Розвиток пластичних смуг в околі вершин окресленого дугами двох кіл симетричного вирізу за умов антиплоскої деформації

Отримано аналітичний розв’язок задачі про розвиток пластичних смуг в ідеально пружно-пластичному тілі з симетричним вирізом, утвореним дугами двох кіл. Досліджено розвиток смуг для вирізів з довільною величиною кута при його вершинах. Встановлено, що на початковій стадії розвиток пластичних смуг виз...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2010
Main Authors:	Кривень, І., Яворська, М.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2010
Series:	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Online Access:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/22281
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Розвиток пластичних смуг в околі вершин окресленого дугами двох кіл симетричного вирізу за умов антиплоскої деформації / І. Кривень, М. Яворська // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 11. — С. 91-96. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-22281
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-222812011-06-21T12:07:37Z Розвиток пластичних смуг в околі вершин окресленого дугами двох кіл симетричного вирізу за умов антиплоскої деформації Кривень, І. Яворська, М. Отримано аналітичний розв’язок задачі про розвиток пластичних смуг в ідеально пружно-пластичному тілі з симетричним вирізом, утвореним дугами двох кіл. Досліджено розвиток смуг для вирізів з довільною величиною кута при його вершинах. Встановлено, що на початковій стадії розвиток пластичних смуг визначається в основному величиною кута біля вершини вирізу, а на стадії розвинутої пластичності ріст пластичних смуг слабо залежить і від форми вирізу, і від величини кута біля його вершини. The analytical solution of the problem about the plastic bands development in an ideally plastic-elastic body with a symmetric cut formed by arcs of two circles has been obtained. Bands development at the cut tip under load increasing for different values of angels is studied. It is found that at the initial stage the development of plastic bands is determined mainly by the value of the angle at the cut tip, thus at the stage of developed plasticity, the plastic strips growth depends slightly on the cut shape and the angle value at its tip. Получено аналитическое решение задачи развития пластических полос в идеально упругопластическом теле с симметричным вырезом, образованным дугами двух окружностей. Исследовано развитие полос для вырезов с произвольной величиной угла в вершинах. Установлено, что в начальной стадии развитие пластических полос определяется в основном величиной угла при вершине выреза, в стадии развитой пластичности рост полос почти не зависит от формы выреза и величины угла при его вершинах. 2010 Article Розвиток пластичних смуг в околі вершин окресленого дугами двох кіл симетричного вирізу за умов антиплоскої деформації / І. Кривень, М. Яворська // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 11. — С. 91-96. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/22281 539.375 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Отримано аналітичний розв’язок задачі про розвиток пластичних смуг в ідеально пружно-пластичному тілі з симетричним вирізом, утвореним дугами двох кіл. Досліджено розвиток смуг для вирізів з довільною величиною кута при його вершинах. Встановлено, що на початковій стадії розвиток пластичних смуг визначається в основному величиною кута біля вершини вирізу, а на стадії розвинутої пластичності ріст пластичних смуг слабо залежить і від форми вирізу, і від величини кута біля його вершини.
format	Article
author	Кривень, І. Яворська, М.
spellingShingle	Кривень, І. Яворська, М. Розвиток пластичних смуг в околі вершин окресленого дугами двох кіл симетричного вирізу за умов антиплоскої деформації Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
author_facet	Кривень, І. Яворська, М.
author_sort	Кривень, І.
