Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного перетворення Фур’є. II. Числові алгоритми

Продовжується дослідження задачі нелінійної середньоквадратичної апроксимації дійсної фінітної невід’ємної функції від двох змінних модулем подвійного дискретного перетворення Фур’є, що залежить від двох параметрів [1]. Побудовано й обґрунтовано числові алгоритми для знаходження ліній галуження та в...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автори:	Процах, Л., Савенко, П., Ткач, М.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2010
Назва видання:	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/22399
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного перетворення Фур’є. II. Числові алгоритми / Л. Процах, П. Савеноко, М. Ткач // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 11. — С. 150-159. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-22399
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-223992011-06-22T12:05:48Z Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного перетворення Фур’є. II. Числові алгоритми Процах, Л. Савенко, П. Ткач, М. Продовжується дослідження задачі нелінійної середньоквадратичної апроксимації дійсної фінітної невід’ємної функції від двох змінних модулем подвійного дискретного перетворення Фур’є, що залежить від двох параметрів [1]. Побудовано й обґрунтовано числові алгоритми для знаходження ліній галуження та відгалужених розв’язків. Наведено числові приклади. Investigation of the problem of nonlinear mean-square approximation of real finite non-negative function of two variables by Fourier discrete transformation modulus, dependent on two parameters is continued. Numerical algorithms for finding the branching lines and branching-off solutions are constructed and justified. Numerical examples are also given. Продолжается исследование задачи нелинейной среднеквадратической аппроксимации вещественной финитной неотрицательной функции двух переменных модулем дискретного преобразования Фурье, зависящего от двух параметров. Построены и обоснованы численные алгоритмы для нахождения линий ветвления и ответвляющихся решений. Приведены числовые примеры. 2010 Article Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного перетворення Фур’є. II. Числові алгоритми / Л. Процах, П. Савеноко, М. Ткач // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 11. — С. 150-159. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/22399 519.6 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Продовжується дослідження задачі нелінійної середньоквадратичної апроксимації дійсної фінітної невід’ємної функції від двох змінних модулем подвійного дискретного перетворення Фур’є, що залежить від двох параметрів [1]. Побудовано й обґрунтовано числові алгоритми для знаходження ліній галуження та відгалужених розв’язків. Наведено числові приклади.
format	Article
author	Процах, Л. Савенко, П. Ткач, М.
spellingShingle	Процах, Л. Савенко, П. Ткач, М. Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного перетворення Фур’є. II. Числові алгоритми Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
author_facet	Процах, Л. Савенко, П. Ткач, М.
author_sort	Процах, Л.
title	Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного перетворення Фур’є. II. Числові алгоритми
title_short	Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного перетворення Фур’є. II. Числові алгоритми
title_full	Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного перетворення Фур’є. II. Числові алгоритми
title_fullStr	Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного перетворення Фур’є. II. Числові алгоритми
title_full_unstemmed	Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного перетворення Фур’є. II. Числові алгоритми
title_sort	середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного перетворення фур’є. ii. числові алгоритми
publisher	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
publishDate	2010
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/22399
citation_txt	Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного перетворення Фур’є. II. Числові алгоритми / Л. Процах, П. Савеноко, М. Ткач // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 11. — С. 150-159. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.
