025-07-02T23:26:26Z |
| _version_ |
1836579605411004416 |
| fulltext |
66
Динамічні процеси у параметрично нелінійних
пружних системах за врахування інерційності
процесу деформування
Олександра Мічуда
Національний університет «Львівська політехніка», вул. С. Бандери, 12, Львів, 79013
На основі енергетичного підходу сформульовано базові фізичні співвідношення математич-
ної моделі потенціального опису динамічних процесів у пружних дисипативних системах,
яка враховує у взаємодії інерційну поступальну, обертову та деформаційну форми локаль-
ного руху. Встановлено відповідні динамічні рівняння руху. З використанням фізичних спів-
відношень локального динамічного стану одержано взаємозв’язану ключову систему рівнянь
несиметричної динамічної теорії пружності для характерних форм руху. На цій основі за-
пропоновано постановку параметрично нелінійних крайових задач моделі та сформульовано
енергетичні умови переходу динамічної системи в рівноважний дисипативний стан.
Ключові слова: динамічна пружна система, енергетичний підхід, локальний
динамічний стан, власні та спряжені скалярні інваріанти локального дина-
мічного стану, одиничні тензорні об’єкти, тензор динамічних напружень,
динамічні рівняння руху.
Вступ. Проблема оптимального проектування та технології виготовлення елементів
тонкостінних конструкцій і приладів, які працюють в умовах динамічного періо-
дично змінного в часі зовнішнього навантаження, зумовлює необхідність подаль-
шого вдосконалення математичних моделей нелінійної механіки деформівних систем
із метою найповнішого врахування інерційних параметрів характерних форм ло-
кального руху, та, зокрема, пов’язаних з ефектами релаксації процесу деформу-
вання. Стан і перспективи розвитку досліджень у цій актуальній галузі механіки
деформівного твердого тіла відображені в роботах [1-5]. Необхідно відзначити
також класичні праці Я. С. Підстригача [6, 7], які присвячені розробці дифузійної
теорії непружного деформування металічних тіл. Тут вперше введено тензорні
характеристики інерційності — тензор густини та тензор хімічного потенціалу.
Підхід і методику побудови математичних моделей динамічних процесів у
деформівних пружних системах для опису у взаємозв’язку поступальної й обер-
тової форми локального руху та, відповідно, локальної зміни об’єму та форми
фізично-малих підсистем, наведено у працях [8, 9]. Зокрема, в [9] встановлено
відповідні фізичні та кінематичні рівняння, які враховують дисипативний харак-
тер динамічних процесів кожної з форм локального деформаційного руху.
У цій роботі в розвиток такого напрямку досліджень пропонується матема-
тична модель опису динамічних процесів у параметрично нелінійних пружних
УДК 539.3
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 10, 66-74
67
системах з урахуванням інерційності поступальної, обертової та деформаційних
форм локального руху.
1. Постановка задачі. Енергетичний підхід
У розгляді масоізольована динамічна пружна система K*, яка у відліковому одно-
рідному стані ( 1t t≤ , t — час) є ненавантаженою та займає область * *
0 0X X∂∪ евк-
лідового простору. Термодинамічний стан системи у відліковій конфігурації ха-
рактеризується температурою T(0) і густиною ентропії S(0), хімічним потенціалом
µ(0) і густиною маси ρ(0).
Протягом часу 1 2t t t≤ ≤ система K* перебуває під дією динамічного сило-
вого навантаження, яке зумовлює інерційні термомеханічні процеси.
Ідентифікацію довільної фізично-малої підсистеми *K Kδ ⊂ та її центра ма-
си *k K∈ реалізуємо за допомогою радіуса-вектора 0r місця матеріальної точки
k K∈δ у відліковій (рівноважній) конфігурації, а розташування цієї точки в до-
вільний інший момент часу t ( 1 2t t t≤ ≤ ) за допомогою радіуса-вектора 0r r u= + ,
де ( )0 ,u u r t= — вектор переміщення.
В основу потенціального опису динамічних процесів за ізотермічних умов
( )( )0T T const≈ = приймаємо балансове енергетичне співвідношення
( ) ( ) ( )
* *
0 0
T
* 0 0 0 0ˆ( , ) ,
X X
d K t dH r t dV dp d dV ≡ = ⋅ + ∇ ⊗ ⋅⋅ ∫ ∫E Pv v .