title	Розвиток пластичних смуг в околі вершин окресленого дугами двох кіл симетричного вирізу за умов антиплоскої деформації
title_short	Розвиток пластичних смуг в околі вершин окресленого дугами двох кіл симетричного вирізу за умов антиплоскої деформації
title_full	Розвиток пластичних смуг в околі вершин окресленого дугами двох кіл симетричного вирізу за умов антиплоскої деформації
title_fullStr	Розвиток пластичних смуг в околі вершин окресленого дугами двох кіл симетричного вирізу за умов антиплоскої деформації
title_full_unstemmed	Розвиток пластичних смуг в околі вершин окресленого дугами двох кіл симетричного вирізу за умов антиплоскої деформації
title_sort	розвиток пластичних смуг в околі вершин окресленого дугами двох кіл симетричного вирізу за умов антиплоскої деформації
publisher	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
publishDate	2010
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/22281
citation_txt	Розвиток пластичних смуг в околі вершин окресленого дугами двох кіл симетричного вирізу за умов антиплоскої деформації / І. Кривень, М. Яворська // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 11. — С. 91-96. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
series	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT krivenʹí rozvitokplastičnihsmugvokolíveršinokreslenogodugamidvohkílsimetričnogovirízuzaumovantiploskoídeformacíí AT âvorsʹkam rozvitokplastičnihsmugvokolíveršinokreslenogodugamidvohkílsimetričnogovirízuzaumovantiploskoídeformacíí
first_indexed	2025-07-02T23:35:24Z
last_indexed	2025-07-02T23:35:24Z
_version_	1836580155854684160
fulltext	91 Розвиток пластичних смуг в околі вершин окресленого дугами двох кіл симетричного вирізу за умов антиплоскої деформації Іван Кривень1, Мирослава Яворська2 1 Львівський національний університет імені Івана Франка, вул. Університетська, 1, Львів, 79000, e-mail: ikryven@gmail.com 2 к. т. н., доцент, Тернопільський національний технічний університет імені Івана Пулюя, вул. Руська, 56, Терно- піль,46001, e-mail: myavorska@gmail.com Отримано аналітичний розв’язок задачі про розвиток пластичних смуг в ідеально пружно- пластичному тілі з симетричним вирізом, утвореним дугами двох кіл. Досліджено розви- ток смуг для вирізів з довільною величиною кута при його вершинах. Встановлено, що на початковій стадії розвиток пластичних смуг визначається в основному величиною кута біля вершини вирізу, а на стадії розвинутої пластичності ріст пластичних смуг слабо залежить і від форми вирізу, і від величини кута біля його вершини. Ключові слова: гострокінцевий виріз, пластична смуга, конформне відоб- раження, тріщина. Вступ. Здебільшого під час аналізу напружено-деформівного стану тріщинопо- дібний дефект моделюють математичним розрізом, у якому, незважаючи на ну- льову відстань між протилежними поверхнями, їхня взаємодія до уваги не прий- мається. Небагато досліджень, а тим паче у пружно-пластичній постановці, сто- суються тріщиноподібних вирізів, які у граничному випадку могли б переходити в тріщину, як, наприклад [1, 2], де вивчається розвиток смуг пластичності в околі півбезмежних прямокутної та заокругленої щілин, чи [3], де проведено аналіз пластичних деформацій у тілі з двоперіодичною системою ромбічних вирізів. Розглядаємо ідеально пружно-пластичне тіло, яке перебуває в умовах актив- ної деформації. Дослідимо розвиток у ньому пластичних смуг в околі вершин симетричного вирізу, утвореного дугами двох кіл одна- кового радіуса (див. рис. 1). Довжина та ширина вирізу дорівнюють 2l і 2h відповідно. Центри кіл знаходяться на осі ординат, їхні радіуси r = (l 2 + h 2) / (2h), кут біля вершин вирізу (кут між дотичними до обох дуг у вер- шині вирізу) 2 22arcsin 2lh l h     , k — зсувна гра- ниця текучості матеріалу. Вважаємо, що деформацію тіла зумовлено діючи- ми на нескінченності однорідними зсувними зусиллями УДК 539.375 Рис. 1 y x h –h l l+d –l –l–d Іван Кривень, Мирослава Яворська Розвиток пластичних смуг в околі вершин окресленого дугами двох кіл симетричного вирізу ... 