Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного перетворення Фур’є. I. Основні співвідношення

Досліджується нелінійна задача середньоквадратичної апроксимації дійсної фінітної невід’ємної функції від двох змінних модулем подвійного дискретного перетворення Фур’є, що залежить від двох параметрів. Знаходження розв’язків цієї задачі зведено до дослідження та розв’язування нелінійного двовимірно...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2009
Hauptverfasser:	Процах, Л., Савенко, П., Ткач, М.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2009
Schriftenreihe:	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/22258
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного перетворення Фур’є. I. Основні співвідношення / Л. Процах, П. Савенко, М. Ткач // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 10. — С. 84-95. — Бібліогр.: 17 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-22258
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-222582011-06-21T12:06:45Z Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного перетворення Фур’є. I. Основні співвідношення Процах, Л. Савенко, П. Ткач, М. Досліджується нелінійна задача середньоквадратичної апроксимації дійсної фінітної невід’ємної функції від двох змінних модулем подвійного дискретного перетворення Фур’є, що залежить від двох параметрів. Знаходження розв’язків цієї задачі зведено до дослідження та розв’язування нелінійного двовимірного інтегрального рівняння типу Гаммерштейна, яке має неєдиний розв’язок. Одержано лінійне інтегральне рівняння на знаходження множини точок галуження розв’язків із нелінійним входженням двох спектральних параметрів. Знаходження множини точок галуження розв’язків і числові приклади розглядаються в другій частині (продовженні) цієї статті. A nonlinear problem of mean-square approximation of real finite non-negative function with respect to two variables by Fourier discrete transformation modulus, dependent on two parameters is investigated. The solution of this problem is reduced to investigation and solution of nonlinear two-dimensional Hammerstein type integral equation having the non-unique solution. The linear integral equation on finding the branching points of solutions with nonlinear occurrence of two spectral parameters is obtained. Finding the set of points branching of solutions and numerical examples are considered in part II (continuation) of this paper. Исследуется нелинейная задача среднеквадратической аппроксимации вещественной финитной неотрицательной функции двух переменных модулем дискретного преобразования Фурье, зависимого от двух параметров. Нахождение решений этой задачи сведено к исследованию и решению нелинейного двумерного интегрального уравнения типа Гаммерштейна, имеющего неединственное решение. Получено линейное интегральное уравнение на нахождение множества точек ветвления решений с нелинейным вхождением двух спектральных параметров. Нахождение множества линий ветвления решений и числовые примеры рассматриваются во второй части (продолжении) этой статьи. 2009 Article Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного перетворення Фур’є. I. Основні співвідношення / Л. Процах, П. Савенко, М. Ткач // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 10. — С. 84-95. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/22258 519.6 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Досліджується нелінійна задача середньоквадратичної апроксимації дійсної фінітної невід’ємної функції від двох змінних модулем подвійного дискретного перетворення Фур’є, що залежить від двох параметрів. Знаходження розв’язків цієї задачі зведено до дослідження та розв’язування нелінійного двовимірного інтегрального рівняння типу Гаммерштейна, яке має неєдиний розв’язок. Одержано лінійне інтегральне рівняння на знаходження множини точок галуження розв’язків із нелінійним входженням двох спектральних параметрів. Знаходження множини точок галуження розв’язків і числові приклади розглядаються в другій частині (продовженні) цієї статті.
format	Article
author	Процах, Л. Савенко, П. Ткач, М.
spellingShingle	Процах, Л. Савенко, П. Ткач, М. Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного перетворення Фур’є. I. Основні співвідношення Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
author_facet	Процах, Л. Савенко, П. Ткач, М.
author_sort	Процах, Л.
title	Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного перетворення Фур’є. I. Основні співвідношення
title_short	Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного перетворення Фур’є. I. Основні співвідношення
title_full	Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного перетворення Фур’є. I. Основні співвідношення
title_fullStr	Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного перетворення Фур’є. I. Основні співвідношення
title_full_unstemmed	Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного перетворення Фур’є. I. Основні співвідношення
title_sort	середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного перетворення фур’є. i. основні співвідношення
publisher	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
publishDate	2009
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/22258
citation_txt	Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного перетворення Фур’є. I. Основні співвідношення / Л. Процах, П. Савенко, М. Ткач // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 10. — С. 84-95. — Бібліогр.: 17 назв. — укр.
