Математична модель перехідних процесів перенесення маси та імпульсу в довгому газопроводі

У рамках нелінійної моделі газової динаміки сформульовані задачі розрахунку перехідних процесів перенесення маси й імпульсу в довгому газопроводі. Розглянуто чотири схеми керування перехідними процесами шляхом монотонної зміни параметрів потоку на вході та виході. Введені крайові та інтегральні міри...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2010
1. Verfasser:	Чекурін, В.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2010
Schriftenreihe:	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/22396
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Математична модель перехідних процесів перенесення маси та імпульсу в довгому газопроводі / В. Чекурін // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 11. — С. 210-219. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-22396
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-223962011-06-22T12:05:45Z Математична модель перехідних процесів перенесення маси та імпульсу в довгому газопроводі Чекурін, В. У рамках нелінійної моделі газової динаміки сформульовані задачі розрахунку перехідних процесів перенесення маси й імпульсу в довгому газопроводі. Розглянуто чотири схеми керування перехідними процесами шляхом монотонної зміни параметрів потоку на вході та виході. Введені крайові та інтегральні міри неусталеності потоку та міра енергетичних затрат на подолання сил тертя. Розроблено алгоритм числового розв’язування сформульованих нелінійних задач і розглянуто приклад його реалізації для розрахунку перехідного процесу у разі застосування однієї із схем керування. На основі отриманих числових результатів оцінено тривалість процесу та енергозатрати на його здійснення. Boundary value problems for calculation of transient processes of mass and momentum transfer in a long pipeline have been formulated within the nonlinear model of gas dynamics. Four models for transient processes control, implemented via monotonous changing of flow parameters on the inlet and outlet of the pipeline, have been considered. Boundary and integral measures for flow transiency and a measure for friction power inputs have been introduced. An algorithm for numerical solution of the problems has been developed and an example of its application to calculate transient process, controlled by one of the introduced models, has been considered. Duration of the transient process and power input for its implementation has been evaluated. В рамках нелинейной модели газовой динамики сформулированы задачи для расчета переходных процессов переноса массы и импульса в длинном газопроводе. Рассмотрены четыре схемы управления переходными процессами путем монотонного изменения параметров потока на входе и выходе. Введены краевые и интегральные меры нестационарности потока, а также мера энергетических затрат на преодоления сил трения. Разработан алгоритм численного решения сформулированных нелинейных задач и рассмотрен пример его реализации для расчета переходного процесса при применении одной из схем управления. Исходя из полученных численных результатов получена оценка длительности переходного процесса и рассчитаны энергозатраты на его осуществление. 2010 Article Математична модель перехідних процесів перенесення маси та імпульсу в довгому газопроводі / В. Чекурін // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 11. — С. 210-219. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/22396 533:519.6:621.64.029 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	У рамках нелінійної моделі газової динаміки сформульовані задачі розрахунку перехідних процесів перенесення маси й імпульсу в довгому газопроводі. Розглянуто чотири схеми керування перехідними процесами шляхом монотонної зміни параметрів потоку на вході та виході. Введені крайові та інтегральні міри неусталеності потоку та міра енергетичних затрат на подолання сил тертя. Розроблено алгоритм числового розв’язування сформульованих нелінійних задач і розглянуто приклад його реалізації для розрахунку перехідного процесу у разі застосування однієї із схем керування. На основі отриманих числових результатів оцінено тривалість процесу та енергозатрати на його здійснення.
format	Article
author	Чекурін, В.
spellingShingle	Чекурін, В. Математична модель перехідних процесів перенесення маси та імпульсу в довгому газопроводі Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
author_facet	Чекурін, В.
author_sort	Чекурін, В.