series	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT procahl serednʹokvadratičnaaproksimacíâdíjsnoífunkcíídvohzmínnihmodulemdiskretnogoperetvorennâfurêiičislovíalgoritmi AT savenkop serednʹokvadratičnaaproksimacíâdíjsnoífunkcíídvohzmínnihmodulemdiskretnogoperetvorennâfurêiičislovíalgoritmi AT tkačm serednʹokvadratičnaaproksimacíâdíjsnoífunkcíídvohzmínnihmodulemdiskretnogoperetvorennâfurêiičislovíalgoritmi
first_indexed	2025-07-03T00:08:39Z
last_indexed	2025-07-03T00:08:39Z
_version_	1836582254189477888
fulltext	150 Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного перетворення Фур’є. II. Числові алгоритми Лариса Процах1, Петро Савенко2, Мирослава Ткач3 1 Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул. Наукова, 3б, Львів, 79060 2 д. т. н., с. н. с., Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул. Наукова, 3б, Львів, 79060, e-mail: spo@iapmm.lviv.ua 3 Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул. Наукова, 3б, Львів, 79060 Продовжується дослідження задачі нелінійної середньоквадратичної апроксимації дійсної фінітної невід’ємної функції від двох змінних модулем подвійного дискретного перетворення Фур’є, що залежить від двох параметрів [1]. Побудовано й обґрунтовано числові алгоритми для знаходження ліній галуження та відгалужених розв’язків. Наведено числові приклади. Ключові слова: нелінійна середньоквадратична апроксимація, дискретне подвійне перетворення Фур’є, нелінійна двопараметрична спектральна за- дача, неєдиність і галуження розв’язків. Вступ. Робота є продовження дослідження задачі нелінійної середньоквадратич- ної апроксимації дійсної фінітної невід’ємної функції від двох змінних модулем подвійного дискретного перетворення Фур’є, що залежить від двох параметрів, яке подане в роботі [1]1. Суттєвою особливістю задачі нелінійної апроксимації є неєдиність і галуження розв’язків. Задача про знаходження множини точок галу- ження є, своєю чергою, недостатньо досліджена нелінійна спектральна двопара- метрична задача. Найповніше розвинуті методи дослідження та знаходження числових розв’язків однопараметричних спектральних задач за наявності диск- ретного спектра [2-6]. Особливою відмінністю нелінійних двопараметричних задач є існування зв’язних компонент спектра, які у випадку дійсних параметрів мають вигляд спектральних ліній [7]. У роботі подано теорему існування зв’язних компонент спектра голоморфних матричних функцій, які залежать від двох спектральних параметрів, що обґрун- товує застосування методів неявних функцій до багатопараметричних спектральних задач [7]. Показано застосовність цієї теореми до аналізу спектра двовимірного інтегрального однорідного рівняння, до якого зведено задачу про знаходження ліній можливого галуження розв’язків рівняння Гаммерштейна [1]. Побудовано й 1 У цій роботі нумерація розділів і формул продовжує нумерацію розділів і формул, використану у роботі [1] УДК 519.6 ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 11, 150-159 151 обґрунтовано алгоритми для знаходження оптимальних числових розв’язків за- дачі апроксимації, наведено числові приклади. 2. Нелінійна двопараметрична спектральна задача Згідно з [8] точками можливого галуження розв’язків системи нелінійних рівнянь (23), (24) є такі значення параметрів  (0) (0) 2 1 2,c c  , при яких лінійне однорідне рівняння (25) має відмінні від тотожного нуля розв’язки. Власні функції рівняння (25) використовують при побудові відгалужених розв’язків рівнянь (23) та (24). Задача про знаходження відмінних від f 0(Q, c1, c2) розв’язків рівняння (25) є нелінійна двопараметрична спектральна задача, оскільки спектральні парамет- ри c1 і c2 входять у ядро інтегрального оператора нелінійно. Вона полягає в