Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь із багатовимірними λ-матрицями для динамічної моделі Леонтьєва
Запропоновано новий підхід до розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь із багатовимірними λ-матрицями для динамічної моделі Леонтьєва. Розглянуто скінченно-різницевий підхід до розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь із двовимірними λ-матрицями. Зведено систему лінійних алгебраї...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2009
|
| Назва видання: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/22257 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь із багатовимірними λ-матрицями для динамічної моделі Леонтьєва / Л. Семчишин // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 10. — С. 123-131. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-22257 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-222572011-06-21T12:06:48Z Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь із багатовимірними λ-матрицями для динамічної моделі Леонтьєва Семчишин, Л. Запропоновано новий підхід до розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь із багатовимірними λ-матрицями для динамічної моделі Леонтьєва. Розглянуто скінченно-різницевий підхід до розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь із двовимірними λ-матрицями. Зведено систему лінійних алгебраїчних рівнянь із m-мірними λ-матрицями до системи з числовими елементами. Проведено оцінку характеристик системи з числовими елементами та підраховано кількість арифметичних операцій. Охарактеризовано складність алгоритму та показано його ефективність з точки зору комп’ютерної алгебри. New approach to the solution of the system of linear algebraic equation with multidimensional λ-matrix for the Leontyev’s dynamic model is proposed. A finite-differential approach to the solution of linear algebraic equation with two-dimensional λ-matrix system is examined. The linear algebraic equation with m-dimensional λ-matrix system is reduced to the numerical elements system. The characteristics of the system with numerical elements were evaluated and a number of the arithmetic operations was calculated. The algorithm complexity was characterized. The effectiveness of the suggested algorithm from the viewpoint of computer algebra is shown. Предложен новый подход к решению систем линейных алгебраических уравнений с многомерными λ-матрицами, для динамической модели Леонтьева. Рассмотрен конечно-разностный подход к решению систем линейных алгебраических уравнений с двумерными λ-матрицами. Система линейных алгебраических уравнений с m-мерными λ-матрицами сведена к системе с числовыми элементами. Проведена оценка характеристик системы с числовыми элементами и подсчитано количество арифметических операций. Охарактеризована сложность алгоритма и показана его эффективность с точки зрения компьютерной алгебры. 2009 Article Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь із багатовимірними λ-матрицями для динамічної моделі Леонтьєва / Л. Семчишин // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 10. — С. 123-131. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/22257 518.25 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Запропоновано новий підхід до розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь із багатовимірними λ-матрицями для динамічної моделі Леонтьєва. Розглянуто скінченно-різницевий підхід до розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь із двовимірними λ-матрицями. Зведено систему лінійних алгебраїчних рівнянь із m-мірними λ-матрицями до системи з числовими елементами. Проведено оцінку характеристик системи з числовими елементами та підраховано кількість арифметичних операцій. Охарактеризовано складність алгоритму та показано його ефективність з точки зору комп’ютерної алгебри. |
| format |
Article |
| author |
Семчишин, Л. |
| spellingShingle |
Семчишин, Л. Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь із багатовимірними λ-матрицями для динамічної моделі Леонтьєва Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| author_facet |
Семчишин, Л. |
| author_sort |
Семчишин, Л. |
| title |
Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь із багатовимірними λ-матрицями для динамічної моделі Леонтьєва |
| title_short |
Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь із багатовимірними λ-матрицями для динамічної моделі Леонтьєва |
| title_full |
Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь із багатовимірними λ-матрицями для динамічної моделі Леонтьєва |
| title_fullStr |
Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь із багатовимірними λ-матрицями для динамічної моделі Леонтьєва |
| title_full_unstemmed |
Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь із багатовимірними λ-матрицями для динамічної моделі Леонтьєва |
| title_sort |
розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь із багатовимірними λ-матрицями для динамічної моделі леонтьєва |
| publisher |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/22257 |
| citation_txt |
Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь із багатовимірними λ-матрицями для динамічної моделі Леонтьєва / Л. Семчишин // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 10. — С. 123-131. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| series |
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| work_keys_str_mv |
AT semčišinl rozvâzuvannâsistemlíníjnihalgebraíčnihrívnânʹízbagatovimírnimilmatricâmidlâdinamíčnoímodelíleontʹêva |
| first_indexed |
2025-07-02T23:27:08Z |
| last_indexed |
2025-07-02T23:27:08Z |
| _version_ |
1836579670300033024 |
| fulltext |
123
Розв’язування систем лінійних алгебраїчних
рівнянь із багатовимірними λ-матрицями
для динамічної моделі Леонтьєва
Лідія Семчишин
Чортківський інститут підприємництва і бізнесу, Тернопільський національний економічний університет,
вул. С. Бандери, 46, Чортків, Тернопільська область, 48500, e-mail: L_Semchyshyn@mail.ru
Запропоновано новий підхід до розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь із багато-
вимірними λ-матрицями для динамічної моделі Леонтьєва. Розглянуто скінченно-різницевий
підхід до розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь із двовимірними λ-матрицями.