Тут ( )0 ,H H r t= — густина повної енергії фізично-малої підсистеми δK, яка є
нормованою за об’ємом δV0 цієї підсистеми у відліковому природному стані;
( )0 ,r t=v v — швидкість поступального руху; 0∇ ⊗ v — швидкісна тензорна
характеристика процесу деформування; ( )
0
0 0
ˆ
,
t
t
p p r t f dt
t
+ ∂
= ≡ ∇ ⋅ + ∂
∫
P — век-
тор імпульсу поступального руху; ( )0ˆ ˆ ,r t=P P — тензор імпульсу деформаційної
форми руху; ( )0 ,f f r t+ += — вектор об’ємних зовнішніх сил; 0∇ — диференці-
альний оператор Гамільтона у відліковій конфігурації; ⊗ — оператор діадного
добутку; дві крапки вказують на операцію подвійного скалярного добутку; сим-
вол «T» — визначає операцію транспонування.
Енергія ( )*,K tE є адитивна міра динамічного стану системи *K . Тому ви-
конується таке локальне балансове енергетичне співвідношення для кожної фі-
зично-малої підсистеми δK
( ) ( )T0 ˆdH dp d= ⋅ + ∇ ⊗ ⋅⋅ Pv v . (1)
Олександра Мічуда
Динамічні процеси у параметрично нелінійних пружних системах за врахування інерційності …
68
Тут адитивні параметри p і P̂ є нормовані за геометричними характеристиками
фізично-малих підсистем у початковому однорідному стані. Тому маємо також
відповідну до (1) білінійну форму інтенсивних і спряжених до них екстенсивних
параметрів
( ) ( )T0
1 ˆ
2
H p = ⋅ + ∇ ⊗ ⋅⋅
Pv v . (2)
Одночасно справджуються такі фізичні співвідношення для швидкісних
параметрів моделі, а саме, поступальної та деформаційної форм руху
( )ˆ,H p
p
∂
= ≡
∂
Pv v ,
( )( )0 0 ˆ,ˆ
H p∂
∇ ⊗ = ≡ ∇ ⊗
∂
P
P
v v . (3)
2. Ізотропні динамічні системи. Скалярні інваріанти моделі
Для ізотропних динамічних систем енергетичний пружний потенціал H =
( )ˆ,H p= P є додатно визначена функція скалярних інваріантів параметрів ло-
кального динамічного стану, а саме, параметрів імпульсу p поступальної та де-
формаційної P̂ форм руху.
Власними скалярними інваріантами другого порядку для вектора імпульсу
поступального руху p є
( )
( )
2
11 2
ˆsI p p= ⋅ ⋅ ⊗J , ( )
( )
2
12 2
ˆap I p= ⋅ ⋅J .
Тут ( ) ( )2 2
ˆ ˆ,s aI I — симетричний і антисиметричний складники одиничного тензора
другої валентності
( ) ( ) ( )
3
2 2 2
, 1
1ˆ ˆ ˆ
3
s a
i j
i j
I I I e e
=
= + ≡ ⊗∑ ,
( ) ( ) ( )2 1 1Î I I= ⊗ , ( ) ( )1 2 31
1
3
I e e e= + + ,
( ) ( )
3
2
, 1
1ˆ
6
s
i j j i
i j
I e e e e
=
= ⊗ + ⊗∑ , ( ) ( )
3
2
, 1
1ˆ
6
a
i j j i
i j
I e e e e
=
= ⊗ − ⊗∑ .
Для встановлення скалярних інваріантів для несиметричного тензора ім-
пульсу P̂ подамо його сумою трьох доданків
( ) ( )2
ˆˆ ˆ ˆds aI= + +P P P P ,
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 10, 66-74
69
які відповідають за локальну зміну об’єму, формозміну та деформаційний пово-
рот фізично-малої підсистеми. При цьому
( )11 22 33
1
3
= + +P P P P ,
( ) ( )2
ˆˆ ˆds s I= −P P P ,
де ˆ sP і ( )ˆ dsP — симетричний і девіаторний складники симетричного тензора ˆ sP .