зна- ходженні таких значень дійсних параметрів (c1, c2)   c, при яких рівняння (25) має відмінні від тотожного нуля розв’язки. В операторній формі нелінійну двопараметричну задачу запишемо у вигляді    1 2 1 2, , 0c c x E T c c x      , (26) де E ― одиничний, а T(c1, c2) ― лінійний інтегральний оператори, які діють у ба- наховому просторі  C  . Необхідно знайти власні значення  (0) (0) 1 2, cc c c і відповідні їм власні вектори    (0) (0) 0x C x   такі, що  (0) (0) (0) 1 2, 0c c x  . Безпосередньою перевіркою встановлюємо, що для довільних значень па- раметрів (c1, c2)  c однією з власних функцій є      0ˆ , , , G Q F Q K Q Q dQ    c c . (27) Запишемо необхідне надалі спряжене з (25) рівняння           0 ( ) , , , G F Q Q T K Q Q Q dQ f Q        c c c . (28) Для довільних  1 2, cc c  однією з власних функцій рівняння (28) є    0ˆ Q F Q  . (29) Існування відмінних від тотожного нуля розв’язків рівняння (25) для до- вільних (c1, c2)  c свідчить про існування зв’язної компоненти спектра, яка співпадає з областю  c. Для знаходження відмінних від  0ˆ ,Q c розв’язків виключимо з ядра інте- грального рівняння (25) власну функцію (27), а саме, розглянемо рівняння      , ( ) , , G Q T Q Q Q dQ      c c c  , (30) де Лариса Процах, Петро Савенко, Мирослава Ткач Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного ... 152            0 0 0 , , , , , , F Q Q Q K Q Q Q Q f Q         c c c c  , (31)     2 0 0 0 ˆ ˆ L Q Q     ,     2 0 0 0 ˆ , , ˆ L Q Q     c c . (32) Із леми Шмідта [8] випливає, що ні для яких значень (c1, c2) c φ0(Q, c) не буде власною функцією цього рівняння. Тим самим зі спектра оператора виключена зв’язна компонента, яка співпадає з областю Λc і відповідає функції φ0(Q, c). Використовуючи властивість виродженості ядра  1 2, , ,Q Q c c , зведемо рівняння (25) до еквівалентної системи лінійних алгебраїчних рівнянь, коефіцієнти якої аналітично залежать від параметрів c1, c2. Рівняння (25) запишемо у вигляді      1 1 2 2 1 2 0 0 1 2, , N M i c ns c ms nm n N m M s s x e x s s        , (33) де xnm, x0 ― сталі, що визначаються за формулами          1 1 2 21 21 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 , , , ; , 2 2 , , , i c ns c ms nm G F s sc cx e s s ds ds n N N m M M f s s c c                  ,    0 0 1 2 1 2 1 2 1 2, , , , G x s s c c s s ds ds        . Із формули (33) випливає, що функція φ(s1, s2) буде відомою, якщо знатимемо xnm, x0. Помножимо обидві частини рівності (33) на      1 1 2 21 0 1 2 1 2 , , , , i c ks c lsF s s e f s s c c       при , , ,k N N l M M    та на  0 1 2,s s  і проінтегруємо по Ω. Одержуємо однорід- ну систему лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження xnm, x0  ( ) 1 2, N M kl kl nm nm n N m M x a c c x       , ; ,k N N l M M    , (34) де            1 2( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 0 1 2 , , , , 1 , kl kl kl nm nm nm b c c a c c t c c d c c d c c    ,          1 1 2 21 2( ) 1 2 1 2 1 22 0 1 2 1 2 , , , , ,4 i c n k s c m l skl nm G F s sc ct c c e ds ds f s s c c        ,          1 1 2 21 2( ) 1 2 1 2 0 1 2 1 22 0 1 2 1 2 , , , , , ,4 i c ks c lskl G F s sc cb c c s s e ds ds f s s c c      , ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 11, 150-159 153      1 1 2 2 1 2 0 1 2 1 2, , i c ns c ms nm G d c c s s e ds ds  ,      0 1 2 0 1 2 0 1 2 1 2 1 2, , , , , G d c c s s s s c c ds ds   . Для коефіцієнтів матриці    ( ) , ,1 1 1 1 , , , ,kl k n N NM nm m l M M c c a c c   A справджується рівність    ( ) ( ) 1 1 1 1, ,lk kl mn nma c c a c c , тобто AM ермітова або самоспряжена матриця. Еквівалентну до (26) нелінійну двопараметричну спектральну задачу, що відповідає системі рівнянь (34), запишемо у вигляді    1 2 1 2, , 0M M Mc c