series	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT procahl serednʹokvadratičnaaproksimacíâdíjsnoífunkcíídvohzmínnihmodulemdiskretnogoperetvorennâfurêiosnovníspívvídnošennâ AT savenkop serednʹokvadratičnaaproksimacíâdíjsnoífunkcíídvohzmínnihmodulemdiskretnogoperetvorennâfurêiosnovníspívvídnošennâ AT tkačm serednʹokvadratičnaaproksimacíâdíjsnoífunkcíídvohzmínnihmodulemdiskretnogoperetvorennâfurêiosnovníspívvídnošennâ
first_indexed	2025-07-02T23:27:45Z
last_indexed	2025-07-02T23:27:45Z
_version_	1836579687138066432
fulltext	84 Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного перетворення Фур’є. I. Основні співвідношення Лариса Процах1, Петро Савенко2, Мирослава Ткач3 1 Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул. Наукова, 3б, Львів, 79060 2 д. т. н., с. н. с., Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул. Наукова, 3б, Львів, 79060, e-mail: spo@iapmm.lviv.ua 3 Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул. Наукова, 3б, Львів, 79060 Досліджується нелінійна задача середньоквадратичної апроксимації дійсної фінітної не- від’ємної функції від двох змінних модулем подвійного дискретного перетворення Фур’є, що залежить від двох параметрів. Знаходження розв’язків цієї задачі зведено до дослідження та розв’язування нелінійного двовимірного інтегрального рівняння типу Гаммерштейна, яке має неєдиний розв’язок. Одержано лінійне інтегральне рівняння на знаходження мно- жини точок галуження розв’язків із нелінійним входженням двох спектральних парамет- рів. Знаходження множини точок галуження розв’язків і числові приклади розглядаються в другій частині (продовженні) цієї статті. Ключові слова: нелінійна середньоквадратична апроксимація, дискретне подвійне перетворення Фур’є, двовимірне нелінійне інтегральне рівняння типу Гаммерштейна, неєдиність і галуження розв’язків. Вступ. Середньоквадратична апроксимація дійсної фінітної невід’ємної функції від двох змінних модулем подвійного дискретного перетворення Фур’є, що зале- жить від фізичних параметрів, широко застосовується при моделюванні та роз- в’язуванні задач синтезу різних типів антенних решіток, обробки сигналів та ін. [1-3]. У задачах цього класу залишаються недослідженими питання неєдиності та галуження розв’язків. Знаходження множини точок галуження є, своєю чергою, недостатньо досліджена нелінійна спектральна двопараметрична задача. Найпов- ніше розвинуті методи дослідження та чисельного знаходження розв’язків одно- параметричних спектральних задач за наявності дискретного спектра [4-8]. У роботі варіаційну задачу про найкраще середньоквадратичне наближення дійсної фінітної невід’ємної функції модулем подвійного дискретного перетворення Фур’є зведено до знаходження розв’язків нелінійного двовимірного інтегрального рівняння типу Гаммерштейна. З використанням принципу Шаудера доведено існу- вання розв’язків. Одержано лінійне інтегральне рівняння на знаходження множини точок галуження розв’язків із нелінійним входженням двох спектральних параметрів. УДК 519.6 ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2009, вип. 10, 84-95 85 1. Формулювання задачі, основні рівняння та співвідношення Розглянемо подвійне дискретне перетворення Фур’є ( )1 1 2 2 1 2( , ) N M i c ns c ms nm n N m M f s s A I e + =− =− = ≡ ∑ ∑I , (1) як лінійний оператор, що діє з комплексного скінченновимірного простору HI = 2 2N M×= , де N2 = 2N + 1, M2 = 2M + 1, у простір комплекснозначних неперервних функцій від двох дійсних змінних, визначених в області ( ){ }1 2 1 1 2 2, : ,s s s c s cΩ = ≤ π ≤ π ; c1, c2 ― деякі дійсні безрозмірні числові параметри, що належать ( ){ }1 2 1 2, : 0 , 0c c c c a c bΛ = < ≤ < ≤ . Функція 1 