title	Математична модель перехідних процесів перенесення маси та імпульсу в довгому газопроводі
title_short	Математична модель перехідних процесів перенесення маси та імпульсу в довгому газопроводі
title_full	Математична модель перехідних процесів перенесення маси та імпульсу в довгому газопроводі
title_fullStr	Математична модель перехідних процесів перенесення маси та імпульсу в довгому газопроводі
title_full_unstemmed	Математична модель перехідних процесів перенесення маси та імпульсу в довгому газопроводі
title_sort	математична модель перехідних процесів перенесення маси та імпульсу в довгому газопроводі
publisher	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
publishDate	2010
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/22396
citation_txt	Математична модель перехідних процесів перенесення маси та імпульсу в довгому газопроводі / В. Чекурін // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 11. — С. 210-219. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.
series	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT čekurínv matematičnamodelʹperehídnihprocesívperenesennâmasitaímpulʹsuvdovgomugazoprovodí
first_indexed	2025-07-03T00:07:29Z
last_indexed	2025-07-03T00:07:29Z
_version_	1836582181942591488
fulltext	210 Математична модель перехідних процесів перенесення маси та імпульсу в довгому газопроводі Василь Чекурін Д. ф.-м. н. ,професор, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул. Наукова, 3б, Львів, 79060, e-mail: chekurin@iappmm.lviv.ua У рамках нелінійної моделі газової динаміки сформульовані задачі розрахунку перехідних процесів перенесення маси й імпульсу в довгому газопроводі. Розглянуто чотири схеми керу- вання перехідними процесами шляхом монотонної зміни параметрів потоку на вході та виході. Введені крайові та інтегральні міри неусталеності потоку та міра енергетичних затрат на подолання сил тертя. Розроблено алгоритм числового розв’язування сформульованих нелінійних задач і розглянуто приклад його реалізації для розрахунку перехідного процесу у разі застосування однієї із схем керування. На основі отриманих числових результатів оці- нено тривалість процесу та енергозатрати на його здійснення. Ключові слова: динаміка руху газу в трубопроводі, перехідні процеси, чи- слові методи. Вступ. Ефективні методи розрахунку газодинамічних процесів необхідні, зокре- ма, для створення систем оптимального керування процесами транспортування природного газу магістральними газопроводами [1]. Газопровід можна розглядати як систему довгих трубопроводів (сегментів), послідовно з’єднаних через комп- ресорні станції. Математична модель руху газу в такій системі складається з нелі- нійних одновимірних рівнянь газової динаміки, які пов’язують параметри потоку в кожному сегменті, та нелінійних умов спряження цих параметрів на межі сусід- ніх сегментів, що враховують дію компресорних станцій на газовий потік. Мате- матичні моделі процесів транспортування природного газу магістральними газо- проводами розглядалися, зокрема, в публікаціях [2-3]. Метою статті є формулювання в рамках моделі газової динаміки початково- крайових задач для опису перехідних процесів, які виникають за зміни режимів течії газу, розроблення алгоритму числового розв’язування сформульованих за- дач та оцінка його ефективності. 