c c     x E A x , (35) де EM ― одинична матриця розмірності N2 × M2. Система (34) буде мати відмінні від нульового розв’язки, якщо    1 2 1 2, det , 0M Mc c c c      E A . (36) Легко переконатися, що Ψ(c1, c2) є дійсна функція. Справді, оскільки TM (c1, c2) ермітова матриця, то, очевидно, що E – AM (c1, c2) також ермітова матриця. Як ві- домо [9], визначник ермітової матриці є дійсне число. Отже, Ψ(c1, c2) є дійсна функція від дійсних аргументів c1, c2. Таким чином, задачу про знаходження множини власних значень рівняння (25) або еквівалентної до нього лінійної алгебраїчної системи (34) зведено до зна- ходження нулів функції Ψ(c1, c2). Розглянемо необхідну надалі допоміжну одновимірну спектральну задачу (як частковий випадок задачі (35)) на промені c2 = γc1, де γ ― дійсний коефіцієнт, до того ж (c1, c2)  c. Введемо в розгляд матрицю-функцію    1 1 1,M Mc c c   , з якою зв’язана одновимірна спектральна задача    1 1 1 1, , 0M M Mc c c c       x E A x . (37) Легко переконатися, що з властивостей коефіцієнтів матриці AM (c1, c2) випли- ває, що матрична функція M (c1, c2) є неперервна й диференційовна за своїми змінни- ми в будь-якій відкритій та обмеженій області 2 c    , тобто M (c1, c2) є голо- морфна матриця-функція, якщо с1, с2 продовжити в область комплексних змінних. Відповідне до (37) рівняння (36) має вигляд    1 1 1 1, det , 0M Mc c c c        E A . (38) Спектри задач (35), (37) позначимо відповідно через  s  й  s  , а об- ласть зміни параметра с1 через   1 1 1: 0c c c a    . Тоді до властивостей спектра задачі (35) можна застосувати теорему 1 з [10], яку для цієї задачі сформулюємо так. Лариса Процах, Петро Савенко, Мирослава Ткач Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного ... 154 Теорема 2. Нехай для кожного c = (c1, c2)Λc матриця  M(c1, c2)  2 2 2 2,N M N M    є фредгольмів оператор із нульовим індексом, матриця-функція  2 2 2 2( , ) : Λ ,N M N M c        голоморфна в області Λc, причому   1 Λcs  . Нехай окрім цього функція Ψ(c1, c2) неперервно диференційовна в Λc. Тоді: 1) кожна точка спектра  (0) 1c s  ізольована, є власним значенням матри- ці-функції    1 1 1,c c c   , їй відповідає скінченновимірний власний підпрос- тір   (0) 1N c і скінченновимірний кореневий підпростір; 2) кожна точка  (0) (0)(0) 1 1, cc c  c Λ є точка спектра матриці-функції (λ1, λ2); 3) якщо  2 (0) (0) 1 2, 0c c c  , то в деякому околі точки (0) 1c існує єдина непе- рервна диференційовна функція c2 = c2(c1), яка є розв’язком рівняння (36), тобто в деякій бікруговій області   (0) (0) 0 1 2 1 1 2 21 2, : ,c c c c c c      Λ існує зв’язна компонента спектра матриці-функції (c1, c2), де ε1, ε2 —– малі дійсні константи. Доведення цієї теореми стосовно нелінійної двопараметричної спектраль- ної задачі типу (35) для більш загального випадку, коли оператори E і T(c1, c2) діють у нескінченновимірному банаховому просторі, подано в [10]. Для виконан- ня умов теореми 1 з [10] необхідно показати фредгольмовість матриці-функції (c1, c2) для (c1, c2)  с. Ця властивість випливає з відомої рівності [9]    dim ker dim ker   . Існування зв’язних компонент спектра матриці-функції (c1, c2), за умови  2 (0) (0) 1 2, 0c c c  , випливає з теореми про існування неявно заданої функції [11, 12]. Нехай ( ) 1 ic — корінь рівняння (38). Тоді  ( ) ( ) ( ) 1 2 1,i i i cc c c  Λ є власне зна- чення задачі (33). Розглядаючи рівняння Ψ(c1, c2) = 0 як задачу про знаходження неявно заданої функції c2 = c2(c1) в околі точки ( ) 1 ic , для якої виконуються умови теореми існування [12], приходимо до задачі Коші     1 2 1 22 1 1 2 , , c c c cdc dc c c     , (39)  ( ) ( ) ( ) 2 1 1 i i ic c c  . (40) Розв’язуючи задачу (39), (40) у деякому околі точки ( ) 1 ic , знаходимо i-ту зв’язну компоненту спектра (спектральну лінію) матриці-функції М(c1, c2). За знайденими розв’язками задачі Коші для фіксованих значень  ( ) ( ) 1 2,i ic c влас- ні функції рівняння (25) визначаємо через власні вектори матриці  ( ) ( ) 1 2,i i M c cA , ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 11, 150-159 155 які знаходимо відомими методами. При цьому чотиривимірну матрицю А M зво- димо до двовимірної, виконуючи відповідну перенумерацію її елементів. 