2( , )f s s є 12 cπ -періодичною за аргументом s1 і 22 cπ -періодичною за s2. У просторах, що розглядаються, введемо скалярні добутки та породжувані ними норми ( ) 2 1 2 1 2 4, I N M nm nmH n N m M I I c c =− =− π = ∑ ∑I I , ( )1/ 2, IH=I I I , (2) ( ) ( ) ( ) ( )(2)1 2 1 1 2 2 1 2 1 2, , ,Cf f f s s f s s ds ds Ω Ω = ∫∫ , ( ) (2) ( ) 1/ 2, Cf f f Ω = . (3) Надалі поповнений простір неперервних функцій із введеними у ньому скаляр- ним добутком і нормою (3) позначатимемо через (2) ( )ΩC та відзначимо, що його поповнення співпадає з гільбертовим простором L2(Ω) [9]. Безпосередньою перевіркою переконуємось у справедливості рівності ( ) 22 22 1 2 1 2 , , nm n m A f s s ds ds I Ω = = =∑∫∫I I , (4) звідки випливає, що A ― ізометричний оператор у розумінні (4). Використовуючи введені скалярні добутки (2), (3), на підставі співвідно- шення ( ) ( ), ,A f A f∗=I I знаходимо необхідний надалі спряжений оператор ( ) ( )1 1 2 21 2 1 2 1 22 , 4 i c ns c msc cA f f s s e ds ds− +∗ Ω = π ∫∫ ( ), ; ,n N N m M M= − = − . (5) Нехай задано ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , , , 0, , \ , F s s s s G F s s s s G  ∈ ⊆ Ω=  ∈Ω (6) де F(s1, s2) ― дійсна неперервна та невід’ємна у замкненій області G функція. Лариса Процах, Петро Савенко, Мирослава Ткач Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного ... 86 Розглянемо задачу про найкраще середньоквадратичне наближення функ- ції 1 2( , )F s s в області Ω модулем подвійного дискретного перетворення Фур’є (1) за рахунок вибору коефіцієнтів вектора I. Сформулюємо її як задачу мінімізації функціонала ( ) ( ) (2) (2) 2 2 ( ) F A F f Ω Ω σ = − ≡ − C C I I (7) у просторі 2 2N M IH ×= . Враховуючи рівності (4), (5), функціонал ( )σ I запишемо у спрощеному вигляді ( ) ( ) ( ) (2) (2) 22 2( ) 2 , I G G HF F Aσ = − + C C I I I . (8) Із використанням необхідної умови мінімуму функціонала одержуємо нелі- нійну систему рівнянь відносно компонент вектора I в просторі HI, яку запишемо у векторній і розгорнутій формах, відповідно ( )argi AA Fe∗= II , (9) ( ) ( )1 1 2 21 2 1 22 , exp arg 4 N M i c ns c ms nm nm n N m MG c cI F s s i I e + =− =−   = −   π    ∑ ∑∫∫ ( )}1 1 2 2 1 2i c ns c ms ds ds− + ( ), , ,n N N m M M= − = − . (9′) Зауважимо, що система (9), (9′) описує стаціонарні точки функціонала ( )σ I . Подіявши на обидві сторони рівняння (9) оператором A, одержуємо еквівалент- не до (9) нелінійне інтегральне рівняння типу Гаммерштейна відносно функції f ( ) ( ) ( ) ( )arg, , i f Q G f Q f K Q Q F Q e dQ′′ ′ ′= ≡ ∫∫B c , (10) де ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2, , , , , , ,Q s s dQ ds ds Q s s dQ ds ds c c′ ′ ′ ′ ′ ′= = = = =c ; ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2 2 2, , , , , ,K Q Q K s s c K s s c′ ′ ′= ⋅c , (11) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 sin 0,5 , , 2 N ic n s s n N N c s sc cK s s c e c s s ′− =− ′ −  ′ = ≡ ′π π −∑ , ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 0,5 , , 2 M ic m s s m M M c s sc cK s s c e c s s ′− =− ′ −  ′ = ≡ ′π π −∑ . Зазначимо, що ядро (11) рівняння (10) є вироджене та дійсне. Розглянемо одну з властивостей функції ( )exp argi f Q′   , що входить у рів- няння (10), при ( ) 0f Q′ → . Очевидно, що ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2009, вип. 10, 84-95 87 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 22 2 exp arg f Q u Q iv Q i f Q f Q u Q v Q ′ ′ ′+ ′  = ≡  ′  ′ ′+  є неперервна функція, якщо u(Q' ) = Re f (Q' ) і v(Q' ) = Im f (Q' ) неперервні функції, при- чому ( )exp arg 1i f Q′  =  для будь-якої ( )f Q′ . Якщо ( ) 0u Q′ → і ( ) 0v Q′ → одно- часно, то ( ) 0f Q′ ≡ ― комплексний нуль, аргумент у якого невизначений за озна- ченням [10, с. 20]. На цій підставі ( )exp argi f Q′   для ( ) 0u Q′ → і ( ) 0v Q′ → довизначимо як функцію, модуль якої дорівнює одиниці, а аргумент невизначений. Еквівалентність рівнянь (9) і (10) випливає з наступної леми. Лема 1. Між розв’язками рівнянь (9), (10) існує взаємно однозначна відпо- відність, тобто, якщо І* ― розв’язок рівняння (9), то f * = AІ* ― розв’язок (10); навпаки, якщо f * ― розв’язок рівняння (10), то ( ){ }exp argA F i f∗ ∗ ∗=   I (12) ― розв’язок рівняння (9). Доведення. Нехай ∗I ― розв’язок рівняння (9). Тоді ( )arg 0i AA Fe ∗∗ ∗ − ≡II . Подіявши на цю тотожність лінійним оператором A, одержуємо AІ* – AA× ( )arg 0i AFe ∗× ≡I . Оскільки оператор A діє з простору 2 2N M IH ×= у простір (2) ( )ΩC та відповідно у простір 2 ( )fH L= Ω , а множина його нулів складається лише з ну- льового елемента, то з останньої тотожності випливає, що fA f H∗ ∗= ∈I є роз- в’язок рівняння (10). Навпаки, нехай ff H∗ ∈ ― розв’язок рівняння (10). Оскільки оператор A діє з простору 2 ( )fH L∗ ∗= Ω у простір 2 2N M IH ×= [9], а гільбертів простір 2L∗ спів- падає з простором L2 (див. [9]), то звідси випливає, що A* діє з простору fH = 2 ( )L= Ω у простір 2 2N M IH ×= . Беручи до уваги, що F ― фінітна функція, визна- чена за формулою (6), а f∗ ― неперервна, то функція ( )exp argF i f∗   є інтегровна з квадратом в області Ω, тобто ( )exp arg fF i f H∗ ∈  . Отже, ( ){ }exp argA F i f∗ ∗  =  =I∈HI, а права частина в рівнянні (10) є результат дії оператора A на елемент I, тобто ( ){ }exp argA AA F i f f∗ ∗ ∗ ∗=   = I . Записуючи цю рівність, як A A∗ − ×I ( )( ){ }exp arg 0F i A ∗ × = I , і враховуючи, що множина нулів оператора A склада- ється лише з нульового елемента, одержуємо, що ( ){ }exp argA F i A∗ ∗ ∗=   I I . Отже, ( ){ }exp argA F i f∗ ∗ ∗=   I є розв’язок рівняння (9). Лему доведено. Лариса Процах, Петро Савенко, Мирослава Ткач Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного ... 88 Таким чином, завдяки еквівалентності рівнянь (9) і (10) будемо розглядати простіше з них, а саме, рівняння (10), оскільки рівняння (9) є складніше у тому розумінні, що в його правій частині оператор A входить у показник степеня екс- поненти. Окрім того, враховуючи, що множина значень оператора A є множина неперервних функцій в області Ω, які належать до простору L2(Ω), і ця множина є щільна у просторі L2(Ω) [11], то розв’язки рівняння (10) будемо досліджувати в просторі C(Ω). Сформулюємо важливі властивості рівняння (10), які перевіряються безпо- середньо. 1о. Якщо функція f (Q) ― розв’язок рівняння (10), то комплексно-спряжена функ- ція ( )f Q ― також розв’язок (10). 2о. Якщо функція f (Q) ― розв’язок рівняння (10), то e iβ f (Q) ― також розв’я- зок (10), де β ― довільна дійсна стала. 3о. Для парних функцій F(s1, s2) за двома аргументами (або за одним аргументом) нелінійний оператор B, що знаходиться у правій частині рівняння (10), є інварі- антний відносно типу парності функції arg f (s1, s2) за двома аргументами (або за тим аргументом, за яким парна функція F(s1, s2)). Надалі, враховуючи властивість 2о, для однозначності розв’язків поклада- тимемо, що параметр β = 0. Розглянемо оператор ( ) ( ), ,Df K Q Q f Q dQ Ω ′ ′ ′≡ ∫∫ c (13) і відповідну йому квадратичну форму ( ) ( ) ( ) ( ), , ,Df f K Q Q f Q dQ f Q dQ Ω Ω ′ ′ ′= =∫∫ ∫∫ c ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2, , N M i c ns c ms i c ns c ms n N m M e f s s ds ds e f s s ds ds′ ′+ − + =− =− Ω Ω ′ ′ ′ ′= =∑ ∑ ∫∫ ∫∫ ( ) ( )1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2, 0 N M i c ns c ms n N m M e f s s ds ds c c + =− =− Ω   π π = = ≥      ∑ ∑ ∫∫ I . Очевидно, що ця нерівність перетворюється у рівність лише, якщо I = 