Зведено систему лінійних алгебраїчних рівнянь із m-мірними λ-матрицями до системи з чис-
ловими елементами. Проведено оцінку характеристик системи з числовими елементами та
підраховано кількість арифметичних операцій. Охарактеризовано складність алгоритму та
показано його ефективність з точки зору комп’ютерної алгебри.
Ключові слова: динамічна модель Леонтьєва, скінченно-різницевий підхід,
теорія різниць, схема розрізання, кількість арифметичних операцій, склад-
ність алгоритму.
Вступ. Системи алгебраїчних рівнянь з елементами, що задані наближено, зде-
більшого, розв’язують із застосуванням чисельних методів алгебри. Побудова
ефективних методів визначення невідомих для таких систем є потрібна та доволі
непроста задача. У багатьох застосуваннях виникає необхідність розгляду систем
лінійних алгебраїчних рівнянь із λ-матрицями.
Системи лінійних алгебраїчних рівнянь із λ-матрицями від багатьох змінних
виникають під час використання методів матричної лінеаризації для поліноміально-
нелінійних рівнянь [1] в апроксимаціях Паде [2]. Випадок, коли λ-матриця залежить
тільки від однієї змінної, вивчено достатньо добре. Зокрема, побудовано оптиміза-
ційні моделі з матрицями міжгалузевого балансу, а також запропоновано ефективну
обчислювальну схему, побудовану на теорії λ-матриць для числової системи [3].
Вивченням таких систем займалися В. Боюн [4], В. Григорків [5], М. Недашковський
і О. Ковальчук [1], P. van Dooren, A. Hadjidimos, H. A. van der Vorst [6] та ін.
Метою цієї роботи є дослідження систем лінійних алгебраїчних рівнянь
із багатовимірними λ-матрицями для динамічної моделі Леонтьєва.
1. Розв’язування систем лінійних алгебраїчних
рівнянь із двовимірними λ-матрицями
Розглянемо систему диференціальних рівнянь, яка виникає в динамічній моделі
Леонтьєва [3]
УДК 518.25
Лідія Семчишин
Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь із багатовимірними λ-матрицями ...
124
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, , ,λ λ − λ λ = λ λ Y E B C , (1)
де B (λ1, λ2) — відома квадратна матриця порядку n, а C (λ1, λ2) = ( )( 1 1 2,C λ λ ,
( ) ( ))T2 1 2 1 2, ,..., ,nC Cλ λ λ λ — заданий вектор, Y (λ1, λ2) = ( )( ( )1 1 2 2 1 2, , , ,...y yλ λ λ λ ,
( ))T1 2,ny λ λ — невідомий вектор, Е — одинична матриця.
Розв’яжемо систему (1) методом двовимірних λ-матриць.
Для обчислення елементів довільного рядка матриці B (λ1, λ2) системи (1)
запишемо рекурентні формули згідно скінченно-різницевого підходу [4].
Нехай ∆b j, i — перша різниця між елементами j-го рядка матриці B (λ1, λ2),
, , 1 ,j i j i j ib b b+∆ = − . Для другої різниці маємо 2
, , 1 ,j i j i j ib b b+∆ = ∆ − ∆ , де , 1j ib +∆ =
, 2 , 1j i j ib b+ += − .