3. Алгоритм знаходження розв’язків нелінійного рівняння Наведемо один з ітераційних процесів для знаходження числових розв’язків сис- теми (14), в основу якого закладено метод послідовних наближень [13]               1 1 2 2 , , , n n n n G n n u Q u Q B u v K Q Q F Q dQ u Q v Q          c ,    1 2 ,n n nv Q B u v               2 2 , , 0,1,...n G n n v Q K Q Q F Q dQ n u Q v Q         c . (41) Позначимо через {In} послідовність значень функції, яку одержуємо за форму- лою (12), підставляючи туди функцію      arg arctgn n nf Q v Q u Q    , отриману на основі послідовних наближень (41). Для послідовності {In} справджується теорема 4.2.1 із [14], з якої випливає, що послідовність {In} є релаксаційна для функціонала (7), а числова послідовність {σ(In)} ― збіжна. Для проведення ітераційного процесу (41) у випадку парної за обома аргумен- тами функції F(s1, s2) та симетричних областей G й Ω доцільно використовувати властивість інваріантності інтегральних операторів B1(u, v), B2(u, v) у системі (14) відносно типу парності функцій u(s1, s2), v(s1, s2). Функції u, v, які мають певний тип парності за відповідним аргументом, належать до відповідних інваріантних множин Uij, Vkl простору C(Ω), де індекси i, j, k, l набувають значень 0 або 1. Зо- крема, якщо u(s1, s2)U01, то u(– s1, s2) = u(s1, s2), а u(s1, – s2) = – u(s1, s2). Безпосе- редньою перевіркою переконуємося, що справджуються такі включення 1 ij k ijB U V U( ) , 2 ij k kB U V V( )  , ij k ij kU V U VB  ( )  . Із цих співвідношень випливає можливість існування нерухомих точок оператора B, які належать до відповідної інваріантної множини, тобто до розв’яз- ків системи (14) і відповідно — рівняння (10). 4. Числовий приклад Розглянемо приклад апроксимації функції      1 2 1 2, cos 2 sinF s s s s   (рис. 1), заданої в області   1 2 1 2, : 1, 1G s s s s    , для N2× M2 = 11×11 і значень параметрів c1 = 1,6; c2 = 1,2, що знаходяться на промені c2 = 0,75c1. Лінії можливого галуження розв’язків системи (14) і відповідно рівняння (10), як розв’язків дво- вимірної спектральної задачі (25), наведено на рис. 2. Тут перші лінії галуження позначено номерами 1 і 2. Розв’язкам, що відгалужуються у точках цих ліній, Лариса Процах, Петро Савенко, Мирослава Ткач Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного ... 156 відповідають непарні за s2 функції arg f (s1, s2), а коефіцієнти перетворення In, m  ,n N N  ; ,m M M  є дійсні, але несиметричні відносно площини XOZ. На рис. 3 у логарифмічному масштабі наведено значення функціонала σ, які він має на розв’язках двох типів для значень параметра c2 = 0,75c1: кри- ва 1 відповідає розв’язку в класі дійсних функ- цій f0(Q), крива 2 ― відгалуженому розв’язку з непарним за s2 аргументом arg f (s1, s2). Аналіз рис. 3 показує, що в точці c1 ≈ 0,77 від дійсного розв’язку відгалужуються ефективніші комплекс- но-спряжені між собою розв’язки, на яких функціонал σ набуває менші значення, ніж на дійсному розв’язку. Якщо ввести в розгляд параметр C2 = Mc2, який ха- рактеризує кількість базисних функцій у перетво- ренні (1), то однакова ефективність апроксимації (однакові значення функціонала σ на дійсному та відгалуженому розв’язках) досягається з використанням відгалуженого розв’язку за