Власні скалярні інваріанти другого порядку для характеристики деформа-
ційної форм руху P̂ є такі
( )
( )( ) ( )( )2
21 1 1
ˆ ˆs sI I= ⋅ ⋅ ⋅J P P , ( ) ( ) ( )2
22 ˆ ˆd ds s= ⋅ ⋅J P P ,
( ) ( )T2
23 ˆ ˆa a= ⋅ ⋅J P P , ( )
( )( ) ( ) ( )
T2
24 1 1
ˆ ˆa aI I = ⋅ ⋅ ⋅
J P P .
До наведених тут власних скалярних інваріантів необхідно долучити ска-
лярні інваріанти, які характеризують енергію взаємовпливу поступальної й обер-
тової форм руху, та, відповідно, енергію взаємовпливу процесів зміни об’єму та
форми фізично-малих підсистем. Інваріанти другого порядку є такі
( )
( )( ) ( ) ( )T12
2 1 2
ˆ ˆa aI p I = ⋅ ⋅ ⋅
J P , ( )
( ) ( )34
2 2
ˆ ˆ ds sI = ⋅ ⋅
J P P ,
( )
( )( ) ( ) ( )
T24
2 2 2
ˆ ˆˆ ˆ da a s sI I = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
J P P , ( )
( )( ) ( )T31
2 2
ˆ ˆa aI= ⋅⋅J P P .
3. Фізичні співвідношення
Для встановлення фізичних співвідношень моделі динамічної пружної системи
вихідною є диференціальна 1-форма (1) та білінійна форма (2). Для конкретизації
загальної структури фізичних співвідношень (3), подамо густину енергії H як
функцію введених скалярних інваріантів другого порядку параметрів стану ˆ,p P .
У результаті отримаємо такі фізичні співвідношення
( )( ) ( )( ) ( )
T T
*
* 2 2 1
1 ˆ ˆˆa a a
l l
p p I I I
β ρρ = − α ⋅ + ⋅ ⋅ ρ ρ ρ
Pv ,
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )T0 * 1 2 2*
1
1 1 ˆ ˆˆ ˆ
2
da a s s al
l
I p I I
ρ ∇ ⊗ = − β ⋅ + + ⋅ ⋅ ρ ρη
P P Pv ,
( ) ( ) ( )( )T0 * 2 2
0
1 1 ˆ ˆˆ ˆ
3
ds s a al
l
I I
ρ ∇ ⋅ = − β ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ρ η ρ
P P Pv ,
( ) ( ) ( )( ) ( )
T
0 * 2 2
1
1 1 ˆ ˆˆ ˆ
2
d ds s a a sl
l
I I
ρ ∇ ⊗ = − β + ⋅ ⋅ ρ η ρ
P P Pv . (4)
Олександра Мічуда
Динамічні процеси у параметрично нелінійних пружних системах за врахування інерційності …
70
Тут ρ — об’ємна густина маси, ρl — лінійна густина маси, α*, β* — коефіцієнти
взаємодії характерних форм локального руху, а саме, поступального, обертового
і зміни об’єму та форми фізично-малих підсистем.
4. Локальний динамічний стан. Динамічні рівняння руху
Для одержання таких рівнянь продиференціюємо за часом фізичні співвідношення (4)
( )( ) ( )( ) ( )
T T
*
* 2 2 1
ˆ1 ˆ ˆ
a
a a
l l
d dp dp dI I I
dt dt dt dt
β ρρ = − α ⋅ + ⋅ ⋅ ρ ρ ρ
Pv ,
( ) ( )0 * 1*
1
ˆ1 1
2
aa l
l
d d dpI
dt dt dt
ρ ∇ ⊗ = − β ⋅ + ρ ρη
P
v
( )
( ) ( )( )T2 2
ˆ
ˆ ˆ
ds
s a
dd I I
dt dt
+ + ⋅ ⋅
PP ,
( ) ( )
( )
( )( )T0 * 2 2
0
ˆ ˆ1 1 ˆ ˆ
3
ds a
s al
l
dd d dI I
dt dt dt dt
ρ ∇ ⋅ = − β ⋅⋅ + ⋅ ⋅ ρ η ρ
PP P
v ,
( ) ( )
( )( ) ( )
T
0 * 2 2
1
ˆ ˆ1 1 ˆ ˆ
2
dsd as a sl
l
dd I I
dt dt dt
ρ ∇ ⊗ = − β + ⋅⋅ ρ η ρ
P dP dP
dt
v .