Аналогічно обчислюємо третю різницю 3
,j ib∆ та наступні. Таким чином,
обчисливши один раз значення різниці ,
m
j ib∆ та коригуючи попередні різниці
( ), 1 1k
j ib k m∆ ≤ ≤ − , можна визначити елементи будь-якого рядка матриці B (λ1, λ2)
з допомогою рекурентних формул
, 1 , ,j i j i j ib b b+ = + ∆ ,
2
, 1 , ,j i j i j ib b b+∆ = ∆ + ∆ ,
2 2 3
, 1 , ,j i j i j ib b b+∆ = ∆ + ∆ ,
..................................
1 1
, 1 , ,
m m m
j i j i j ib b b− −
+∆ = ∆ + ∆ . (2)
Враховуючи співвідношення (2), запишемо формулу для обчислення еле-
ментів рядка матриці B (λ1, λ2) системи (1)
( ) ( )( ) ( )( )( )2 3
, ,1 ,1 ,1 ,1
1 2 1 2 3
1 ...
2! 3!j k j j j j
k k k k k
b b k b b b
− − − − −
= + − ∆ + ∆ + ∆ + +
( )( ) ( )
,1
1 2 ...
!
m
j
k k k m
b
m
− − −
+ ∆ . (3)
Варто зазначити, що немає необхідності окремо обчислювати кожний із кое-
фіцієнтів, достатньо знайти лише множники, що стоять біля першої та другої різ-
ниць ∆bj, i та ∆ 2bj, i.
Інші множники можна отримати з використанням співвідношень для раніше
обчислених на два порядки нижчих різниць. Формулу (3) можна записати у вигляді
( ) ( )
2 32 3
, ,1 ,1 ,1 , 1 ,11
1 1
1
k k
j k j j j j jk i
i i
b b k b b i b iq b
− −
− +
= =
= + − ∆ +∆ + ∆ ∆ +∑ ∑
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 10, 123-131
125
( ) ( )
4 54 2 5 3
,1 ,1 ,1 ,11
11 1
...
k k
j j j jk i
k ii i
b iq b b iq b
− −
− +
− += =
+∆ ∆ + ∆ ∆ + +∑ ∑
( ) ( )
2 2
,1 ,1 ,1 ,11 1
1 1
...
k l k ml l m m
j j j jk i k i
i i
b iq b b iq b
− −
− −
− + − +
= =
+∆ ∆ + + ∆ ∆∑ ∑ , (4)
де ( ) ( )1 1,k iq i k r− + = − — коефіцієнти при ,1
r
jb∆ .
Зупинимося на застосуванні теорії різниць для розв’язування систем алгеб-
раїчних рівнянь. Введемо позначення
2
1,1 1,11,1 1,1 1
2
2,1 2,1 22,1 2,12
2,1 ,1 ,1 ,1
, ∆ , ∆ , ..., ∆ ,
...... ... ... ...
m
m
m
m nn n n n
b bb b y
b b yb b
yb b b b
∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆ = = = = = ∆ ∆ ∆
B B B B Y .
Тоді систему (1) можна записати у вигляді
( ) ( ) ( )2
1 1 2 2 3 32 ...y y y y y y − + − + ∆ + − + ∆ + ∆ + = E B E B B E B B B
2 13 3 ... mm −= + ∆ + ∆ + + ∆C C C C .
Згрупувавши члени у лівій і правій частинах рівності біля 2, , ,..., m∆ ∆ ∆С С С C
та 2, , ,..., m∆ ∆ ∆B B B B , отримаємо систему
( ) ( )2 2 2 2
1 1 2 2 3 32 ...y y y y y y− + + ∆ + + ∆ + ∆ + =B B B B B B
2 13 3 ... mm −= + ∆ + ∆ + + ∆C C C C .
1
1 2 3 4 1
2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 1
1
2 2
1 ,1 ,1
1 1
... 1,
... 1 ,
.........................................................................
... .
n
m m
m m
n m n m
m m
m m n i j j
i i
y y y y y y
y y y y y y
y y iq b iq b
−
+
+
− + −
− −
+ −
= =
+ + + + + + =
+ + + + + + =
+ + ∆ = ∆
∑ ∑
У силу введених позначень і з урахуванням порядку n = m + 1 систему (1)
можна записати у вигляді
( )1
1 2 3 4 1
2 3 4 1
2
2
1 ,1
1
... 1,
2 3 ... ( 1) 1,
.........................................................................