зменшенням кількості базисних функцій на величину ΔC2 = 0,75Δc1. На рис. 4 для c1 = 1,6; c2 = 1,2 наведено амплітуду (а) й аргумент (б) апрок- симуючої функції. Значення амплітуд коефіцієнтів перетворення Фур’є, що від- повідають цьому розв’язку, показано на рис. 5. Як бачимо, значення амплітуд коефіцієнтів є несиметричні відносно площини YOZ, хоча амплітуда апроксиму- ючої функції (рис. 4а) симетрична. Для порівняння апроксимуючих функцій, які відповідають різним розв’язкам рівняння (10), на рис. 6 у перерізі s1 ≡ 0 наведено криві, що відповідають різним типам наведених розв’язків. Крива 1 відповідає Рис. 1 Рис. 2 c2 c2 = 1,25c1 c2 = c1 c2 = 0,75c1 1,00 0,75 0,50 0,25 0,25 0,50 0,75 1,00 c1 2 1 1 2 Рис. 3 log10σ – 0,5 – 1,0 – 1,5 – 2,0 – 3,0 – 2,5 1 2 Δc 0,5 1,0 1,5 2,0 (1) 1c () 1c (*) 1c c1 ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 11, 150-159 157 заданій функції F(0, s2), крива 2 ― відгалуженому розв’язку, крива 3 ― дійсному розв’язку f0(0, s2). Очевидно, що відгалужений розв’язок краще (у розумінні функ- ціонала σ) наближає за модулем задану функцію. Висновки. Відзначимо основні особливості та проблеми, що виникають під час досліджень розглянутого в роботі класу задач:  Основною трудністю при розв’язуванні цього класу задач є дослідження неєди- ності та галуження існуючих розв’язків, які залежать від параметрів c1, c2, що входять у дискретне перетворення Фур’є. Як випливає з досліджень, Рис. 4 –1,0 0,0 1,0 –1,0 0,0 1,0 1,0 0,0 –1,0 1,0 0,0 –1,0 –1,0 0,0 1,0 ar g f S2 S1 б 1,0 0,0 –1,0 0,0 1,0 –1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 \| f \| 1,0 0,0 –1,0 –1,0 0,0 1,0 S2 S1 a \|f \| 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 s2 – 1,0 – 0,5 0 0,5 1 2 3 Рис. 6 Рис. 5 10 6 2 2 6 10 0,06 0,04 0,02 10 In m 6 m 2 2 6 10 n Лариса Процах, Петро Савенко, Мирослава Ткач Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного ... 158 наведених, зокрема, в роботах [14, 15] для часткового випадку, коли F(s1, s2) = F1(s1)·F2(s2), кількість існуючих розв’язків із ростом параметрів с1, с2 значно зростає. Зазначимо, що в багатьох практичних застосуваннях, зокрема в задачах синтезу випромінюючих систем, важливо отримати най- краще наближення до заданої функції F(s1, s2) для порівняно невеликих зна- чень параметрів с1, с2, що дозволяє обмежитися дослідженнями декількох перших точок (ліній) галуження.  Під час знаходження точок (ліній) галуження розв’язків рівняння (8) необ- хідно, на відміну від [14, 15], розв’язувати недостатньо вивчену багатопара- метричну спектральну задачу. Запропоновані в цій роботі підходи дозволяють знаходити розв’язки нелінійної двопараметричної спектральної задачі для однорідних інтегральних рівнянь із виродженими ядрами, що аналітично залежать від двох спектральних параметрів.  Під час знаходження розв’язків системи рівнянь (14) методом послідовних наближень у випадку парної за обома аргументами (одним аргументом) функції F(s1, s2) для отримання розв’язку певного типу необхідно вибирати початкове наближення, яке належить до відповідної інваріантної множини нелінійних операторів В1, В2. Наведені на рис. 2-4 результати галуження розв’язків отримано шляхом числових експериментів, що не відкидає мож- ливості існування інших типів розв’язків. Одержання вичерпної відповіді стосовно точної кількості існуючих розв’язків рівняння (10) для певних значень параметрів с1, с2 є предмет проведення окремих досліджень. Література [1] Процах, Л. Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем диск- ретного перетворення Фур’є. I. Основні співвідношення / Л. Процах, П. Савенко, М. Ткач // Фіз.