Для динамічних пружних систем
*
ˆ
ˆd
dt
= σ
P , 0 *ˆdp f
dt
+= ∇ ⋅σ + . (5)
Тут ( )* * 0ˆ ˆ ,r tσ = σ — тензор динамічних напружень, який для ізотропних пруж-
них систем подається так
( ) ( )( )* * * *2 2
ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 2 2K eI G e eI G′σ = + − + ϕ , (6)
де * * *, ,K G G′ — динамічні модулі пружності стосовно локальної деформаційної
зміни об’єму, форми та повороту фізично-малих підсистем; (0 0
1ˆ,
2
e u e u= ∇ ⋅ = ∇ ⊗ +
)0u+ ⊗∇ , ( )0 0
1ˆ
2
u uϕ = ∇ ⊗ − ⊗∇ ; u — вектор переміщення.
Якщо використати фізичні співвідношення (5), (6), то одержимо таку взаємо-
зв’язану систему рівнянь локального опису динамічних процесів для характерних
форм руху
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 10, 66-74
71
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
T
*
* 0 * *2 2 2 1
21 ˆ ˆ ˆˆˆa a
l l
d I I f G I I
dt
+ ρβρ ′= − α ⋅ ∇ ⋅ σ + + ϕ ⋅⋅ ρ ρ ρ
v ,
( ) ( ) ( )
*
0 * 0 * 1*
1
1 ˆ ˆ
a l
l
Gd f I
dt
+ ′ ρ ∇ ⊗ = ϕ− β ∇ ⋅σ + ⋅ + ρ ρη
v
( )( ) ( )( )T* *2 2
ˆ ˆˆ2 d s aG e I K e I + ⋅⋅ +
,
( ) ( )( ) ( )( )T*
0 * * *2 2
0
21 ˆ ˆˆˆ
3
d s al
l
Kd e G e I G I
dt
ρ ′∇ ⋅ = − β ⋅⋅ + ϕ⋅⋅ ρ η ρ
v ,
( ) ( )( ) ( )
T
*
0 * * * 2 2
1
1 ˆ ˆˆˆ 2
ds d a sl
l
Gd e K e G I I
dt
ρ ′∇ ⊗ = − β + ϕ ⋅⋅ ρ η ρ
v . (7)
Сформульованим динамічним рівнянням (7) поставимо у відповідність
еквівалентну параметрично нелінійну систему динамічних рівнянь моделі
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
T*
* 1 0 *2 1 2 2
1ˆ ˆ ˆ2
a a a
l
d I I I I
dt
ρ − β η ∇ ⊗ ⋅⋅ = − α + ρ ρ
v v
( ) ) ( ) ( )( ) ( )}2 * 2 *
* 1 0 * * 1 * *2 2 1
ˆ ˆˆ ˆ2 2 2 d sI f G e I K e I+ + β η ⋅ ∇ ⋅σ + + β η ⋅⋅ +
,
( ) ( ) ( )
*
0 * 0 * 1*
1
1 ˆ ˆ
a l
l
Gd f I
dt
+ ′ ρ ∇ ⊗ = ϕ− β ∇ ⋅σ + ⋅ + ρ ρη
v
( )( ) ( )( )T* *2 2
ˆ ˆˆ2 d s aG e I K e I + ⋅⋅ +
,
( ) ( )( ) ( )( )T*
0 * * *2 2
0
21 ˆ ˆˆˆ
3
d s al
l
Kd e G e I G I
dt
ρ ′∇ ⋅ = − β ⋅⋅ + ϕ⋅⋅ ρ η ρ
v ,
( ) ( ) ( )
*
0 * 0 0 2
1
1ˆ ˆ3
ds s dl
l
Gd I e
dt
ρ ∇ ⊗ + β η ∇ ⋅ = − ρ ρ η
v v
( )( ) ( )( ) ( )
2 2 T
* * 0 * * * 02 2 2
2 ˆ ˆ ˆˆˆ3 1 3d s a sl l lG e I G I I
ρ ρ ρ ′− β β η ⋅⋅ − − β η ϕ⋅⋅ ρ ρ ρ
. (8)
Одержані результати є базові для постановки відповідних початково-крайових
задач щодо опису хвильових процесів з урахуванням взаємозв’язку характерних
форм локального поступального, обертового та деформаційного рухів і самоорга-
нізаційних явищ.