.
m i
m m
m m
m
m j
i
y y y y y y
y y y m y my m
y iq b
+ −
+
+
−
+
=
+ + + + + + =
+ + + + − + = +
= ∆
∑
(5)
Лідія Семчишин
Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь із багатовимірними λ-матрицями ...
126
2. Розв’язування систем лінійних алгебраїчних
рівнянь із m-мірними λ-матрицями
Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, ,..., , ,..., , ,...,m m m λ λ λ − λ λ λ = λ λ λ Y E B C , (6)
в якій ( )1 2, ,..., mλ λ λB — регулярна матриця розміру n×n рангу r, елементами якої є
многочлени степеня ( )1,l l n= від 1 2, ,..., mλ λ λ . Кожен мінор ki-го порядку ( 1, )i m=
матриці B (λ 1, λ 2, ..., λ m) є поліном. Права частина рівняння є вектор C (λ 1, λ 2, ..., λ m) =
( ) ( ) ( )( )T1 1 2 2 1 2 1 2, ,..., , , ,..., ,..., , ,...,m m n mC C C= λ λ λ λ λ λ λ λ λ многочленів степеня l від
λ 1, λ 2, ..., λ m, ( ) ( ) ( ) ( )( )T1 2 1 1 2 2 1 2 1 2, ,..., , ,..., , , ,..., ,..., , ,...,m m m n my y yλ λ λ = λ λ λ λ λ λ λ λ λY —
невідомий вектор.
Із метою розв’язування системи (6) розглянемо алгоритм відсічених систем [1],
що дозволяє звести системи лінійних алгебраїчних рівнянь з m-мірними λ-матри-
цями до системи з числовими елементами.
Оскільки ( )1 2, ,..., mλ λ λB — поліноміальна матриця, а ( )1 2, ,..., mλ λ λC —
вектор, то їх можна подати у вигляді
( ) 1
1
1
1 ...1
... 0
,..., ... m
m
m
l
k k
m m k k
k k+ + =
λ λ = λ λ∑B B ,
( ) 1
1
1
1 ...1
... 0
,..., ... m
m
m
l
k k
m m k k
k k+ + =
λ λ = λ λ∑C C ,
де
1... mk kB — матриці,
1... mk kC — вектори.
Розв’язок системи будемо шукати у вигляді відношення двох поліномів [1]
( ) 1 1
1 2 1 2
1 1
1 ... ...1 1
... 0 ... 0
,..., ... ...m m
m m
m m
l l
k kk k
m m k k k m k k k
k k k k
Z
+ + = + + =
λ λ = λ λ λ λ∑ ∑Y X , (7)
де
1 2 ... mk k kZ — скалярні величини.
Невідомі
1 2 ... mk k kX і
1 2 ... mk k kZ обчислимо методом невизначених коефіцієнтів.
Враховуючи (7), систему (6) запишемо у вигляді
1 1
1 1
1 1
... ...1 1
... 0 ... 0
... ...m m
m m
m m
l nl
k kk k
m k k m k k
k k k k+ + = + + =
λ λ − λ λ =
∑ ∑X Ε Β
1 1
1 1
1 1
... ...1 1
... 0 ... 0
... ...m m
m m
m m
l nl
k kk k
m k k m k k
k k k k
Z
+ + = + + =
= λ λ λ λ∑ ∑ C . (8)
Звідси матимемо
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 10, 123-131
127
1 1 2
1 1 2
1 1 2
00..0 0..0 00..0 0..01 1 2
1 1 2
... ...m
m
m
nl nl nl
k k kk
k m k k k
k k k k= = + =
+ λ + + λ + λ λ + +∑ ∑ ∑X X X X
1 2
1 2 ..
1 2
.. 0..0 0..0 .. 0..01 2
... ...
... ... ...pt s r
t s r p
t s r p
nl nl
kkk k k k
t k k k s r p k k k
k k k t k k k t
t m t m
+ + + = + + + =
< <
+ λ λ λ + λ λ λ + +∑ ∑X X
1 2
1 2
1 2
0..0 ..1 2
... ...