1. Математична модель динаміки газу в довгому трубопроводі Дослідження проведемо в рамках одновимірної моделі, яка описує нестаціонарний рух газу в циліндричній трубі сталого діаметру [4]. Обмежимося тут ізотермічним випадком, вважаючи температуру T газу незалежною від часу t та координати x уздовж осі труби. Вихідними диференціальними рівняннями для кожного сег- мента у цьому випадку є рівняння балансу маси УДК 533:519.6:621.64.029 ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 11, 210-219 211   0 V t x       (1) та рівняння балансу імпульсу    2 0R V hV P g f t x x               . (2) Тут ρ — густина маси газу, V — осереднена в перерізі труби осьова компонента макроскопічної швидкості руху газу, Р — тиск газу, g — прискорення земного тяжіння, h = h(x) — параметр, що визначає зміну висоти осі труби над рівнем моря, f R — густина осередненої в перетині труби сили тертя. Густина ρ газу пов’язана з його тиском Р та температурою T рівнянням 2 0gP R z T c z     , 2 0 gc RT  , (3) де R — універсальна газова стала, μ g — молярна маса газу, z — коефіцієнт над- стисливості, що враховує відмінність реальних термодинамічних властивостей від моделі ідеального газу. Відомі емпіричні формули, які визначають z як функ- цію параметрів стану P та T [5]. За достатньо високих швидкостей течії сила f R виражається формулою Дарсі-Вейсбаха [5] 2R V f V D    . (4) Тут λ — коефіцієнт гідравлічного опору, що визначається шорсткістю внутріш- ньої поверхні труби та її внутрішнім діаметром D. Використовуючи формули (3), (4), зведемо математичну модель руху газу в трубопроводі до нелінійної системи диференціальних рівнянь у частинних по- хідних стосовно функцій ρ(x, t), J(x, t) 0J t x       , (5) 2 0 2 J JJ P J dHg t x x D dx                    . (6) За такого вибору ключових функцій перше з рівнянь системи є лінійне. Без зниження загальності можна розглядати коефіцієнт надстисливості z і як функцію параметрів стану ρ та T. Тож, на підставі формули (3) маємо 2 0 ( )( ), ( ) ( )P zc Z Z z            . (7) За відомими ρ, J неважко підрахувати тиск P та швидкість V потоку 2 0 ( )P c z   , V J  . (8) Василь Чекурін Математична модель перехідних процесів перенесення маси та імпульсу в довгому газопроводі 212 Перейдемо до безрозмірних змінних 0 0 0 0 0 2 1, , , , ,x t J P Vj p = L t J P V             v , (9) де L — довжина трубопроводу, t0 ≡ L / c0, ρ0 — густина, що відповідає характер- ному тискові  2 0 0 0 0P c z   , 0 0 0V J  — характерна швидкість. У результаті система (5), (6) набуває вигляду 0jMa       , (10)   2 21 0                               j j j dZ Ma Ma t Ma d . (11) Тут 0 0 0 0 0 J VMa c c    , 2 L D    , 0 0 0 0 , c VH H H g    . У стаціонарному випадку 0j      . Із рівняння (10) випливає, що  j const  . З урахуванням цього рівняння (11) набуває вигляду   2 2 3 2 2 2, dMa j Ma d d d Z T Ma j                  . (12) 2. Модель керування перехідними режимами З усіх можливих випадків нестаціонарного руху газу в трубопроводі виокремимо так звані перехідні режими. Тож розглядатимемо динамічний процес, що розпочина- ється з деякого усталеного режиму 0 і завершується іншим усталеним режимом 1. Нехай J 0 та J 1 — густини потоків маси через трубопровід у режимах 0 та 1, а 0P та 0P і 1P та 1P — статичні тиски, що діють на вході та виході трубопроводу в цих режимах. Щоб знайти розподіли тиску P 0(x) i P 1(x) у трубі в режимах 0 та 1, покладемо в рівнянні (12) 0 0 0j J J j  , а відтак 1 1 0j J J j  і проінтегруємо отримані рівняння, підпорядкувавши їх розв’язки  0 0     та  1 1     одній із двох крайових умов 1 1 ,                 0,1  , (13) де  2 0 0          P c z P ,  2 0 0          P c z P . (14) Першу з двох умов (13) використовуємо, якщо в режимі λ заданий тиск на вході до трубопроводу, а другу — на виході. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 11, 210-219 213 За знайденими розв’язками визначаємо розподіли тисків P λ(x) у трубі     2 0 0 0 0( ) ,P x P c x L z x L T      , (15) а також значення тиску на її протилежному кінці. Наприклад, якщо в режимі λ задано тиск P  на вході, то тиск на виході P  знайдемо як 2 0 0 (1)P P c       (1),z T  , і, навпаки, якщо задано тиск на виході P  , то для тиску на вході маємо  2 0 0 ( 1) ( 1),P P c z T          . (16) Зміни режиму експлуатації досягають нарощуючи або знижуючи механічну потужність, яку віддають у газовий потік компресорні станції. Внаслідок цього рух газу характеризується змінними в часі розподілами тиску та густини потоку в сегментах. Зроблені припущення дозволяють розглядати варіанти крайових умов для кожного сегмента, коли на обох його кінцях задані залежності від часу значень тиску (умови першого роду) чи густини потоку маси (умови другого роду), або ж змішані умови — коли на вході задано зміну тиску, а на виході — потоку і, нав- паки, коли на вході задано зміну потоку, а на виході — тиску. Відповідно до цьо- го розглядатимемо для системи (10), (11) такі умови на краях кожного сегмента 1 1( ), ( )              , (17) 1 1( ), ( )j j j j       , (18) 1 1( ), ( )j j          , (19) 1 1( ), ( )j j          . (20) Тут      0 2 0 0 0 ( ) , P t c z P t T           ,  0 0( )j J t J    , (21) де ( )P t та ( )J t — задані функції, які визначають зміни в часі значень тиску та густини потоку маси на вході (–) і виході (+) сегмента. Оскільки перехідний режим розпочинається з усталеного режиму 0, то по- чаткові умови для системи (10), (11) будуть такі  0 0 0 0, j j       . (22) Отже, за такого підходу чотири крайові задачі (10), (11), (17), (22); (10), (11), (17), (22); (10), (11), (18), (22) та (10), (11), (19), (22) визначають чотири моделі (схеми) керування перехідними режимами магістральних трубопроводів. Функціями керування є ( ), ( )P t J t  , через які співвідношеннями (21) однозначно визначаються функції правих частин крайових умов (17)-(20). Василь Чекурін Математична модель перехідних процесів перенесення маси та імпульсу в довгому газопроводі 214 З усіх можливих функцій керування ( )P t та ( )J t розглядатимемо лише ті, що монотонно змінюються в межах 0 1,P P    та 0 1,J J   відповідно. За умов, коли проміжки часу P  та J  , за які функції керування ( )P t та ( )J t змінюються в межах від 0P до 1P та від 0J до 1J відповідно, є набагато менші за час переходу системи до усталеного режиму 1, важливе значення для перебігу перехідного процесу матимуть середні швидкості зміни функцій ( )P t та ( )J t . Тому обмежимося надалі розглядом функцій керування ( )P t та ( )J t , які лінійно змінюються в інтервалах 0 1,P P    і 0 1,J J   за задані проміжки часу P  та J  . Для цього введемо функцію   0, 0, , , 0 , 1, , t t t t t            0  , (23) з допомогою якої подамо функції керування перехідними режимами роботи газо- проводу у вигляді        0 1 0 0 1 0( ) , , ( ) ,P P PP t P P P t P t P P P t t                    ,        0 1 0 0 1 0( ) , , ( ) ,J J JJ t J J J t J t J J J t t              . (24) Тут t P та t J — дійсні сталі, які мають розмірність часу та визначають запізнення (випередження) функцій керування на виході сегмента стосовно вхідних функцій. З урахуванням цього крайові умови (17)-(20) набувають вигляду        0 1 0 0 1 0 1 1, , ,                                       , (25)        0 1 0 0 1 0 1 1, , ,j j jj j j j j j j j                 , (26)        0 1 0 0 1 0 1 1, , ,j jj j j j                           , (27)        0 1 0 0 1 0 1 1, , ,jj j j j                             . (28) Тут  2 0 0 , P c z P T           , 0 Jj J    , , , P J j ot       , , , 0 P J j t t   . Таким чином, згідно запропонованого підходу будь-яка з чотирьох схем керування перехідним режимом визначається для кожного сегмента трьома ска- лярними параметрами — середніми швидкостями зміни керуючого параметра на його вході й виході та часовим зсувом між вхідною і вихідною керуючими функціями. Так, за моделі керування (27) цими параметрами