-мат. моделювання та інформаційні технології. ― 2009. ― Вип. 10. ― С. 84-95. [2] Вайникко, Г. М. Анализ дискретизационных методов / Г. М. Вайникко. ― Тарту: Тартуск. гос. ун-т., 1976. ― 161 с. [3] Grigorieff, R. D. Approximation von Eigevwertproblemen bei nichtlinea rer Parameterabhangikeit / R. D. Grigorieff, H. Jeggle // Manuscr. math. ― 1973. ― Vol. 10, No 3. ― P. 245-271. [4] Karma, O. Approximation in eigenvalue problems for holomorphic fredholm operator functions. I / O. Karma // Numerical Funct. Anal. and Optimization. ― 1996. ― Vol. 17, No 3 & 4. ― P. 365-387. [5] Асланян, М. А. Модификация одного численного метода решения нелинейной спектральной задачи / М. А. Асланян, С. В. Картышев // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. ― 1998. ― Т. 37, № 5. ― С. 713-717. [6] Solov’yov, S. I. Preconditioned iterative methods for a class of nonlinear eigenvalue problems / S. I. Solov’yov // Linear Algebra and its Applications. ― 2006. ― Vol. 41, No 1. ― P. 210-229. [7] Савенко, П. А. Метод неявной функции в решении двумерной нелинейной спектральной проблемы / П. А. Савенко, Л. П. Процах. ― Известия высших учебных заведений. Матема- тика. ― 2007. ― № 11 (546). ― С. 41-44. [8] Вайнберг, М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг, В. А. Треногин. ― Москва: Наука, 1969. ― 527 c. [9] Воеводин, В. В. Матрицы и вычисления / В. В. Воеводин, Ю. Я. Кузнецов. ― Москва: Наука, 1984. — 320 с. [10] Савенко, П. А. Метод неявной функции в решении двумерной нелинейной спектральной проблемы / П. А. Савенко, Л. П. Процах // Изв. высш. учебн. заведений. Математика. ― 2007. ― № 11 (546). ― С. 41-44. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 11, 150-159 159 [11] Гурса, Э. Курс математического анализа. Т. 1. Ч. 1 / Э. Гурса. ― Москва-Ленинград: Гос. техн.-теорет. издат., 1933. ― 368 с. [12] Курс высшей математики. Т. 1 / В. И. Смирнов. ― Москва: Наука, 1965. ― 450 с. [13] Савенко, П. А. Численное решение одного класса нелинейных задач теории синтеза излучаю- щих систем / П. А. Савенко // Журн. вычисл. математики и мат. физики. ― 2000. ― Т. 40, № 6. ― С. 929-939. [14] Савенко, П. О. Нелінійні задачі синтезу випромінюючих систем (теорія і методи розв’язу- вання) / П. O. Савенко. ― Львів: ІППММ НАН України, 2002. ― 320 с. [15] Савенко, П. А. Синтез линейных антенных решеток по заданной амплитудной диаграмме на- правленности / П. А. Савенко // Изв. высш. учебн. заведений. Радиофизика. ― 1979. ― Т. 22, № 12. ― С. 1498-1504. Mean-square approximation of real function with respect to two variables by Fourier discrete transformation modulus. ІІ. Numerical algorithms Larysa Protsakh, Petro Savenko, Myroslava Tkach Investigation of the problem of nonlinear mean-square approximation of real finite non-negative function of two variables by Fourier discrete transformation modulus, dependent on two parame- ters is continued. Numerical algorithms for finding the branching lines and branching-off solutions are constructed and justified. Numerical examples are also given. Среднеквадратическая аппроксимация действительной функции двух переменных модулем дискретного преобразования Фурье. ІІ. Численные алгоритмы Лариса Процах, Петр Савенко, Мирослава Ткач Продолжается исследование задачи нелинейной среднеквадратической аппроксимации ве- щественной финитной неотрицательной функции двух переменных модулем дискретного преобразования Фурье, зависящего от двух параметров. Построены и обоснованы числен- ные алгоритмы для нахождения линий ветвления и ответвляющихся решений. Приведены числовые примеры. Представлено кандидатом фізико-математичних наук М. Дзюбачиком Отримано 10.06.09

Середньоквадратична апроксимація дійсної функції двох змінних модулем дискретного перетворення Фур’є. II. Числові алгоритми

Репозитарії

Схожі ресурси