... ... ...m t m m
m t m m
m t m m
l l
k k kk k
m t m k k m k k k
k k t k k k m
t m
−
−
−
−
+ + = + + + =
<
+ λ λ + + λ λ λ =∑ ∑B B
1 1 2
1 1 2
1 1 2
00..0 0..0 00..0 0..01 1 2
1 1 2
... m
m
m
nl nl nl
k k kk
k m k k k
k k k k
Z Z Z Z
= = + =
= + λ + + λ + λ λ +
∑ ∑ ∑
[1 2
1 2
1 2
0..0 .. 00..01 2
... ...
... ... ...m t m m
m t m m
m t m m
nl nl
k k kk k
m t m k k m k k k
k k t k k k m
t m
Z Z−
−
−
−
+ + = + + + =
<
+ λ λ + + λ λ λ +
∑ ∑ C
1 1 2
1 1 2
1 1 2
0..0 00..0 ..1 1 2
1 1 ...
... ..... ...m m
m m
m m
l l l
k k kk k
k m k m k k k
k k k k k m= = + + + =
+ λ + + λ + + λ λ λ
∑ ∑ ∑C C C .
Якщо згрупувати члени при однакових степенях λi, то для визначення неві-
домих коефіцієнтів
1 2 ... mk k kX і
1 2 ... mk k kZ одержимо систему
( )00..0 00..0 00..0 00..0 0Z− − =X E B C ,
( ) ( ) [ ]10..0 00..0 00..0 10..0 10..0 00..0 00..0 10..0 0X Z Z− + − − + =X E B E B C C ,
.........................................................
( )1 1 1 1
1 1
, 0..0 0..0 , 0..0 0..0
0 0
0
l l
nl k k nl k k
k k
Z− −
= =
− − =∑ ∑X E B C ,
.........................................................
( )1 2 1 2
1 2
1 2
, , ..., ...
0 0 0
...
...
m m
m
m
l l l
nl l k nl l k nl l k k k k
k k k
k k k nl l
X + − + − + −
= = =
+ + + = +
− −∑ ∑ ∑ E B
1 2 1 2
1 2
1 2
, , ..., ...
0 0 0
...
... 0
m m
m
m
l l l
nl l k nl l k nl l k k k k
k k k
k k k nl l
Z + − + − + −
= = =
+ + + = +
− =∑ ∑ ∑ C . (9)
3. Розв’язування блочної системи з числовими елементами
Для розв’язування отриманої системи (9) використаємо алгоритм схеми розрі-
зання [1]. Для цього систему (9) запишемо у спеціальному вигляді. З цією метою
Лідія Семчишин
Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь із багатовимірними λ-матрицями ...
128
позначимо через rB матрицю, елементами якої є матриці
1 ... mk kB , сума індексів
яких задовольняє умову ( )
1
0,
m
i
i
k r r n
=
= =∑ .
Запишемо матриці B0, B1, B2, ..., B r, ..., B l.
Матриця B0 складається з одного елемента B0 = (B00...0).
Матриці B1, B2 мають розмірність m × m
10...0 20...0 110...0 1010...0 10...01
010...0 020...0 0110...0 010...01
1 2
0...01 0...02
0 ... 0 ...
0 ... 0 0 ...
,
... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 ... 0 0 0 ...
B B B B B
B B B B
B B
= =
B B .
Матриця B3 містить m стовпців і 1 + 2 + 3 + … + m = (1 + m)m / 2 рядків
30...0 210...0 2010...0 20010...0 20...010 20...001
120...0 1110...0 11010...0 110...010 110...001
1020...0 10110...0 1010...010 1010...01
3
0...030 0...021
...
0 ...
0 0 ...
... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 ...
0 0
B B B B B B
B B B B B
B B B B
B B
=B
0...012
0...03
0 0 ... 0
0 0 0 0 ... 0
B
B
.
Аналогічно записуємо матриці B4, B5, B6, ..., B l, кожна з яких містить m стовпців,
а кількість рядків у матриці B l не перевищує (l + m)! / (l!m!).