є середня швидкість ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 11, 210-219 215 зміни тиску на вході  1 0 PP P    , середня швидкість зміни потоку на виході  1 0 JJ J    і затримка (випередження) функції зміни потоку на виході стосов- но функції зміни тиску на вході t J. 3. Оцінювання ефективності керування На основі розв’язку  ,   та  ,j   початково-крайової задачі, що відповідає будь-якій вибраній схемі керування (17)-(20), можна оцінити енергетичні та часові затрати на реалізацію перехідного режиму. Важливим параметром керування перехідним режимом є його тривалість. Газ, нагромаджений у трубопроводі, є інерційна система, перехідні процеси в якій тривають і після виходу на усталений режим компресорних станцій. Для оцінки тривалості перехідного режиму введемо міри відхилення миттєвого стану газу в трубопроводі від стаціонарного режиму 1, до якого прямує система. Розгляда- тимемо два типи таких мір. Міри першого типу визначають відхилення актуальних значень газодина- мічних параметрів на кінцях сегмента від відповідних значень для усталеного режиму 1, до якого здійснюється перехід. Залежно від вибраної схеми керування (18)-(21) розглядатимемо чотири таких міри    ( ) max ( ), ( ) , ( ) max ( ), ( )j j j                     ,    ( ) max ( ), ( ) , ( ) max ( ), ( )j j j j                     , (29) де      1 1 1 1 1, 1, ( ) ,j jj j j j j j             ,    1 1 1 1 1 1, 1, ( ) , ( )                             . (30) Міри другого типу визначають відхилення миттєвих значень інтегральних характеристик руху газу в газопроводі. Розглядатимемо дві таких міри, що відпо- відають двом рівнянням динаміки газу (5) і (6). Одна з них δ М(τ) визначає відхи- лення маси газу, нагромадженого у трубі в поточний момент часу τ, від маси газу в трубі за стаціонарного режиму 1, а друга δ J(τ) — миттєве відхилення кількості руху цієї маси газу       1 1 1 1 1 1 , ( )M d d                    ,   1 1 1 1 , ( )J j j d j          . (31) Василь Чекурін Математична модель перехідних процесів перенесення маси та імпульсу в довгому газопроводі 216 Для будь-якого дійсного ε > 0 число   Inf :         , де  — індекс  , , , , ,j i j M J    , називатимемо безрозмірною тривалістю перехідного режиму зі стану 0 у стан 1 за мірою неусталеності δ ω = ε. Таким чином, введені міри (29) і (31) неусталеності режиму течії газу через трубопровід дозволяють кількісно оцінити для обраної схеми керування трива- лість перехідного режиму та визначити вплив на   параметрів функцій керуван- ня — середніх швидкостей зміни керуючого параметра на його вході і виході та зсуву за часом вхідної й вихідної керуючих функцій. Оскільки в цій статті обмежилися моделлю ізотермічного руху, то енерге- тичну ефективність перехідного режиму оцінюватимемо лише за втратами енергії на подолання сил тертя. Для будь-якого моменту часу τ можемо обчислити потужність сил тертя     1 32 3 0 2 2 0 1 , ( ) 8 ,R jD JW d             . (32) Тоді енергетичну ефективність перехідного режиму можемо оцінити за се- редніми за період його тривалості   енергетичними затратами на транспорту- вання одиниці маси газу       1 32 0 2 2 0 0 1 0 , 1, 2 , jJ d d j d                        (33) і порівняти його з параметрами η 0 і η 1, які визначають енергетичні затрати транспортування газу в усталених режимах 0 та 1      20 1 0 2 200 12 J d           ,      21 1 1 2 210 12 J d           . (34) Таким чином, використовуючи введений параметр   , можемо кількісно порівнювати перехідні режими за величиною питомих втрат на подолання сил тертя для різних схем керування та залежно від середніх швидкостей зміни керу- ючих параметрів і часового зсуву між керуючими функціями на вході та виході. 