5. Рівноважний дисипативний стан
Вихідними є необхідні умови стаціонарності динамічної параметрично неліній-
ної системи рівнянь (8)
Олександра Мічуда
Динамічні процеси у параметрично нелінійних пружних системах за врахування інерційності …
72
( ) ( ) ( ) ( )2 *
* * 1 0 *2 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ2a
l
I I I f +
ρ
− α + β η ⋅ ∇ ⋅σ + + ρ
( )( ) ( )
2 *
* 1 * *2 1
ˆˆ2 2 0d sG e I K e I + β η ⋅⋅ + =
,
( ) ( ) ( )( ) ( )( )T*
* 0 * * *1 2 2*
1
ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 0d s alG f I G e I K e I+′ ρ ϕ − β ∇ ⋅σ + ⋅ + ⋅ ⋅ + = ρη
,
( )( ) ( )( )T*
* * *2 2
0
2 ˆ ˆˆˆ 0
3
d s alK e G e I G Iρ ′− β ⋅ ⋅ + ϕ ⋅ ⋅ = η ρ
,
( )( )
2
*
* * 0 * 2
1
2 ˆˆ ˆ3d d sl lG e G e I
ρ ρ
− β β η ⋅⋅ −
η ρ ρ
( )( ) ( )
2 T
* * 0 2 2
ˆ ˆˆ1 3 0a slG I I
ρ ′− − β η ϕ ⋅⋅ = ρ
. (9)
Тензор динамічних напружень *σ̂ (6) та тензор градієнта місця u⊗∇0
з урахуванням сформульованих умов стаціонарності (9) динамічної системи набу-
вають вигляду
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
*
* * * 0 * 1 1 0 *2 2 2 1 2
1 1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ2
3 3
d a a al G e I I K eI f I I+ρ σ = β η ⋅ ⋅ + η − η ∇ ⋅σ + ⋅ ρ
,
( ) ( )( ) ( ) ( )
T * *
0 * 0 12 2 2
* *
1ˆ ˆ ˆˆ2
3
d a al G Ku e I I eI
K G
ρ
∇ ⊗ = β η ⋅⋅ + η +
ρ
( ) ( ) ( )
*
1
0 * 1 2
*
ˆˆ
3
af I I
G
+ η + ∇ ⋅σ + ⋅ ′
.
У зв’язку з цим енергетичний функціонал рівноважного дисипативного
стану динамічної пружної системи буде
( )
*
0
T
* 0 0ˆ
X
u dV= σ ⋅⋅ ∇ ⊗ ≡∫E
( )( ) ( )
*
0
2 2 2 222 2* 0 *
* 1 0 * * 12
* *
62 1ˆˆ 2
3 3
d al
X
G Ke I K G e
K G
ρ η ≡ β ⋅⋅ + η η + − η + ρ
∫
( ) ( )
* *
1 * 0 1 * 1 0 * 1
* *
1 1 1 ˆ
3 3
KG K e f I
G G
+ +η η − η + η ∇ ⋅σ + ⋅ + ′
( ) ( ) ( )
2*
21
0 * 01
*
1 ˆ
9
f I dV
G
+
η + ∇ ⋅σ + ⋅ ′
.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 10, 66-74
73
Одержані результати вказують на те, що рівноважний дисипативний стан
задовольняє необхідній і достатній умовам стійкості динамічної пружної системи
*
* 0
0d
d β =
=
β
E ,
*
2
2
* 0
0d
d β =
>
β
E .