Використовуючи означення тензорного добутку [1], систему (9) запишемо
у вигляді
( )⊗ − − ⊗ =X E B Z C 0 (10)
або
,− ⊗ − ⊗ =X X B Z C 0 (11)
де «⊗ » — знак тензорного добутку [1].
Систему (11) можна розв’язати за алгоритмом схеми розрізання [1]. Для цього
достатньо матрицю системи (11) розділити на блоки 11 12
21 22
,
M M
M M
де M11 — квад-
ратна матриця, розміри якої не перевищують ( )
( ) ( )
!
,
! ! 1
nl l m
nl l m n
+ +
+ +
а M12, M21, M22 —
прямокутні матриці відповідних розмірів. Розглядаючи ( ) ( )
( )
( )
( )
! !
1
! ! ! !
nl m nl l m
n
nl m nl l m
+ + +
+ −
+
невідомі як параметри, отримаємо неоднорідну квадратну систему.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 10, 123-131
129
11 12 1
21 22 2
=
M M NU
M M NV
,
де N1, N2 — задані, а U, V — невідомі вектори. Порядок цієї системи обмежено
числом ( )
( )
!
,
! !
nl l m
nl l m
+ +
+
а розв’язки дають параметричне сімейство розв’язків систе-
ми (11). Таким чином, знаходження невідомих U та V зводиться до розв’язування
двох систем меншого порядку. Вектор V визначається з системи
( ) ( )1 1
22 21 11 12 2 21 11 1
− − − ⊗ ⊗ ⊗ = − ⊗ ⊗ M M M M V N M M N , (12)
до того ж 11 0≠M . Невідомий вектор U можна знайти з рівнянь
11 1 12⊗ = − ⊗M U N M V . (13)
Розв’язування отриманих систем (12) і (13) вимагає деяких проміжних мат-
ричних операцій [3]. Для обчислення добутку 1
11 1
− ⊗M N достатньо знайти роз-
в’язки систем
( ) ( ) ( )
( )
00 0
( )
11 0 1
( )
0 ! ! ! 1
0 0 ... 0 ... 0
0 ... 0 ... 0
...... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 0 0 0
i
i
i
nl l m nl l m n
WB C
WB B C
WB + + + +
⊗ =
, (14)
де 0,i nl= . Перш за все, потрібно розв’язати систему для i = 0, а решта невідо-
мих визначити за співвідношеннями
( ) ( ) ( )
0 1 1... 0i i i
iW W W −= = = = ,
( ) ( ) ( )
0 1 1... 0i i i
iW W W −= = = = ,
( ) (0)
1 1
i
iW W+ = ,
....................
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) (0 )
! !
1.
! ! 1 ! ! 1
i
nl l m nl l m
nl l m n nl l m n
W W+ + + +
−
+ + + +
=
Розв’язки системи (14) можна обчислювати за формулами [1]
( )(0) (0)1
0
1
0,
i
i i j i j
j
W B B B W i l−
−
=
= ⊗ − × =
∑ ,
( )
( ) ( )
(0) (0)1
0
1
!
, 1,
! ! 1
i
i i j i j
j
nl l m
W B B B W i l
nl l m n
−
−
=
+ +
= ⊗ − × = + + +
∑ . (15)
Лідія Семчишин
Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь із багатовимірними λ-матрицями ...
130
Для знаходження всіх
( )
( ) ( )
(0) !
1,
! ! 1j
nl l m
W j l
nl l m n
+ +
= +
+ +
треба виконати близько
( ) ( )
( ) ( )
3 ! !
! ! ! ! 1
l m nl l m
n m
l m nl l m n
+ + +
+ +
арифметичних операцій. Обчислення добутків
( )1
21 1211
−⊗ ⊗M M M і ( )1
21 111
−⊗ ⊗M M N вимагає виконання
( )
( ) ( )
2
3 !
! ! 1
nl l m
n
nl l m n
+ +
+ +
арифметичних дій. Для визначення невідомих V з системи ( )
( ) ( )
!
! ! 1
nl l m n
nl l m n
+ +
+ +
-го
порядку треба затратити ( )
( )
!
! !
nl l m
O
nl l m
β
+ +
+
операцій. За алгоритмом відсічених
систем β = 3.