4. Числові дослідження Наведемо приклад застосування розробленого математичного апарату для дослі- дження схеми керування, за якої на входах усіх сегментів задані значення тиску газу як функції часу, а на виході — густини потоку. Окрім того обмежимося ви- падком синхронного керування усіма компресорними станціями. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 11, 210-219 217 Для числового розв’язування початково-крайової задачі (10), (11), (22), (27) застосовували спектральний метод Бубнова-Гальоркіна, використовуючи як проб- ні та вагові функції поліноми Лежандра [6]. Для розв’язування отриманої не- лінійної системи звичайних диференціальних рівнянь здійснювали її дискретиза- цію за методом Кранка-Ніколсона [6]. Розрахунок здійснювали для газової суміші у складі: метан — 98,6 %, етан — 0,15 %, двоокис вуглецю — 0,31 %, азот — 1,24 %. Приймали такі значення парамет- рів задачі: довжина трубопроводу L = 120 км, внутрішній діаметр труби D = 1,378 м, характерний тиск Р0 = 6,65 МПа, температура Т = 300 К. Характерну густину ма- сового потоку приймали J0 = 468 кг / м 2с, що відповідає комерційній витраті, від- несеній до стандартних умов — 86 млн. кубічних метрів за день. Коефіцієнт тертя брали λ = 9,22·10 – 3. Розраховані для таких параметрів характерний час t0 = 302,58 c, число Маха Ma = 0,024, коефіцієнт β = 413,46. На рис. 1 наведені результати числового розв’язування задачі (10), (11), (22), (27) для випадку, коли масовий потік на виході підвищують на 15 % за про- міжок часу 10t0 без зміни тиску на вході трубопро- воду. При розрахунках приймали N = 15, крок дискретизації за часом δτ = 0,05. На рис. 2 показані залежності від часу мір не- усталеності ( )J   (суцільна лінія), ( )P   (штрихова лінія) δM(τ) (штрих-пунктирна лінія) та δJ(τ) (пунк- тирна лінія). Для τ = 48 отримано 3( ) 4,79 10J      , 3 3 3( ) 3,24 10 , ( ) 1,28 10 , ( ) 6,42 10 .P M J               На цій підставі можемо стверджувати, що з точніс- тю 6,42·10 – 3 тривалість перехідного процесу, визначена за мірою неусталеності δJ, дорівнює 48t0 ≈ 1,452·10 4 c, тобто сягає понад чотири години. P / P0 0,6 0,7 0,8 0,9 – 1 – 0,5 0 0,5 ξ τ J / J0 1,1 1,0 – 1 – 0,5 0 0,5 ξ τ Рис. 1. Розподіли тиску та густини масового потоку вздовж труби у моменти часу τ = 0; 4; 8; 12; 20 і 40 (стрілки на графіках вказують напрям зростання часу) Рис. 2. Залежність мір несталеності процесу від часу 0,20 0,15 0,10 0,05 0 0 20 40 τ Василь Чекурін Математична модель перехідних процесів перенесення маси та імпульсу в довгому газопроводі 218 Питомі енергетичні затрати на подолання сил тертя, віднесені до сталої    2 2 0 02J  = 8,143 Дж/кг складають для перехідного режиму 3,689J   , а для усталених режимів 0 та 1 η0 = 2,744 та η1 = 3,207 відповідно. Висновки. Сформульовані одновимірні нестаціонарні початково-крайові задачі динаміки газу в довгій циліндричній трубі, які описують перехідні процеси, що виникають за зміни режимів роботи газопроводу високого тиску. Функції керу- вання перехідним режимом визначені трьома скалярними параметрами — серед- німи швидкостями зміни заданих параметрів потоку на кінцях і часовим зсувом між керуючими діями на вході та виході трубопроводу. Запропоновано підхід до оцінювання тривалості перехідного процесу та питомих енергозатрат на транспортування газу. Це дозволяє кількісно порівню- вати за часовою й енергетичною ефективністю перехідні режими для різних схем і параметрів керування. Розроблено алгоритм числового розв’язування сформульованих нелінійних задач із використанням апроксимації розв’язку поліномами Лежандра та дискре- тизації за часом отриманих систем звичайних нелінійних диференціальних рів- нянь. Проведені числові експерименти для різних режимів і параметрів керуван- ня підтвердили