0. Звідси випливає, що ядро K(Q, Q', c) є додатно визначене [12]. Відповідно оператор D є додатний на конусі невід’ємних функцій K простору C(Ω) [13]. Згідно з цим, D залишає інваріантним конус K, тобто DK⊂ K. Декомплексифікований комплексний простір C(Ω) [9] розглядатимемо як пряму суму двох дійсних просторів неперервних в області Ω функцій C(Ω) = ( ) ( )C C= Ω ⊕ Ω , елементи якого подаються у вигляді: T( , ) ( )f u v= ∈ ΩC , ( )u C∈ Ω , ( )v C∈ Ω . Норми в цих просторах введемо так ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2009, вип. 10, 84-95 89 ( )( ) maxC Q u u QΩ ∈Ω = , ( )( ) maxC Q v v QΩ ∈Ω = , ( )( ) ( ) ( )max ,C Cf u vΩ Ω Ω=C . Рівняння (10) у декомплексифікованому просторі C(Ω) зведемо до еквівалентної йому системи нелінійних рівнянь ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 ( , ) , , G u Q u Q B u v K Q Q F Q dQ u Q v Q ′ ′ ′ ′= ≡ ′ ′+ ∫∫ c , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( , ) , , G v Q v Q B u v K Q Q F Q dQ u Q v Q ′ ′ ′ ′= ≡ ′ ′+ ∫∫ c . (14) Позначимо через ( )RS ⊂ ΩC замкнену опуклу множину неперервних функ- цій, покладаючи u vR R RS S S= ⊕ , { }( ): uR CS u u RΩ= ≤ , { }( ): vR CS v v RΩ= ≤ , ( ) ( )max , , Q G G R K Q Q F Q dQ ∈ ′ ′ ′= ∫∫ c . Теорема 1. Оператор B = (B1, B2) T, визначений за формулами (14), відображає замкнену опуклу множину SR банахового простору C(Ω) саму в себе та є цілком неперервний. Доведення. Спочатку покажемо, що : ( ) ( )Ω → ΩB C C . Нехай T( , )f u v= ― до- вільна функція, яка належить до C(Ω). Оскільки для c1, c2 c∈Λ ядро ( ), ,K Q Q′ c є неперервна функція своїх аргументів у замкненій області Ω × Ω, то згідно з теоремою Кантора [14] ( ), ,K Q Q′ c ― рівномірно неперервна у Ω × Ω функція. Звідси випливає: для будь-яких точок ( ) ( )1 1 2 2, , ,Q Q Q Q′ ′ таких, що як тільки ( ) ( )1 1 2 2, ,Q Q Q Q′ ′− < δ , то ( ) ( )1 1 2 2, , , ,K Q Q K Q Q a′ ′− < εc c , де ( ) G a F Q dQ′ ′= ∫∫ . На цій підставі одержуємо ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2, , , , G u Q u Q F Q K Q Q K Q Q′ ′ ′− =  −  × ∫∫ c c ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 G u Q dQ F Q dQ au Q v Q ′ ε′ ′ ′× ≤ = ε ′ ′+ ∫∫ , (15) оскільки ( ) ( ) ( )2 2 max 1 Q u Q u Q v Q′∈Ω ′ ≤ ′ ′+ . Аналогічно маємо, що ( ) ( )1 2v Q v Q− ≤ ε , як тільки ( ) ( )1 1 2 2, ,Q Q Q Q′ ′− < δ , тобто T( , ) ( )u v ∈ ΩC та : ( ) ( )Ω → ΩB C C . Лариса Процах, Петро Савенко, Мирослава Ткач Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного ... 90 Щоб довести властивість повної неперервності оператора B = (B1, B2) T, необ- хідно довести його компактність і неперервність [11]. Покажемо неперервність B = = (B1, B2) T. Нехай f1 = (u1, v1) T∈SR ― довільна фіксована функція й f2 = (u2, v2) T ― до- вільна функція з SR. Необхідно показати, що 1 2 ( )f f Ω− CB B → 0, якщо 1 2 ( )f f Ω− C → 0. Покладаємо u2 = u1 +∆u, v2 = v1 +∆v. Враховуючи ці рівності, отримуємо 2 1 2 2 2 2 2 22 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 21 u u u u v u u v v u vu v u v + ∆ = + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + + + . Для ( ) 0Cu Ω∆ → , ( ) 0Cv Ω∆ → маємо ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 20, 1 1 2 20 ( ) lim u v u Q u Q u Q v Q u Q v Q∆ → ∆ → Ω − ≤ + + C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 2 20, 1 11 10 1lim max 1 , , ,u Q v u Q P u Q v Q u Q v Qu Q v Q∆ → ∈Ω ∆ →   ≤ − +   ∆ ∆+   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 1 11 1 1 0 , , , u Q P u Q v Q u Q v Qu Q v Q ∆ + = ∆ ∆+  , (16) оскільки ( ) ( ) ( )( )( )1 10, 0 lim max , , , ( ) 1 u Q v P u Q v Q u Q v Q Q ∆ → ∈Ω ∆ → ∆ ∆ = . Тут ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1, , ,P u Q v Q u Q v Q∆ ∆ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 u Q u Q v Q v Q u Q v Q u Q v Q ∆ + ∆ + ∆ + ∆ = + + . Аналогічно одержуємо ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 20, 1 1 2 20 lim max 0 u Q v v Q v Q u Q v Q u Q v Q∆ → ∈Ω ∆ → − = + + . (17) Таким чином, із рівностей (16), (17) випливає ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2009, вип. 10, 84-95 91 ( ) ( )1 1 1 1 2 2 ( )0, 0 lim , , u v B u v B u v Ω∆ → ∆ → − = C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 20, 1 1 2 20 lim max , , 0 u Q G Gv u Q u Q F Q K Q Q dQ u Q v Q u Q v Q∆ → ∈ ∆ →  ′ ′  ′ ′ ′= − =  ′ ′ ′ ′+ +  ∫∫ c . Аналогічно маємо ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 2 2 ( )0, 0 lim , , 0 C C u v B u v B u v Ω Ω Ω∆ → ∆ → − = C . Отже, ( )T1 2,B B=B ― неперервний оператор із ( )ΩC в ( )ΩC . Покажемо, що множина функцій Sg =BSR задовольняє умови теореми Арцела [11], тобто покажемо, що функції множини Sg є рівномірно обмежені й одностайно неперервні. Нехай ( ) ( )T T 1 2, ( , ), ( , )g w f B u v B u v= ω = ≡B , де ( , )Tf u v= ― довільна функція множини SR. Тоді при ( ) ( )1 2, ,Q Q Q Q′ ′− < δ аналогічно до (15) маємо ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 G G F Q dQ w Q w Q a Q Q F Q dQ a ε ′ ′  − ε    ≤ =     ε εω −ω  ′ ′       ∫∫ ∫∫ . Таким чином, функції множини Sg =BSR є одностайно неперервні. Рівномірна обмеженість множини Sg =BSR випливає з нерівності ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 max max , , Q G u Q g F Q K Q Q dQ u Q v QΩ ∈Ω  ′ ′ ′ ′= ≤ ′ ′+ ∫∫C c ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 max , , Q G v Q F Q K Q Q dQ R u Q v Q∈Ω ′ ′ ′ ′≤ ≤ ′ ′+  ∫∫ c , де T( , )f u v= ― довільна функція множини SR, ( )T1 2( , ), ( , )g f B u v B u v= ≡B . З останньої нерівності також маємо, що R RS S⊂B . Отже, оператор B = (B1, B2) T є цілком неперервний і відображає замкнену опуклу множину ( )RS ⊂ ΩC саму в себе. Теорему доведено. Як наслідок із теореми 1 випливає виконання умов принципу Шаудера [15], згідно з яким оператор B = (B1, B2)T має нерухому точку f = (u, v)T, яка належить множині SR. Ця точка є розв’язок системи рівнянь (14) і, відповідно, рівняння (10). Лариса Процах, Петро Савенко, Мирослава Ткач Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного ... 92 Підставляючи f * = (u, v)T у рівність (12), одержуємо розв’язок рівняння (9), який є стаціонарною точкою функціонала (7). Розв’язки подібної до (14) системи рівнянь у випадку одновимірних областей Ω стосовно задачі синтезу лінійної антенної решітки досліджувалися, зокрема, в [16]. Одержані там результати показують, що для рівнянь типу (10), (14) характерними є неєдиність і галуження розв’язків, які залежать від величини фі- зичного параметра. Безпосередньо результати, отримані раніше у праці [16], не можна перенести на двовимірну двопараметричну задачу (8), (14). Тут, на відміну від точок галуження [16], існують лінії галуження розв’язків, а задача про знахо- дження ліній галуження є нелінійна двопараметрична спектральна задача. Легко упевнитися, що одним із розв’язків рівняння (10) у класі дійсних функцій є ( ) ( ) ( )0 , , , G f Q F Q K Q Q dQ′ ′ ′= ∫∫c c . (18) Оскільки, як було показано вище, оператор D, визначений рівністю (13), є додат- ний на конусі невід’ємних функцій C( )∈ ΩK та D ⊂K K , а F ⊂K , то 0f DF= є також невід’ємна функція в області Ω. Для знаходження ліній галуження та комплексних розв’язків рівняння (10), що відгалужуються від дійсного розв’язку ( )0 ,f Q c , розглянемо задачу про знаходження такої множини значень параметрів ( )(0) (0)(0) 1 2,c c=c і всіх відмінних від ( )0 ,f Q c розв’язків системи (14), які при (0) 0− →c c (причому (0) 1 1c