Для знаходження розв’язків системи (15) насамперед треба знайти добуток
12 ⊗M V . Для цього необхідно виконати ( )
( ) ( )
2
2 !
! ! 1
nl l m
n
nl l m n
+ +
+ +
операцій, після
чого систему можна розв’язати за формулами (15), на що потрібно
( )
( ) ( )
2
3 !
! ! 1
nl l m
n
nl l m n
+ +
+ +
дій. Таким чином, для повної реалізації алгоритму схеми
розрізання для системи (14) потрібно виконати ( )
( ) ( )
2
3 !
! ! 1
nl l m
n
nl l m n
+ +
+
+ +
( )
( )
!
! !
nl l m
O
nl l m
β
+ +
+ +
арифметичних операцій на комп’ютері.
Висновки. У статті розглянуто скінченно-різницевий підхід до розв’язування
систем лінійних алгебраїчних рівнянь із двовимірними λ-матрицями, а також роз-
в’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь з m-мірними λ-матрицями, які
виникають у динамічній моделі Леонтьєва.
Запропонований алгоритм можна ефективно використовувати в системах
комп’ютерної алгебри та для аналітично-числового розв’язування інженерних
прикладних задач механіки.
На основі запропонованого підходу в пакеті MatLab були проведені число-
ві експерименти для лінійних алгебраїчних рівнянь із двовимірними (m-мірними)
λ-матрицями. Вони підтверджують ефективність алгоритму.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 10, 123-131
131
Література
[1] Недашковський, М. О. Обчислення з λ-матрицями / М. О. Недашковський, О. Я. Ковальчук. —
Київ: Наук. думка, 2007. — 294 с.
[2] Бейкер Дж., Аппроксимации Паде / Дж. Бейкер, П. Грейвс-Морис. — Москва: Мир, 1986. — 502 с.
[3] Недашковський, М. О. Узагальнені динамічні міжгалузеві моделі / М. О. Недашковський,
Л. М. Семчишин // Вісник ТНЕУ. — Тернопіль: Економічна думка, 2009. — Вип. 1. — С. 169-187.
[4] Боюн, В. П. Скінченно-різницеві підходи до оптимізації обчислень матриць із складними
елементами і множення їх на довільний вектор // В зб. наук. праць. — Київ: Ін-т кібернетики
імені В. М. Глушкова, 1999. — С. 61-64.
[5] Григорків, В. С. Моделювання економіки. Ч. 2: Навч. посібник / В. С. Григорків. — Чернівці:
Рута, 2006. — 100 с.
[6] Van Dooren, P. M. Numerical Analysis. Vol. 3: Linear Algebra - Linear Systems and Eigenvalues /
P. M. van Dooren, A. Hadjidimos, H. A. van der Vorst. — 2000. — 526 p.
Solution of the linear algebraic equation with multidimensional
λ-matrix system for the Leontyev’s dynamic model
Lidia Semchyshyn
New approach to the solution of the system of linear algebraic equation with multidimensional λ-matrix for
the Leontyev’s dynamic model is proposed. A finite-differential approach to the solution of linear algebraic
equation with two-dimensional λ-matrix system is examined. The linear algebraic equation with m-dimen-
sional λ-matrix system is reduced to the numerical elements system. The characteristics of the system with
numerical elements were evaluated and a number of the arithmetic operations was calculated. The algo-
rithm complexity was characterized. The effectiveness of the suggested algorithm from the viewpoint
of computer algebra is shown.
Решения систем линейных алгебраических уравнений
с многомерными λ-матрицами для динамической
модели Леонтьева
Лидия Семчишин
Предложен новый подход к решению систем линейных алгебраических уравнений с много-
мерными λ-матрицами, для динамической модели Леонтьева. Рассмотрен конечно-разностный
подход к решению систем линейных алгебраических уравнений с двумерными λ-матрицами.
Система линейных алгебраических уравнений с m-мерными λ-матрицами сведена к системе
с числовыми элементами. Проведена оценка характеристик системы с числовыми элемен-
тами и подсчитано количество арифметических операций. Охарактеризована сложность
алгоритма и показана его эффективность с точки зрения компьютерной алгебры.
Представлено професором М. Сухорольским
Отримано 10.06.09
|