Висновки. Запропоновано енергетичний підхід і методику побудови базових спів-
відношень математичної моделі динамічних пружних систем з урахуванням інер-
ційності поступальної, обертової та деформаційної форм локального руху. Одер-
жані результати є базові для математичної постановки відповідних параметрично
нелінійних крайових задач динамічної теорії пружності [1, 10] і, зокрема, вста-
новлення на цій основі самоорганізаційних стаціонарних станів [11, 12].
Література
[1] Гринченко, В. Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах / В. Т. Гринченко,
В. В. Мелешко. — Киев: Наук. думка, 1981. — 284 с.
[2] Селезов, И. Т. Моделирование волновых и дифракционных процессов в сплошных средах /
И. Т. Селезов. — Киев: Наук. думка, 1989. — 204 с.
[3] Григолюк, Э. И. Неклассическая теория колебаний стержней, пластин и оболочек / Э. И. Гри-
голюк, И. Т. Селезов. — Москва: ВИНИТИ, 1973. — 272 с.
[4] Тимошенко, С. П. Статические и динамические проблемы теории упругости / С. П. Тимо-
шенко. — Киев: Наук. думка, 1975. — 564 с.
[5] Уизем, Дж. Линейные и нелинейные волны / Дж. Уизем. — Москва: Мир, 1977. — 622 с.
[6] Підстригач, Я. C. Диференціальні рівняння дифузійної теорії деформації твердого тіла /
Я. C. Підстригач // Доп. АН УРСР. — 1963. — № 31. — С. 336-344.
[7] Подстригач, Я. С. Диффузионная теория неупругости металлов / Я. С. Подстригач // Журн.
прикл. механики и техн. физики. — 1965. — № 2. — С. 67-72.
[8] Мічуда, О. Я. Про енергетичний підхід до формування фізичних співвідношень механіки
інерційних пружних систем / О. Я. Мічуда // Мат. методи та фіз.-мех. поля. — 2007. —
T. 50, № 2. — С. 74-78.
[9] Мічуда, О. Я. Про один підхід до побудови математичної моделі динамічних процесів в пруж-
них системах з урахуванням релаксаційних явищ / О. Я. Мічуда // Доп. НАН України. — 2009. —
№ 6. — С. 79-84.
[10] Боголюбов, Н. Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н. Н. Боголю-
бов, Ю. А. Митропольский. — Москва: Наука, 1974. — 504 с.
[11] Сугаков, В. Й. Основи синергетики / В. Й. Сугаков. — Київ: Обереги, 2001. — 287 с.
[12] Николис, Г. Самоорганизация в неравновесных системах / Г. Николис, Н. Пригожин. —
Москва: Мир, 1979. — 512 с.
Mathematical modelling dynamical processes
in parametrically nonlinear elastic systems taking
into account persistence of deformation forms of motion
Olexandra Michuda
On the basis of energy approach the initial physical correlations of mathematical model of poten-
tial description of dynamical processes in elastic dissipative systems, which takes into account du-
ring interaction the inertia linear, rotary and deformation forms of motion are formulated.
The corresponding equations of motion are established. Using physical correlations of local
Олександра Мічуда
Динамічні процеси у параметрично нелінійних пружних системах за врахування інерційності …
74
dynamical state the correlated key set of equations of unsymmetrical dynamic theory of elasticity
for characteristic forms of motion is obtained. On that ground the statement of parametrically
nonlinear boundary value problems of the model is proposed.
Математическое моделирование динамических процессов
в параметрически нелинейных упругих системах с учетом
инерционности деформационных форм движения
Александра Мичуда
С использованием энергетического подхода сформулированы исходные физические соотно-
шения математической модели потенциального описания динамических процессов в упругих
диссипативных системах, которые учитывают взаимовлияние инерционной поступательной,
вращательной и деформационной форм локального движения. Установлены соответству-
ющие динамические уравнения движения. С использованием физических соотношений ло-
кального динамического состояния получена взаимосвязанная разрешающая система урав-
нений несимметричной динамической теории упругости для характерных форм движения.
В этой связи предложена постановка параметрически нелинейных краевых задач модели и
сформулированы энергетические условия перехода динамической системы в равновесное
диссипативное состояние.
Представлено доктором фізико-математичних наук В. Кондратом
Отримано 13.07.09
|