c≥ , )(0) 2 2c c≥ задовольняють умови ( ) ( )(0)max , , 0 Q G u Q f Q ∈ − →c c , ( )max , 0 Q G v Q ∈ →c . (19) Ці умови означають, що необхідно знайти такі малі неперервні в G розв’язки ( ) ( ) ( )(0) 0, , ,w Q u Q f Q= −c c c , ( ) ( ), ,Q v Qω =c c , які рівномірно збігаються до нуля, якщо (0)→c c . Нехай (0) 1 1c c= + µ , (0) 2 2c c= + ν , (20) а шукані розв’язки знаходимо у вигляді ( ) ( ) ( )(0) 0, , , ,u Q f Q w Q= + µ νc c , ( ) ( ), , ,v Q Q= ω µ νc . (21) Надалі, для скорочення записів, залежність функцій ( ) ( ), , , , ,w Q Qµ ν ω µ ν від параметрів µ, ν будемо опускати. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2009, вип. 10, 84-95 93 Відзначимо, що підінтегральні функції в системі (14) є неперервні функції своїх аргументів. Після підстановки виразів (20), (21) у (14) підінтегральні функції розкладаємо в околі точки ( )( )(0) (0) 0, , ,0f Qc c у рівномірно збіжні степеневі ряди за функціональними аргументами w, ω та числовими параметрами µ, ν ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 , , u Q F Q K Q Q u Q v Q ′ ′ ′ = ′ ′+ c ( ) ( ) ( )(0) 0 , , m n p q mnpq m n p q A Q Q w Q Q + + + ≥ ′ ′ ′= ω µ ν∑ c , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 , , v Q F Q K Q Q u Q v Q ′ ′ ′ = ′ ′+ c ( ) ( ) ( )(0) 1 , , m n p q mnpq m n p q B Q Q w Q Q + + + ≥ ′ ′ ′= ω µ ν∑ c , (22) де ( ) ( )(0) (0), , , , ,mnpq mnpqA Q Q B Q Q′ ′c c ― коефіцієнти розкладу, які є неперервними функціями своїх аргументів. Підставляючи (20), (22) в (14) і враховуючи, що ( )(0) 0 ,f Q′ c є розв’язок системи (14), одержуємо систему нелінійних рівнянь від- носно малих розв’язків w, ω ( ) ( ) ( )(0) (0) 10 01, ,u Q a Q a Q= µ + ν +c c ( ) ( ) ( )(0) 2 , ,p q m n mnpq m n p q G A Q Q w Q Q dQ + + + ≥ ′ ′ ′ ′+ µ ν ω∑ ∫∫ c , (23) ( ) ( ) ( ) ( ) (0) (0) 0 ( ) , , ,G Q Q F Q K Q Q dQ f Q ′ω ′ ′ω − = ′∫∫ c c ( ) ( ) ( )(0) 2 , ,p q m n mnpq m n p q G B Q Q w Q Q dQ + + + ≥ ′ ′ ′ ′= µ ν ω∑ ∫∫ c , (24) де ( ) ( )(0) (0) 10 0010, , , G a Q A Q Q dQ′ ′= ∫∫c c , ( ) ( )(0) (0) 01 0001, , , G a Q A Q Q dQ′ ′= ∫∫c c . Для подальшого застосування методів теорії галуження розв’язків неліній- них рівнянь [17] до системи (23), (24) необхідно знайти відмінні від тривіального розв’язки лінійного однорідного інтегрального рівняння, яке одержуємо, прирів- нюючи до нуля ліву частину рівняння (24) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 0 1 2 , , , , , ,G F Q Q T c c K Q Q c c Q dQ f Q c c ′ ′ ′ ′ϕ = ϕ ≡ ϕ ′∫∫ (25) Лариса Процах, Петро Савенко, Мирослава Ткач Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного ... 94 за умови, що ( )0 , 0f Q′ >c . Зазначимо, що оператор ( ) : ( ) ( )T Ω → Ωc C C є цілком неперервний. Доведення цієї властивості аналогічне до доведення повної непе- рервності оператора B = (B1, B1) T у теоремі 1. Література [1] Минкович, Б. М. Теория синтеза антенн / Б. М. Минкович, В. П. Яковлев. ― Москва: Сов. радио, 1969. ― 296 с. [2] Савенко, П. А. Численное решение одного класса нелинейных задач теории синтеза излуча- ющих систем / П. А. Савенко // Журн. вычисл. математики и мат. физики. ― 2000. ― Т. 40, № 6. ― С. 929-939. [3] Савенко, П. О. Нелінійні задачі синтезу випромінюючих систем (теорія і методи розв’язу- вання) / П. О. Савенко. ― Львів: ІППММ НАН України, 2002. ― 320 с. [4] Вайникко, Г. М. Анализ дискретизационных методов / Г. М. Вайникко. ― Тарту: Тартуск. гос. ун-т, 1976. ― 161 с. [5] Grigorieff, R. D. Approximation von Eigevwertproblemen bei Nichtlinea rer Parameterabhangikeit / R. D. Grigorieff, H. Jeggle // Manuscr. math. ― 1973. ― Vol. 10, No 3. ― P. 245-271. [6] Karma, O. Approximation in Eigenvalue Problems for Holomorphic Fredholm Operator Functions. I / O. Karma // Numerical Funct. Anal. and Optimization. ― 1996. ― Vol. 17, No 3 & 4. ― P. 365-387. [7] Асланян, М. А. Модификация одного численного метода решения нелинейной спектральной задачи / М. А. Асланян, С. В. Картышев // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. ― 1998. ― Т. 37, № 5. ― С. 713-717. [8] Solov’yov, S. I. Preconditioned Iterative Methods for a Class of Nonlinear Eigenvalue Problems / S. I. Solov’yov // Linear Algebra and its Applications. ― 2006. ― Vol. 41, No 1. ― P. 210-229. [9] Треногин, В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. — Москва: Наука, 1980. ― 496 с. [10] Привалов, И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного / И. И. Привалов. ― Москва: Наука, 1984. ― 432 с. [11] Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмого- ров, С. В. Фомин. ― Москва: Наука, 1968. ― 496 с. [12] Забрейко, П. П. Интегральные уравнения / П. П. Забрейко, А. И. Кошелев, М. А. Крас- носельский. ― Москва: Наука, 1968. ― 448 с. [13] Приближенное решение операторных уравнений / М. А. Красносельский, Г. М. Вайникко, П. П. Забрейко и др. ― Москва: Наука, 1969. ― 456 с. [14] Ляшко, И. И. Основы классического и современного математического анализа / И. И. Ляшко, В. Ф. Емельянов, А. К. Боярчук. ― Київ: Вища школа, 1988. ― 591 с. [15] Канторович, Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. ― Москва: Наука, 1977. ― 742 с. [16] Савенко, П. А. Синтез линейных антенных решеток по заданной амплитудной диаграмме направленности / П. А. Савенко // Изв. высш. учебн. заведений. Радиофизика. ― 1979. ― Т. 22, № 12. ― С. 1498-1504. [17] Вайнберг, М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг, В. А. Треногин. ― Москва: Наука, 1969. ― 527 c. Mean-square approximation of real function with respect to two variables by Fourier discrete transformation modulus. I. Basic relations Larysa Protsakh, Petro Savenko, Myroslava Tkach A nonlinear problem of mean-square approximation of real finite non-negative function with re- spect to two variables by Fourier discrete transformation modulus, dependent on two parameters is investigated. The solution of this problem is reduced to investigation and solution of nonlinear ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2009, вип. 10, 84-95 95 two-dimensional Hammerstein type integral equation having the non-unique solution. The linear integral equation on finding the branching points of solutions with nonlinear occurrence of two spectral parameters is obtained. Finding the set of points branching of solutions and numerical examples are considered in part II (continuation) of this paper. Среднеквадратическая аппроксимация действительной функции двух переменных модулем дискретного преобразования Фурье. I. Основные соотношения Лариса Процах, Петр Савенко, Мирослава Ткач Исследуется нелинейная задача среднеквадратической аппроксимации вещественной фи- нитной неотрицательной функции двух переменных модулем дискретного преобразования Фурье, зависимого от двух параметров. Нахождение решений этой задачи сведено к иссле- дованию и решению нелинейного двумерного интегрального уравнения типа Гаммерштейна, имеющего неединственное решение. Получено линейное интегральное уравнение на нахож- дение множества точек ветвления решений с нелинейным вхождением двух спектральных параметров. Нахождение множества линий ветвления решений и числовые примеры рас- сматриваются во второй части (продолжении) этой статьи. Представлено кандидатом фізико-математичних наук М. Дзюбачиком Отримано 10.07.09

Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного перетворення Фур’є. I. Основні співвідношення

Institution

Ähnliche Einträge