92 τxz = 0, τyz = τ∞. Через необмеженість напружень в околі кутової точки навантаженого тіла, незалежно від рівня навантаження, в околі вершин вирізу завжди виникати- муть пластичні деформації. За моделлю Леонова-Панасюка-Дагдейла вважатимемо їх локалізованими у площині симетрії вирізу (див. рис. 1). Визначимо довжину d смуг, як функцію величини діючого навантаження τ∞. 1. Формулювання та розв’язування задачі За умов антиплоскої деформації в пружній частині тіла компоненти τxz і τyz тензора напружень складають аналітичну функцію        , ,yz xzx y i x y x iy         . З огляду на симетрію задачі достатньо знайти її розв’язок поза вирізом у першому квадранті (надалі область D, рис. 2а). У нашому випадку антиплоске переміщення w(x, y) є парне відносно осі ор- динат і непарне відносно абсцис, то  0, 0,xz y y h   ;  ,0 0,xz x x l d    . (1) Через відсутність напружень на межі вирізу    22 2, 0, , 0nz x y x y a r x l       , (2) де n — вектор одиничної нормалі до дуги кола,    2 2 2a l h h  — ордината центра кола. Запишемо умову пластичності на пластичній смузі 2 2 2 , , 0xz yz k l x l d y        , (3) і те, що вона не досягається в усіх інших точках області D 2 2 2 xz yz k    . У нескінченно віддаленій точці задані такі компоненти напружень lim 0, limxz yzx x         . (4) Рис. 2 а б в ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 11, 91-96 93 Сформулюємо (1)-(4) як крайову задачу для знаходження аналітичної функції τ(ζ). Подамо умови (1), (2), (4) у вигляді Im ( ) 0, , ;iy y h       Im 0, , ;x y l        , ,k x l x l d        , (5)   Re 0d    , (6)  lim       . (7) Застосуємо для розв’язування сформульованої крайової задачі метод конформ- них відображень [4, 5]. Аналітична й однолистна в області D функція    відображає її на деяку область G комплексної площини τ (рис. 2б). Проте умови (5)-(7) безпосередньо не визначають образів усіх ділянок границі області D. Так, невизначеною в пло- щині τ залишається лінія BC, в яку відображається дуга вирізу. Тому звернемося до допоміжної комплексної площини t (рис. 2в) та будемо шукати функцію    у параметричній формі  1 1( ), ( )t t t H       , (8) де H — область Im t > 0 допоміжної комплексної площини t (рис. 2в). Відобра- ження (8) мали б забезпечити спільний прообраз на межі області H для відповід- них точок на межі областей D і G. Області D і H цілком визначені. Конформне відображення H на D можна побудувати композицією елементарних функцій         1 1 1 1 t t l t t             , (9) де    2 2     ; t — аналітична в області H функція, значення якої на додатній дійсній півосі є дійсне та додатне. Оскільки arg arg ( )d t   , то згідно з формулою (9) на відрізку 1 Re Dt t  , Im 0t  arg ( )d q t  , (10) де     1 sin 2 ( ) 2arctg 2 1 (1 ) cos 2 t q t t t             . Звернемося до аналітичної функції  1( ) ln ( )t t k   в області H. Її визна- чення зводиться до крайової задачі Келдиша-Сєдова Іван Кривень, Мирослава Яворська Розвиток пластичних смуг в околі вершин окресленого дугами двох кіл симетричного вирізу ... 94  Im ( ) 0 Re 0, Im 0t t t      ;  Im ( ) ( ) 0 Re 1, Im 0 2 t q t t t        ;  Re ( ) 0 1 Re , Im 0Dt t t t     ;  Im ( ) 0 Re , Im 0Dt t t t      , (11) де tD — точка на дійсній осі t, яка відповідає кінцю пластичної смуги. З урахуванням [6] обмежений розв’язок задачі (11) запишемо так       1 0 1 / 2 ( )( ) 1 1 D D q dt t t t i tt             . Оскільки    1 0 1 / 2 ( )lim ( ) 1t D qt d t           , (12) то ( )Ds tke  . (13) Тут через s(tD) позначено праву частину формули (12) як функцію параметра tD. Із співвідношень (9), (13) можна визначити залежність довжини пластич- них смуг від величини діючого навантаження          ( ) 1 1 , 1 (1, ) 1 1 Ds t D t t ke d l t t t                      . 