високу ефективність алгоритму та можливість його застосування для моделювання нестаціонарних процесів у магістральних газопроводах. Розглянута у статті модель ізотермічної течії не враховує енергозатрат, зумов- лених нагріванням газу внаслідок його компресування та теплообміном із зов- нішнім середовищем. Щоб підвищити практичну цінність розробленого підходу для розрахунку перехідних режимів роботи реальних газопроводів у подальшому його буде розвинено шляхом урахування в математичній моделі процесу перене- сення енергії у взаємозв’язку з перенесенням маси та імпульсу. Окрім того, пла- нується ввести у розгляд термодинамічні параметри, що описують роботу комп- ресорних станції, та пов’язати їх із параметрами керування перехідними режимами. Література [1] Чекурін, В. До побудови програмної системи для моделювання та оптимізації проце- сів транспортування природного газу / В. Чекурін // Фіз.-мат. моделювання та інфор- маційні технології. — 2007. — Вип. 5. — С. 158-170. [2] Modelling the Dynamics of Flow in Gas Pipelines / J. Kralik, P. Stiegler, Z. Vostry and J. Zavorka // IEEE Transactioms on System, Man, and Cybernetics. — Julay/August, 1984. — Vol. sms-14, No 4. — P. 586-596. [3] A Universal Dynamic Simulation Model of Gas Pipeline Networks / J. Kralik, P. Stiegler, Z. Vostry and J. Zavorka // IEEE Transactioms on System, Man, and Cybernetics. — Julay/August, 1984. — Vol. sms-14, No 4. — P. 597-606. [4] Чарный, И. А. Основы газовой динамики / И. А. Чарный. — Москва: Гостоптехиздат, 1961. — 200 с. [5] Rohsenow, W. M. Handbook of Heat Transfer Fundamentals, 2nd edition / W. M. Rohsenow, J. P. Hart- nett and E. N. Ganic. — New York: McGraw-Hill, 1985. — 1440 p. [6] Флэтчер К. Численные методы на основе метода Галеркина / К. Флэтчер. — Москва: Мир, 1988. — 352 с. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 11, 210-219 219 A mathematical model for the transient processes of mass and momentum transfer in a long gas pipeline Vasyl Chekurin Boundary value problems for calculation of transient processes of mass and momentum transfer in a long pipeline have been formulated within the nonlinear model of gas dynamics. Four models for transient processes control, implemented via monotonous changing of flow parameters on the inlet and outlet of the pipeline, have been considered. Boundary and integral measures for flow tran- siency and a measure for friction power inputs have been introduced. An algorithm for numerical solution of the problems has been developed and an example of its application to calculate tran- sient process, controlled by one of the introduced models, has been considered. Duration of the transient process and power input for its implementation has been evaluated. Математическая модель переходных процессов переноса массы и импульса в длинном газопроводе Василь Чекурин В рамках нелинейной модели газовой динамики сформулированы задачи для расчета пере- ходных процессов переноса массы и импульса в длинном газопроводе. Рассмотрены четыре схемы управления переходными процессами путем монотонного изменения параметров по- тока на входе и выходе. Введены краевые и интегральные меры нестационарности потока, а также мера энергетических затрат на преодоления сил трения. Разработан алгоритм численного решения сформулированных нелинейных задач и рассмотрен пример его реали- зации для расчета переходного процесса при применении одной из схем управления. Исходя из полученных численных результатов получена оценка длительности переходного процес- са и рассчитаны энергозатраты на его осуществление. Отримано 05.05.10

Математична модель перехідних процесів перенесення маси та імпульсу в довгому газопроводі

Institution

Ähnliche Einträge