2. Приклади і результати На рис. 3 показані залежності довжин смуг біля вершин криволінійного вирізу від навантаження для трьох значень кутів у вершині (криві 1´-3´), а також крива (нену- мерована), що описує розвиток пластичних смуг для тріщини завдовжки 2l [7]. Рис. 3. Залежність довжини смуги біля вершин криволінійного вирізу від навантаження,  2 2 22d l k     ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 11, 91-96 95 Для порівняння наведено аналогічні результати, одержані в праці [3], у випадку пружно-пластичного деформування необмеженого тіла з ромбічним вирізом (криві 1 -3  ). Горизонтальна діагональ вирізу, що з’єднує вершини з ку- тами  , як і дуговий виріз, має довжину 2l   1 2 2 2 1 1 qld d T         , де   11 2 2 2 0 cos 1 2 T d              , 2 1 1 pq p       ,  2 p k         . Як бачимо на початковій стадії розвитку (поки довжина смуг значно мен- ша, ніж характерний розмір вирізу) ріст смуг визначається величиною кута біля вершини та майже не залежить від форми вирізу. Із ростом навантаження (якщо відповідна йому довжина пластичних смуг досягає близько 20 % довжини вирізу) на швидкість росту смуг впливає не стільки величина кута біля вершини, як довжина самого вирізу. Внаслідок подальшого зростання навантаження швидкість росту смуг, в основному, визначається його рівнем, ріст довжини пластичних смуг практично не залежить від величини кута біля вершини вирізу і є приблизно однаковий для тріщини, ромбічного та криво- лінійного вирізів. Висновки. Форма вирізу найпомітніше впливає на розвиток смуг, якщо їхня дов- жина співвимірна з довжиною вирізу. Із наближенням форми вирізу до тріщини (зменшенні кута при вершинах вирізу) залежність довжини смуг від навантажен- ня поступово наближається до відповідного закону росту смуг в околі вершин тріщини. Література [1] Кривень, В. А. Пластичні зони при зсуві біля прямокутного і закругленого вирізів сталої ширини / В. А. Кривень, М. І. Яворська // Математичні методи і фіз.-мех. поля. — 2004. — Т. 47, № 2. — С. 138-144. [2] Кривень, В. А. Розвиток пластичних смуг під час зсуву біля вершин прямокутної щілини / В. А. Кривень, М. І. Яворська // Фіз.-хім. механіка матеріалів. — 2003. — № 4. — С. 17-21. [3] Кривень, В. А. Розвиток пластичних смуг у середовищі з двоперіодичною системою ромбіч- них вирізів за поздовжнього зсуву / В. А. Кривень, Г. Т. Сулим, Л. С. Мандзій // Машино- знавство. — 2003. — № 9. — С. 13-16. [4] Иванов В.И. Конформные отображения и их приложения / В. И. Иванов, В. Ю. Попов. — Москва: Едиротиал УРСС, 2002. — 324 с. [5] Crowdy, D. G. Conformal Mappings between Canonical Multiply Connected Domains / D. G. Crowdy, J. S. Marshall // Computational Methods and Function Theory. — 2006. — Vol. 6, No 1. — P. 59-76. [6] Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения / Н. И. Мусхелишвили. — Москва: Физматгиз, 1968. — Т. 47, № 2. — 512 с. [7] Костров, Б. В, Трещина продольного сдвига с бесконечно узкой пластической зоной / Б. В. Костров, Л. В. Никитин // Прикл. матем. и механика. — 1967. — Т. 31, № 2. — С. 334-336. Іван Кривень, Мирослава Яворська Розвиток пластичних смуг в околі вершин окресленого дугами двох кіл симетричного вирізу ... 96 Plastic layers development in the neighbourhood of tips of symmetric cut formed by arcs of two circles under untiplane deformation Іvan Kryven, Мyroslava Javorska The analytical solution of the problem about the plastic bands development in an ideally plastic- elastic body with a symmetric cut formed by arcs of two circles has been obtained. Bands develop- ment at the cut tip under load increasing for different values of angels is studied. It is found that at the initial stage the development of plastic bands is determined mainly by the value of the angle at the cut tip, thus at the stage of developed plasticity, the plastic strips growth depends slightly on the cut shape and the angle value at its tip. Развитие пластических слоев в окрестности вершин образованного дугами двух окружностей симметричного выреза в условиях антиплоской деформации Иван Крывень, Мирослава Яворская Получено аналитическое решение задачи развития пластических полос в идеально упруго- пластическом теле с симметричным вырезом, образованным дугами двух окружностей. Исследовано развитие полос для вырезов с произвольной величиной угла в вершинах. Установлено, что в начальной стадии развитие пластических полос определяется в основ- ном величиной угла при вершине выреза, в стадии развитой пластичности рост полос почти не зависит от формы выреза и величины угла при его вершинах. Представлено членом-кореспондентом НАН України Я. Бураком Отримано 30.04.10

Розвиток пластичних смуг в околі вершин окресленого дугами двох кіл симетричного вирізу за умов антиплоскої деформації

Institution

Similar Items